一元二次方程与图像

5.9用图像法解一元二次方程（006）

设计人：初三备课组

一、学习目标：

1、 探索抛物线与x 轴的交点横坐标和一元二次方程的根的关系，体会方程与函数的密切关系。

2、 学会用图像法求一元二次方程近似根。

3、 学会运用二次函数2

y ax bx c =++的图像与x 轴交点的个数和一元二次方程

20ax bx c ++=的根的判别式之间的关系。

二、学习重点和难点：

应用一元二次方程根的判别式，及求根公式，来对二次函数及其图象进行进一步的理解．此点一定要结合二次函数的图象加以记忆．

三、学习过程：

（一）情景再现：

如图，以40m/s 的速度将小球沿与地面成30º角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h 与飞行时间之间的关系式为2

2050h t t =-。 回答下列问题：

① 球的飞行高度能否到达15m ？如果能，需飞行多长时间？ ② 球的飞行高度能否到达20m ？如果能，需飞行多长时间？ ③ 球的飞行高度能否达到20.5m ？为什么？ ④ 球从飞出到落地需要多长时间？

（二）探求新知：

观察抛物线2

23y x x =--，回答问题：

① 抛物线与x 轴有几个公共点？交点的坐标分别是什么？ ② 当x 取何止时，函数2

23y x x =--的值为0？

③ 一元二次方程2

230x x --=有没有根？如果有，求出根。

（三）议一议：

在同一坐标系中画出二次函数y=x 2+2x,y=x 2-2x+1,y=x 2-2x+2的图象并回答下列问题： (1).每个图象与x 轴有几个交点？

(2).一元二次方程? x 2+2x=0,x 2-2x+1=0有几个根?验证一下一元二次方程x 2-2x+2=0有根吗? (3).二次函数y=ax 2+bx+c 的图象和x 轴交点的坐标与一元二次方程ax 2+bx+c=0的根有什么关系?

（四）对应练习：

1、用图像法讨论一元二次方程2

230x x -+=的根。

2、用图像法讨论一元二次方程21

04

x x -+

=的根。

3 用图像法讨论一元二次方程y=2x 2-5x+3的根。

课堂小结：二次函数 y =ax 2+bx +c 的图象和x 轴交点的三种情况与一元二次方程根的关系：

二次函数y =ax 2+bx +c 的图象和x 轴交点 一元二次方程

ax 2+bx +c= 0的根

一元二次方程

ax 2+bx +c= 0根的判别式

Δ=b 2-4ac

（五）当堂训练：

1、二次函数2

y ax bx c =++的图像与x 轴的公共点的个数有三种情况： ， ， 。当2

y ax bx c =++的图像与x 轴有公共点时，公共点的横坐标是一元二次方程2

0ax bx c ++=的 。 2．抛物线y=a （x －2）（x ＋5）与x 轴的交点坐标为 ．

3．已知抛物线的对称轴是x=－1，它与x 轴交点的距离等于4，它在y 轴上的截距是－6，则它的表达式为

．

4．若a ＞0，b ＞0，c ＞0，△＞0，那么抛物线y=ax 2

＋bx ＋c 经过 象限．

5．抛物线y=2x 2

＋8x ＋m 与x 轴只有一个交点，则m=

．

6．已知抛物线y=ax 2

＋bx ＋c 的系数有a －b ＋c=0，则这条抛物线经过点 ． 7．二次函数y=kx 2

＋3x －4的图象与x 轴有两个交点，则k 的取值范围

．

8．抛物线y=3x 2

＋5x 与两坐标轴交点的个数为（ ）

A ．3个

B ．2个

C ．1个

D ．无

9．如图1所示，函数y=ax 2

－bx ＋c 的图象过（－1，0），则b a c a c b c b a +++++的值是（ ）

A ．－3

B ．3

C ．21

D ．－21

10．已知二次函数y=ax 2

＋bx ＋c 的图象如图2所示，则下列关系正确的是（ ）

A ．0＜－a b 2＜1

B ．0＜－a b 2＜2

C ．1＜－a b 2＜2

D ．－a

b

2=1

【挑战自我】

已知抛物线y=x 2

－（k ＋1）x ＋k ．（1）试求k 为何值时，抛物线与x 轴只有一个公共点；（2）如

图，若抛物线与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴的负半轴交于点C ，试问：是否存在实数k ，使△AOC 与△COB 相似？若存在，求出相应的k 值；若不存在，请说明理由．