2020年中考一轮复习 二次函数的图像与性质 讲义
二次函数的图象与性质-中考数学第一轮总复习课件(全国通用)
中考数学第一轮总复习典例精讲考点聚集查漏补缺拓展提升第三单元 函数及其图象专题3.4 二次函数的图象与性质知识点二次函数的图象及性质01抛物线与a ,b ,c 的关系02二次函数的图象的变换03二次函数与方程(不等式) 04拓展训练05【例1】已知二次函数y=2(x-3)2+1.下列对其图象的说法：①开口向下； ②当x＜3时,y随x的增大而减小；③顶点坐标为(3,-1)； ④对称轴为直线x=-3；则其中说法正确的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个A解析式开口方向对称轴顶点坐标一般式顶点式交点式(h,k)x=ha＞0向上a＜0向下无y=a(x-h)2+ky=a(x-x1)(x-x2)y=ax2+bx+c1.抛物线y=(x+3)(x-1)的对称轴是直线_______.2.二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)图象上部分点的坐标(x,y)对应值列表如下：则该函数图象的对称轴是( ) A.直线x=-3 B.直线x=-2 C.直线x=-1 D.直线x=03.对于二次函数y=ax 2-2ax-3a+3的性质,下列说法中错误的是( ) A.抛物线的对称轴为直线x=1 B.抛物线一定经过两定点(-1,3)和(3,3) C.当a＜0时,抛物线与x轴一定有两个不同的交点 D.当a＞0时,抛物线与x轴一定有两个不同的交点x=-1x …-3-2-101…y …-3-2-3-6-11…B D4.在同一坐标系中,一次函数y=-mx+n 2与二次函数y=x 2+m的图象可能是( )Dy OxAy Ox B y OxC y OxD 5.已知a≠0,在同一直角坐标系中,函数y=ax与y=ax 2的图象有可能是( )y OxA-11y O xB-11yOx C-11y Ox D-11C6.已知二次函数y=ax 2-2ax-3a(a≠0),关于此函数的图象及性质,下列结论中不一定成立的是( ) A.该图象的顶点坐标为(1,-4a)； B.该图象与x轴的交点为(-1,0),(3,0)； C.若该图象经过点(-2,5),则一定经过点(4,5)； D.当x＞1时,y随x的增大而增大.7.已知二次函数y=ax 2+bx+c中,y与x的部分对应值如下表：根据表中信息,下列结论错误的是( ) A.其图象开口向下； B.其图象的对称轴为直线x=2 C.方程ax 2+bx+c=0有一个根大于5； D.当x＜1时,y随x的增大而增大D知识点一强化训练二次函数图象与性质C x -1014y -7/3131用描点法画出函数的图象知识点二次函数的图象及性质01抛物线与a ,b ,c 的关系02二次函数的图象的变换03二次函数与方程(不等式) 04拓展训练05yOx1y=ax 2+bx+c【例2】已知二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象如图所示,则以下结论同时成立的是( ) A. B. C. D.abc＞0b 2-4ac＜0abc＜02a+b＞0abc＞0a+b+c＜0abc＜0b 2-4ac＞0判断常见式子的符号判断方法a a的符号决定抛物线的开口方向及大小ba,b的符号(左同右异)决定抛物线对称轴的位置c c决定抛物线与y轴交点的位置b 2-4ac b 2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数a+b+c 当x=1时,y=a+b+c 4a+2b+c 当x=2时,y=4a+2b+cC1.已知二次函数y=ax 2+bx+c的图象如图,对称轴是直线x=1.下列结论:①abc＞0；②2a+b=0；③b 2-4ac＜0；④4a+2b+c＞0其中正确的是( ) A.①③ B.只有② C.②④ D.③④2.如图是抛物线y=ax 2+bx+c(a≠0)的一部分,下列结论：①ab＜0,②b 2-4ac＞0,③9a-3b+c＜0,④b-4a=0,⑤方程ax 2+bx=0的两根为x 1=0,x 2=-4.其中正确的结论有( ) A.①③④ B.②④⑤ C.①②⑤ D.②③⑤Cx 1Oyx =1B xOy-23.如图,已知抛物线y=ax 2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,OA=OC,对称轴为直线x=1,下列结论：①abc＜0,② ,③ac+b+1=0,④2+c是关于x的一元二次方程ax 2+bx+c=0的一个根其中正确的有______.4.如图是抛物线y=ax 2+bx+c的一部分,下列结论:①b-2a=0,②4a-2b+c＜0,③10a-b+c=0,④(-3,y 1),(1.5,y 2)是抛物线上两点,则y 1＞y 2,⑤8a+7b+2c ＞0.其中正确的是________. ①④y O x1C A B ④点B的坐标为(2+c,0)∴④正确.∴③错误；③把A(-c,0)代入y=ax 2+bx+c得ac 2-bc+c=0∴ac-b+1=0,xy O2x =-1①③④③当x=-4时,y=16a-4b+c=0∵-b/2a=-1,∴10a-b+c=0,∴-3b=-6a,∴b=2a,⑤∵b=2a,4a+2b+c=0,∴8a+7b+2c=6a＜0∴c=-8a5.二次函数y=ax2+bx+c图象如图,下列结论错误的是( )A.4ac＜b2B.abc＜0C.b+c＞3aD.a＜b6.如图,若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点(-1,0),则下列结论①abc＞0；②a-b+c＝0；③2a+c＜0；④a+b＜0.其中正确的结论是( )A.①③B.②③C.②④D.②③④DyO x-1-2C.∵-b/2a＞-1, ∴-b＜-2a∵a-b+c＞0,∴a-2b+b+c＞0∴a-4a+b+c＞0,∴b+c＞3aD.∵a-b+c＞0 ∴a-b＞-c＞0∴a＞bD③∵-b/2a＜0.5,yO x-11∴a+a+c＜0即2a+c＜0∴-b＞a∵a-b+c＝0知识点二强化训练抛物线与a,b,c的关系知识点二次函数的图象及性质01抛物线与a ,b ,c 的关系02二次函数的图象的变换03二次函数与方程(不等式) 04拓展训练05平移方向平移前的解析式平移后的解析式简记向左平移m个单位y=a(x-h)2+k向右平移m个单位向上平移m个单位向下平移m个单位y=a(x-h+m)2+k y=a(x-h-m)2+ky=a(x-h)2+k+m y=a(x-h)2+k-m左加右减上加下减平移a 不变.1.上下平移, 括号外__________； 2.左右平移, 括号内__________.上加下减左加右减一般式顶式点顶点坐标变换前y=x 2+2x-3关于x轴对称关于y轴对称关于原点对称关于顶点对称关于y=-2对称y=(x+1)2-4(-1,-4)y=-(x+1)2+4 y= (x-1)2-4 y=-(x-1)2+4 y=-x 2+2x+3y= x 2-2x-3y=-x 2-2x+3y=-x 2-2x-5y=-(x+1)2-4 y=-x 2-2x-1y=-(x+1)2(1,-4) (1,4) (-1,-4) (-1,0)(-1,4) 一般式变换前后的对应点变换前y=x 2+2x-3关于x轴对称关于y轴对称关于原点对称任取一点(x,y)y=-x 2+2x+3y= x 2-2x-3y=-x 2-2x+3对称点(-x,y) 对称点(-x,-y) 对称点(x,-y) 代入y=x 2+2x-3 代入y=x 2+2x-3 代入y=x 2+2x-3知识点三强化训练二次函数的图象的变换1.将抛物线y=(x-1)2+2绕关于直线 x=-1 对称的新抛物线所对应的函数解析式是____________.2.把抛物线y=-x 2沿着x轴方向平移3个单位长度，那么平移后抛物线的解析式是_____________________.3.如图,抛物线y=x 2-4x(0≤x≤4)记为l 1,l 1与x轴分别交于点O,A 1；将l 1绕点A1旋转180º得到l 2交于点A 2；将l 2绕点A 2旋转180º得到l 3,l 3交x轴于点A 3；…,如此变换下去,若点P(2021,m)在这种连续变换的图象上,则m=____.y=(x+3)2+2y=-1y=-(x-1)2-4y=-(x+3)2或y=-(x-3)2 3知识点二次函数的图象及性质01抛物线与a ,b ,c 的关系02二次函数的图象的变换03二次函数与方程(不等式) 04拓展训练05【例4】已知二次函数y=x 2-3x+m的图象与x轴的一个交点为(1,0),则关于x的一元二次方程x 2-3x+m=0的两实数根是( )A.x 1=1,x 2=-1B.x 1=1,x 2=2C.x 1=1,x 2=0D.x 1=1,x 2=3B1.已知二次函数y=x 2-x+ m-1的图象与x轴有交点,则m的取值范围是_____.2.已知抛物线y=x 2-4x+k的顶点在x轴下方,则k的取值范围是______.3.函数y=ax 2+2ax+m(a＜0)的图象过点(2,0),则使函数值y＜0成立的x的取值范围是____________ .4.二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)与x轴交于点(x 1,0)与(x 2,0)(x 1＜x 2),方程ax 2+bx+c-a=0的两根为m、n(m＜n),则下列判断正确的是( ) A.b 2-4ac≥0 B.x 1+x 2＞m+n C.m＜n＜x 1＜x 2 D.m＜x 1＜x 2＜n5.已知m＞0,关于x的一元二次方程(x+1)(x-2)-m=0的解为x 1,x 2(x 1＜x 2),则下列结论正确的是( )x ＜-4或x ＞2m≤5k ＜4D A知识点二次函数的图象及性质01抛物线与a ,b ,c 的关系02二次函数的图象的变换03二次函数与方程(不等式) 04拓展训练051.若二次函数y=ax 2+bx+c图象上部分点的坐标如下表,则该图象的顶点坐标为( ) A.(-2,-2) B.(-3,-3) C.(-1,-3) D.(0,-6)2.已知二次函数y=ax 2-4ax+m(a,m为常数,且a＞0)的图象与直线y=3的一个交点为(-2,3),则关于x的一元二次方程ax 2-4ax+m-3=0的两个实数根是()A.x 1=-2,x 2=6B.x 1=-1,x 2=3C.x 1=-2,x 2=4D.x 1=-1,x 2=63.已知二次函数y=ax 2+bx+c的图象开口向下,并经过(2,-3),(-2,0)两点,那么该函数图象的对称轴( )A.有可能为y轴B.有可能在y轴的右边且在直线x=2的左边x …-3-2-101…y …-3-2-3-6-11…A A提升能力拓展训练二次函数C4.