新北师大版八年级数学上册勾股定理专题训练一对一辅导

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北师大版八年级上册数学课后辅导专练：1.1 探索勾股定理练习2

1.1探索勾股定理优化设计勾股定理是平面几何中的一个重要定理，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，把形的特征——三角形中一个角是直角，转化成数量关系——三边之间满足222b a c +=。

利用它可以解决直角三角形中的许多计算问题，是解直角三角形的主要根据之一。

它在理论上有重要的地位，在实际中有很大的用途，因而这一节课的教学就显得相当重要。

对“勾股定理”的教学，笔者做如下的设计：一、复习性导语，自然引入(时间：7—8分钟)我们知道，任意三角形的三条边必须满足定理：三角形的两边之和大于第三边。

对于等腰三角形和等边三角形的边，除满足三边关系定理外，它们还分别存在着两边相等和三边相等的特殊关系。

那么对于直角三角形的边，除满足三边关系定理外，它们之间也存在着特殊的关系，这就是我们这一节要研究的问题：勾股定理。

这一段导语的目的是，既复习旧知识：三角形两边之和大于第三边，又很自然地引出新问题：勾股定理。

这时，让学生带着问题去阅读课文的第一、二自然段。

二、拼图证明，直观易懂(时间：13—15分钟)勾股定理的证明方法很多，采用哪种方法直观易懂地使定理得到证明，是本节课教学的难点，为解决这个难点，我们设计这样一则填空题：用两直角边是a 、b ，斜边是c 的四个全等直角三角形拼成图1。

观察图形并思考、填空：1．拼成的图中有_______个正方形，______个直角三角形。

2．图中大正方形的边长为_______，小正方形的边长为_______。

3．图中大正方形的面积为_______，小正方形的面积为_______，四个直角三角形的面积为_______。

4．从图中可以看到大正方形的面积等于小正方形的面积与四个直角三角形的面积之和，于是可列等式为_______，将等式化简、整理，得_______。

学生讨论、回答，教师及时点拨，并适时引导，使学生正确地完成填空题。

对于勾股定理的证明，我们没有采用教师讲解的方法去完成，而是设计了一组思考填空题，让学生在思考、填空的过程中完成该定理的证明。

北师大版八年级勾股定理一对一教案

勾股定理授课老师：沈龙学生：时间：20XX年月日课程大纲：一、认识勾股定理，简单的掌握勾股定理的基本内容二、勾股定理的逆定理的基本含义三、什么叫做勾股数？四、勾股定理的基本应用课程讲解考点一：勾股定理的认识与掌握一、勾股定理的发现过程2000年前，古希腊著名的哲学家、数学家毕达哥拉斯发现这个定理的。

那么毕达哥拉斯究竟发现了怎样的现象呢？那么你能从这里面发现怎样的关系呢？三个正方形的面积有怎样的关系呢/下图中的各组图形面积之间都有上述的结果吗？那么，在上面的图形中我们除了看见正方形以外，你能看见其他的图形吗？你能用的边长表示几个正方形之间的面积关系么？好了，我们知道了在种图形中存在着我们所能找到的这种关系，那在其他的图形中式否也存在着类似的关系呢？问题一：请分别计算出图中正方形A、B、C的面积，看看能得出什么结论？问题2：如果用a,b,c分别表示三个正方形的边长，三者之间的面积关系如何表示？由三个正方形所搭成的直角三角形三边存在怎样的关系？在网格纸上画出直角边长分别为1.6个单位长度和2.4个单位长度的直角三角形，上面所猜想的数量关系还成立吗？说说你的理由。

那么，我们所猜想的这个定律在锐角三角形和钝角三角形中是否是成立的呢？勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a、b , 斜边为c，那么a2+b2=c2随堂练习：1 在Rt△ABC中，∠C=90°(1)已知：a=6, b=8，求c(2)已知：b=5，c=13，求a2 在Rt△ABC中，已知：∠A=30°，a=2，求b,c;3 判断正误，并指出为什么？（1）△ABC的两边为3和4，求第三边解：由于三角形的两边为3和4，所以它的第三边c为5。

（2）若已知△ABC为直角三角形，则第三边为54 有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？考点二：勾股定理的逆定理及勾股数1 如果三角形的三边长为c b a ,,，满足222c b a =+，那么，这个三角形是直角三角形．利用勾股定理的逆定理判别直角三角形的一般步骤： ①先找出最大边（如c ）②计算2c 与22a b +，并验证是否相等。

北师大版初中数学八年级上册知识讲解,巩固练习(教学资料,补习资料)：第一章勾股定理(提高)

