《一元一次方程》全章复习与巩固(基础)知识讲解及巩固练习

2．合并法则：合并时，把系数相加(减)作为结果的系数，字母和字母的指数保持不变．
3．去括号法则：
（1）括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同．
（2）括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相反． 知识点三、一元一次方程的解法
解一元一次方程的一般步骤：
(1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数．
(2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号．
(3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边．
(4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax ＝b (a ≠0)的形式．
(5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解b x a =(a ≠0)． (6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解．
知识点四、用一元一次方程解决实际问题的常见类型
1.行程问题：路程＝速度×时间
2.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率
3.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价
4.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量
5.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率×期数
6.数字问题：多位数的表示方法：例如：32101010abcd a b c d =⨯+⨯+⨯+.
【典型例题】
类型一、一元一次方程的概念
1．下列方程中，哪些是一元一次方程? 哪些不是? (1)2x+y ＝5； (2)x 2-5x+6＝0； (3)
23x x -=； (4)1123y y -+=． 【思路点拨】若一个整式方程经过化简变形后，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不为0，则这个方程是一元一次方程．
【答案与解析】 (4)是一元一次方程．因为它们或等价变形后是只含有一个未知数、并且未知数的次数是1的方程；
(1)、(2)、(3)都不是一元一次方程，因为(1)中含有两个未知数；(2)中未知数的最高次数是2；(3)中分母含有未知数，它不是整式方程．
【总结升华】凡是分母中含有未知数的方程一定不是一元一次方程．
举一反三：
【变式】下列说法中正确的是( ).
A ．2a-a=a 不是等式
B ．x 2-2x-3是方程
C ．方程是等式
D ．等式是方程
【答案】C
2. 若方程3(x -1)+8＝2x+3与方程253
x k x +-=的解相同，求k 的值．
【答案与解析】
解：解方程3(x-1)+8＝2x+3，得x＝-2．
将x＝-2代入方程
2
53
x k x
+-
=中，得
222
53
k
-++
=．
解这个关于k的方程，得
26
3
k=．
所以，k的值是
26
3
k=．
【总结升华】由于两个方程的解相同，所以可以将其中一个方程的解代入另一个方程中，从而求得问题的答案．
举一反三：
【变式】（2015春•泉州期中）当x=时，代数式2x+1与5x﹣8的值相等．
【答案】3．
解：根据题意得：2x+1=5x﹣8，
∴2x﹣5x=﹣8﹣1，
∴﹣3x=﹣9，
∴x=3.
类型二、一元一次方程的解法
3．解方程
235
1 46
y y
+-
-=
【思路点拨】通过方程的同解原理(去分母，去括号，合并同类项，系数化为1)，一步一步将一个复杂的方程转化成与它同解的最简的方程，从而达到求解的目的．
【答案与解析】
解：去分母，得3(y+2)-2(3-5y)＝12
去括号，得3y+6-6+10y＝12
合并同类项，得13y＝12
未知数的系数化为1，得
12
13 y=
【总结升华】转化思想是初中数学中一种常见的思想方法，它能将复杂的问题转化为简单的问题，将生疏的问题转化为熟悉的问题，将未知转化为已知．事实上解一元一次方程就是利用方程的同解原理，将复杂的方程转化为简单的方程直至求出它的解．
4．解方程：
11
3(1)(1)2(1)(1)
22
