高三第一次联考(数学理)

合集下载

江西五校(江西师大附中、临川一中、鹰潭一中、宜春中学、新余四中)高三数学第一次联考试题理

五校（江西师大附中、临川一中、鹰潭一中、宜春中学、新余四中）联考高三年级数学（理）学科试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知z 是z 的共轭复数，若1z i =+（i 是虚数单位），则z z ⋅=（）A ．2-B ．1-C ．0D ．22．已知集合2{|20}A x x x =--…，{|ln(1)}B x y x ==-，则A B =（）A ．(1,2)B ．(1,2]C ．[1,1)-D ．(1,1)-3．已知命题p ：存在x R ∈，使得10lg x x ->；命题q ：对任意x R ∈，都有20x >，则（） A ．命题“p 或q ”是假命题 B ．命题“p 且q ”是真命题C ．命题“非q ”是假命题D ．命题“p 且‘非q ’”是真命题4．已知α为第二象限角，sin cos αα+=，则cos 2α=（）A ．3B ．9C ．3-D ．9-5．一只蚂蚁从正方体1111ABCD A BC D -的顶点A 处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点1C 位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是（）A ．①②B ．①③C ．③④D ．②④6．某教研机构随机抽取某校20个班级,调查各班关注汉字听写大赛的学生人数,根据所得数据的茎叶图，以组距为5将数据分组成[)5,0,[)10,5,[)15,10,[)20,15,[)25,20,[)30,25,[)35,30,[]40,35时,所作的频率分布直方图如图所示，则原始茎叶图可能是（）7．若如下框图所给的程序运行结果为35S =,那么判断框中应填入的关于k 的条件是（）A. 7=kB. 6k …C. 6<kD. 6>k 8．已知定义在区间[3,3]-上的函数()y f x =满足()()0f x f x -+=，对于函数()y f x =的图像上任意两点1122(,()),(,())x f x x f x 都有1212()[()()]0x x f x f x -⋅-<．若实数,a b 满足22(2)(2)0f a a f b b -+-…，则点(,)a b 所在区域的面积为（） A ．8 B ． 4 C ． 2 D ． 19．已知直线0x y k +-=(0)k >与圆224x y +=交于不同的两点A 、B ，O 是坐标原点，且有3||||3OA OB AB +≥，那么k 的取值范围是（）A. )+∞B.C. )+∞D.10．如图，半径为2的圆内有两条圆弧，一质点M 自点A 开始沿弧A B C O A D C ------做匀速运动，则其在水平方向（向右为正）的速度()v v t =的图象大致为（）二、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答．若两题都做，则按做的第一题评阅计分，本题共5分． 11． (1) （不等式选做题）如果存在实数x 使不等式2315x x a a +---…成立，则实数a 的取值范围为____________.(2) （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线2cos4sin ρθθ=的焦点的极坐标___________.(规定：0,02ρθπ<厔)三．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 12．设矩形区域Ω是由直线2x π=±和1y =±所围成的平面图形，区域D 是由余弦函数cos y x =、2x π=±和1y =-所围成的平面图形．在区域Ω内随机的抛掷一粒豆子，则该豆子落在区域D 内的概率是___________.13．已知曲线1()()n f x x n N +*=∈与直线1x =交于点P ，若设曲线()y f x =在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为n x ，则201412014220142013log log log x x x +++的值为___________． 14．已知平面向量,()αβαβ≠满足2α=，且α与βα-的夹角为120︒，t R ∈，则(1)t t αβ-+的最小值是________________．15．如图，12,F F 是双曲线221:13y C x -=与椭圆2C 的公共焦点，点A 是12,C C 在第一象限的公共点．若121F F F A =，则2C 的离心率是________．四、解答题：本大题共6个题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数2()2sin ()2,,442f x x x x πππ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦．设x α=时()f x 取到最大值．（1）求()f x 的最大值及α的值；（2）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，12A πα=-，且2sin sin sin B C A =，求b c -的值．17．（本小题满分12分）某学校为了增强学生对消防安全知识的了解，举行了一次消防安全知识竞赛，其中一道题是连线题，要求将4种不同的工具与它们的4种不同的用途一对一连线，规定：每连对一条得5分，连错一条得-2分．某参赛者随机用4条线把消防工具与用途一对一全部连接起来．（1）求该参赛者恰好连对一条的概率；（2）设X 为该参赛者此题的得分，求X 的分布列与数学期望．18.（本小题满分12分）已知三棱柱ABC —A1B 1C 1，A 1在底面ABC 上的射影恰为 AC 的中点O ，∠BCA=90°，AC=BC=2，又知BA 1⊥AC 1。

江西省上高二中等四校2023届高三上学期第一次四校优生联考数学(理)试卷附答案

3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效.
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设非空集合，若，则实数m的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】C
2.已知复数满足，则（）
频数
40
90
200
400
150
80
40
（1）求这1000份试卷成绩的平均数？（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.
（2）假设此次测试的成绩服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，已知的近似值为6.61，以样本估计总体，假设有84.14%的学生的测试成绩高于市教育局预期的平均成绩，则市教育局预期的平均成绩大约为多少（结果保留一位小数）？
A. B. C. D.
【答案】C
5.“角a与β的终边关于直线对称”是“ ”的（）
A.充分必要条件B.必要不充分条件
C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】C
6.已知函数（）的部分图像如图，当时，满足的的值是（）
A. B. C. D.
【答案】B
7.已知正方形的边长为4，点、分别在边、上，且，，若点在正方形的边上，则的取值范围是（）
所以面，因为面，
所以，又，，
所以，，，
所以，即，
又，､面，
所以面，又因为面，
所以面面；
【小问2】
以点为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则，，，，由（1）知面的法向量为，

2021届四川省成都市蓉城名校联盟高三第一次联考数学(理)试题(解析版)

2021届四川省成都市蓉城名校联盟高三第一次联考数学（理）试题一、单选题1．已知全集为实数集R ，集合{}=04A x x ≤≤，{}28150B x x x =-+>，则()AB =R（）A ．[]4,5B ．[]0,3C ．[]3,4D ．()3,4【答案】C【分析】由一元二次不等式解得集合B,根据补集的定义求出B R，根据交集的定义，计算求得结果.【详解】由281503x x x -+>⇒<或5x >，则[]3,5RB =，则()[]3,4R A B ⋂=,故选：C.【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，考查补集、交集的运算，属于基础题. 2．已知复数21z i=-，则z =（）A ．1BCD ．2【答案】B【分析】先对复数化简，再利用模的公式求解即可【详解】由()()()()22121211111i i z i i i i i ++====+--+-，则z =故选：B【点睛】此题考查复数的运算，考查复数的模的计算，属于基础题 3．命题:p “0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，sin tan x x <”的否定p ⌝为（） A ．0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，sin tan x x ≥B ．0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，sin tan x x > C ．00,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，00sin tan x x ≥ D ．00,2x π⎛⎫∃∉ ⎪⎝⎭，00sin tan x x ≥ 【答案】C【分析】全称命题的否定：将∀→∃，否定结论即可.【详解】由原命题p 可知：其否定为0:0,2p x π⎛⎫⌝∃∈ ⎪⎝⎭，00sin tan x x ≥. 故选：C【点睛】本题考查了全称命题的否定，属于简单题.4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，3a ，7a 是方程28130x x --=的两根，则9S =（） A ．36 B ．40 C ．72 D ．80【答案】A【分析】由根与系数的关系可得378a a +=，再利用等差数列的前n 项和公式和等差数列的性质可求得结果【详解】因为3a ，7a 是方程28130x x --=的两根，所以378a a +=，所以()()19379993622a a a a S ++===，故选：A【点睛】此题考查等差数的性质的应用，考查等差数列的前n 项和公式的应用，属于基础题5．已知311tan 4e dx x πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭⎰，则2sin cos cos sin αααα+=-（） A ．4- B ．4 C ．5 D ．5-【答案】D【分析】由定积分得tan 34πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭可得tan 2α=，再由2sin cos 2tan 1cos sin 1tan αααααα++=--即可求解. 【详解】由()()()331311ln ln ln13e e dx x C e C C x⎰=+=+-+=，则tan 1tan 341tan πααα+⎛⎫+==- ⎪-⎝⎭，则tan 2α=，由2sin cos 2tan 15cos sin 1tan αααααα++==---故选：D.【点睛】本题考查定积分的计算，三角函数的诱导公式的应用及正余弦齐次式计算，属于基础题.6．已知随机变量X 服从二项分布()4,B p ，其期望()3E X =，随机变量Y 服从正态分布()1,2N ，若()0P Y p >=，则()02P Y <<=（） A ．23B ．34C ．14D ．12【答案】D【分析】由()3E X =得到p ，根据正态分布的性质再由()0P Y >得到()01P Y <<及()02P Y <<可得答案.【详解】由()3434E X p p ==⇒=，则()304P Y >=，则()31101424P Y <<=-=，则()()1022012P Y P Y <<=<<=，故选：D.【点睛】本题考查二项分布的期望与正态分布的概率，属于基础题。

陕西省联盟学校2023届高三下学期第一次大联考理科数学试题含答案

绝密★启用前“高考研究831重点课题项目”陕西省联盟学校2023年第一次大联考数学（理科）试题（答案在最后）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将自己的姓名、准考证号、座位号填写在本试卷上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．涂写在本试卷上无效． 3．作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．集合{}2,1,0,1,2A =--，{}1,0,2AB =-，则B =（）A ．{}2-B ．{}1C ．{}2,1-D ．{}2,0,2-2．在复平面内，复数z 与21i-对应的点关于实轴对称，则z 等于（） A ．1i +B ．1i --C ．1i -+D ．1i -3．下列说法中正确的是（）A ．回归直线方程为 1.230.08y x =+，则样本点的中心可以为()4,5B ．采用系统抽样，从800名学生中抽取一个容量为40的样本，则分组的组距为40C ．“a b >”是“22a b >”成立的充分不必要条件D ．命题p ：x ∀∈R ，20x >，则p ⌝：0x ∃∈R ，020x< 4．二项式()()*1nx n +∈N 的展开式中3x 项的系数为10，则n =（）A ．8B ．6C ．5D ．105．已知x ，()0,y ∈+∞，6124yx -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则xy 的最大值为（）A ．92B ．98C ．32D ．946．某学校拟派2名语文老师、3名数学老师和3名体育老师共8人组成两个支教分队，平均分到甲、乙两个村进行义务支教，其中每个分队都必须有语文老师、数学老师和体育老师，则不同的分配方案有（） A ．72种B ．36种C ．24种D ．18种7．已知圆C ：22480x y x y +-+=关于直线32220x ay --=对称，则圆C 中以,22a a ⎛⎫-⎪⎝⎭为中点的弦长为（）A ．B CD ．8．在xOy 平面内，双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，过左顶点AM ，若122MO FF =，则该双曲线的离心率是（） ABCD ．539．在△ABC 中，如果()cos 2cos 0B C C ++<，那么△ABC 的形状为（） A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定10．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos cos sin sin B C Ab c C+=，则b 的值为（） A ．1BC．2D ．211．函数()()πsin 03f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在[]0,1上有唯一的极大值，则ω∈（） A ．13ππ,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．13ππ,6⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．π13π,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．13π25π,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 12．已知偶函数()f x 满足()()8f x f x =-，且当(]0,4x ∈时，()()ln 2x f x x=，关于x 的不等式()()20f x af x +>在[]20,20-上有且只有30个整数解，则实数a 的取值范围是（）A ．1ln 2,ln 63⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．1ln 2,ln 63⎛⎤-- ⎥⎝⎦C ．13ln 2ln 6,34⎛⎫--⎪⎝⎭ D ．13ln 2ln 6,34⎛⎤--⎥⎝⎦二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．曲线5e2xy -=+在()0,3处的切线方程为________．14．设数列{}n a ，{}n b 均为等差数列，它们的前n 项和分别为n S ，n T ，若2334n n S n T n -=+，则77a b =________． 15．点A ，B 是抛物线C ：()220y px p =>上的两点，F 是抛物线C 的焦点，若120AFB ∠=︒，AB 中点D 到抛物线C 的准线的距离为d ，则ABd的最小值为________． 16．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，2AP =，点M 是矩形ABCD 内（含边界）的动点，且1AB =，3AD =，直线PM 与平面ABCD 所成的角为π4，当三棱锥P ABM -的体积最小时，三棱锥P ABM -的外接球的体积为________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分17．（12分）数列{}n a 为正项数列，14a =，n +∀∈N ，22112n n n n a a a a ++-=（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）若数列{}n b 满足2211log log n n n b a a -=⋅，n T 为数列{}n b 的前项和，求证：1n T <．18．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，2AD PD ==，PA =120PDC ∠=︒，点E 为线段PC 的中点，点F 在线段AB 上．（I ）若12AF =，求证：CD EF ⊥；（II ）设平面DEF 与平面DP A 所成二面角的平面角为θ，试确定点F的位置，使得cos θ=． 19．（12分）中国职业男篮CBA 总决赛采用七场四胜制，即若有一队先胜四场，则此队为总冠军，比赛就此结束．现甲、乙两支球队进行总决赛，因两队实力相当，每场比赛两队获胜的可能性均为12．据以往资料统计，第一场比赛可获得门票收入400万元，以后每场比赛门票收入比上一场增加100万元．（I ）求总决赛中获得门票总收入恰好为3000万元的概率；（II ）设总决赛中获得门票总收入为X ，求X 的数学期望()E X ．20．（12分）已知1F ，2F 为椭圆E ：22184y x +=的上、下焦点，()00,P x y 为平面内一个动点，其中00x >．（I）若12PF PF +=12FPF △面积的最大值；（II ）记射线1F P 与椭圆E 交于()11,M x y ，射线2F P 与椭圆E 交于()22,N x y ，若21MF NF ∥，探求0x ，1x ，2x 之间的关系．21．（12分）已知函数()ln 1e axxf x x ax =+--，a ∈R ，e 为自然对数的底数．（I ）当1a =时，求()f x 的单调区间；（II ）若函数()f x 有两个不同的零点1x ，2x ，证明：1212elnx x a+>．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．（10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的参数方程为12cos ,12sin x y ϕϕ=-+⎧⎨=+⎩（ϕ为参数），直线l ：θα=（[)0,πα∈，ρ∈R ）与曲线C 相交于M 、N 两点．以极点O 为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系．（I ）求曲线C 的极坐标方程；（II ）记线段MN 的中点为P ，若OP λ≤恒成立，求实数λ的取值范围． 23．（10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()121f x x x =++-．（I ）若()11f x m n≥+（m ，0n >）对x ∀∈R 恒成立，求m n +的最小值；（II ）若()2f x ax a ≥-+恒成立，求实数a 的取值范围．“高考研究831重点课题项目”陕西省联盟学校2023年第一次大联考数学（理科）试题参考答案一、选择题（本题共12小题，每题5分，共60分）一、选择题（本题共12小题，每题5分，共60分） 1．【参考答案】C 2．【参考答案】D【解析】21i 1i=+-，则1i z =-． 3．【参考答案】A 4．【参考答案】C【解析】由310n C =得，5n =． 5．【参考答案】A 【解析】由题可得，6222x y--=，26x y +=，则2129222x y xy +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当3x =，32y =时，等号成立． 6．【参考答案】B【解析】()112212333336C C C C C +=．7．【参考答案】D【解析】直线32220x ay --=过圆C ：22480x y x y +-+=的圆心()2,4C -，r =，则2a =，圆C 中以()1,1-为中点的弦长为=8．【参考答案】B【解析】由222,b y x ax y c⎧=⎪⎨⎪+=⎩得(),M a b ，则()03b a a -=--，3b a =，于是3e ==． 9．【参考答案】D 【解析】()()()cos 2cos cos πcos π2cos cos 0B C C B A B A B A ⎡⎤⎡⎤++=+-+-+=-<⎣⎦⎣⎦，则cos cos 0B A >，于是B ，A 均为锐角，则△ABC 的形状无法确定． 10．【参考答案】A【解析】易得22222222a c b a b c aabc abc c+-+-+=，化简得1b =． 11．【参考答案】C 【解析】令ππ2π32x k ω+=+，k ∈Z ，则π2π6x k ω=+，k ∈Z ，在y 轴右侧的第一个极大值点为π6x ω=，第二个极大值点为13π6x ω=，于是π1,613π1,6ωω⎧≤⎪⎪⎨⎪>⎪⎩解得π13π,66ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭．12．【参考答案】D【解析】由题可知，此函数周期为8，此不等式在(]0,4上恰有3个整数解，又可知()f x 在e 0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，在e ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，且()1ln 20f =>，()()()3234ln 204f f f >>=>，故0a <，且须()()()4,3,1,a f a f a f ⎧-≥⎪-<⎨⎪-<⎩解得13ln 2ln 6,34a ⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦．二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分） 13．【参考答案】530x y +-=【解析】05x y ='=-，切线方程为35y x -=-即530x y +-=．14．【参考答案】2343【解析】7713771313231343a a Sb b T ===．15．【解析】由抛物线几何性质可得()12d AF BF =+，由余弦定理和基本不等式可得， ()22222cos120AB AF BF AF BF AF BF AF BF =+-⋅︒=+-⋅()()222324AF BF AF BFAF BF⎛⎫+≥+-=+ ⎪⎝⎭，易得ABd≥，当且仅当AF BF =时等号成立． 16．【解析】【详解】如图，易知M 位于底面矩形ABCD 内的以点A 为圆心，2为半径的圆上，记点M 的轨迹为圆弧EF ．连接AF ，当点M 位于F 时，三棱锥P ABM -的体积最小，又π2PAF PBF ∠=∠=，则三棱锥P ABM -的外接球球心为PF的中点，此外接球的体积34π3V ==．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．解：（1）由221120n n n n a a a a ++--=得12n n a a +=，∴12n n a +=；（II ）()11111n b n n n n ==-++，∴11111nn n i T b n ===-<+∑．18．解：（I ）在△PCD 中，2PD CD ==，∵E 为P C 的中点，∴DE 平分∠PDC ，60PDE ∠=︒， ∴在Rt △PDE 中，cos601DE PD =⋅︒=，过E 作EH CD ⊥于H ，则12DH =，连结FH ， ∵12AF =，∴四边形AFHD 是矩形， ∴CD FH ⊥，又CD EH ⊥，FH EH H =，∴CD ⊥平面EFH ，又EF ⊂平面EFH ，∴CD EF ⊥．（II ）∵2AD PD ==，PA =AD PD ⊥，又AD DC ⊥， ∴AD ⊥平面PCD ，又AD ⊂平面ABCD ， ∴平面PCD ⊥平面ABCD ．过D 作DG DC ⊥交PC 于点G ，则由平面PCD ⊥平面ABCD 知，DG ⊥平面ABCD ，故DA ，DC ，DG 两两垂直，以D 为原点，以DA ，DC ，DG 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系O xyz -，则()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C，(0,P -，又知E 为PC的中点，10,2E ⎛ ⎝⎭，设()2,,0F t ，02t ≤≤，则10,2DE ⎛=⎝⎭，()2,,0DF t =，(0,DP =-，()2,0,0DA =．设平面DEF 的法向量为()111,,n x y z =，则0,0,n DE n DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩∴111110,220,y z x ty ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩ 取12z =-，可求得平面DEF 的一个法向量()3,22n t =--，设平面ADP 的法向量为()222,,m x y z =，则0,0,m DP m DA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩所以2220,20,y x ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩取()0,3,1m =．∴cos cos ,23m n θ===⋅43t =，∴当43AF =时满足cos 4θ=．19．解：（I ）依题意，每场比赛获得的门票收入组成首项为400，公差为100的等差数列．设此数列为{}n a ，则易知1400a =，100300n a n =+，所以()10070030002n n n S +==．解得5n =或12n =-（舍去），所以此决赛共比赛了5场．则前4场比赛的比分必为1：3，且第5场比赛为领先的球队获胜，其概率为4341124C ⎛⎫= ⎪⎝⎭．所以总决赛中获得门票总收入恰好为3000万元的概率为14．（II ）随机变量X 可取的值为4S ，5S ，6S ，7S ，即2200，3000，3900，4900．()4112200228P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，()434113000C 24P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()535153900C 216P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()636154900C 216P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，所以X 的分布列为所以()22003000390049003775841616E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．20．解：（I ）由题可知，点()00,P x y为椭圆2219122y x +=上一点，且00x >，则1212011422F PF S F F x =⋅⋅≤⨯⨯=△12F PF △．（II ）射线2F N 的方程为()22220y y x x x +=-≥，射线1F M 的方程为()11220y y x x x -=+≥，联立221122,22,y y x x y y x x +⎧=-⎪⎪⎨-⎪=+⎪⎩解得()212112012224y x x y x x x x x -++=，① 又21MF NF ∥，则12212112122222y y y x x y x x x x +-=⇔-=+，② 将②代入①，得012111x x x =+． 21．解：（I ）当1a =时，()e ln 1x f x x x x -=+--，0x >，()()11e x f x x x -⎛⎫'=-+ ⎪⎝⎭，当()0,1x ∈时，()0f x '>；当()1,x ∈+∞时，()0f x '<，则()f x 的单调增区间为区间()0,1，减区间为区间()1,+∞．（II ）()ln ln 1e ln 1ex axax x f x x ax x ax -=+--=++--，0x >，令()e 1x g x x =+-，()e 10x g x '=+>，则()g x 在()0,+∞上单调递增，又()00g =，于是当()0f x =即()ln 0g x ax -=时，ln 0x ax -=，则此关于x 的方程有两个不同的解1x ，2x ，即1122ln ln ,,x ax x ax ==⎧⎨⎩①②构造函数()ln x h x x =，0x >，()21ln xh x x -'=，当()0,e x ∈时，()0f x '>；当()e,x ∈+∞时，()0f x '<，可知()10e e a h <<=，又()10h =，不妨设121e x x <<<，由②-①，得()2211ln x a x x x -=，令()211xt t x =>，则()11ln ax t t -=，1ln 1t ax t =-，同理可得，2ln 1t t ax t =-，要证1212eln x x a +>，即证()12112e ln ln 2e ln 1t a x x a t a a a t ++>⇔>--，令()()21ln 1t t t t ϕ-=-+，1t >，()()()22101t t t t ϕ-'=≥+，又()10ϕ=，则()0t ϕ>，1ln 21t t t +>-，又1ln ea a >-，2e ln 2a a -<，故此题得证．22．解：（I ）因为曲线C 的参数方程为12cos ,12sin x y ϕϕ=-+⎧⎨=+⎩（ϕ为参数），故所求方程为()()222112x y ++-=．又cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，则22cos 2sin 2ρρθρθ+-=，故曲线C的极坐标方程为2πsin 24ρθ⎛⎫--= ⎪⎝⎭．（II ）联立θα=和22cos 2sin 20ρρθρθ+--=，得()22cos sin 20ρραα+--=，设()1,M ρα、()2,N ρα，则()12π2sin cos 4ρρααα⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭，由122OP ρρ+=，得π4OP α⎛⎫=-≤ ⎪⎝⎭当3π4α=时，OP，故实数λ的取值范围为)+∞．23．解：（I ）由题可得，()3,1,11212,1, 213,.2x x f x x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=++-=--≤<⎨⎪⎪≥⎪⎩如图所示，()min 32f x =，则1132m n +≤，可得233222m n m n mn +⎛⎫+≤≤⎪⎝⎭，于是83m n +≥，当且仅当43m n ==时，等号成立．故m n +的最小值为83．（II ）令()()212g x ax a a x =-+=+-，则()g x 恒过()1,2--，当()g x 过点13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭时，73a =，结合图像分析可得，733a -≤≤．故73,3a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．。

