高中数学函数最值的求解方法
求最值方法--高考数学复习
求最值方法 -- 高考数学复习一问一答 -------- 最值问题方法总论1高中数学求最值有哪些方法？答：有 9 种方法： 1）配方法 2）鉴别式法； 3）不等式法； 4）换元法； 5）函数单一性法； 6）三角函数性质法； 7）导数法； 8）数形联合发；9）向量法2如何将恒成立问题转变为最值问题？答：1) a f ( x)恒成立，则a f (x)max 2）a f ( x)恒成立，则 a f (x)min一元整式函数最值1、二次函数张口方向、对称轴、所给区间均确立,如何求最值 ?答：1）确立对称轴与x轴交点的横坐标能否在所给区间。
2）假如在所给区间，一个最值在极点处获得，另一个最值在与极点横坐标较远的端点处获得。
3）若不在所给区间，利用函数的单一性确立其最值。
2、二次函数所给区间确立，对称轴地点变化，如何求最值 ?答： 1）挪动对称轴，将对称轴平移到定区间的左边、右边及区间内议论， 2）在区间内，只考虑对称轴与区间端点的距离即可。
3、二次函数所给区间变化，对称轴地点确立，如何求最值 ?答：分类议论，分为四种状况： 1）对称轴在闭区间左边；2）对称轴在闭区间右边3）对称轴在闭区间内且在中点的左边； 4）对称轴在闭区间内且在中点的右边（或过中点）；4、二次函数所给区间、对称轴地点都不确立，如何求最值 ?答：将此中一个看作是“定”的，另一个看作是“动”的，而后如上分四种状况进行议论。
5、什么状况下运用基本不等式求最值？答：当两个变量的和或积为定值时运用，有时需要变形。
即两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，两个正数的和为定值时，它们的积有最大值。
6、对于多项式乘积的最值问题，如何求解答：能够考虑睁开后，利用基本不等式求解7、如何求复合型函数的最值答：若函数f ( x), g( x) 在 [ mn.] 上单调性相同，则h( x) f (x)g(x) 在 [m.n] 上与 f ( x), g( x) 有同样的单一性，可利用单一性求h( x) 在[ mn.] 上的最值。
高中数学函数求最值常用方法总结
高中数学中的函数最值求解问题是学习中的难点，在解决函数最值问题的时候要经过全方位的考虑，结合函数的定义域，将各种可能出现的结果进行分析，最终求得准确的计算结果。
在数学学习的过程中活跃的数学思维非常重要，它不仅可以改善学习方法，而且可以帮助学生掌握更多的解题技巧，进而提高解题速度和学习效率。
本文总结了一些求函数最值的常用方法如下：一、利用一次函数的单调性【例题1】 已知 x , y , z 是非负实数，且 x + 3y + 2z = 3 , 3x + 3y + z = 4 ,求函数 w = 2x - 3y + z 的最值 .解：得 y = 5/3 （1 - x）, z = 2x - 1∴ w = 9x - 6又 x , y , z 非负，依一次函数 w = 9z - 6 的单调性可知当 x = 1/2 时，Wmin = -3/2 ,当 x= 1 时，Wmax = 3 .注：再求多元函数的条件最值时，通常是根据已知条件消元，转化为一元函数来解决问题.对于一次函数 y = kx + b ( k ≠ 0 ) 的最值，关键是指出自变量的取值范围，即函数的定义域，当一次函数的定义域是闭区间时，其最值在闭区间的端点处取得 .二、利用二次函数的性质【例题2】 设 α , β 是方程 4x^2 - 4kx + k + 2 = 0 的两个实数根，当 k 为何值时 α^2 + β^2 有最小值？解：∵ α , β 为方程的两个实数根，∴ α + β = k , αβ = 1/4 ( k + 2 ) ,令 y = α^2 + β^2 , 则有又由原方程由实数根可知，∴ k ≤ -1 或 k ≥ 2 .而二次函数的顶点 （1/4，-17/16）不在此范围内，根据二次函数的性质知，y 是以 k = 1/4 为对称轴，开口向上的，定义域为 （-∞，-1]∪[2，+∞）的抛物线，比较 k = -1 及 k = 2 时 y 的值知，当 k = -1 时，有 ymin = 1/2 .注：利用二次函数的性质求最值时，不能机械地套用最值在顶点处取得 . 首先要求出函数的定义域，然后在看顶点是否在函数的定义域内，最后再根据函数的单调性来判定 . 【例题3】 如图所示，抛物线 y = 4 - x^2 与直线 y = 3x 交于 A , B 两点，点 P 在抛物线上由 A 运动到 B，求 △APB 的面积最大时点 P 的坐标 .分析：由于 A , B 为定点，所以 AB 长为定值，欲使 △APB 的面积最大，须使 P 到 AB的距离最大 .解：设 P 点坐标为 （x0 , y0）,∵ A , B 在直线 y = 3x 上，∴联立抛物线与直线方程，可得xA = -4 , xB = 1 ,∴ -4 ≤ x0 ≤ 1 ,则有∴当 x = -3/2 时，d 取最大值，△APB 面积最大，此时 P 点坐标为 （-3/2 , 7/4）.注：在解决实际问题时要注意确定自变量取值范围的方法，本题是由直线与抛物线的交点来确定的，这样才能确定定义域内的最值 .三、利用二次方程的判别式欲求函数 y = f(x) ( x ∈ R ) 的极值，如果可以把函数式整理成关于 x 的二次方程， 注意到 x 在其定义域内取值，即方程有实根，所以可以通过二次方程的判别式 △ ≥ 0 来探求 y 的极大值与极小值 .【例题4】 已知 0 ≤ x ≤ 1 , 求的最值 .解： 原式可化为∵ x ∈ R ,∴解得 y ≤ 1/4 或 y ≥ 9/16 ，即函数 y 的值域为 y ≤ 1/4 或 y ≥ 9/16 ，∴ y极大 = 1/4，y极小 = 9/16 .当 y = 1/4 时，代入原函数解析式得 x = 1 ∈ [ 0 , 1 ] ;当 y = 9/16 时，代入原函数解析式得 x = -1 [ 0 , 1 ] .又 x = 0 时 ， y = 2/3 ,∴ 当 x = 0 时，y 取极大值 2/3 .注：① 由判别式确定的是函数的值域，由值域得到的是函数的极值而不是最值；② 对有些函数来说，极值与最值相同，而有的函数就不一定，如本题中的极大值比极小值还小，这是因为极值是就某局部而言；③ 若要求函数在给定的定义域内的最值，一定要注意极值是否在此定义域内取得， 即要注意验根 .四、利用重要不等式【例题5】 设 x , y , z ∈ R+ , 且 2x + 4y + 9z = 16 .求 6√x + 4√y + 3√z 的最大值 .解：令 u = 6√x + 4√y + 3√z ,∴ u ≤ 4√23 ,( 其中当 9/x = 1/y = 1/9z 时，即当 x = 144/23 , y = 16/23 , z = 16/207 时取等号) 故注：这里是应用柯西不等式，在应用公式时，如何构造出已知条件等式 2x + 4y + 9z = 16，颇具技巧性和解题意义 .五、利用三角函数的有界性对于三角函数的极值，通常是利用三角函数的有界性来求解问题的，如正、余弦函数的最大（小）值很明显：y = asinx + bcosx （a , b ≠ 0）引入辅助角 θ，则其最值也一目了然 . 而对于其它的类型或用同角关系式、或用万能公式、或用正余弦定理作转化，变为二次函数问题来求解 .【例题6】 求的最值 .解法一： （利用降幂公式）解法二： （用判别式法）注： 本例还可以用万能公式等方法来求解 .六、利用参数换元对于有些函数而言，直接求极值比较复杂或不方便，这时可根据题目的特点作变量代换，然后运用前面的几种方法来解决问题.在换元时，一定要注意新的变量的取值范围 . 【例题7】 求函数 y = x + √( 1 - x ) 的极值 .解：原函数变为∵ t = 1/2 ∈ [ 0 , +∞ ) ,∴ 当 t = 1/2 ，即 x = 3/4 时，ymax = 5/4 .注： 这种换元虽然十分简单，但具有代表性 .七、利用复数的性质【例题8】 已知复数 z 满足 | z | = 2 , 求 | 1 + √3 i + z | 的极值 . 解法一：设 z = 2（cosθ + isinθ） （∵ | z | = 2）故 | 1 + √3 i + z |max = 4 , | 1 + √3 i + z |min = 0 .