非线性迭代实验报告

探索实验二 非线性迭代

一、实验背景与实验目的

迭代是数学研究中的一个非常重要的工具，通过函数或向量函数由初始结点生成迭代结点列，也可通过函数或向量函数由初值（向量）生成迭代数列或向量列。 蛛网图也是一个有用的数学工具，可以帮助理解通过一元函数由初值生成的迭代数列的敛散性，也帮助理解平衡点（两平面曲线交点）的稳定性。

本实验在Mathematica 平台上首先利用蛛网图和迭代数列研究不动点的类型；其次通过蛛网图和迭代数列研究Logistic 映射，探索周期点的性质、认识混沌现象；第三通过迭代数列或向量列求解方程（组）而寻求有效的求解方法；最后，利用结点迭代探索分形的性质。

一、 实验计划

1.

迭代序列与不动点 1.1

程序

给定实数域上光滑的实值函数)(x f 以及初值0x ，定义数列

)(1n n x f x =+， ,2,1,0=n （2.2.1）

}{n x 称为)(x f 的一个迭代序列。

对函数的迭代过程，我们可以用几何图象来直观地显示它——“蜘蛛网”。运行下列Mathematica 程序：

Clear[f]

f[x_] := (25*x - 85)/(x + 3); （实验时需改变函数） Solve[f[x]==x , x] （求出函数的不动点）

g1=Plot[f[x], {x, -10, 20}, PlotStyle -> RGBColor[1, 0, 0], DisplayFunction -> Identity];

g2=Plot[x, {x, -10, 10}, PlotStyle -> RGBColor[0, 1, 0], DisplayFunction -> Identity]; x0=5.5; r = {};

r0=Graphics[{RGBColor[0, 0, 1], Line[{{x0, 0}, {x0, x0}}]}]; For[i = 1, i <= 100, i++,

r=Append[r, Graphics[{RGBColor[0, 0, 1], Line[{{x0, x0},

{x0, f[x0]}, {f[x0], f[x0]}}] }]]; x0=f[x0] ];

Show[g1, g2, r, r0, PlotRange -> {-1, 20}, （PlotRange 控制图形上下范围） DisplayFunction -> $DisplayFunction] x[0]=x0;

x[i_]:=f[x[i-1]]; （定义序列） t=Table[x[i],{i,1,10}]//N ListPlot[t] （散点图）

1.2

实验思路

首先对函数3

85

25+-=

x x y 研究不动点，需要 （1）对Plot 中{x,-10,20}可改为{x,-50,50}；对PlotRange 中{ -1,20}可改为{-50,50}；

（2）x0=5.5中5.5分别改为-30，-20，-5，-3.001，-2.999，-1，0，1，1.5，2.5，4，4.5， 4.9，4.999，5，5.1，5.001，6，10，16，17，18，20，30；

（3）对t=Table[x[i],{i,1,20}]//N 中20分别改为100，200； （4）对i<=100中100分别改为200，500，1000。 运行程序后观察蛛网图与散点图！一看数列是否收敛？如收敛，极限是多少？收敛速度是快是慢？二看蛛网图中的轨道是否趋于平衡点？与平衡点处曲线的斜率有没有关系？三看初值对结果有没有影响？

其次，分别就x x f sin )(=，1)(+-=x x f 等函数利用（2.2.1）做迭代序列}{n x ，观察蛛网图中的轨道是否趋于平衡点和序列的收敛性。 2.

Logistic 映射与混沌 2.1

程序

从形如()()x ax x f -=1的二次函数开始做迭代

()

k

k x

f x

=+1

,1,0=k

（2.2.2）

这里，[]4,0∈a 是一个参数。对不同的a 系统地观察迭代（2.2.2）的行为。Mathematica 程序：

IterGeo[a_, x0_] :=

Module[

{p1, p2, i, pointlist = {}, v= x0, fv= a*x0*(1 - x0)},

p1=Plot[ {a*x*(1 - x), x}, {x, 0, 1}, DisplayFunction -> Identity]; AppendTo[pointlist, {x0, 0}];

For[i = 1, i < 20, i++, AppendTo[pointlist, {v, fv}]; AppendTo[pointlist, {fv, fv}]; v= fv; fv= 4*v*(1 - v)];

p2=ListPlot[pointlist, PlotJoined -> True, DisplayFunction -> Identity];

Show[{p1, p2}, DisplayFunction -> $DisplayFunction] ]

IterGeo[2.6, 0.3]

2.2

实验思路

就Logistic 映射，对a =0.5，1，1.2，2，2.1，2.9，2.999，3，3.001，3.2，3.235，3.236，3.237，3.44等，分别取x 0= 0，0.2，0.5，0.8，1.0运行程序，观察结果。

观察结果就是看数列是否收敛，蛛网图中的轨道是否趋于平衡点，与a 的关系！对a 的定义范围[0，4]分成若干个区间，就初值（属于（0，1）时）看数列是否收敛，蛛网图中的轨道是否趋于平衡点？可用散点图认识。 对Logistic 映射讨论下列问题：