已知在二次函数y=ax 2-2x-3a的图象有三点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),C(0,-3),其中x 1＜-1,0＜x 2＜3,则y 2-y 1的值为( )A.正数B.负数C.0D.非负数5.关于抛物线y=x 2-(a+1)x+a-2,下列说法错误的是( ) A.开口向上 B.不论a为何值,都过定点(1,2)C.当a=2时,经过坐标原点OD.当a＞0时,对称轴在y轴的右侧6.四位同学在研究函数y=x 2+bx+c(b,c是常数)时,甲发现当x=1时,函数有最小值,乙发现-1是方程x 2+bx+c=0的一个根,丙发现函数的最小值为3,丁发现当x=2时,y=4,已知这四位同学中只有一位发现的结论错误,则该同学是( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁B BB7.已知点P(1，m)关于原点对称的点在一次函数y=2x-3的图象上,则点P的坐标是______.8.已知抛物线y=ax 2+bx+c与x轴交于点(-3,0),(1,0),则b:a=_____.9.二次函数y=-(x-h)2+2的图象上有两点A(1,y 1),B(2,y 2),若y 1≤y 2,则h的取值范围为________.10.已知二次函数y=m(x-2m)2+m 2,当x＞m+1时,y随x的增大而增大,则m的取值范围是_________.11.当0≤x≤3时,直线y=a与抛物线y=(x-1)2-3有交点,则a的取值范围是___________.12.已知二次函数y=-x 2+2bx+c,当x＞1时,y的值随x值的增大而减小,则实数b的取值范围是______.(1,5)2:10＜m≤1h≥1.5-3≤x≤1b≤113.若抛物线y=x 2+2x+c与坐标轴只有两个交点,则c的值为______.14.已知直线y=4与二次函数y=x 2-2mx+m 2+3(m是常数)的图象交于M,N两点(点M在点N的左侧),与y轴交于点P.当点P,M,N中恰好有一点是其余两点组成线段的中点时,m的值为_________.15.如图,二次函数y=-x 2+4与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),等腰直角△ACD的直角顶点D在x轴上,AD=3.现将△ACD沿x轴的正方向平移,则当点C在函数图象上时,△ACD的平移距离为______.16.如图,抛物线y=ax 2-4x+c经过坐标原点,与x轴交与点A(-4,0).若在抛物线上存在一点P,满足S △AOP =8,则点P的坐标___________________________.0,3或-30或1x y O D B A C 4或617.抛物线y=(x-t)(x-t-2)(t为常数)与x轴交于A,B两点(点A在点B的左边),则下列说法不正确的是( ) A.点A,B的坐标分别是(t,0)(t+2,0) B.AB为定值C.当y≥0时,t≤x≤t+2D.y的最小值为-118.已知抛物线y=ax 2-2ax+a-c与y轴的正半轴相交,直线AB∥x轴,且与抛物线相交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点,当x=x 1+x 2时,函数值为p,当 时,函数值为q,则p-q的值为( ) A.a C.-a+c D.a-c CA对称轴：∴x 1+x 2=2∴p=4a-4a+a-c=a-c ；q=a-2a+a-c=-c∴p-q=a-c-(-c)=a19.在平面直角坐标系中,把横、纵坐标都是整数的点叫做整点,如图,已知反比例函数 与二次函数 的图象所围成的阴影部分中(不含边界)有5个整点,则k的值可能为( ) A.4 B.3 C.2 D.14C y O x 43(1,3)(1,2)(1,1)(2,3)(2,2)(2,1)(3,2)(3,1)2≤x ＜3×××20.二次函数 的图像与x轴围成的封闭区域内(包括边界),横纵坐标都是整数的点有___个721.如图,在平面直角坐标系中,正方形OABC的边长为4,边OA,OC分别在x轴,y轴的正半轴上,把正方形OABC的内部及边上横纵坐标均为整数的点称为好点,已知点P为抛物线y=-(x-m)2+m+2的顶点,若点P在正方形OABC的内部,该抛物线下方(包括边界)恰好存在8个好点,则m的取值范围为_____________.yO x44P22.如图,抛物线 ,点F(0,p),直线l:y=-p,已知抛物线上的点到点F的距离与到直线l的距离相等,过点F的直线与抛物线交于A、B两点,AA1⊥l于点A1,BB1⊥l于点B1,连接A1F、B1F、A1O、B1O,若A1F=a,B1F=b,则△A1OB1的面积=____(只用a,b表示).yOxlFB1A1BA23.设二次函数y=ax2+bx-(a+b)(a,b是常数,a≠0).若该函数图象经过A(-23.1,4),B(0,-1),C(1,1)三个点中的两个点,求该二次函数的解析式.当x=1时，y=0，所以不经过点C.y=3x2-2x-1。
2020年九年级中考数学总复习：二次函数知识复习总结 讲义
2020 年中考数学人教版总复习：二次函数知识总结一、二次函数的概念一般地，形如 y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数．二、二次函数解析式的三种形式（1）一般式：y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，a ≠0）．（2）顶点式：y =a （x –h ）2+k （a ，h ，k 为常数，a ≠0），顶点坐标是（h ，k ）．（3）交点式：y =a （x –x ）（x –x ），其中 x ，x 是二次函数与 x 轴的交点的横坐标，a ≠0 ．三、二次函数的图象及性质1．二次函数的图象与性质解析式二次函数 y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）对称轴顶点（–b 2abx =–2a4ac b 2 ， ）4aa 的符号a >0a <0图象开口方向开口向上开口向下当 x =–b 2a时，当 x =–b 2a时， 最值y最小值=4ac b 4a2y=最大值 4ac b 4a21 2 1 2最点抛物线有最低点抛物线有最高点增减性b当x<–时，y 随x 的增大而减小；2ab当x>–时，y随x 的增大而增大2a当x<–当x>–b2ab2a时，y随x的增大而增大；时，y 随x的增大而减小2.二次函数图象的特征与a，b，c的关系字母的符号a>0aa<0b=0b ab>0（a与b同号）ab<0（a 与b异号）c=0c c>0c<0b2–4ac=0b2–4ac b2–4ac>0b2–4ac<0图象的特征开口向上开口向下对称轴为y轴对称轴在y轴左侧对称轴在y轴右侧经过原点与y轴正半轴相交与y轴负半轴相交与x轴有唯一交点（顶点）与x轴有两个交点与x轴没有交点四、抛物线的平移1．将抛物线解析式化成顶点式y=a（x–h）2+k，顶点坐标为（h，k）．2．保持y=ax2的形状不变，将其顶点平移到（h，k）处，具体平移方法如下：3．注意二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式．五、二次函数与一元二次方程的关系1．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）．2．ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标．3．（1）b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点；（2）b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x 轴有且只有一个交点；（3）b2–4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点．六、二次函数的综合1、函数存在性问题解决二次函数存在点问题，一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不存在．2、函数动点问题（1）函数压轴题主要分为两大类：一是动点函数图象问题；二是与动点、存在点、相似等有关的二次函数综合题．（2）解答动点函数图象问题，要把问题拆分，分清动点在不同位置运动或不同时间段运动时对应的函数表达式，进而确定函数图象；解答二次函数综合题，要把大题拆分，做到大题小做，逐步分析求解，最后汇总成最终答案．（3）解决二次函数动点问题，首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算．考点一二次函数的有关概念1．二次函数的一般形式的结构特征：①函数的关系式是整式；②自变量的最高次数是2；③二次项系数不等于零．2．一般式，顶点式，交点式是二次函数常见的表达式，它们之间可以互相转化．典型例题典例1 ）如果y=（m–2）x m 2m是关于x的二次函数，则m=A．–1【答案】AB．2C．–1或2D．m不存在【解析】依题意m²m 2m 20，解得m=–1，故选A.【名师点睛】此题主要考察二次函数的定义，需要注意a典例2 下列函数是二次函数的是0.A．y=2x+2B．y=﹣2x C．y=x2+2D．y=x﹣2【答案】C【解析】直接根据二次函数的定义判定即可．A、y=2x+2，是一次函数，故此选项错误；B、y=﹣2x，是正比例函数，故此选项错误；C、y=x2+2是二次函数，故此选项正确；D、y=x﹣2，是一次函数，故此选项错误．故选C．考点2二次函数的图象二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，叫做抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.典型例题典例3 函数y=ax2+bx+a+b（a≠0）的图象可能是A．B．C．D．【答案】C【解析】A，由图象可知，开口向下，则a<0，又因为顶点在y轴左侧，则b<0，则a+b<0，而图象与y轴交点为（0，a+b）在y轴正半轴，与a+b<0矛盾，故此选项错误；B，由图象可知，开口向下，则a<0，又因为顶点在y轴左侧，则b<0，则a+b<0，而图象与y 轴交点为（0，1）在y 轴正半轴，可知a+b=1与a+b<0矛盾，故此选项错误；C，由图象可知，开口向上，则a>0，顶点在y轴右侧，则b<0，a+b=1 可能成立，故此选项正确；D，由图象可知，开口向上，则a>0，顶点在y轴右侧，则b<0，与y 轴交于正半轴，则a+b>0，而图象与x轴的交点为（1，0），则a+b+a+b=0，显然a+b=0 与a+b>0矛盾，故此选项错误．