2.3.2矩阵乘法的简单性
矩阵乘法数量积_概述说明以及解释
矩阵乘法数量积概述说明以及解释1. 引言1.1 概述矩阵乘法数量积是线性代数中的一个重要概念，它用于计算两个矩阵之间的相乘结果。
通过对每个元素按一定规则进行乘法和求和运算，数量积可以得到一个新的矩阵。
这种操作在各个学科领域有广泛的应用，包括数学、物理和工程等。
1.2 文章结构本文将从以下几个方面对矩阵乘法数量积进行详细说明。
首先，我们将介绍矩阵乘法的基本概念，包括定义和性质。
然后，我们将解释矩阵乘法数量积的原理，并说明其实现过程。
接下来，我们将探讨矩阵乘法数量积在不同领域中的应用情况，包括数学、物理和工程等方面。
此外，本文还将介绍一些常见的算法和计算优化技巧，以提高矩阵乘法数量积的效率。
最后，在结论部分，我们会总结以上内容，并展望未来矩阵乘法数量积的发展趋势并给出相关建议。
1.3 目的本文旨在深入探讨矩阵乘法数量积的概念和原理，以及其在不同领域中的应用。
通过介绍常用的算法和计算优化技巧，我们希望读者能够了解到如何提高矩阵乘法数量积的计算效率。
同时，本文还旨在为未来研究者提供一些思考点，并展望矩阵乘法数量积在未来可能的发展方向。
2. 矩阵乘法数量积的定义与原理2.1 矩阵乘法的基本概念矩阵乘法是指将两个矩阵相乘得到一个新的矩阵的操作。
如果矩阵A是一个m 行n列的矩阵，而矩阵B是一个n行p列的矩阵，那么它们的乘积C将是一个m行p列的矩阵。
在此过程中，对应位置上两个矩阵元素的相乘并求和得到结果矩阵C中对应位置上的元素。
2.2 数量积的定义与性质数量积也被称为内积、点积或标量积。
对于两个向量a和b，它们之间的数量积表示为a∙b。
数量积满足以下性质：- 若a和b平行（夹角为0度），则a∙b = |a|*|b|- 若a和b垂直（夹角为90度），则a∙b = 0- 对任意向量c和标量k，有(kc)∙(kc) = k^2 * (c∙c)2.3 矩阵乘法数量积的原理解释矩阵乘法数量积可视作将两个向量进行投影、放缩和重新组合的过程。
线性代数与解析几何 第二章 矩阵
求 AB . 2 3 1 1 2 ×1 + 3× 0 +1× 2 4 解 0 = 1×1 + 2 × 0 + (−1) × 2 = −1 1 2 −1 0 3 1 2 0 ×1 + 3× 0 +1× 2 2
运算性质: 运算性质: A + B = B + A, ( A + B ) + C = A + ( B + C )
A + 0 = A,
A + (− A) = 0
8
2.2.2 运算性质:
数乘
kA = k(aij )m×n = (kaij )m×n
k(lA = (kl) A ) k(A+ B) = kA+ kB (k +l)A = kA+lA
1 2 −1 3 −7 1 例4 设 A = , B = , C = 1 2, 2 4 −2 1
求 AB 及 AC. AC. 1 2−1 3 −5 5 解 AB = −2 1 = −10 10 , 2 4
k =1
s
L L L L a a L a is i1 i2 L L L L
M b j 1 M b 2j M M M bs j
M M M = L cij L M M M
总结如下: 总结如下: 可乘原则: 前列数=后行数. 可乘原则: 前列数=后行数. 乘积元素: 乘积元素: cij 是 A 的第 i 行的元素与B 行的元素与B 的第 j 列对应元素乘积之和. 列对应元素乘积之和. 乘积阶数：AB 阶数为前行数×后列数. 阶数为前行数×后列数. 乘积阶数：
2.2矩阵的运算
定义矩阵的差为：A - B = A + (-B) .
例如，C
=
9 4
53.
C 的负矩阵为:
C
=
9 4
35 .
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二、数与矩阵相乘（数乘）
定义4.4 设A=(aij)为mn矩阵 a11 a12 a1n
A= a21 a22 a2n ， am1 am2 amn
… am2 ……
。
am1 am2 … amn
a1n a2n … amn
例如，设x=(x1 x2 xn)，y=(y1 y2 yn)，则
x1
x1y1 x1y2 … x1yn
xTy =
x2
(y1 y2 yn ) =
x2y1 x2y2 … x2yn … … ……
。
xn
xny1 xny2 … xnyn
(AB)C=C(AB)。
(4) k(AB)=(kA)B=A(kB)。
证：因为CA=AC，CB=BC，
所以有
应注意的问题：
(1) ABBA ；
(AB)C =ACBC
(2) AC=BC / A=B。 (3) AB=O / A=O或B=O。
=CACB =C(AB)， (AB)C =A(BC) =A(CB) =(AC)B =(CA)B =C(AB)。
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23 例5．设 A= 1 2 ， B = 1 2 3 ，求AB及BA。
2 1 0 31
23
8 7 6
解： AB= 1 2 1 2 3 = 3 0 3 ；
线性代数第二章
s
cij ai1b1 j ai2b2 j aisbsj aikbkj (i 1，2 ， ，m ；j 1，2 ， ，n) ．
k 1
注：（1）只有当左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘，否则 AB
没有意义．
（2）矩阵 C 中元素 cij 等于左矩阵 A 的第 i 行与右矩阵 B 的第 j 列对应元素乘积之和．
（3）矩阵加减法与矩阵数乘统称为矩阵的线性运算．
2.2.2 数与矩阵相乘
矩阵数乘的性质
（1）分配律： k( A B) kA kB，(k l)A kA lA ； （2）结合律： (kl) A k(lA) ； （3）1A A，0A O ．
2.2.2 数与矩阵相乘
例题
3 1 2
7 5 4
a11 a12
a21
a22
am1 am2
a1n a11 a12
a2n
或
a21
a22
amn
am1
am 2
a1n
a2n
，
amn
称为 m 行 n 列矩阵，简称 m n 矩阵．通常用大写字母 A，B ，C ， 表示矩阵， aij 表示
矩阵中第 i 行、第 j 列的元素，一个 m n 矩阵可以简记为 A=Am×n=(aij) m×n
a11
只有一列的矩阵
A
a21
称为列矩阵或列向量。
am1
注：列矩阵也可记为 A a11 ，a12 ， ，a1n 。
2.1.2 几种特殊形式的矩阵
3．零矩阵
所有元素全为零的矩阵称为零矩阵， m n 零矩阵记为 Omn 或简记为 O ． 4．方阵
对于矩阵 Amn ，当 m n 时，称为 n 阶方阵，记作 Ann 或 An ，即
两个2乘以2矩阵相乘公式_解释说明
两个2乘以2矩阵相乘公式解释说明1. 引言1.1 概述在线性代数中，矩阵相乘是一项非常重要的运算。
特别是当涉及到多个矩阵的乘法时，理解相乘公式和对其进行正确应用至关重要。
本文将详细解释和说明两个2乘以2矩阵相乘的公式及其相关概念。