x x x x
+--=--+
【思路点拨】本题按常规方法求解，比较繁锁，如能根据题目的特点，巧用“整体思维”，就能算得又快又对，起到事半功倍的效果．
【答案与解析】
解：
11
3(1)(1)2(1)(1)
22
x x x x
+++=-+-
75(1)(1)22
x x +=- 7(1)5(1)x x +=-
7755x x +=-
212x =-
x ＝-6
【总结升华】直接去括号太繁琐，若将(x+1)及(x -1)看作一个整体，并移项合并同类项，解答十分巧妙，可免去去分母的步骤及简化去括号的过程．
举一反三：
【变式】解方程：278(x -4)-463(8-2x )-888(7x -28)＝0
【答案】
解：原方程可化为278(x -4)+463×2(x -4)-888×7(x -4)＝0
(x -4)(278+463×2-888×7)＝0
x -4＝0
x ＝4
类型三、一元一次方程的应用
5． (南京)甲车从A 地出发以60 km ／h 的速度沿公路匀速行驶，0.5 h 后，乙车也从A 地出发，以80 km ／h 的速度沿该公路与甲车同向匀速行驶，求乙车出发后几小时追上甲车．
【答案与解析】
解：设乙车出发后x 小时追上甲车，依题意得60×0.5+60x ＝80x ，解得x ＝1.5． 答：乙车出发后1.5小时追上甲车．
【总结升华】此题的等量关系为：甲前0.5 h 的行程+甲后来的行程＝乙的行程．
6. （2015•东城区一模）列方程或方程组解应用题：2015年“植树节”前夕，某小区为绿化环境，购进200棵柏树苗和120棵枣树苗，且两种树苗所需费用相同．每棵枣树苗的进价比每棵柏树苗的进价的2倍少5元，每棵柏树苗的进价是多少元？
【答案与解析】
解：设每棵柏树苗的进价是x 元，则每棵枣树苗的进价是（2x ﹣5）元，
根据题意，列方程得：200x=120（2x ﹣5），
解得：x=15．
答：每棵柏树苗的进价是15元．
【总结升华】此题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
举一反三：
【变式】某文具店为促销X 型计算器，优惠条件是一次购买不超过10个，每个38元，超过10个，超过部分每个让利2元(即每个36元)，问李老师用812元共买了多少个？
【答案】
解：设李老师用812元共买了x 个，依题意可得：
381036(10)812x ⨯+⨯-=
解得：22x =
答：李老师用812元共买了22个．
【巩固练习】
一、选择题
1．下列方程中，是一元一次方程的是( )．
A ．250x +=
B ．42x y +=-
C ．162x
= D ．x ＝0 2. 下列变形错误的是( )
A.由x + 7= 5得x+7－7 = 5－7 ;
B.由3x －2 =2x + 1得x= 3
C.由4－3x = 4x －3得4+3 = 4x+3x
D.由－2x= 3得x= －
32 3. 某书中一道方程题：213x x ++=，□处在印刷时被墨盖住了，查书后面的答案，得知这个方程的解是 2.5x =-，那么□处应该是数字( )．
A ．-2.5
B ．2.5
C ．5
D ．7
4. 将(3x ＋2)－2(2x －1)去括号正确的是( )
A 3x ＋2－2x ＋1
B 3x ＋2－4x ＋1
C 3x ＋2－4x －2
D 3x ＋2－4x ＋2
5. 当x=2时，代数式ax －2x 的值为4，当x=－2时，这个代数式的值为（ ）
A.－8
B.－4
C.－2
D.8
6．解方程121153
x x +-=-时，去分母正确的是( )． A ．3(x+1)＝1-5(2x -1) B ．3x+3＝15-10x -5
C ．3(x+1)＝15-5(2x -1)
D ．3x+1＝15-10x+5
7．某球队参加比赛，开局11场保持不败，积23分，按比赛规则，胜一场得3分，平一场得1分，则该队获胜的场数为( )．
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
8.（2015•河北模拟）某单位元旦期间组织员工到正定出游，原计划租用28座客车若干辆，但有4人没有座位，若租用同样数量的33座客车，只有一辆空余了11个座位，其余客车都已坐满，则该单位组织出游的员工有（ ）
A ．80人
B ． 84人
C ． 88人
D ．92人
二、填空题
9．在0，－1，3中， 是方程3x －9=0的解.
10．如果3x 52a -＝－6是关于x 的一元一次方程，那么a ＝ ，方程的解=x .
11.（2015•苏州一模）若关于x 的方程2x+a=5的解为x=﹣1，则a= 7 ．
12．由3x ＝2x ＋1变为3x －2x ＝1，是方程两边同时加上 .