故选C．典例4 如果二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么下列不等式成立的是A．a>0B．b<0 C．ac<0D．bc<0【答案】C【解析】∵抛物线开口向下，∴a<0，∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴x=–b2a>0，∴b>0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c>0，∴ac<0，bc>0．故选C．考点4二次函数的性质二次函数的解析式中，a 决定抛物线的形状和开口方向，h、k仅决定抛物线的位置．若两个二次函数的图象形状完全相同且开口方向相同，则它们的二次项系数a必相等．典型例题典例5由二次函数y=3（x﹣4）2﹣2可知A．其图象的开口向下C．其顶点坐标为（4，2）【答案】B B．其图象的对称轴为直线x=4 D．当x>3时，y随x的增大而增大【解析】Q y 3(x 4)22，a=3>0，抛物线开口向上，故A不正确；对称轴为x 4，故B正确；顶点坐标为（4，–2），故C不正确；当x 4时，y随x的增大而增大，故D不正确；故选B．【名师点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握抛物线的顶点式是解题的关键，即在y a(x h)2k中，顶点坐标为(h,k)，对称轴x h．a决定了开口方向.典例6 （2019·福建厦门外国语学校初三期中）在函数y (x 1)23中，当y随x的增大而减小时，则x的取值范围是A．x 1B．x 0C．x 3D．x 1【答案】D【解析】二次函数y (x 1)23的对称轴为直线x 1，∵a 0，∴x 1时，y随x的增大而减小.故选D.【名师点睛】本题考查了二次函数的单调性．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），当a>0时，在对称轴左侧y 随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大；当a<0时，在对称轴左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y 随x 的增大而减小考点4 二次函数的平移1．抛物线在平移的过程中，a 的值不发生变化，变化的只是顶点的位置，且与平移方向有关．2．涉及抛物线的平移时，首先将表达式转化为顶点式y=a（x–h）2+k的形式．的顶点是（0，0），y=a（x–h）2的顶点是（h，3．抛物线的移动主要看顶点的移动，y=ax20），y=a（x–h）2+k的顶点是（h，k）．4．抛物线的平移口诀：自变量加减左右移，函数值加减上下移．典型例题典例7 如果将抛物线y=–x2–2向右平移3 个单位长度，那么所得到的新抛物线的表达式是A．y=–x2–5B．y=–x2+1C．y=–（x–3）2–2D．y=–（x+3）2–2【答案】C【解析】y=–x2–2 的顶点坐标为（0，–2），∵向右平移3个单位长度，∴平移后的抛物线的顶点坐标为（3，–2），∴所得到的新抛物线的表达式是y=–（x–3）2–2．故选C．【名师点睛】牢记抛物线的平移口诀可轻松解决此类问题．典例8如图，如果把抛物线y=x2 沿直线y=x向上方平移22个单位后，其顶点在直线y=x上的A处，那么平移后的抛物线解析式是A．y=（x+2C．y=（x–22）2+22）2+222B．y=（x+2）2+2D．y=（x–2）2+2【答案】D【解析】如图，过点A作AB⊥x轴于B，∵直线y=x与x轴夹角为45°，OA=22，∴OB=AB=2 2×22=2，∴点A的坐标为（2，2），∴平移后的抛物线解析式是y=（x–2）2+2．故选D．考点5二次函数与一元二次方程、不等式的综合抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x 轴的交点个数及相应的一元二次方程根的情况都由Δ=b2–4ac 决定.1．当Δ>0，即抛物线与x轴有两个交点时，方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，这两个交点的横坐标即为一元二次方程的两个根．2．当Δ=0，即抛物线与x轴有一个交点（即顶点）时，方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，此时一元二次方程的根即为抛物线顶点的横坐标．3．当Δ<0，即抛物线与x 轴无交点时，方程ax2+bx+c=0无实数根，此时抛物线在x 轴的上方（a>0时）或在x 轴的下方（a<0时）．典型例题典例9二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表，则方程a x2+bx+c=0的一个解的范围是A．–0.03<x<–0.01 C．6.18<x<6.19xy6.17–0.036.18 6.19–0.010.02B．–0.01<x<0.02D．6.17<x<6.18【答案】C【解析】由表格中的数据看出–0.01和0.02更接近于0，故x应取对应的范围为：6.18<x<6.19，故选C．典例10 如图是二次函数y=a（x+1）2+2图象的一部分，则关于x的不等式a（x+1）2+2>0的解集是A．x<2C．–3<x<1B．x>–3D．x<–3或x>1【答案】C【解析】二次函数y=a（x+1）2+2的对称轴为x=–1，∵二次函数y=a（x+1）2+2与x 轴的一个交点是（–3，0），∴二次函数y=a（x+1）2+2与x轴的另一个交点是（1，0），∴由图象可知关于x 的不等式a（x+1）2+2>0的解集是–3<x<1．故选C．考点六二次函数的实际应用在生活中，我们常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，解决这类问题的一般思路：首先要读懂题意，弄清题目中牵连的几个量的关系，并且建立适当的直角坐标系，再根据题目中的已知条件建立数学模型，即列出函数关系式，然后运用数形结合的思想，根据函数性质去解决实际问题．典型例题典例11 飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间以（单位：）的函数解析式是y=6t﹣A．1032t2．在飞机着陆滑行中，滑行最后的150m所用的时间是s．B．20C．30D．10或30【答案】A【解析】当y取得最大值时，飞机停下来，则y=60t﹣1.5t2=﹣1.5（t﹣20）2+600，此时 t =20，飞机着陆后滑行 600 米才能停下来．因此 t 的取值范围是 0≤t ≤20；即当 y =600﹣150=450 时，即 60t ﹣3 2t 2=450，解得：t =10，t =30（不合题意舍去），∴滑行最后的 150m 所用的时间是 20﹣10=10，故选 A ．【名师点睛】本题考查二次函数与一元二次方程综合运用，关键在于解一元二次方程. 典例 12如图，一段抛物线：y =﹣x （x ﹣4）（0≤x ≤4）记为 C ，它与 x 轴交于两点 O ，A ；将 C 绕 A 旋转 180°得到 C ，交 x 轴于 A ；将 C 绕 A 旋转 180°得到 C ，交 x 轴于 A ；…如 此变换进行下去，若点 P （17，m ）在这种连续变换的图象上，则 m 的值为A ．2C ．﹣3B ．﹣2D ．3【答案】D【解析】∵y =﹣x （x ﹣4）（0≤x ≤4）记为 C ，它与 x 轴交于两点 O ，A ，∴点 A （4，0），∴OA =4， ∵OA =A A =A A =A A ......，∴OA =A A =A A =A A (4)∵点 P （17，m ）在这种连续变换的图象上，17÷4=4……1，∴点 P （17，m ）在 C 上，∴x =17 和 x =1 时的函数值相等，∴m =﹣1×（1﹣4）=﹣1×（﹣3）=3，故选 D ．1 1 1 12 2 2 23 3 1 11 11 12 23 34 1 1 2 2 3 3 45【名师点睛】本题考查二次函数的性质及旋转的性质，得出x=17和x=1时的函数值相等是解题关键.。
2020年中考一轮复习 二次函数的图像与性质 讲义
二次函数的图像与性质中考一轮复习教学目标1.理解懂得二次函数的图像的开口、对称轴、顶点坐标与a、b、c的关系；会根据图像推断a、b、c及相关式子的符号；2.能借助二次函数的图像进行推理探究；3.学会进行数形转化，能从图形中抽象出数量关系，建立方程模型和不等式模型求解.4.经典考题【例1】根据下表中的二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的对应值，可判断二次函数的图象与x轴( ) A.只有一个交点B.有两个交点，且它们分别在x轴两侧C.有两个交点，且它们均在y轴同侧D.无交点x…-1 0 1 2 …y…-174--274-…【解法指导】本题要先画出啊、二次函数的图像。
根据对称性知（1，-2）是抛物线的顶点，且其开口向上。
因而二次函数的图像与x轴有两个交点，且它们分别在y轴两侧。
本题应选B。
【变式题组】1.2x…-2 -1 0 1 2 …y…162--4122--2122-…根据表格上的信息回答问题：该二次函数y=ax+bx+c在x=3时，y= 。
2.已知二次函数2x…-1 0 1 2 3 4 …y…10 5 2 1 2 5 …(1)(2)当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？(3)若两点A(m,y1),B(m+1,y2)都在该函数的图像上，试比较y1与y2的大小.【例2】函数y=ax+1与y=ax2+bx+c（0a≠）的图像可能是（）【解法指导】本题应用逐一排除法.解：两函数图像与y轴交于同一点（0,1），A不正确；B中直线中a>0，抛物线中a<0,不正确；D中直线的a<0，抛物线中a>0，不正确。
故应选C。
【变式题组】3.已知0a≠，在同一直角坐标系中，函数y=ax与y=ax2的图像有可能是（）4.在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和函数y=-mx2+2x+2(m是常数，且0m≠)的图像可能是（）5.二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，则一次函数y=-bx-4ac+b2与反比例函数a b cyx++=在同一坐标系内的图像大致为（）【例3】已知二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴交于点（-2,0）、（x1，0），且1<x1<2,与y轴的正半轴的交点在(0,2)的下方。