1.2 文章结构本文将按照如下结构来讲解两个2乘以2矩阵相乘的公式：- 引言：提供文章的概述、目的和结构；- 两个2乘以2矩阵相乘公式的解释说明：介绍矩阵相乘的基本概念、步骤和规则，并给出实际应用举例；- 示例分析：对具体案例进行分析，包括第一个矩阵、第二个矩阵和结果矩阵的含义和计算过程等内容；- 结论与展望：总结两个2乘以2矩阵相乘公式的要点和步骤，并讨论是否适用于更高维度的矩阵相乘。
1.3 目的本文旨在提供读者对两个2乘以2矩阵相乘公式的深入理解，并通过示例和解释说明帮助读者正确运用该公式。
同时，我们也将考虑这些概念和方法是否适用于更高维度的矩阵相乘问题，并探讨可能存在的问题与挑战。
（注：本文所涉及的矩阵相乘公式均为普通文本格式，请参考上述目录结构中的内容）2. 两个2乘以2矩阵相乘公式的解释说明:矩阵相乘是线性代数中基本的运算之一。
当我们想要将两个2乘以2的矩阵相乘时，需要遵循一定的步骤和规则。
2.1 矩阵相乘的基本概念:在进行矩阵相乘之前，首先需要了解两个基本概念：行和列。
对于一个矩阵来说，行是指从左到右排列的元素集合，而列是指从上到下排列的元素集合。
2.2 两个2乘以2矩阵相乘的步骤和规则:步骤一: 确认两个矩阵是否满足相乘条件。
在进行矩阵相乘时，第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数。
步骤二: 逐行逐列地进行计算。
假设有两个2乘以2的矩阵A和B，则它们可以表示为：A = [[a, b], [c, d]]B = [[e, f], [g, h]]那么它们的点积可以通过以下公式计算得出：AB = [[a*e + b*g, a*f + b*h], [c*e + d*g, c*f + d*h]]这里，每个结果矩阵的元素都是通过将第一个矩阵的行与第二个矩阵的对应列进行乘法运算，并将结果相加得到的。
矩阵与变换
对应的矩阵叫做切变变换矩阵。
2.3 变换的复合与矩阵的乘法
2.3.1 矩阵乘法的概念 2.3.2 矩阵乘法的的简单性质
建构数学
规定：矩阵乘法的法则是:
a c
b e g d
f ae + bg af + bh ce + dg cf + dh h
一般地，对于平面上的任意一点（向量） ( x, y ), 若按照对应法则T，总能对应唯一的一个 平面点(向量） x, y ), 则称T 为一个变换，简记 （ 为 T： , y ) x, y )， (x （ 或 x x T： . y y
一般地，对于平面向量的变换T，如果变换 规则为 x x ax + by T： y , 坐标变换的形式 y cx + dy 那么，根据二阶矩阵与向量的乘法规则可以改写为 x x a b x T： y y 矩阵乘法的形式 y c d 的矩阵形式，反之亦然（a, b, c, d R ).
建构数学
设矩阵A＝
f (l )
a b R，我们把行列式 c d ，l
l a
c
b
l d 称为A的特征多项式。
l 2 (a + d )l + ad bc
分析表明，如果l是矩阵A的特征值，则f (l)0 x0 此时，将l代入方程组(*)，得到一组非零解 y0 x0 即 为矩阵A的属于l的一个特征向量. y0
切变变换
矩阵
1 k 0 1 把平面上的点P(x,
y)沿x轴方向
平移|ky|个单位: 当ky>0时，沿x轴正方向移动； 当ky<0时，沿x轴负方向移动； 当ky=0时，原地不动. 在此变换作用下，图形在x轴上的点是不动点。
2019-2020年江苏数学新同步习题选修试题：矩阵乘法的概念(苏教版)
2.3.1 矩阵乘法的概念 2.3.2 矩阵乘法的简单性质1.熟练掌握两个矩阵的乘法法则，并能从变换的角度理解它们.2.会从几何变换的角度求MN 的乘积矩阵.3.通过具体的几何图形变换，理解矩阵乘法不满足交换律.[基础·初探]1.矩阵的乘法一般地，对于矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11 b 12b 21 b 22，规定乘法法则如下： MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11 b 12b 21 b 22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11b 11＋a 12b 21 a 11b 12＋a 12b 22a 21b 11＋a 22b 21 a 21b 12＋a 22b 22. 2.矩阵乘法的几何意义(1)变换的复合：在数学中，一一对应的平面几何变换常可以看做是伸压、反射、旋转、切变变换的一次或多次复合，而伸压、反射、切变等变换通常叫做初等变换；对应的矩阵叫做初等变换矩阵.(2)矩阵乘法的几何意义：矩阵乘法MN 的几何意义为：对向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 连续实施的两次几何变换(先T N后T M )的复合变换.(3)当连续对向量实施n ·(n ＞1，且n ∈N *)次变换T M 时，对应地我们记M n ＝.3.矩阵乘法的运算性质(1)矩阵乘法不满足交换律对于二阶矩阵A、B来说，尽管AB、BA均有意义，但可能AB≠BA.(2)矩阵乘法满足结合律设A、B、C均为二阶矩阵，则一定有(AB)C＝A(BC).(3)矩阵乘法不满足消去律设A、B、C为二阶矩阵，当AB＝AC时，可能B≠C.[思考·探究]1.矩阵的乘法与实数的乘法有什么异同？【提示】(1)运算条件不同，任何两个实数均可作乘法，而两个矩阵只有当前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相同时，才能作乘法.(2)从运算律上看，实数的乘法满足交换律、结合律及消去律，而矩阵的乘法只满足结合律.2.矩阵的乘法与变换的复合有什么关系？简单变换与复合变换有什么关系？【提示】矩阵的乘法对应着变换的复合，这样使得若干个简单变换可以复合成较为复杂的变换；反过来较为复杂的变换可以分解成若干个简单的变换.3.矩阵乘法MN与NM的几何意义一致吗？为什么？【提示】不一致；因为前一个对应着先T N后T M的两次几何变换，而后者对应着先T M后T N的两次几何变换.[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：矩阵的乘法运算(1)已知A＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1000，B＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0001，计算AB.(2)已知A＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002，B＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－110，计算AB，BA.(3)已知A＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12121212，B＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11－1－1，计算A2、B2.