第一章勾股定理（提高）勾股定理（提高）【学习目标】1．掌握勾股定理的内容，了解勾股定理的多种证明方法，体验数形结合的思想； 2．能够运用勾股定理求解三角形中相关的边长（只限于常用的数）；3．通过对勾股定理的探索解决简单的实际问题，进一步运用方程思想解决问题．【要点梳理】要点一、勾股定理直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么．要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系．（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的．（3）理解勾股定理的一些变式：，，．要点二、勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形．图（1）中，所以．方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形．图（2）中，所以．a b ，c 222a b c +=222a c b =-222b c a =-()222c a b ab =+-方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形．，所以．要点三、勾股定理的作用1. 已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；2. 用于解决带有平方关系的证明问题； 3．与勾股定理有关的面积计算； 4．勾股定理在实际生活中的应用．【典型例题】类型一、与勾股定理有关的证明1、在△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 延长线上的点，求证：【答案与解析】证明：作等腰三角形底边上的高AE ∵AB=AC ，AE ⊥BC∴BE=EC,∠AEB=∠AEC=90°∴【总结升华】解决带有平方关系的问题，关键是找出直角三角形，利用勾股定理进行转化，若没有直角三角形，常常通过作垂线构造直角三角形，再利用勾股定理解题．类型二、与勾股定理有关的线段长2、如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠ABC=90°，D 为AC 边上中点，过D 点作DE 丄DF ，交AB 于E ，交BC 于F ，若AE=4，FC=3，求EF 长．【答案与解析】222222()()AD AB AE DE AE BE -=+-+2222AE DE AE BE =+--22DE BE =-()()DE BE DE BE =+-BD CD =解：连接BD ，∵等腰直角三角形ABC 中，D 为AC 边上中点， ∴BD ⊥AC （三线合一），BD=CD=AD ，∠ABD=45°， ∴∠C=45°， ∴∠ABD=∠C ，又∵DE 丄DF ，∴∠FDC+∠BDF=∠EDB+∠BDF ， ∴∠FDC=∠EDB ，在△EDB 与△FDC 中， ∵，∴△EDB ≌△FDC （ASA ）， ∴BE=FC=3，∴AB=7，则BC=7， ∴BF=4，在Rt △EBF 中， EF 2=BE 2+BF 2=32+42， ∴EF=5．【总结升华】此题考查的知识点是勾股定理及全等三角形的判定，关键是由已知先证三角形全等，求得BE 和BF ，再由勾股定理求出EF 的长．举一反三：【变式】（2018春•天津校级期中）如图，∠C=30°，PA ⊥OA 于A ，PB ⊥OB 于B ，PA=2，PB=11，求OP 的长．【答案】解：∵PA ⊥OA ，∠C=30°，∴PC=2PA=4，∴BC=BP+PC=11+4=15， ∵PB ⊥OB ，∠C=30°，设OB=x ，则OC=2x ，在Rt △BOC 中，由勾股定理得：x +15=（2x ），解得，即，222∴OP===14．类型三、与勾股定理有关的面积计算3、（2018•丰台区二模）问题背景：在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为，3，，求这个三角形的面积．小军同学在解答这道题时，先建立了一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需要求出△ABC的高，借用网格就能计算出它的面积．（1）请你直接写出△ABC的面积；思维拓展：（2）如果△MNP三边的长分别为，2，，请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为1）画出相应的格点△MNP，并直接写出△MNP的面积．【思路点拨】（1）根据图形得出S△ABC=S矩形MONC﹣S△CMA﹣S△AOB﹣S△BNC，根据面积公式求出即可；（2）先画出符合的三角形，再根据图形和面积公式求出即可．【答案与解析】解：（1）△ABC的面积是4.5，理由是：S△ABC=S矩形MONC﹣S△CMA﹣S△AOB﹣S△BNC=4×3﹣×4×1﹣×2×1﹣×3×3=4.5，故答案为：4.5；（2）如图2的△MNP，S△MNP=S矩形MOAB﹣S△MON﹣S△PAN﹣S△MBP=5×3﹣×5×1﹣×2×4﹣×3×1=7，即△MNP的面积是7．【总结升华】本题考查了勾股定理和三角形的面积公式的应用，解此题的关键是能正确画出格点三角形，难度不是很大．举一反三：【变式】如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是4、6、3、4，则最大正方形E的面积是（）A．17B．36C．77D．94【答案】C类型四、利用勾股定理解决实际问题4、（2019•贵阳模拟）一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米到A′，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？【思路点拨】（1）利用勾股定理直接得出AB的长即可；（2）利用勾股定理直接得出BC′的长，进而得出答案．【答案与解析】解：（1）由题意得：AC=25米，BC=7米，AB==24（米），答：这个梯子的顶端距地面有24米；（2）由题意得：BA ′=20米， BC ′==15（米），则：CC ′=15﹣7=8（米），答：梯子的底端在水平方向滑动了8米．【总结升华】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练利用勾股定理是解题关键．举一反三：【变式】如图①，有一个圆柱，它的高等于12，底面半径等于3，在圆柱的底面A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点的食物，需要爬行的最短路程是多少?(π取3)【答案】解：如图②所示，由题意可得：，在Rt △AA ′B 中，根据勾股定理得：则AB ＝15．所以需要爬行的最短路程是15．勾股定理（提高）【巩固练习】一．选择题1．如图，△ABC 中，D 为AB 中点，E 在AC 上，且BE ⊥AC ．若DE=10，AE=16，则BE 的长度为（）A ．10B ．11C ．12D ．13cmcm 12AA '=12392A B π'=⨯⨯=22222129225AB AA A B ''=+=+=cm cm2. （2019•漳州）如图，△ABC 中，AB=AC=5,BC=8，D 是线段BC 上的动点（不含端点B 、C ）.若线段AD 长为正整数，则点D 的个数共有（）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个3．如图，长方形AOBC 中，AO=8，BD=3，若将矩形沿直线AD 折叠，则顶点C 恰好落在边OB 上E 处，那么图中阴影部分的面积为（）A.30 B ．32 C ．34 D ．164．如图，已知△ABC 中，∠ABC ＝90°,AB ＝BC ，三角形的顶点在相互平行的三条直线，，上，且，之间的距离为2 , ，之间的距离为3 ,则的值是（）A ．68B ．20C ．32D ．475．在△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12,则△ABC 的周长为（） A ．42 B ．32 C ．42或32 D ．37或33 6．（2018•烟台）如图，正方形ABCD 的边长为2，其面积标记为S 1，以CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S 2，…按照此规律继续下去，则S 2018的值为（）1l 2l 3l 1l 2l 2l 3l 2ACA ．B ．C ．D ．二．填空题7．若一个直角三角形的两边长分别为12和5，则此三角形的第三边的平方为______． 8．将一根长为15cm 的很细的木棒置于底面直径为5cm ，高为12cm 的圆柱形杯中，木棒露在杯子外面的部分长度x 的范围是． 9．如图，在的正方形网格中，以AB 为边画直角△ABC ，使点C 在格点上，这样的点C 共个．10．（2019•黄冈校级自助招生）如图，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形较短的直角边长为a ，较长的直角边长为b ，那么（a+b ）2的值是 _________ ．11．已知长方形ABCD ，AB ＝3，AD ＝4，过对角线BD 的中点O 做BD 的垂直平分线EF ，分别交AD 、BC 于点E 、F ，则AE 的长为_______________．12．（2018春•召陵区期中）如图，在四边形ABCD 中，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，∠B=90°，那么四边形ABCD 的面积是．三．解答题 13．（2018•青岛模拟）如图，∠MON=90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM ，ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在边OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，求运动过程中，点D 到点O 的最大距离．20122⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭20132⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭201212⎛⎫⎪⎝⎭201312⎛⎫ ⎪⎝⎭55⨯cmcm14．现有10个边长为1的正方形，排列形式如左下图, 请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：在左下图中用实线画出分割线, 并在右下图的正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．15．由于过度采伐森林和破坏植被，我国部分地区频频遭受沙尘暴的侵袭．近日，A 城气象局测得沙尘暴中心在A 城的正西方向240km 的B 处，以每时12km 的速度向北偏东60°方向移动，距沙尘暴中心150km 的范围为受影响区域．（1）A 城是否受到这次沙尘暴的影响？为什么？（2）若A 城受这次沙尘暴影响，那么遭受影响的时间有多长？【答案与解析】一．选择题1. 【答案】C 【解析】∵BE ⊥AC ，∴△AEB 是直角三角形，∵D 为AB 中点，DE=10，∴AB=20，∵AE=16，,所以BE=12.2. 【答案】C 【解析】过点A 作AE ⊥BC,则由勾股定理得AE=3，点D 是线段BC 上的动点（不含端点B 、C ）.所以3≤AD ＜5，AD=3或4，共有3个符合条件的点. 3．【答案】A 【解析】由题意CD ＝DE ＝5，BE ＝4，设OE ＝，AE ＝AC ＝，所以，222144BE AB AE =-=x 4x +()22284x x +=+，阴影部分面积为．4．【答案】A【解析】如图，分别作CD ⊥交于点E ，作AF ⊥，则可证△AFB ≌△BDC ，则AF ＝3＝BD, BF ＝CD ＝2＋3＝5，∴DF ＝5＋3＝8＝AE ，在直角△AEC 中，勾股定理得．5．【答案】C【解析】高在△ABC 内部，第三边长为14；高在△ABC 外部，第三边长为4，故选C ． 6．【答案】C【解析】解：根据题意：第一个正方形的边长为2；第二个正方形的边长为：；第三个正方形的边长为：，…第n 个正方形的边长是，所以S 2018的值是（）2012，故选C. 二．填空题 7．【答案】169或119；【解析】没有指明这两边为直角边，所以要分类讨论，12也可能是斜边． 8．【答案】2cm≤x≤3cm；【解析】由题意可知BC=5cm ，AC=12cm ，AB=13cm ．当木棒垂直于底面时露在杯子外面的部分长度最长为，15-AC=15-12=3cm ，当木棒与AB 重合时露在杯子外面的部分长度最短为15-AB=15-13=2cm.9．【答案】8；【解析】如图所示：有8个点满足要求．6x =1168433022⨯⨯+⨯⨯=3l 2l 3l 2228+2=68AC =10．【答案】25；【解析】根据题意，结合勾股定理a 2+b 2=13，四个三角形的面积=4×ab=13﹣1，∴2ab=12，联立解得：（a+b ）2=13+12=25． 11．【答案】；【解析】连接BE ，设AE ＝，BE ＝DE ＝，则，． 12．【答案】36.【解析】解：∵∠ABC=90°，AB=3，BC=4，∴AC===5，在△ACD 中，AC 2+CD 2=25+144=169=AD 2， ∴△ACD 是直角三角形， ∴S 四边形ABCD =AB •BC+AC •CD =×3×4+×5×12 =36．故答案是：36．三．解答题 13．【解析】解：如图，取AB 的中点E ，连接OE 、DE 、OD ，∵OD≤OE+DE ，∴当O 、D 、E 三点共线时，点D 到点O 的距离最大，此时，∵AB=2，BC=1，∴OE=AE=AB=1， DE===，∴OD 的最大值为：+1．78cm x 4x -()22234x x +=-78x =14．【解析】解：如图所示：15．【解析】∴A城受沙尘暴影响的时间为15小时.勾股定理的逆定理（提高）【学习目标】1. 理解勾股定理的逆定理，并能与勾股定理相区别；2. 能运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形；3. 理解勾股数的含义；4. 通过探索直角三角形的判定条件的过程，培养动手操作能力和逻辑推理能力. 【要点梳理】要点一、勾股定理的逆定理如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.要点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形（1）首先确定最大边（如）.（2）验证与是否具有相等关系.若，则△ABC 是∠C ＝90°的直角三角形；若，则△ABC 不是直角三角形.要点诠释：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.要点三、勾股数满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：① 3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……如果是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.要点诠释：（1）（是自然数）是直角三角形的三条边长；（2）（是自然数）是直角三角形的三条边长；（3）（是自然数）是直角三角形的三条边长；【典型例题】类型一、勾股定理的逆定理1、（2019春•咸丰县月考）如图所示，在△ABC 中，AB ：BC ：CA=3：4：5，且周长为36cm ，点P 从点A 开始沿AB 边向B 点以每秒1cm 的速度移动；点Q 从点B 沿BC 边向点C 以每秒2cm 的速度移动，如果同时出发，则过3秒时，△BPQ 的面积为多少 cm 2.a b c ，，222a b c +=c 2c 22a b +222c a b =+222c a b ≠+222a b c +<222a b c +>c 222x y z +=x y z 、、a b c 、、t at bt ct 、、22121n n n -+，，1,n n >2222,21,221n n n n n ++++n 2222,,2m n m n mn -+,m n m n >、【思路点拨】本题先设适当的参数求出三角形的三边，由勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形．再求出3秒后的BP，BQ的长，利用三角形的面积公式计算求解．【答案与解析】解：设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm，∵周长为36cm，AB+BC+AC=36cm，∴3x+4x+5x=36，得x=3，∴AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm，∵AB2+BC2=AC2，∴△ABC是直角三角形，过3秒时，BP=9﹣3×1=6（cm），BQ=2×3=6（cm），∴S△PBQ=BP•BQ=×（9﹣3）×6=18（cm2）．故过3秒时，△BPQ的面积为18cm2．【总结升华】本题是道综合性较强的题，需要学生把勾股定理的逆定理、三角形的面积公式结合求解．由勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形，是解题的关键．隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．2、如图，点D是△ABC内一点，把△ABD绕点B顺时针方向旋转60°得到△CBE，若AD=4，BD=3，CD=5．（1）判断△DEC的形状，并说明理由；（2）求∠ADB的度数．【思路点拨】把△ABD绕点B顺时针方向旋转60°，注意旋转只是三角形的位置变了，三角形的边长和角度并没有变，并且旋转的角度60°，因此出现等边△BDE，从而才能更有利的判断三角形的形状和求∠ADB的度数．【答案与解析】解：（1）根据图形的旋转不变性，AD=EC ，BD=BE ，又∵∠DBE=∠ABC=60°，∴△ABC 和△DBE 均为等边三角形，于是DE=BD=3，EC=AD=4，又∵CD=5，∴DE 2+EC 2=32+42=52=CD 2；故△DEC 为直角三角形．（2）∵△DEC 为直角三角形， ∴∠DEC=90°，又∵△BDE 为等边三角形， ∴∠BED=60°，∴∠BEC=90°+60°=150°，即∠ADB=150°．【总结升华】此题考查了旋转后图形的不变性、全等三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理的逆定理等知识，综合性较强，是一道好题．解答（2）时要注意运用（1）的结论．举一反三：【变式】如图所示，在△ABC 中，已知∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，P 是△ABC 内一点，且PA ＝3，PB ＝1，PC ＝CD ＝2，CD ⊥CP ，求∠BPC 的度数．【答案】解：连接BD ．∵ CD ⊥CP ，且CD ＝CP ＝2，∴ △CPD 为等腰直角三角形，即∠CPD ＝45°． ∵ ∠ACP+∠BCP ＝∠BCP+∠BCD ＝90°， ∴ ∠ACP ＝∠BCD ． ∵ CA ＝CB ，∴ △CAP ≌△CBD(SAS)， ∴ DB ＝PA ＝3．在Rt △CPD 中，．又∵ PB ＝1，则．∵ ，∴ ，∴ △DPB 为直角三角形，且∠DPB ＝90°， ∴ ∠CPB ＝∠CPD+∠DPB ＝45°+90°＝135°．类型二、勾股定理逆定理的应用22222228DP CP CD =+=+=21PB =29DB =22819DB DP PB =+=+=3、已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且满足，且a +b +c =12，请你探索△ABC 的形状．【答案与解析】解：令=k ． ∴a +4=3k ，b +3=2k ，c +8=4k ，∴a =3k ﹣4，b =2k ﹣3，c =4k ﹣8．又∵a +b +c =12，∴（3k ﹣4）+（2k ﹣3）+（4k ﹣8）=12， ∴k=3．∴a =5，b =3，c =4． ∴△ABC 是直角三角形．