【中考一轮复习】二次函数的图象与性质课件(1)
当堂训练---二次函数的图象的变换
1.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=0.5x2经过平移得到抛物
线y=0.5x2-2x,其对称轴与两段抛物线弧所围成的阴影部分的面
积为( B )
A.2
B.4
C.8
D.16
2.将抛物线y=0.5x2-6x+21向左平移2个
单位后,得到抛物线的解析式为( D )
A.y=0.5(x-8)2+5 B.y=0.5(x-4)2+5
人教版中考数学第一轮总复习
第三单元 函数及其图象
•§3.6 二次函数图象与性质(2)
目录
01 二次函数的图象的变换
02 二次函数与一元二次方程
03 二次函数图象的最值问题
考点聚焦---二次函数的图象的变换
二次函数图 平 移 ①先求出原抛物线的顶点；
象的平移
规
律
②后求出变换后的抛物线的顶点； ③写出变换的抛物线的解析式。
【例1】将抛物线y=x2+2x-3,化成顶点式为_y_=_(_x_+_1_)_2_-_4__; (1)该抛物线是由y=x2_向__左__1_个__单__位__,_再__向__下__4_个___单__位__平移得到的；
(2)写出该抛物线关于x轴,y轴,原点和(1,1)对称的抛物线解析式: 关于 x 轴对称：_y_=_-_x_2_-_2_x_+_3___；_y_=_-_(_x_+_1_)_2_+_4___。 关于 y 轴对称：_y_=__x_2_-_2_x_-_3___；_y_=__(_x_-_1_)_2_-_4___。 关于 x=2 对称：_y_=_x_2_-_1_0_x_+_2_1__；_y_=_(_x_-_5_)_2_-_4____。 关于原 点对称：_y_=_-_x_2_+_2_x_+_3___；_y_=_-_(_x_-_1_)_2_+_4___。 关于(1,1)对称：_y_=_-_x_2_+_6_x_-_9___；_y_=_-_(_x_-_3_)_2_+_6___。
2020年中考数学一轮专项复习13 二次函数图象及性质1(含解析)
2020年中考数学一轮专项复习——二次函数图象及性质课时1 二次函数图象与基本性质基础过关1. (2019衢州)二次函数y ＝(x －1)2＋3图象的顶点坐标是( ) A. (1，3) B. (1，－3) C. (－1，3)D. (－1，－3)2. (2019重庆B 卷)抛物线y ＝－3x 2＋6x ＋2的对称轴是( ) A. 直线x ＝2 B. 直线x ＝－2 C. 直线x ＝1D. 直线x ＝－13. (2019兰州)已知点A (1，y 1)，B (2，y 2)在抛物线y ＝－(x ＋1)2＋2上，则下列结论正确的是( ) A. 2>y 1>y 2 B. 2>y 2>y 1 C. y 1>y 2>2D. y 2>y 1>24. (2019咸宁)已知点A (－1，m )，B (1，m )，C (2，m －n )(n ＞0)在同一个函数的图象上，这个函数可能是( )A. y ＝xB. y ＝－2xC. y ＝x 2D. y ＝－x 25. (2019河南)已知抛物线y ＝－x 2＋bx ＋4经过(－2，n )和(4，n )两点，则n 的值为( ) A. －2B. －4C. 2D. 46. (2018岳阳)在同一直角坐标系中，二次函数y ＝x 2与反比例函数y ＝1x (x ＞0)的图象如图所示，若两个函数图象上有三个不同．．．．的点A (x 1，m )，B (x 2，m )，C (x 3，m )，其中m 为常数，令ω＝x 1＋x 2＋x 3，则ω的值为( )A. 1B. mC. m 2D. 1m第6题图7. (2019株洲)若二次函数y ＝ax 2＋bx 的图象开口向下，则a ________0(填“＝”、“>”或“<”)． 8. (2019眉山模拟)如果点A (－4，y 1)、B (－3，y 2)是二次函数y ＝2x 2＋k (k 是常数)图象上的两点，那么y 1________y 2.(填“＞”、“＜”或“＝”)9. (2019甘肃省卷)将二次函数y ＝x 2－4x ＋5化成y ＝a (x －h )2＋k 的形式为__________． 10. 已知二次函数y ＝x 2－2x ＋3，当自变量x 满足－1≤x ≤2时，函数y 的最大值是________．满分冲关1. 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)图象的顶点在第一象限，且图象经过点(－1，0)，若a ＋b 为整数，则ab 的值为( )A. －2B. 1C. －34D. －142. (2018呼和浩特)若满足12<x ≤1的任意实数x ，都能使不等式2x 3－x 2－mx >2成立，则实数m 的取值范围是( )A. m <－1B. m ≥－5C. m <－4D. m ≤－43. (2020原创)在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y ＝x 2－2mx ＋m 2－1. (1)求抛物线的对称轴(用含m 的式子去表示)；(2)若点(m －2，y 1)，(m ，y 2)，(m ＋3，y 3)都在抛物线y ＝x 2－2mx ＋m 2－1上，求y 1，y 2，y 3的大小关系．课时2 二次函数图象与系数a 、b 、c 的关系及解析式的确定(建议时间：25分钟)基础过关1. (2019呼和浩特)二次函数y ＝ax 2与一次函数y ＝ax ＋a 在同一坐标系中的大致图象可能是( )2. (2019青岛)已知反比例函数y ＝abx 的图象如图所示，则二次函数y ＝ax 2－2x 和一次函数y ＝bx ＋a 在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )第2题图3. (2019济宁)将抛物线y ＝x 2－6x ＋5向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是( )A. y ＝(x －4)2－6B. y ＝(x －1)2－3C. y ＝(x －2)2－2D. y ＝(x －4)2－24. (2019宜宾模拟)如图，关于二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的结论正确的是( )①2a ＋b ＝0; ②当－1≤x ≤3时，y ＜0; ③若(x 1，y 1)，(x 2，y 2)在函数图象上，当x 1＜x 2时，y 1＜y 2; ④3a ＋c ＝0.A. ①②④B. ①④C. ①②③D. ③④第4题图5. (人教九上P 35例3改编)怎样移动抛物线y ＝－12x 2就可以得到抛物线y ＝－12(x ＋1)2－1( )A. 向左平移1个单位，再向上平移1个单位B. 向左平移1个单位，再向下平移1个单位C. 向右平移1个单位，再向上平移1个单位D. 向右平移1个单位，再向下平移1个单位6. 已知二次函数的图象经过(－1，0)，(2，0)，(0，2) 三点，则该函数解析式为( ) A. y ＝－x 2－x ＋2 B. y ＝x 2＋x －2 C. y ＝x 2＋3x ＋2D. y ＝－x 2＋x ＋27. (2019娄底改编)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，下列结论中正确的有( ) ① 4a ＋c ＞－2b ② b 2－4ac <0 ③ 2a >b ④ (a ＋c )2<b 2 A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个第7题图8. (人教九上P 40练习第2题改编)一个二次函数的图象经过(0，0)、(－1，－1)、(1，9)三点，这个二次函数的解析式是________．9. (2019天水)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，若M ＝4a ＋2b ，N ＝a －b .则M 、N 的大小关系为M ________N ．(填“>”、“＝”或“<”)第9题图能力提升如图，抛物线y 1＝a (x ＋2)2－3与y 2＝12(x －3)2＋1交于点A (1，3)，过点A 作x 轴的平行线，分别交两条抛物线于B 、C ，则以下结论：①无论x 取何值，y 2的值总是正数；②a ＝1；③2AB ＝3AC . 其中正确结论是( ) A. ①② B. ①③ C. ②③ D. 都正确题图满分冲关抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a 、b 、c 为常数)的顶点为P ，且抛物线经过点A (－1，0)，B (m ，0)，C (－2，n )(1<m <3，n <0)．下列结论：①abc >0；②3a ＋c <0；③a (m －1)＋2b >0；④a ＝－1时，存在点P 使△P AB 为直角三角形．其中正确结论的序号为________．课时3二次函数与方程、不等式的关系(建议时间：25分钟)基础过关1.二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象如图所示，由图象可知不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为()第1题图A. x＜－1或x＞5B. x＞5C. －1＜x＜5D. 无法确定2. (2019荆门)抛物线y＝－x2＋4x－4与坐标轴的交点个数为()A. 0B. 1C. 2D. 33. (2019梧州)已知m>0，关于x的一元二次方程(x＋1)(x－2)－m＝0的解为x1，x2(x1<x2)，则下列结论正确的是()A. x1<－1<2<x2B. －1<x1<2<x2C. －1<x1<x2<2D. x1<－1<x2<24. (2019绵阳模拟)若抛物线y＝x2－6x＋m与x轴没有交点，则m的取值范围是()A. m＞9B. m≥9C. m＜－9D. m≤－95. (2019潍坊)抛物线y＝x2＋bx＋3的对称轴为直线x＝1.若关于x的一元二次方程x2＋bx＋3－t＝0(t 为实数)在－1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围是()A ．2≤t ＜11B ．t ≥2C ．6＜t ＜11D ．2≤t ＜66. 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)和正比例函数y ＝23x 的图象如图所示，则方程ax 2＋(b －23)x ＋c ＝0(a ≠0)的两根之和( )A. 大于0B. 等于0C. 小于0D. 不能确定第6题图7. 