解法二：依据 | z1 | - | z2 | ≤ | z1 + z2 | ≤ | z1 | + | z2 | ,有 | 1 + √3 i | - | z | ≤ | 1 + √3 i + z | ≤ | 1 + √3 i | + | z | ，即 2 - 2 ≤ | 1 + √3 i + z | ≤ 2 + 2 ，∴ | 1 + √3 i + z |max = 4 , | 1 + √3 i + z |min = 0 .注：求复数模的最值通常可用代数法，三角法（解法一），复数模的性质及其公式 | z1 | - | z2 | ≤ | z1 + z2 | ≤ | z1 | + | z2 | , 此外还有数形结合方法等，但以上两种方法最为简捷.八、利用数形结合有些代数和三角问题，若能借助其几何背景，予以几何直观，这时求其最值常能收到直观、明快，化难为易得功效.【例题9】 求的最值 .解： 将函数式变形为其几何意义是在直角坐标系中，动点 P（cosx , sinx）和定点 A（-2 ，-1）连线的斜率，动点 P 的轨迹为单位圆，如下图所示：知 kAB 最小，kAC 最大，显然 kAB = 0 ,又 tgθ = |OB|/|AB| = 1/2 ,tg∠A = tg2θ = 2tgθ/（1 - tg^2 θ）= 4/3 ,即 kAC = 4/3 ,故 ymin = 0 , ymax = 4/3 .注：形如 [f(x) - a] / [g(x) - b] 的函数式，通常都可视作点 （g(x) ，f(x) ） 与点 （b , a）的连线的斜率 .运用数形结合的思想解题，关键是要进行合理的联想和类比，将代数式通过转化、变形、给予几何解释，通常这种转化与变形的过程常是一种挖掘和发现的过程，如本例需要挖掘 .。
高中数学二次函数最值与单调性解题方法
高中数学二次函数最值与单调性解题方法二次函数是高中数学中非常重要的一个知识点，掌握二次函数的最值与单调性解题方法对于学生来说是至关重要的。
本文将从最值和单调性两个方面介绍二次函数的解题方法，并通过具体的例题来说明考点和解题技巧。
一、二次函数的最值解题方法1. 最值的概念首先，我们来了解一下最值的概念。
对于一个函数，最大值是指函数在定义域内取得的最大值，最小值是指函数在定义域内取得的最小值。
2. 最值的求解方法对于二次函数，我们可以通过求导数的方法来求解最值。
具体步骤如下：（1）先求出二次函数的导数；（2）令导数等于零，解方程得到临界点；（3）将临界点代入原函数，求出函数在临界点处的函数值；（4）比较函数值，得出最值。
下面通过一个例题来说明最值的求解方法。
例题1：求函数f(x) = x^2 - 2x + 3的最值。
解：首先求导数，f'(x) = 2x - 2。
令f'(x) = 0，解方程得到临界点x = 1。
将临界点代入原函数，f(1) = 1^2 - 2 * 1 + 3 = 2。
因此，函数f(x)的最小值为2。
二、二次函数的单调性解题方法1. 单调性的概念单调性是指函数在定义域内的增减性质。
对于一个函数，如果在定义域内任意两个点x1和x2，当x1 < x2时，有f(x1) < f(x2)，则函数为增函数；当x1 < x2时，有f(x1) > f(x2)，则函数为减函数。
2. 单调性的判断方法对于二次函数，我们可以通过判断二次函数的二次项系数的正负来判断函数的单调性。
（1）当二次项系数大于零时，二次函数开口向上，函数为增函数；（2）当二次项系数小于零时，二次函数开口向下，函数为减函数。
下面通过一个例题来说明单调性的判断方法。
例题2：判断函数g(x) = -x^2 + 4x - 3的单调性。
解：由于二次项系数为负，所以二次函数开口向下，函数为减函数。
综上所述，通过求导数的方法可以求解二次函数的最值，而通过判断二次项系数的正负可以判断二次函数的单调性。
高中数学解题方法系列：函数求极值问题的6种方法
成一个无盖的方盒，问截去多少方能使盒子容积最大？
解：设截的小正方形边长为 x，则做成方盒容积为 y=(x-2a) x（0≤x≤a/2）
于是问题就归结为求函数在区间内极值问题。运用引理可知在 x=a/6 是盒子容积
最大。
五、利用平面几何图形求最值
例 11 求函数
的最小值。
分析：本题要求无理函数最值。用代数方法比较困难，若将函数表达变形为； 则函数表达式显现为坐标平面上
条件求出自变量的范围，最终将问题为一元二次函数区间内最值问题。但这样解
决此题，计算量较大。我们仔细分析约束条件，将约束条件可以整理为
，它表示以 x、y 为坐标的动点必须在椭圆
内或边界。而函数 f(x、y)=x－3y 可以约束区域内有点在
直线上的情况下，直线系中哪条直线在 y 轴截距最大或最小。显然在与椭圆相切
y x 3
y x3
x o
根据图像我们可以判断：当 x=0,
；当 x=3,
,对此类型问题的
思考：当函数解析式含有较多绝对值符号的时候，如果我们仍然通过做出函数图
像来求解极值，那么过程就非常复杂。那么是否有更简单的方法呢？经过对问题
的分析，我们发现函数的极值点要么出现在函数定义域的端点，要么出在函数图
就转化为在图像上找一点使得该点的横纵坐标之和最大或最小。此后就可采用椭
圆的参数方程解决。 例 5 若 2x+4y=1 求 x2+y2 的最小值 分析 函数 f(x、y)= x2+y2 我们理解为点（x、y）到原点的距离的平方，而
动点（x、y）在直线 2x+4y=1 上移动，那么我们就将问题转化为在直线上找一点，
于：能深刻理解函数解析式的内涵，且计算简单。
求函数值域(最值)的方法
求函数值域（最值）方法汇总一．单调性法例1．求函数x 53x y ---=的值域 例2．求函数11--+=x x y 的值域例3．求函数x x y -+-=53的值域解一：例4．已知函数.2]2,0[34)(2的值，求实数上有最大值在区间a x ax x f -+= 解：（1）当0=a 时，max ()(2)4232,f x f ==⨯-≠舍去； （2）当↑⇒〈-=〉上在时，对称轴方程为]2,0[)(020x f ax a 舍去,043254)2(〈-=⇒=+=⇒a a f ；（3）当时，0〈a 02〉-=ax 对称轴方程为， ①]1,(]0,1[1]2,0[2--∞∈⇒-∈⇒∈-a a a 1542384)2(-〉-=⇒=--=-⇒a a a a f ，舍去②122-〉⇒〉-a a ↑⇒上在]2,0[)(x f 43-=⇒a纵上，43-=a例5.已知函数f （x ）对任意实数x ，y ，均有f （x ＋y ）＝f （x ）＋f （y ），且当x ＞0时，f （x ）＞0，f （－1）＝－2，求f （x ）在区间[－2，1]上的值域。
解：0)0()0()0()00(=⇒+=+f f f f为奇函数则令)()()()()()(,x f x f x f x f x f x x f x y ⇒-=-⇒-+=--= )()()()()(0)(0,121112121221x f x f x f x f x x f x x f x x x x 〉⇒〉+-⇒〉-⇒〉-〈则令422)1()1()11()2(-=--=-+-=--=-f f f f ,2)1()1(=--=f f()[-2,1][-4,2]f x ⇒在上的值域为：二．判别式（∆）法：用于自然定义域下的二次分式形式的函数，变形为关于x 的方程，讨论2x 的系数，当系数为0时，判断方程左边是否等于0；当系数不为0时，得0≥∆。
综上，求出y 的范围。
如：,,222211221121c x b x a b x a y b x a c x b x a y +++=+++=22221121c x b x a c x b x a y ++++=等。
分离系数法高中函数
分离系数法高中函数
分离系数法是高中数学中求解函数极值的一种方法。
下面我们来详细研究一下分离系数法。
1. 什么是分离系数法？
分离系数法是一种用于求解函数极值的方法，特别适用于函数难以直接求导的情况。
通过将函数拆分成多个部分，再单独求导，最后得到一个方程组来解决极值问题的方法。
2. 如何使用分离系数法？
首先，我们需要将函数按照某种规则进行拆分，然后通过求导等方法得到每个部分的极值，最后组合起来求解整个函数的极值。
例如，对于函数f(x) = x^3 + 3x^2 + 2x + 1，我们可以先将其拆分成两个部分，即：
f(x) = x^3 + 3x^2 + 2x + 1 = (x^3 + 3x^2) + (2x + 1)
然后，我们可以分别对每个部分求导，得到：
f'(x) = 3x^2 + 6x + 2
g'(x) = 2
接着，我们令f'(x) = g'(x)，得到一个二次方程：
3x^2 + 6x + 2 = 2