【精彩点拨】利用矩阵乘法法则计算，根据矩阵乘法的几何意义说明.【自主解答】(1)AB＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1000⎣⎢⎡⎦⎥⎤0001＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×0＋0×01×0＋0×10×0＋0×00×0＋0×1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0000.(2)AB＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－110＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×0＋0×11×（－1）＋0×00×0＋2×10×（－1）＋2×0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－120，BA＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－110⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0×1＋（－1）×00×0＋（－1）×21×1＋0×01×0＋0×2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－210.(3)A2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12121212⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12121212＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12121212，B2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11－1－1⎣⎢⎡⎦⎥⎤11－1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0000.这些计算只需利用矩阵的乘法公式即可，但对揭示矩阵乘法的性质却有着重要的意义.(1)中尽管A、B均为非零矩阵，但它们的乘积却是零矩阵；(2)中AB≠BA；(3)中尽管B≠C，但有AB＝AC，这与一般数乘有着本质的区别；(4)中A2＝A，B2＝0，这里0是一个二阶零矩阵.证明下列等式并从几何变换的角度给予解释. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 301⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 1301⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0 【导学号：30650025】【解】 ∵左＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×1＋3×0 1×0＋3×00×1＋1×0 0×0＋1×0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 0， 右＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1×1＋13×0 1×0＋13×0 0×1＋1×0 0×0＋1×0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0， ∴左＝右. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000对应的变换将平面上的点垂直投影到x 轴，而x 轴上的点沿x 轴的切变变换是不动点.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 30 1，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 130 1均为沿x 轴的切变变换，自然有等式成立. 矩阵乘法的简单性质，变换T 1所对应的矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10012，变换T 2所对应的矩阵N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，计算MN 、NM ，比较它们是否相同，并从几何变换的角度予以解释.【精彩点拨】 利用具体的几何变换验证.【自主解答】 MN ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 －112 0， NM ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 －121 0. 故MN ≠NM .从几何变换的角度来看，矩阵M 表示T 1为向x 轴压缩为一半的变换，矩阵N 表示T 2为逆时针旋转90°的变换.这样MN 表示矩阵ABCD 先经T 2，再经T 1的变换，变换结果如图(1)所示：而NM 表示矩形ABCD 先经T 1，再经T 2的变换，变换结果如图(2)所示.(2)从图(1)以及图(2)可知，MN 和NM 表示的不是同一个变换.一个旋转变换与一个伸压变换的乘积一般不满足交换律.但两个旋转变换、两个反射变换满足交换律.算式⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12表示AB ＝AC ，但A ≠0且有B ≠C ，请通过计算验证这个结果，并从几何上给予解释.【导学号：30650026】【解】 左边＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×1＋0×0 1×0＋0×20×1＋0×0 0×0＋0×2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1000 右边＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1×1＋0×0 1×0＋0×120×1＋0×0 0×0＋0×12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000.。
分块矩阵乘法的规则___解释说明
分块矩阵乘法的规则解释说明1. 引言1.1 概述分块矩阵乘法是一种重要的矩阵运算方法，适用于大规模的线性代数计算问题。
它通过将原始矩阵划分成多个小块，并利用块矩阵乘法规则进行计算，将复杂度降低到可接受的水平。
本文将深入探讨分块矩阵乘法的规则、应用和优势。
