专题1 集合与常用逻辑用语、不等式-数学

第1讲 集合与常用逻辑用语

1．(2016·课标全国乙)设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |2x －3>0}，则A ∩B 等于( ) A.⎝⎛⎭⎫－3，－32 B.⎝⎛⎭⎫－3，3

2 C.⎝⎛⎭⎫1，32 D.⎝⎛⎭⎫32，3

答案 D

解析 由A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}＝{x |1

B ＝{x |2x －3>0}＝⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

x ⎪⎪

x >32， 得A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪

32

2

，3，故选D. 2．(2016·北京)设a ，b 是向量，则“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件

答案 D

解析 若|a |＝|b |成立，则以a ，b 为邻边构成的四边形为菱形，a ＋b ，a －b 表示该菱形的对角线，而菱形的对角线不一定相等，所以|a ＋b |＝|a －b |不一定成立；反之，若|a ＋b |＝|a －b |成立，则以a ，b 为邻边构成的四边形为矩形，而矩形的邻边不一定相等，所以|a |＝|b |不一定成立，所以“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的既不充分也不必要条件． 3．(2016·浙江)命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是( ) A ．∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ＜x 2 B ．∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ＜x 2 C ．∃x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ＜x 2 D ．∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ＜x 2 答案 D

解析 原命题是全称命题，条件为∀x ∈R ，结论为∃n ∈N *，使得n ≥x 2，其否定形式为特称命题，条件中改量词，并否定结论，只有D 选项符合．

1.集合是高考必考知识点，经常以不等式解集、函数的定义域、值域为背景考查集合的运算，近几年有时也会出现一些集合的新定义问题.

2.高考中考查命题的真假判断或命题的否定，考查充要条件的判断.

热点一 集合的关系及运算 1．集合的运算性质及重要结论 (1)A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ，A ∪B ＝B ∪A . (2)A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅，A ∩B ＝B ∩A . (3)A ∩(∁U A )＝∅，A ∪(∁U A )＝U . (4)A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ，A ∪B ＝A ⇔B ⊆A . 2．集合运算中的常用方法

(1)若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解； (2)若已知的集合是点集，用数形结合法求解； (3)若已知的集合是抽象集合，用Venn 图求解．

例1 (1)已知集合A ＝{x |x －1x ＋2<0}，B ＝{y |y ＝sin n π

2，n ∈Z }，则A ∩B 等于( )

A ．{x |－1

B ．{－1,0,1}

C ．{－1,0}

D ．{0,1}

(2)若X 是一个集合，τ是一个以X 的某些子集为元素的集合，且满足：①X 属于τ，空集∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ.则称τ是集合X 上的一个拓扑．已知集合X ＝{a ，b ，c }，对于下面给出的四个集合τ： ①τ＝{∅，{a }，{c }，{a ，b ，c }}； ②τ＝{∅，{b }，{c }，{b ，c }，{a ，b ，c }}； ③τ＝{∅，{a }，{a ，b }，{a ，c }}；

④τ＝{∅，{a ，c }，{b ，c }，{c }，{a ，b ，c }}．

其中是集合X 上的一个拓扑的集合τ的所有序号是__________． 答案 (1)C (2)②④

解析 (1)因为A ＝{x |x －1x ＋2<0}＝{x |－2

2，n ∈Z }＝{0，－1,1}，所以A ∩B

＝{－1,0}．

(2)①τ＝{∅，{a }，{c }，{a ，b ，c }}，但是{a }∪{c }＝{a ，c }∉τ，所以①错；②④都满足集合X 上的一个拓扑的集合τ的三个条件．所以②④正确；③{a ，b }∪{a ，c }＝{a ，b ，c }∉τ，故③错．所以答案为②④.

思维升华 (1)关于集合的关系及运算问题，要先对集合进行化简，然后再借助Venn 图或数轴求解．

(2)对集合的新定义问题，要紧扣新定义集合的性质探究集合中元素的特征，将问题转化为熟悉的知识进行求解，也可利用特殊值法进行验证．

跟踪演练1 (1)已知集合A ＝{y |y ＝sin x ，x ∈R }，集合B ＝{x |y ＝lg x }，则(∁R A )∩B 为( ) A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B ．[－1,1] C ．(1，＋∞)

D ．[1，＋∞)

(2)设集合M ＝{x |m ≤x ≤m ＋34}，N ＝{x |n －1

3≤x ≤n }，且M ，N 都是集合{x |0≤x ≤1}的子集，

如果把b －a 叫做集合{x |a ≤x ≤b }的“长度”，那么集合M ∩N 的“长度”的最小值是( ) A.1

3 B.23 C.112

D.512

答案 (1)C (2)C

解析 (1)因为A ＝{y |y ＝sin x ，x ∈R }＝[－1,1]， B ＝{x |y ＝lg x }＝(0，＋∞)． 所以(∁R A )∩B ＝(1，＋∞)． 故答案为C.

(2)由已知，可得⎩⎪⎨⎪⎧

m ≥0，m ＋34≤1，即0≤m ≤1

4， ⎩⎪⎨⎪⎧

n －13≥0，n ≤1，

即13

≤n ≤1，

取m 的最小值0，n 的最大值1， 可得M ＝⎣⎡⎦⎤0，34，N ＝⎣⎡⎦⎤2

3，1. 所以M ∩N ＝⎣⎡⎦⎤0，34∩⎣⎡⎦⎤23，1＝⎣⎡⎦

⎤23，3

4. 此时集合M ∩N 的“长度”的最小值为34－23＝1

12.

故选C.