解得x = -1 或 x = -2/3。
将这两个值代入f(x)和g(x)中，得到f(-1) = -1 和 f(-2/3) = 11/27。
所以f(x)的极值为-1和11/27。
3. 分离系数法的适用范围是什么？
分离系数法适用于难以直接求导的函数，如三角函数、指数函数等。
但是，使用分离系数法求解极值问题需要较高的数学功底，需要熟练掌握函数求导和方程求解等基础知识。
总之，分离系数法是一种有效的求解函数极值的方法，可以帮助我们解决某些难题。
但在使用时也需要注意方法的正确性和适用范围，以免产生误导性的结果。
二次函数求最值方法总结
二次函数求最值方法总结二次函数是高中数学中一个非常重要的概念，它的图像非常常见且有着广泛的应用。
对于一个二次函数，我们常常需要求解其最值，即求出函数的最大值或最小值点。
在解决这类问题时，我们可以采用以下几种方法。
一、图像法图像法是最直观也是最常用的求解二次函数最值的方法之一、我们可以通过观察二次函数的图像来判断最值的位置。
1. 对于一般形式的二次函数$y=ax^2+bx+c$，若$a>0$，则抛物线开口朝上，最值为最小值；若$a<0$，则抛物线开口朝下，最值为最大值。
因此，我们只需判断二次函数的a值的正负即可。
2. 另外，对于一般形式的二次函数$y=ax^2+bx+c$，我们可以求出它的顶点坐标。
二次函数的顶点坐标为$(x,y)$，其中$x=-\frac{b}{2a}$，$y=f(x)=f\left(-\frac{b}{2a}\right)=c-\frac{b^2}{4a}$。
当x为顶点时，y为函数的最值。
二、完全平方式完全平方式是通过将二次函数进行平方式来求解最值。
这个方法主要基于二次函数的完全平方式。
1. 对于一般形式的二次函数$y=ax^2+bx+c$，我们可以通过完全平方方式将其转化为$y=a(x-h)^2+k$的形式。
其中，h为$x=-\frac{b}{2a}$时的x值，k为$f(-\frac{b}{2a})$的值。
此时，最值点为$(h,k)$。
2. 对于二次函数的完全平方法，我们可以用符合二次差法，即$(p+q)^2=p^2+2pq+q^2$（p、q为实数）来得到完全平方式的表达式。
具体步骤如下：a. 首先，将二次函数转化为$y=ax^2+bx$的形式。
即去掉常数项，将$c$设为0。
b. 将二次函数中的二次项系数和一次项系数进行平均分解，得到$a(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2}{4a}$。
c. 进一步化简，得到$a(x+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac-b^2}{4a}$。
高中数学-基本不等式---求最值的常见技巧
高中数学-基本不等式---求最值的常见技巧【理论解析】一个技巧：222a b ab+≥逆用就是222a bab+≤，2a b+≥(0,0)a b>>逆用就是2()2a bab+≤等．两个变形：(1) 2112a ba b+≤≤≤+(,)a b R+∈,即调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数；（当且仅当a b=时取等号）(2)222()22a b a bab++≤≤(,)a b R∈（当且仅当a b=时取等号)．三个注意“一正、二定、三相等”的忽视．【解题方法技巧举例】1、添、减项（配常数项）例1 求函数221632y xx=++的最小值.222221620,32163(2)6266x y xxxx+>=++=++-+≥=解：当且仅当22163(2)2xx+=+，即22x=时,等号成立. 所以y的最小值是6.2、配系数（乘、除项）例2 已知0,0x y>>，且满足3212x y+=，求lg lgx y+的最大值.分析lg lg lg()x y xy+=, xy是二项“积”的形式，但不知其“和”的形式x y+是否定值，而已知是3x与2y的和为定值12，故应先配系数，即将xy变形为326x y⋅，再用均值不等式.220,032lg lg lg()lg6132112lg lg 6262lg 6x y x y x y xy x y >>⋅+==⎡⎤⎡⎤+⎛⎫⎛⎫≤=⎢⎥⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=解： 当且仅当32x y =，即2,3x y ==时，等号成立. 所以lg lg x y +的最大值是lg 6.3、 裂项例3已知1x >-，求函数()()521x x y x ++=+的最小值.分析 在分子的各因式中分别凑出1x +，借助于裂项解决问题.()()141110,14(1)5519x x x y x x x ++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦+>=+=+++≥+=解：当且仅当411x x +=+，即1x =时，取等号.所以min 9y =.4、 取倒数例4 已知102x <<，求函数2(1)(12)x y x x +=-的最小值. 分析 分母是x 与(12)x -的积，可通过配系数，使它们的和为定值；也可通过配系数，使它们的和为(1)x + (这是解本题时真正需要的).于是通过取倒数即可解决问题.解 由102x <<，得10x +>，120x ->.221(12)1312(1)31131211113212x x x x y x x x x x x x --==⋅⋅+++-⎡⎤+⎢⎥++≤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦当且仅当31211x xxx -=++，即15x =时，取等号. 故y 的最小值是12.5、 平方例5 已知0,0x y >>且22283y x +=求.分析 条件式中的x 与y 都是平方式，而所求式中的x 是一次式，y 是平方式但带根号.初看似乎无从下手，但若把所求式平方，则解题思路豁然开朗，即可利用均值不等式来解决.222222222((62)32(1)32(1)9333()22y x y x y x =+=⋅+⎡⎤++⎢⎥≤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦解：当且仅当222(1)3y x =+，即32x =，2y =时， 等号成立.故的最大值是评注 本题也可将x纳入根号内，即将所求式化为.6、 换元（整体思想）例6求函数y =的最大值.分析t =，进行换元，再使分子常数化，然后运用均值不等式来解决.22,0,2,(0)2100;1014212=.23,2t t x t t y t t t y t y t t t t t x =≥=-=≥+==>=≤=+==-则当时，当时，当且仅当，即所以时7、 逆用条件例7 已知191(0,0)x y x y +=>>,则x y +的最小值是（ ） .分析 直接利用均值不等式，只能求xy 的最小值，而无法求x y +的最小值.这时可逆用条件，即由191x y =+，得19()()x y x y x y +=++，然后展开即可解决问题.190,0,1199()()1010169,4,12.16.x y x y y xx y x y x y x yy x x y x yx y >>+=+=++=++≥====+解：由，得当且仅当即时，等号成立故的最小值是 评注 若已知0,0,x y >>1x y += (或其他定值)，要求19x y +的最大值，则同样可运用此法. 8、 巧组合 例8 若,,0a b c >且()4a a b c bc +++=-求2a b c ++的最小值 .分析 初看，这是一个三元式的最值问题，无法利用a b +≥来解决.换个思路，可考虑将2a b c ++重新组合，变成()()a b a c +++，而()()a b a c ++等于定值4-，于是就可以利用均值不等式了.,,0,2()()2,,1.2 2.a b c a b c a b a c b c b c a a b c >++=+++≥======-++解：由知当且仅当即时，等号成立故的最小值为9、 消元例9、设,,x y z 为正实数，230x y z -+=，则2y xz 的最小值.分析 本题也是三元式的最值问题.由题意得32x zy +=，则可对2y xz 进行消元，用,x z 表示，即变为二元式，然后可利用均值不等式解决问题.22223,0,,29666=3,443,,=33.x zx z y y x z xz xz xz xz xz xzyx z x y z y xz +>=+++≥====解：由可得当且仅当即时，取“”.