1.2 文章结构本文总共包括五个部分。
首先，在引言部分概述了文章的背景和目的。
其次，在第二部分中介绍了分块矩阵乘法规则的基本概念，包括定义、常用算法及其在实际应用中的优势。
接下来，在第三部分中详细解释和说明了分块矩阵乘法规则，包括定义和表示方法以及计算过程解释，重点关注该方法在求解大规模线性方程组中的应用解释。
第四部分通过简单与复杂实例展示了该规则在实际工程中的应用，并讨论了常见问题和挑战以及相应策略。
最后，在结论部分对分块矩阵乘法规则进行总结，并展望了未来的发展和研究方向。
1.3 目的本文的目的是深入解析分块矩阵乘法规则，从理论和实际应用两个角度对其进行详细说明。
通过本文的阐述，读者将能够全面了解分块矩阵乘法规则的基本概念、计算过程和优势，并获得应用该规则解决大规模线性方程组时所需的相关知识。
同时，本文还希望为读者提供一些实例和案例，在实际工程中更好地理解和应用分块矩阵乘法规则。
最终，通过对该方法的全面介绍，本文旨在促进分块矩阵乘法规则在未来的发展与研究中起到积极推动作用。
2. 分块矩阵乘法规则的基本概念2.1 什么是分块矩阵乘法分块矩阵乘法是一种在矩阵运算中常用的技术方法，用于加速大规模矩阵乘法的计算。
它将原始的大型矩阵分割成较小的子矩阵，并通过定义适当的乘法规则来对这些子矩阵进行计算。
最后，将这些子矩阵相乘得到结果，从而减少了计算量。
2.2 常用的分块矩阵乘法算法根据不同的情况和需求，可使用多种不同的分块矩阵乘法算法。
一些常用的算法包括：- 块内顺序计算：将每个子矩阵内部元素相乘之后再相加求和。
- 紧凑布局：将两个子矩阵合并为一个大型临时数组，在此基础上进行计算。
三元组矩阵乘法
三元组矩阵乘法1. 任务背景矩阵是线性代数中一个非常重要的概念，广泛应用于各个领域，包括数学、物理、计算机科学等。
矩阵乘法是其中的一个基本运算，它在很多领域都有着重要的应用。
而三元组矩阵乘法则是矩阵乘法的一种特殊形式，它可以更加高效地表示和计算稀疏矩阵的乘法运算。
2. 任务介绍2.1 什么是三元组矩阵？三元组矩阵是一种特殊的矩阵表示方法，适用于稀疏矩阵（大部分元素为0）的存储和计算。
在三元组矩阵中，只存储非零元素的值及其对应的行列索引，而忽略了所有零元素。
这样可以大大减少存储空间和计算复杂度。
三元组矩阵的存储方式通常采用三个数组来表示，分别是：values、row_indices和col_indices。
其中，values数组存储非零元素的值，row_indices数组存储非零元素所在的行索引，col_indices数组存储非零元素所在的列索引。
2.2 三元组矩阵乘法的定义给定两个三元组矩阵A和B，它们的乘积C的定义如下：C(i, j) = sum(A(i, k) * B(k, j)) for k in range(0, n)其中，n表示矩阵的维度，A(i, k)表示矩阵A的第i行第k列的元素，B(k, j)表示矩阵B的第k行第j列的元素。
2.3 三元组矩阵乘法的算法三元组矩阵乘法的算法可以分为两个步骤：稀疏矩阵的转置和乘法计算。
2.3.1 稀疏矩阵的转置为了实现高效的三元组矩阵乘法，需要先将矩阵B进行转置。
转置后的矩阵B的非零元素行列索引互换，即原来的B(k, j)变为B(j, k)。
2.3.2 乘法计算在转置后的矩阵B上进行乘法计算。
对于矩阵A的每一行i，找到矩阵B中列索引等于i的所有非零元素，然后将这些元素与A(i, k)相乘，并将结果累加得到C(i, j)。
2.4 三元组矩阵乘法的优势相比于传统的矩阵乘法算法，三元组矩阵乘法具有以下优势：•节省存储空间：三元组矩阵只存储非零元素，大大减少了存储空间的占用。
高等数学矩阵的原理是什么
高等数学矩阵的原理是什么矩阵是一种很常见的数学工具，广泛用于各个领域，包括线性代数、微积分、物理、工程科学、计算机科学等。
高等数学中，矩阵被广泛地用于解线性方程组、行列式的求解、向量空间的定义、本征值问题的解答等。
本篇文章将介绍矩阵的原理及其应用。
1. 矩阵的基本概念矩阵是一个矩形的数字阵列，其中的数被称为矩阵元素，通常用大写字母表示。
例如：\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix}在矩阵的每个元素上，我们可以进行一些基本的运算，如加、减、数乘等。
两个矩阵相加时，需要满足这两个矩阵的维度相同。
数乘时，我们将矩阵中的每个元素乘以一个数。
2. 矩阵的基本性质2.1 矩阵的加法和数乘是可交换的设A 和B 是m\times n 的矩阵，\lambda,\mu 是任意常数，则有：A+B = B+A ,\lambda(\mu A) = (\lambda\mu)A 。
2.2 矩阵的加法和数乘满足分配律和结合律设A, B, C 是m\times n 的矩阵，\lambda , \mu 是任意常数，则有：\lambda(A+B) = \lambda A + \lambda B ,(\lambda+\mu)A = \lambda A + \mu A ,(\lambda\mu)A = \lambda (\mu A) ,1A = A 。
2.3 矩阵乘法的结合律设A 是m\times n 的矩阵，B 是n\times p 的矩阵，C 是p\times q 的矩阵，则有：(AB)C=A(BC)。
(完整版)高中数学苏教版教材目录(必修+选修)
苏教版-----------------------------------必修1----------------------------------- 第1章集合1.1集合的含义及其表示1.2子集、全集、补集1.3交集、并集第2章函数2.1函数的概念2.1.1函数的概念和图象2.1.2函数的表示方法2.2函数的简单性质2.2.1函数的单调性2.2.2函数的奇偶性2.3映射的概念第3章指数函数、对数函数和幂函数3.1指数函数3.1.1分数指数幂3.1.2指数函数3.2对数函数3.2.1对数3.2.2对数函数3.3幂函数3.4函数的应用3.4.1函数与方程3.4.2函数模型及其应用-----------------------------------必修2----------------------------------- 第1章立体几何初步1.1空间几何体1.1.1棱柱、棱锥和棱台1.1.2圆柱、圆锥、圆台和球1.1.3中心投影和平行投影1.1.4直观图画法1.2点、线、面之间的位置关系1.2.1平面的基本性质1.2.2空间两条直线的位置关系1.平行直线2.异面直线1.2.3直线与平面的位置关系1.直线与平面平行2.直线与平面垂直1.2.4平面与平面的位置关系1.两平面平行2.平面垂直1.3空间几何体的表面积和体积1.3.1空间几何体的表面积1.3.2空间几何体的体积第2章平面解析几何初步2.1直线与方程2.1.1直线的斜率2.1.2直线的方程1.点斜式2.两点式3.