(文章)垂径定理在实际问题中的应用
垂径定理判定
垂径定理判定引言垂径定理是初中数学中的重要概念，用来判断两条线段是否垂直。
本文将详细探讨垂径定理的定义、证明方法以及应用场景。
垂径定理的定义垂径定理是指：如果一个线段作为另一个线段的垂径，那么这两条线段垂直。
垂径定理的证明方法证明方法一：利用斜率证明要证明两条线段垂直，可以检查它们的斜率是否互为倒数。
具体步骤如下： 1. 通过两个点来确定两条线段的斜率。
2. 计算这两条线段的斜率。
3. 判断两个斜率是否互为倒数，若互为倒数，则说明两条线段垂直。
证明方法二：利用向量证明要证明两条线段垂直，还可以利用向量的性质来证明。
具体步骤如下： 1. 通过两个点来确定两条线段的向量。
2. 计算这两条线段的向量。
3. 判断两个向量是否互为垂直向量，若互为垂直向量，则说明两条线段垂直。
垂径定理的应用场景垂径定理在几何学中有广泛的应用，以下是几个常见的应用场景：应用场景一：判断三角形的垂直条件可以利用垂径定理来判断三角形的垂直条件。
如果一个三角形的任意两条边的垂径相交于同一点，则该三角形是直角三角形。
应用场景二：证明平行四边形的对角线相互垂直利用垂径定理可以轻松证明平行四边形的对角线相互垂直。
因为平行四边形的对边互相平行，所以可以使用斜率法证明对角线的斜率互为倒数，从而证明对角线相互垂直。
应用场景三：判断直线与平面的垂直关系垂径定理也可以用于判断直线与平面的垂直关系。
如果一条直线的向量与平面的法向量互为垂直向量，那么这条直线与该平面垂直。
总结垂径定理是一个简单而有用的定理，在几何问题中经常用到。
本文通过详细的讨论和案例应用，阐述了垂径定理的定义、证明方法和应用场景。
掌握了垂径定理的概念和应用，有助于解决更复杂的几何问题。
垂径定理及应用
和你谈谈“垂径定理及应用”我们先来探究一下垂径定理的推导过程：在透明的纸片上面画一个圆O ，作任意一条非直径的弦CD ，再作直径AB 与CD 垂直，交点为P （如图1）．沿着这条直径将圆对折（如图2），我们不难发现：弧AC=弧AD ， 弧BC=弧BD ，CP=DP ，即垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．垂径定理是根据圆是特殊轴对称图形得到的．由轴对称图形及轴对称的特征，我们还可以发现：如果一条直线具备①经过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧．这五个条件中的任意两个，不然具备其余的三个，简称“知二推三” ．但注意把“经过圆心平分弦”作为题设时，必须是平分非直径的弦，是因为圆的任意两条直径都相互平分． 垂径定理及其推论能使很多问题轻松获解，下面结合例题加以分析．一、求圆半径、弦长或弦心距的长度例1 小唐同学掷出的铅球在场地上砸出一个直径约为10cm ，深约为2cm 的小坑，则该铅球的直径约为（ ）A ．10cmB ．14.5cmC ．19.5cmD ．20cm 解析：根据题意抽象出几何图形（如图3），则问题可转化为：“在⊙O 中，AB 是弦，OC 是半径，OC ⊥AB 于点D ，且AB=10cm ，CD=2cm ，求⊙O 的直径” ． 设⊙O 的半径是r ，由垂径定理可得AD=AB 21=5cm ，且OD=OC —CD=r —2． 在Rt △AOD 中，由勾股定理可得222)2(5—r r +=．解得r =7.25．所以⊙O 的直径为14.5cm ．故选B ．练习：1．如图4，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，若AC=8，AB=10，OD ⊥BC 于点D ，则BD 的长为（ ）A ．23 B ．3 C ．5 D ．62．如图5，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，若AB=10cm ，CD=8cm ，那么A 、B 两点到直线CD 的距离之和为（ ） 图1 图2 图3 图4 图5A．12cm B．10cm C．8cm D．6cm 二、求相关角的度数例2 如图6，⊙O的半径为5，弦AB=35，则∠AOB= ．解析：过圆心O作OC⊥AB，垂足为C．由垂径定理可得BC=AB21=325，在Rt△BCO中，OC=22BCOB—=22)325(5—=25，∵∠OCB=090，OB=2OC，∴∠OBC=030．又∵OB=OC，∴∠OAC=∠OBC=030，故∠AOB=0180—∠OAC—∠OBC=0120．练习：3．如图7，OA是⊙O的半径，BC是⊙O的弦，OA⊥BC．若∠AOB=046，则∠ADC为（）A．044B．046C．023D．088 4．如图8，已知AB是⊙O的直径（∠ACB=090），弦CD⊥AB，AC=3，BC=1，则∠ABD的度数为．反思：在运用垂径定理解题过程中，常见的一条辅助线是过圆心作弦的垂线，构造出垂径定理的基本图形．这条辅助线的功能并不只局限于产生定理的结论，适当延伸，当我们连接弦的端点和圆心时便形成一个直角三角形，进而通过解此直角三角形求弦长、半径、直径、圆心到弦的距离，甚至还可求一些相关角的度数．因此，应该重视这条辅助线．参考答案：1．B；2．D；3．C；4．060．图6图7 图8。
(文章)瞧瞧垂径定理的构建与应用
瞧瞧垂径定理的构建与应用在近几年的各地中考中，垂径定理的构建与应用，不断地被命题者青睐与关注，它作为圆中最核心最重要的内容，越来越被作为呈现知识和能力的载体。
为此，让我们结合各地中考试题，一同走进垂径定理的构建与应用的世界，希望能给大家一定的启示与帮助。
一 在网格中构建与应用例1、如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A ，B ，C 三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是 ( ) A ． 点PB ． 点QC ． 点RD ． 点M思路点拨与解析::圆上的点到圆心的距离都相等, 根据圆的垂径定理的推论可知圆心必在弦AB 、BC 的中垂线上，结合图形可知AB 的中垂线经过点Q 和点M ，而BC 的中垂线恰好为点B 、C 所在的小正方形的对角线上，可知点Q 符合，故选B.点评：网格题能充分调动有关背景中的正方形，直角三角形，勾股定理等知识，并经历了观察、思考、猜测，动手操作、自主探索发现等过程.尤其是勾股定理、数形结合等思想的运用达到了极点。