【总结升华】此题借用设比例系数k 的方法，进一步求得三角形的三边长，根据勾股定理的逆定理判定三角形的形状．举一反三：【变式】（2018春•渝中区校级月考）△ABC 的三边a 、b 、c 满足|a+b ﹣50|++（c﹣40）2=0．试判断△ABC 的形状是．【答案】直角三角形．解：∵|a+b ﹣50|++（c ﹣40）2=0，∴，解得，∵92+402=412，∴△ABC 是直角三角形．故答案为直角三角形．4、如图所示，MN 以左为我国领海，以右为公海，上午9时50分我国缉私艇A 发现在其正东方向有一走私艇C 并以每小时13海里的速度偷偷向我国领海开来，便立即通知距其5海里，并在MN 线上巡逻的缉私艇B 密切注意，并告知A 和C 两艇的距离是13海里，缉私艇B 测得C 与其距离为12海里，若走私艇C 的速度不变，最早在什么时间进入我国海域？438324a b c +++==438324a b c +++==【答案与解析】解：∵ ，∴ △ABC 为直角三角形．∴ ∠ABC ＝90°．又BD ⊥AC ，可设CD ＝，∴①－②得，解得．∴ ≈0.85(h)＝51(分)．所以走私艇最早在10时41分进入我国领海．【总结升华】（1）本题用勾股定理作相等关系列方程解决问题，（2）用勾股定理的逆定理判定直角三角形，为勾股定理的运用提供了条件．【巩固练习】一．选择题 1．（2019春•平武县校级月考）下列各组数中，可以构成勾股数的是（） A ．13，16，19B ．，，C ．18，24，36D ．12，35，372．（2018春•凉山州期末）△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别是a ，b ，c ，满足下列条件的△ABC ，不是直角三角形的是（）A.a ：b ：c=1：1 B.∠A ：∠B ：∠C=3：4：5 C.（a+b ）（a ﹣b ）=c D.∠A ：∠B ：∠C=1：2：322三角形，∠C=90°，则a 2+b 2=c 2．③若△ABC 中，a 2﹣b 2=c 2，则△ABC 是直角三角形．④222222251216913AB BC AC +=+===x 22222212,(13)5,x BD x BD ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩①②2216926119x x x -+-=14413x =1441441313169÷=25．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（）6．为直角三角形的三边，且为斜边，为斜边上的高，下列说法：①能组成一个三角形 ②能组成直角三角形 ③能组成直角三角形 ④三个内角的度数之比为3：4:5能组成一个三角形其中正确结论的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4 二．填空题7．若△ABC 中，，则∠B ＝____________．8．（2019春•罗定市期中）若△ABC 的三边长分别为x +1，x +2，x +3，要使此三角形成为直角三角形，则x= ．9．若一个三角形的三边长分别为1、、8(其中为正整数)，则以、、为边的三角形的面积为______． 10．△ABC 的两边分别为5，12，另一边为奇数，且是3的倍数，则应为______，此三角形为______． 11．（2018春•寿县期中）在某港口有甲乙两艘渔船，若甲沿北偏东60°方向以每小时8海里的速度前进，同时，乙船沿南偏东角度以每小时15海里速度前进，2小时后，甲乙两船相距34海里，那么，乙船航行的方向是南偏东___________度． 12．如果线段能组成一个直角三角形，那么________组成直角三角形．(填“能”或“不能”)．三．解答题 13．（2018秋•广州校级期末）如图，已知某经济开发区有一块四边形空地ABCD ，现计划在该空地上种植草皮，经测量∠A=90°，AB=300m ，AD=400m ，CD=1300m ，BC=1200m ．请计算种植草皮的面积．c b a ,,c h 222,,c b a 222111,,a b c hb a 1,1,1()()2b a b ac -+=a a 2a -a 2a +a b ，c a b c ++c a b c ，，2,2,2cb a14．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c．三角形的面积与周长的比值（2）若a+b﹣c=m，则猜想=（并证明此结论）．15．我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．（1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称正方形、长方形、直角梯形（任选两个均可）；（2）如图1，已知格点（小正方形的顶点）O（0，0），A（3，0），B（0，4），请你画出以格点为顶点，OA，OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB；（3）如图2，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，连接AD，DC，∠DCB=30度．求证：DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．【答案与解析】一．选择题1．【答案】D【解析】判断一组数是不是勾股数时，应先判断他们是否都是正整数，在验证他们平方间的关系，所以只有D项满足．2．【答案】B．3．【答案】A；sl【解析】由2n 2+2n+1＞2n 2+2n ，且2n 2+2n+1＞2n+1，得到2n 2+2n+1为最长的边，∵（2n+1）2+（2n 2+2n ）2=1+4n+8n 2+8n 3+4n 4，（2n 2+2n+1）2=1+4n+8n 2+8n 3+4n 4∴（2n+1）2+（2n 2+2n ）2=（2n 2+2n+1）2∴△ABC 为直角三角形． 4．【答案】C ；【解析】①c 不一定是斜边，故错误；④若△ABC 是直角三角形，c 不是斜边，则（a+b ）（a﹣b ）≠c 2，故错误． 5．【答案】C ；【解析】． 6．【答案】B ；【解析】因为，两边之和等于第三边，故不能组成一个三角形，①错误；因为，所以．又因为．得．两边同除以，得②正确；因为，所以③正确，360°×=150°，最大角并不是90°，所以④错误．二．填空题7．【答案】90°；【解析】由题意，所以∠B=90°．8．【答案】2；【解析】由题意得：（x +1）2+（x +2）2=（x +3）2，解得：x 1=2，x 2=﹣2（不合题意，舍去）. 9．【答案】24；【解析】∵7＜＜9，∴＝8． 10．【答案】13；直角三角形；【解析】7＜＜17． 11．【答案】30；【解析】解：由题意得：甲船的路程：AO=8×2=16，乙船的路程：BO=15×2=30，∵302+162=342， ∴∠AOB=90°，∵AO 是北偏东60°方向， ∴BO 是南偏东30°．故答案为：30．22222272425152025+=+=，222a b c +=222,,c b a ab ch =ab c h =222a b c +=22222a b a b h+=22a b 222111a b h +=2222222222222111a b c c a b a b a b c h h +⎛⎫⎛⎫⎛⎫+==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭512222b ac =+a a c12．【答案】能；【解析】设为斜边，则，两边同乘以，得，即．三．解答题13．【解析】解：连接BD ，在Rt △ABD 中，BD 2=AB 2+AD 2=3002+4002=5002，在△CBD 中，CD 2=13002，BC 2=12002，而12002+5002=13002，即BC 2+BD 2=CD 2，则∠DBC=90°，S 四边形ABCD =S △BAD +S △DBC AD •BD+BD •BC=360000m 2．答：种植草皮的面积是360000m 2．14．【解析】（1）解：∵S=×3×4=6，L=3+4+5=12，∴==，∴同理可得其他两空分别为1，；c 222c b a =+41222414141c b a =+222)2()2()2(c b a =+s l（2）；证明：∵a +b ﹣c =m ，∴a +b =m +c ，∴a 2+2ab +b 2=m 2+2mc +c 2，又∵a 2+b 2=c 2，∴2ab =m 2+2mc ，∴S==m （m +2c ）， ∴==． 15．【解析】（1）解：正方形、长方形、直角梯形．（任选两个均可）（2）解：答案如图所示．（3）证明：连接EC，∵△ABC ≌△DBE ，∴AC=DE ，BC=BE ，∵∠CBE=60°，∴EC=BC ，∠BCE=60°，∵∠DCB=30°，∴∠DCE=90°，∴DC 2+EC 2=DE 2，∴DC 2+BC 2=AC 2．即四边形ABCD 是勾股四边形．4s m l =2ab 12ab s l a b c =++1(2)4m m c m c c+++4m《勾股定理》全章复习与巩固（提高）【学习目标】1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法；2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题.【知识网络】【要点梳理】要点一、勾股定理1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（即：）2.勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：（1）已知直角三角形的两边，求第三边；（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；（3）解决与勾股定理有关的面积计算；（4）勾股定理在实际生活中的应用．要点二、勾股定理的逆定理1.勾股定理的逆定理如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.要点诠释：应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为；（2）验证：与是否具有相等关系：若，则△ABC 是以∠C 为90°的直角三角形；若时，△ABC 是锐角三角形；若时，△ABC 是钝角三角形．a b 、c 222a b c +=a b c 、、222a b c +=c 22a b +2c 222a b c +=222a b c +＞222a b c +＜2.勾股数满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.要点诠释：常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.如果()是勾股数，当t 为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：1.较小的直角边为连续奇数；2.较长的直角边与对应斜边相差1.3.假设三个数分别为，且，那么存在成立.（例如④中存在＝24＋25、＝40＋41等）要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.【典型例题】类型一、勾股定理及逆定理的应用1、如图所示，等腰直角△ABC 中，∠ACB ＝90°，E 、F 为AB 上两点(E 左F 右)，且∠ECF ＝45°，求证：.【思路点拨】由于∠ACB ＝90°，∠ECF ＝45°，所以∠ACE ＋∠BCF ＝45°，若将∠ACE 和∠BCF 合在一起则为一特殊角45°，于是想到将△ACE 旋转到△BCF 的右外侧合并，或将△BCF 绕C 点旋转到△ACE 的左外侧合并，旋转后的BF 边与AE 边组成一个直角，联想勾股定理即可证明．【答案与解析】解：(1)，理由如下：将△BCF 绕点C 旋转得△ACF′，使△BCF 的BC 与AC 边重合，即△ACF′≌△BCF ，∵ 在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，∴ ∠CAF′＝∠B ＝45°，∴ ∠EAF′＝90°．∵ ∠ECF ＝45°，∴ ∠ACE ＋∠BCF ＝45°．∵ ∠ACF′＝∠BCF ，∴ ∠ECF′＝45°． 222x y z +=x y z 、、a b c 、、at bt ct 、、a b c 、、a b c <<2a b c =+2729222AE BF EF +=222AE BF EF +=在△ECF 和△ECF′中∴ △ECF ≌△ECF′(SAS)，∴ EF ＝EF′．在Rt △AEF′中，，∴ ．【总结升华】若一个角的内部含有同顶点的半角，(如平角内含直角，90°角内含45°角，120°角内含60°角)，则常常利用旋转法将剩下的部分拼接在一起组成又一个半角，然后利用角平分线、全等三角形等知识解决问题．举一反三：【变式】已知凸四边形ABCD 中，∠ABC ＝30°，∠ADC ＝60°，AD ＝DC ，求证：.【答案】解：将△ABD 绕点D 顺时针旋转60°．由于DC ＝AD ，故点A 转至点C ．点B 转至点E ，连结BE ．∵ BD ＝DE ，∠BDE ＝60°∴ △BDE 为等边三角形，BE ＝BD易证△DAB ≌△DCE ，∠A ＝∠2，CE ＝AB∵ 四边形ADCB 中∠ADC ＝60°，∠ABC ＝30°∴ ∠A ＋∠1＝360°－60°－30°＝270°∴ ∠1＋∠2＝∠1＋∠A ＝270°∴ ∠3＝360°－(∠1＋∠2)＝90°∴∴2、如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，P 是△ABC 内的一点，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC 的度数．45CE CE ECF ECF CF CF =⎧⎪'∠=∠=⎨⎪'=⎩°222AE F A F E ''+=222AE BF EF +=222BD AB BC =+222BC CE BE +=222BC AB BD +=【答案与解析】解：如图，做∠ECB=∠PCA ，且使CE=CP ，连结EP ，EB在△APC 和△BEC 中∴△APC ≌△BEC∴△PCE 为等腰直角三角形∴∠CPE=45°，PE 2=PC 2+CE 2=8又∵PB 2=1，BE 2=9∴PE 2+ PB 2= BE 2则∠BPE=90°∴∠BPC=135°【总结升华】本题考查了勾股定理的逆定理，通过观察所要求的角度，作出辅助线，把PA 、PB 、PC 的长度转化为一个三角形三条边，构造出直角三角形是解题的关键，当然此题也可以利用旋转的思想来解，即将△APC 绕点C 旋转，使CA 与CB 重合即△APC ≌△BEC. 类型二、勾股定理及逆定理的综合应用3、（2019春•丰城市期末）如图，已知四边形ABCD 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD 的面积．【思路点拨】连接AC ，在直角三角形ABC 中，由AB 及BC 的长，利用勾股定理求出AC 的长，再由AD 及CD 的长，利用勾股定理的逆定理得到三角形ACD 为直角三角形，根据四边形ABCD 的面积=直角三角形ABC 的面积+直角三角形ACD 的面积，即可求出四边形的面积．【答案与解析】解：连接AC ，如图所示：∵∠B=90°，∴△ABC 为直角三角形，又∵AB=3，BC=4，∴根据勾股定理得：AC 2=25，又∵CD=12，AD=13，∴AD 2=132=169，CD 2+AC 2=122+52=144+25=169，∴CD 2+AC 2=AD 2，∴△ACD 为直角三角形，∠ACD=90°，则S 四边形ABCD =S △ABC +S △ACD =AB •BC +AC •CD=×3×4+×5×12=36．故四边形ABCD 的面积是36． PCA ECB AC BC PC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩【总结升华】此题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理及勾股定理的逆定理是解本题的关键．4、如图：正方形ABCD 中，E 是DC 中点，F 是EC 中点.求证：∠BAF=2∠EAD.【答案与解析】证明：取BC 中点G ，连结AG 并延长交DC 延长线于H∵ ∠ABG=∠HCG ，BG=CG ，∠AGB=∠HGC∴ △GAB ≌△HCG∴ ∠GAB=∠H ，AB=CH又∵ AB=AD ，∠B=∠D ，BG=DE∴ △ABG ≌△ADE∴ ∠GAB=∠DAE在中，设，由勾股定理得：∴ AF=HF∴ ∠FAH=∠H∴ ∠FAH=∠DAE∴ ∠BAF=2∠DAE【总结升华】要证∠BAF=2∠EAD ，一般方法是在∠BAF 中取一个角使之等于∠EAD ，再证明另一个角也等于∠EAD ，另一种方法是把小角扩大一倍，看它是否等于较大的角. 举一反三：【变式】（2018春•防城区期末）如图所示，在△ABC 中，AB ：BC ：CA=3：4：5，且周长为36cm ，点P 从点A 开始沿边向B 点以每秒1cm 的速度移动；点Q 从点B 沿BC 边向点C 以每秒2cm 的速度移动，如果同时出发，问过3秒时，△BPQ 的面积为多少？Rt ADF △AD a =222222325()41654AF AD DF a a a AF a =+=+==∴【答案】解：设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm，∵周长为36cm，AB+BC+AC=36cm，∴3x+4x+5x=36，得x=3，∴AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm，∵AB2+BC2=AC2，∴△ABC是直角三角形，过3秒时，BP=9﹣3×1=6（cm），BQ=2×3=6（cm），∴S△PBQ=BP•BQ=×（9﹣3）×6=18（cm2）．故过3秒时，△BPQ的面积为18cm2．类型三、勾股定理的实际应用5、如图所示，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC＝400米，BD＝200米，CD＝800米，牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家．试问在何处饮水，所走路程最短？最短路程是多少？【思路点拨】作点A关于直线CD的对称点G，连接GB，交CD于点E，利用“两点之间线段最短”可知应在E处饮水，再根据对称性知GB的长为所走的最短路程，然后构造直角三角形，利用勾股定理可解决．【答案与解析】解：作点A关于直线CD的对称点G，连接GB交CD于点E，由“两点之间线段最短”可以知道在E点处饮水，所走路程最短．说明如下：在直线CD 上任意取一异于点E 的点I ，连接AI 、AE 、BE 、BI 、GI 、GE ．∵ 点G 、A 关于直线CD 对称，∴ AI ＝GI ，AE ＝GE ．由“两点之间线段最短”或“三角形中两边之和大于第三边”可得GI ＋BI ＞GB ＝AE ＋BE ，于是得证．最短路程为GB 的长，自点B 作CD 的垂线，自点G 作BD 的垂线交于点H ，在直角三角形GHB 中，∵ GH ＝CD ＝800，BH ＝BD ＋DH ＝BD ＋GC ＝BD ＋AC ＝200＋400＝600，∴ 由勾股定理得．∴ GB ＝1000，即最短路程为1000米．【总结升华】这是一道有关极值的典型题目．解决这类题目，一方面要考虑“两点之间线段最短”；另一方面，证明最值，常常另选一个量，通过与求证的那个“最大”“最小”的量进行比较来证明，如本题中的I 点．本题体现了勾股定理在实际生活中的应用．举一反三：【变式】如图所示，正方形ABCD 的AB 边上有一点E ，AE ＝3，EB ＝1，在AC 上有一点P ，使EP ＋BP 最短．求EP ＋BP 的最小值．【答案】解：根据正方形的对称性可知：BP ＝DP ，连接DE ，交AC 于P ，ED ＝EP ＋DP ＝EP ＋BP ，即最短距离EP ＋BP 也就是ED ．∵ AE ＝3，EB ＝1，∴ AB ＝AE ＋EB ＝4，∴ AD ＝4，根据勾股定理得：．∵ ED ＞0，∴ ED ＝5，∴ 最短距离EP ＋BP ＝5．222228006001000000GB GH BH =+=+=222223425ED AE AD =+=+=。

