电路原理 第十章
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对于i1的求解，需返回到给定 电路。
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当i 1 A, u 1V时，由 KVL和KCL得 i2 a u2 i3 0.5 A i 1 1Ω + + 2 2V
i2 i i3 0.5 A
i
i1 2 i2 1.5 A 当i 2 A, u 4V时，同理得
u0 0, u1 0
(c)
i1 i : R上的电压为
u0 ' ' ' 该支路电压为：u u 0 u 1 E
R1上的电压为
u1
'
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因线性电阻R2 与含非线性电阻R 的支路是并联的,所 以在同一电压下,两支路中电流相加就是总电流,即：
i
i i1 i2
2A
u
4
b
u
4
(b)
b
2
2
a i
1
i
-2 -1
(d)
1
-2
-1
2
(d)
2
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非线性电阻伏安关系可以用数学 表达式写出时,可以用联立方程组 的方法求解电路。非线性电阻的 伏安关系为曲线形式表达时可用 曲线相交法求解。
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10. 2 .2 曲线相加法
非线性电阻的串联 i + + u (i ) + 1 u2 ( i ) u
非线性电阻网络的分析计算比线性电阻网络的分析 计算复杂。但是，对于只含有一个非线性电阻元件， 并且这个非线性电阻元件的伏安特性可以用数学解 析式表达出来时，可用戴维南定理求解。
例图中，R是流控型非 线性电阻，其伏安特 性表达式为： u i 2 试求R所消耗的功率及 i1 的值。
i2 i 1 1Ω + 2V 2Ω 1Ω i3 b
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10.1 非线性元件特性
一、线性电阻元件
电阻值大小与u、i 无关（R为常数），其伏安特性 为一过原点的直线。线性电阻的u、i 取关联参考 方向时，u、i 关系符合欧姆定律。
i i R u
i P
u
u
u R tg con st i
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二、非线性电阻元件
u
u1 u2
0
i1
2
i
i u 4u
3
u 2i
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单调型：既是流控型又是压控型的, 伏安特性是单调增 长或单调下降的。
i
+ u -
i
o
u
iI e
0
qu kT 1
P-N 结二极管的伏安特性曲线
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kT i u ln （ 1 ） q I0
2
1
i ( u1 )
i 1 A u1 1V i1 1 A, i2 0
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o 返回
1 (c) 2
3 3
i2 (u1 ) u1
（2）若uS 5V , R 0,在图 (e)中，按 u 5V 做电压坐标轴的垂线与 i ( u)交与P点， r
得 i 3A ，再根据图（c）曲线令i 3 A , 通过 作图得 u1 2V 。
(2)若 us=5V , R = 0 试求
i , i1 , i2 , u1u3的值。
3
－
i a
u
R1
i2 / A
uS
u1
1
R2
i
－
R3
i2
2
R
u3
－
1
u1 / V
b
（a）
－
o
1 (b) 2
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解 （1）先用曲线相加法求i(u)曲线。 将 R1 , R2 的伏安关系曲线 i1 ( u1 )和i2 ( u1 ) 分别绘 于（c）中，由于并联，在同一电压u1下据KCL i i1 i2 有 得0ab曲线，反映了总电流i和电压u1的伏安关 i 系，即 i ( u1 )关系曲线。 b i (u ) 3 1 1 i ( u1 )
2A
Uoc 2V , R0 1
ui
2
u 2 i 2 ui
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解得:
1A i 2 A
1V u 4V
当i 1 A, u 1V时，PR＝1W， 此时R消耗功率1W
当i 2 A, u 4 A时, PR 8W , 此时R发生功率8W
u3
1 (d) 2
3 3
i
i1 (u1 )
2
1
i ( u1 )
o
3 3 1 (c) 2 目录 上页 下页 返回
i2 (u1 ) u1
10.3 数值分析法