如图，二次函数y ＝ax 2＋c 的图象与反比例函数y ＝c x 的图象相交于A (－32，1)，则关于x 的不等式ax 2＋c >cx的解集为( )A. x <－32B. x >－32C. x <－32或x >0D. －32<x <1第7题图8. 一次函数y ＝－2x ＋6的图象与二次函数y ＝－2x 2＋4x ＋6的图象的交点坐标为________． 9. (2019镇江)已知抛物线y ＝ax 2＋4ax ＋4a ＋1(a ≠0)过点A (m ，3)，B (n ，3)两点，若线段AB 的长不大于4，则代数式a 2＋a ＋1的最小值是________．能力提升1. (2019绵阳模拟)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的大致图象如图所示，顶点坐标为(－2，－9a)，下列结论：①a－3b＋2c＞0；②3a－2b－c＝0；③若方程a(x＋5)(x－1)＝－1有两个根x1和x2，且x1<x2，则－5<x1<x2<1；④若方程|ax2＋bx＋c|＝1有四个根，则这四个根的和为－8.其中正确的结论有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个第1题图2. (2019安徽)在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线l分别与函数y＝x－a＋1和y＝x2－2ax的图象相交于P，Q两点．若平移直线l，可以使P，Q都在x轴的下方，则实数a的取值范围是________．3. (2019武汉)抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－3，0)，B(4，0)两点，则关于x的一元二次方程a(x－1)2＋c＝b－bx的解是________．满分冲关1. (2019杭州)在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y＝(x＋a)(x＋b)的图象与x轴有M个交点，函数y＝(ax＋1)(bx＋1)的图象与x轴有N个交点，则()A. M＝N－1或M＝N＋1B. M＝N－1或M＝N＋2C. M＝N或M＝N＋1D. M＝N或M＝N－12. (2019济宁)如图，抛物线y＝ax2＋c与直线y＝mx＋n交于A(－1，p)，B(3，q)两点，则不等式ax2＋mx＋c>n的解集是________．参考答案课时1 二次函数图象与基本性质基础过关1. A 【解析】由二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的顶点坐标为(h ，k )，可得二次函数y ＝(x －1)2＋3的顶点坐标为(1，3)．2. C 【解析】∵抛物线y ＝－3x 2＋6x ＋2＝－3(x －1)2＋5，∴抛物线的对称轴为直线x ＝1.3. A 【解析】把x 1＝1，x 2＝2分别代入y ＝－(x ＋1)2＋2，求得y 1＝－2，y 2＝－7，∴2＞y 1＞y 2.4. D 【解析】∵A (－1，m )，B (1，m )，∴点A 与点B 关于y 轴对称．∵函数y ＝x 和y ＝－2x 的图象关于原点对称，因此选项A 、B 错误；∵n ＞0，∴m －n ＜m ；由B (1，m )，C (2，m －n )可知，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小，对于二次函数只有a ＜0时，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小，∴D 选项正确．5. B 【解析】已知抛物线y ＝－x 2＋bx ＋4经过(－2，n )和(4，n )两点，∵两点的纵坐标相同，∴两点关于抛物线的对称轴对称，∴对称轴是直线x ＝－2＋42＝1，∴－b 2×（－1）＝1，解得b ＝2，∴抛物线的解析式是y ＝－x 2＋2x ＋4，当x ＝－2时，y ＝－4，∴n ＝－4.6. D 【解析】根据图象信息，可以发现，A 、B 、C 三点的横坐标中，抛物线上的两点横坐标互为相反数，∴ω的值即为反比例函数上的点的横坐标，依题意，当y ＝m 时，有x ＝1m ，则ω＝1m.7. ＜8. ＞ 【解析】∵该二次函数图象的对称轴为y 轴， ∴当x ＜0时，y 随x 的增大而减小， ∴y 1＞y 2. 9. y ＝(x －2)2＋1 【解析】配方可得y ＝x 2－4x ＋5＝(x －2)2＋1.10. 6 【解析】∵二次函数y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，∴该二次函数图象的对称轴为直线x ＝1，且a ＝1>0，∴当x ＝1时，函数有最小值2.当x ＝－1时，二次函数有最大值(－1－1)2＋2＝6.满分冲关1. D 【解析】依题意知a ＜0，－b2a ＞0，a －b ＋1＝0，∴b ＞0，且b ＝a ＋1，a ＋b ＝a ＋(a ＋1)＝2a＋1，∴－1＜a ＜0，∴－1＜2a ＋1＜1，又a ＋b 为整数，∴2a ＋1＝0，∴a ＝－12，b ＝12，∴ab ＝－14.2. D 【解析】∵12<x ≤1，∴不等式可化为2x 2－x －m >2x ，∴当 12<x ≤1时，2≤2x <4，∵y ＝2x 2－x －m＝2(x －14)2－18－m ，∴当12<x ≤1时，y 随x 的增大而增大，∴当x ＝12，y 取得最小值，要使2x 2－x －m >2x 成立，∴y ≥4，即2(12－14)2－18－m ≥4，解得m ≤－4.3. 解：(1)∵抛物线为y ＝x 2－2mx ＋m 2－1， ∴抛物线的对称轴为直线x ＝－－2m2×1＝m ；(2)∵a ＝1>0，∴抛物线y ＝x 2－2mx ＋m 2－1开口向上，∴在对称轴的右侧y 随x 的增大而增大，在对称轴的左侧y 随x 的增大而减小， ∵对称轴为直线x ＝m ，m －2<m <m ＋3，m ＋3离对称轴的距离更远， ∴可得出y 3>y 1>y 2.课时2 二次函数图象与系数a 、b 、c 的关系及解析式的确定基础过关1. D 【解析】一次函数y ＝ax ＋a ＝0时，x ＝－1，因此排除A 、B 选项；C 选项中一次函数a >0，二次函数a <0，相互矛盾；D 选项中a >0，二次函数开口向上，一次函数过第一、二、三象限且过点(－1，0)．2. C 【解析】∵反比例函数y ＝ab x的图象在第一、三象限，∴ab ＞0，即a 与b 同号．当a ＞0，b ＞0时，y ＝ax 2－2x 的开口向上，且经过原点，令y ＝0，得ax 2－2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2a＞0，即它与x 轴有两个交点，一个为原点，另一个在正半轴上，对于y ＝bx ＋a ，图象经过第一、二、三象限，∴选项C 正确，B 不正确．当a ＜0，b ＜0时，y ＝ax 2－2x 的开口向下，且经过原点，令y ＝0，得ax 2－2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2a＜0，即它与x 轴有两个交点，一个为原点，另一个在负半轴上，∴选项A 、D 不正确，故选C . 3. D 【解析】∵y ＝x 2－6x ＋5＝(x －3)2－4，∴将抛物线y ＝x 2－6x ＋5向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是y ＝(x －3－1)2－4＋2＝(x －4)2－2.4. B 【解析】①∵抛物线过点(－1，0)与(3，0)，∴抛物线的对称轴为直线x ＝1，∴－b 2a＝1，∴b ＋2a ＝0，故①正确；②由图象可知：当－1≤x ≤3时，y ≤0，故②错误；③当x 1＜x 2＜1时，y 1＞y 2，故③错误；④当x ＝－1时，y ＝a －b ＋c ＝0，∵2a ＝－b ，∴a ＋2a ＋c ＝0，∴3a ＋c ＝0，故④正确．5. B6. D 【解析】∵二次函数的图象经过(－1，0)、(2，0)、(0，2)三点，∴设二次函数的解析式为y ＝a (x ＋1)·(x －2)，将点(0，2)代入，得2＝－2a ，解得a ＝－1，故函数解析式为y ＝－1(x ＋1)(x －2)，整理得y ＝－x 2＋x ＋2.7. A 【解析】由二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象可知，当x ＝2时，y ＝4a ＋2b ＋c ，此时y ＜0，即4a ＋2b ＋c ＜0，∴4a ＋c ＜－2b ，故①错误；二次函数的图象与x 轴交于两点，则当ax 2＋bx ＋c ＝0时，方程有两个不同的实数根，∴b 2－4ac >0，∴②错误. ∵二次函数的图象开口向下，∴a ＜0，∵对称轴为直线x ＝－b 2a ，∴－1＜－b 2a＜0，∴2a ＜b ，∴③错误；由图象知，当x ＝－1时，y >0，即a －b ＋c >0；当x ＝1时，y <0，即a ＋b ＋c <0，∴(a －b ＋c )(a ＋b ＋c )＜0，即(a ＋c )2＜b 2，∴④正确．共有1个正确结论．8. y ＝4x 2＋5x 【解析】∵这个二次函数的图象经过(0，0)，∴可设这个二次函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ，将点(－1，－1)和(1，9)代入得，⎩⎪⎨⎪⎧－1＝（－1）2a －b 9＝a ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝5，∴这个二次函数的解析式为y ＝4x 2＋5x .9. < 【解析】观察图象可知，当x ＝－1时，y ＝a －b ＋c >0，当x ＝2时，y ＝4a ＋2b ＋c <0.∵M ＝4a ＋2b ，N ＝a －b ，∴M ＋c <N ＋c .∴M <N .能力提升B 【解析】抛物线y 2＝12(x －3)2＋1，当x ＝3时，y 有最小值为1，∴无论x 取何值，y 2的值总是正数，∴①正确；把A (1，3)代入y 1＝a (x ＋2)2－3得a (1＋2)2－3＝3，解得a ＝23，∴②错误；∵抛物线y 1＝a (x ＋2)2－3的对称轴为直线x ＝－2，则B 点坐标为(－5，3)，∴AB ＝1－(－5)＝6，抛物线y 2＝12(x －3)2＋1的对称轴为直线x ＝3，则C 点坐标为(5，3)，∴AC ＝5－1＝4，∴2AB ＝3AC ，∴③正确．