2023届江西省重点中学盟校高三第一次联考数学(理)试题及参考答案

2023届江西省重点中学盟校高三第一次联考数学（理）试题及参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

1.若集合{}1|4,|1A x x B x x⎧⎫=<=≥⎨⎬⎩⎭，则A B = （）A ．(],1-∞B ．(]0,1 C.(),0(1,4)-∞ D ．()(],00,1-∞ 2.若复数z 是方程0222=+-x x 的一个根，则i z ⋅的虚部为（）A ．2B ．i2C ．iD ．13.袋中装有四个大小完全相同的小球，分别写有“中､华､道､都”四个字，每次有放回地从中任取一个小球，直到写有“道”､“都”两个字的小球都被取到，则停止取球．现用随机模拟的方法估计取球停止时的概率，具体方法是：利用计算机产生0到3之间取整数值的随机数，用0,1,2,3分别代表“中､华､道､都”四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果．现经随机模拟产生了以下18组随机数：232321230023231021122203012231130133231031123122103233由此可以估计，恰好取球三次就停止的概率为（）A ．518B ．29C ．16D ．194.已知等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若23141540a a a a +++=，则16S =（）A ．150B ．160C ．170D ．与1a 和公差有关5.法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”.他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆Γ：()222210x y a b a b+=>>的蒙日圆为C ：2223b y x =+，则椭圆Γ的离心率为（）A ．31B ．21C ．23D 6.执行如图所示的程序框图，为使输出的数据为31，则判断框中应填入的条件为（）A ．4i ≤B ．5i ≤C ．6i ≤D ．7i ≤7.如图，△ABC 内接于圆O ，AB 为圆O 的直径，AB ＝5，BC ＝3，CD ⊥平面ABC ，E 为AD 的中点，且异面直线BE 与AC 所成角为60°，则点A 到平面BCE 的距离为（）A.3218 B.778C.7214 D.3748.若正项递增等比数列{}n a 满足：()R a a a a ∈=-+-+λλ,0214332,则54a a λ+的最小值为（）A.2B.2C.22 D.49.已知点P 在棱长为2的正方体表面上运动，AB 是该正方体外接球的一条直径，则PB P A ⋅的最小值为（）A ．-2B ．-3C ．-1D ．010.长白飞瀑，高句丽遗迹，鹤舞向海，一眼望三国，伪满皇宫，松江雾凇，净月风光，查干冬渔，是著名的吉林八景，某人打算到吉林旅游，冬季来的概率是21，夏季来的概率是21，如果冬季来，则看不到长白飞瀑，鹤舞向海和净月风光，若夏季来，则看不到松江雾凇和查干冬捕，无论什么时候来，由于时间原因，只能在可去景点当中选择3处参观，则某人去了“一眼望三国”景点的概率为（）A ．209B ．21C ．2011D ．5311.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，A 为双曲线右支上一点，设12AF F α∠=，21AF F β∠=，若2tan 22tanαβ=，则双曲线的渐近线方程为（）A ．y =B ．y =±C ．3y x=±D ．4y x=±12.定义在R 上的函数)(x f 与)(x g 的导函数分别为)(x f '和)(x g '，满足0)2()(=-'-'x g x f ，()()2f x g x --=-，且)2(-x g 为奇函数，则=∑=20231)(k k f （）A ．4046-B ．4045-C ．4044- D.4043-二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)13.设向量b a,满足,1,1,3,===b a b a π则=+b a 3_______．14.设6cos()(π+=x x f ，若)()(21x f x f =且021<x x ，则12x x -取值范围为________.15.已知函数,)(x x e e x f --=所有满足()01)(=-+n f m f 的点()n m ,中，有且只有一个在圆C 上，则圆C 的方程可以是__________.（写出一个满足条件的圆的方程即可）16.若)(1,12*N n n n n n a ∈⎪⎭⎫⎝⎛+++∈时，关于x 的不等式0log >-xaa x 恒成立，则正整数n 的取值集合为__________.（参考数据： 2.718,ln 20.693,ln3 1.099e ≈≈≈）三、解答题(共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．)17.在ABC ∆中，已知)C B A C B A sin sin sin 2sin sin sin 3222=-+．(1)求C ∠；(2)若D 是AB 边上的一点，且2,2==DA BD ，求ABC ∆面积的最大值．18.如图，在梯形ABCD 中，//AB DC ，AB DC AD 21==，现将ADC ∆沿AC 翻折成直二面角P AC B --.（Ⅰ）证明：CB PA ⊥；（Ⅱ）若,4=AB 二面角B PA C --余弦值为721，求异面直线PC 与AB 所成角的余弦值.19.中医药在抗击新冠肺炎疫情中，发挥了重要作用。