二 在坐标中构建与应用例2、如图，以点P 为圆心的圆弧与X 轴交于A ，B 两点，点P 的坐标为（4，2）点A 的坐标为（2，0）则点B 的坐标为 ．思路点拨与解析：有关弦AB 的问题常作弦心距构造垂径定理，过点P作ｘ轴的垂线段，设垂足为H ，得到HA=HB ，结合坐标可得ＡＨ＝２．从而得到点Ｂ的坐标为（６,０）点评：本题将坐标与圆巧妙结合，通过添加垂线段构造圆的垂径定理，有关弦的问题常作弦心距转化为垂径定理及直角三角形解决，在解题过程中要注意利用数形结合思想，写出点B 的坐标．三 在计算中构建与应用例３、 ） 如图，AB 为圆O 的直径，弦CD AB ，垂足为点E ，连结OC ，若OC =5， CD =8，则AE = 。
思路点拨与解析：由垂径定理可知CE=12CD=4，再利用勾股定理可知OE=3，由半径相等相等可知OA=OC=5，则AE=OA-OE=5-3=2点评：这是典型的垂径定理考题，弦与直径垂直想垂径定理是解题关键。
垂径定理及其应用
垂径定理应用举例垂径定理是圆中最基本和最重要的定理之一，利用垂径定理，可以解决许多数学问题，如证明圆中线段相等，角相等，线段垂直，证明弧相等，也是后面学习圆的其他性质的重要依据，利用它可以综合运用勾股定理和三角函数，使解决问题的思路更宽。
在运用垂径定理的时候，必须掌握常见的辅助线的作法，那就是作过圆心的直线或直径、弦心距。
从而构造直角三角形来处理问题。
在垂径定理部分共涉及四条线段的长：弦长a、圆半径r、弦心距d、弓形高h它们之间存在重要的关系式：r = h+d ; r2 = d2 + (a/2)2下面介绍一下垂径定理在解题中的应用。
1、应用公式r2 = d2 + (a/2)2 解决问题。
例1、已知：⊙O的半径为5 ，弦AB∥CD ，AB = 6 ，CD =8 .求：AB与CD间的距离.解：分两种情况：（1）当弦AB、CD在圆心O的两侧过点O作EF⊥AB于E，连结OA、OC，又∵AB∥CD，∴EF⊥CD．（注意：作辅助线是难点，学生往往作OE⊥AB，OF⊥AB，就得EF=OE+OF，错误的结论）由EF过圆心O，EF⊥AB，AB = 6，得AE=3，在Rt△OEA中，由勾股定理，得，∴同理可得：∴EF=OE+OF=4+3=7．（2）当弦AB、CD在圆心O的同侧同（1）的方法可得：OE=4，OF=3．∴．评析：①此题主要是渗透分类思想，培养学生的严密性思维和解题方法：确定图形——分析图形——数形结合——解决问题；②培养学生作辅助线的方法和能力．例2、已知：如图，AB是⊙O的弦，半径OC∥AB ，AB=24 ，OC = 15 .求：BC的长.解：过O作OE⊥AB于E ，则AE=BE=12，过B作BF⊥OC于F ，连结OB.在Rt△OEB中，由勾股定理，得OE=9。
由已知条件可得四边形OEBF是矩形，则BF=OE=9，OF=BE=12。
在Rt△FCB中，由勾股定理，得BC =评析：通过添加辅助线，构造直角三角形，并把已知与所求线段之间建立关系.2、在实际问题中的应用例1、在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后．截面如图所示，若油面宽AB=600mm，求油的最大深度．分析：要求油的最大深度，就是求有油的弓形的高，弓形的高是半径与圆心O到弦的距离差，从而不难看出它与半径和弦的一半可以构造直角三角形，然后垂径定理和勾股定理来解决．解：过O点作OC┷AB于E，交弧AB于D点，Rt△OBC中，由勾股定理可求OC=125，所以CD=OD-OC=200。
(文章)垂径定理解题应用举例
垂径定理解题应用举例垂径定理及其推论是《圆》一章的重要考点，定理告诉我们，对于一个圆和一条直线来说，如果具备下列五个条件中的任何两个，那么也具有其它三个：①垂直于弦，②过圆心，③平分弦，④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧。
它反映了圆的重要性质，是证明线．段相等．．．、角相等．．．、垂直关系．．．．的重要依据，同时也为圆的计算和作图提供了方法和依据，下面分类举例说明。
一、利用垂径平分弦所对的弧，来处理角的关系例1 (重庆市)如图1，⊙O 的直径CD 过弦EF 的中点G ，∠EOD ＝40°,则∠DCF 等于（ ）A.80°B. 50°C. 40°D. 20° 【析解】本题可由②③⇒①④⑤，所以可得ED DF =，从而得出∠DCF 与∠EOD 的关系。
解：∵直径CD 平分弦EF ， ∴ ED DF =， ∴ ∠DCF ＝12∠EOD ＝20°。
故选（D ）．二、利用垂径垂直平分弦，证相关线段相等例2 (南京市)如图2，矩形ABCD 与与圆心在AB 上的⊙O 交于点G 、B 、F 、E ， GB ＝8cm ，AG ＝1cm ，DE ＝2cm ，则EF ＝ cm .【分析】本题上手有点不知所措，其实利用矩形和垂径定理相关知识可以得到解决。
分别过O ，G 作OM ⊥CD ，GN ⊥DC ，即可求出EF 的长。
解：如图2，分别过O ，G 作OM ⊥CD ，GN ⊥DC ，则根据矩形的性质可得：NC ＝GB ＝8，DN ＝AG ＝1，GN ∥OM ∥BC ，∵ OM ⊥EF ， ∴ EM ＝MF ，∵ OG ＝OB ，GN ∥OM ∥BC ， ∴ MN ＝MC ，∴ CF ＝NE ， ∵ DE ＝2，∴ NE ＝DE －DN ＝DE －AG ＝1， ∴ EF ＝NC －NE －CF ＝8－2＝6．三、利用垂径定理，构造直角三角形，利用勾股定理 例 3 （长春市）某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，图3是水平放置的破裂管道有水部分的截面．（1）请你补全这个输水管道的圆形截面；（2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB ＝16cm ，水面最深地方的高度为4cm ，求这个圆形截面的半径．分析：（1）要补全输水管道的圆形截面，需要画出图3所在的圆，因此首先确定所在图1O G FEDC N M OGF E D C BA图2图3圆的圆心和半径.⑴任作两条弦，⑵分别作出两弦的垂直平分线，⑶两弦的垂直平分线的交点为圆心，⑷以交点为圆心,交点到圆上任意一点为半径作圆，所作出的圆即为所求.