数值迭代公式
数值分析法的计算步骤
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10.3 数值分析法
分析非线性电阻电路时,在已知非线性电阻的伏安特 性曲线的情况下,可以采用图解法。如果非线性电阻的伏 安特性能用解析式近似表征的话,可以运用本节讲述的数 值分析法(又称牛顿-拉夫迭代法)。它特别适合与计算辅 助分析,它能给出精确的数字解答。该法实质上式现代工 程数学中的数值逼近理论在电工技术的应用。 就工程应用观点来看，工程实际中所遇到的非线性电 阻及描述它的非线性代数方程一般来说其解不仅式存在 的而且是唯一的。下面就来推导求解一元非线性代数方 程的数值分析法的算式。
i
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压控型(voltage -controlled resistor) 非线性电阻中通过的电流是其电压的单值函数。
特性 方程
i g(u)
+ u 0
i
u
i
隧道二极管 目录 上页 下页 返回 伏安特性
对每一个电压u只有 一个电流i与之对应, 但对同一个电流,电 压却可能是多值的。
ab 右边为非线性电阻，其伏安特 性为 i = f (u)，i(u)曲线如图。 两曲线交点坐标 ( u0 , i0 ) 即 为所求解答。 目录 上页 下页 返回
i0
Q(u0 , i0 )
u0
o
Us
u
i2 i 1 1Ω + 2V 2Ω 1Ω i3
(a)
a + u b + i R R0 Uoc
a + u i R
非线性电阻元件的伏安特性不满足欧姆定律，而 遵循某种特定的非线性函数关系。其阻值大小与u、 i 有关，伏安特性不是过原点的直线。
i
u
i
i + u
o
u
P-N结二 极管特性
u=f(i)
i=g(u)
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非线性电阻元件分类 流控电阻 压控电阻
+ u i R
单调型电阻
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图(a)示电路中,非线性电阻R的伏安特性曲线如图 (b) 所示，求总电压u和总电流i的约束关系。
i + u -
i1 i2 R R2 R1 E
(a)
+ u0 + u1 0
i i1(u0)
(b)
u
首先,求含非线性电阻R支路的伏安特性曲线 i1 ( u) 。这 条支路中的R、R1、E 是串联的,流过的是同一电流 ,因此 在相同电流情况下,有：
i 2 ( u)
(d)
i1 ( u)
u
E
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u u i i1 i2
i
i
i (u )
i2 i 1
o
i 1(u)
i 2( u )
(d)
u
E
u
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例 在图(a)电路中，压控型非线性电阻 R2 的伏安特性 如图（b）所示， R1 R3 1。 (1)若 us=3V , R = 1Ω 试定量画出a，b右部伏安特性曲 u, i1 , i2和i 的值。 线并计算
2
1
a
o
3 3 1 (c) 2 目录 上页 下页 返回
i2 (u1 ) u1
将R3 的伏安特性曲线 i ( u3 )画在图（d）中，由于 R3是与R1 、R2的并联电路相串联，应在同一电流 下将电压相加，即 u u1 u3
i
3
i
3
2
1
i ( u1 )
2
1
o
1 (c) 2
3 3
u1
u3
O
1
(d)
i i1 i2 u u1 u2
u
u'
u'2
u
' 1 ' u1
u(i )
u2 ( i )
u1 ( i )
i'
o
i
在每一个 i 下，图解法求 u ，将一系列 u、i 值连成 曲线即得串联等效电阻 (仍为非线性)。
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非线性电阻的并联
i + u
i1
+ i2
u1
10.2.1 曲线相交法
曲线相交法是根据解析几何中用曲线相 交解联立方程的方法
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曲线相交法
线性 含源 电阻 网络
a i
+
a i u
Ri + Us
+
u b
b
i
Us Ri
ab 以左部分为线性电路，化为戴维 南等效电路，其u、i关系为
i (u)
u U s Ri
其特性为一直线。
+
u2
i (u)
i i1 i2 u u1 u2
i
i' ' i2
i '1
i1 ( u) i 2 ( u)
同一电压下将电流 相加。
i1' o
u'
u
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如有若干元件串联，要得到这条支路的伏安特 性曲线，应在同一电流条件下将各元件电压相 加，便可得到伏安特性曲线上的一点，依次作 图可得到伏安特性曲线。 若有某些元件（支路）并联，欲求其伏安特性 曲线，应在同一电压条件下将各支路电流相加， 得出伏安特性曲线上的一点，依次作图便得到 伏安特性曲线。
