第三章 刚体力学分析

连续分布
J r 2 dm

J S r 2 dS
J V r 2 dV
2
J l r dl
【例】如图所示，在不计质量的细杆组成的正三角形的顶 角上，各固定一个质量为m的小球，三角形边长为l。求： ⑴系统对过C点，且与三角形平面垂直轴的转动惯量； ⑵系统对过A点，且与三角形平面垂直轴的转动惯量； ⑶若A处质点也固定在B处，⑵的结果如何？ m
挂钟摆锤的转动惯量 ( 杆长为 l, 质 量为m1, 摆锤半径为R, 质量为m2) :
J Jc m d
2
1 2 1 2 2 m1l m2 R m2 l R 3 2
挂在光滑钉子上的匀质圆环摆动 的转动惯量 ( 圆环质量为 m, 半径 为R):
J Jc m d
2
m R2 m R2 2m R2
T
m0
对m0: TR J
(2) (3) 恒矢量 ,与 时间无关.
a R
T
m
mg
2m g 联立(1),(2),(3)解得: a 2m m0
2m gt 由初始条件 v0 0 ,得 v at 2m m0
【例】一质量为m的物体悬于一条轻绳的一端，绳绕在一 滑轮的轴上。轴水平且垂直于轮轴面，其半径为r，整 个装置架在光滑的固定轴承上。当物体从静止释放后， 在时间t内下降了一段距离S，试求整个滑轮的转动惯量 （用m，r，t和S表示）
l
O x dx
x
【例】一质量为m, 半径为R的均匀圆盘, 求通过盘中 心并与盘面垂直的轴的转动惯量.
解：取圆环为质量元 质量面密度：
m 2 R
3
R
o
r
dr
dm dS 2 rdr
dJ r dm 2r dr
2
R 1 2 J dJ 2 r dr mR 2 2
2
O
r
s
x
§3.2 刚体定轴转动定理
一、力对轴的力矩
力的大小？
力的作用点？
表征力对物体 转动作用 , 称为 力矩.
力 F 在转动平面内
M r F ( N m) 大小: M rF sin Fd
z
方向：由右手螺旋关系确定 , 垂直于 r 和 F 确定的平面.
d M J J dt
结论：刚体角加速度与它受到的合外力矩成正比，与 刚体的转动惯量成反比。
说明: (1) 矢量式为
M J (2)
M J
为瞬时关系 F m a (3)与平动中 地位相同
(4) M
为合外力矩=各个外力力矩的矢量和。
三、转动惯量
J mi ri 2
mA
A
T1
T 1' C
R
T1 mA a
C
T2 '
mC
TB2 m
B
mB g T2 mB a 1 T '2 R T '1 R mc R 2 2
T2 ' T2
图 4-9
合内力矩 可证明：
ri
mi
Fi
f
i
it i
r 0
2 2 Fit ri mi ri M mi ri i i i
2 M mi ri i
转动惯量 转动定理
J mi ri2
i
单位: kgm2
三、转动定理的应用
d M J J dt
两类问题：一类是已知力矩求转动； 二类是已知转动求力矩。 （1）选取研究对象，隔离之 （2）分析隔离体受力和力矩 （3）写出微分方程 （4）根据题意找出所选各隔离体之间的联系 （5）求解
【例】一个质量为m的物体与绕在定滑轮上的绳子相联 , 绳 子质量可以忽略, 它与定滑轮之间无滑动. 假设定滑轮的质量 为m0 ,半径为R, 其转动惯量为m0R2/2, 滑轮轴光滑. 试求该物 体由静止开始下落的过程中, 下落速度与时间的关系. 解: 由牛顿第二定律和刚体定轴转动定律: (1) 对 m: m g T m a R
i
(1)意义：刚体转动惯性的量度。 (2)影响 J 的因素: 刚体质量分布 (同m, J中空>J实).
刚体的总质量 (同分布,M > m , JM > Jm).
转轴的位置
J mi ri2
i
(3)转动惯量的计算： 离散分布
J m1r12 m2r22 mn rn2
结论：刚体平动时，其上各点具有相同的速度、
加速度及相同的轨迹。可用一个质点的运动代 替刚体的运动。
转动：刚体运动时，各个质点在运动中都绕同一直线作 圆周运动。转动又分定轴转动和非定轴转动。
定轴转动： 转轴固定于参考系的转动。 非定轴转动： 转轴的方位随时间变化。
刚体的复杂运动一般可分解为平动和转动。
R
o
2018/11/1
2018/11/1
二、刚体绕定轴的转动定理 把刚体看作一个质点系
z
Fi f i mi ai Fit fit mi ait mi ri
Fit ri f it ri mi ri
2
fi
2 Fit ri f it ri mi ri i i i
第三章
一、刚体
刚体力学
§3.1 刚体的运动 物体运动问题的影响因素（物体的性质）
（1）大小（2）形状（3）质量 (4)占有空间位置（5）变形
刚体：受力时不改变形状和体积的物体，是理想模型。
特点：(1)是一个质点系 (2)内部任意两质点间的距离保持不变.
二、 刚体的平动和转动
平动：刚体在运动过程中，在刚体中任作一条直线， 如果各个时刻该直线始终保持平行，这种运动称为 刚体的平动。
取参考点O 图中rij表示质点 i指向质点 j的矢量 ,
由平动定义 rij为恒矢量
dri dt dt 2 d rj d 2 ri 2 2 dt dt dr j
rj ri rij
v j vi
rj
O
rij
ri
a j ai
3
4
几种典型形状刚体的转动惯量 O´ ω m O 圆环
J mR
2
ω
R
l
细圆棒
R
L
R
1 J ml 2 12 ω
R2
2 圆球 J mR 2 5 ω
R
R1
圆柱 J
1 mR 2 2
1 2 2 J m ( R R 圆筒 1 2) 2
2 球壳 J mR 2 3
平行轴定理
若刚体对过质心的轴的转动惯量为Jc, 则刚体对与 该轴相距为 d 的平行轴 z 的转动惯量Jz是:
三、刚体的定轴转动
1. 定轴转动的描述 (1) 角坐标 (rad) 规定逆时针转向 为正.
z