故的最小值为【例题解析】 例1 求函数()()yx x x=++49的最值.解： （1）当x >0时，25362133613=⋅+≥++=xx x x y ， 当且仅当xx=36即6=x 时取等号.所以当x =6时，y min =25. （2）当x <0时，->->xx0360，， ()()-+-⎛⎝ ⎫⎭⎪≥--⎛⎝ ⎫⎭⎪=x x x x 3623612， 11213)]36()[(13=-≤-+--=∴xx y .当且仅当-=-x x 36，即x =-6时取等号，所以当x =-6时，y max =-=13121.例2已知0,0x y >>，且191x y+=，求x y +的最小值. 解：190,0,1x y x y >>+=，()1991061016y x x y x y x y x y⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当9y x x y =时，上式等号成立，又191x y+=，可得4,12x y ==时，()min 16x y += . 例3 当04x <<时，求(82)y x x =-的最大值.解析：此题为两个式子积的形式，但其和不是定值.注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可.211282(82)[2(82)]()8222x x y x x x x +-=-=-≤=当282x x =-，即2x =时取等号 ，所以当2x =时，(82)y x x =-的最大值为8.例4 已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值. 解析：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1(42)45x x --不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项，5,5404x x <∴->，11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+=当且仅当15454x x-=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =.例5已知x，y为正实数，且2212yx+=，求的最大值.解析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式222a bab+≤.12，==下面将x=2212222yx++≤4=当且仅当x=2212yx+=，即2x=，2y=时，等号成立.所以的最大值为4.评注：本题注意到适当添加常数配凑后，两项的平方和为常数，故而进行变形利用基本不等式链解决问题.【基本不等式课堂练习】一、选择题1.已知0,0a b >>，则112ab a b++的最小值是（ ）A ．2 B ．22 C ．4 D ．5 2.当0<x <2π时，函数f (x )=x x x 2sin sin 82cos 12++的最小值为（ ）A.2B.23C.4D.433.设y=x 2+2x+5+2125x x ++，则此函数的最小值为（）A ．174B ．2C ．265D ．以上均不对 4，若，下列不等式恒成立的是（ ）A ．B ．C ．D ．5，若且，则下列四个数中最大的是 （ ）Ａ． Ｂ． Ｃ．2ab Ｄ．a6. 设x>0,则的最大值为 （ ）Ａ．3 Ｂ．Ｃ．Ｄ．－1 7，设的最小值是( ) A. 10 B.C.D.8. 若x, y 是正数，且，则xy 有（ ）Ａ最大值16 Ｂ．最小值 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值9. a,b 是正数，则三个数的大小顺序是（ ）Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．10.下列函数中最小值为4的是( )Ａ Ｂ Ｃ Ｄ11、已知二次函数f(x)＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z)，且函数f(x)在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f(x)>1的解集为( )A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)B ．(－∞，0)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)D ．(0,1)12、已知M 是△ABC 内的一点，且AB →·AC →＝23，∠BAC ＝30°，若△MBC ，△MCA 和△MAB 的面积分别为12，x ，y ，则1x ＋4y 的最小值是( )A ．20B ．18C ．16D ．913．设x,y 为正数, 则(x+y)(1x + 4y)的最小值为 ( )A.6 B.9 C.12 D.1514． 已知定义域为R 的偶函数在上是增函数，且，则不等式的解集为（ ）A ．B ．C ．D ．15．若，则的最小值为（ ）A ．8 B ．C ．2D ．417.若正数x ，y 满足x+3y=5xy ，则3x+4y 的最小值是( ) A. 245 B. 285C.5D.6 18．下列不等式一定成立的是（ ）A ．21lg()lg (0)4xx x +>> B ．1sin 2(,)sin x x k k Z xπ+≥≠∈ C ．212||()x x x R +≥∈D ．211()1x R x >∈+ 19若点(,)A x y 在第一象限且在236x y +=上移动，则3322log log x y + （ ）A 、最大值为1B 、最小值为1C 、最大值为2D 、没有最大、小值 20、 已知01x <<，求函数411y x x=+-的最小值.21、已知0,0a b >>，328a b +=，求函数的最大值.。
高中数学解题方法系列：函数求极值问题的6种方法
高中数学解题方法系列：函数求极值问题的6种方法对于一个给定的函解析式，我们如果能大致作出其对应的函数图像，那么函数的许多性质都可以通过图像客观地反应出来。
因此，只要我们做出了函数图像，那么我们就可以根据图像找到极值点，从而求出函数的极值。
下面，我就从几个方面讨论一下，函数图象在求极值问题中的应用。
一、函数解析式中含有绝对值的极值问题。
我们给出问题的一般形式，设a≤x≤b,求函数的极值。
很容易判断该函数为分段函数，其对应的图像是折线，因此只要做出函数的图像那么就可以准确的找出函数的极值点。
例1设－2≤x≤3，求函数的最值。
解：若将函数示为分段函数形式。
作出函数图像根据图像我们可以判断：当x=0,；当x=3,,对此类型问题的思考：当函数解析式含有较多绝对值符号的时候，如果我们仍然通过做出函数图像来求解极值，那么过程就非常复杂。
那么是否有更简单的方法呢？经过对问题的分析，我们发现函数的极值点要么出现在函数定义域的端点，要么出在函数图像的拐点(使函数中某一个绝对值部分为零的点）因此我们只需将这些点求出来并代入函数解析式求出其所对应的值。
经过比较就得出了极值例如上题：f(－2)=7、f(－1)=4、f(0)=3、f(2)=5、f(3)=8、、=8，据此我们下面给出解决这一类问题更一般的方法。
=max ｛f(bi)、i=1、2、3……n ｝,=min ｛f(－bi),i=1、2、3……n ｝.二、将极值问题转化为几何问题。
运用此方法解决极值问题关键在于深刻理解，挖掘解析式所蕴含的几何意义。
1.转化为求直线斜率的最值。
例2求函数的最值分析函数解析式非我们常见的函数模型。
通过分析我们发现该函数可以看做过点A （3、2）与B （sin 、－cos ）两点直线的斜率。
而动点B的轨迹是y xo 3+=x y 3+-=x y 13+-=x y 13-=x y圆x2+y2=1。
因此我们就将问题转化为了求定点（3、2）与圆x2+y2=10上一点连线的斜率的最大值与最小值。
高中数学函数最值问题的几种求解方法
高中数学函数最值问题的几种求解方法摘要：在高中数学的课程内容中，函数是占比非常大的部分学习内容。
最值问题，也是函数课程学习中最有难度且在考试中比较常考的一个知识点。