长郡十八校联盟2023届高三第一次联考(全国卷)理科数学试题

长郡十八校联盟2023届高三第一次联考（全国卷）理科数学试题一、单选题 1．已知集合{}21,0,430A y y x xB xx x x ⎧⎫==+>=-+<⎨⎬⎩⎭，则AB =（）A ．(1,)+∞B ．[2,3)C ．(1,2]D ．[2,)+∞2．如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数(2i)i z a =+（其中a ∈R ）为“等部复数”，则复数iz a +在复平面内对应的点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．若x ，y 满足约束条件201030? x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则23zx y=-的最大值为（）A ．2B ．4C ．8D ．124．已知1x <-，那么在下列不等式中，不成立的是A ．210x -> B ．12x x+<- C ．sinx x -> D ．co s 0x x +>5．希尔伯特在1990年提出了孪生素数猜想,其内容是：在自然数集中,孪生素数对有无穷多个.其中孪生素数就是指相差2的素数对,即若p 和2p+均是素数,素数对(),2p p +称为孪生素数.从16以内的素数中任取两个,其中能构成孪生素数的概率为（） A ．13B ．15C ．17D ．3286．大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏的世界数学史上第一道数列题．已知该数列{}n a 的前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，记(1)nn nb a =-⋅，n *∈N ，则数列{}n b 的前20项和是（） A ．110B ．100C ．90D ．807．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A ．64B ．128C ．256D ．3848．八一广场是南昌市的心脏地带，江西省最大的城市中心广场，八一南昌起义纪念塔为八一广场标志性建筑，塔座正面携刻“八一南昌起义简介”碑文，东､南､西三面各有一幅反映武装起义的人物浮雕.塔身正面为“八一南昌起义纪念塔”铜胎鎏金大字，塔顶由一支直立的巨型“汉阳造”步枪和一面八一军旗组成.八一南昌起义纪念塔的建成，表达了亿万人民永远缅怀老一辈无产阶级革命家创建和培育解放军的丰功伟绩，鼓励国人进行新的长征.现某兴趣小组准备在八一广场上对八一南昌起义纪念塔的高度进行测量，并绘制出测量方案示意图，A 为纪念塔最顶端，B 为纪念塔的基座（即B 在A 的正下方），在广场内（与B 在同一水平面内）选取C ､D 两点，测得C D 的长为m .兴趣小组成员利用测角仪可测得的角有.A C B∠､A C D∠､B C D ∠､A D C∠､B D C ∠，则根据下列各组中的测量数据，不能计算出纪念塔高度A B 的是（）A ．m A CB BCD B D C ∠∠∠、、、 B ．m A C B B C D A C D ∠∠∠、、、 C ．m A C B A C D A D C ∠∠∠、、、 D ．m A C B B C D A D C ∠∠∠、、、9．将函数()c o s 2f x x=的图象向右平移π02ϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位长度后得到函数()g x 的图象，若对满足()()122fx g x -=的12,xx ，总有12x x -的最小值等于π6，则ϕ=（）A ．π12B ．π6C ．π3D ．5π1210．已知R λ∈，函数21,0,()()412lg ,0,x x f x g x x x x x λ⎧+<==-++⎨>⎩，若关于x 的方程(())f g x λ=有6个解，则λ的取值范围为（）A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭D ．12,23⎛⎫⎪⎝⎭11．双曲线22:13xCy-=的左焦点为F ，过点F 的直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点，若过A ，B和点0)M 的圆的圆心在y 轴上，则直线l 的斜率为（）A．2±B．C ．1± D ．32±12．《九章算术》卷五《商功》中描述几何体“阳马”为“底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥”，现有阳马P A B C D -（如图），P A ⊥平面,1,2,3A B C D P A A B A D ===，点E ，F 分别在,A B B C 上，当空间四边形P E F D 的周长最小时，三棱锥P A D F-外接球的表面积为（）A ．9πB ．11πC ．12πD ．16π二、填空题13．已知7280128(1)(21)x x a a x a x a x-+=++++，则2a 等于___________.14．已知向量()2,1a =r ，()1,0b=，()1,2c=，若()ca mb ⊥+，则m=___________.15．已知ππ,s in 2c o s 2s in c o s 122βαβααβ-<-<+=-=，则πc o s 3α⎛⎫+=⎪⎝⎭___________. 16．设函数1()ln ()f x x a x a x=-+∈R 的两个极值点分别为12,xx .若()()2124124e2e 1fx fx a x x -≤---恒成立，则实数a 的取值范围是___________.三、解答题17．在数列{}n a 中，616a =，点()()1,n n a a n *+∈N在直线30x y -+=上.(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)若2nnnb a =，求数列{}n b 的前n 项和nT .18．基础学科招生改革试点，也称强基计划，强基计划是教育部开展的招生改革工作，主要是为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生.聚焦高端芯片与软件､智能科技､新材料､先进制造和国家安全等关键领域以及国家人才紧缺的人文社会科学领域.某校在一次强基计划模拟考试后，从全体考生中随机抽取52名，获取他们本次考试的数学成绩（x ）和物理成绩（y ），绘制成如图散点图：根据散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，但图中有两个异常点A ，B .经调查得知，A 考生由于重感冒导致物理考试发挥失常，B 考生因故未能参加物理考试.为了使分析结果更科学准确，剔除这两组数据后，对剩下的数据作处理，得到一些统计的值：5015800i i x ==∑，5013900i i y ==∑，501462770i i i x y ==∑，()502128540ii x x=-=∑，()502118930ii y y=-=∑，其中,i i x y 分别表示这50名考生的数学成绩､物理成绩，1i =，2，…，50，y 与x 的相关系数0.45r≈.(1)若不剔除A ，B 两名考生的数据，用52组数据作回归分析，设此时y 与x 的相关系数为0r .试判断0r 与r 的大小关系（不必说明理由）；(2)求y 关于x 的线性回归方程（系数精确到0.01），并估计如果B 考生加了这次物理考试（已知B 考生的数学成绩为125分），物理成绩是多少？（精确到0.1）附：线性回归方程ˆˆˆyab x =+中：()()()121ˆˆˆ,niii nii xxy yb ay b x xx==--==--∑∑.19．如图，在四棱锥P A B C D-中，E 为棱A D 上一点，,P E A D P A P C⊥⊥，四边形B C D E为矩形，且13,,//4B CP E B E P F P C P A ====平面B E F .(1)求证：P A⊥平面P C D ；(2)求二面角FA B D--的大小.20．如图，在平面直角坐标系x O y 中，已知直线5y =与椭圆2222:1(0)x y Ca b ab+=>>交于,P Q 两点（P 在x 轴上方），且65P Q a=，设点P 在x 轴上的射影为点N ，P Q N V 的5抛物线2:2(0)Eyp x p =>的焦点与椭圆C的焦点重合，斜率为k 的直线l 过抛物线E 的焦点与椭圆C 交于,A B 两，点，与抛物线E 交于,C D 两点.(1)求椭圆C 及抛物线E 的标准方程；(2)是否存在常数λ||||A B C D λ为常数？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由.21．设函数311()s in c o s 0,()()s in 222f x x x x x g x f x x a x π⎛⎫=-<<=+- ⎪⎝⎭.(1)证明：当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f x 有唯一零点；(2)若任意[0,)x ∈+∞，不等式()0g x ≤恒成立，求实数a 的取值范围.22．在直角坐标系x O y中，直线l 的参数方程为,x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O为极点，x 轴为正半轴建立极坐标，椭圆C 的极坐标方程为2222c o s 2s in 4ρθρθ+=，其右焦点为F ，直线l 与椭圆C 交于,A B 两点. (1)求||||F A F B +的值； (2)若点P 是椭圆上任意一点，求P A B的面积最大值.23．已知函数()|21||3|f x x x =---.(1)求()f x 的最小值m ；(2)若a ，b 为正实数，且20a b m ++=，证明不等式225abba+≥.参考答案：1．B【分析】根据基本不等式求得集合A ，解一元二次不等式得集合B ，即可得集合的交集.【详解】∵10,2x y x x >=+≥=，当且仅当1x =时，等号成立，∴[2,)A =+∞，又∵{}{}()2430|131,3Bxx x x x =-+<=<<=，∴[2,3)AB =.故选：B. 2．D【分析】根据“等部复数”得a 的值，即可得22iz =+，从而得iza +，从而可确定其复平面内对应的点所对应的象限. 【详解】∵(2i)i 2iz a a =+=-+，又∵“等部复数”的实部和虚部相等，复数z 为“等部复数”，∴2a -=，解得2a =-， ∴22i z=+，∴22iz=-，即24iza i +=-，∴复数iza +在复平面内对应的点是(2,4)-，位于第四象限.故选：D. 3．D【分析】如图所示，画出可行域，233z y x =-，3z-表示直线与y 轴的截距，截距最小时，z最大，根据图像得到答案. 【详解】画出可行域，如图所示：23z x y=-，则233z yx =-，3z-表示直线与y 轴的截距，截距最小时，z 最大，当直线过交点，310x x y =⎧⎨+-=⎩，即()3,2-时，6612z=+=.故选：D4．D【分析】利用作差法可判断A 、B 选项的正误，利用正弦、余弦值的有界性可判断C 、D 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】1x <-Q，则()()21110x x x -=-+>，()22112120x x x x xxx+++++==<，又sin x、[]c o s 1,1x ∈-，sinx x ∴->，co s 0x x +<.可得：ABC 成立，D 不成立. 故选：D.【点睛】本题考查不等式正误的判断，一般利用作差法来进行判断，同时也要注意正弦、余弦有界性的应用，考查推理能力，属于中等题. 5．B【分析】先分析20以内的素数,再分析其中孪生素数的对数,再分别求解所以可能的情况种数以及孪生素数的对数求概率即可.【详解】20以内的素数有2,3,5,7,11,13共6个,从中任取两个共有15种可能,其中构成孪生素数的有3和5,5和7,11和13共3对,∴16以内的素数中任取两个,其中能构成孪生素数的概率31155P ==.故选：B【点睛】本题主要考查了古典概型的问题,需要根据题意分析总的情况数以及满足条件的基本事件数.属于基础题. 6．A【分析】根据所给数列的项归纳出通项公式，利用分组求和法求和即可. 【详解】观察此数列可知，当n为偶数时，22nna =，当n为奇数时，212nn a -=，因为221,2(1)2nn n n n b a nn ⎧--⎪⎪=-⋅=⎨⎪⎪⎩为奇数，为偶数，所以数列{}n b 的前20项和为：(02)++2219120(48)(1218)()22--++-+++-+10(220)246201102⨯+=++++==，故选：A 7．B【分析】根据三视图得到该几何体是一个四棱锥求解. 【详解】解：如图所示：由三视图知：该几何体是一个四棱锥，其底面积为8864S=⨯=，高为6h=，所以其体积为11283V S h ==，故选：B 8．B【分析】依据解三角形的条件，逐项判断可解三角形求出塔高度A B 的选项即可．【详解】对于A ：由m ，B C D ∠､B D C ∠可以解B C D △，又tan A B B C A C B=⋅∠，可求塔高度A B ；对于B ：在B C D △中，由,C D m B C D=∠无法解三角形，在A C D中，由,C Dm A C D=∠无法解三角形，在B C A V 中，已知两角A C B A B C ∠∠、无法解三角形，所以无法解出任意三角形，故不能求塔高度A B ；对于C ：由C Dm=，∠∠A C D A D C 、可以解A C D，可求A C ，又sin A BA C A C B=⋅∠，即可求塔高度A B ；对于D ：如图，过点B 作B EC D⊥于点E ，连接A E ，由c o s ,c o s B C E C A C B B C D A CB C∠=∠=，c o s E C A C E A C∠=，知co s c o s c o s A C E A C B B C D∠=∠⋅∠，故可知A C D∠的大小，由A C D∠､A D C∠､m 可解A C D，可求A C ，又s i n AB A CA C B=⋅∠，可求塔高度A B . 故选：B. 9．C【分析】根据函数图象平移规律可得函数()g x 的图象，由()()122fx g x -=、12m inπ6x x -=设1x=，则2π6=±x ，分别利用πc o s 2216ϕ⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭、πc o s 2216ϕ⎡⎤⎛⎫⨯--=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，求出ϕ可得答案. 【详解】函数()c o s 2f x x=的周期为π，将函数的图象向右平移π02ϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位长度后得到函数()g x 的图象，可得()c o s(22)g x x ϕ=-，由()()122fx g x -=可知，两个函数的最大值与最小值的差为2，且12m inπ6x x -=，不妨设1x=，则2π6=±x ，即()g x 在2π6=±x 时取得最小值，由于πc o s 2216ϕ⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭，此时ππ,3ϕ=--∈k k Z ，不合题意；πc o s 2216ϕ⎡⎤⎛⎫⨯--=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，此时2ππ,3ϕ=--∈k k Z，当1k=-时，π3ϕ=满足题意.故选：C. 10．B【分析】数形结合法，令()g x t =，可得方程()f t λ=的解有3个，对应的一元二次方程各有2个不相等的实数根，利用判别式求解λ的范围. 【详解】令()g x t =，则方程()f t λ=的解有3个，由图象可得，01λ<<，且三个解分别为1231,1,10t t t λλλ=--=-+=，则24121x x λλ-++=--，24121x x λλ-++=-+，241210x x λλ-++=，均有两个不相等的实根，则1∆>，且2∆>，且3∆>，即164(23)0λ-+>且164(2)0λ-+>，解得203λ<<，当203λ<<时，()316412104(3210)λλλλ∆=-+-=-+，因为203λ<<，所以4203λ-<-<，所以53233λ<-<，且100λ>，所以32100λλ-+>，即3∆>恒成立，故λ的取值范围为20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选:B. 11．A【分析】利用韦达定理结合P GA B⊥可得283m tm=-，再根据弦长公式表示得A B,结合2221||2rdA B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭即可求直线l 的斜率.【详解】由题意可知：(2,0)F -，设()11,A x y ，()22,B x y ，A B 的中点为P ，过点A ，B ，M 的圆的圆心坐标为(0,)G t，则||G Mr==，由题意知：直线A B 的斜率存在且不为0，设直线A B 的方程为：2xm y =-，联立方程组222,1,3x m y x y =-⎧⎪⎨-=⎪⎩化简整理可得，()223410m y m y --+=，则230m -≠，()222164312120mmm∆=--=+>，12122241,33m y y y y mm+==--，故A B 的中点P 的纵坐标122223p y y m y m+==-，横坐标2623pp x m y m=-=-，则2262,33mP mm⎛⎫⎪--⎝⎭，由圆的性质可知：圆心与弦中点连线的斜率垂直于弦所在的直线，所以222363P Gmtm k m m--==---，化简整理可得：283m tm=-①，则圆心(0,)G t 到直线A B的距离d=)221||3m A B m+===-，2221||2rdA B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即()()222222231(2)713mm t tmm+-+=++-，将①代入可得：()()()2222222222282313647133m mm mmmm⎛⎫- ⎪+-⎝⎭+=++--，即()()()()2222222222316436367333mmm mmm+++=+---，整理可得：42560m m -+=，则()()22230m m--=，因为230m -≠，所以220m-=，解得m=∴12km ==±.故选:A. 12．B【分析】把,A P P B 剪开，使得P A B与矩形A B C D 在同一个平面内.