一般式2.1.3两条直线的平行与垂直2.1.4两条直线的交点2.1.5平面上两点间的距离2.1.6点到直线的距离2.2圆与方程2.2.1圆的方程2.2.2直线与圆的位置关系2.2.3圆与圆的位置关系2.3空间直角坐标系2.3.1空间直角坐标系2.3.2空间两点间的距离-----------------------------------必修3----------------------------------- 第1章算法初步1.1算法的意义1.2流程图1.2.1顺序结构1.2.2选择结构1.2.3循环结构1.3基本算法语句1.3.1赋值语句1.3.2输入、输出语句1.3.3条件语句1.3.4循环语句1.4算法案例第2章统计2.1抽样方法2.1.1简单随机抽样1.抽签法2.随机数表法2.1.2系统抽样2.1.3分层抽样2.2总体分布的估计2.2.1频率分布表2.2.2频率分布直方图与折线图2.2.3茎叶图2.3总体特征数的估计2.3.1平均数及其估计2.3.2方差与标准差2.4线性回归方程第3章概率3.1随机事件及其概率3.1.1随机现象3.1.2随机事件的概率3.2古典概型3.3几何概型3.4互斥事件-----------------------------------必修4----------------------------------- 第1章三角函数1.1任意角、弧度1.1.1任意角1.1.2弧度制1.2任意角的三角函数1.2.1任意角的三角函数1.2.2同角三角函数关系1.2.3三角函数的诱导公式1.3三角函数的图象和性质1.3.1三角函数的周期性1.3.2三角函数的图象与性质1.3.3函数y=Asin(ωx+ψ)的图象1.3.4三角函数的应用第2章平面向量2.1向量的概念及表示2.2向量的线性运算2.2.1向量的加法2.2.2向量的减法2.2.3向量的数乘2.3向量的坐标表示2.3.1平面向量基本定理2.3.2平面向量的坐标运算2.4向量的数量积2.5向量的应用第3章三角恒等变换3.1两角和与差的三角函数3.1.1两角和与差的余弦3.1.2两角和与差的正弦3.1.3两角和与差的正切3.2二倍角的三角函数3.3几个三角恒等式-----------------------------------必修5----------------------------------- 第1章解三角形1．1正弦定理1．2余弦定理1．3正弦定理、余弦定理的应用第2章数列2．1数列2．2等差数列2.2.1等差数列的概念2.2.2等差数列的通项公式2.2.3等差数列的前n项和2．3等比数列2.3.1等比数列的概念2.3.2等比数列的通项公式2.3.3等比数列的前n项和第3章不等式3．1不等关系3．2一元二次不等式3．3二元一次不等式组与简单的线性规划问题3.3.1二元一次不等式表示的平面区域3.3.2二元一次不等式组表示的平面区域 3.3.3简单的线性规划问题3．4基本不等式2b a ab +≤)0,0(≥≥b a 3.4.1基本不等式的证明3.4.2基本不等式的应用-----------------------------------选修1-1-----------------------------------第1章 常用逻辑用语1．1命题及其关系1.1.1四种命题1.1.2充分条件和必要条件 1．2简单的逻辑联结词1．3全称量词与存在量词1.3.1量词1.3.2含有一个量词的命题的否定 第2章 圆锥曲线与方程 2．1圆锥曲线2．2椭圆2.2.1椭圆的标准方程2.2.2椭圆的几何性质2．3双曲线2.3.1双曲线的标准方程2.3.2双曲线的几何性质 2．4抛物线2.4.1抛物线的标准方程2.4.2抛物线的几何性质 2．5圆锥曲线的共同性质 第3章 导数及其应用3．1导数的概念3.1.1平均变化率3.1.2瞬时变化率——导数3．2导数的运算3.2.1常见函数的导数3.2.2函数的和、差、积、商的导数 3．3导数在研究函数中的应用3.3.1单调性3.3.2极大值和极小值3.3.3最大值和最小值3．4导数在实际生活中的应用-----------------------------------选修1-2-----------------------------------第1章 统计案例 1．1独立性检验 1．2回归分析第2章 推理与证明2．1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理2.1.2演绎推理2.1.3推理案例欣赏 2．2直接证明与间接证明2.2.1直接证明2.2.2间接证明 第3章 数系的扩充与复数的引入 3．1数系的扩充 3．2复数的四则运算 3．3复数的几何意义 第4章 框图 4．1流程图 4．2结构图-----------------------------------选修2-1-----------------------------------第1章 常用逻辑用语1．1命题及其关系1.1.1四种命题1.1.2充分条件和必要条件 1．2简单的逻辑联结词1．3全称量词与存在量词1.3.1量词1.3.2含有一个量词的命题的否定 第2章 圆锥曲线与方程 2．1圆锥曲线2．2椭圆2.2.1椭圆的标准方程2.2.2椭圆的几何性质2．3双曲线2.3.1双曲线的标准方程2.3.2双曲线的几何性质 2．4抛物线2.4.1抛物线的标准方程2.4.2抛物线的几何性质 2．5圆锥曲线的统一定义2．6曲线与方程2.6.1曲线与方程2.6.2求曲线的方程2.6.3曲线的交点 第3章 空间向量与立体几何3．1空间向量及其运算3.1.1空间向量及其线性运算3.1.2共面向量定理3.1.3空间向量基本定理3.1.4空间向量的坐标表示3.1.5空间向量的数量积 3．2空间向量的应用3.2.1直线的方向向量与平面的法向量3.2.2空间线面关系的判定3.2.3空间的角的计算-----------------------------------选修2-2-----------------------------------第一章 导数及其应用1．1导数的概念1.1.1平均变化率1.1.2瞬时变化率——导数1．2导数的运算1.2.1常见函数的导数1.2.2函数的和、差、积、商的导数1.2.3简单复合函数的导数1．3导数在研究函数中的应用1.3.1单调性1.3.2极大值和极小值1.3.3最大值和最小值 1．4导数在实际生活中的应用1．5定积分1.5.1曲边梯形的面积1.5.2定积分1.5.3微积分基本定理 第二章 推理与证明2．1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理2.1.2演绎推理2.1.3推理案例欣赏 2．2直接证明与间接证明2.2.1直接证明2.2.2间接证明 2．3数学归纳法第三章 数系的扩充与复数的引入 3．1数系的扩充 3．2复数的四则运算 3．3复数的几何意义-----------------------------------选修2-3-----------------------------------第一章 计数原理 1．1两个基本原理 1．2排列 1．3组合1．4计数应用题1．5二项式定理1.5.1二项式定理1.5.2二项式系数的性质及用第二章概率2．1随机变量及其概率分布2．2超几何分布2．3独立性2.3.1条件概率2.3.2事件的独立性2．4二项分布2．