2022-2023学年北师大版八年级数学上册《第1章勾股定理》解答题专题提升训练(附答案)

2022-2023学年北师大版八年级数学上册《第1章勾股定理》解答题专题提升训练（附答案）1．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB交AB于点E，已知CD＝6，AD＝10．（1）求线段AE的长；（2）求△ABC的面积．2．定义：如果一个三角形中有两个内角α，β满足α+2β＝90°，那我们称这个三角形为“近直角三角形”．（1）若△ABC是近直角三角形，∠B＞90°，∠C＝50°，则∠A＝．（2）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，若CD是∠ACB的平分线．①求证：△BDC为近直角三角形．②求BD的长．3．如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形ABCD），经测量，在四边形ABCD中，AB＝3m，BC＝4m，AD＝13m，∠B＝∠ACD＝90°．小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米100元，试问铺满这块空地共需花费多少元？4．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，若点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）若点P在AC上，且满足P A＝PB时，求此时t的值；（2）若点P恰好在∠BAC的平分线上，求t的值．5．如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝12，BC＝16，CD＝21，AD＝29，点E是AD的中点，求CE的长．6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝5cm，点P为CB边上一动点，当动点P沿CB从点C向点B运动时，△APC的面积发生了变化．设CP长为xcm，△APC 的面积为ycm2．（1）求y与x的关系式；（2）当点P运动到BC的中点时，△APC的面积是多少？（3）若△APC的面积为8cm2，则CP的长为多少？7．数学之美，不仅是几何图形经过排列组合后呈现的炫美图案，还包括严谨推理引发的思维律动．已超过400种勾股定理的证明方法呈现的数学之美让我们陶醉，其中一种方法是：将两个全等的Rt△ABE和Rt△DEC如图所示摆放，使点A，E，D在同一条直线上，∠A＝∠D＝90°中，即可借助图中几何图形的面积关系来证明a2+b2＝c2．请写出证明过程．8．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，∠CBE＝45°，BE分别交AC，AD于点E、F，连接CF．（1）判断△BCF的形状，并说明理由；（2）若AF＝BC，求证：BF2+EF2＝AE2．9．如图，在△ABC中，D是边BC的中点，E是边AC的中点，连接AD，BE．（1）若CD＝8，CE＝6，AB＝20，求证：∠C＝90°；（2）若∠C＝90°，AD＝13，AE＝6，求△ABC的面积．10．如图，△ABC在正方形网格中，点A、B、C均在小方格的格点上，若小方格边长为1，请判断△ABC的形状，并说明理由．11．在一条东西走向的河流一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点D（A、D、B在同一条直线上），并新修一条路CD，测得CB＝6.5千米，CD ＝6千米，BD＝2.5千米．（1）求证：CD⊥AB；（2）求原来的路线AC的长；12．已知，△ABC中，BC＝8，AC＝6，AB＝10．（1）如图1，若点D是AB的中点，且∠B＝40°，求∠DCA的度数；（2）如图2，若点E是AB边上的动点，求线段CE的最小值．13．在一次“探究性学习”中，老师设计了如下数表：n23456…a22﹣132﹣142﹣152﹣162﹣1…b4681012…C22+132+142+152+162+1…（1）观察上表，用含n（n＞1，且n为整数）的代数式表示a，b，c，则a＝，b ＝，c＝．（2）在（1）的条件下判断：以a，b，c为边的三角形是否为直角三角形？证明你的结论．14．一棵高12m的大树被折断，折断处A距地面的距离AC＝4.5m（点B为大树顶端着地处）．在大树倒下的方向停着一辆小轿车，小轿车距大树底部C的距离CD为6.5m，点D 在CB的延长线上，求大树顶端着地处B到小轿车的距离BD．15．如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC＝CD，（1）求证：△BCE≌△DCF；（2）若AB＝21，AD＝9，BC＝CD＝10，求AC的长．16．如图是某设计师打造的一款项目的示意图，其BC段和垂直于地面的AB段均由不锈钢管材打造，两段总长度为26m，矩形CDEF是一木质平台的侧面示意图，测得CD＝1m，AD＝15m，求出AB段的长度．17．如图，旗绳AC自由下垂时，比旗杆AB长2米，如果将旗绳斜拉直，下端在地面上，距旗杆底部的距离BC＝6米，求旗杆AB的高度．18．为了测量如图风筝的高度CE，测得如下数据：①BD的长度为8米（注：BD⊥CE）；②放出的风筝线BC的长为17米；③牵线放风筝的同学身高为1.60米．（1）求风筝的高度CE．（2）若该同学想风筝沿CD方向下降9米，则他应该往回收线多少米？19．LED感应灯是一种通过感应模块自动控制光源点亮的一种新型智能照明产品．当人（或动物）移至LED灯一定距离时灯亮，人走开灯灭，给人们的生活带来了极大的方便．如图，有一个由传感器A控制的LED灯安装在门的上方，离地面高4.5m的墙壁上，当人移至距离该灯5m及5m以内时，灯就会自动点亮．请问：如果一个身高1.5m的人走到离门多远的地方，该灯刚好点亮？20．自2020年以来，安宁市建起了多个“口袋公园”，它们既美化了城市空间，又拓展了市民的公共活动场所，还体现着城市风貌和文化．如图，在某小区旁有一块四边形空地，其中∠B＝90°，AB＝20m，BC＝15m，AD＝24m，CD＝7m．（1）如图，连接AC，试求AC的长；（2）安宁市委、市政府计划将其打造为“口袋公园”，经测算，每平方米的费用为2000元，请你计算将这块地打造成“口袋公园”需要多少钱．参考答案1．解：（1）∵∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB交AB于点E，∴DE＝CD＝6，∴AE＝8；（2）设BC＝x，则BE＝x，AB＝8+x，在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，即162+x2＝（8+x）2，解得x＝12，即BC＝12，∴S＝96．2．解：（1）∠B不可能是α或β，当∠A＝α时，∠C＝β＝50°，α+2β＝90°，不成立；故∠A＝β，∠C＝α，α+2β＝90°，则β＝20°，故答案为：20°；（2）①如图1，设∠ACD＝∠DCB＝β，∠B＝α，则α+2β＝90°，故△BDC是“近直角三角形”；②如图2，过点D作DM⊥BC于点M，∵CD平分∠ACB，DM⊥BC，DA⊥CA，∴AD＝DM．在Rt△ACD和Rt△MCD中，，∴Rt△ACD≌Rt△MCD（HL）．∴AC＝CM＝4．∵AB＝3，AC＝4，∴BC＝5．∴BM＝1．设AD＝DM＝x，∵DM2+BM2＝DB2，∴x2+12＝（3﹣x）2，∴x＝，∴BD＝AB﹣AD＝3﹣＝．3．解：∵∠ACD＝90°，∴AC2+DC2＝AD2，由勾股定理得AC＝5m，∴DC＝12m，这块草坪的面积＝S Rt△ABC+S Rt△ACD＝AB•BC+AC•DC＝（3×4+5×12）＝36m2．故需要的费用为36×100＝3600元．答：铺满这块空地共需花费3600元．4．解：（1）如图1，P A＝PB，在Rt△ACB中，AC=8设AP＝t，则PC＝8﹣t，在Rt△PCB中，依勾股定理得：（8﹣t）2+62＝t2，解得，即此时t的值为；（2）分两种情况：①点P在BC上时，如图2所示：过点P作PE⊥AB，则PC＝t﹣8，PB＝14﹣t，∵AP平分∠BAC且PC⊥AC∴PE＝PC在△ACP与△AEP中，，∴△ACP≌△AEP（AAS），∴AE＝AC＝8，∴BE＝2，在Rt△PEB中，依勾股定理得：PE2+EB2＝PB2即：（t﹣8）2+22＝（14﹣t）2解得：；②点P又回到A点时，∵AC+BC+AB＝8+6+10＝24，∴t＝24；综上所述，点P在∠BAC的平分线上时，t的值为秒或24秒．5．解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，∵AB＝12，BC＝16，∴AC＝20，∵CD＝21，AD＝29，∵AC2+CD2＝202+212＝841，AD2＝841，∴AC2+CD2＝AD2，∴∠ACD＝90°，∴△ACD是直角三角形，∵点E是AD的中点，∴CE＝＝×29＝．6．解：（1），所以y与x的关系式为y＝2x；（2）当时，y＝5，所以点P运动到BC的中点时，△APC的面积为5cm2；（3）当y＝8时，2x＝8，解得x＝4，所以当△APC的面积为8cm2时，CP的长为4cm．7．证明：如图，连接BC，∵Rt△ABE≌Rt△DEC，∴∠AEB＝∠DCE，BE＝EC＝c，∵∠D＝90°，∴∠DCE+∠DEC＝90°，∴∠AEB+∠DEC＝90°，∴∠BEC＝90°，∴△BEC是等腰直角三角形，∵S梯形ABCD＝S Rt△ABE+S Rt△CDE+S Rt△BEC，∴，即∴，∴a2+b2＝c2．8．（1）解：△BCF为等腰直角三角形．理由：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∴AD垂直平分BC，∴BF＝CF，∴∠BCF＝∠CBF＝45°，∴∠CFB＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴△BCF为等腰直角三角形；（2）证明：在BF上取一点H，使BH＝EF，连接CH，在△CHB和△AEF中，，∴△CHB≌△AEF（SAS），∴AE＝CH，∠AEF＝∠BHC，∴∠CEF＝∠CHE，∴CE＝CH，∵BD＝CD，FD⊥BC，∴CF＝BF，∴∠CFD＝∠BFD＝45°，∴∠CFB＝90°，∴EF＝FH，Rt△CFH中，由勾股定理得：CF2+FH2＝CH2，∴BF2+EF2＝AE2．9．（1）证明：∵D是边BC的中点，E是边AC的中点，CD＝8，CE＝6，∴AC＝2CE＝12，BC＝2CD＝16，∵AB＝20，∴AB2＝AC2+BC2，∴△ABC是直角三角形，∴∠C＝90°；（2）解：∵E是边AC的中点，AE＝6，∴AC＝2AE＝12．在Rt△ACD中，∵∠C＝90°，AC＝12，AD＝13，∴CD＝5，∴BC＝2CD＝10，∴△ABC的面积＝AC•BC＝×12×10＝60．10．解：△ABC是直角三角形，理由：由图可得，∵AB2+AC2＝BC2，∴△ABC是直角三角形．11．（1）证明：∵CB＝6.5千米，CD＝6千米，BD＝2.5千米，62+2.52＝6.52，∴CD2+BD2＝CB2，∴△CDB为直角三角形，∴CD⊥AB；（2）解：设AC＝x千米，则AD＝（x﹣2.5）千米．∵CD⊥AB，∠ADC＝90°，∴CD2+AD2＝AC2，即62+（x﹣2.5）2＝x2，解得：x＝8.45．答：原来的路线AC的长为8.45千米．12．解：（1）在△ABC中，BC＝8，AC＝6，AB＝10，∴AC2+BC2＝62+82＝100，AB2＝102＝100，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∴∠ACB＝90°，∴∠B＝40°，∴∠A＝90°﹣∠B＝50°，∵点D是AB的中点，∴CD＝DA＝AB，∴∠A＝∠DCA＝50°，∴∠DCA的度数为50°；（2）如图：当CE⊥AB时，线段CE最小，∵△ABC的面积＝AB•CE＝AC•BC，∴AB•CE＝AC•BC，∴10CE＝6×8，∴CE＝4.8，∴线段CE的最小值为4.8．13．解：（1）观察上表，用含n（n＞1，且n为整数）的代数式表示a，b，c，则a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，故答案为：n2﹣1，2n，n2+1；（2）以a，b，c为边的三角形是直角三角形，证明：∵a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，∴a2＝（n2﹣1）2＝n4﹣2n2+1，b2＝（2n）2＝4n2，c2＝（n2+1）2＝n4+2n2+1，∴a2+b2＝n4﹣2n2+1+4n2＝n4+2n2+1，∴a2+b2＝c2，∴以a，b，c为边的三角形是直角三角形．14．解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，BC＝6（m），∴BD＝CD﹣BC＝0.5（m），∴大树顶端着地处B到小轿车的距离BD为0.5米．15．（1）证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，∴∠CFD＝90°，∠CEB＝90°（垂线的意义）CE＝CF（角平分线的性质）∵BC＝CD（已知）∴Rt△BCE≌Rt△DCF（HL）（2）解：由（1）得，Rt△BCE≌Rt△DCF∴DF＝EB，设DF＝EB＝X∵∠CFD＝90°，∠CEB＝90°，CE＝CF，AC＝AC∴Rt△AFC≌Rt△AEC（HL）∴AF＝AE即：AD+DF＝AB﹣BE∵AB＝21，AD＝9，DF＝EB＝x∴9+x＝21﹣x解得，x＝6在Rt△DCF中，∵DF＝6，CD＝10∴CF＝8∴Rt△AFC中，AC2＝CF2+AF2＝82+（9+6）2＝289∴AC＝17答：AC的长为17．16．解：延长FC交AB于点G，则CG⊥AB，AG＝CD＝1米，GC＝AD＝15米，设BG＝x米，则BC＝（26﹣1﹣x）米，在Rt△BGC中，∵BG2+CG2＝CB2，∴x2+152＝（26﹣1﹣x）2，解得x＝8，∴BA＝BG+GA＝8+1＝9（米），答：AB的长度长为9米．17．解：设旗杆的高度为x米，根据题意可得：（x+2）2＝x2+62，解得：x＝8．答：旗杆的高度为8米．18．解：（1）在Rt△CDB中，由勾股定理得，CD2＝BC2﹣BD2＝172﹣82＝225，所以，CD＝15（负值舍去），所以，CE＝CD+DE＝15+1.6＝16.6米，答：风筝的高度CE为16.6米；（2）由题意得，CM＝9，∴DM＝6，∴BM＝10，∴BC﹣BM＝7，∴他应该往回收线7米．9．解：AE＝AB﹣BE＝4.5﹣1.5＝3（m），AD＝5m．由勾股定理，得DE2＝AD2﹣AE2＝52﹣32＝16，所以DE＝4（m）．因此，当人走到离门4m的地方，该灯刚好点亮．20．解：（1）∵∠B＝90°，AB＝20m，BC＝15m，∴AC＝25（m），答：AC的长为25m；（2）∵AC2＝625，CD2＝49，AD2＝576，∴AC2＝CD2+AD2，∴△ACD是直角三角形，∠D＝90°，∴“口袋公园”的面积＝S△ABC+S△ACD＝AB×BC+×AD×CD＝+ 24×7＝234（m2），234×2000＝468000（元），答：将这块地打造成“口袋公园”需要468000元钱．。