延长D C 到M ，使得C MD C=，则四点P ，E ，F ，M 在同一条直线上时，P EE F F D++取得最小值，即空间四边形P E F D 的周长取得最小值.可得122C F PD ==，∴1B F =.∴点E 为A B 的中点.设A F D △的外心为1O ，外接圆的半径为r ，则2s in 45︒=A F r，利用勾股定理进而得出结论. 【详解】如图所示，把,A P P B 剪开，使得P A B与矩形A B C D 在同一个平面内.延长D C 到M ，使得C MD C=，则四点P ，E ，F ，M 在同一条直线上时，P EE F F D++取得最小值，即空间四边形P E F D 的周长取得最小值.可得122C F PD ==，∴1B F=.∴点E 为A B的中点.如图所示，设A F D △的外心为1O ，外接圆的半径为r ，易得45F D A ∠=，则2s in 45==︒A F r设三棱锥PA D F-外接球的半径为R ，球心为O ，连接1O O ，则11122O O P A ==，则222111224R⎛⎛⎫=+= ⎪⎝⎭⎝⎭.∴三棱锥PA D F-外接球的表面积24π11π==R.故选：B. 13．70-【分析】要求2a ，即求展开式中2x 项的系数，进而根据二项式定理求解即可；【详解】解:因为777(1)(21)(21)(21)x x x x x -+=+-+，对于7(21)x +，其展开式通项为()777177C 22C kkkkkk T x x---+==.所以，7(1)(21)x x -+中含2x 的项为6252772C 2C x x x⋅-，所以展开式中含2x 的项系数为625772C 2C 70⨯-=-.故答案为：70-. 14．4-【分析】用向量的坐标运算即可. 【详解】依题意：()()211211200ca mb ca m cb m +=+=⨯+⨯+⨯+⨯= ，解得m =-4，故答案为：-4.15．3-【分析】根据已知等式平方后相加可得()1sin 2βα-=-，即()1sin 2αβ-=，根据已知角度范围即可得6παβ-=，从而可得s in3β=πs in 63α⎛⎫-= ⎪⎝⎭得所求.【详解】等式sin 2c o s 2sin c o s 1βααβ+=-=，两边同时平方得22s in 4c o s 4s in c o s 2βαβα++=，24s in c o s 4s in c o s 1αβαβ+-=，两式相加，得414sin c o s 4sin c o s 3βααβ++-=，，整理得()1sin 2βα-=-，即1s i n()2αβ-=，因为ππ22βα-<-<，所以6παβ-=，得π6αβ=+，代入2sin c o s 1αβ-=，得2sin c o s 16πββ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，即s in3β=πs in 63α⎛⎫-= ⎪⎝⎭则ππππc o s c o s s in 36263ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为：3-16．221e,e ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭【分析】由函数()f x 有两个极值点分别为12,xx ，可知()f x 不单调，利用导数求得a 的范围，运用韦达定理可得122212ax x x x =+=+>，作差()()12f x fx -，再由条件，结合恒成立思想，运用函数的单调性，构造函数421e 1()ln (1)2eF x x x x x-=-+>，通过求导，判断单调性可得22ex ≥，即可得到a 的范围.【详解】∵函数1()ln ()f x x a x a x=-+∈R 有两个极值点分别为12,x x ，()f x 的定义域为221(0,),()x a x f x x-'++∞=-，令2()1g x x a x =-+，其判别式2Δ4a =-，当22a -≤≤时，Δ0,()0,()f x f x '≤≤在(0,)+∞上单调递减，不合题意.当2a <-时，Δ0,()0g x >=的两根都小于零，在(0,)+∞上，()0f x '<，则()f x 在(0,)+∞上单调递减，不合题意. 当2a>时，Δ0>，设()0g x =的两个根12,xx 都大于零，令1212122x x x x =<==，当10x x <<时，()0f x '<，当12xx x <<时，()0f x '>，当2xx >时，()0f x '<，故()f x 分别在区间()10,x ，()2,x +∞上单调递减，在区间()12,x x 上单调递增，则122212a x x x x =+=+>，∴a 的取值范围是(2,)+∞.∵()()1211221211ln ln ⎛⎫-=-+--+=⎪⎝⎭f x fx x a x x a x x x ()()21211212ln ln x x x x a x x x x -+-+-，∴()()121212121212121ln ln ln ln 12fx fx x x x x aax x x x x x x x ---=--+=-+---，若()()2124124e2e 1fx fx a x x -≤---恒成立，则212412ln ln 4e22e 1x x aa x x --+≤---，∴212412ln ln 4ee 1x x x x -≤--，由12x x <，则()412122e 1lnln 4ex x x x --≤-.又121x x =，∴()422221e 12ln4ex x x --≤-，∴()4222221e 1ln 012ex x x x --+≤>①恒成立，记421e 1()ln (1)2eF x x x x x-=-+>，4221e 1()12e F x xx-=--+'，记()0F x '=的两根为4121e 122e x ⎡-⎢=-⎢'⎣，4221e 122e x ⎡-⎢=+⎢'⎣，()F x 在区间()21,x '上单调递增，在区间()2,x '+∞上单调递减，且易知2121e x x <<<<''.又()2(1)0,e0F F ==，∴当()2ex ∈1,时，()0F x >；当)2,e x ⎡∈+∞⎣时，()0F x ≤.故由①式可得，22ex ≥，代入方程()222210g x x a x =-+=，得222211e ea x x =+≥+.又2a>， ∴a 的取值范围是221e,e ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭.故答案为：221e,e ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求单调区间、极值，主要考查极值的运用，运用分类讨论的思想方法是解题的关键，同时考查函数的单调性的运用和基本不等式的运用，考查运算能力，属于难题. 17．(1)32n a n =-；(2)1(35)210n n T n +=-⋅+.【分析】（1）根据给定条件，结合等差数列定义判断求解作答. （2）利用（1）的结论，利用错位相减法求和作答. 【详解】（1）依题意，130n n a a +-+=，即13n na a +-=，因此数列{}n a 是公差为3的等差数列，则63(6)32na a n n =+-=-，所以数列{}n a 的通项公式是32n a n =-.（2）由（1）得(32)2nn b n =-⋅，则1321242(342)22nnT n =⨯+⨯⨯+⋅⋅⋅-⨯++，于是23121242(35)2(32)2nn nT n n +=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯，两式相减得1231122()23(222(32)2(3212)22)123n n n n nT n n +-+-=+++⋅⋅⋅⋅+--⋅--⋅-=+-1(53)210n n +⋅=--，所以1(35)210n nT n +=-⋅+.18．(1)0r r<(2)0.36 6.4ˆ32yx =+，估计B 考生的物理成绩约为81.2分【分析】（1）根据已知条件，结合散点图，即可求解．（2）根据已知条件，结合最小二乘法，以及线性回归方程的公式，求出线性回归方程，再将125x =代入，即可求解．【详解】（1）0r r<理由如下：由图可知，y 与x 成正相关关系， ①异常点A ，B 会降低变量之间的线性相关程度，②52个数据点与其回归直线的总偏差更大，回归效果更差，所以相关系数更小， ③50个数据点与其回归直线的总偏差更小，回归效果更好，所以相关系数更大， ④50个数据点更贴近其回归直线l ， ⑤52个数据点与其回归直线更离散．（2）由题中数据可得：50501111116,785050i i i i xx y y ======∑∑，所以()()5050115010370iii i i i x xy yx y x y ==--=-=∑∑，所以()()()501502110370ˆ0.3628540iii ii xxy ybxx==--==≈-∑∑，780.36ˆˆ11636.24a y b x =-=-⨯=，所以0.36 6.4ˆ32y x =+，将125x =代入，得0.3612536.2481.2481.2y =⨯+=≈，所以估计B 考生的物理成绩约为81.2分. 19．(1)证明见解析 (2)π4【分析】（1）连接A C 交B E 于点G ，连接F G ，利用线面平行的性质得//P A F G ，利用平行线分线段成比例可得线段长度，从而由勾股定理得线线垂直，再利用线面垂直的判定定理证明线面垂直；（2）利用线面关系，证明线线垂直，建立空间直角坐标系，根据空间向量的坐标运算分别确定平面A B F 与平面A B D 的法向量，根据坐标运算得二面角的余弦值，即可确定二面角大小.【详解】（1）连接A C 交B E 于点G ，连接F G ，因为//P A 平面B E F ，平面P A C 平面B E FF G=，P A⊂平面P A C ，所以//P A F G ，又//B E C D，所以13A F A F A G P F D EB CG CF C====，又3D E=，所以1,4A EA D ==.因为P E A D⊥，所以2P A==，P D==所以222P A P D A D+=，所以P A P D⊥，又,,,P AP C P D P C P P D P C ⊥⋂=⊂平面P C D ，所以P A ⊥平面P C D . （2）因为P A ⊥平面P C D ，C D⊂平面P C D ，所以P AC D⊥，又,A D C D P A A D A ⊥⋂=，,P A A D⊂平面P A D ，所以C D⊥平面P A D ，又P E⊂平面P A D ，所以P EC D⊥，又P E A D⊥，A DC D D =,A D C D ⊂平面A B C D所以P E ⊥平面A B C D .如图建系，则3(1,0,0),(0,0),(3,0,0),,444A B D F ⎛-- ⎝⎭，7333,,,(1,3,0)444A F A B ⎛⎫=-- ⎝⎭，设平面A B F 的一个法向量为(,,)mx y z=，则720044400z y A F m x y z x A B m x ⎧⎧=⎧⋅=-++=⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨=⎪⋅=⎪⎩⎪⎩-+=⎩，取1y =，得2)m =，又平面A B D的一个法向量为(0,0,1)n=，所以2c o s ,2||||22m n m n m n ⋅〈〉===FA B D--为锐角，故二面角F A B D--的大小为π4.20．(1)2215xy+=，28yx=(2)存在，16λ=-【分析】（1）设()00005P xx ⎛⎫> ⎪⎝⎭，由2P Q N P O NS S =△△解得1,5⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭P ，利用13525O P P Q a====可得a=，再求得b 的值，即可得椭圆C 方程，由抛物线2:2(0)E yp x p =>的焦点与椭圆C 的焦点重合，即可得抛物线E 的标准方程；（2）设直线l 的方程为(2)yk x =-，()()()()11223344,,,,,,,A x yB x yC x yD x y ，分别让直线l 与椭圆、抛物线联立，得交点坐标关系，从而得弦长，即可求得λ的值. 【详解】（1）由题意可设()00005P x x⎛⎫> ⎪⎝⎭，可得2P Q N P O N S S =△△，所以001255P O NS x x =⋅⋅=△，所以01x =，1,5⎛ ⎝⎭P ，所以13525O PP Q a====，所以a=，点P 坐标代入椭圆方程得1b =，所以椭圆C 方程为2215xy+=，所以2c=，即4p=，所以抛物线E 方程为28y x=.（2）设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y .直线l 的方程为(2)yk x =-，与椭圆C 的方程联立()22152x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得()222215202050k xk x k+-+-=，则()()()4222Δ4002051412010kkkk=-+-=+>恒成立，所以2212122220205,1515kk x x x x kk-+==++则)221||15kA Bk+==+.直线l 的方程为(2)y k x =-，与抛物线E 的方程联立28,(2),y x y k x ⎧=⎨=-⎩得()22224840k x k x k -++=.()223434228148,||4kkx x C D x x kk+++==++=.()()()22222215(20)4||||218181k kk A B C D kkkλλλ+++=+=+++.||||A B C D λ+为常数，则204λ+=，得16λ=-.故存在16λ=-||||A B C D λ为常数.21．(1)证明见解析 (2)13a ≥【分析】（1）求导，根据导函数判断函数()f x 的单调性，再根据零点存在法则求解；（2）求导，根据导函数的结构，对a 分类讨论. 【详解】（1）π110,,()s in c o s ,()s in c o s 222x f x x x x f x x x x ⎛⎫∈=-=-' ⎪⎝⎭ ，令'()()h x f x = ，则'3()sin co s 02h x x x x =+> ，则π0,,()2x f x '⎛⎫∈ ⎪⎝⎭单调递增，且''1ππ(0),222f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，∴'π0,,()02t f t ⎛⎫∃∈= ⎪⎝⎭ ，'(0,),()0,()x t f x f x ∈<单调递减，'π,,()0,()2x t f x f x ⎛⎫∈> ⎪⎝⎭单调递增，且π1(0)0,022f f ⎛⎫==> ⎪⎝⎭，则()0<f t ，∴存在唯一零点0π,2x t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00f x =，即()f x 有唯一零点；（2）3()s in c o s g x x x x a x=--，则'()(s in 3)g x x x a x =- ，又令'()s in 3,()c o s 3h x x a x h x x a=-=- ，①当31a≤-，即13a ≤-时，()0h x '≥ 恒成立，∴()h x 在区间[0,)+∞上单调递增，∴()(0)0h x h ≥=，∴'()0g x ≥ ，∴()g x 在区间[0,)+∞上单调递增， ∴()(0)0g x g ≥=（不合题意）；②当31a≥即13a ≥时，'()0,()h x h x ≤在区间[0,)+∞上单调递减，∴()(0)0h x h ≤=，∴'()0g x ≤ ，∴()g x 在区间[0,)+∞上单调递减， ∴()(0)0g x g ≤=（符合题意）；③当131a -<<，即1133a -<<时，由''(0)130,(π)130h a h a =->=--< ，∴0(0,π)x ∃∈ ，使()'00h x = ，且()00,x x ∈时，''()0,()(0)0,()0h x h x h g x >>=> ，∴()g x 在()00,x x ∈上单调递增，∴()(0)0g x g >=（不符合题意）；综上，a 的取值范围是13a≥；【点睛】本题的函数类型是三角函数与非三角函数组合成的，对于这一类函数往往是在一个周期()2π 内讨论或半个周期()π内讨论；如果一次求导不能判断清楚导函数的符号，则需要多次求导，而且每次求导后都要研究导函数的解析式能否判断清楚导函数的符号，直至能判断清楚导函数的符号为止.22．(1)83(2)41)3【分析】（1）根据极坐标方程可得椭圆C 的标准方程，又直线l 经过点椭圆焦点F ，将直线参数方程代入椭圆方程，得坐标关系，即可得||||F A F B +的值；（2）设点P 坐标为(2c o s in )θθ，直线l 的直角坐标方程为0x y --=，由点到直线的距离，结合三角函数的图象性质求得距离最大值，即可求得P A B的面积最大值.【详解】（1）由2222c o s 2s in 4ρθρθ+=得椭圆C 的方程为22142xy+=，其焦点F坐标为答案第16页，共16页0)，由题意得直线l 经过点F，其参数方程为x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），代入椭圆C 的方程整理得23210t t +-=，所以121221,33t t t t +=-=-，所以121282223F A F B t t t t +==+=-===（2）由椭圆方程22142xy+=，可设点P 坐标为(2c o s ,in )θθ，又直线l 的直角坐标方程为0x y --=，∴点P 到直线l的距离d ==ta n 2φ=，所以m a x 1d =+，因为18||,||||||23P A BS A B d A B F A F B =⋅=+=△，所以P A B323．(1)52m=-(2)证明见解析【分析】（1）讨论去绝对值可得()f x 的解析式及最小值；（2）由（1）可得5a b +=，利用基本不等式可得答案.【详解】（1）当12x <时，5()21322=-++-=--≥-f x x x x ，当132x ≤≤时，5()21334,52⎡⎤=-+-=-∈-⎢⎥⎣⎦f x x x x ，当3x >时，()21325=--+=+>f x x x x ，综上，12,21()34,322,3x x f x x x x x ⎧--<⎪⎪⎪=-≤≤⎨⎪+>⎪⎪⎩，可知当12x=时，()f x 有最小值52-，所以52m=-；（2）由（1）可得5a b +=，因为a ，b 为正实数，所以222,2abb a a bba+≥+≥，所以225aba b b a+≥+=.。