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u u0 u1 E
因为该支路中有非线性电阻R,u与 i1 不是线性关系, 因此必须利用各元件伏安特性曲线,在同一电流条件 下将电压相加,才能得到该支路的伏安特性曲线 。
i1 ( u)
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i
R的伏安特性曲线i1 (u0 ),
i1 (u1 )
i1 ( u0 ),
u2 i3 1A 2
2A
1Ω
2Ω i3 b
uR -
i2 i i3 1 A
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i1 2 i1 3 A
当非线性电阻不易写出它的数学表达式，求解较困 难，而且所得到的解答往往也是近似解。因此，对 非线性简单电阻网络往往采用图解分析法进行分析， 此法包括曲线相交法和曲线相加法。
u
非线性电阻元件的静态电阻和动态电阻都 不是常数，而是其电压或电流的函数，且 随工作点的不同而不同。
动态电阻是正值 RdQ 0 动态电阻是负值 RdP 0 动态电阻的正或负由 其伏安特性及静态工 作点的位置决定的。
i
Q
O
P
u
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10.2 图解分析法
曲线相交法
曲线相加法
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2
3
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(1)us 3V , R 1 :
a，b左部的方程为：
i
3
2
1
i(u)S
u uS Ri 3 i
左部电路伏安特性曲 线为红色曲线所示。
Q
O
3
i(u)r
u
1
2
(e)
交点Q就是给定电路的工作点。
i
3 4
5
i＝1A，u 2V
再据图（c）得：
i1 (u1 )
a + uR i
2A
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解：在给定电路中 ,a、b两点的左侧为一个线性有源 的二端网络。根据戴维南定理,我们将原电路图(a) 电路化成图 (b)所示戴维南等效电路。
i2 i 1 1Ω + 2V 2Ω 1Ω i3
(a)
a + u b
(b)
a i R + Uoc R0 b + u i R
静态电阻:非线性电阻特性曲线上静态工作点 处的电压与电流的比值, 静态电阻它正比于 tan 值。 i
Q
O
动态电阻：指在静态工
作点Q附近电压对电流的 变化率,正比于 tan
RdQ
du tan di i IQ
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1
R0Q
UQ IQ
tan
IQ
UQ
i1 ( E )
R1的伏安特性曲线 i1 (u1 ) E的伏安特性曲线 i1 ( E )
u
O (c)
E
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i
i1 (u1 )
i1 ( E )
i1 ( u0 )
i1
O
︷ ︷
u
u E
'
u1
u0
u1 u0
u
E
i1 0 :
' 1
得到图 (c)曲线上的u=E的一点,
流控型：(current-controlled resistor) 非线性电阻两端的电压是电流的单值函数
特性 方程
u f (i )
+ u i
u
-
0
目录 上页 下页 返回 伏安特性
i
充气二极管
u
对每一个电流i只有 u1 一个电压u 与之对应, 但对同一个电压,电 流却可能是多值的 。
0
i1
i2
i
i
3
i1 (u1 )
3
P
i(u)r
i(u)S
2
1
i ( u1 )
2
o
1 (c) 2
3 3
Βιβλιοθήκη Baidu
i2 (u1 ) u1
1
O
u
1
2
3 4
5
(e) 目录 上页 下页 返回
据图（d）曲线， 令 i 3 A ,得 , u 3V 3
i
3
2
1
据图 (c)
u1 2V
i1 2 A, i2 1 A
3
o
第十章
非线性电路
学习目标与要求： (1) 充分理解非线性元件的特性 (2) 掌握非线性电路的图解分析法
(3) 熟练掌握非线性电路的小信号分析法
第十章
非线性电路
• 10.1 • 10.2
非线性元件特性 图解分析法
• 10.3
• 10.4
数值分析法
小信号分析法
10.1 非线性元件特性
非线性元件特点
静态电阻与动态电阻
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当i 1 A, u 1V时，由 KVL和KCL得 i2 a u2 i3 0.5 A i 1 1Ω + + 2 2V