满分冲关1. ②③ 【解析】∵A (－1，0)，B (m ，0)，∴抛物线的对称轴x ＝m －12＝－b 2a ，∴－b a＝m －1，∵1＜m ＜3，∴m －1＞0，∴b a＜0，∴ab ＜0，∵抛物线与x 轴交于点A (－1，0)，B (m ，0)，且过C (－2，n )，n ＜0，∴a ＜0，∴b ＞0，将A (－1，0)代入抛物线的解析式，得a －b ＋c ＝0，∴c ＝b －a ＞0，∴abc ＜0，①错误；∵当x ＝－1时，a －b ＋c ＝0得b ＝a ＋c ，∴结合抛物线图象可知当x ＝3时，y ＜0，∴9a ＋3b ＋c ＝9a＋3(a ＋c )＋c ＝12a ＋4c ＝4(3a ＋c )＜0，∴3a ＋c ＜0，②正确；a (m －1)＋2b ＝a ×(－b a)＋2b ＝－b ＋2b ＝b ＞0，③正确；a ＝－1时，c ＝b －a ＝b ＋1, ∴y ＝－x 2＋bx ＋b ＋1，∴P (b 2，b ＋1＋b 24)，若△P AB 为直角三角形，则△P AB 为等腰直角三角形，∴∠P AB ＝45°，∴b ＋1＋b 24＝b 2＋1，解得b ＝0或b ＝－2，∵b ＞0，∴不存在点P 使△P AB 为直角三角形，④错误；故正确结论的序号为②③.2. D 【解析】∵12<x ≤1 ，∴不等式可化为2x 2－x －m >2x ，∴当 12<x ≤1时，2≤2x<4，∵y ＝2x 2－x －m ＝2(x －14)2－18－m ，∴当12<x ≤1时，y 随x 的增大而增大，∴当x ＝12，y 取得最小值，要使2x 2－x －m >2x成立，∴y ≥4，即2(12－14)2－18－m ≥4，解得m ≤－4.课时3 二次函数图象与方程、不等式的关系基础过关1. A 【解析】由二次函数的图象可知对称轴是直线x ＝2，与x 轴的一个交点坐标(5，0)，由二次函数的对称性可知，与x 轴另一个交点是(－1，0)，∴ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为x ＞5或x ＜－1.2. C 【解析】当x ＝0时，y ＝－x 2＋4x －4＝－4，则抛物线与y 轴的交点坐标为(0，－4)，当y ＝0时，－x 2＋4x －4＝0，解得x 1＝x 2＝2，抛物线与x 轴的交点坐标为(2，0)，∴抛物线与坐标轴有2个交点．3. A 【解析】如解图所示，关于x 的一元二次方程(x ＋1)(x －2)＝m 的两根即为抛物线y ＝(x ＋1)(x －2)与直线y ＝m (m >0)的交点的横坐标．∵抛物线与x 轴交于点(－1，0)，(2，0)，观察解图可知x 1<－1<2<x 2.第3题解图4. A5. A 【解析】∵抛物线y ＝x 2＋bx ＋3的对称轴为直线x ＝1，∴b ＝－2，∴y ＝x 2－2x ＋3，∴一元二次方程x 2＋bx ＋3－t ＝0有实数根可以看做抛物线y ＝x 2－2x ＋3与函数y ＝t 的图象有交点，∵方程在－1＜x ＜4的范围内有实数根，当x ＝－1时，y ＝6; 当x ＝4时，y ＝11，函数y ＝x 2－2x ＋3在x ＝1时有最小值2，∴2≤t ＜11.6. A7. C 【解析】要求ax 2＋c >c x的解集，即求二次函数图象在反比例函数图象上方时x 的取值范围，由题图知x <－32或x >0时满足题意，∴不等式ax 2＋c >c x 的解集是x <－32或x >0. 8. (0，6)，(3，0) 【解析】联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋6y ＝－2x 2＋4x ＋6，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0y 1＝6，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝3y 2＝0，即一次函数与二次函数图象的交点坐标为(0，6)，(3，0)．9. 74【解析】∵抛物线y ＝ax 2＋4ax ＋4a ＋1＝a (x ＋2)2＋1(a ≠0)，∴顶点为(－2，1)，过点A (m ，3)，B (n ，3)两点，∴a ＞0，∵对称轴为直线x ＝－2，线段AB 的长不大于4，∴4a ＋1≥3，∴a ≥12，∴a 2＋a ＋1的最小值为：(12)2＋12＋1＝74. 能力提升1. C 【解析】∵抛物线的开口向上，∴a ＞0，∵抛物线的顶点坐标为(－2，－9a )，∴－b 2a ＝－2，4ac －b 24a＝－9a ，∴b ＝4a ，c ＝－5a ，∴抛物线的解析式为y ＝ax 2＋4ax －5a ，∴a －3b ＋2c ＝a －12a －10a ＝－21a ＜0，故①结论错误；3a －2b －c ＝3a －8a ＋5a ＝0，故②结论正确；∵抛物线y ＝ax 2＋4ax －5a 交x 轴于(－5，0)，(1，0)，∴若方程a (x ＋5)(x －1)＝－1有两个根x 1和x 2，且x 1＜x 2，则－5＜x 1＜x 2＜1，故结论③正确；若方程|ax 2＋bx ＋c |＝1有四个根，设方程ax 2＋bx ＋c ＝－1的两根分别为x 1、x 2，则x 1＋x 22＝－2，可得x 1＋x 2＝－4，设方程ax 2＋bx ＋c ＝1的两根分别为x 3、x 4，则x 3＋x 42＝－2，可得x 3＋x 4＝－4.所以这四个根的和为－8，故结论④正确．综上所述，共有2个正确的结论．2. a ＞1或a ＜－1 【解析】 当a ＜0时，令x 2－2ax <0，得2a <x <0，由于y ＝x －a ＋1中y 随x 增大而增大，即2a －a ＋1＜0，∴a ＜－1；同理得a ＞0时，令x 2－2ax <0，得0<x <2a ，由于y ＝x －a ＋1中y 随x 增大而增大，即－a ＋1＜0，∴a ＞1.综上得，a 的取值范围为a >1或a <－1.3. x 1＝－2或x 2＝5 【解析】设y 1＝a (x －1)2＋b (x －1)＋c ，将原抛物线ax 2＋bx ＋c 向右平移1个单位得y 1，由题意知当ax 2＋bx ＋c ＝0的解为x 1＝－3，x 2＝4，故方程a (x －1)2＋b (x －1)＋c ＝0的解为x 1＝－2或x 2＝5.满分冲关1. C 【解析】当a ＝0时，∵a ≠b ，∴b ≠0.∴y ＝(x ＋a )(x ＋b )＝x (x ＋b )．它与x 轴的交点为(0，0)，(－b ，0)有2个，即M ＝2.y ＝(ax ＋1)(bx ＋1)＝bx ＋1.它与x 轴的交点为(－1b，0)有1个交点，即N ＝1.∴M ＝N ＋1；当a ＝－b 时，且a ≠0，∴y ＝(x ＋a )(x ＋b )＝(x ＋a )(x －a )．它与x 轴的交点为(－a ，0)，(a ，0)，有2个交点，即M ＝2，y ＝(ax ＋1)(bx ＋1)＝(ax ＋1)(－ax ＋1)．它与x 轴的交点为(－1a ，0)，(1a，0)，有2个交点，N ＝2，∴M ＝N .综上所述，M ＝N 或M ＝N ＋1.2. x ＜－3或x ＞1 【解析】∵抛物线y ＝ax 2＋c 与直线y ＝mx ＋n 交于A (－1，p )，B (3，q )两点，∴－m ＋n ＝p ，3m ＋n ＝q ，∴抛物线y ＝ax 2＋c 与直线y ＝mx ＋n 交于(1，p )，Q (－3，q )两点．如解图，∴ax 2＋mx ＋c ＞n 可以转化为ax 2＋c ＞－mx ＋n ，观察函数图象可知，当x <－3或x >1时，直线y ＝－mx ＋n 在抛物线y ＝ax 2＋c 的下方．∴不等式ax 2＋mx ＋c >n 的解集为x ＜－3或x ＞1.第2题解图。
中考一轮复习--第12讲 二次函数的图象及性质
B.2个
C.3个
D.4个
答案:A
解析:由函数图象可知a<0,对称轴-1<x<0,图象与y轴的交点c>0,
函数与x轴有两个不同的交点,∴b-2a>0,b<0;Δ=b2-4ac>0;abc>0;当
x=1时,y<0,即a+b+c<0;当x=-1时,y>0,即a-b+c>0;∴(a+b+c)(ab+c)<0,即(a+c)2<b2;∴只有④是正确的.故选A.
考法1
考法2
考法3
二次函数的图象
例1(2018·山东青岛)已知一次函数y= x+c的图象如图,则二次函
数y=ax2+bx+c在平面直角坐标系中的图象可能是(
)
答案:A
考法1
考法2
考法3
解析:观察函数图象可知: <0,c>0,∴二次函数 y=ax2+bx+c 的图象
2
对称轴 x=- >0,与 y 轴的交点在 y 轴正半轴.故选 A.
第12讲 二次函数的图象及性质
考点梳理
自主测试
考点一 二次函数概念及表达式
定义:一般地,形如y=ax2+bx+c (a,b,c为常数,a≠0)的函数叫做二
次函数.
(1)一般形式:y = ax 2 + bx + c
;
(2)顶点式:y = a(x-h)2 + k(a ≠ 0),其中
二次函数的顶点坐标是(h,k)
顶点
坐标
对称轴
b 4ac-b2
数学中考一轮复习专题15二次函数的图象及其性质课件
知识点1：二次函数的概念
典型例题
【例1】下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ）
A. y=3x-1
B. y=ax2+bx+c
C. s=2t2-2t+1
D. y x2 1 x
【考点】二次函数的定义.
【解析】解：根据二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c(a≠0)判定即可．
A. y=3x-1是一次函数；B. y=ax2+bx+c不一定是几次函数；
C. s=2t2-2t+1符合二次函数定义；D. y x2 1 不符合二次函数定义． x
故答案为：C．
典型例题
知识点1：二次函数的概念
【例2】（4分）（202X·甘肃庆阳）将二次函数y＝x2－4x＋5化 成y＝a(x－h)2＋k的情势为________．
【答案】 y＝(x－2)2＋1． 【分析】将二次函数y＝x2－4x＋5按照配方法化成y＝a(x－h)2＋k的情势即可． 【解答】y＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1．
典型例题
知识点2：二次函数的图象和性质
【例5】（3分）（202X•包头10/26）已知二次函数y=ax2-bx+c (a≠0)的图象经
过第一象限的点（1，-b），则一次函数y=bx-ac的图象不经过（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【考点】二次函数图象上点的坐标特征；一次函数的性质；二次函数的性质 【分析】根据二次函数y=ax2-bx+c (a≠0)的图象经过第一象限的点（1，-b）， 可以判断b＜0和ac异号．再根据一次函数的性质即可求解．
知识点梳理
知识点1：二次函数的概念
2024年中考第一轮复习 二次函数的图象与性质 课件
∴|-m+1|=|m-(m- - + 1)|,解得 m=0 或 1,
∴存在 m=0 或 1,使得函数图象的顶点与 x 轴的两个交点构成等腰直角三角形,故结
论②正确;
∵x1+x2>2m,
1 + 2
∴
>m.