2021届河南省六市高三第一次联考数学(理)试题(解析版)

2021届河南省六市高三第一次联考数学（理）试题一、单选题1．集合2101x A xx ⎧⎫-=≤⎨⎬+⎩⎭，集合B x y ⎧⎪==⎨⎪⎩，则集合A B 等于（） A ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．()1,-+∞C ．()1,1-D ．[)1,-+∞【答案】C【分析】化简集合,A B ，根据集合的并集运算可得结果.【详解】2101x A xx ⎧⎫-=≤⎨⎬+⎩⎭1{|1}2x x =-<≤，由011x <-≤得01x ≤<，所以{|01}B x x =≤<，所以 A B {|11}x x =-<<.故选：C2．已知i 是虚数单位，复数z 满足211i i z，则z 等于（）A B ．2C ．1D 【答案】A【分析】先化简计算求出z ，即可求出z .【详解】211i i z，()()()()()21212111111i i i iz i i i ii i i ----∴====--=--+++-，z ∴==.故选：A.3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1530S =，104a ，则9a 等于A ．2B ．3C ．4D ．8【答案】B【分析】根据1530S =，可算出8a ，又104a ，根据等差中项的性质求解即可【详解】由158815302S a a ==⇒=，又104a ，98109263a a a a =+=⇒=答案选B【点睛】本题考查等差数列基本量的求法，常规思路为求解首项和公差，本通解题思路运用了()2121n n S n a -=-和等差中项的性质，简化了运算4．为了得到函数()sin 2g x x =的图象，需将函数()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象（）A ．向左平移π6个单位长度 B ．向右平移π12个单位长度 C ．向左平移5π12个单位长度，D ．向右平移5π12个单位长度【答案】D【分析】根据诱导公式将函数()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭化为5()sin 2()12f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据三角函数的图象变换规律可得答案. 【详解】因为函数()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭5sin 2sin(2)66x x πππ⎛⎫⎛⎫=--=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5sin 2()12x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以将5()sin 2()12f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移512π可得函数()sin 2g x x =的图象. 故选：D 5．132，2log 6，33log 2的大小关系是（）A ．13232log 63log 2<<B ．133223log 2log 6<<C ．13323log 22log 6<< D ．13323log 2log 62<< 【答案】B【分析】根据对数函数和指数函数的单调性，判断这三个数所在的大致范围，即得大小关系. 【详解】11323222<<，33333log 2log 422=>，3333log 2log 8log 92=<=，22log 6log 42>=， 133223log 2log 6∴<<.故选：B .【点睛】本题考查指数函数和对数函数的单调性，属于基础题.6．41(1)2x x x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数是（） A ．10 B ．2C ．14-D ．34【答案】C【分析】将二项式变形为()()()84411112x x x x x x -+⎛⎫-++=⎪⎝⎭，利用二项式定理求得()()811x x -+的展开式中5x 的系数，进而可得解.【详解】由题意，()()()()4842411112121x x x x x x x x x x -+⎛⎫++⎛⎫-++=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此，只需求()()811x x -+的展开式中 5x 的系数. 又()81x +的展开式的通项公式为818rrr T C x-+=⋅，且()()()()8881111x x x x x -+=+-+，所以，()()811x x -+的展开式通项为11,188rrkk r k T C x C x+++=⋅-⋅，令515r k =⎧⎨+=⎩，得54r k =⎧⎨=⎩，因此，()4112x x x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数是548814C C -=-.故选：C.【点睛】本题考查利用二项式定理求指定项的系数，考查计算能力，属于中等题. 7．函数()21sin 1xf x x e ⎛⎫=-⎪+⎝⎭的部分图象大致形状是（） A ． B ．C ．D ．【答案】C【分析】判断函数的奇偶性，再根据指数函数的性质和正弦函数的性质，用特殊值法进行判断即可.【详解】()211sin sin 11x x xe f x x x e e -⎛⎫=-=⋅ ⎪++⎝⎭，显然定义域为全体实数集，因为()()11sin()(sin )sin 1111x x xx x xe e ef x x x x f x e e e-----=⋅-=⋅-=⋅=+++-，所以该函数是偶函数，图象关于纵轴对称，因此排除B 、D ，当0x >时，有1x e >，因此当(0,)x π∈时，sin 0x >，所以当(0,)x π∈时，()0f x <，显然选项A 不符合，选项C 符合，故选：C8．如图，在棱长为1正方体1111ABCD A B C D -中，M 为棱AB 的中点，动点P 在侧面11BCC B 及其边界上运动，总有1AP D M ⊥，则动点P 的轨迹的长度为（）A ．22B ．5 C ．π16D ．3 【答案】A【分析】分别取BC 、1BB 的中点E 、F ，连EF ，利用线面垂直的判定定理和性质可证动点P 的轨迹是线段EF ，求出EF 的长度即可得解.【详解】如图：分别取BC 、1BB 的中点E 、F ，连,,AE AF EF ，1,A M DM ，1A F ，因为M 为AB 的中点，E 为BC 的中点，ABCD 为正方形，所以DM AE ⊥，又1D D ⊥平面ABCD ，所以1D D AE ⊥，而1DM D D D =，所以AE ⊥平面1D DM ，所以1D M AE ⊥，同理可得1D M AF ⊥，又AE AF A ⋂=，所以1D M ⊥平面AEF ，因为AP ⊂平面AEF ，所以1AP D M ⊥，因为动点P 在侧面11BCC B 及其边界上运动，所以动点P 的轨迹是线段EF ，而22EF =，所以动点P 的轨迹的长度为22. 故选：A【点睛】关键点点睛：作出并证明动点P 的轨迹是本题解题关键，分别取BC 、1BB 的中点E 、F ，连EF ，则线段EF 即为动点P 的轨迹，利用线面垂直的判定定理和性质即可得证.9．已知抛物线C ：()220x py p =>的焦点为F ，01,2M x ⎛⎫⎪⎝⎭为该抛物线上一点，若以M 为圆心的圆与C 的准线相切于点A ，120AMF ∠=︒，过F 且与y 轴垂直的直线l 与C 交于G ，H 两点，0P 为C 的准线上的一点，则0GHP △的面积为（）A ．1B ．2C ．4D ．9【答案】D【分析】根据题意得0x p =，进而将问题转化为在Rt ABF 中，解三角形求得3p =，再根据通经得26GH p ==，进而根据等面积法求解即可. 【详解】解：如图，由抛物线的定义得：12pMA MF +==，//MA y 轴，因为01,2M x ⎛⎫⎪⎝⎭为该抛物线上一点，所以0x p =，所以AB p =，因为120AMF ∠=︒，所以30,60MFA MAF MFB ∠=∠=∠=，因为在Rt ABF 中，30AFB ∠=，BF p =，所以由三角函数关系得：tan AB AFB BF∠=，即：tan 30p=，解得3p =，此时26GH p ==，所以0GHP △的面积为1163922BGH S S GH BF ===⨯⨯=△. 故选：D.【点睛】本题考查抛物线与直线的位置关系，考查数形结合思想，运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据已知条件，将问题转化为直角三角形ABF 中，利用边角关系求解得3p =.10．二进制是计算机技术中广泛采用的一种数制．二进制数据是用0和1两个数码来表示的数．它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则“借一当二”．当前的计算机系统使用的基本上是二进制系统，计算机中的二进制则是一个非常微小的开关，用1来表示“开”，用0来表示“关”．如图所示，把十进制数()1010化为二进制数21010（）,十进制数()1099化为二进制数()21100011，把二进制数210110（）化为十进制数为304211202121202164222⨯⨯⨯⨯⨯++++=++=，随机取出1个不小于2100000（），且不超过()2111111的二进制数，其数码中恰有4个1的概率是A ．932B ．931C ．1031D ．516【答案】D【分析】利用古典概型的概率公式求解. 【详解】二进制的后五位的排列总数为52=32，二进制的后五位恰好有三个“1”的个数为35=10C ，由古典概型的概率公式得1053216P ==. 故选D【点睛】本题主要考查排列组合的应用，考查古典概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.11．在三棱锥A BCD -中，4AB CD ==，3AC BD AD BC ====，则该三棱锥的内切球的表面积为（） A ．4π5B ．17πC ．3π2D ．3π4【答案】A【分析】将该三棱锥还原到长方体中，根据已知求出长宽高，求出三棱锥体积，再利用内切球的半径表示出体积，即可求出半径，得出表面积.【详解】由题可将该三棱锥还原到如图长方体中，设长方体的长宽高分别为,,a b a ，则22222234a b a a ⎧+=⎨+=⎩，解得22,1a b ==， 11822122422122323D ABC V -∴=⨯⨯⨯⨯⨯=，设内切球的半径为r ，则()1833D ABC ABC ABD BCD ACD V r S S S S-=+++=， 221432252ABCABDBCDACDSS SS====⨯-=，则1825433r ⨯⨯=，解得55r =，则内切球的表面积为254455ππ⎛⎫⨯= ⎪ ⎪⎝⎭. 故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查几何体的内切问题，解题的关键是将几何体还原到长方体中，立体等体积关系求出内切球半径. 12．若函数()()3ln 2ln 1x f x ax x a x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是（）A ．22410,44e e e ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭B ．22411,44e e e ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭C ．()22410,11,44e e e ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭ D ．()22410,144e e e ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭【答案】B【分析】令()0f x =，可得()22ln 210ln x x a a x x+--=，令2ln x t x =，可得()2210t at a +--=，令()()221h t t at a =+--，令()2ln xg x x=，其中0x >且1x ≠，作出函数()t g x =的图象，根据函数()y f x =有三个零点可得出()2210t at a +--=的两根的取值范围，利用二次函数的零点分布得出关于实数a 的不等式组，可求得实数a 的取值范围. 【详解】()()3ln 2ln 1x f x ax x a x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，则()11f a =-.令()0f x =，可得()22ln 210ln x x a a x x+--=，令2ln x t x =，则120a a t t-+-=，即()2210t at a +--=，设()()221h t t at a =+--，构造函数()2ln xg x x =，其中0x >且1x ≠，则()212ln xg x x-'=，令()0g x '=，得x e =，列表如下：x()0,1()1,ee(),e +∞()g x ' ++-()g x单调递增单调递增极大值12e单调递减函数()t g x =（0x >且1x ≠）的图象如下图所示：由于函数()y f x =有三个不同的零点，而关于t 的二次方程()2210t at a +--=至多有两个根.当关于t 的二次方程()2210t at a +--=有两根时，设这两根分别为1t 、2t ，则10t <，2102t e<<，此时，()()()2010111210222h a h a a e e e ⎧=--<⎪⎨⎛⎫⎛⎫=+⋅-->⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩，解得2241144e a e e +<<-；若1a =，则()10f =，关于t 的二次方程为220t t +=，两根分别为10t =，22t =-，()0g x =在0x >且1x ≠时无实根，()2g x =-只有一个实根，此时，函数()y f x =只有两个零点，不合乎题意.综上所述，实数a 的取值范围是22411,44e e e ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭.故选：B.【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点个数问题，将问题转化为复合函数的零点问题是解答的关键，考查数形结合思想的应用，属于难题.二、填空题13．已知向量(1,2)a =，(,1)b k =，且2a b +与向量a 的夹角为90°，则向量a 在向量b 方向上的投影为________.【分析】由题可知()20a b a +⋅=,依据数量积的坐标公式可求出k ,即求出向量b ,从而得到向量a 在向量b 方向上的投影为cos ,a b a a b b⋅⋅<>=.【详解】因为向量(1,2)a =,(,1)b k =, 则2(2,5)a b k +=+,又2a b +与向量a 的夹角为90°, 所以()20a b a +⋅=,即2100k ++=, 解得12k =-,即(12,1)b =-,因此向量a 在向量b方向上的投影为cos ,145a b aa b b⋅⋅<>===,故答案为. 【点睛】本题综合考查了数量积的坐标运算及投影的求法,难度不大.14．已知实数x ，y 满足220330240x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则3z x y =-的最小值为______．【答案】7-【分析】由约束条件得到可行域，将问题转化为133zy x =-在y 轴截距最大问题的求解，利用数形结合的方式可求得结果.【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：将3z x y =-化为133z y x =-，则当z 取最小值时，133zy x =-在y 轴截距最大，由图象可知：当133zy x =-过A 时，直线在y 轴截距最大，由330240x y x y --=⎧⎨-+=⎩得：23x y =⎧⎨=⎩，()2,3A ∴， min 297z ∴=-=-.故答案为：7-.【点睛】方法点睛：线性规划问题中几种常见形式有： ①截距型：z ax by =+，将问题转化为a z y b b=-+在y轴截距的问题； ②斜率型：y bz x a-=-，将问题转化为(),x y 与(),a b 连线斜率的问题； ③两点间距离型：()()22z x a y b =-+-，将问题转化为(),x y 与(),a b 两点间距离的平方的问题；④点到直线距离型：z Ax By C =++，将问题转化为(),x y 到直线0Ax By C ++=的22A B +倍的问题.15．设正数数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n S 的前n 项之积为n T ，且21n n S T +=，则数列{}n a 的通项公式是______．【答案】()()21134241n n a n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪≥⎪-⎩【分析】由递推关系可得()1122n n S n S -=≥-，求出{}n S 前几项，可猜想出2121+n n S n -=，再加以验证，利用()()1112n nn S n a S S n -⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩即可求出. 【详解】当1n =时，1121S T +=，即1121S S +=，则113S =，当2n ≥时，21n n S T +=，1121n n S T --∴+=，则1112121n n n n n n n T T S S T T S ----===-，整理可得()1122nn S n S -=≥-，则可得113S =，235S =，357S =，479S =，则猜想2121+n n S n -=，代入112n n S S -=-检验得1112123221221+n n n S n S n n --===----，满足猜想，()21121+n n S n n -∴=≥， 1113a S ∴==，当2n ≥时，1221234212141+n n n n n a S S n n n ---=-=-=--，∴()()21134241n n a n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪≥⎪-⎩.故答案为：()()21134241n n a n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪≥⎪-⎩. 【点睛】关键点睛：本题考查利用递推关系求数列得通项公式，解题的关键是根据递推关系先得出()1122n n S n S -=≥-，利用猜想得出2121+n n S n -=.16．已知直线l：0x -=交双曲线Γ：()222210,0x y a b a b-=>>于A ，B 两点，过A 作直线l 的垂线AC 交双曲线Γ于点C ．若60ABC ∠=︒，则双曲线Γ的离心率为______．【分析】联立直线x =和双曲线方程可得A ，B 的坐标，以及||AB ，直角三角形的性质可得|||AC AB ，设出直线AC 的方程，联立双曲线方程，运用韦达定理可得C 的横坐标，由弦长公式，化简计算可得a b =，进而得到所求离心率．【详解】解：联立直线x =和双曲线方程可得2222233a b x b a =-，222223a b y b a =-，可设A ，可得||2||AB OA ==在直角三角形ABC 中，60ABC ∠=︒，可得|||AC AB =，设直线AC 的方程为y =+，代入双曲线方程可得42222222216(3)03a b b a x a b b a -+--=-，可得C x +=即有|||C A x x -==，可得2223(||23ab AC b a ==-，即为2222|3|a b b a +=-，可得a b =，c e a ===．【点睛】本题考查双曲线的方程和运用，考查直线和双曲线的位置关系，以及联立方程组，运用韦达定理，考查化简运算能力．三、解答题17．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin bC a-=tan cos A C -．（1）求角A 的大小；（2）若b =，2c =，点D 在边BC 上，且2CD DB =，求a 及AD ．【答案】（1）π4A =；（2）a =，AD =【分析】（1）由正弦定理化边为角，()sin sin sin tan cos C B A C A C -=-，再化简计算即可求出cos 2A =（2）由余弦定理求得a =，求得cos 10B =-，由题得出33a BD ==，再由余弦定理即可求出AD .【详解】解：（1）由正弦定理，()sin sin sin tan cos C B A C A C -=-，()()sin sin sin tan cos C A C A C A C -+=-，2sin sin cos cos sin sin sin cos cos AC A C A C C A C A --=-，∵sin 0C ≠，∴2sin cos cos AA A+=∴cos A =0πA <<，∴π4A =．（2）由余弦定理可得：2222cos 1841210a b c bc A =+-=+-=，∴a =，∵点D 在边BC 上，且2CD DB =，∴3a BD ==，又222cos 210a cb B ac +-==-，∴222582cos 9AD AB BD AB BD B =+-⋅⋅=，∴3AD =．【点睛】关键点睛：本题考查正余弦定理的应用，解题的关键是正确利用正弦定理化边为角处理条件，再结合三角恒等变换化简运算.18．如图，在四棱锥A BCFE -中，四边形EFCB 为梯形，//EF BC ，且2EF BC =，ABC 是边长为2的正三角形，顶点F 在AC 上的射影为点G ，且3FG =，212CF =，52BF =．（1）求证：平面FGB ⊥平面ABC ；（2）求二面角E AB F --的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）1517．【分析】（1）取AC 中点O ，连结OB ，利用勾股定理可求得BG 长，从而得到FG BG ⊥，由线面垂直的判定可证得FG ⊥平面ABC ，由面面垂直的判定定理可证得结论；（2）根据垂直关系，以O 为原点可建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得所求二面角的余弦值.【详解】（1）取AC 中点O ，连结OB ，顶点F 在AC 上投影为点G ，∴FG AC ．在Rt FGC △中，3FG =21CF =，32CG ∴=，12OG ∴=. ABC 为等边三角形，O 为AC 中点，BO AC ∴⊥在Rt GBO △中，3OB =12OG =，13BG ∴=． 222BG GF FB +=，FG BG ∴⊥．FG AC ⊥，AC BG G ⋂=，,AC BG ⊂平面ABC ，FG ∴⊥平面ABC ，又FG ⊂平面FGB ，∴平面FGB ⊥平面ABC .（2）由（1）知：OB FG ⊥，OB AC ⊥，又FG ⊥平面ABC ，则以O 为坐标原点，以OB 所在直线为x 轴，OC 所在直线为y 轴，过点O 作平面ABC 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则()0,1,0A -，)3,0,0B，10,32F ⎛- ⎝，33E -⎝， ()3,1,0BA =-∴-，33BE ⎛=-- ⎝，13,32BF ⎛=- ⎝，设平面ABE 的法向量()111,,m x y z =，则11111303302m BA x y m BE x y z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩，令11x =，则13y =-112z =-，11,3,2m ⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭，设平面ABF 的法向量()222,,n x y z =，则222223013302n BA x y n BF x y z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩，令21x =，则23y =-212z =，11,3,2n ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，113154cos ,17171744m n m n m n+-⋅∴<>===⋅⨯，由图形可知：二面角E AB F--为锐二面角，∴二面角E AB F--的余弦值为15 17.【点睛】方法点睛：空间向量法求解二面角的基本步骤是：（1）建立空间直角坐标系，利用坐标表示出所需的点和向量；（2）分别求得二面角的两个半平面的法向量，根据向量夹角公式求得法向量的夹角；（3）根据图形或法向量的方向确定所求角为二面角的大小或二面角补角的大小. 19．某种机器需要同时装配两个部件S才能正常运行，且两个部件互不影响，部件S有两个等级：一等品售价5千元，使用寿命为5个月或6个月（概率均为0.5)；二等品售价2千元，使用寿命为2个月或3个月（概率均为0.5)（1）若从4件一等品和2件二等品共6件部件S中任取2件装入机器内，求机器可运行时间不少于3个月的概率．（2）现有两种购置部件S的方案，方案甲：购置2件一等品；方案乙：购置1件一等品和2件二等品，试从性价比（即机器正常运行时间与购置部件S的成本之比）角度考虑，选择哪一种方案更实惠．【答案】（1）4160；（2）方案乙更实惠．【分析】（1）由题意知机器运行时间不少于3个月，共有三种可能：第一，取到2个一等品，第二，取到1个一等品，1个二等品，且二等品的使用寿命为3个月，第三，取到2个二等品，且二者使用寿命均为3个月，由此利用互斥事件概率乘法公式能求出机器可运行时间不少于3个月的概率．（2）若采用甲方案，则机器正常运行的时间为X（单位：月），则X的可能取值为5，6，求出相应的概率，从而求出()E X，进而求出它与成本价之比；若采用方案乙，两个二等品的使用寿命之和Y（单位：月），Y的可能取值为4，5，6，分别求出相应的概率，记M为一等品的使用寿命（单位：月），此时机器的正常运用时间为Z，则Z的可能取值为4，5，6，分别求出相应的概率，从而求出Z的分布列()E Z，进而求出它与成本价之比．由此从性价比角度考虑，方案乙更实惠．【详解】解：（1）由题意知机器运行时间不少于3个月，共有三种可能：第一，取到2个一等品，对应概率为242625CC=，第二，取到1个一等品，1个二等品，且二等品的使用寿命为3个月，对应概率为11422614215 C CC⨯=，第三，取到2个二等品，且二者使用寿命均为3个月，对应概率为：22261112260C C ⨯⨯=， ∴机器可运行时间不少于3个月的概率241415156060P =++=．（2）若采用甲方案，则机器正常运行的时间为X （单位：月），则X 的可能取值为5，6，111(6)224P X ==⨯=，3(5)1(6)4P X P X ==-==，则X 的分布列为：3121()56444E X ∴=⨯+⨯=，它与成本价之比为()215540E X =+，若采用方案乙，两个二等品的使用寿命之和Y （单位：月），Y 的可能取值为4，5，6， 111(4)224P Y ==⨯=，111(5)2222P Y ==⨯⨯=，111(6)224P Y ==⨯=，则Y 的分布列为：记M 为一等品的使用寿命（单位：月），此时机器的正常运用时间为Z ，则Z 的可能取值为4，5，6，1(4)(4)4P Z P Y ====， (5)(5P Z P M ===，5)(6Y P M >+=，131155)24228Y ==⨯+⨯=，111(6)(6)248P Z P M y =====⨯=，Z 的分布列为：15139()4564888E Z =⨯+⨯+⨯=，它与成本价之比为()1352224E Z =++，21134024<， ∴从性价比角度考虑，方案乙更实惠．【点睛】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，考查互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20．已知椭圆C ：()222210y x a b a b +=>>()0,2．（1）求椭圆C 的方程；（2）若矩形ABCD 的四条边均与椭圆相切，求该矩形面积的取值范围．【答案】（1）2214y x +=；（2）[]8,10．【分析】（1）根据椭圆的几何性质求出,a b 可得椭圆C 的方程；（2）①当矩形ABCD 的四条边与椭圆相切于顶点时，易知428S =⨯=，②当矩形的各边均不与坐标轴平行时，由矩形及椭圆的对称性，设出矩形的四条边所在的直线方程，利用直线与椭圆相切求出直线方程中参数之间的关系，利用平行直线的距离公式求出矩形的边长，利用矩形的面积公式求出面积，利用基本不等式可求出取值范围.【详解】（1）c e a ==∴224a b =又椭圆C 过点()0,2，∴24a =，21b =∴椭圆C 的方程：2214y x +=．（2）①当矩形ABCD 的四条边与椭圆相切于顶点时，易知428S =⨯=，②当矩形的各边均不与坐标轴平行时，由矩形及椭圆的对称性，设其中一边所在的直线方程为：y kx m =+(0)k ≠，则其对边所在的直线方程为：y kx m =-(0)k ≠，另外两边所在的直线方程分别为：1y x n k =-+，1y x n k=--，联立2244y kx mx y =+⎧⎨+=⎩，消去y 并整理可得：222(4)240k x kmx m +++-=，由题意可得222244(4)(4)0k m k m ∆=-+-=，整理可得224k m +=，同理可得2214n k+=，设两平行直线y kx m =+与y kx m =-之间的距离为1d，则1d ==== 设两平行直线1y x n k =-+与1y x n k=--之间的距离为2d，则2d =====，依题意可知，12,d d 为矩形的两邻边的长度，所以矩形的面积12S d d =⋅444===44== 因为20k >，所以2212k k+≥，当且仅当21k =时取等号，所以22990,142k k⎛⎤∈ ⎥⎝⎦++，52,2⎛⎤⎥⎝⎦，所以(]8,10S ∈．综上所述：该矩形面积的取值范围为[]8,10．【点睛】关键点点睛：利用直线与椭圆相切和平行直线间的距离公式求出矩形的面积是本题解题关键.21．已知函数1()2ln x f x e x x -=-+.（1）求()f x 的单调区间；（2）证明：3()(2)3(2)f x x x ---.【答案】（1）单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞；（2）证明见解析【分析】（1）求导函数，利用(1)=0f '，解()0f x '<函数单调减区间. 解()0f x '>得单调递增区间.（2）先求出3()(2)3(2)g x x x =---在03x <≤的极大值为2，由min ()(1)2==f x f 得在03x <≤成立；再设13()()()e2ln (2)46(3)x h x f x g x x x x x -=-=---+->利用导数法研究函数()h x 在(3,+) 内单调性进行证明()0h x >.【详解】（1）解：()f x 的定义域为(0,)+∞，12()e 1x f x x-'=-+， 12()e 1x f x x -'=-+在(0,)+∞上单调递增，且()01f '=. 令()0f x '<，得01x <<，则()f x 的单调递减区间为(0,1)；令()0f x '>，得1x >，则()f x 的单调递增区间为(1,)+∞.（2）证明：设3()(2)3(2)(0),()3(1)(3)g x x x x g x x x '=--->=--.令()0g x '<，得13x <<；令()0g x '>，得01x <<或3x >.所以当1x =时，()g x 取得极大值，且极大值为2，由（1）知，min ()(1)2==f x f ，故当03x <≤时，3()(2)3(2)f x x x ---.设13()()()e 2ln (2)46(3)x h x f x g x x x x x -=-=---+->，122()e 3(2)4x h x x x -'=---+，设122()(),()e 6(2)x p x h x p x x x-''==+--，设134()(),()e 6x q x p x q x x-''==--，易知()q x '在(3,)+∞上单调递增，则24()(3)e 6027q x q ''>=-->，则()q x 在(3,)+∞上单调递增，从而22()(3)609p x p e ''>=+->，则()h x '在(3,)+∞上单调递增，则21()(3)03h x h e ''>=+>，从而()h x 在(3,)+∞上单调递增，所以2()(3)e 52ln 30h x h >=+->，故当3x >时，3()(2)3(2)f x x x ---，从而3()(2)3(2)f x x x ---得证.【点睛】本题考查求含参数函数的单调区间及利用导数证明不等式.导数法研究函数()f x 在(,)a b 内单调性的步骤：(1)求()'f x ；(2)确定()'f x 在(,)a b 内的符号；(3)作出结论：()0f x '>时为增函数；()0f x '<时为减函数．研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．利用导数证明不等式()()f x g x >的基本方法：(1)若()f x 与()g x )的最值易求出，可直接转化为证明()()min max f x g x >；(2)若()f x 与()g x 的最值不易求出，可构造函数()()()h x f x g x ＝，然后根据函数()h x 的单调性或最值，证明()0h x >22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t ϕϕ=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，[0,)ϕπ∈），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4cos()3πρθ=-.（1）求圆C 的直角坐标方程；（2）设()1,1P ，若直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，求||PA PB -的最大值.【答案】（1）2220x y x +--=；（2）4.【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的转化公式，求得圆C 的直角坐标方程；（2）将直线方程与圆联立，由直线参数方程中参数的几何意义及根与系数的关系，求得||PA PB -的最大值.【详解】（1）圆C 的极坐标方程为：4cos()3πρθ=-，则22cos sin ρρθθ=+由极坐标与直角坐标的转化公式得222x y x +=+，所以：2220x y x +--=.（2）将线l 的参数方程为：1cos 1sin x t y t ϕϕ=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），代入2220x y x +--=.所以21)sin 0t t ϕ-⋅-=设点A ，B 所对应的参数为1t 和2t ，则121)sin t t ϕ+=，12t t ⋅=-则12||||PA PB t t -=-==当sin 1ϕ=时，||PA PB -的最大值为4.【点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的相互转化，直线参数方程的应用，属于中档题.23．已知,,a b c 为正数,且2a b c ++=,证明: (1)43ab bc ac ++≤； (2)2228a b c b c a---⋅⋅≥. 【答案】（1）见解析（2）见解析【分析】（1）将a +b +c ＝2平方，然后将基本不等式2222222,2,2a b ab b c bc a c ac +≥+≥+≥三式相加，进行证明；（2）由2a b c b b -+=≥22b a c c b a c c a a -+-+=≥=≥，三式相乘进行证明.【详解】(1)将a +b +c ＝2平方得:2222224a b c ab ab ac +++++=，由基本不等式知:2222222,2,2a b ab b c bc a c ac +≥+≥+≥，三式相加得:222a b c ab bc ac ++≥++，则2224222333a b c ab bc ac ab bc ac =+++++≥++ 所以43ab bc ac ++≤，当且仅当a ＝b ＝c ＝23时等号成立(2)由2a b c b b b -+=≥，同理22b a c c b a c c c a a a -+-+=≥=≥则2228a b c b c a ---⋅⋅≥=，即2228a b c b c a ---⋅⋅≥当且仅当23a b c ===时等号成立【点睛】本题考查利用基本不等式进行证明，属于中档题.。