关于最值的求解，在具体的解题方法上有多种不同的类型，不同的解题方法，其应用中的思路和解题的关键要点都是有差异的，本文重点针对几种比较典型且求解效率较高的函数最值求解方法进行探讨，从而为高中阶段数学课程中的函数课程的学习提供参考。
关键词：高中数学；函数问题；最值求解；单调性；配方法引言：对于函数题目的求解而言，解题的思路不同，则具体应用的解题方法与技巧也是有所差别的，不同的题目类型，其最值求解的原理和思路也有细微的差别，在具体的解题方法选择应用的过程中，应当结合题目的已知条件，对于具体的解题方法进行科学的选取。
一、函数最值问题的特征分析（一）题型有多种不同的变化从本质上来讲，题型的多变性也意味着在解题中需要应用多种不同的方法来进行解题，这也符合函数最值求解的基本性质，从具体的题型角度来讲，这一点的具体表现是，虽然在最终的解题目标上，具体的题目都是对函数最值的求解，但从题目本身的呈现形式上，其就具有丰富性比较强的典型特征，另外，随着题目组织形式的变化，实际上也意味着函数最值问题在解答时的切入点和所适应的解题方法会发生变化，这在一定程度上反映出了函数最值问题本身的难度较高的特征[1]。
（二）题型解答涉及多种类型的知识这一点主要是指，在解决一个函数最值问题的过程中，需要涉及的知识内容具有多元性特征。
例如，虽然在形式上是单一的最值问题的解答，但在题目的思考解答过程中，需要学生掌握的思考方法和相关的数学知识是具有多样性的要求的。
这对于学生在解题中的思维灵活性和数学知识掌握的综合性都有很高的要求，这也意味着在具体的题目解答中，需要掌握科学的解题方法，方可切实解决具体的数学问题。
二、不同的最值解题方式的具体阐述（一）利用配方法解题这种函数机制的解题方法在这类问题的整体解答中，属于应用频率比较高，其应用的普遍性较强的一种方法，下文以一个具体的题目实例举例说明这种方法在函数最值求解中的应用。
高中数学解题方法系列：三角函数最值问题的10种方法
高中数学解题方法系列：三角函数最值问题的10种方法三角函数是重要的数学运算工具，三角函数最值问题是三角函数中的基本内容，对三角函数的恒等变形能力及综合应用要求较高.解决三角函数最值这类问题的基本途径，一方面应充分利用三角函数自身的特殊性（如有界性等），另一方面还要注意将求解三角函数最值问题转化为求一些我们所熟知的函数（二次函数等）最值问题.下面介绍几种常见的求三角函数最值的方法：一．转化一次函数在三角函数中，正弦函数与余弦函数具有一个最基本也是最重要的特征——有界性，利用正弦函数与余弦函数的有界性是求解三角函数最值的最基本方法.例1．求函数2cos 1y x =-的值域[分析] 此为cos y a x b =+型的三角函数求最值问题， 设cos t x =，由三角函数的有界性得[1,1]t ∈-，则21[3,1]y t =-∈-二. 转化sin()y A x b ωϕ=++(辅助角法)观察三角函数名和角，先化简，使三角函数的名和角统一.例2．（2017年全国II 卷）求函数()2cos sin f x x x =+的最大值为.[分析] 此为sin cos y a x b x =+型的三角函数求最值问题，通过引入辅助角公式把三角函数化为sin()y A x B ωϕ=++的形式，再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．一般可利用|sin cos |a x b x +≤求最值.()f x ≤三. 转化二次函数(配方法)若函数表达式中只含有正弦函数或余弦函数，且它们次数是2时，一般就需要通过配方或换元将给定的函数化归为二次函数的最值问题来处理.例3． 求函数3cos 3sin 2+--=x x y 的最小值.[分析]利用22sin cos 1x x +=将原函数转化为2cos 3cos 2+-=x x y ，令cos t x =，则,23,112+-=≤≤-t t y t 配方，得41232-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t y , ∴≤≤-,11t Θ当t=1时,即cosx=1时，0min =y四. 引入参数转化（换元法）对于表达式中同时含有sinx+cosx ，与sinxcosx 的函数，运用关系式(),cos sin 21cos sin 2x x x x ±=± 一般都可采用换元法转化为t 的二次函数去求最值，但必须要注意换元后新变量的取值范围.例4. 求函数sin cos sin .cos y x x x x =++的最大值.[分析]解：令().cos sin 21cos sin 2x x x x +=+，设sin cos .t x x =+则[]()t t y t t x x +-=∴-∈-=21,2,221cos sin 22，其中[]2,2-∈t 当.221,14sin ,2max +=∴=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=y x t π 五. 利用基本不等式法利用基本不等式求函数的最值，要合理的拆添项，凑常数，同时要注意等号成立的条件，否则会陷入误区.例5. 已知()π,0∈x ，求函数1sin 2sin y x x =+的最小值. [分析] 此题为xa x sin sin +型三角函数求最值问题，当sinx>0,a>1，不能用均值不等式求最值，适合用函数在区间内的单调性来求解.设()1sin ,01,2x t t y t t =<≤=+≥=2t =. 六．利用函数在区间内的单调性 例6.已知()π,0∈x ，求函数x x y sin 2sin +=的最小值. [分析] 此题为xa x sin sin +型三角函数求最值问题，当sinx>0,a>1，不能用均值不等式求最值，适合用函数在区间内的单调性来求解. 设()t t y t t x 1,10,sin +=≤<=，在（0，1）上为减函数，当t=1时，3min =y .七．转化部分分式例7．求函数1cos 21cos 2-+=x x y 的值域[分析] 此为dx c b x a y -+=cos cos 型的三角函数求最值问题，分子、分母的三角函数同名、同角，这类三角函数一般先化为部分分式，再利用三角函数的有界性去解.或者也可先用反解法，再用三角函数的有界性去解. 解法一：原函数变形为1cos ,1cos 221≤-+=x x y Θ，可直接得到：3≥y 或.31≤y 解法一：原函数变形为()()∴≤-+∴≤-+=,1121,1cos ,121cos y y x y y x Θ3≥y 或.31≤y 八． 数形结合由于1cos sin 22=+x x ，所以从图形考虑，点(cosx,sinx)在单位圆上，这样对一类既含有正弦函数，又含有余弦函数的三角函数的最值问题可考虑用几何方法求得. 例8． 求函数()π<<--=x xx y 0cos 2sin 的最小值. [分析] 法一：将表达式改写成,cos 2sin 0x x y --=y 可看成连接两点A(2,0)与点(cosx,sinx)的直线的斜率.由于点(cosx,sinx)的轨迹是单位圆的上半圆（如图），所以求y 的最小值就是在这个半圆上求一点，使得相应的直线斜率最小.设过点A 的切线与半圆相切与点B,则.0<≤y k AB 可求得.3365tan -==πAB k 所以y 的最小值为33-（此时3π=x ）. 法二：该题也可利用关系式asinx+bcosx=()φ++x b a sin 22（即引入辅助角法）和有界性来求解.九． 判别式法例9．求函数22tan tan 1tan tan 1x x y x x -+=++的最值. [分析] 同一变量分子、分母最高次数齐次，常用判别式法和常数分离法.解：()()()()222tan tan 1tan tan 11tan 1tan 101,tan 0,x x y x x y x y x y y x x k k ππ-+=++∴-+++-=∴===∈1≠y 时此时一元二次方程总有实数解()()()().3310313,014122≤≤∴≤--∴≥--+=∆∴y y y y y 由y=3，tanx=-1，()3,4max =∈+=∴y z k k x ππ 由.31,4,1tan ,31min =+=∴==y k x x y ππ 十． 分类讨论法含参数的三角函数的值域问题，需要对参数进行讨论.例10.设()⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤--+-=20214sin cos 2πx a x a x x f ，用a 表示f(x)的最大值M(a). 