作图过程:略.（2）本题的解题关键是作垂直于弦的半径,然后构造直角三角形,应用勾股定理列方程求解.解：（1）正确作出图形，并做答．（2）如图4,解：过O 作OC ⊥AB 于D ，交弧AB 于C ， ∵OC ⊥AB ， ∴BD ＝21AB ＝21×16＝8cm ． 由题意可知，CD ＝4cm ．设半径为x C m ，则OD ＝（x －4）cm ． 在Rt △BOD 中，由勾股定理得：OD 2＋BD 2＝OB 2， ∴( x －4)2＋82＝x 2．∴x ＝10．四、利用垂径垂直弦，构造成特殊四边形例4 （四川省）如图5，在⊙O 中，AB 、AC 是互相垂直的两条弦， AB ＝8cm ，AC ＝6cm ，那么⊙O 的半径OA 的长（ ）A ．4 cmB ．5 cmC ．6 cmD ．8 cm【分析】要求半径OA 的长，可通过垂径定理构造Rt △，于是过O 分别作OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，则可得矩形ADOE 。
3.3垂径定理的应用
如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且 相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E， 求证：四边形ADOE是正方形． C
E
A
· O D
B
A C
.
O
┓ E D B
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，则根据 垂径定理，得AE＝BE，CE＝DE。 ∴AE－CE＝BE－DE。
∴AC＝BD
变式：
图中两圆为同心圆
变式1：隐去大圆，连接OA，OB，设
OA=OB，AC、BD有什么关系？为什
么？
O
A C
D B
变式：
图中两圆为同心圆
变式2：隐去小圆，连接OC，OD，设
已知：AB是⊙O直径，CD
是弦，AE⊥CD，BF⊥CD 求证：EC＝DF
A E C
M
B
O
.
D F
AB是⊙O的直径，直线MN不经过圆心O,交⊙O于C、 D两点，AE⊥MN于E，BF⊥MN于F。 （1）如图，在下面2个圆中分别补画出满足上述 条件的具有不同位置关系的图形； （2）请你观察（1）中所画的图形，写出一个各 图都具有的两条线段相等的结论（不再标注其它 字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结 论中，不写推理过程）；
.O
.P
垂径定理三角形在生活中的应用
生活应用 1. 测公路的弯道的半径 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中弧CD， 点O是圆心），其中CD=600m，E为弧CD上一点，且 OE⊥CD，垂足为F，EF=90m.求这段弯路的半径. 解：连接OC. C 设弯路的半径为Rm，则0F=（R-90）m. E ∵OE⊥CD， ∴CF= =300（m）. F D R 在Rt 中，根据勾股定理，得 OC2=CF2+OF2， 0 即 R2=3002+（R-90）2 解这个方程，得R=545. 答：这段弯路的半径为545m.
垂径定理的应用
与垂径定理有关的情景问题赏析河北 杜友平日常生活中到处都有圆，人们的生活离不开圆，圆被人们看成是最完美、最美丽的图形，垂径定理是圆的重要内容，在实际生活中有着广泛的应用。
近两年的中考中与垂径定理有关的情景问题不断出现，只有理解和掌握了垂径定理用其有关的变化，然后将垂径定理与勾股定理在机结合起来，这样的问题就迎刃而解。
一、圆中的最小值：(2007四川乐山课改,3分)如图，M N 是O 的直径，2M N =，点A 在O 上，30AMN = ∠，B为A N 的中点，P 是直径M N 上一动点，则P A PB +的最小值为（ ）Ａ．Ｃ．1 Ｄ．2答案：Ｂ二、求圆的半径：利2.(2007湖南张家界课改，9分)如图，已知A B 为圆O 的弦（非直径），E 为A B 的中点，E O 的延长线交圆于点C ，C D AB ∥，且交A O 的延长线于点D ．:E O O C 1:2=，4C D =，求圆O 的半径．答案：解： E 是A B 的中点，∴O E A B ⊥，即90AEO ∠=，AB C D ∥，90OCD ∴∠=，A O E D O E ∠=∠ ，∴A O E D O C △∽△，::1:2AE D C O E O C ∴==， 122A E C D ∴==．又2O A O C O E == ， 而222AE OE OA +=，C224(2)O E O E ∴+=，O E ∴=∴圆O的半径22O A O E ===三、求弦长：例 3. （2007广东梅州课改，7分）如图，点C 在以A B 为直径的O 上，C D AB ⊥于P ，设A P a PB b ==，．（1）求弦C D 的长；（2）如果10a b +=，求a b 的最大值，并求出此时a b ，的值．答案：解：（1）连结22a b b a O C O C O P +-==，，，所以2222222a b a b PC O C O P ab +-⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得2C D PC ==（也可以根据A P C C P B △∽△求解）4分（2）由于C D A B ≤，所以10a b +=，得25ab ≤，所以a b 的最大值为25，此时5a b ==．A BB。
初中数学 垂径定理的应用有哪些
初中数学垂径定理的应用有哪些
垂径定理是初中数学中一个重要的定理，它有着广泛的应用。
下面我将介绍垂径定理的几个常见应用。
1. 判断垂直关系：
垂径定理可以用于判断两条线段或弦之间是否垂直。
当一条线段垂直于圆的直径，并且与直径的两个端点相交时，根据垂径定理，与这条线段所得的弦所连接的两个交点连线一定垂直于这条直径。
因此，我们可以通过观察线段和弦的几何关系，利用垂径定理判断它们是否垂直。
2. 求解问题：
垂径定理可以帮助我们求解与垂直关系相关的问题。
例如，已知一条线段垂直于圆的直径，并且与直径的两个端点相交，我们可以利用垂径定理得到与这条线段所得的弦垂直的弦。
这样，我们可以利用已知的线段和求得的弦，进一步解决几何问题，如计算长度、角度等。