北师大版初二上册数学第1章勾股定理全章重点习题练习课件

8．如图，点 E 在正方形 ABCD 内，满足∠AEB＝90°，AE＝6， BE＝8，则阴影部分的面积是( C ) A．48 B．60 C．76 D．80
9．如图，在 Rt△ABC 中，AB＝4，分别以 AC，BC 为直径作半圆，两个半圆形的面积分别记为 S1，S2，则 S1＋S2 的值等于 ( A) A．2π B．4π C．8π D．16π
10．(2019·巴中)如图，等腰直角三角板如图放置，直角顶点 C 在直线 m 上，分别过点 A，B 作 AE⊥直线 m 于点 E，BD⊥ 直线 m 于点 D.
(1)试说明：EC＝BD.
解：因为∠ACB＝90°，所以∠ACE＋∠BCD＝90°.
因为 BD⊥m，AE⊥m，所以∠CDB＝90°，∠AEC＝90°.
【答案】C
9．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1，△ABC 在网格中，顶点均为格点．求点 A 到直线 BC 的距离．
解：S△ABC＝4×5－12×2×5－12×2×2－12×3×4＝7. 因为 BC2＝32＋42＝52，所以 BC＝5.
设点 A 到直线 BC 的距离为 h. 因为 S△ABC＝12BC·h，所以12×5h＝7，解得 h＝154. 故点 A 到直线 BC 的距离是154.
11．(2019·邵阳)公元 3 世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，设勾 a＝6，弦 c＝10，则小正方形 ABCD 的面积是___4_____．
12．(2019·泰州)如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝4， BC＝8.
(1)用直尺和圆规作 AB 的垂直平分线(保留作图痕迹，不要求写作法)；
【点拨】根据折叠的性质得到 AE＝AB，∠E＝∠B＝90°，易证 △AEF≌△CDF，即可得到 FC＝FA.设 FA＝x，则 FC＝x， DF＝6－x.在 Rt△CDF 中，利用勾股定理得到关于 x 的方程为 x2＝42＋(6－x)2，解方程求出 x，进而可得 DF 的长．

北师大八年级数学上册第一章勾股定理辅导学案

勾股定理教学内容勾股定理教学勾股定理及其逆定理重、难点一、知识点总结1、勾股定理直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即a 2 +b 2=c 22、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系，a 2 +b 2=c 2那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股数：满足a 2 +b 2=c2的三个正整数，称为勾股数。

二、练习训练选择题1、等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为______________ A 56 B 48 C 40 D 3212、如果Rt △的两直角边长分别为n 2－1，2n （n>1），那么它的斜边长是____________A 2nB n+1C n 2－1D n 2+13、已知，如图长方形ABCD 中，AB=3cm ，AD=9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为________A 6cm 2B 8cm 2C 10cm 2D 12cm 24、已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A 出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A 出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距_________ A 25海里 B 30海里 C 35海里 D 40海里填空题5、在Rt △ABC 中，∠C=90°，①若a=5，b=12，则c=___________；②若a=15，c=25，则b=___________；③若c=61，b=60，则a=__________；④若a ∶b=3∶4，c=10则S Rt △ABC =________6、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为___________cm 2。

7、已知x 、y 为正数，且│x 2-4│+（y 2-3）2=0，如果以x 、y 的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为___________。

北师大版八上数学专题一勾股定理(内含答案详解)

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BS 八上数学专题一勾股定理一．选择题（共14小题）1．在Rt△ABC中，若斜边AB=3，则AC2+BC2等于（）A．6B．9C．12D．182．在△ACB中,若AB=AC=5，BC=6，则△ABC的面积为（）A．6B．8C．12D．243．直角三角形的两边长分别为6和8,那么它的第三边长度为（）A．8B．10C．8或2D．10或24．如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，则字母A所代表的正方形的面积为(）A．4B．8C．16D．645．如图，在△ABC中，∠A=45°，∠B=30°，CD⊥AB，垂足为D，CD=1，则AB的长为（）A．B．2C．D．26．如图Rt△ABC，∠C=90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”；当AC=3，BC=4时，计算阴影部分的面积为（)A．6B．6πC．10πD．127．△ABC的三边长为a，b,c,已知a：b=1：2，且斜边c=2，则△ABC的周长为（）A．3B．5C．6D．68．如图，线段AD是直角三角形ABC斜边上的高，AB=6，AC=8,则AD=（）A．4B．4.5C．4.8D．59．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC+∠DCB=90°，且BC=2AD，分别以AB、BC、DC为边向外作正方形，它们的面积分别为S1、S2、S3．若S2=48，S3=9,则S1的值为（)A．18B．12C．9D．310．下列各组数据分别为三角形的三边长,不能组成直角三角形的是（）A．9,12,15B．7，24，25C．6，8,10D．3，5，711．如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、2dm．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（）A．15 dm B．17 dm C．20 dm D．25 dm12．在一次课外社会实践中，王强想知道学校旗杆的高,他发现旗杆上的绳子垂到地面上还多1m,当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面,则旗杆的高为（)A．13 m B．12 m C．4 m D．10 m13．如图，圆柱的底面周长是14cm,圆柱高为24cm，一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点A爬到与之相对的上底面点B，那么它爬行的最短路程为（）A．14cm B．15cm C．24cm D．25cm14．一架长25dm的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端7dm,如果梯子的顶端沿墙下滑4dm，那么梯足将滑（）A．9 dm B．15 dm C．5 dm D．8 dm二．填空题(共6小题)15．探索勾股数的规律：观察下列各组数：（3，4，5）,（5，12,13），（7，24，25)，（9，40,41）…可发现,4=，12=，24=…请写出第5个数组:．16．如果一个三角形的三边长之比为9：12:15,且周长为72cm，则它的面积为cm2．17．如图，AC⊥BC，AC=6，BC=8，AB=10，则点C到线段AB的距离是．18．已知两线段的长分别是5cm、3cm，则第三条线段长是时，这三条线段构成直角三角形19．小东拿着一根长竹竿进一个宽为4米的城门，他先横着拿不进去，又竖起来拿，结果竿比城门高0。