2024届陕西省渭南市富平县高三第一次(5月)联考数学试题理试题

2024届陕西省渭南市富平县高三第一次（5月）联考数学试题理试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．使得()13nx n N x x +⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭的展开式中含有常数项的最小的n 为( )A ．4B ．5C ．6D ．72．已知3log 5a =，0.50.4b =，2log 5c =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．c b a >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．c a b >>3．在ABC 中，D 为BC 边上的中点，且||1,|2,120AB AC BAC ==∠=︒，则||=AD （）A ．32B ．12C ．34D ．744．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，148AB AA ==，.若E F ，分别是棱1BB CC，上的点，且1BE B E =，1114C F CC =，则异面直线1A E 与AF 所成角的余弦值为（）A ．210B ．2613C ．1313D ．13105．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第19项为（）（注：2222(1)(21)1236n n n n ++++++=）6．已知集合2{|1}M x x ==．N 为自然数集，则下列表示不正确的是（） A ．1M ∈B ．{1,1}M =-C ．M ∅⊆D ．M N ⊆7．阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家，他和高斯、牛顿并列被称为世界三大数学家.据说，他自己觉得最为满意的一个数学发现就是“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”.他特别喜欢这个结论，要求后人在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边，表面积为54π的圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则该球的体积为（）A ．4πB ．16πC ．36πD ．643π8．相传黄帝时代，在制定乐律时，用“三分损益”的方法得到不同的竹管，吹出不同的音调．如图的程序是与“三分损益”结合的计算过程，若输入的x 的值为1，输出的x 的值为（）A ．64 B ．32 C ．8 D ．169．已知数列满足，且，则数列的通项公式为（） A ．B ．C ．D ．10．为比较甲、乙两名高中学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为100分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述不正确的是（）A ．甲的数据分析素养优于乙B ．乙的数据分析素养优于数学建模素养C ．甲的六大素养整体水平优于乙D ．甲的六大素养中数学运算最强11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A ．53πB ．43π C ．223π+D ．243π+12．如图所示点F 是抛物线28y x =的焦点，点A 、B 分别在抛物线28y x =及圆224120x y x +--=的实线部分上运动，且AB 总是平行于x 轴，则FAB ∆的周长的取值范围是（）A ．(6,10)B ．(8,12)C ．[6,8]D ．[8,12]二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

(全国卷)高三数学第一次大联考试题理

（全国卷）2020届高三数学第一次大联考试题理考生注意：1.本试卷共150分，考试时间120分钟。

2.请将试卷答案填在试卷后面的答题卷上。

3.本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语、函数与导数。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

{}{}223,,1A x x x N B x x =-<<∈=> ，则集合A∩B＝A.{2}B.{－1，0，1)C.{－2，2}D.{－1，0，1，2}2.命题“∀x>0，x(x ＋1)>(x －1)2”的否定为；A.20,(1)(1)x x x x ∀>+≤-B.20,(1)(1)x x x x ∀≤+≤-C.20,(1)(1)x x x x ∃>+≤-D.20,(1)(1)x x x x ∃≤+≤- 3.21232x dx x -+=+⎰ A.2＋ln2 B.3－ln2 C.6－ln2 D.6－ln44.设集合A 、B 是全集U 的两个子集，则“A B ⊆”是“U AB φ= ”的2,0()0x x f x x -⎧≤⎪=> ，若f(x 0)<2，则x 0的取值范围是A.(－∞，－1)B.(－1，0]C.(－1，＋∞)D.(－∞，0)01021:1,log ;:,2x p x x q x R e x ∃>>∀∈>，则下列说法中正确的是 A.p∨q 是假命题 B.p∧q 是真命题 C.p∨(⌝q)是真命题 D.p∧(⌝q)是假命题 {}{}12,15A x x B x x =-<≤=≤-≤，定义集合{},,A B z z x y x A y B *==+∈∈，则()B A B **等于 A.{}61x x -<≤ B.{}112x x <≤ C.{}110x x -<≤ D.{}56x x -<≤8.已知定义在R 上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝a x － a －x ＋2(a>0且a≠1)，若g(2)＝a ，则函数f(x 2＋2x)的单调递增区间为A(－1.1) B.(－∞，1) C.(1，＋∞) D.(－1，＋∞)9.如图是二次函数f(x)＝x 2－bx ＋a 的部分图象，则函数g(x)＝alnx ＋ f’(x)的零点所在的区间是 A.(14，12) B.(12，1) C.(1，2) D.(2，3) ∈R ，函数f(x)满足f(2－x)＝－f(x)，且当x≧1时，函数f(x)＝1x -。

2023届江西省上饶中学新八校高三上学期第一次联考数学(理)试题(解析版)

详解：为奇函数，舍去A,
舍去D;
，
所以舍去C；因此选B
点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．
6.防疫工作，人人有责，某单位选派了甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者到A、B、C三处核酸点参加志愿工作，若每个核酸点至少去1名志愿者，则甲、乙两人派到同一处核酸点参加志愿者工作的概率为（）
故选：B.
11.有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数为24，棱长为的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.若点E为线段BC上的动点，则下列结论不正确的是（）
[选修4—5：不等式选讲]
23.已知函数，．
（1）当时，求不等式解集；
（2）设，且当，，求的取值范围．
江西省新八校
东乡一中都昌一中丰城中学赣州中学
景德镇二中上饶中学上栗中学新建二中新八桥
2023届高三第一次联考理科数学试题
考试时间：120分钟分值：150分
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
【详解】复数，
∴ ，则复数的虚部为1，
故选：A.
3.下列说法正确的是（）
A.“ ， ”的否定形式是“ ， ”
B.若函数为奇函数，则 .
C.两个非零向量，，是的充分不必要条件

2024-2025学年高三上学期第一次联考(9月月考) 数学试题[含答案]

2024~2025学年高三第一次联考（月考）试卷数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：集合､常用逻辑用语､不等式､函数､导数及其应用.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则集合的真子集的个数为（）{}4,3,2,0,2,3,4A =---{}2290B x x =-≤A B ⋂A.7B.8C.31D.322.已知，，则“，”是“”的（）0x >0y >4x ≥6y ≥24xy ≥A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3.国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆､绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水､雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量与时间（小时）的关系为()mg /L N t （为最初污染物数量，且）.如果前4个小时消除了的污染物，那么污染物消0e kt N N -=0N 00N >20%除至最初的还需要（）64%A.3.8小时 B.4小时C.4.4小时D.5小时4.若函数的值域为，则的取值范围是（）()()2ln 22f x x mx m =-++R m A.B.()1,2-[]1,2-C.D.()(),12,-∞-⋃+∞(][),12,-∞-⋃+∞5.已知点在幂函数的图象上，设，(),27m ()()2n f x m x =-(4log a f =，，则，，的大小关系为（）()ln 3b f =123c f -⎛⎫= ⎪⎝⎭a b c A.B.c a b <<b a c<<C. D.a c b <<a b c<<6.已知函数若关于的不等式的解集为，则的()()2e ,0,44,0,x ax xf x x a x a x ⎧->⎪=⎨-+-+≤⎪⎩x ()0f x ≥[)4,-+∞a 取值范围为（）A.B. C. D.(2,e ⎤-∞⎦(],e -∞20,e ⎡⎤⎣⎦[]0,e 7.已知函数，的零点分别为，，则（）()41log 4xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()141log 4xg x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭a b A. B.01ab <<1ab =C.D.12ab <<2ab ≥8.已知，，，且，则的最小值为（）0a >0b >0c >30a b c +-≥6b a a b c ++A. B. C. D.29495989二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.函数是相同的函数()f x =()g x =B.函数6()f x =C.若函数在定义域上为奇函数，则()313xx k f x k -=+⋅1k =D.已知函数的定义域为，则函数的定义域为()21f x +[]1,1-()f x []1,3-10.若，且，则下列说法正确的是（）0a b <<0a b +>A. B.1a b >-110a b+>C. D.22a b <()()110a b --<11.已知函数，则下列说法正确的是（）()()3233f x x x a x b=-+--A.若在上单调递增，则的取值范围是()f x ()0,+∞a (),0-∞B.点为曲线的对称中心()()1,1f ()y f x =C.若过点可作出曲线的三条切线，则的取值范围是()2,m ()()3y f x a x b =+-+m ()5,4--D.若存在极值点，且，其中，则()f x 0x ()()01f x f x =01x x ≠1023x x +=三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.__________.22lg 2lg3381527log 5log 210--+⋅+=13.已知函数称为高斯函数，表示不超过的最大整数，如，，则不等式[]y x =x []3.43=[]1.62-=-的解集为__________；当时，的最大值为__________.[][]06x x <-0x >[][]29x x +14.设函数，若，则的最小值为__________.()()()ln ln f x x a x b =++()0f x ≥ab 四､解答题：本题共5小题､共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知全集，集合，.U =R {}231030A x x x =-+≤{}220B x xa =+<（1）若，求和；8a =-A B ⋂A B ⋃（2）若，求的取值范围.()UA B B ⋂= a 16.（本小题满分15分）已知关于的不等式的解集为.x 2280ax x --<{}2x x b-<<（1）求，的值；a b （2）若，，且，求的最小值.0x >2y >-42a bx y +=+2x y +17.（本小题满分15分）已知函数.()()()211e 2x f x x ax a =--∈R （1）讨论的单调性；()f x （2）若对任意的恒成立，求的取值范围.()e x f x x ≥-[)0,x ∈+∞a 18.（本小题满分17分）已知函数是定义在上的奇函数.()22x xf x a -=⋅-R（1）求的值，并证明：在上单调递增；a ()f x R （2）求不等式的解集；()()23540f x x f x -+->（3）若在区间上的最小值为，求的值.()()442x x g x mf x -=+-[)1,-+∞2-m 19.（本小题满分17分）已知函数.()()214ln 32f x x a x x a =---∈R （1）若，求的图像在处的切线方程；1a =()f x 1x =（2）若恰有两个极值点，.()f x 1x ()212x x x <（i ）求的取值范围；a （ii ）证明：.()()124ln f x f x a+<-数学一参考答案､提示及评分细则1.A 由题意知，又，所以{}2290B x x ⎡=-=⎢⎣∣ {}4,3,2,0,2,3,4A =---，所以的元素个数为3，真子集的个数为.故选.{}2,0,2A B ⋂=-A B ⋂3217-=A 2.A 若，则，所以“”是“”的充分条件；若，满足4,6x y 24xy 4,6x y 24xy 1,25x y ==，但是，所以“”不是“”的必要条件，所以“”是24xy 4x <4,6x y 24xy 4,6x y “”的充分不必要条件.故选A.24xy 3.B 由题意可得，解得，令，可得4004e 5N N -=44e 5k -=20004e 0.645t N N N -⎛⎫== ⎪⎝⎭，解得，所以污染物消除至最初的还需要4小时.故选B.()248e e ek kk---==8t =64%4.D 依题意，函数的值域为，所以，解得()()2ln 22f x x mx m =-++R ()2Δ(2)420m m =--+ 或，即的取值范围是.故选D.2m 1m - m ][(),12,∞∞--⋃+5.C 因为是軍函数，所以，解得，又点在函数的图()()2nf x m x =-21m -=3m =()3,27()n f x x =象上，所以，解得，所以，易得函数在上单调递增，又273n=3n =()3f x x =()f x (),∞∞-+，所以.故选C.1241ln3lne 133log 2log 2->==>=>=>a c b <<6.D 由题意知，当时，；当时，；当时，(),4x ∞∈--()0f x <[]4,0x ∈-()0f x ()0,x ∞∈+.当时，，结合图象知；当时，，当()0f x 0x ()()()4f x x x a =-+-0a 0x >()e 0x f x ax =- 时，显然成立；当时，，令，所以，令，解0a =0a >1e x x a (),0e x x g x x =>()1e xxg x -='()0g x '>得，令0，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以01x <<()g x '<1x >()g x ()0,1()1,∞+，所以，解得综上，的取值范围为.故选D.()max 1()1e g x g ==11e a0e a < a []0,e 7.A 依题意得，即两式相减得4141log ,41log ,4a b a b ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎨⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩441log ,41log ,4a ba b ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-= ⎪⎪⎝⎭⎩.在同一直角坐标系中作出的图()44411log log log 44a ba b ab ⎛⎫⎛⎫+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4141log ,log ,4xy x y x y ⎛⎫=== ⎪⎝⎭象，如图所示：由图象可知，所以，即，所以.故选A.a b >1144ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()4log 0ab <01ab <<8.C 因为，所以，所以30a b c +- 30a b c +> 11911121519966399939911b a b a b b b b a b c a b a b a a a a ⎛⎫++=+=++--=-= ⎪+++⎝⎭++ ，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.故选C.1911991b b a a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭+29b a =6b aa b c ++599.AD 由解得，所以，由，解得10,10x x +⎧⎨-⎩ 11x - ()f x =[]1,1-210x -，所以的定义域为，又，故函数11x - ()g x =[]1,1-()()f x g x ===与是相同的函数，故A 正确；，()f x ()g x ()6f x ==当且仅当方程无解，等号不成立，故B 错误；函数=2169x +=在定义域上为奇函数，则，即，即()313x x k f x k -=+⋅()()f x f x -=-331313x xx x k k k k ----=-+⋅+⋅，即，整理得，即，()()33313313x x xxxxk k k k ----=-+⋅+⋅313313x x x x k kk k ⋅--=++⋅22919x x k k ⋅-=-()()21910x k -+=所以，解得.当时，，该函数定义域为，满足，210k -=1k =±1k =()1313xx f x -=+R ()()f x f x -=-符合题意；当时，，由可得，此时函数定义域为1k =-()13311331x x xxf x --+==--310x -≠0x ≠，满足，符合题意.综上，，故C 错误；由，得{}0x x ≠∣()()f x f x -=-1k =±[]1,1x ∈-，所以的定义域为，故D 正确.故选AD.[]211,3x +∈-()f x []1,3-10.AC 因为，且，所以，所以，即，故A 正确；0a b <<0a b +>0b a >->01a b <-<10ab -<<因为，所以，故В错误；因为，所以，0,0b a a b >->+>110a ba b ab ++=<0a b <<,a a b b =-=由可得，所以，故C 正确；因为当，此时，故0a b +>b a >22a b <11,32a b =-=()()110a b -->D 错误.故选AC.11.BCD 若在上单调递增，则在上佰成立，所以()f x ()0,∞+()23630f x x x a '=-+- ()0,x ∞∈+，解得，即的取值范围是，故A 错误；因为()min ()13630f x f a '==--'+ 0a a (],0∞-，所以，又()()32333(1)1f x x x a x b x ax b =-+--=---+()11f a b =--+，所以点()()()332(21)21(1)1222f x f x x a x b x ax b a b -+=-----++---+=--+为曲线的对称中心，故B 正确；由题意知，所以()()1,1f ()y f x =()()3233y f x a x b xx =+-+=-，设切点为，所以切线的斜率，所以切线的方程为236y x x =-'()32000,3x x x -20036k x x =-，所以，整理得()()()3220000336y x x x x x x --=--()()()322000003362m xx x x x --=--.记，所以3200029120x x x m -++=()322912h x x x x m =-++()26h x x '=-，令，解得或，当时，取得极大值，当时，1812x +()0h x '=1x =2x =1x =()h x ()15h m =+2x =取得极小值，因为过点可作出曲线的三条切线，所以()h x ()24h m=+()2,m ()()3y f x a x b =+-+解得，即的取值范围是，故C 正确；由题意知()()150,240,h m h m ⎧=+>⎪⎨=+<⎪⎩54m -<<-m ()5,4--，当在上单调递增，不符合题意；当，()223633(1)f x x x a x a =-+-=--'()0,a f x (),∞∞-+0a >令，解得，令，解得在()0f x '>1x <-1x >+()0f x '<11x -<<+()f x 上单调递增，在上单调递堿，在上单调递增，因为,1∞⎛- ⎝1⎛+ ⎝1∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭存在极值点，所以.由，得，令，所以，()f x 0x 0a >()00f x '=()2031x a-=102x x t+=102x t x =-又，所以，又，()()01f x f x =()()002f x f t x =-()()32333(1)1f x x x a x b x ax b =-+--=---+所以，又，所以()()()330000112121x ax b t x a t x b ---+=-----+()2031x a-=，化简得()()()()()()()322320000000013112121312x x x b x x b t x x t x b----=----=------，又，所以，故D 正确.故选BCD.()()20330t x t --=010,30x x x t ≠-≠103,23t x x =+=12. 由题意知10932232862log 184163381255127log 5log 210log 5log 121027---⎛⎫+⋅+=+⋅-+ ⎪⎝⎭62511411410log 5log 2109339339=-⋅+=-+=13.（2分）（3分）因为，所以，解得，又函数[)1,616[][]06x x <-[][]()60x x -<[]06x <<称为高斯函数，表示不超过的最大整数，所以，即不等式的解集为.当[]y x =x 16x < [][]06x x <-[)1,6时，，此时；当时，，此时01x <<[]0x =[]2[]9x x =+1x []1x ，当且仅当3时等号成立.综上可得，当时，的[][][]2119[]96x x x x ==++[]x =0x >[]2[]9x x +最大值为.1614. 由题意可知：的定义域为，令，解得令，解21e -()f x (),b ∞-+ln 0x a +=ln ;x a =-()ln 0x b +=得.若，当时，可知，此时，不合题1x b =-ln a b -- (),1x b b ∈--()ln 0,ln 0x a x b +>+<()0f x <意；若，当时，可知，此时，不合ln 1b a b -<-<-()ln ,1x a b ∈--()ln 0,ln 0x a x b +>+<()0f x <题意；若，当时，可知，此时；当ln 1a b -=-(),1x b b ∈--()ln 0,ln 0x a x b +<+<()0f x >时，可知，此时，可知若，符合题意；若[)1,x b ∞∈-+()ln 0,ln 0x a x b ++ ()0f x ln 1a b -=-，当时，可知，此时，不合题意.综上所ln 1a b ->-()1,ln x b a ∈--()ln 0,ln 0x a x b +<+>()0f x <述：，即.所以，令，所以ln 1a b -=-ln 1b a =+()ln 1ab a a =+()()ln 1h x x x =+，令，然得，令，解得，所以在()ln 11ln 2h x x x '=++=+()0h x '<210e x <<()0h x '>21e x >()h x 上单调递堿，在上单调递增，所以，所以的最小值为.210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭21,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭min 2211()e e h x h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ab 21e -15.解：（1）由题意知，{}2131030,33A x x x ⎡⎤=-+=⎢⎥⎣⎦∣ 若，则，8a =-{}()22802,2B x x =-<=-∣所以.(]1,2,2,33A B A B ⎡⎫⋂=⋃=-⎪⎢⎣⎭（2）因为，所以，()UA B B ⋂= ()UB A ⊆ 当时，此时，符合题意；B =∅0a 当时，此时，所以，B ≠∅0a <{}220Bx x a ⎛=+<= ⎝∣又，U A ()1,3,3∞∞⎛⎫=-⋃+ ⎪⎝⎭13解得.209a -< 综上，的取值范围是.a 2,9∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭16.解：（1）因为关于的不等式的解集为，x 2280ax x --<{2}xx b -<<∣所以和是关于的方程的两个实数根，且，所以2-b x 2280ax x --=0a >22,82,b a b a⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩解得.1,4a b ==（2）由（1）知，所以1442x y +=+()()()221141422242241844242y xx y x y x y x y y x ⎡⎤+⎛⎫⎡⎤+=++-=+++-=+++-⎢⎥ ⎪⎣⎦++⎝⎭⎣⎦，179444⎡⎢+-=⎢⎣ 当且仅当，即时等号成立，所以.()2242y x y x +=+x y ==2x y +74-17.解：（1）由题意知，()()e e x x f x x ax x a=-=-'若，令.解得，令，解得，所以在上单调递琙，在0a ()0f x '<0x <()0f x '>0x >()f x (),0∞-上单调递增.()0,∞+若，当，即时，，所以在上单调递增；0a >ln 0a =1a =()0f x ' ()f x (),∞∞-+当，即时，令，解得或，令，解得，ln 0a >1a >()0f x '>0x <ln x a >()0f x '<0ln x a <<所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；()f x (),0∞-()0,ln a ()ln ,a ∞+当，即时，令，解得或，令，解得，ln 0a <01a <<()0f x '>ln x a <0x >()0f x '<ln 0a x <<所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.()f x (),ln a ∞-()ln ,0a ()0,∞+综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在0a ()f x (),0∞-()0,∞+01a <<()f x 上单调递增，在上单调递减，在上单调递增当时，在上(,ln )a ∞-()ln ,0a ()0,∞+1a =()f x (),∞∞-+单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.1a >()f x (),0∞-()0,ln a ()ln ,a ∞+（2）若对任意的恒成立，即对任意的恒成立，()e xf x x - [)0,x ∞∈+21e 02xx ax x -- [)0,x ∞∈+即对任意的恒成立.1e 102x ax -- [)0,x ∞∈+令，所以，所以在上单调递增，当()1e 12x g x ax =--()1e 2x g x a=-'()g x '[)0,∞+，即时，，所以在上单调递增，所以()10102g a =-' 2a ()()00g x g '' ()g x [)0,∞+，符合题意；()()00g x g = 当，即时，令，解得，令，解得，所()10102g a =-<'2a >()0g x '>ln 2a x >()0g x '<0ln 2a x < 以在上单调递减，()g x 0,ln 2a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭所以当时，，不符合题意.0,ln 2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()00g x g <=综上，的取值范围是.a (],2∞-18.（1）证明：因为是定义在上的奇函数，所以，()f x R ()010f a =-=解得，所以，1a =()22x xf x -=-此时，满足题意，所以.()()22x x f x f x --=-=-1a =任取，所以12x x <，()()()()211122121211122222122222222122x x x x x x x x x x x x f x f x x x --⎛⎫--=---=--=-+ ⎪++⎝⎭又，所以，即，又，12x x <1222x x <12220x x -<121102x x ++>所以，即，所以在上单调递增.()()120f x f x -<()()12f x f x <()f x R （2）解：因为，所以，()()23540f x x f x -+->()()2354f x x f x ->--又是定义在上的奇函数，所以，()f x R ()()2354f x x f x ->-+又在上单调递增，所以，()f x R 2354x x x ->-+解得或，即不等式的解集为.2x >23x <-()()23540f x x f x -+->()2,2,3∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭（3）解：由题意知，令，()()()44244222xxxxxxg x mf x m ---=+-=+--322,,2x x t t ∞-⎡⎫=-∈-+⎪⎢⎣⎭所以，所以.()2222442x xxxt --=-=+-()2322,,2y g x t mt t ∞⎡⎫==-+∈-+⎪⎢⎣⎭当时，在上单调递增，所以32m -222y t mt =-+3,2∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭，解得，符合题意；2min317()323224g x m m ⎛⎫=-++=+=- ⎪⎝⎭2512m =-当时，在上单调递减，在上单调递增，32m >-222y t mt =-+3,2m ⎛⎫- ⎪⎝⎭(),m ∞+所以，解得或（舍）.222min ()2222g x m m m =-+=-=-2m =2m =-综上，的值为或2.m 2512-19.（1）解：若，则，所以，1a =()214ln 32f x x x x =---()14f x x x =--'所以，又，()14112f =--='()1114322f =--=所以的图象在处的切线方程为，即.()f x 1x =()1212y x -=-4230x y --=（2）（i ）解：由题意知，()22444a x a x x x af x x x x x '---+=--==-又函数恰有两个极值点，所以在上有两个不等实根，()f x ()1212,x x x x <240x x a -+=()0,∞+令，所以()24h x x x a =-+()()00,240,h a h a ⎧=>⎪⎨=-<⎪⎩解得，即的取值范围是.04a <<a ()0,4（ii ）证明：由（i ）知，，且，12124,x x x x a +==04a <<所以()()2212111222114ln 34ln 322f x f x x a x x x a x x ⎛⎫⎛⎫+=---+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()2212121214ln ln 62x x a x x x x =+-+-+-，()()()21212121214ln 262x x a x x x x x x ⎡⎤=+--+--⎣⎦()116ln 1626ln 22a a a a a a =----=-+要证，即证，只需证.()()124ln f x f x a+<-ln 24ln a a a a -+<-()1ln 20a a a -+-<令，所以，()()()1ln 2,0,4m a a a a a =-+-∈()11ln 1ln a m a a a a a -=-++=-'令，所以，所以即在上单调递减，()()h a m a ='()2110h a a a =--<'()h a ()m a '()0,4又，所以，使得，即，()()1110,2ln202m m '-'=>=<()01,2a ∃∈()00m a '=001ln a a =所以当时，，当时，，所以在上单调递增，在()00,a a ∈()0m a '>()0,4a a ∈()0m a '<()m a ()00,a 上单调递减，所以.()0,4a ()()()max 00000000011()1ln 2123m a m a a a a a a a a a ==-+-=-+-=+-令，所以，所以在上单调递增，所以()()13,1,2u x x x x =+-∈()2110u x x =->'()u x ()1,2，所以，即，得证.()000111323022u a a a =+-<+-=-<()0m a <()()124ln f x f x a +<-。