3. 证明几何定理：
垂径定理也可以作为证明其他几何定理的基础。
例如，当我们需要证明某个弦与圆的直径垂直时，可以先证明这条弦与圆的直径的一个端点连线是垂直的，然后应用垂径定理得出结论。
垂径定理的应用可以简化证明过程，使证明更加简洁和直观。
4. 解决实际问题：
垂径定理的应用不仅局限于理论推导，还可以帮助我们解决实际问题。
例如，在建筑设计中，我们需要确定某个角度的垂线位置，可以利用垂径定理判断垂线与圆的直径的关系。
在地理测量中，我们需要确定某个位置的垂直高度，也可以运用垂径定理来计算。
以上是垂径定理的几个常见应用。
垂径定理通过垂直关系的判断和问题的求解，帮助我们理解和应用几何知识，解决实际问题。
希望以上内容能够满足你对垂径定理应用的了解。
专题02 垂径定理及其应用(解析版)
专题02 垂径定理及其应用圆的对称性圆的轴对称性：过圆心的任一条直线（直径所在的直线）都是它的对称轴。
垂径定理⎩⎨⎧平分弦所对的两条弧。
）的直径垂直于弦，且推论：平分弦（非直径对的两条弧；平分弦，并且平分弦所定理：垂直于弦的直径垂径定理包含两个条件和三个结论，即条件⇒⎩⎨⎧）直线和弦垂直，（）直线过圆心，（21结论⎪⎩⎪⎨⎧弧。
）直线平分弦所对的优（弧，）直线平分弦所对的劣（）直线平分弦，（543符号语言：⎩⎨⎧⊥AB CD O ,O ，的弦，为圆的直径是圆AB CD ⎪⎩⎪⎨⎧===⇒BD AD BC AC BE AE 推论1：在（1）、（2）、（3）、（4）、（5）中，任意两个成立，都可以推出另外三个都成立。
推论2：平行的两弦之间所夹的两弧相等。
相关概念：弦心距：圆心到弦的距离（垂线段OE ）。
应用链接：垂径定理常和勾股定理联系在一起综合应用解题（利用弦心距、半径、半弦构造Rt △OAE ）。
圆的对称性以及垂径定理例题讲解一、概念考察【例1】下面四个命题中正确的一个是（）A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心D．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心【答案】D【解析】平分弦（不是直径）的直径，垂直于弦，A说法错误过圆心且平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦，B错误弦的垂直平分线必经过这条弦所在圆的圆心，C错误【例2】下列命题中，正确的是（ ）． A．过弦的中点的直线平分弦所对的弧 B．过弦的中点的直线必过圆心 C．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心 D．弦的垂线平分弦所对的弧【答案】C【解析】A、B都未指出这条直线应该为垂线，所以AB都错误D未说明过弦的中点，所以错误【例3】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，那么以下结论正确的选项是〔 〕A、AE=BEB、=C、△BOC是等边三角形D、四边形ODBC是菱形【答案】B【解析】∵AB⊥CD，AB过O，∴DE=CE，=，(垂径定理）不能推出DE=BE，△BOC是等边三角形，四边形ODBC是菱形．【例4】如图，已知在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，垂足为点D，要使四边形OACB为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是（ ）A．AD＝BD B．OC＝2CD C．∠CAD＝∠CBD D．∠OCA＝∠OCB【答案】B【解析】OC＝2CD．理由如下：∵在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，∴AD＝DB，∵OC＝2CD，∴AD＝BD，DO＝CD，AB⊥CO，∴四边形OACB为菱形．【例5】下列命题：（1）垂直于弦的直线平分弦；（2）平分弦的直径必垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦的直线必过圆心；（4）弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦。
2 垂径定理的四种应用技巧
双休作业(六) 2 垂径定理的四种应用技巧
1
2
3
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技巧 1 巧用垂径定理求点的坐标
1．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(10，
0)，点B的坐标是(8，0)，点C，D在以OA为直径 的半圆M上， 且四边形OCDB
是平行四边形．求点C的坐标
解：如图，连接CM，作MN⊥CD于N，CH⊥OA于H.
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技巧 2 巧用垂径定理解决最值问题(转化思想)
2．如图，AB，CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB＝8，
CD＝6，MN是直径，AB⊥MN 于点E，CD⊥MN于点F，P为直
线EF上的任意一点．求PA＋PC 的最小值．
解：如图，易知点C关于直线MN的对称点为点D， 连接AD，交MN于点P，连接PC，易知此时PA＋PC最小且 PA＋PC＝AD.过点D作DH⊥AB于点H，连接OA，OC.易知 AE＝4，CF＝3，由勾股定理易得OE＝3，OF＝4， ∴DH＝EF＝7，又AH＝AE＋EH＝4＋3＝7. ∴AD＝7 2 ，即PA＋PC的最小值为7 2 .
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技巧 3 巧用垂径定理证明
3．不过圆心的直线l交⊙O于C、D两点，AB是⊙O的
直径，AE⊥l，垂足为E，BF⊥l，垂足为F. (1)如图①，当AB与线段CD不相
交时，求证：CE＝DF.
证明：过点O作OM⊥EF于点M，则CM＝DM. ∵AE⊥EF，BF⊥EF，OM⊥EF， ∴AE∥OM∥BF. 又∵OA＝OB，∴EM＝FM. ∴EM－CM＝FM－DM，即CE＝DF.