13．“代数式9－x 的值比代数式
x 3
2－1的值小6”用方程表示为 . 14．当x ＝ 时，代数式223x -与32x -互为相反数. 15．有两桶水，甲桶水装有180升，乙桶装有150升，要使两桶水的重量相同，则甲桶应向乙桶倒水
升.
16．某商场把彩电按标价的8折出售，仍可获利20%，若该彩电的进价为2000元，则标价是 .
三、解答题
17．（1）
310.10.3542
x x -=+； （2）122(1)(3)23
x x x --=+． 18．已知代数式11213y y ---+的值为0，求代数式312143y y ---的值． 19.（2015•泰州）某校七年级社会实践小组去商场调查商品销售情况，了解到该商场以每件80元的价格购进了某品牌衬衫500件，并以每件120元的价格销售了400件，商场准备采取促销措施，将剩下的衬衫降价销售．请你帮商场计算一下，每件衬衫降价多少元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标？
20．学校校办工厂需制作一块广告牌，请来师徒二人，已知师傅单独完成需4天，徒弟单独完成需6天，现由徒弟先做一天，再两人合作，完成后共得到报酬450元，如果按各人完成的工作量计算报酬，那么该如何分配?
【答案与解析】
一、选择题
1.【答案】D
2.【答案】D
【解析】由23x -=，得32
x =- 3.【答案】C
【解析】把x ＝-2.5代入方程，再把□当作未知数解方程即可．
4.【答案】D
【解析】(32)2(21)32222(1)3242x x x x x x +--=+-⋅-⋅-=+-+
5．【答案】B
【解析】将2x =代入得：244a -=，得28a =；将2x =-代入得：24844a -+=-+=-
6．【答案】C
【解析】去分母时避免漏乘常数项，当分子是多项式时，去分母后给分子加上括号．
7．【答案】C
【解析】设该队获胜x 场，则平的场数为(11-x)，则3x+(11-x)＝23．解得x ＝6．故选C ．
8.【答案】C.
【解析】设租用28座客车x 辆．则28x+4=33x ﹣11，解得 x=3，则28x+4=28×3+4=88（人）， 即该单位组织出游的员工有88人．
二、填空题
9. 【答案】3；
【解析】代入验证即可．
10. 【答案】35
，-2； 【解析】35215a a -=⇒=
，362x x =-⇒=- 11.【答案】7.
【解析】把x=﹣1代入方程2x+a=5，得：﹣2+a=5，解得：a=7．
12. 【答案】-2x ；
13. 【答案】29)613x x -+=
-（； 14. 【答案】138
； 【解析】322023x x --+=，解得：138
x = 15. 【答案】15；
【解析】设倒x 升，得：180150x x -=+，解得：15x = 16. 【答案】3000.
【解析】设标价为x 元，则0.82000(120%)x =+,解得：3000x =
三、解答题
17．【解析】
解：(1)去分母，得3x -0.4＝2x+1.4．
移项，得3x -2x ＝1.4+0.4．
合并同类项，得x ＝1.8．
(2)去分母，得12x -3(x -1)＝4(x+3)．
去括号，得12x -3x+3＝4x+12．
移项，得12x -3x -4x ＝12-3．
合并同类项．得5x ＝9．
系数化为1，得95x =
． 18．【解析】 解：由题意，得112103
y y ---+=．去分母，得61130y y --++=． 移项合并同类项，得714y -=-．系数化为1，得y ＝2．
当y ＝2时，3121321221143434
y y --⨯-⨯--=-=，
即若代数式11213y y ---+的值为0，则代数式312143y y ---的值为14
． 19.【解析】
解：设每件衬衫降价x 元，依题意有
120×400+（120﹣x ）×100=80×500×（1+45%），
解得x=20．
答：每件衬衫降价20元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标．
20．【解析】
解：设两人一起做x 天，据题意，得：
11(1)164
x x ++=，解得x ＝2． 师傅应得报酬为14
×2×450＝225(元)． 徒弟应得报酬为450-225＝225(元)．
答：师傅应得报酬为225元，徒弟应得报酬为225元．。