解：().214sin sin 2+-+-=a x a x x f 令sinx=t,则,10≤≤t ()().21442214222+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-+-==a a a t a at t x f t g （1） 当12≥a ，即()t g a ,2≥在[0，1]上递增， ()();21431-==a g a M （2） 当,120≤≤a 即20≤≤a 时，()t g 在[0，1]上先增后减，();214422+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a a g a M （3） 当,02≤a 即()t g a ,0≤在[0，1]上递减，()().4210a g a M -== ()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤-≤≤+-≥-=∴0,42120,21442,21432a a a a a a a a M以上几种方法中又以配方法和辅助角法及利用三角函数的有界性解题最为常见.解决这类问题最关键的在于对三角函数的灵活应用及抓住题目关键和本质所在.挑战自我：1.求函数y=5sinx+cos2x 的最值2.已知函数()R x x x x y ∈+⋅+=1cos sin 23cos 212当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合.3.已知函数())cos (sin sin 2x x x x f +=，求函数f(x)的最小正周期和最大值.参考答案：1.[分 析] ：观察三角函数名和角，其中一个为正弦，一个为余弦，角分别是单角和倍角，所以先化简，使三角函数的名和角达到统一. ()48331612,,221sin 683316812,,22,1sin ,1sin 183345sin 21sin 5sin 2sin 21sin 5max min 222=+⨯-=∈+=∴=-=+⨯-=∈-=-=∴≤≤-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=++-=-+=y z k k x x y z k k x x x x x x x x y ππππΘ 2.[分析] 此类问题为x c x x b x a y 22cos cos sin sin +⋅+=的三角函数求最值问题，它可通过降次化简整理为x b x a y cos sin +=型求解.解： ().47,6,2262,4562sin 21452sin 232cos 2121452sin 432cos 41122sin 2322cos 121max =∈+=∴+=+∴+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=+⋅++⋅=y z k k x k x x x x x x x x y ππππππ∴ f(x)的最小正周期为π，最大值为21+.3.[分析] 在本题的函数表达式中，既含有正弦函数，又有余弦函数，并且含有它们的二次式，故需设法通过降次化二次为一次式，再化为只含有正弦函数或余弦函数的表达式. 解：()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+-=+=42212sin 2cos 1cos sin 2sin 22πx sn x x x x x x f。
高中数学解题方法系列：函数求极值问题的6种方法
高中数学解题方法系列：函数求极值问题的6种方法对于一个给定的函解析式，我们如果能大致作出其对应的函数图像，那么函数的许多性质都可以通过图像客观地反应出来。
因此，只要我们做出了函数图像，那么我们就可以根据图像找到极值点，从而求出函数的极值。
下面，我就从几个方面讨论一下，函数图象在求极值问题中的应用。
一、函数解析式中含有绝对值的极值问题。
我们给出问题的一般形式，设a≤x≤b,求函数∑=+=ni bi x ai y 1的极值。
很容易判断该函数为分段函数，其对应的图像是折线，因此只要做出函数的图像那么就可以准确的找出函数的极值点。
例1 设－2≤x≤3，求函数12+++-=x x x y 的最值。
解：若将函数示为分段函数形式。
作出函数图像根据图像我们可以判断：当x=0,min y 3=；当x=3,max y 8=,对此类型问题的思考：当函数解析式含有较多绝对值符号的时候，如果我们仍然通过做出函数图像来求解极值，那么过程就非常复杂。
那么是否有更简单的方法呢？经过对问题的分析，我们发现函数的极值点要么出现在函数定义域的端点，要么出在函数图像的拐点(使函数中某一个绝对值部分为零的点）因此我们只需将这些点求出来并代入函数解析式求出其所对应的值。
经过比较就得出了极值例如上题：f(－2)=7、f(－1)=4、f(0)=3、f(2)=5、f(3)=8、3min =y 、max y =8，据此我们下面给出解决这一类问题更一般的方法。
max y =max ｛f(bi)、i=1、2、3……n ｝, min y =min ｛f(－bi),i=1、2、3……n ｝.二、将极值问题转化为几何问题。
运用此方法解决极值问题关键在于深刻理解，挖掘解析式所蕴含的几何意义。
1. 转化为求直线斜率的最值。
例2 求函数θθsin 3cos 2-+=y 的最值 分析函数解析式非我们常见的函数模型。
通过分析我们发现该函数可以看做过点A （3、2）与B （sin θ、－cos θ）两点直线的斜率。
高中求最值的方法总结
高中求最值的方法总结三角函数的最值或相关量的取值范围的确定始终是三角函数中的热点问题之一。
以下是小编整理的高中求最值的方法总结,欢迎大家前来查阅。
高中求最值的方法总结篇1方法一：利用单调性求最值学习导数以后，为讨论函数的性质开发了前所未有的前景，这不只局限于基本初等函数，凡是由几个或多个基本初等函数加减乘除而得到的新函数都可以用导数作为工具讨论函数单调性，这需要熟练掌握求导公式及求导法则，以及函数单调性与导函数符号之间的关系，还有利用导数如何求得函数的极值与最值。
例1 已知函数，当x∈[-2，2]时，函数f(x)的图象总在直线y=a-e2的上方，求实数a的取值范围。
分析：此题属于恒成立问题，恒成立问题大都转化为最值问题。
解：原问题等价于f(x)>a-e2恒成立，即x2+ex-xex>a-e2在[-2，2]上恒成立，即x2+ex-xex+e2>a在[-2，2]上恒成立。
令g(x)=x2+ex-xex+e2>a-e2，x∈[-2，2]，原问题等价于a 下面利用导数讨论g(x)的最小值，求导可得g'(x)=x(1-ex)。
当x∈[-2，0]时，g'(x)≤0，从而g(x)在[-2，0]上单调递减;当x∈(0，2]时，g'(x)<0可知g(x)在(0，2]上也单调递减。
所以g(x)在[-2，2]上单调递减，从而g(x)min=g(2)=2即a∈(-∞，2)评注：本题是求参数的取值范围问题，利用等价转化的思想可化为不等式恒成立问题，进而化为最值问题，再借助于导数讨论函数的单调性求出的最值。
其实高中阶段接触到的最值问题大都可以运用单调性法求得最值。
方法二：利用不等式求最值掌握和灵活运用，│a│+│b│≥│a±b│≥││a│-│b││这一类型的基本不等式，在求一些函数最值问题时通常十分便捷，在解题时务必注意考虑利用不等式求最值的条件限制。
例2 若x∈R，且0 分析：本题可以运用单调性法求最值，但是较麻烦，下面介绍一种新的方法。
高中数学关于函数的最大值的求法
关于函数y x p q x p q =-+-≤<()0的最大值的求法在平时考试及竞赛中，此类问题属于比较困难的，学生不易于理解，有时无法入手，现介绍下列几种求法，以供参考。
一、向量法设向量m n x p q x ==--()()11，，，。
∵m n m n ··≤||||∴··y m n x p q x =≤+-+-112222()() =-2q p二、不等式法利用均值不等式200ab a b a b ≤+>>()， ∵y x p q x x p q x 22=-+-+--· ≤-+-+-=-q p x p q x q p ()()2∴y q p =-2三、导数法利用连续函数的可导性∵y x p q x q x x p x p q x'=-+--=-----12122再令y '=0，解得x p q =+2 可以证明函数y x p q x =-+-（0≤<p q ）在（p p q ，+2）上是增函数，在()p q q +2，上是减函数。