5随机变量的均值与方差2.5.1离散型随机变量的均值2.5.2离散型随机变量的方差与标准差2．6正态分布第三章统计案例3．1独立性检验3．2回归分析-----------------------------------选修4-1----------------------------------- 1.1 相似三角形的进一步认识1.1.1平行线分线段成比例定理1.1.2相似三角形1.2 圆的进一步认识1.2.1圆周角定理1.2.2圆的切线1.2.3圆中比例线段1.2.4圆内接四边形1.3 圆锥截线1.3.1球的性质1.3.2圆柱的截线1.3.3圆锥的截线学习总结报告-----------------------------------选修4-2----------------------------------- 2.1 二阶矩阵与平面向量2.1.1矩阵的概念2.1.2二阶矩阵与平面列向量的乘法2.2 几种常见的平面变换2.2.1恒等变换2.2.2伸压变换2.2.3反射变换2.2.4旋转变换2.2.5投影变换2.2.6切变变换2.3 变换的复合与矩阵的乘法2.3.1矩阵乘法的概念2.3.2矩阵乘法的简单性质2.4 逆变换与逆矩阵2.4.1逆矩阵的概念2.4.2二阶矩阵与二元一次方程组2.5 特征值与特征向量2.6 矩阵的简单应用学习总结报告-----------------------------------选修4-4----------------------------------- 4.1 直角坐标系4.1.1直角坐标系4.1.2极坐标系4.1.3球坐标系与柱坐标系4.2 曲线的极坐标方程4.2.1曲线的极坐标方程的意义4.2.2常见曲线的极坐标方程4.3 平面坐标系中几种常见变换4.3.1平面直角坐标系中的平移变换4.3.2平面直角坐标系中的伸缩变换4.4 参数方程4.4.1参数方程的意义4.4.2参数方程与普通方程的互化4.4.3参数方程的应用4.4.4平摆线与圆的渐开线学习总结报告-----------------------------------选修4-5----------------------------------- 5.1 不等式的基本性质5.2 含有绝对值的不等式5.2.1含有绝对值的不等式的解法5.2.2含有绝对值的不等式的证明5.3 不等式的证明5.3.1比较法5.3.2综合法和分析法5.3.3反证法5.3.4放缩法5.4 几个著名的不等式5.4.1柯西不等式5.4.2排序不等式5.4.3算术-几何平均值不等式5.5 运用不等式求最大（小）值5.5.1运用算术-几何平均值不等式求最大（小）值5.5.2运用柯西不等式求最大（小）值5.6 运用数学归纳法证明不等式学习总结报告。
线性代数基础知识（三）——矩阵乘法
线性代数基础知识（三）——矩阵乘法矩阵A ∈ R m×n 和B ∈ R n×p 的乘积为矩阵：其中：.请注意，矩阵A的列数应该与矩阵B的⾏数相等，这样才存在矩阵的乘积。
有很多种⽅式可以帮助我们理解矩阵乘法，这⾥我们将通过⼀些例⼦开始学习。
2.1向量的乘积给定两个向量x，y ∈ R n，那么x T y的值，我们称之为向量的内积或点积。
它是⼀个由下式得到的实数：.可以发现，内积实际上是矩阵乘法的⼀个特例。
通常情况下x T y = y T x。
对于向量x ∈ R m， y ∈ R n（⼤⼩不必相同），xy T ∈ R m×n称为向量的外积。
外积是⼀个矩阵，其中中的每个元素，都可以由得到，也就是说，.我们举个例⼦说明外积有什么⽤。
令1 ∈ R n 表⽰所有元素都是1的n维向量，然后将矩阵A ∈ R m×n 的每⼀列都⽤列向量x ∈ R m表⽰。
使⽤外积，我们可以将A简洁的表⽰为：.2.2矩阵-向量的乘积对于⼀个矩阵A ∈ R m×n 和向量x ∈ R n，他们的乘积为向量y = Ax ∈ R m。
理解矩阵向量乘法的⽅式有很多种，我们⼀起来逐⼀看看。
以⾏的形式书写A，我们可以将其表⽰为Ax的形式：.也就是说，y第i⾏的元素等于A的第i⾏与x的内积 .咱们换个⾓度，以列的形式表⽰A，我们可以看到：.换⾔之，y是A列的线性组合，线性组合的系数就是x的元素。
上⾯我们看到的是右乘⼀个列向量，那左乘⼀个⾏向量嘞？对于A ∈ R m×n，x ∈ R m， y ∈ R n，这个式⼦可以写成y T = x T A 。
向之前那样，我们有两种⽅式表达y T，这取决于表达A的⽅式是⾏还是列。
第⼀种情况是把A以列的形式表⽰：这个式⼦说明y T 第i列的元素等于向量x与A的第i列的内积。
我们也⼀样可以把A表⽰成⾏的形式，来说明向量-矩阵乘积。
我们可以看到y T 是A的⾏的线性组合，线性组合的系数是x的元素。
矩阵的概念及其线性运算
.第二章 矩阵§2.1 矩阵的概念及其线性运算学习本节内容，特别要注意与行列式的有关概念、运算相区别。
一．矩阵的概念矩阵是一张简化了的表格,一般地⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211 称为n m ⨯矩阵,它有m 行、n 列，共n m ⨯个元素，其中第i 行、第j 列的元素用j i a 表示。
通常我们用大写黑体字母A 、B 、C ……表示矩阵。
为了标明矩阵的行数m 和列数n ,可用n m ⨯A 或()i jm na ⨯表示。
矩阵既然是一张表，就不能象行列式那样算出一个数来。
所有元素均为0的矩阵，称为零矩阵，记作O 。
两个矩阵A 、B 相等，意味着不仅它们的行、列数相同，而且所有对应元素都相同。
记作B A =。
如果矩阵A 的行、列数都是n ，则称A 为n 阶矩阵，或称为n 阶方阵。
n 阶矩阵有一条从左上角到右下角的主对角线。
n 阶矩阵A 的元素按原次序构成的n 阶行列式，称为矩阵A 的行列式，记作A 。
在n 阶矩阵中，若主对角线左下侧的元素全为零，则称之为上三角矩阵；若主对角线右上侧的元素全为零，则称之为下三角矩阵；若主对角线两侧的元素全为零，则称之为对角矩阵。
主对角线上元素全为1的对角矩阵，叫做单位矩阵，记为E ，即⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010001E n ⨯1矩阵（只有一行）又称为n 维行向量；1⨯n 矩阵（只有一列）又称为n 维列向量。
行向量、列向量统称为向量。
向量通常用小写黑体字母a ，b ，x ，y ……表示。
向量中的元素又称为向量的分量。
11⨯矩阵因只有一个元素，故视之为数量，即()a a =。
二．矩阵的加、减运算如果矩阵A 、B 的行数和列数都相同，那么它们可以相加、相减，记为B A +、B A -。
分别称为矩阵A 、B 的和与差。
B A ±表示将A 、B 中所有对应位置的元素相加、减得到的矩阵。
矩阵 点乘 和相乘-概述说明以及解释
矩阵点乘和相乘-概述说明以及解释1.引言1.1 概述矩阵是线性代数中的重要概念，它由若干行与若干列元素组成的数组所构成。
矩阵在数学、物理、工程、计算机科学等领域有着广泛的应用，因此矩阵运算也成为了研究和实践中的重要内容之一。
在矩阵运算中，点乘和相乘是两种常见的操作。