在 Rt△ OHN 中，OH＝ ON2－NH2＝ 3.92－1.52＝3.6(m)． 所以 FN＝DH＝OH－OD＝3.6－(3.9－2.4)＝2.1(m)． 因为 2.1 m＞2 m，所以此货船能顺利通过这座拱桥．返回
垂径定理的应用
垂径定理的应用
嘿，咱就说说垂径定理的应用呗。
这垂径定理啊，用处可不少哩。
比如说，在算圆里的线段长度的时候就很管用。
要是知道圆的半径和一条弦的长度，再根据垂径定理，就能算出弦心距。
啥是弦心距呢？就是圆心到弦的距离。
有了这个距离，再加上一些其他条件，就能算出好多东西来。
还有啊，在证明一些几何问题的时候也能用得上。
要是碰到跟圆有关的证明题，看看能不能用垂径定理。
有时候一用垂径定理，问题就变得简单多了。
再就是在实际生活中也有应用。
比如说盖房子的时候，要做个圆形的柱子啥的，就得用到垂径定理来保证柱子是直的。
还有做一些圆形的零件的时候，也得靠垂径定理来保证精度。
咱打个比方哈，要是有个圆形的池塘，要在池塘中间架一座桥。
这时候就得用垂径定理来确定桥的位置和长度。
先找到圆心，然后根据垂径定理算出桥的长度和位置，这样才能把桥建得稳稳当当的。
咱举个例子哈。
俺们村有个老张，他要盖个沼气池。
沼气池是圆形的，他就想用垂径定理来确定沼气池的圆心和半径。
他找了根绳子，在沼气池的边上找了三个点，然后用绳子量出这三个点到圆心的距离相等。
这样就确定了圆心的位置，再根据其他条件算出了半径。
老张按照这个方法盖的沼气池可好用了。
这垂径定理啊，虽然看起来有点难，但是用好了能解决很多问题。
咱要是学几何的时候，可得好好琢磨琢磨垂径定理，说不定啥时候就能用上呢。
垂径定理及其应用
垂径定理及其应用一．垂径定理的应用1． 半径、弦心距、弦长、弓形高之间的计算：求半径、求弦心距、求弦长、求弓形高、求角、求平行弦的之间的距离 2． 证明线段相等、角相等、弧相等 3． 解决实际问题 二．垂径定理的推论的应用 1． 求半径、求弦心距、求弦长、求弓形高、求角 2． 等分弧（作图） 3． 确定圆心与半径（作图） 4． 解决实际问题 思想方法：分类讨论、数形结合1． 已知：AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点P ，CD ＝10cm ，AP:PB ＝1:5，则⊙O 的半径为_______。
2． 在⊙O 中，P 为其内一点，过点P 的最长的弦为8cm ，最短的弦长为4cm ，则OP ＝_____。
3． 已知圆内接△ABC 中，AB ＝AC ，圆心O 到BC 的距离为3cm ，半径r＝7cm ，则腰长AB 为_________。
4． 已知圆的半径为5cm ，一弦长为8cm ，则该弦的中点到弦所对的弧的中点的距离为_______。
5． ⊙O 的半径OA ＝1，弦AB 、AC 的长分别是3,2，则∠BAC 的度数为______。
6． 已知圆心到圆的两条平行弦的距离分别是2和3，则两条平行弦之间的距离为_____。
7． 在半径为5cm 的圆内有两条互相平行的弦，一条弦长为8cm ，另一条弦长为6cm ，则这两条弦之间的距离为______。
8． 如图，在⊙O 中，OA 是半径，弦AB ＝310cm ，D 是弧AB 的中点，OD 交AB 于点C ，若∠OAB ＝300，则⊙O 的半径____cm 。
9． 在⊙O 中，半径OA ＝10cm ，AB 是弦，C 是AB 弦的中点，且OC:AC=3:4，则AB=_____。
10．已知以O 为圆心两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D 两点。
求证：AC ＝BD11．如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D两点，AB ＝10cm ，CD ＝6cm ，则AC 的长为_____。
垂径定理_精品文档
垂径定理垂径定理是解决几何问题中常用的一个定理，它和“垂直”有关。
垂径定理的全称是“垂直于直径的半径必垂直于圆”。
垂径定理的内容简单而明确，但它却具有重要的意义和应用价值。
本文将从垂径定理的定义、证明以及几个典型的应用来介绍垂径定理，并解释为什么它在解决几何问题中具有重要意义。
首先，我们来了解一下垂径定理的定义。
垂径定理主要是指：如果在一个圆上，有一个半径垂直于直径，那么这个半径和这个直径在圆上的交点之间的弧长就是90度。
换句话说，半径与直径的交点和圆上的其他点之间的弦垂直。
这是垂径定理的基本内容。
接下来，让我们来看一下垂径定理的证明。
首先，我们假设在一个圆上，有一个半径OA垂直于直径BC，如下图所示。
这是一个坐标证明的图。
为了简化问题，我们可以假设圆的半径为1。
因此，点O的坐标就是(0，1)，点B的坐标就是(-1，0)，点C 的坐标就是(1，0)。
我们知道，在直角三角形中，直角的两条边的斜率乘积为-1。
我们可以计算出OA的斜率为-1，而BC的斜率为0，因此满足垂径定理的条件。
我们可以继续应用几何知识来证明垂径定理。
根据半径垂直于弦的定义，我们知道OA垂直于BC。
根据直径的定义，我们知道BC就是圆的直径。
因此，根据垂直定理，我们可以得出结论，OA是圆的半径，它与直径BC垂直。
接下来，我们将介绍几个典型的应用垂径定理的例子。
例1：证明对称圆上的两条弦垂直在一个圆上，有两条弦AB和CD，且AB与CD以圆心为中点。
我们需要证明这两条弦互相垂直。
根据问题的设定，我们知道AB和CD以圆心O为中点。
因此，OA 等于OC，OB等于OD。
根据垂径定理的定义，OA垂直于AB，OC垂直于CD。
进一步观察，我们可以发现OA和OC重合，因为它们都是圆的半径，长度相等，方向相同。
同理，OB和OD重合。
因此，根据重合线段垂直定理，我们可以得出结论，AB垂直于CD。
例2：证明正方形的对角线相互垂直在一个正方形中，连接两个相对顶点的线段被称为对角线。
圆的垂径定理的应用
圆的垂径定理的应用嘿，朋友！想象一下，你正在一个热闹非凡的集市上闲逛。
人群熙熙攘攘，各种声音交织在一起，就像一场热闹的交响乐。
突然，你看到一个卖糖葫芦的小贩，他的摊位前竖着一根圆形的杆子，上面插满了诱人的糖葫芦。
这根杆子引起了你的注意，你发现它的形状是如此的规整，这不正是一个圆嘛！而这里面，可就隐藏着我们今天要说的圆的垂径定理的应用。