四川省乐山市2024届高三第一次调研考试数学(理)试题

一、单选题二、多选题1.在一组数据为，，…，（，不全相等）的散点图中，若这组样本数据的相关系数为，则所有的样本点满足的方程可以是A．B．C．D．2.展开式中的系数为（）A．B．C．D．3. 设集合S={x|x ＞﹣2}，T={x|x 2+3x ﹣4≤0}，则（∁R S ）∪T=（）A ．（﹣2，1]B ．（﹣∞，﹣4]C ．（﹣∞，1]D ．[1，+∞）4. 踢毽子是中国民间传统的运动项目之一，是一项简便易行的健身活动．某单位组织踢毽子比赛，有4名男员工和6名女员工参加．其中男员工每人1分钟内踢毽子的数目为；女员工每人1分钟内踢毽子的数目为．则从这10名员工中随机抽取2名，他们1分钟内踢毽子的数目大于50的概率是（）A．B．C．D．5. 意大利著名天文学家伽利略曾错误地猜测链条自然下垂时的形状是抛物线.直到1690年，雅各布·伯努利正式提出该问题为“悬链线”问题并向数学界征求答案.1691年他的弟弟约翰·伯努利和莱布尼兹､惠更斯三人各自得到了正确答案，给出悬链线的数学表达式为双曲余弦型函数：（，为自然对数的底数）.若，，，则（）A．B．C．D．6. 设a，，则“”是“”的（）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件7. 在中，，为上一点，若，则实数的值A．B．C．D．8.若，且，函数，则不等式的解集是（）A．B．C．D．9.已知数列的前n项和为，且，，则（）A ．当时，B．C．数列单调递增，单调递减D ．当时，恒有10.已知的展开式的第项与第项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为，则下列说法正确的是（）四川省乐山市2024届高三第一次调研考试数学（理）试题三、填空题四、填空题五、填空题六、解答题七、解答题A．展开式的奇数项的二项式系数的和为B．展开式的第项的系数与二项式系数相等且最大C ．展开式中不存在常数项D ．展开式中含项的系数为11. 如图，在长方形中，，，为的中点，为线段(端点除外)上一动点.现将沿折起，使平面平面.在平面内过点作，为垂足.设，则的取值可以是（）A．B．C．D ．112. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，0)，B (5，0).若圆M ：(x －4)2＋(y －m )2＝4上存在唯一的点P ，使得直线PA ，PB 在y 轴上的截距之积为5，则实数m 的值为________.13. 向量在向量方向上的投影为______．14. 已知函数，现有以下命题：①是偶函数；②是以为周期的周期函数；③的图像关于对称； ④的最大值为．其中真命题有________．15. 已知随机变量的分布列为012则________；若，则_______．16.已知数列的前项和为，且，记，则________；若数列满足，则的最小值是________．17. 直线与轴交于点，交圆于，两点，过点作圆的切线，轴上方的切点为，则__________；的面积为__________．18. 已知函数，，.（1）将函数化简成，（，，），的形式；（2）求函数的值域.19.已知函数(1)若在时取得极小值，求实数k 的值；八、解答题九、解答题十、解答题(2)若过点可以作出函数的两条切线，求证：20. 已知在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为4的正方形，△PAD 是正三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，E 、F 、G 分别是PA 、PB 、BC 的中点．（I ）求证：EF ⊥平面PAD ；（II ）求平面EFG 与平面ABCD所成锐二面角的大小．21. 某企业生产的产品具有60个月的时效性，在时效期内，企业投入50万元经销该产品，为了获得更多的利润，企业将每月获得利润的10%再投入到次月的经营中，市场调研表明，该企业在经销这个产品的第个月的利润是（单位：万元），记第个月的当月利润率为，例.（1）求第个月的当月利润率；（2）求该企业在经销此产品期间，哪一个月的当月利润率最大，并求出该月的当月利润率.22.函数．(1)讨论的单调性；(2)当在上单调递增时，证明：对任意且．。

江西省重点中学协作体九校2023届高三第一次联考数学(理科)试卷

江西省重点中学协作体2023届高三第一次联考数学（理科）试题2023.2命题人：九江一中李群抚州一中邓述程凌泽广满分：150分考试时间：120分钟一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.设集合{}8|,|14,1A x N N B x N x x ⎧⎫=∈∈=∈-≤≤⎨⎬+⎩⎭则A B = ()A.{0,1,2}B.{0,1,3}C.{1,2,3}D.{1,2,4}2.已知复数z 满足|||4|(),z z i i =-为虚数单位则z 的虚部是()A.2i- B.2iC.2- D.23.已知βα，是两个不同的平面，c b a ,,是三条不同的直线，则下面说法中正确的是（）A.若,,αα⊂⊂b a 且,,b c a c ⊥⊥则α⊥cB.若,α⊂a 且,a b ⊥则α⊥b C.若,α⊥b 且,b c ⊥则//c αD.若,,βα⊥⊥b a 且,//,//b c a c 则βα//4.已知单位向量,a b ，满足a a b =+ ，则向量12a b ⎛⎪⎭+⎫ ⎝与b的夹角是（）A.120︒B.60︒C.90︒D.30︒5.2021年12月9日15时40分，“天宫课堂”第一课开始，神舟十三号乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富在中国空间站进行太空授课．某中学组织全校学生观看了此次授课，三位太空老师介绍展示了中国空间站的工作生活场景，演示了微重力环境下细胞学实验、物理运动、液体表面张力等现象，并与地面课堂进行了实时交流，极大地激发了学生探索科学的兴趣．为了解同学们对“天宫课堂”这种90人进行调查，已知该校学生共有3600人，30人，则该校高二年级学生共有（）A ．800人B ．1000人C ．1200人D ．1400人6.在三棱锥P ABC -中，6,8,210,30,PA AB PB BC BPC ====∠=︒则三棱锥P ABC -外接球的表面积为（）A ．100πB ．5003πC ．1253πD ．25π7.若x ，y 满足约束条件222022x y y x y -≥-⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则3z x y =+的最小值为（）A ．2-B ．0C ．4D ．168.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为,F 点M 是抛物线C 的准线与x 轴的交点，点P 在抛物线上，若5sin ,13PMF ∠=则sin PFM ∠=()A.813B.1213C.512D.349.已知函数(1011)f x +是定义在R 上的奇函数，若()()sin 1g x f x x π=++，则2022()k g k =∑的值是()A ．2022-B ．2022C ．2023-D ．202310.已知数列21443n n ⎧⎫⎨⎬+-⎩⎭的前n 项和为n T ，若对任意的*N n ∈，不等式263n T a a <-恒成立，则实数a 的取值范围是（）A.[)2,1,3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦ B.(]2,1,3⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭C.2,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.()2,1,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭11.费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角均小于120°时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等且均为120°.根据以上性质，则(,)F x y =（）A.4B.2+C.3+D.4+12.已知函数2()|2|x f x a x x e =--在区间[)0,+∞上的最大值为0，则实数a 的取值集合是()1.2A e⋅⎨⎪⎪⎩⎭21.2B e⋅⎨⎪⎪⎩⎭211.22C e e⎫-+⎪⋅⋅⎬⎪⎪⎩⎭21.2D e ⎫+⋅+∞⎪⎪⎣⎭二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）13.已知随机变量),,(~),,6(~2σμN Y p B X 且),()(,21)4(Y E X E Y P ==≥则=p ____.14.已知正项等比数列{}n a 的前n 项积为n T ，若4T 是{}n T 中唯一的最小项，则满足条件的{}n a 的通项公式可以是_____________(写出一个即可)．15.已知直线:2l y x t =+与双曲线2222:1x y C a b -=的两条渐近线(0,0)a b >>分别交于点,A B (不重合)，与直线:m y x =交于点M ，若AM MB =，则双曲线的离心率为_________．16.已知ABC ∆中，2||29,||3AB AB AC BC +⋅==，则ABC ∆面积的最大值是___________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知,A C c <=sin (cos sin )C A B -cos (sin cos )C A B =-.(1)若2C π≤，求角C 的值；(2)若23C π=，求ABC ∆的面积.18.卡塔尔世界杯在今年11月21日至12月18日期间举行，赛程如下：第一轮中先将32个国家随机分为ABCDEFGH 8个小组，每个小组中4个国家进行循环积分赛，在积分赛中，每局比赛中胜者积3分，负者积0分，平局各积1分，积分前两名者晋级下一轮淘汰赛；每组的循环积分赛分3轮，其中C 组国家是阿根廷，墨西哥，波兰，沙特，第一轮是阿根廷VS 沙特，墨西哥VS 波兰；第二轮是阿根廷VS 墨西哥，沙特VS 波兰；第三轮是阿根廷VS 波兰，墨西哥VS 沙特。