点乘是指两个矩阵中对应位置元素相乘并相加得到一个标量值的运算，而矩阵相乘是指两个矩阵按一定规则相乘得到新的矩阵的运算。
这两种运算在实际问题中有着各自的应用场景和重要性。
本文将深入探讨矩阵的定义和性质，以及点乘和相乘的概念、规则和重要性。
通过对矩阵运算的全面解析，希望读者能够更深入地理解矩阵运算的重要性以及在实际问题中的应用价值。
1.2 文章结构本文将分为三个部分进行讨论：引言、正文和结论。
在引言部分，将介绍矩阵、点乘和相乘的基本概念，以及文章的结构和目的。
在正文部分，将详细探讨矩阵的定义和性质，点乘的概念和应用，以及矩阵相乘的规则和重要性。
在结论部分，将总结矩阵运算的重要性，指出矩阵点乘和相乘的应用场景，并展望矩阵运算的未来发展。
通过这样的结构，读者可以全面了解矩阵运算的相关知识和重要性，同时也可以展望未来在这一领域的发展方向。
1.3 目的目的部分本文的目的在于探讨矩阵运算中的点乘和相乘操作，分析它们在数学和实际应用中的重要性和作用。
通过深入理解矩阵的定义、性质以及点乘、相乘的规则，可以帮助读者更好地掌握这些概念，并在解决实际问题时运用到矩阵运算中。
此外，本文还旨在展示矩阵运算在不同领域的广泛应用，以及展望未来矩阵运算的发展方向与趋势。
通过阅读本文，读者能够深入了解矩阵运算的重要性和实用性，为其在学术和职业生涯中带来更多的启发和帮助。
2.正文2.1 矩阵的定义和性质矩阵是数学中一种非常重要的概念，它是由数字组成的二维数组。
一个矩阵通常用一个大写字母表示，比如A、B、C等。
一个矩阵可以用m ×n的形式表示，其中m表示矩阵的行数，n表示矩阵的列数。
矩阵的运算及其运算规则
矩阵基本运算及应用201700060牛晨晖在数学中，矩阵是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合。
矩阵是高等代数学中的常见工具,也常见于统计分析等应用数学学科中。
在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中,三维动画制作也需要用到矩阵。
矩阵的运算是数值分析领域的重要问题.将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。
在电力系统方面,矩阵知识已有广泛深入的应用，本文将在介绍矩阵基本运算和运算规则的基础上，简要介绍其在电力系统新能源领域建模方面的应用情况，并展望随机矩阵理论等相关知识与人工智能电力系统的紧密结合。
1矩阵的运算及其运算规则1.1矩阵的加法与减法1。
1.1运算规则设矩阵,，则简言之，两个矩阵相加减，即它们相同位置的元素相加减！注意：只有对于两个行数、列数分别相等的矩阵（即同型矩阵），加减法运算才有意义，即加减运算是可行的．1。
1.2运算性质满足交换律和结合律交换律;结合律．1。
2矩阵与数的乘法1.2.1运算规则数乘矩阵A,就是将数乘矩阵A中的每一个元素，记为或．特别地，称称为的负矩阵．1。
2.2运算性质满足结合律和分配律结合律：(λμ）A=λ(μA）；（λ+μ）A =λA+μA．分配律：λ（A+B)=λA+λB．已知两个矩阵满足矩阵方程，求未知矩阵．解由已知条件知1.3矩阵与矩阵的乘法1.3。
1运算规则设，，则A与B的乘积是这样一个矩阵：(1) 行数与(左矩阵）A相同，列数与（右矩阵)B相同,即．（2) C的第行第列的元素由A的第行元素与B的第列元素对应相乘，再取乘积之和．设矩阵计算解是的矩阵．设它为可得结论1：只有在下列情况下，两个矩阵的乘法才有意义，或说乘法运算是可行的：左矩阵的列数＝右矩阵的行数；结论2在矩阵的乘法中，必须注意相乘的顺序．即使在与均有意义时,也未必有=成立．可见矩阵乘法不满足交换律；结论3方阵A和它同阶的单位阵作乘积，结果仍为A，即．1。
第二章 矩阵代数 S3_2矩阵的初等变换
1
i列
j列
1
i列
j列
i行
0
1
0
1
E
j行
1
0
1
0
1
1
因此： 类似可得:
(Eij )1 Eij
初等矩阵是可
( Eii
(k ))1
Eii
( 1 ),(k k
0)
逆矩阵，而且 它们的逆矩阵
(Eij (k))1 Eij (k)
也是初等矩阵.
16
几个定理性结论
1. 矩阵A与B等价
有初等矩阵
0
0
mn
17
4. n 阶矩阵A为可逆的 等矩阵的乘积
A Q1Q2 Qt .
它能表成一些初
5. 可逆矩阵总可以经过一系列初等行变换化成单 位矩阵.
【可逆矩阵总可以经过一系列初等列变换化成 单位矩阵.】
18
三、用初等变换求逆矩阵
设An可逆，则存在一系列初等矩阵 P1 ,
使
E Pm P1 A
所以 于是 Pm
1 2
1 0
0
0
1
1
0
1
2
2
0
0
1
1
0
1
2
2
29
5 1
即
2 A 1
1
1 2
0
易求得 |A|=1/2, 故
1 2 0 1 2
5 1 1 5 2 1
A
1
|
A A|
2
2 1
1 2
1 0
2 0 1
2
2 1
2 0
0
1
30
§2.4.1转置矩阵
矩阵乘法和可逆矩阵
矩阵乘法和可逆矩阵1. 矩阵乘法的定义和性质定义2.1 当矩阵A的列数和B的行数相等时,和A和B可以相乘,乘积记作AB. AB的行数和A相等,列数和B相等. AB的(i,j)位元素等于A的第i个行向量和B的第j个列向量(维数相同)对应分量乘积之和.设 a11 a12⋯ a1nb11b12⋯ b1sc11c12⋯ c1sA= a21 a22⋯ a2n B= b21 b22⋯ b2s C=AB=c21 c22⋯ c2s ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯a m1 am2⋯ amn, bn1bn2⋯ bns, cm1cm2⋯ cms,则cij =ai1b1j+ai2b2j+ ⋯+ainbnj.矩阵的乘法在规则上与数的乘法有不同:①矩阵乘法有条件.②矩阵乘法无交换律.③矩阵乘法无消去律,即一般地由AB=0推不出A=0或B=0.由AB=AC和A≠0推不出B=C.(无左消去律)由BA=CA和A≠0推不出B=C. (无右消去律)请注意不要犯一种常见的错误:把数的乘法的性质简单地搬用到矩阵乘法中来.矩阵乘法适合以下法则:①加乘分配律 A(B+C)= AB+AC,(A+B)C=AC+BC.②数乘性质 (c A)B=c(AB).③结合律 (AB)C= A(BC).④ (AB)T=B T A T.2. 乘积矩阵的列向量组和行向量组设A是m⨯n矩阵B是n⨯s矩阵. A的列向量组为α1, α2,⋯ ,αn,B的列向量组为β1, β2,⋯ ,βs, AB的列向量组为γ1, γ2,⋯ ,γs,则根据矩阵乘法的定义容易看出:①AB的每个列向量为:γi=Aβi,i=1,2,⋯,s.即A(β1, β2,⋯ ,βs)=(Aβ1,Aβ2,⋯ ,Aβs).②β=(b1,b2, ⋯,b n)T,则Aβ= b1α1+b2α2+ ⋯+b nαn.应用这两个性质可以得到:如果βi=(b1i,b2i, ⋯,b ni)T,则γi=AβI= b1iα1+b2iα2+ ⋯+b niαn.即:乘积矩阵AB的第i个列向量γi是A的列向量组α1, α2,⋯ ,αn的线性组合,组合系数就是B的第i个列向量βi的各分量.