话说回来，啥是圆的垂径定理呢？简单来说，就是垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧。
这听起来有点复杂，对吧？但其实在我们的日常生活中，它的应用可广泛着呢！比如说，建筑工人在建造圆形的拱门时，就得用到这个定理。
他们要确保拱门的形状对称、美观，这时候垂径定理就派上用场啦。
想象一下，如果没有这个定理的指导，那拱门可能就歪歪扭扭，像个喝醉了的大汉，多难看呀！再看看我们身边的车轮，那也是个圆。
制造车轮的时候，工人们就得依靠垂径定理来保证车轮的均匀和平衡。
不然，你骑着一辆轮子歪七扭八的自行车，那不得颠簸得像在坐过山车？还有那美丽的圆形花坛，园丁们在规划和修建的时候，也得遵循这个定理。
不然，这花坛一边大一边小，就像个被压扁的气球，哪还有美感可言？“哎呀，这垂径定理真有这么重要？”你可能会这样问。
那当然啦！你想想，如果没有它，我们生活中的很多圆形的东西都会变得奇奇怪怪，不伦不类。
这就好比做饭没有盐，画画没有笔，那能行吗？就拿我们刚刚看到的糖葫芦杆子来说，小贩在制作这个杆子的时候，肯定也考虑到了垂径定理。
只有杆子的形状规整，糖葫芦才能插得整整齐齐，吸引更多的顾客。
在数学的世界里，圆的垂径定理就像是一把神奇的钥匙，能打开许多难题的大门。
它不仅帮助我们解决数学问题，还在实际生活中发挥着巨大的作用，让我们的世界变得更加有序和美好。
所以，别小看这圆的垂径定理，它可真是我们生活中的一位默默无闻的大功臣呢！。
垂径定理的应用课件
对垂径定理的回顾与思考
垂径定理是几何学中的一个重要定理，它涉及到圆的性质和证明。在学习过程中 ，我们需要深入理解垂径定理的证明过程和推理逻辑，以便更好地应用它来解决 实际问题。
在回顾过程中，我们需要思考如何将垂径定理应用于实际问题的解决中，并思考 如何通过推理和证明来得出正确的结论。此外，我们还需要思考如何通过实践来 加深对垂径定理的理解和应用。
垂径定理的应用课件
目录
• 垂径定理的介绍 • 垂径定理的应用场景 • 垂径定理的应用实例 • 垂径定理的应用练习题 • 总结与回顾
01 垂径定理的介绍
垂径定理的定义
垂径定理
过圆心作圆的弦的垂线，则垂足 到弦中点的连线与垂线重合。
定理证明
利用圆的性质和三角形的中位线 定理进行证明。
垂径定理的重要性
详细描述
已知一个圆和该圆外的一条直线，我们要证明这条直线是圆的切线。根据垂径定 理，如果一条直线与圆只有一个交点，那么这条直线就是圆的切线。因此，我们 只需要证明这条直线与圆只有一个交点即可证明它是圆的切线。
04 垂径定理的应用练习题
基础练习题
总结词：巩固垂径定理的基本概念和性质。 详细描述 给出一条直线和该直线所通过的圆，判断该直线是否为圆的 垂径，并说明理由。 给定圆的直径和一条过圆心的线段，求作圆的垂径。 已知圆的半径和一条过圆心的线段，求作圆的垂径。
综合练习题
详细描述
总结词：结合其他几何知识，综 合运用垂径定理解决复杂问题。
给定一个圆和该圆上的一条弦， 求作该弦的中垂线，并证明其为 圆的垂径。
已知一个三角形和该三角形的一 边的中点，求作该边的垂直平分 线，并证明其为三角形的角平分 线。
已知一个三角形和该三角形的一 边的中点，求作该边的垂直平分 线，并证明其为三角形的中线。
《垂径定理在生活中的应用》教学设计-中考数学一轮复习(浙教版)
《垂径定理在生活中的应用》教案一、学习目标1.掌握垂径定理及其逆定理；2.会运用垂径定理解决一些实际生活中的线段长问题；3.探索并掌握用垂径定理求线段长度的一般方法.二、学习重难点重点：利用垂径定理求生活问题中线段的长.难点：分析实际生活问题情境，再利用垂径定理进行求解，是本节课的难点.三、学习过程：（一）问题背景问题1：一根排水管的横截面如图1所示（排水管的厚度忽略不计），管中有一些水，若已知排水管的半径长和水面宽，你能求水的最大深度吗？思考：求解这一问题需要探寻圆中哪些线段之间的关系呢？问题2：如图是一个圆弧形的桥拱的横截面与桥下水面宽的示意图，你知道怎样确定桥拱圆弧的半径吗？思考：可以量取哪些相关线段，来求此圆弧的半径呢？生活中有很多与圆有关的求某些线段长的问题，你能想到能运用圆的哪些知识，运用怎样的方法来解决呢？【设计意图】以两个实际生活中涉及其圆中相关线段的问题来引入本节内容，激发学生的学习兴趣，直接引入课程的内容，让学生明白本节课解决什么问题.（二）问题探究1.复习回顾垂径定理。
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.逆定理1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.逆定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.几何语言叙述：如图2，垂径定理：已知⊙O中，AB是直径，AB⊙CD，那么：CE=DE，CB̂=DB̂，AĈ=AD̂.逆定理1：已知⊙O中，AB是直径，CE=DE，那么：AB⊙CD，CB̂=DB̂，AĈ=AD̂.̂=DB̂或AĈ=AD̂.，逆定理2：已知⊙O中，AB是直径，CB那么：AB⊙CD，CE=DE.2.理清垂径定理涉及线段之间的关系.关键词：垂直直径双平分结构整理：如图3，由垂径定理或逆定理均能得到AB⊥CD，若连结半径OC，存在Rt△OCE，可得半径、半弦长、弦心距之间的关系：OC2=CE2+OE2，这个 Rt△OCE可以定义为“双半Rt△” .若已知半径、弦心距OE、弦长CD中任意两条，可以直接计算得到另一条；由BE=OB-OE，AE=OA+OE，也可得弦长CD，BE（或AE），半径之间的关系：半径2=半弦2+（半径-BE）2，已知其中任意两条，可以计算得另一条线段.3.简单应用:一根排水管的横截面如图3所示（排水管的厚度忽略不计），已知排水管的半径AO=10，排水管中水面宽AB=12.（1）求圆心O到水面的距离OC.解：由题意，OC ⊥AB ，∴AC=BC=12AB=12×12=6. 由勾股定理，得OC=√OA 2−AC 2=√102−62=8.【分析】已知半径和弦长，要求弦心距，可以依据垂径定理，由半径垂直弦，得弦被平分，在一个双半Rt 三角形中，利用勾股定理求弦心距.（2）排水管中水的最大深度是多少？