2
∵二次函数 y=-(x-m)2-m+1(m 为常数)的图象的对称轴为直线 x=m,
数y=ax2+bx+c(a≠0)在-3≤x≤3内既有最大值又有最小值,∴结论④正确.
2.[2020·温州]已知(-3,y1),(-2,y2),(1,y3)是 [答案]B
抛物线y=-3x2-12x+m上的点,则
(
[解析] 由对称轴
-12
x=- ==-2,知
2 2×(-3)
)
(-3,y1)和(-1,y1)关于对称轴对称.因为
②b-2a<0;③b2-4ac<0;④a-b+c<0.正确的是(
A.①②
B.①④
C.②③
D.②④
)
图13-2
[答案]A
[解析] ∵抛物线开口向下,且与 y 轴的正半轴相交,
∴a<0,c>0,∴ac<0,故①正确;
∵对称轴与
x 轴交点的横坐标在-1 至-2 之间,∴-2<-2 <-1,
∴4a<b<2a,∴b-2a<0,故②正确;
若已知二次函数的图象与x轴的两个交点的坐标(x1,0),(x2,0),设所求二次函数表达
式为y=a(x-x1)(x-x2),将第三个点(m,n)的坐标(其中m,n为常数)或其他已知条件代
2024年中考数学一轮复习考点精讲课件—二次函数的图象与性质
前提条件
当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时,常用
一般式求其表达式.
顶点式
y＝a(x–h)²＋k（a，h，k为常数， 当已知抛物线的顶点坐标(或者是对称轴) 时，常用
a≠0），顶点坐标是（h，k）
交点式
y＝a（x–x1）（x–x2） (a≠0)
顶点式求其表达式.
其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，若题
【详解】解：∵二次方程 2 + + = 0的两根为−1和 5，
∴
1−+ =0
= −4
，解得
，
25 + 5 + = 0
= −5
∴二次函数 = 2 + + = 2 − 4 − 5 = ( − 2)2 − 9，
∵ 1 > 0，
∴当 = 2时，有最小值，最小值为−9，
2）自变量的最高次数是2；
3）二次项系数a≠0，而b，c可以为零.
根据实际问题列二次函数关系式的方法：
1）先找出题目中有关两个变量之间的等量关系；
2）然后用题设的变量或数值表示这个等量关系；
3）列出相应二次函数的关系式.
考点一 二次函数的相关概念
二次函数的常见表达式：
名称
解析式
一般式
y=ax²+bx+c (a≠0)
状相同，
∴可设该二次函数的解析式为 = ±3 − ℎ
2
+ ，
∵该二次函数的顶点为 1，4 ，
∴该二次函数的解析式为 = ±3 − 1
2
+ 4，
∴该二次函数的解析式为 = 3 2 − 6 + 7或 = −3 2 +
2020年中考数学总复习 第12讲 二次函数的图象与性质 新版 新人教版
结合几何图形
1根据几何图形的性质，探求图形中的关系式；
2根据几何图形的关系式确定二次函数解析式；
3利用配方法等确定二次函 数的最值，解决问题
由于 面积等于两条边的乘积，所以几何问题的面积的最值问题通常会通过二次函数来解决.同样需注意自变量的取值范围.
b2－4ac
决定抛物线与x轴的交点个数
b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点;
b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点;
b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点
知识点三：二次函数的平移
4.平移与解析式的关系
注意：二次函数的平移实质是顶点坐标的平移，因此只要找出原函数顶点的平移方式即可确定平移后的函数解析式
二、典例讲解
内参P44------3、4、6、7、10、11、12、14、16
P46-----19、20、4、5、7、8、9、13
三、课后反思：
第12讲二次函数的图象与性质
一、知识清单梳理
知识点一：二次函数的概念及解析式
关键点拨与对应举例
1.二次函数的定义
形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数.
例：如果函数y=(a－1)x2是二次函数，那么a的取值范围是a≠0.
2.解析式
（1）三种解析式：①一般式：y=ax2+bx+c;②顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)，其中二次函数的顶点坐标是（h,k）;③交点式：y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2为抛物线与x轴交点的横坐标.
知识点一题目中未给出坐标系，则需要建立坐标系求解，建立的原则：①所建立的坐标系要使求出的二次函数表达式比较简单；②使已知点所在的位置适当（如在x轴，y轴、原点、抛物线上等），方便求二次函数丶表达式和之后的计算求解.
初三数学复习《二次函数》(专题复习)PPT课件
面积问题
面积问题
在二次函数中，可以通过求函数与坐标轴的交点来计算图形的面积。例如，当函数与x轴交于两点时 ，可以计算这两点之间的面积；当函数与y轴交于一点时，可以计算这一点与原点之间的面积。这些 方法在解决实际问题时非常有用，例如在计算利润、产量等方面。
求解方法ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
求出二次函数与x轴和y轴的交点坐标，然后根据这些坐标计算图形的面积。对于更复杂的问题，可能 需要使用积分或其他数学方法来求解。
05
综合练习与提高
基础练习题
巩固基础 覆盖全面 由浅入深
基础练习题主要针对二次函数的基本概念、性质和公 式进行设计，旨在帮助学生巩固基础知识，提高解题的 准确性和速度。
基础练习题应涵盖二次函数的各个方面，包括开口方 向、顶点坐标、对称轴、与坐标轴的交点等，确保学生 对二次函数有全面的了解。
题目难度应从易到难，逐步引导学生深入理解二次函 数，从简单的计算到复杂的综合题，逐步提高学生的解 题能力。
初三数学复习《二次函数》(专题复习)ppt课 件
目录 Contents
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的解析式 • 二次函数的图像与性质 • 二次函数的实际应用 • 综合练习与提高
01
二次函数的基本概念
二次函数的定义
总结词
理解二次函数的定义是掌握其性 质和图像的基础。
详细描述
二次函数是形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$的函数，其中$a, b, c$是 常数，且$a neq 0$。这个定义表 明二次函数具有两个变量$x$和 $y$，并且$x$的最高次数为2。
03
二次函数的图像与性质
开口方向
总结词：根据二次项系数a的正负判断开口方向 a>0时，开口向上
2020年中考数学一轮复习讲义(上海专版) 专题16 二次函数(解析版)
专题16 二次函数一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念一般地，如果)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，那么y 叫做x 的二次函数。
)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。
2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于abx 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。
3、二次函数图像的画法 五点法：(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴 (2)求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点：当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D 。
将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。
当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D 。
由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。
如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A 、B ，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。
二、二次函数的解析式二次函数的解析式有三种形式：(1)一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数， (2)顶点式：)0,,()(2≠+-=a k h a k h x a y 是常数，(3)当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时，即对应二次好方程02=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。
如果没有交点，则不能这样表示。
三、二次函数的最值如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值(或最小值)，即当abx 2-=时，ab ac y 442-=最值。
2020贵阳市中考数学一轮复习课件第3章 课时12 二次函数的图象与性质
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第一部分 教材同步复习
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12
夯实基础
3．把抛物线 y＝x2 先向左平移 2 个单位长度，再向下平移 3 个单位 长度，得到新的抛物线的解析式为____y_＝__(_x_＋__2_)2_－__3____；把抛物线 y＝ x2－2x＋5 先向下平移 2 个单位长度，再向左平移 1 个单位长度，得到的 新图象的解析式为___y_＝__x_2＋__2_____.
已知抛物线的顶点坐
y＝a(x－h)2＋
标或对称轴与最大
一般选用顶点式 k(a≠0)，(h，k)为二
(小)值
次函数的顶点坐标
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第件
已知抛物线与 x 轴的 两个交点的横坐标
已知抛物线上纵坐标 相同的两点
若 a＋b＋c<0，即当 x＝1 时，y○33 ___<___0
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第一部分 教材同步复习
20
夯实基础
6．二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示，则下列结论：①a＞0； ②b＜0；③c＞0；④b2－4ac＞0；⑤4a－2b＋c＜0.其中正确结论的序号 是__①__④__⑤____.
中考数学第一轮系统复习夯实基础第三章函数及其图象第13讲二次函数课件
1．将抛物线解析式写成 y＝a(x－h)2＋k 的形式，则顶点坐标为(h，k)， 对称轴为直线 x＝h，也可应用对称轴公式 x2．解题时尽可能画出草图．
【解析】如图所示：图象与x轴有两个交点，则b2－4ac＞0，故①错 误；根据图象有a＞0, b＜0, c＜0，∴abc＞0，故②正确；当x＝－1时 ，a－b＋c＞0，故③错误；二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标纵坐 标为－2，∵关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c－m＝0有两个不相等的 实数根，∴m＞－2，故④正确．故选B.