第一章勾股定理分类提升训练(含答案) 2024--2025学年北师大版八年级数学上册

第一章勾股定理分类提升训练 2024--2025学年北师大版八年级数学上册一、单选题1．学了“勾股定理”后，甲、乙两位同学的观点如下：甲：如果是直角三角形，那么一定成立；乙：在中，如果，那么不是直角三角形．对于两人的观点，下列说法正确的是（）A ．甲对，乙错B ．甲错，乙对C ．两人都错D ．两人都对2．如图，在中，，分别以，为边向外作正方形，面积分别为，，若，，则的长为（）A ．4B ．2CD ．33．为预防新冠疫情，民生大院入口的正上方处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温．当身高为米的市民正对门缓慢走到离门米的地方时（即米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离等于（）A ．米B ．米C ．米D ．米4．如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，∠ABO ＝60°，若矩形的对角线长为6．则线段AD 的长是（）ABC V 222a b c +=ABC V 222a b c +≠ABC V ABC V 90ACB ∠=︒AC AB 1S 2S 13S =27S =BC A 3AB = 1.8CD 1.6 1.6BC =AD 2.0 2.2 2.25 2.5A ．3B ．4C ．2D ．35．如图是一圆柱玻璃杯，从内部测得底面半径为，高为，现有一根长为的吸管任意放入杯中，则吸管露在杯口外的长度最少是（）A ．B ．C ．D ．6．如图，已知矩形纸片，，，点在边上，将沿折叠，点落在点处，，分别交于点，，且，则的长为（）A．B ．C ．D ．7．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，AB 的垂直平分线DE 交BC 的延长线于点E ，则CE 的长为（）A ．B ．C ．D ．28．如图，有一个水池，水面是一个边长为尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面6cm 16cm 25cm 6cm 5cm 9cm (25cm -ABCD 4AB =3BC =P BC CDP V DP C E PE DE AB O F OP OF =DF 3911451317557173276256101尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面、求这根芦苇的长度是多少尺？设芦苇的长度是尺，根据题意，可列方程为（）A ．B ．C ．D ．9．如图，过矩形对角线的交点，作对角线的垂线，交于点，交于点，若，，则的长等于（）A ．B ．CD ．10．在Rt 中，.以为圆心，AM 的长为半径作弧，分别交AC ，AB 于点M ，N.再分别以M ，N 为圆心，适当长度为半径画弧，两弧交于点.连接AP ，并延长AP 交BC 于点.过点作于点，垂足为，则DE 的长度为（）A ．B ．C ．2D ．1二、填空题11．小明想知道学校旗杆有多高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还余1米，当他把绳子下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆高度为米．12．下图是公园的一角，有人为了抄近道而避开横平竖直的路的拐角，而走“捷径 ”，于是在草坪内走出了一条不该有的“路 ”.已知米，米，只为少走米的路. x 222510x +=()2221015x -+=()22215x x -+=()22251x x +=-ABCD O BD AD E BC F 3AE =5BF =EF 48ABC V B ∠=90,8,10AB AC ︒==A P D D DE AC ⊥E E 8345ABC ∠AC AC 40AB =30BC =13．若的三边，，满足，则的面积是．14．如图，矩形ABCD 中，，，CB 在数轴上，点C 表示的数是，若以点C 为圆心，对角线CA 的长为半径作弧交数轴的正半轴于点P ，则点P 表示的数是 .15．有一根长7cm 的木棒，要放进长、宽、高分别为5cm 、4cm 、3cm 的木箱， (填“能”或“不能”)放进去。

北师版八年级上第一章勾股定理知识点与常见题型总结及练习-（北师大版数学）

北师版八年级上第一章勾股定理知识点与常见题型总结及练习-（北师大版数学）北师版八年级数学第1章勾股定理一．知识归纳１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += ２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法cbaHG F EDCB Abacbac cabcab a bcc baE D CBA３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ?中，90C ∠=?，则c，b =，a ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数） 2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用８.．勾股定理逆定理的应用９.勾股定理及其逆定理的应用AB C30°D CB A ADB C CB DA二、常见考题分析题型一：直接考查勾股定理例１.在ABC ?中，90C ∠=?．⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长分析：直接应用勾股定理222a b c += 题型二：应用勾股定理建立方程例２.⑴在ABC ?中，90ACB ∠=?，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解例３.如图ABC ?中，90C ∠=?，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长21EDCBA分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来例4.如图Rt ABC ?，90C ∠=?3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积题型三：实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 m ABCD E分析：根据题意建立数学模型，如图8AB =m ，2CD =m ，8BC =m ，过点D 作DE AB ⊥，垂足为E ，则6AE =m ，8DE =m 题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形例6.已知三角形的三边长为a ，b ，c ，判定ABC ?是否为Rt ?① 1.5a =，2b =，2.5c = ②54a =，1b =，23c = 例7.三边长为a ，b ，c 满足10a b +=，18ab =，8c =的三角形是什么形状？题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用例8.已知ABC ?中，13AB =cm ，10BC =cm ，BC 边上的中线12AD =cm ，求证：AB AC =证明： D CBA三、巩固训练：选择题1、在Rt △ABC 中，∠C=90°，三边长分别为a 、b 、c ，则下列结论中恒成立的是 ( ) A 、2abc 2 D 、2ab ≤c 22、已知x 、y 为正数，且│x 2-4│+（y 2-3）2=0，如果以x 、y 的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（） A 、5 B 、25 C 、7 D 、153、直角三角形的一直角边长为12，另外两边之长为自然数，则满足要求的直角三角形共有（） A 、4个 B 、5个 C 、6个 D 、8个4、下列命题①如果a 、b 、c 为一组勾股数，那么4a 、4b 、4c 仍是勾股数；②如果直角三角形的两边是3、4，那么斜边必是5；③如果一个三角形的三边是12、25、21，那么此三角形必是直角三角形；④一个等腰直角三角形的三边是a 、b 、c ，（a>b=c ），那么a 2∶b2∶c 2=2∶1∶1。

1.1《探索勾股定理》一课一练 2021-2022学年北师大版八年级数学上册(含答案)

1.1《探索勾股定理》习题1一、填空题1．已知直角三角形两直角边长为3cm ，4cm ，那么这个直角三角形斜边上的高为_____．2．有一个三角形的两边长是9和12，要使这个三角形成为直角三角形，则第三条边长的平方是__________．3．公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，设勾6a =，弦10c =，则小正方形ABCD 的面积是____.4.如图，正方形ABCD 的边长为2，其面积标记为1S ，以CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为2S ，按照此规律继续下去，则2020s 的值为________．二、选择题1．如图，在ABC ∆中，已知90C =∠，3AC =，4BC =，则AB 的大小有可能是( )A ．1B ．2C ．3D ．52．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中S A =10，S B =8，S C =9，S D =4，则S=( )A ．25B ．31C ．32D ．403．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分以的长度(罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计)范围是( )A ．12≤a ≤13B ．12≤a ≤15C ．5≤a ≤12D ．5≤a ≤l34．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，若AB ＝15cm ，则正方形ADEC 和正方形BCFG 的面积之和为( )A ．150cm 2B ．200cm 2C ．225cm 2D ．无法计算5．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠︒＝，分别以点B 和点C 为圆心，大于12BC 的长为半径作弧，两弧相交于,D E 两点，作直线DE 交AB 于点F ，交BC 于点G ，连结CF ．若3,2AC CG ＝＝，则CF 的长为( )A ．52B ．3C ．2D ．726．在平面直角坐标系中，(,)A a a ，(2,4)B b b --，其中2a b +=，则下列对AB 长度判断正确的是( )A ．2AB < B ．2AB >C ．2AB =D ．无法确定7．《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃(读kun ，门槛的意思)一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2(图2为图1的平面示意图)，推开双门，双门间隙CD 的距离为2寸，点C 和点D 距离门槛AB 都为1尺(1尺10=寸)，则AB 的长是( )A ．50.5寸B ．52寸C ．101寸D ．104寸8．如图，Rt △ABC 中，AB=9，BC=6，∠B=90˚，将△ABC 折叠，使A 点与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段BN 的长为( )A ．6B ．5C ．4D ．39．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝4，将矩形沿AC 折叠，点D 落在点D ′处，则重叠部分△AFC 的面积为( )A ．6B ．8C ．10D ．1210．如图，已知在△ABC 中， 90,8,6ABC AB BC ︒∠===，将线段AC 绕点A 顺时针旋转得到AD ，且DAC BAC ∠=∠，连接CD ，且△ACD 的面积为( )A ．24B ．30C ．36D ．4011．如图，△ABC 中，AC ＝4，BC ＝3，AB ＝5，AD 为△ABC 的角平分线，则CD 的长度为( )A ．1B ．54C ．32D ．4312．如图，在△ABC 中，CE 平分∠ACB ，CF 平分∠ACD ，且EF ∥BC 交AC 于M ，若CM ＝3，则CE 2+CF 2的值为( )A ．6B ．9C ．18D ．3613．如图所示，已知在三角形纸片ABC 中，BC ＝9，AC ＝12，∠BCA ＝90°，在AC 边上取一点E，以BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，A与BC延长线上的点D重合，则DE的长度为( )A．7.5 B．8 C．8.5 D．914．如图，直线L上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为1和9，则b的面积为( )A．8 B．9 C．10 D．11三、解答题1．小东拿着一根长竹竿进一个宽为3米的门，他先横着拿，进不去，又竖起来拿，结果竿比门高1米，当他把竿斜着时，两端刚好顶着门的对角，问：竹竿高多少米？2．如图，小明和小方分别在C处同时出发，小明以每小时40千米的速度向南走，小方以每小时30千米的速度向西走，2小时后，小明在A处，小方在B处，请求出AB的距离．3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边的长分别为a，b，c．(1)a＝6，b＝8，求c及斜边上的高；(2)a∶b＝3∶4，c＝15，求a和b．4．你一定玩过荡秋千的游戏吧，小明在荡秋千时发现：如图，当秋千AB在静止位置时，下端B离地面0.5米，当秋千荡到AC位置时，下端C距静止时的水平距离CD为4米，距地面2.5米，请你计算秋千AB的长.5．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=10，E为CD边上一点，将△ADE沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．(1)求BF的长；(2)求CE的长．6．已知锐角△ABC，∠ABC＝45°，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，交AD于F．(1)求证：△BDF≌△ADC；(2)若BD＝4，DC＝3，求线段BE的长度．7．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D、E分别是斜边AB和直角边CB上的点，把△ABC 沿着直线DE折叠，顶点B的对应点是B′．(1)如图(1)，如果点B′和顶点A重合，求CE的长；(2)如图(2)，如果点B′和落在AC的中点上，求CE的长．8．在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图(如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a ，较小的直角边长都为b ，斜边长都为c )，大正方形的面积可以表示为2c ，也可以表示为214()2ab a b ，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为,a b ，斜边长为c ，则222+=a b c ．(1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．(2)如图③，在ABC 中，AD 是BC 边上的高，4AB =，5AC =，6BC =，设BD x =，求x 的值．(3)试构造一个图形，使它的面积能够解释22()(2)32a b a b a ab b ++=++，画在如图4的网格中，并标出字母,a b 所表示的线段．答案一、填空题 1.12cm 52.225或63．3.44.201712二、选择题1．D 2．B ．3．A 4．C ． 5．A ． 6．C ． 7．C 8．C 9．C10．B ． 11．D ． 12．D 13．A 14．C三、解答题1.解：竹竿长x 米，则门高(x-1)米，根据题意得：222(1)3x x =-+，解得：x=5答：竹竿高5米．2.解：由题意可得：40280()AC km =⨯=，30260()BC km =⨯=，则100()AB km ===，答：AB 的距离为100km ．3.解：(1)根据勾股定理，得：10c ==，斜边上的高等于：684.810⨯=； (2)由:3:4a b =，根据勾股定理，得::3:4:5a b c =，又15c =，则9a =，12b =．4.解：∵AB AC =，(2.50.5)2AD AB AB =--=-，4CD =米，由勾股定理得222AD CD AC +=，∴222(2)4AB AB -+=，420AB -=-，解得5 AB m ，∴秋千AB 的长为5m .5.解：(1)∵四边形ABCD 为矩形，∴∠B=90°，且AD=BC=10，又∵AFE 是由ADE 沿AE 翻折得到的，∴AF=AD=10，又∵AB=8，在Rt △ABF 中，由勾股定理得：，故BF 的长为6．(2)设CE=x ，∵四边形ABCD 为矩形，∴CD=AB=8，∠C=90°，DE=CD-CE=8-x ，又∵△AFE 是由△ADE 沿AE 翻折得到的，∴FE=DE=8-x ，由(1)知：BF=6，故CF=BC-BF=10-6=4，在Rt △CEF 中，由勾股定理得：222CF +CE =EF ， ∴2224+x =(8-x)，解得：x=3，故CE 的长为3．6.解：(1)∵AD ⊥BC ，∠ABC ＝45°∴∠ABC ＝∠BAD ＝45°，∴AD ＝BD ，∵DA ⊥BC ，BE ⊥AC∴∠C +∠DAC ＝90°，∠C +∠CBE ＝90°∴∠CBE ＝∠DAC ，且AD ＝BD ，∠ADC ＝∠ADB ＝90° ∴△BDF ≌△ADC (ASA )(2)∵△BDF ≌△ADC∴AD ＝BD ＝4，CD ＝DF ＝3，BF ＝AC∴BF ＝5∴AC ＝5，∵S △ABC ＝12×BC ×AD ＝12×AC ×BE ∴7×4＝5×BE∴BE ＝285.7.(1)如图(1)，设CE ＝x ，则BE ＝8﹣x ；由题意得：AE ＝BE ＝8﹣x ，由勾股定理得：x 2+62＝(8﹣x )2，解得：x ＝74，即CE 的长为：74．(2)如图(2)，∵点B ′落在AC 的中点，∴CB ′＝12AC ＝3；设CE ＝x ，类比(1)中的解法，可列出方程：x 2+32＝(8﹣x )2 解得：x ＝5516．即CE 的长为：5516．8.解：(1)梯形ABCD 的面积为22111()()222a b a b a ab b ，也可以表示为2111222ab ab c ++， 2221111122222ab ab c a ab b ，即222+=a b c(2)在Rt ABD △中，222222416AD AB BD x x 在Rt ADC 中，2222225(6)1112AD AC DC x x x 所以22161112x x x ，解得94x = (3)∵图形面积为：(a+b)(a+2b)=a ²+3ab+b ² ∴边长为：(a+b)，(a+2b)由此可画出的图形为：。