类似地, 乘积矩阵AB的第i个行向量是B的行向量组的线性组合,组合系数就是A的第i个行向量的各分量.请注意,以上规律在一般教材都没有强调,但只要对矩阵乘法稍加分析就不难得出.它们无论在理论上和计算中都是很有用的.(1) 当两个矩阵中,有一个的数字很简单时,直接利用以上规律写出乘积矩阵的各个列向量或行向量,从而提高了计算的速度.(2) 利用以上规律容易得到下面几个简单推论:用对角矩阵Λ从左侧乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的各行向量; 用对角矩阵Λ从右侧乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的各列向量.数量矩阵k E乘一个矩阵相当于用k乘此矩阵；单位矩阵乘一个矩阵仍等于该矩阵.两个同阶对角矩阵的相乘只用把对角线上的对应元素相乘.(3) 矩阵分解:当一个矩阵C的每个列向量都是另一个A的列向量组的线性组合时,可以构造一个矩阵B,使得C=AB.例如设A=(α,β,γ), C=(α+2β-γ,3α-β+γ,α+2γ),令1 3 -1B= 2 -1 1 ,则C=AB.-1 1 23. n阶矩阵的方幂和多项式任何两个n阶矩阵A和B都可以相乘,乘积AB仍是n阶矩阵.(1)行列式性质 |AB|=|A||B|.(2)如果AB=BA,则说A和B可交换.(3)方幂设k是正整数, n阶矩阵A的k次方幂A k即k个A的连乘积.规定A 0=E.显然A的任何两个方幂都是可交换的,并且方幂运算符合指数法则:①A k A h= A k+h. ② (A k)h= A kh.但是一般地(AB)k和A k B k不一定相等!求对角矩阵的方幂只需把对角线上的每个元素作同次方幂.(3) n阶矩阵的多项式乘法公式设f(x)=am x m+am-1x m-1+⋯+a1x+a,对n阶矩阵A规定f(A)=a m A m+a m-1A m-1+⋯+ a1A+a0E.称为A的一个多项式.请特别注意在常数项上加单位矩阵E.一般地,由于交换性的障碍,数的多项式的因式分解和乘法公式对于n 阶矩阵的多项式不再成立.但是如果公式中所出现的n 阶矩阵互相都是交换的,则乘法公式成立.例如当A 和B 可交换时,有: (A ±B )2=A 2±2AB +B 2;A 2-B 2=(A +B )(A -B )=(A +B )(A -B ).二项公式成立: B AC B A -=∑=+1)(等等.前面两式成立还是A 和B 可交换的充分必要条件.同一个n 阶矩阵的两个多项式总是可交换的. 一个n 阶矩阵的多项式可以因式分解. 4. 矩阵方程和可逆矩阵(伴随矩阵) (1) 矩阵方程矩阵不能规定除法,乘法的逆运算是解下面两种基本形式的矩阵方程:(I) AX =B . (II) XA =B .这里假定A 是行列式不为0的n 阶矩阵,在此条件下,这两个方程的解都是存在并且唯一的.(否则解的情况比较复杂.)当B 只有一列时,(I)就是一个线性方程组.由克莱姆法则知它有唯一解.如果B 有s 列,设 B =(β1, β2,⋯ ,βs ),则 X 也应该有s 列,记X =(χ1, χ2,⋯,χs ),则有A χi =βi ,i=1,2, ⋯,s,这是s 个线性方程组.由克莱姆法则,它们都有唯一解,从而AX =B 有唯一解.这些方程组系数矩阵都是A ,可同时求解,即得 (I)的解法:将A 和B 并列作矩阵(A |B ),对它作初等行变换,使得A 变为单位矩阵,此时B 变为解X . (A |B )→(E |X )(II)的解法:对两边转置化为(I)的形式:A T X T =B T .再用解(I)的方法求出X T ,转置得X .. (A T |B T )→(E |X T )矩阵方程是历年考题中常见的题型,但是考试真题往往并不直接写成(I)或(II)的形式,要用恒等变形简化为以上基本形式再求解.(2) 可逆矩阵的定义与意义定义 设A 是n 阶矩阵,如果存在n 阶矩阵B ,使得AB =E , BA =E ,则称A 为可逆矩阵. 此时B 是唯一的,称为A 的逆矩阵,通常记作A -1.如果A 可逆,则A 在乘法中有消去律:AB=0⇒B=0；AB=AC⇒B=C.(左消去律)；BA=0⇒B=0；BA=CA⇒B=C. (右消去律)如果A可逆,则A在乘法中可移动(化为逆矩阵移到等号另一边):AB=C⇔B=A-1C. BA=C⇔B=CA-1.由此得到基本矩阵方程的逆矩阵解法:(I) AX=B的解X=A-1B .(II) XA=B的解X= BA-1.这种解法想法自然，好记忆,但是计算量比初等变换法大(多了一次矩阵乘积运算).(3) 矩阵可逆性的判别与性质定理 n阶矩阵A可逆⇔|A|≠0.证明“⇒”对AA-1=E两边取行列式,得|A||A-1|=0,从而|A|≠0. (并且|A-1|=|A|-1.) “⇐”因为|A|≠0,矩阵方程AX=E和XA=E都有唯一解.设B,C方便是它们的解,即AB=E, CA=E. 事实上B=C(B=EB=CAB=CE=C),于是从定义得到A可逆.推论如果A和B都是n阶矩阵,则AB=E⇔BA=E.于是只要AB=E(或BA=E)一式成立,则A和B都可逆并且互为逆矩阵.可逆矩阵有以下性质:①如果A可逆,则A-1也可逆,并且(A-1)-1=A.A T也可逆,并且(A T)-1=(A-1)T.当c≠0时, c A也可逆,并且(c A)-1=c-1A-1.对任何正整数k, A k也可逆,并且(A k)-1=(A-1)k.(规定可逆矩阵A的负整数次方幂A-k=(A k)-1=(A-1)k.)②如果A和B都可逆,则AB也可逆,并且(AB)-1=B-1A-1.(请自己推广到多个可逆矩阵乘积的情形.)(4) 逆矩阵的计算和伴随矩阵①初等变换法当A可逆时, A-1是矩阵方程AX=E的解,于是可用初等行变换求A-1:(A|E)→(E|A-1)这个方法称为求逆矩阵的初等变换法.它比下面介绍的伴随矩阵法简单得多.②伴随矩阵法若A是n阶矩阵,记A ij是|A|的(i,j)位元素的代数余子式,规定A的伴随矩阵为A11 A21⋯ An1A*= A12 A22⋯ A n2 =(A ij)T.⋯⋯⋯A 1n A2n⋯ Amn请注意,规定n阶矩阵A的伴随矩阵并没有要求A可逆,但是在A可逆时, A*和A-1有密切关系.基本公式: AA*=A*A=|A|E.于是对于可逆矩阵A,有A-1=A*/|A|, 即A*=|A|A-1.因此可通过求A*来计算A-1.这就是求逆矩阵的伴随矩阵法.和初等变换法比较, 伴随矩阵法的计算量要大得多,除非n=2,一般不用它来求逆矩阵.对于2阶矩阵a b * d -bc d = -c a ,因此当ad-bc≠0时,a b -1 d -bc d = -c a (ad-bc) .伴随矩阵的其它性质:①如果A是可逆矩阵，则A*也可逆，并且(A*)-1= A/|A|=(A-1)*.② |A*|=|A|n-1. ③ (A T)*=(A*)T. ④ (c A)*=c n-1A*.⑤ (AB)*=B*A*；(A k)*=(A*)k.⑥当n>2时,(A*)*=|A|n-2A；n=2时,(A*)*=A.。