∴y x p q x p q =-+-≤<()0在x p q =+2处取得最大值。
∴y x p q x =-+-（0≤<p q ）的最大值为2q p -。
四、映射法将根式转化为能用三角换元法进行换元求值域。
∵函数y x p q x p q =-+-≤<()0的定义域为[]p q ，。
我们为了将根式转化为能用三角换元法进行换元，使定义域[p ，q]与区间[0，1]对应。
∵，，设，x p q t ∈∈[][]01∴x p q t =++=++λλλλ101，（定比分点坐标公式） ∴消去参数λ得到x p t q p =+-()，将x 用t 的代数式代入， ∴y t q p t q p =-+--()()()1再令t t =-=cos sin αα，1 ∴y q p q p q p =-+=-+≤-(cos sin )sin()ααπα242不妨试一试：（2005年高中联赛题）使关于x 的不等式x x k -+-≥36有解的实数k 的最大值是D 。
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函数最值的解法及其在生活中的应用（渭南师范学院 数学与信息科学学院 数学与应用数学专业 11级2班）摘要：函数最值问题是现在高中数学课程中的重要组成部分，也是高考考查的重要内容之一，在高考中占有比较重要的地位.但由于最值问题综合性较强.解法比较灵活.所以对各方面知识及选择何种解题方法方面都有较高的要求.本文主要对函数最值问题进行研究，探讨各种不同的求解方法，阐述函数最值问题研究的重要性，得到求解函数最值的几种方法及求解时应注意的一些问题.关键词:函数;最值;解法1绪论函数是高中数学的主体内容，贯穿于整个高中阶段，而函数最值问题是函数的重要内容之一．解决函数最值问题就是实现未知向已知、新问题向旧问题以及复杂问题向简单问题的转化的过程，虽然解决问题的具体方法不完全相同，但就其思维模式来说，一般是将待解决的问题进行一次次的转化，直至划为一类很容易解决或已解决的问题，从而获得原问题的解答．函数最值问题是一类特殊的数学问题，它在生产、科学研究和日常生活中有着广泛的应用，而且在中学数学教学中也占据着比较重要的位置，是近几年数学竞赛中的常见题型也是历年高考重点考查的知识点之一．由于其综合性强，解法灵活，因此解决这类问题，要掌握各数学分支知识，并能综合运用各种所学知识技巧，选择合适的解题方法．1.1函数最值的定义：一般地，函数的最值分为最小值和最大值:设函数()y f x =的定义域为T ，T x ∈0，且在0x 处的函数值是()0f x如果对于定义域T 内任意x ，不等式()()0f x f x ≥都成立，那么()0f x 叫做函数()y f x =的最小值，记作()min 0y f x =；如果对于定义域T 内任意x ，不等式()()0f x f x ≤都成立，那么()0f x 叫做函数()y f x =的最大值，记作()max 0y f x =.函数的最值一般有两种特殊情况：（1）如果函数0()f x 在[,]a b 上单调增加(减少)， 则()f a 是()f x 在[,]a b 上的最小值(最大值)，()f b 是()f x 在[,]a b 上的最大值(最小值).（2）如果连续函数0()f x 在区间(,)a b 内有且仅有一个极大(小)值，而没有极小(大)值，则此极大(小)值就是函数在区间[,]a b 上的最大(小)值.2函数最值的求解方法探究中学数学的最值知识是进一步学习高等数学中最值问题的基础，因此最值问题历来是各类考试的热点。
利用中学数学知识解决最值问题方法很多，如定义法、导数法、配方法、消元法、数形结合法、以及不等式的证明等等，选择合适的方法才能让问题迎刃而解.2.1定义法利用定义解决函数最值的相关问题时，其重要的一点就是要把握定义的内涵，准确地加以应用! 需要注意的是: 函数一定有值域，但不一定有最值.例1设函数()x f 的定义域为R ，下列命题中正确的是:（1）若存在常数P ，使得对任意R x ∈，有 ()P x f ≥，则P 是函数()x f 的最小值;（2）若存在R x ∈0，使得对任意的R x ∈，有()()0x f x f ≥，则()0x f 是函数()x f 的最小值;（3）若存在R x ∈0，使得对任意的R x ∈，且0x x ≠有()()0x f x f >，则()0x f 是函数()x f 的最小值;解析 根据函数最小值的定义知，（1）是假命题: 虽然满足最小值定义中的任意性，但不满足存在性，故错误（2）（3）正确: 实质上，它们是等价命题，都满足最值定义中的两个条件2.2导数法例2 求函数5156)(23+-+=x x x x f 在[]3,6-的最值.解 ∵5156)(23+-+=x x x x f ,∴15123)('2-+=x x x f令15123)('2-+=x x x f =3)5)(1(+-x x =0解得 5,121-==x x()856=-f ，()1055=-f ，()31-=f ，()413=f可知()()3-11055-==极小值极大值，f f比较得()()3,105min max -==x f x f故函数5156)(23+-+=x x x x f 在闭区间[]3,6-上的最大值是105,最小值是-3.2.3单调性法闭区间上可导函数的最值来源于区间端点的函数值和函数在这个区间上的极值,而极值又来源于0)('=x f 的根处的函数值.所以建议求可导函数在闭区间[a,b]上的最值可分以下两步步骤进行:1.求函数的导数;2.求函数在[a,b]内令0)('=x f 的x 的值（称之为”驻点”);3.判断驻点左右两侧)('x f 的正负,以此判断函数曲线的走向（0)('>x f 为上升,0)('<x f 为下降）,左边上升、右边下降的驻点处的函数值为极大值,反之为极小值;4.如果函数驻点较多,分段讨论,并可以列表、画图表达;5.求最大值,将所有极大值和函数定义域区间端点的函数值一起比较,取最大的,则为最大值.最小值亦然。
2.4 判别式法对于某些特殊形式的函数的最值问题，经过适当变形后，使函数()f x 出现在一个有实根的一元二次方程的系数中，然后利用一元二次方程有实根的充要条件0∆≥来求出()f x 的最值.例32.5 配方法如果给定函数是二次函数或变形后可转化为二次函数的问题，一般可用此法求解.例3 求2()234x x f x +=-在区间[1,0]-内的最值.解：配方得2224()2343(2)33x x x f x +=-=--+, 因为[1,0]x ∈-,所以1212x ≤≤，从而当223x =即22log 3x =，()f x 取得最大值43；当21x =即0x =时()f x 取得最小值1. 2.5 消元法在求多元函数最值的条件中#若能由条件中的多元关系解出某些变量，则可考虑通过代入消元法#把多元函数问题转化为一元函数来解决，以达到简化的目的!例4 已知x y x 3222=+，求x y x u -+=222的最大值解：由已知得()x x y 32122+-= ①30,032≤≤∴≥+-x x x将①代入x y x u -+=222化为一元函数，再用配方法即可求得。
2.6 数形结合求最值数形结合法是一种重要的解题方法#其核心就是利用函数的几何意义把函数的最值问题转化为几何问题来解决!此法直观性较强#易于理解#有一定的灵活性且常有化难为易的神奇效果。
例5 已知直线03=+-y x ,求函数22)1(y x S ++=+22)1(y x +-的最值.解 此题的几何意义是在直线03=+-y x 上求一点M ,使得M 到点)0,1(-,)0,1(的距离之和最小.(如下图3—1）设:点B A ,的坐标分别为)0,1(-,)0,1(,直线l 的方程为03=+-y x .由几何光学原理知当点光源从A 射出后,经镜面l 反射到点B ,这时NB BM AM =+就是所求的最小值.设点B 关于光线l 的对称点为),(11y x N ,于是m in S =NB BM AM =+,由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+---=⨯+-0322111101111y x x y化简得 ⎩⎨⎧=+-=++05011111y x y x 解得 2,311=-=y x所以 m in S NB BM AM =+==22)02()13(-+--=52 图3—12.7 换元法求最值换元变换是一种重要的数学变换#在数学中有着广泛的应用!正确而灵活地运用换元法可使问题化繁为简，化难为易。