北师版数学八年级上同步提高辅导课件第1讲勾股定理42

即：BE⊥EF．
∴△BEF是直角三角形
在△ABC中，AB=5，AC=13，BC边上的中线AD=6.请说明：BA⊥AD.
解：延长AD到E，使AD=DE，连接BE， ∵BC边上的中线AD=6， ∴AE=12，BD=DC，在△ADC和△EDB中， AD=DE ∠ADC=∠BDE ∵AB2+AE2=52+122=169， CD=DB BE2=132=169， ∴△ADC≌△EDB（SAS）， ∴AB2+AE2=BE2， ∴BE=AC=13， ∴∠BAE=90°，
3、利用勾股定理探究图形的面积。
例3：观察如图所示的图形，回答问题：
(1）如图①，△DEF为直角三角形，正方形P的面积为9，正方形Q 的面积为15，则正方形M的面积为； 24
(2）如图②，分别以直角三角形ABC的三边长为直径
向三角形外做三个半圆，则这三个半圆形的面积之间的 S1+S2=S3 关系是（用图中字母表示）；
1 1 2 S1= πAC ，S2= πBC2， 8 8 所以S1+S2= 1 π（AC2+BC2） 8 1 而 S3= πAB2，AC2+BC2 = AB2 8
故：S1+S2=S3
(3）如图③，如果直角三角形两直角边的长分别为3和4，分别以直角三角形的三边长为直径作半圆，请你利用(2）中得出的结论求阴影部分的面积。解：设两个小半圆形的面积分别为S1 、S2，
互逆定理
内容
验证应用
构造全等的直角三角形
勾股定理的逆定理
已知三边判断形状实际问题
三、知识要点 1、勾股定理综合解析； 2、勾股定理综合应用； 3、归类拔尖培优.
（一）、知识点综合解析知识点1 勾股定理的认识

北师大版八年级(上)数学《勾股定理》专题复习(含答案)

例1. (1)如图1是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸(单位： mm ),计算两圆孔中心A 和B 的距离为(2)如图2,直线I 上有二个正方形a, b, 的面积分别为5和11,则b 的面积为( C . 16D . 55点评：以上两例都是勾股定理的直接运用,当已知直角三角形的两边，求第第一章《勾股定理》专项练习专题一：勾股定理考点分析:勾股定理单独命题的题目较少，常与方程、函数，四边形等知识综合在一起考查，在中考试卷中的常见题型为填空题、选择题和简单的解答题典例剖析分析：本题结合图中的尺寸直接运用勾股定理计算即可.解：(1)由已知得：AC=150-60=90, BC=180-60=120,由勾股定理得:AB 2=902+1202=22500,所以 AB=150 (mm )(2)由勾股定理得：b=a+c=5+11=16,故选C .60]15060c)图2三边时，往往要借助于勾股定理来解决.例2.如图3,正方形网格的每一个小正方形的边长都是1,试求Z AE2A2 Z A4E2C4 Z A4E5C4 的度数.、图3解：连A3E2. Q A3A2A]A2, A2E2A2E2,A3A2E2 AA2E2 90o,Rt △ A3A2E2如Rt △ A1A2E2(SAS).5 A-I E2A3 E2 A2由勾股定理，得：C4E5 22 12 ,5 C3E2 , A4E5 、42 12 ,17 A3E2 ,2Q A4C4AC B 2 , △ A4C4E5◎△ A3C3E2 (SSS).A3 E2C3A4 E5C4A1E2 A2A4E2C4 A4 E5C4 A3E2C4 A4 E2C4 A3E2C3 A2E2C4 •由图可知△ E2C2C4为等腰直角三角形. A2E2C4 45o.即A,E2A2A4E2C4 A4E5C4 45° .点评：由于在正方形网格中，它有两个主要特征：(1)任何格点之间的线段都是某正方形或长方形的边或对角线，所以格点间的任何线段长度都能求得.(2)利用正方形的性质，我们很容易知道一些特殊的角，如45°、90°、135°, 便一目了然.以上两例就是根据网格的直观性，再结合图形特点，运用勾股定理进行计算，易求得线段和角的特殊值，重点考查学生的直觉观察能力和数形结合的能力.专练一：〔、△ ABC 中，/ A :/ B:/ C=2 : 1: 1, a，b，c分别是/ A、/ B、/ C 的对边，则下列各等式中成立的是( )(A) a2b2c2; (B) a22b2; (C) c22a2; (D) b22a22、若直角三角形的三边长分别为2, 4, X，则x的可能值有( )(A) 1 个；(B) 2 个；(C) 3个；(D) 4 个3、一根旗杆在离底面4.5米的地方折断，旗杆顶端落在离旗杆底部6米处，则旗杆折断前高为( )(A) 10.5 米; ( B) 7.5 米; (C) 12 米; (D) 8 米4、下列说法中正确的有( )(1)如果/ A+ / B+Z C=3: 4: 5,则厶ABC是直角三角形；(2) 如果/ A+Z B= Z C,那么△ ABC是直角三角形；(3)如果三角形三边之比为6: 8:10,则ABC是直角三角形；(4)如果三边长分别是n21,2n,n21(n 1)，则ABC是直角三角形。

勾股定理最值问题(原卷版)-2024-2025学年八年级数学上册专题训练+备考提分专项训练(北师大版

勾股定理最值问题（共40道）一、单选题1．如图，在△ABC 中，∠C =90°，AC =8cm ，BC =6cm ，点D 、E 分别在AC 、BC 上．现将△DCE 沿DE 翻折，使点C 落在点C ′处．连接AC ′，则AC ′长度的最小值．（）A ．等于3cmB ．等于4cmC ．等于5cmD ．不存在2．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =3，BC =4，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，P ，M 是AD ，AC 上的动点，则PC +PM 的最小值为（）A ．32B ．3C ．4D ．1253．如图，在△ABC 中，∠C =90∘，AC =4cm ，BC =3cm ，点E 在AC 上，现将△BCE 沿BE 翻折，使点C 落在点C ′处连接AC ′，则AC ′长度的最小值是（）A ．0.5cmB ．1cmC ．2cmD ．2.5cm4．如图，在ΔABC 中，∠C =90°，AC =8cm ，BC =6cm ，点D 、E 分别在BC 、AC 边上．现将ΔDCE 沿DE 翻折，使点C 落在点H 处．连接AH ，则AH 长度的最小值为（）A．0B．2C．4D．65．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=5，AC=12，BD平分∠ABC交边AC于点D，点E、F分别是边BD、AB上的动点，当AE+EF的值最小时，最小值为（）A．6B．125C．6013D．120136．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD⊥BC于点D，AD=4，E、F分别是线段AB、AD上的动点，则EF+FB的最小值为（）A．4B．4.8C．5.4D．67．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=6,BC=8,AD平分∠CAB交BC于D点，E,F分别是AD,AC上的动点，则CE+EF的最小值为（）A ．403B ．154C ．245D ．68．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，且AC ⊥BD ，点P 为AB 边上一动点（不与点A ，B 重合），PE ⊥OA 于点E ，PF ⊥OB 于点F ，若AC =8，BD =6，则EF 的最小值为（）A ．3B ．2C ．125D ．529．如图，已知∠MON =60∘，点P,Q 为∠MON 内的两个动点，且∠POQ =30∘，OP =6，OQ =8，点A,B 分别是OM,ON 上的动点，则PA +AB +的最小值是（）A ．5B ．7C ．8D ．1010．如图，圆柱形杯子底面直径为7cm ，高为24cm ．将一根长36cm 的木棒斜放在杯中，设木棒露在杯子外面的长度为ℎ cm ，则h 的最小值是（）A ．9B ．11C ．12D ．1411．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =8，BC =6．若点M 是直线AB 上的一个动点，则CM 的最小值为（）A ．125B ．245C ．5D ．612．如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =4，BC =3，点P 为AC 边上的动点，过点P 作PD ⊥AB 于点D ，则PB +PD 的最小值为（）A ．154B ．245C ．5D ．20313．如图，Rt △ABC 中，∠B =90°，AB =3，BC =4，点P 是AC 边上一动点，则线段BP 长度的最小值为（）A．3B．2.5C．2.4D．214．在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，若点P在边AC上移动，则BP的最小值是（）A．4B．125C．5D．24515．如图，在△ABC中，AC=3,BC=4,∠C=90°，若P是AB上的一个动点，则AP+BP+CP的最小值是（）A．5.5B．6.4C．7.4D．816．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，BC=9，AC=12，Q为AB上一动点，则DQ 的最小值为（）A．6B．4.5C．4D．517．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的最小值是( )A．4B．4.5C．4.8D．518．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在BC上，BD=6，DC=2，点P是AB上的动点，则PC+PD 的最小值为（）A．8B．10C．12D．1419．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D在BC上，BD＝6，CD＝2，点P′是AB上的动点，则PC+PD的最小值是（）A．7B．8C．9D．1020．如图，在长方形ABCD中，AB＝6，AD＝8，若P是AC上的一个动点，则AP＋BP＋CP的最小值是（）A．14B．14.8C．16D．18二、填空题21．如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB∥CD，BC=3，DC=4，点E在BC上，且BE=1，点F和点G 为边AB上的两个动点，且FG=1，则DG+FE的最小值为．22．如图，点M在线段AB上，且AB=7、AM=4，以M为顶点作正方形MNEF，当AF+BN最小时，MN 的最小值是．23．如图，在四边形ABED中，ABCD是正方形．已知，BE=7,DE=5,AB=3,∠DCE=90°，P为线段DE上一动点，则CP的最小值为．24．如图，AD⊥AB于点A，BC⊥AB于点B，点P为线段AB上任意一点，若AD=3，BC=2，AB=12，则PC+PD的最小值是．25．在长方形ABCD中，AB=16,AD=9，动点P满足S△PAB=1S长方形ABCD，则PA+PB的最小值为．326．如图，三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，P为直线AB上一动点，则线段PC的最小值是．27．如图，将一根长为24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为ℎcm，则h的最小值是cm．28．如图，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E，F，点P在线段EF上．若D为BC的中点，则△BDP的周长的最小值为．29．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=3,BC=4,AD是∠CAB的角平分线，点E,F分别是AC,AD上的动点，则EF+CE的最小值是．30．如图，P是长方形ABCD内部的动点，BC=8，AB=4，△PBC的面积等于12，则点P到B、C两点距离之和PB+PC的最小值为．31．如图，在Rt△ABC中，点D，E分别是边AC、AB上的两点，连接BD，CE，CD=AE，已知BC=6，AB=8，则BD+CE的最小值的平方是．32．在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AC=5，AB=12，点D和E都是边BC上的动点，且满足CD=BE，连接AD、AE．则AD+AE的最小值为．33．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，射线CD与边AB交于点D，E、F分别为AD、BD中点，设点E、F到射线CD的距离分别为m、n，则线段CD的最小值为，m+n的最大值为．34．如图，正方形ABCD的边长是6，点F是AB上一点，BF=3.5，点E是BC上一动点，连接EF，将△BEF 沿EF折叠，使点B落在B′，连接DB′，则FB+DB′的最小值是．35．已知△ABC中，AC=8，AB=BC边上的高AG=5，D为线段AC上的动点，在BC上截取CE=AD，连接AE，BD，则AE+BD的最小值为．36．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在BC上，BD=6，DC=2，点P是AB上的动点，则PC+PD的最小值为．37．如图，已知∠MON=45°，点A,B在边ON上，OA=3，点C是边OM上一个动点，若△ABC周长的最小值是6，则AB的长是．38．在△ABC中，∠C=90°，CB=CA=5，点D是BC的中点，点P是△ABC内一点，且DP=DC，连接DP、AP，Q是DP的中点，则AP+BQ的最小值是．39．如图，已知长方形ABCD，AB=8,BC=10，点E，F分别是边AB，BC上的动点，沿直线EF折叠△BEF，使点B的对应点G始终落在边AD上，则线段AG的最小值是．40．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=5，BC=12，AD是∠BAC的平分线，若M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是．。