【分析】最大深度：等于半径减去弦心距.在第（1）问基础上可以继续来求解其他相关线段，并引导学生如何从题中文字信息转化为数学语言，再进一步借助图形找到几何信息.（3）若水量增大，请问排水管中水上涨多少米后，水面宽会变为16? 解析：由A’B’//AB//A’’B’’， ⊙OC⊙AB ，OE⊙A’’B’’ Rt⊙OA’C 中，A’C=B’C=1/2A’B’=1/2×16=8. 由勾股定理，得OF=6.所以上涨高度：CF=8-6=2. 同理可得：OE=6，或者上涨：8+6=14【分析】解决实际生活问题时，需分析题目条件，再将文字信息转化为数学语言和图形信息，通过作半径垂直弦（或由已知半径垂直弦），利用垂径定理找到双半Rt 三角形的已知边长，利用勾股定理求出相关线段.【设计意图】问题探究通过复习垂径定理及其逆定理的相关内容，理清涉及线段之间的关系，让学生能够明白垂径定理解决实际问题时的一般方法和基本图形。
垂径定理在实际问题中的应用
垂径定理在实际问题中的应用垂径定理是《圆》中的一个重要的定理，由垂径定理可解决一些实际问题．现举例说明．一、实际计算问题例1 如图1，在直径为130mm的圆铁片上切去一块高为32mm的弓形铁片．求这个弓形铁片弦AB的长．解：将实物图转化为几何图形，如图2，则有CD=32mm，1130mm65mmOA=⨯=，OC⊥AB于D，2因为OC⊥AB，根据垂径定理，得AB=2AD．在Rt△ADO中，∠ADO=90°，OA=OC=65mm，OD=OC-CD=65-32=33mm，所以2222AD OA OD=-=-=mm，653356(mm)所以弦AB的长为56×2=112mm．二、弧形物体平分问题例3 如图5，是一自行车内胎的一部分，如何将它平均分给两个小朋友做玩具分析：根据实物画出几何图形，利用垂径定理解决问题．作法：如图6，用表示自行车内胎的一部分．（1）连接AB ．（2）作AB 的垂直平分线CD ，交于点E ，则点E 为的中点．从点E 处将内胎剪开后，即可分给两个小朋友．三、判断问题例4 某地方有一座弧形的拱桥，桥下的水面宽度为米，拱顶高出水面米，现由一艘宽3米，船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱形桥吗分析：判断货船能否通过这座拱桥，关键是看船舱顶部两角是否会被拱桥顶部挡住．用表示拱桥，画出如图7几何图形，实际问题就转化为求FN 的长度．解：设圆心为O ，连接OA 、0B ，作OD ⊥AB 于D ，交圆于点C ，交MN 于点H ，由垂径定理可知，D 为AB 的中点．设OA =r ，则OD =OC -DC =，1 3.62AD AB ==， 在Rt△AOD 中，OA 2=AD 2OD 2，即r 2=（）2，解得r =，在Rt△OHN 中，22223.9 1.5 3.6OH ON NH =-=-=．所以FN=DH=OH-OD=（）=，因为米>2米．所以货船可以通过这座拱桥．。
垂径定理在实际问题中的应用举例
- 1 -垂径定理在实际问题中的应用“数学源于生活，生活中充满着数学”,我们刚刚学过的垂经定理在生活中就有着广泛的应用，中考中也常常体现这一点，现采撷几例,以飨读者．例1小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图1所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（ ） A ．第①块 B ．第②块 C ．第③块 D ．第④块析解：显然，小明带到商店去的应是一块能确定其圆心和半径的玻璃碎片，观察图中的玻璃碎片，根据垂径定理可知，由第②块可确定出圆心和半径（如图2所示），故选答案B.例2高速公路的隧道和桥梁最多．如图3是一个隧道的横截面，若它的形状是以O 为圆心的圆的一部分，路面AB =10米，净高CD =7米，则此圆的半径OA =（ ）A.5B.7C. 537D. 737析解：本题主要考查垂径定理与勾股定理的知识.设圆的半径为r ，有(7－r)2+52=r 2. 解之得,r=737.故选D. 例3兴隆蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图4所示，已知AB =16m ，半径 OA =10m ，高度CD 为_____m ．析解:考查垂径定理及其应用,如图根据垂径定理,三角形ADO是Rt △,所以OD=221610()62-=,CD=10－6=4,填4.例4如图是“明清影视城”的圆弧形门，黄红同学到影视城游玩，很想知道这扇门的相关数据，于是她从景点管理人员处打听到：这个圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB=CD=20 cm ，且AB ，CD 与水平地面都是垂直的．根OD ABC 图3DBAOC图4O MN G图5图1- 2 -据以上数据，请你帮助黄红同学计算出这个圆弧形门的最高点离地面的高度是多少？ 析解:本题解决的关键是利用垂径定理构造直角三角形，进行运用勾股定理求出圆弧形门所在圆的半径.如图5，连接AC ，作AC 的中垂线交AC 于G ，交BD 于N ，交圆的另一点为M ，由垂径定理可知：MN 为圆弧形的所在的圆与地面的切点，取MN 的中点O ，则O 为圆心，连接OA 、OC ， ∵AB ⊥BD ，CD ⊥BD ， ∴AB ∥CD ． ∵AB=CD,∴四边形ABCD 为矩形, ∴AC=BD=200cm,GN=AB=CD=20 cm, ∴AG=GC=12AC=100 cm ． 设⊙O 的圆心为R,由勾股定理得 OA 2=OG 2+AG 2,即R 2=(R -20)2+1002, 解得R=260 cm, ∴MN=2R=520 cm ．答:这个圆弧形门的最高点离地面的高度是=520 cm ．总评：垂径定理及其推论是圆中的重要性质，它是根据圆的对称性推导出来的，希望同学们熟练掌握其内容，并会灵活应用，同时注意它经常和勾股定理结合来解决问题。
利用垂径定理解决实际问题
利用垂径定理解决实际问题
一对实际问题的意义的看法
数学来源于生活，服务于生活。
在实际生活中，数、形随处可见，无处不在。
我认为好的实际问题能容易引起学生的兴趣，激发学生探索和发现问题的欲望,使学生感到数学课很熟悉，数学知识离我们很近.