二次函数是中考的重点内容： 1．直接考查二次函数的概念、图象和性质等． 2实际情境中构建二次函数模型，利用二次函数的性质来解释、解决实 际问题． 3在动态的几何图形中构建二次函数模型，常与方程、不等式、几何知 识等结合在一起综合考查． 4．体现数形结合思想、转化的思想、方程的思想．
1．(2016·衢州)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象上部分点的坐标(x， y)对应值列表如下：
(2)∵将 x＝0 代入 y＝12x＋32得 y＝32，将 x＝1 代入得 y＝2，∴直线 y＝12x ＋32经过点(0，32)，(1，2)．直线 y＝12x＋32的图象如图所示，由函数图象可 知：当 x＜－1.5 或 x＞1 时，一次函数的值小于二次函数的值 (3)先向上平移54个单位，再向左平移12个单位，平移后的顶点坐标为 P(－1， 1)．平移后的表达式为 y＝(x＋1)2＋1，即 y＝x2＋2x＋2.点 P 在 y＝12x＋32的 函数图象上．理由：∵把 x＝－1 代入得 y＝1，∴点 P 的坐标符合直线的 解析式，∴点 P 在直线 y＝12x＋32的函数图象上
(完整版)非常好的讲义二次函数图像与性质
二次函数图像及性质一、二次函数的定义一般地,形如2y ax bx c =++（a b c ，，为常数，0a ≠）的函数称为x 的二次函数,其中x 为自变量，y 为因变量,a 、b 、c 分别为二次函数的二次项、一次项和常数项系数．注意：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠,而b 、c 可以为零．二次函数的自变量的取值范围是全体实数．二、二次函数的图象 1．二次函数图象与系数的关系 （1)a 决定抛物线的开口方向 当0a >时，抛物线开口向上；当0a <时，抛物线开口向下．反之亦然．a 决定抛物线的开口大小：a 越大，抛物线开口越小;a 越小，抛物线开口越大． 温馨提示：几条抛物线的解析式中，若a 相等，则其形状相同，即若a 相等，则开口及形状相同，若a 互为相反数,则形状相同、开口相反． (2)b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置（抛物线的对称轴：2b x a=-) 当0b =时，抛物线的对称轴为y 轴； 当a 、b 同号时，对称轴在y 轴的左侧； 当a 、b 异号时,对称轴在y 轴的右侧．（3）c 的大小决定抛物线与y 轴交点的位置（抛物线与y 轴的交点坐标为()0c ，） 当0c =时,抛物线与y 轴的交点为原点； 当0c >时，交点在y 轴的正半轴；当0c <时，交点在y 轴的负半轴．2.二次函数图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图．一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，,()20x ，(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点）．画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点． 3。
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二次函数的图像与性质中考一轮复习
教学目标
1.理解懂得二次函数的图像的开口、对称轴、顶点坐标与a、b、c的关系；会根据图像推断a、b、c及相关式子
的符号；
2.能借助二次函数的图像进行推理探究；
3.学会进行数形转化，能从图形中抽象出数量关系，建立方程模型和不等式模型求解.
4.
经典考题
【例1】根据下表中的二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的对应值，可判断二次函数的图象与x轴( ) A.只有一个交点B.有两个交点，且它们分别在x轴两侧
C.有两个交点，且它们均在y轴同侧
D.无交点
x…-1 0 1 2 …
y…-1
7
4
--2
7
4
-…
【解法指导】本题要先画出啊、二次函数的图像。
根据对称性知（1，-2）是抛物线的顶点，且其开口向上。
因而二次函数的图像与x轴有两个交点，且它们分别在y轴两侧。
本题应选B。
【变式题组】
1.2
x…-2 -1 0 1 2 …
y…
1
6
2
--4
1
2
2
--2
1
2
2
-…
根据表格上的信息回答问题：该二次函数y=ax+bx+c在x=3时，y= 。
2.已知二次函数2
x…-1 0 1 2 3 4 …
y…10 5 2 1 2 5 …
(1)
(2)当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？
(3)若两点A(m,y1),B(m+1,y2)都在该函数的图像上，试比较y1与y2的大小.
【例2】函数y=ax+1与y=ax2+bx+c（0
a≠）的图像可能是（）
【解法指导】本题应用逐一排除法.
解：两函数图像与y轴交于同一点（0,1），A不正确；B中直线中a>0，抛物线中a<0,不正确；D中直线的a<0，抛物线中a>0，不正确。
故应选C。
【变式题组】
3.已知0
a≠，在同一直角坐标系中，函数y=ax与y=ax2的图像有可能是（）
4.在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和函数y=-mx2+2x+2(m是常数，且0
m≠)的图像可能是（）
5.二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，则一次函数y=-bx-4ac+b2与反比例函数
a b c
y
x
++
=在同一坐标系内的图
像大致为（）
【例3】
已知二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴交于点（-2,0）、（x1，0），且1<x1<2,与y轴的正半轴的交点在(0,2)的下方。
下列结论：(1)4a-2b+c=0;(2)a<b<0;(3)2a+c>0;(4)2a-b+1>0.其中正确的个数是个。
【变式题组】
a≠）的图像如图所示，则下列结论：（1）ac>0;(2)方程ax2+bx+c=0的两根之和大6.已知二次函数y=ax2+bx+c（0
于0；（3）y随x的增大而增大；（4）a-b+c<0,其中正确的个数（）
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
a≠）的图像如图所示，有下列四个结论：（1）b<0;(2)c>0;(3)b2-4ac>0;(4)a-b+c<0, 7.已知二次函数y=ax2+bx+c（0
其中正确的个数有（）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
a≠）的图像如图所示，若点A（1，y1）、B(2,y2)是它图像上的两点，则y1与y2的大小8.二次函数y=ax2+bx+c（0
关系是（）
A. y1<y2
B. y1=y2
C. y1>y2
D.不能确定
【例4】如图，正方形ABCD 的边长为10，四个全等的小正方形的对称中心分别在正方形ABCD 的顶点上，且它们的各边与正方形ABCD 各边平行或垂直。
若小正方形的边长为x ,且010x <≤,阴影部分的面积为y ，则能反映y 与x 之间函数关系的大致图像是（ ）
【解法指导】解：2
2
14()2
y x x =•=(0)x ≥.本题应选D .
【变式题组】
9.如图，动点P 从点A 出发，沿线段AB 运动至点B 后，立即按原路返回，点P 在运动过程中速度大小不变，则以点A 为圆心，线段AP 长为半径的圆的面积S 与点P 的运动时间t 之间的函数图像大致为（ ）
10.如图，已知正三角形ABC 的边长为1，E 、F 、G 分别是AB 、BC 、CA 上的点，且AE =BF =CG ，设三角形EFG 的面积y ，AE 的长为x ，则y 关于x 的函数大致是（ ）
【例5】设A 、B 是抛物线y =2x 2
+4x -2上的点，原点位于线段AB 的中点处。
试求A 、B 两点的坐标。
【解法指导】解：原点是线段AB 的中点，得到点A 和点B 关于原点对称。
设点A 的坐标为（a ,b ）,则点B 的坐标
为(-a ,-b ),又A 、B 是抛物线上的点，分别将它们的坐标代入抛物线解析式，得：2
2
242
242
b a a b a a ⎧=+-⎪⎨-=--⎪⎩，解之得：
a =1,
b =4或者a =-1,b =-4.所以A （1,4），B （-1，-4）或A （-1，-4），B （1,4）。
【变式题组】
11.设a 、b 、c 是三角形ABC 的三边长，二次函数 2
()2
2
b b
y a x cx a =----
，在x =1时，取最小值85b -，则三
角形ABC 是（ ）
A .等腰三角形
B .锐角三角形
C .钝角三角形
D .直角三角形
12. 已知二次函数y =ax 2
+bx +c （其中a 是正整数）的图像经过点A （-1,4）与点B （2,1），并且与x 轴有两个不同的交点，则b +c 的最大值为 。
演练提高
1.在平面直角坐标系中，将二次函数y =2x 2
的图像 平移2个单位，所得图像的解析式为（ ）
A . y =2x 2-2
B . y =2x 2+2
C . y =（x -2）2
D . y =（x +2）
2
2.二次函数y =-3x 2
-6x +5的图像的顶点坐标是（ ）
A .(-1,8)
B .(1,8)
C .(-1,2)
D .(1,-4)
3.抛物线的图像如图所示，根据图像可知，抛物线的解析式可能是（ ） A .y =x 2
-x -2 B .y =-
12x 2+ 12x +1 C . y =- 12x 2-12
x +1 D . y =-x 2
+x +2
4.抛物线y =-2x 2
+8x -1的顶点坐标为（ ）
A .(-2,7)
B .(-2,-25)
C .(2,7)
D .(2,-9)
5.已知二次函数y=ax2+bx+c(其中a>0,b>0,c<0)，关于这个二次韩式的图像有如下说法：（1）图像的开口一定向上；（2）图像的顶点一定在第四象限；（3）图像与x轴的交点至少有一个在y轴的右侧。
以上说法正确的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3
5.小强从如图的二次函数y=ax2+bx+c的图像中，观察得出了下面五条信息：
（1）a<0;(2)c>0;(3)b>0;(4)a+b+c>0;(4)a-b+c>0.你认为其中正确信息的个数有（）
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
7. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，有以下结论：（1）a+b+c<0;(2)
a-b+c>1;(3)abc>0;(4)4a-2b+c<0;(5)c-a>1.你认为其中正确信息的个数有（）
A.（1）（2）
B.（1）（3）（4）
C.（1）（2）（3）（5）
D.（1）（2）（3）（4）（5）
8.二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，则下列关系式中错误的是（）
A.a<0
B.c>0
C.b2-4ac>0
D.a+b+c>0
9.已知二次函数y=ax2+bx+c（0
a≠）的图像如图所示，给出以下结论：（1）a>0;(2)该函数的图像关于直线x=1对称;(3)当x=-1或x=3时，函数的值都等于0，其中正确结论的个数是（）
A.3
B. 2
C.1
D.0
10.请写出符合以下三个条件的一个函数的解析式 .
(1) 过点（3,1）；(2)当x>0时，y随x的增大而减小；(3)当自变量的值为2时，函数值小于2.
11.已知二次函数的图像经过原点2点（
11
,
24
--），且图像与x轴的另一个交点到原点的
距离为1，则该二次函数解析式为 .。