江西省南昌市三校(一中、十中、铁一中)2022-2023学年高三上学期11月期中联考《理数》含答案

南昌市三校（一中、十中、铁一中）高三上学期第一次联考数学试卷（理科）学校：南昌十中考试时长：120分钟试卷总分：150分一､选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合403x M x x +⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭∣，133xN x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪≤⎪⎩⎭∣，则M N = （）A. []4,1-- B.[)1,3- C.[)4,3- D. []1,3-2.设平面向量a ，b 均为单位向量，则“|a −2b |=|2a +b |”是“a ⊥b ”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3．已知函数则A． B ． C ． D ．（第4题图）4.如图，在△ABC 中，BN =14BC ，设AB =a ，AC =b ，则AN =( )A. 14a−34bB. 34a−14bC. 14a +34bD. 34a +14b5.如图所示，在平面直角坐标系中，角α和角β均以Ox 为始边，终边分别为射线OA 和OB ，射线OA ，OC 与单位圆的交点分别为34,55A ⎛⎫⎪⎝⎭，(1,0)C -．若6BOC π∠=，则cos()βα-的值是（）A B C.D 6.通过研究正五边形和正十边形的作图，古希腊数学家毕达哥拉斯发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用2sin18︒2sin18=︒.记2sin18m =︒=（）A. 2-B.1-7.已知过点(),0A a 作曲线()1e xy x =-切线有且仅有1条，则=a （）0()(1)0x e x f x f x x ⎧=⎨->⎩，，，，…(ln 2)f =2e 4e 2e 4e 的A.3-B.3C.3-或1D. 3或18.已知奇函数f(x)在R 上是增函数．若a =−f(log 215)，b =f(log 24.1)，c =f(20.8)，则a ，b ，c 的大小关系为()A. a <b <cB. c <b <aC. b <a <cD. c <a <b9.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若2cos 2cos a C b c A +=，c =，则A ∠=( )A ．π6B ．π4C ．π3D ．2π310.已知函数f (x )=(3−a )x−4,x ≤8a x−7,x >8，若数列{a n }满足a n =f (n )(n ∈N ∗)且{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( )A. (2,3)B.[2,3) ,311.已知函数π()2sin()cos sin (||)2f x x x ϕϕϕ=+-<，且对于任意x ∈R ，都有ππ(+)()33f x f x =--，下列序号中，① ()f x 在区间ππ[,]66-上单调递增；② (0)f ；③ 若0(2x f =0π1()123f x -=-；④若实数m 使得方程()0f x m -=在4π(0,)3上恰有1x ，2x ，3123()x x x x <<三个实数根，则123102=π3x x x ++.正确的序号有（）A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④12.黎曼函数R(x)是一个特殊函数，由德国数学家黎曼发现并提出，该函数定义在[0，1]上，当x =pq （p,q都是正整数，pq 为最简真分数）时，R (x)=1q ;当x =0或1或x 为（0，1）内的无理数时，R (x )=0.若g(x +1)为偶函数，g (x +2)为奇函数，当x ∈[0,1]时，g (x )=R (x ),则（）A.>15且g (cos 2αsin 2β)≥g (cos 2α)g (sin 2β)B.>15且g (cos 2αsin 2β)≤g (cos 2α)g (sin 2β)C.=15且g (cos 2αsin 2β)≥g (cos 2α)g (sin 2β)D.=15且g (cos 2αsin 2β)≤g (cos 2α)g (sin 2β)二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知aϵR,若复数z =a 2−a−2+(a 2+3a +2)i 为纯虚数，则a =14. 如图，扇环ABCD 中，弧⌢AD =4，弧⌢BC =2，|AB |=|CD |=1，则扇环ABCD 的面积S =．15．已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()()2f x f x '->，且()30f =，则不等式()0f x >的解集为___________.16. 锐角△ABC 中，a ，b ，c 为角A ，B ，C 所对的边，点G 为△ABC 的重心，若AG ⊥BG ，则cos C 的取值范围为______．三、简答题（本题共5小题，每小题12分，共60分）17．（12分）已知函数f(x)=1−3sin2x +2cos 2x ．(1)求f(x)的最大值及取得最大值时的x 集合；(2)设△ABC 的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a =1，f(A)=0.求b +c 的取值范围．18. （12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA C C ⊥底面ABC ，侧面11AAC C是菱形，160A AC ∠= ，90ACB ∠= ，2AC BC ==.（1）若D 为1AC 的中点，求证：1AD A B ⊥；（2）求二面角11A A C B --的正弦值.19. （12分）某校组织围棋比赛，每场比赛采用五局三胜制（一方先胜三局即获胜，比赛结束），比赛采用积分制，积分规则如下：每场比赛中，如果四局及四局以内结束比赛，取胜的一方积3分，负者积0分；五局结束比赛，取胜的一方积2分，负者积1分.已知甲､乙两人比赛，甲每局获胜的概率为12.（1）在一场比赛中，甲的积分为X ，求X 的概率分布列；（2）求甲在参加三场比赛后，积分之和为5分的概率.20．（12分）已知圆C ：22(1)1x y -+=，椭圆M ：22184x y +=．（1）求证：圆C 在椭圆M 内；（2）若圆C 的切线m 与椭圆M 交于P ，Q 两点，F 为椭圆M 的右焦点，求△FPQ 面积的最大值．21．(12分)已知函数2211()ln 24f x x ax x x ax ⎛⎫=--+⎪⎝⎭．（1）若()f x 在(0,)+∞单调递增，求a 的值；（2）当1344a e <<时，设函数()()f x g x x=的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域．四、选做题22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标xOy 中，直线l的参数方程为12x a y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数，a 为常数）．以原点O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为24cos sin θρθ=．(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于AB 、两点，若16AB =，求a 的值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数()||2|1|f x x a x =++-．（1）当2a =时，求不等式()4f x ≤的解集；（2）若[1,2]x ∃∈，使得不等式2()f x x >成立，求实数a 的取值范围．高三上学期第一次三校联考数学（理科）试卷参考答案及评分标准一､选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）序号123456789101112答案BCADCBCBAADC二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.2 14.3 15. ()()3,03-+∞ ， 16.三、简答题（本题共5小题，每小题12分，共60分）17．已知函数f(x)=1−3sin2x +2cos 2x ．(1)求f(x)的最大值及取得最大值时的x 集合；(2)设△ABC 的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a =1，f(A)=0.求b +c 的取值围．【答案】解：(1)f(x)=1−3sin2x +2cos 2x =cos2x−3sin2x +2 =2cos(2x +π3)+2，····…..2分∵−1≤cos (2x +π3)≤1，∴0≤2cos(2x +π3)+2≤4，∴f(x)的最大值为4， …… 4分当2x +π3=2kπ(k ∈Z)，即x =kπ−π6(k ∈Z)时，函数f(x)取最大值，则此时x 的集合为{x|x =kπ−π6,k ∈Z}；· ………. 6分 (2)由f(A)=0得：2cos(2A +π3)+2=0，即cos (2A +π3)=−1，∴2A +π3=2kπ+π(k ∈Z)，即A =kπ+π3(k ∈Z)，又0<A <π，∴A =π3，∵a =1，sinA =32， ………….8分由正弦定理a sinA =b sinB =csinC 得：b =asinBsinA=23sinB ，c =23sinC ，又A =π3，∴B +C =2π3，即C =2π3−B ，∴b +c =23(sinB +sinC )=+−B=23(sinB +32cosB +12sinB)=2(32sinB +12cosB)=2sin(B +π6)，……….10分∵A =π3，∴B ∈(0,2π3)，∴B +π6∈(π6,5π6)，∴sin (B +π6)∈(12,1]，则b +c 的取值范围为(1,2]．………………..12分18. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AAC C ⊥底面ABC ，侧面11AAC C 是菱形，160A AC ∠= ，90ACB ∠= ，2AC BC ==.（1）若D 为1AC 的中点，求证：1AD A B ⊥；（2）求二面角11A AC B --的正弦值.【答案】（1）见解析（2【详解】（1）∵侧面11AAC C 是菱形，∴1AA AC =，∵D 为1AC 的中点，∴1AD A C ⊥，∵侧面11AA C C ⊥底面ABC ，侧面11AA C C 底面ABC AC =，90ACB ∠= ，BC ⊂底面ABC ，∴BC ⊥侧面11AAC C，∵AD ⊂侧面11AAC C ，∴BC AD ⊥，∵1A C BC C = ，∴AD ⊥平面1A BC ，∵1A B ⊂平面1A BC ，∴1AD A B ⊥………………………5分.【2】取11A C 中点E ，连接CE ，从而11CE A C ⊥，又由11A C AC ，则CE AC ⊥，∵侧面11AA C C ⊥底面ABC ，侧面11AA C C 底面ABC AC =，∴CE ⊥底面ABC ，以C 为坐标原点，以CA ，CB ，CE 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如下图：由已知条件和上图可知，(0,0,0)C ，(2,0,0)A ，1A ，1(1,B -，由题意可知，平面1AA C 的一个法向量为(0,2,0)CB →= ………………………7分不妨设111(,,)n x y z →=平面11A CB 的一个法向量，因为1CA →=，1(1,CB →=-，从而111111100020x CA n CB n x y ⎧⎧+=⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=⎪-++=⎪⎩⎩，令1z =，则13x =-，13y =-，即(3,n →=--， ………………………9分设二面角11A AC B --为θ，由图可知θ为钝角，从而||cos |cos ,|||||CB n CB n CB n θ→→→→→→⋅=-<>=-=，即sin θ=故二面角11A ACB --. ………………………12分19. 某校组织围棋比赛，每场比赛采用五局三胜制（一方先胜三局即获胜，比赛结束），比赛采用积分制，积分规则如下：每场比赛中，如果四局及四局以内结束比赛，取胜的一方积3分，负者积0分；五局结束比赛，取胜的一方积2分，负者积1分.已知甲､乙两人比赛，甲每局获胜的概率为12.（1）在一场比赛中，甲的积分为X ，求X 的概率分布列；（2）求甲在参加三场比赛后，积分之和为5分的概率.【答案】（1）见解析（2）3332048【详解】（1）由题意可知，X 可能取值为0，1，2，3 ，当X 0=时，则前三场比赛都输或前三场比赛赢一场且第四场比赛输，则312311115(0)(1C (1)(1222216P X ==-+⋅⋅--=，当1X=时，前四场比赛赢两场且第五场比赛输，则22241113(1)C ((1(1)22216P X ==⋅⋅-⋅-=；当2X =时，前四场比赛赢两场且第五场比赛赢，则22241113(2)C ()(122216P X ==⋅⋅-⋅=，当3X =时，前三场比赛都赢或前三场比赛赢两场且第四场比赛赢，则322311115(3)(C ()(1)222216P X ==+⋅⋅-⋅=，故X 的概率分布列如下：X0123P516316316516………………………6分【小问2详解】设甲在参加三场比赛后，积分之和为5分为事件A ，则甲的三场比赛积分分别为1、1、3或者0、2、3或者1、2、2，故33335535333333()3A 31616161616161616162048P A =⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=，故甲在参加三场比赛后，积分之和为5分为3332048. ………………………12分20．（12分）已知圆C ：22(1)1x y -+=，椭圆M ：22184x y +=．（1）求证：圆C 在椭圆M 内；（2）若圆C 的切线m 与椭圆M 交于P ，Q 两点，F 为椭圆M 的右焦点，求△FPQ 面积的最大值．21．（12分）已知函数2211()ln 24f x x ax x x ax ⎛⎫=--+⎪⎝⎭．（1）若()f x 在(0,)+∞单调递增，求a 的值；（2）当1344a e <<时，设函数()()f x g x x=的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域．解：（1）()()ln f x x a x -'=．因为()f x 在(0,)+∞单调递增，所以()0f x '≥，即()ln 0x a x -≥（ⅰ）当1x >时，ln 0x >，则需0x a -≥，故min a x ≤，即1a ≤；（ⅱ）当1x =时，ln 0x =，则a R ∈；（ⅲ）当01x <<时，ln 0x <，则需0x a -≤，故max a x ≥，即1a ≥．综上述，1a =． ………………4分（2）()11()ln 24f x g x x a x x a x ⎛⎫==--+ ⎪⎝⎭，11()ln 24a g x x x =-+'，21()2a g x x x '=+'．因为1344a e <<，所以()0g x ''>，所以()g x '在(0,)+∞单调递增又因为13(1)0,()04e 4a g a g e ''=-+<=-+>．所以存在0(1,)x e ∈，使()00g x '=，且当()00,x x ∈时，()0g x '<，函数()g x 单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>，函数()g x 调递增．故()g x 最小值为()000011ln ()24g x x a x x a h a ⎛⎫=--+=⎪⎝⎭．由()00g x '=，得00011ln 24a x x x =+，因此000031()ln ln 42h a x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．令11()ln ,(1,)24x x x x x e τ=+∈，则13()ln 024x x τ=+>'，所以()x τ在区间(1,)e 上单调递增，又因为1344a e <<，且13(1),()44e e ττ==，所以01x e <<，即0x 取遍(1,)e 的每一个值，令2311131()ln ln (1),()ln ln (2ln 3)(ln 1)0422444x x x x x x e x x x x x ϕϕ⎛⎫=-<<='--+=-+->⎪⎝⎭函数()x ϕ在(1,)e 单调递增．又e (1)0,()4e ϕϕ==，所以e0()4x ϕ<<，故函数()h a 的值域为e 0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭．. ………………………12分22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标xOy 中，直线l的参数方程为12x a y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数，a 为常数）．以原点O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为24cos sin θρθ=．(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于AB 、两点，若16AB =，求a 的值．（10y -=,24y x =;(2)1a =23．【选修4-5：不等式选讲】已知函数()||2|1|f x x a x =++-．（1）当2a =时，求不等式()4f x ≤的解集；（2）若[1,2]x ∃∈，使得不等式2()f x x >成立，求实数a 的取值范围．解：（1）当2a =时，()|2|2|1|f x x x =++-．当2x ≤-时，()2224f x x x =---+≤，解得43x ≥-，此时x ∈∅；当21x -<≤时，()2224f x x x =+-+≤，解得0x ≥，此时01x ≤≤；当1x >时，()2224f x x x =++-≤，解得43x ≤，此时413x <≤．因此，当2a =时，不等式()4f x ≤的解集为40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦…………….5分（2）当12x ≤≤时，2||2|1|x a x x ++->可化为2||22x a x x +>-+，所以，222x a x x +>-+或222x a x x +<-+-，即存在[1,2]x ∈，使得232a x x >-+或22a x x <-+-．22313224a x x x ⎛⎫>-+=-- ⎪⎝⎭，因为[1,2]x ∈，所以21324x x -+≥-，则14a >-，2217224a x x x ⎛⎫<-+-=--- ⎪⎝⎭，因为[1,2]x ∈，所以222x x -+-≤-，所以2a <-，因此，实数a 的取值范围为1(,2),4⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭ ．。

江西省宜春市八校2023届高三第一次联考数学(理)试题(含解析)

江西省宜春市八校2023届高三第一次联考数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A．25B．24C．55．若π13πtan sin123α⎛⎫-=⎪⎝⎭，则πtan4α⎛⎫-=⎪⎝⎭（）A．39-B．35-C．396．2022年男足世界杯于2022年11月21日至2022年12月17排甲､乙等5名志愿者去A，B，C三个足球场服务，要求每个足球场都有人去，每人A ．62B ．20239．已知函数()f x 满足()()1ln f x x f x x'+1⎛⎫1⎛⎫二、填空题14．已知函数()3sin 4cos f x x x =+，且对任意实数x 都有()(2)(R)f x f x αα=-∈sin 2α的值为__________．15．已知一组数据x ，x ，x ，…，x 的平均数为x ，方差为2s .若31x +，3x +(1)若BE ＝B 1E ，证明：CC 1⊥(2)若112BE B E =，求二面角19．已知椭圆C :(22221x y a b+=(1)求椭圆C 的方程；参考答案：326x y --的几何意义是曲线上的点到直线3260x y --=的距离的两倍，双曲线的渐近线3y x =与3所以曲线在第一、三象限上的点到在12F PF △中，由余弦定理得4c 可得()22422cos3c m n mn mn =-+-即得2222544487916c a a a =+⨯=279c =，所以，(PC PB PA PB OA ⋅=-⋅=- ()1OP OA OB OA OB =⋅+-⋅-，因为()22OA OB OPOA OB +-=+因为四边形ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥，11BC B C ==因为1AA BD ⊥，1AA ，AC ⊂则131,,33E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以51,3AE ⎛= ⎝ 易知平面11ACC A 的一个法向量为则100AC m AE m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即3305333y z x y ⎧+=⎪⎨++⎪⎩21．(1)(23)3n n a =-+，1,2,3,n =(2)证明见解析【分析】（1）由题意可得13n a +-=比为23-的等比数列，由等比数列的通项公式即可求出。