p x
O
= ( t)
刚体定轴转动的运动学方程 (2) 角位移 (rad)
= (t+ t)- (t)
逆时针转动，Δ > 0 顺时针转动，Δ < 0
O
p

x


(3) 角速度
M
力 F 不在转动平面内
O
r
F//
F

F
F// 不能改变刚体绕轴的转动状态 M r F
2）力平行轴或与轴重合
F F// F
1）力的作用线通过转轴 M 0的两种情况：
【例】有一大型水坝高110 m、长1000m，水深100m， 水面与大坝表面垂直，如图所示。求水作用在大坝上的 力，以及这个力对通过大坝基点Q且与x轴平行的力矩。
2 2 2
B
l C l m D
讨论：⑴J与质量有关（见⑴、⑵、⑶结果） 图 4-6 ⑵J与轴的位置有关（比较⑴、⑵结果） ⑶J与刚体质量分布有关（比较⑵、⑶结果）
【例】求一质量为m,长为 l 的均匀细棒的转动惯量. (1) 转轴通过棒的中心并与棒垂直. (2) 轴通过棒的一端并与棒垂直. 解: 在棒上取质量元,长为dx, 离轴 O 为 x . m l 棒的线密度为:
h
代入数据，得
F 5.91×1010 N
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【例】 有一圆盘质量为m，均匀分布，圆盘半径为R 可绕过盘中心的光滑竖直轴在水平桌面上转动，圆 盘与桌面间的滑动摩擦系数为μ，求圆盘转动后受的 摩擦力矩。 解：摩擦力距在圆盘的不同 R部位是不相同的，在圆盘 上取一半径r—r+dr的圆环 圆环质量： r dr
l l l （1）J c m m m 3 3 3 1 2 l Ml ( M 3m) 3 2 2 2 2 （2）J A ml ml Ml 3 m 2 2 2 A （3）J A ml 2ml Ml
解 设水深h，坝长L，在坝面上取面积元 dA Ldy 作用在此面积元上的力
dF = pdA = pLdy
dF pdA pLdy
令大气压为 p0 ，则
p p0 ρg (h y)
dF [ p0 ρg (h y)]Ldy
1 F [ p0 g (h y )] Ldy p0 Lh gLh 2 0 2
d 角速度 dt
O
(rad/s)
逆时针转动 >0， 顺时针转动 < 0.
2 πn πn rad/s 每分转n转 60 30 (4) 角加速度 d d 2 2 (rad/s2)
dt dt
与 同 号 刚 体 加 速 转 动 与 异 号 刚 体 减 速 转 动
与质点匀变速直线运动公式相对应.
0 t
(6) 角量与线量的关系
线量——质点做圆周运动的v、a 角量——描述刚体转动整体运动的 ，， 弧长 线速度 切向加速度
s r
y
et
v 2 r 法向加速度 an r
注: r：质点到转轴的垂直距离.
v r at r
m dx dm对转轴的转动惯量为: dJ x dm x l l m 2 1 2 2 ml (1) 解为: J dJ l x dx l 12 2 l m 1 2 2 (2) 解为: J x dx ml (原点O在棒的左端点) 0 l 3
2 2
m dm dx l
解： T mg ma
T T
A
mg
m g T ma
m,Fra Baidu bibliotekr
m, r
o
T T
B
mg
T (2r ) Tr 9mr2 2
a r
a' (2r )
m gr 解 得: 9m r2 / 2 m r2 m(2r ) 2
【例】轻绳经过水平光滑桌面上的定滑轮C连接两物体A和 B，A、B质量分别为mA、mB，滑轮视为圆盘，其质量为 mC半径为R，AC水平并与轴垂直，绳与滑轮无相对滑动， 不计轴处摩擦，求B的加速度，AC、BC间绳的张力大小。
J z J c md
1 J c mR 2 2
2
Jz
Jc
R
m
3 1 2 2 2 J z mR mR mR 2 2
垂直于杆的轴通过杆的中心
1 J ml 2 12
垂直于杆的轴通过杆的端点
1 2 J ml 3
垂直于杆的轴通过杆的1/4处
7 J ml 2 48
匀 质 直 杆 对 垂 直 于 杆 的 转 轴 的 转 动 惯 量
T' T
o
r
T T
m
m g T m a Tr J
a r
2 gt 2 J mr ( 1) 2S
1 2 S at 2
mg
【思考】组合轮可以绕通过其中心且垂直于盘面的光滑水 平固定轴o转动，对o轴的转动惯量J=9mr2/2 。两圆盘边缘 上分别绕有轻质细绳，细绳下端各悬挂质量为m的物体A和 B，这一系统从静止开始运动,绳与盘无相对滑动且长度不 变。已知小圆盘的半径为r，质量为m；大圆盘的半径 r’=2r，质量m’ = 2m 。 求：组合轮的角加速度的大小。
加速


z
r

减速
v
转动平面
(5)刚体定轴转动运动方程
d (t )dt
0 (t )dt
0 (t )dt
0
0 t
t
d (t )dt
匀速转动 =常量 0 t
匀变速转动 =常量
1 2 0 0 t t 2 2 2 0 2（ 0）