例6 设1222=++y xy x ,求22y x +的最值.解 θcos r x =,θsin r y = (θ为参数),则)sin sin cos (cos 22222θθθθ++=++r y xy x =12)2sin 211(2=+θr . 从而 )sin (cos 22222θθ+=+r y x =θ2sin 211122+=r . 因-112sin ≤≤θ,当12sin =θ(即2==y x )时,故8)(min 22=+y x ;当12sin -=θ(即32==y x )时,故24)(max 22=+y x .2.8 最值不等式的证明定理 设c bx ax x m m x f +++=2)((N m m a ∈>>,1,0)若非负整数k 满足:(1) ,0)]2([log 2=-+-+++k b ak c bk ak m (2) ,2-∈++Z c bk ak那么有(I)满足条件(1)的k 值是唯一的;(II)当k x =时,的最小值为c bk akk m m k f x f +++==2)()(min . 例7 证明 62223≥++x x ,(R x ∈).证 令x x '=+3,那么 )(222296322x f x x x x x '=+=++'-''+,这里.9,6,1,2=-===c b a m 由条件(1)可得0)26(log 9622=--++-k k k k∵-∈Z k ,若方程0)26(log 9622=--++-k k k k 有解,必须满足)(226Z p k p ∈=-,由此可知k 的取值只能是1,2.经过验证只有2=k 是方程0)26(log 9622=--++-k k k k 的解,且-∈=+⨯-=++Z c k ak 19262622,满足条件(2),故由结论(II),可得622)2()(92622min 2=+=='+⨯-f x f , 即 62223≥++x x ,成立.注 文中定理利用高等数学知识可推广为:定理 设c bx ax x m m x f +++=2)((0,1>>a m ),若存在常数k 满足0)]2([log 2=-+-+++k b ak c bk ak m那么c bk ak k m m k f x f +++==2)()(min .3求解函数最值时应注意的一些问题3.1注意定义域求最值问题的时候，在求解的过程当中，要注意观察定义域的变化情况，首先看到题目的时候，应该先把确定函数的定义域；在解题过程中，当函数变形时应注意定义域是否发生改变，如果引入新变量也应该确定新变量的取值范围，以免在后面的求解过程中出现错误；在解题结束时，必须检验所求得的使函数取得最值的自变量是否包含在定义域的范围内例 求函数12x y x 的最值.错解：将12x yx 两边同时平方并去分母得2222(41)410y x y x y . 因为xR ，所以2222(41)4(41)0y y y ，化简得241y . 所以1122y ，故min 12y ，max 12y . 分析：这个答案致错原因是两边平方及去分母，使函数的定义域扩大了. 正解：将12x yx 两边平方并去分母，得2222(41)410y x y x y . 因为xR ，所以2222(41)4(41)0y y y ，化简得241y .所以1122y ，注意到原函数的定义域是1x 0，20x ，于是必有0y. 所以102y ，故min 12y ，max 0y .3.2注意值域求函数的最值，不但对几种基本初等函数的值域要非常熟悉，而且在解题过程中还要注意函数取值范围的变化.参考文献[1[1]方晓华，吴凤香，黄宝存.函数最问题的解法探讨.金华职业技术学院学报，2002,2(2).[2]潘玉晓.关于函数最值问题的探讨[J].南阳师范学院学报，2005(9).[3]戴宝尔，李杏莲.初等方法求解函数最值问题[J].科技资讯，2008(20).[4]戚雪敏.浅谈求函数最值问题的方法[J].2011(11)][5]人民教育出版社中学教学室.数学第三册必修I[M].北京:人民教育出版社,2006: 50-51.[6]袁亚湘,孙文瑜.最优化理论与方案第5次[M].北京:科学出版社,2005:45-47.[7]陈传理,张同君.数学建模教程第二版[M].北京:高等教育出版社,2005:149.[8]周汉良.数学规划及其实用[M]．超星数字图书馆,1995:56-60.[9]人民教育出版社中学教学室.数学第三册必修I[M].北京:人民教育出版社,2006: 50.[7]董国阳.关于求函数最值问题的探讨[J].2011(11).[13]张维进.一类指数函数最小值的初等求法[J]. 电子学报,1999,(2).Discussion on the function most value in the application of lifeYang Jing(Weinan Teachers University , Shanxi Weinan)Abstract: Application of mathematics is an important task in the teaching of mathematics. This paper will through the definition of the value function and the method of solving the most value, the value of the function and system, which is an important and basic properties and functions, which made people realize the function most value question has a close relationship with the actual the problem. Finally, the value function can use the knowledge, to solve the problems in real life.Firstly, the value function and the value function of the definition of related theory. And given the value function and the relationship between the (lower) bound; secondly, gives some methods to solve the value function (such as the value of the derivative of general method, elimination method, combination method, substitution method, and to prove inequality etc.); and then use these some of the problems in real life (for example, to solvethe minimum cost maximum profit, the fastest speed, etc.) and the life of some of the most value of some phenomenon; the last is a summary of the value function of the actual life played a certain effect of the value function, and then the further development and research of the positive role.This paper relates to the application can be divided into the following several points:1 the value of application in real life;2 the value of the application in EconomicsKeywords: most value; application.11。