【数学联赛】 数列真题汇编与预赛典型例题(解析版)

【数学联赛】

专题01数列真题汇编与预赛典型例题

1．【2018年全国联赛】设整数数列满足，且

，则这样的数列的个数为.

2．【2017年全国联赛】设两个严格递增的正整数数列满足,对任意正整数n,有

。则的所有可能值为___________。

3．【2016年全国联赛】设为1，2，…，100中的四个互不相同的数，满足

.则这样的有序数组的个数为________. 4．【2014年全国联赛】已知数列满足.则___________. 5．【2013年全国联赛】已知数列共有九项，其中，，且对每个，均有.则这样的数列的个数为______.

6．【2011年全国联赛】已知.则数列中整数项的个数为______. 7．【2010年全国联赛】已知是公差不为0的等差数列，是等比数列，其中，

，且存在常数使得对每一个正整数都有.则

________.

8．【2019年全国联赛】设整数满足.

记.

求f的最小值.并确定使f=f0成立的数组的个数.

9．【2018年全国联赛】已知实数列满足：对任意正整数n，有，其中S n表示数列的前n项和，证明：

（1）对任意正整数n，有；

（2）对任意正整数n，有.

10．【2018年全国联赛】数列定义如下：a1是任意正整数，对整数n≥1，a n+1是与互素，且不等于的最小正整数.证明：每个正整数均在数列中出现.

11．【2017年全国联赛】设数列定义为求满足

的正整数r的个数。

12．【2016年全国联赛】设p与p + 2均为素数，p > 3.定义数列

，其中，表示不小于实数x的最小整数.证明对

，均有.

13．【2014年全国联赛】已知数列满足.求正整数m使得

.

14．【2013年全国联赛】给定正数数列满足，，其中，.证明：存在常数，使得.

15．【2013年全国联赛】给定正整数.数列定义如下：，对整数，

.记.证明：数列中有无穷多项是完全平

方数.

16．【2012年全国联赛】已知数列的各项均为非零实数，且对于任意的正整数都有

.

(1)当时，求所有满足条件的三项组成的数列.

(2)是否存在满足条件的无穷数列，使得若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由.

17．【2011年全国联赛】 已知数列{}n a 满足：()123,1a t t R t =-∈≠±，

()()()1

1

2321121

n n n n n n t a t t a n N a t ++

+-+--=

∈+-.

（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若0t >，试比较1n a +与n a 的大小. 18．【2011年全国联赛】证明：对任意整数，存在一个次多项式

具体如下性质： （1）

均为正整数；

（2）对任意的正整数及任意个互不相同的正整数

，均有

.

19．【2011年全国联赛】设

是给定的正实数，

.对任意正实数

，满足

的三元数组的个数记为.证明：.

20．【2010年全国联赛】证明：方程恰有一个实数根

，且存在唯一的严格递增正整数数列

，使得.

21．【2010年全国联赛】给定整数，设正实数满足，记

.求证：.

22．【2009年全国联赛】已知是实数，方程

有两个实根，数列满足

）．

（1）求数列的通项公式（用表示）；

（2）若，求的前项和．

23．【2009年全国联赛】在非负数构成的数表中，每行的数互不相同，前六列中每

列的三数之和为1，均大于1．如果的前三列构成的数表

满足下面的性质：对于数表中的任意一列）均存在某个

使得．①

求证：（1）最小值）一定去自数表的不同列；

（2）存在数表中唯一的一列）使得数表仍然具有性质（）．

1．【2018年湖南预赛】如图，将一个边长为1的正三角形分成四个全等的正三角形，第一次挖去中间的一个小三角形，将剩下的三个小正三角形，再分别从中间挖去一个小三角形，保留它们的边，重复操作以上做法，得到的集合为谢尔宾斯基缕垫.

设是第n次挖去的小三角形面积之和（如是第1次挖去的中间小三角形面积，是第2次挖去的三个小三角形面积之和），则前n次挖去的所有小三角形面积之和的值为____________________.

2．【2016年吉林预赛】在公差不为0的等差数列中，，且成等比数列．则数列

的通项公式为________.

3．【2016年上海预赛】数列定义如下:，则____ _______。

4．【2016年上海预赛】设为正整数1，2，·，2014的一个排列。记

。则中奇数个数的最大值为___________。

5．【2016年浙江预赛】已知数列满足。

则__________。

6．【2018年甘肃预赛】已知数列满足，则数列的通项公式是______．7．【2018年吉林预赛】在数列中，若，则称为“等方差数列”.下列是对“等方差数列”的判断：

①数列是等方差数列；

②若是等方差数列，则是等差数列；

③若是等方差数列，则，k为常数）也是等方差数列；

④若既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列.

其中正确的命题序号为________.（将所有正确的命题序号填在横线上）

8．【2018年河北预赛】欲登上7阶楼梯，某人可以每步跨上两阶楼梯，也可以每步跨上一阶楼梯，则共有_ ____种上楼梯的方法.

9．【2018年浙江预赛】设数列满足，(n=1，2，…），则________. 10．【2018年江西预赛】正整数数列满足满足．在

中两数列的公共项的个数是______．

11．【2018年浙江预赛】设实数x1，x2，…，x2018满足(n=1，2，…，2016)和，证明：.

12．【2018年山西预赛】已知在正整数n的各位数字中，共含有个1，个2，⋯，个n．证明：

并确定使等号成立的条件．

13．【2018年浙江预赛】将2n()个不同整数分成两组a1，a2，…，a n；b1，b2，…，b n.证明：