8-1-北师大版-八年级-勾股定理-一对一-教案

考点二：勾股定理的逆定理及勾股数
1 如果三角形的三边长为c b a ,,，满足222c b a =+，那么，这个三角形是直角三角形．利用勾股定理的逆定理判别直角三角形的一般步骤：
①先找出最大边（如c ）
②计算2c 与22a b +，并验证是否相等。

若2c =22a b +，则△ABC 是直角三角形。

若2c ≠22a b +，则△ABC 不是直角三角形。

2 （1）满足2
22c b a =+的三个正整数，称为勾股数．
（2）勾股数中各数的相同的整数倍，仍是勾股数，如3、4、5是勾股数，6、8、10也是勾股数．
（3）常见的勾股数有：①3、4、5②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；
⑤10、24、26；⑥9、40、41．
随堂练习：
1、下面几组数:①7,8,9;②12,9,15;③m 2 + n 2, m 2 – n 2, 2mn(m,n 均为正整数,m >n);④2a ,12+a ,22+a .其中能组成直角三角形的三边长的是( )
A.①②;
B.①③;
C.②③;
D.③④
2、三角形的三边长为ab c b a 2)(2
2+=+,则这个三角形是( )
A. 等边三角形;
B. 钝角三角形;
C. 直角三角形;
D. 锐角三角形.
3、△ABC 的三边为a 、b 、c 且(a+b)(a-b)=c 2，则( )
A.a 边的对角是直角边的对角是直角
C.c 边的对角是直角
D.是斜三角形。

北师版数学八年级上同步提高辅导第2讲勾股定理专题作业(与课件配套)2

没有理由只找方法学习一日程式一、选择（3×6=18分）1、如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，点P是边BC上的动点，则AP的长不可能是（A）. A.2.5 B.3 C.4 D.52、已知边长为4的正方形ABCD上一点E，BE=1，请在对角线AC上找一点N，则EN+BN的最小值是（C）.A.3B.4C.5D.63、在△ABC中，AB=20，AC=15，BC边上的高为12，则△ABC的周长是（ D ）.A、60B、39C、60或39D、60或421题图2题图4题图5题图二、填空（2×6=12分）4.如图，长方形AOBC中，AO=8，BD=3，若将矩形沿直线AD折叠，则顶点C恰好落在边OB上E处，那么图中阴影部分的面积为____30_____.5.如图，如图，由四个边长平方为2的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到△ABC，则△ABC中BC边上的高是 3 m.三、解答题（20分）6、由于过度采伐森林和破坏植被，我国部分地区频频遭受沙尘暴的侵袭．近日，A城气象局测得沙尘暴中心在A城的正西方向240km的B处，以每时12km的速度向北偏东60°方向移动，距沙尘暴中心150km的范围为受影响区域．（1）A城是否受到这次沙尘暴的影响？为什么？（2）若A城受这次沙尘暴影响，那么遭受影响的时间有多长？附加题：我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1 ，S2，S3．若S1+S2+S3＝15，则S2的值是 3 .。

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勾股定理
本章常用知识点：
1、勾股定理：直角三角形两直角边的等于斜边的。

如果用字母a,b,c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么勾股定理可以表示为：。

2、勾股数：满足a 2+b 2=c 2的三个，称为勾股数。

常见勾股数有： 3、常见平方数：
121112=； 144122=； 16913
2=； 196142=； 225152
=；256162= 289172=； 324182=； 361192=； 400202=；441212
=； 484222= 529232=； 576242=； 625252=； 676262=；729272=
专题归类：
专题一、勾股定理与面积
1、、在Rt ▲ABC 中，∠C=︒90,a=5,c=3.，则Rt ▲ABC 的面积S= 。

2、一个直角三角形周长为12米，斜边长为5米，则这个三角形的面积为：。

3、直线l 上有三个正方形a 、b 、c ，若a 和c 的面积分别为5和11，则b 的面积为
4、在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图所示)。

已知斜放置的三个正方形的面积分别是
1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4等于。

5、三条边分别是5,12,13的三角形的面积是。

6、如果一个三角形的三边长分别为a,b,c 且满足：a 2
+b 2
+c 2
+50=6a+8b+10c,则这个三角形的面积为。

7、如图1，︒=∠90ACB ，BC=8,AB=10,CD 是斜边的高，求CD 的长？
l
3
21
S 4
S 3
S 2S 1
7、如下图，在∆ABC 中，︒=∠90ABC ，AB=8cm ，BC=15cm ，P 是到∆ABC 三边距离相等的点，求点P 到∆ABC 三边的距离。

8、有一块土地形状如图3所示，︒=∠=∠90D B ，AB=20米，BC=15米，CD=7
米，请计算这块土地的面积。

（添加辅助线构造直角三角形）
9、如右图：在四边形ABCD 中，AB=2，CD=1，∠A=60°，求四边形ABCD 的面积。

10、如图2-3，把矩形ABCD 沿直线BD 向上折叠，使点C 落
在C ′的位置上，已知AB=•3，BC=7，求：重合部分△EBD 的面积
11、如图①，分别以直角三角形ABC 三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，则不难证明S 1=S 2+S 3 .
D C
B A B
C
P
(1) 如图②，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，那么S 1、S 2、S 3之间有什么关系？(不必证明)
(2) 如图③，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，请你确定S 1、S 2、S 3之间的关系并加以证明；
(3) 若分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正多边形，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，请你猜想S 1、S 2、S 3之间的关系?.
专题二、勾股定理与折叠
1、如图4，矩形纸片ABCD 的边AB=10cm,BC=6cm,E 为BC 上一点，将矩形纸片沿AE 折叠，点B 恰好落在DC 边上的点G 处，求BE 的长。

2、有一个直角三角形纸片，两直角边的长
AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC 沿AD 对折，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，求CD 的长？
3、如图6，在矩形纸片ABCD 中，
AB=33，BC=6,沿EF 折叠后，点C 落在AB 边上的点P 处，点D 落在Q 点处，AD 与PQ 相交于点H ，∠BPE=︒30
(1) 求BE 、QF 的长
(2) 求四边形QEFH 的面积。

专题三、利用勾股定理列方程求线段的长度
1、如图7，铁路上A 、B 两站相距25千米，C 、D 为两村庄，DA ⊥AB 于A 点，CB ⊥AB 于点B ，DA=15千米，CB=10千米，现在要在铁路上建设一个土特产收购站E ，使得C 、D 两村庄到收购站的距离相等，则收购站E 应建在距离A 站多远的距离？
2、一架长为5米的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯子的底端B 距离底C 为3米，如果梯子的顶端A 沿墙下滑1米到D 处，梯子的底端在水平方向沿一条直线也将下滑动1米到E 处吗？请给出证明。

3、 △ABC 中，AB=AC=20，BC=32，D 是BC 上一点，
且AD ⊥AC ，求BD 的长．
专题四、勾股数的应用
1、下列是勾股数的一组是（）
A 4,5,6,
B 5,7,12
C 12,13,15
D 14 ,48,50
2、一个直角三角形的三边长是不大于10的三个连续偶数，则它的周长是。

3、下列是勾股数的一组是（）
A 2,3,4,
B 5,6,7,
C 9,40,41
D 10 24 25
4、观察下面表格中所给出的三个数a,b,c ，其中a,b,c 为正整数，且a<b<c
（1）：试找给他们的共同点，并证明你的结论（2）：当a=21时，求b,c 的值
专题五、勾股定理及逆定理有关的几何证明
1、在四边形ABCD 中，∠C 是直角，AB=13,BC=3,CD=4,AD=12 证明：AD ⊥BD
3、在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 为CD 上一点且CF=
4
1
CD 试说明▲AEF 是直角三角形。

4、▲ABC 三边的长为a,b, c ，根据下列条件判断▲ABC 的形状
（1）：a 2
+b 2
+c 2
+200=12a+16b+20c ；
5、试判断，三边长分别为2n 2+2n ，2n+1，2n 2+2n+1（n 为正整数）•的三角形是否是直角三角形？
6、如图2-12，△ABC 中，∠C=90°，M 是BC 的中点，MD ⊥AB 于D ．求证：A D 2=AC 2+BD 2．
专题六、勾股定理与旋转
1、在等腰Rt ▲ABC 中，∠CAB=︒90，P 是三角形内一点，且
PA=1,PB=3,PC=7求：∠CPA 的大小？
2、如图所示，△ABC 是等腰直角三角形，AB=AC ，D 是斜边BC 的中点，E 、F 分别是AB 、AC 边上的点，且DE ⊥DF ，若BE=12，CF=5．求线段EF 的长。

4、已知，如图△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，P 是△ABC 内一点，且PA=3，PB=1，PC=2，求∠BPC 。

5、如图，在ABC ∆中，090B ∠=，M 为AB 上一点，AM=BC ，N 为AB 上一点，CN=BM ，连接AN 、CM 交于点P 。

求APM ∠的大小。

专题七、最短路线问题
1、有一正方体盒子，棱长是10cm ，在A 点处有一只蚂蚁它
想到B 点处觅食，那么它爬行的最短路线是多少？
A
B
2、有一个长方体盒子。

它的长是70cm ，宽和高都是50cm ，在A 点处有一只蚂蚁它想到B 点处觅食，那么它爬行的最短路线是多少？
A
3、如图所示，一个二级台阶，每一级的长、宽、高分别为60cm 、30cm 、10cm ，A 和B 是这个台阶上两个相对的端点，在A 点处有一只蚂蚁它想到B 点处
觅食，
B M
C A
N A
那么它爬行的最短路线是多少？
4、王力的家在高楼15层，一天他去买竹竿，如果电梯的长、宽、高分别为1.2m,1.2m,1.3m，
则他所买的竹竿最大长度是多少？
5、如图,已知圆锥的母线AS=10㎝，侧面展开图的夹角是90°，点C为AS的中点,A处有一只蜗牛想吃到C处的食物,但它不能直接爬到C处,只能沿圆锥曲面爬行,请你画出蜗牛爬行的最短路程的图形并求出最短路程.
B。