二探究的认识
实际问题提出后，我让学生以小组为单位,来研究解决水管水深的办法.在解决这个问题的过程中,学生感受到已有知识的不足,在教师的指导下,学生找到了解决问题的办法,并能用多种方法构造弧AB的中点,把解决水管水深的问题转化成构造直角三角形的问题,即垂径的构造.解决完具体问题后，引导学生反思，发现其中的基本图形，基本数学问题，进而探索出垂径定理.
本节课我注重知识的形成过程的教学,激发了学生探索和发现问题的欲望,垂径定理的提出和证明这一难点自然突破,在出示完例题后,我明显的感觉到举手发言的同学越来越多,我用眼睛的余光看了看有几十个同学,这让我感觉很欣慰.
探究的目的非常重要，探究后对过程的反思也非常重要，探究需要比较充裕的时间，所以一定要选择有价值的问题。
三我还需要更加关注学生
在我的教学中,我把尊重学生,关注学生的发展动态始终是放在第一位的,在这节课中,我注重学生间的合作交流,如学生在解决实际问题的过程中求DE这条线段时,开始时有几名学生举手,我没有急着让举手的同学说怎样求的,而是让他们教本组的同学,直到每组的学生都会了为止.再如,给学生多次展示自己的机会,锻炼学生的胆量,培养学生语言表达能力及逻辑推理能力,并给予适当的鼓励和表扬,使学生有成功感,增强学生学好数学的信心.。
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垂径定理在实际问题中的应用
“数学源于生活，生活中充满着数学”,我们刚刚学过的垂经定理在生活中就有着广泛的应用，中考中也常常体现这一点，现采撷几例,以飨读者．
例1小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图1所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（ ）
A ．第①块
B ．第②块
C ．第③块
D ．第④块
析解：显然，小明带到商店去的应是一块能确定其 圆心和半径的玻璃碎片，观察图中的玻璃碎片，根据垂径定理 可知，由第②块可确定出圆心和半径（如图2所示），故选答案B.
例2高速公路的隧道和桥梁最多．如图3是一个隧道的横截面，若它的形状是以O 为圆心的圆的一部分，路面AB =10米，净高C D =7米，则此圆的半径O A =（ ）
A.5
B.7
C.
5
37 D. 7
37
析解：本题主要考查垂径定理与勾股定理的知识.设圆的半径为r ，有(7－r)2+52=r 2. 解之得,r=
7
37.故选D.
例3兴隆蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图4所示，已知AB =16m ，半径 OA =10m ，高度CD 为_____m ．
析解:考查垂径定理及其应用,如图根据垂径定理,三角形ADO 是Rt △,所以
6=,CD=10－6=4,填4.
例4如图是“明清影视城”的圆弧形门，黄红同学到影视城游玩，很想知道这扇门的相关数据，于是她从景点管理人员处打听到：这个圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB=CD=20 cm ，且AB ，CD 与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮助黄红同学计算出这个圆弧形门的最高点离地面的高度是多少？
析解:本题解决的关键是利用垂径定理构造直角三角形，进行运用勾股定理求出圆弧形门所在圆的半径.
如图5，连接AC ，作AC 的中垂线交AC 于G ，交BD 于N ，交圆的另一点为M ，由垂径定理可知：MN 为圆弧形的所在的圆与地面的切点，取MN 的中点O ，则O 为圆心，连接OA 、OC ， ∵AB ⊥BD ，CD ⊥BD ， ∴AB ∥CD ． ∵AB=CD,∴四边形ABCD 为矩形, ∴AC=BD=200cm,GN=AB=CD=20 cm,
图3
图
4
O
M
N G
图1
∴AG=GC=
12
AC=100 cm ．
设⊙O 的圆心为R,由勾股定理得 OA 2=OG 2+AG 2,即R 2=(R-20)2+1002, 解得R=260 cm,
∴MN=2R=520 cm ．
答:这个圆弧形门的最高点离地面的高度是=520 cm ．
总评：垂径定理及其推论是圆中的重要性质，它是根据圆的对称性推导出来的，希望同学们熟练掌握其内容，并会灵活应用，同时注意它经常和勾股定理结合来解决问题。
备用：
每位同学都看到过日出时美丽的景色.图4是一位同学从照片上剪切下来的画面，“图
上”太阳与海平线交于A 、B 两点，他测得“图上”圆的半径为5
厘米，AB=8厘米，若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时
间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为（ ） A. 0.4厘米/分 B. 0.5厘米/分 C. 0.6厘米/分 D. 0.7厘米/分
解析：作与弦AB 垂直的直径，交AB 于点C ，交圆O 于点D ，连接OB. 根据垂径定理可知BC=
2
1AB=4（厘米）.
在Rt △OBC 中，OC=2
2
BC
OB -=2
245-=3(厘米).
所以DC=OD+OC=8（厘米）.
故“图上”太阳升起的速度为8÷16=0.5（厘米/分），应选择答案B。