i2 i i3 0.5 A
i
i1 2 i2 1.5 A 当i 2 A, u 4V时，同理得
u0 0, u1 0
(c)
i1 i : R上的电压为
u0 ' ' ' 该支路电压为：u u 0 u 1 E
R1上的电压为
u1
'
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因线性电阻R2 与含非线性电阻R 的支路是并联的,所 以在同一电压下,两支路中电流相加就是总电流,即：
i
i i1 i2
2A
u
4
b
u
4
(b)
b
2
2
a i
1
i
-2 -1
(d)
1
-2
-1
2
(d)
2
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非线性电阻伏安关系可以用数学 表达式写出时,可以用联立方程组 的方法求解电路。非线性电阻的 伏安关系为曲线形式表达时可用 曲线相交法求解。
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10. 2 .2 曲线相加法
非线性电阻的串联 i + + u (i ) + 1 u2 ( i ) u
非线性电阻网络的分析计算比线性电阻网络的分析 计算复杂。但是，对于只含有一个非线性电阻元件， 并且这个非线性电阻元件的伏安特性可以用数学解 析式表达出来时，可用戴维南定理求解。
例图中，R是流控型非 线性电阻，其伏安特 性表达式为： u i 2 试求R所消耗的功率及 i1 的值。
i2 i 1 1Ω + 2V 2Ω 1Ω i3 b
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10.1 非线性元件特性
一、线性电阻元件
电阻值大小与u、i 无关（R为常数），其伏安特性 为一过原点的直线。线性电阻的u、i 取关联参考 方向时，u、i 关系符合欧姆定律。
i i R u
i P
u
u
u R tg con st i
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二、非线性电阻元件
u
u1 u2
0
i1
2
i
i u 4u
3
u 2i
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单调型：既是流控型又是压控型的, 伏安特性是单调增 长或单调下降的。
i
+ u -
i
o
u
iI e
0
qu kT 1
P-N 结二极管的伏安特性曲线
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kT i u ln （ 1 ） q I0
2
1
i ( u1 )
i 1 A u1 1V i1 1 A, i2 0
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o 返回
1 (c) 2
3 3
i2 (u1 ) u1
（2）若uS 5V , R 0,在图 (e)中，按 u 5V 做电压坐标轴的垂线与 i ( u)交与P点， r
得 i 3A ，再根据图（c）曲线令i 3 A , 通过 作图得 u1 2V 。
(2)若 us=5V , R = 0 试求
i , i1 , i2 , u1u3的值。
3
－
i a
u
R1
i2 / A
uS
u1
1
R2
i
－
R3
i2
2
R
u3
－
1
u1 / V
b
（a）
－
o
1 (b) 2
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解 （1）先用曲线相加法求i(u)曲线。 将 R1 , R2 的伏安关系曲线 i1 ( u1 )和i2 ( u1 ) 分别绘 于（c）中，由于并联，在同一电压u1下据KCL i i1 i2 有 得0ab曲线，反映了总电流i和电压u1的伏安关 i 系，即 i ( u1 )关系曲线。 b i (u ) 3 1 1 i ( u1 )
2A
Uoc 2V , R0 1
ui
2
u 2 i 2 ui
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解得:
1A i 2 A
1V u 4V
当i 1 A, u 1V时，PR＝1W， 此时R消耗功率1W
当i 2 A, u 4 A时, PR 8W , 此时R发生功率8W
u3
1 (d) 2
3 3
i
i1 (u1 )
2
1
i ( u1 )
o
3 3 1 (c) 2 目录 上页 下页 返回
i2 (u1 ) u1
10.3 数值分析法
数值迭代公式
数值分析法的计算步骤
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10.3 数值分析法
分析非线性电阻电路时,在已知非线性电阻的伏安特 性曲线的情况下,可以采用图解法。如果非线性电阻的伏 安特性能用解析式近似表征的话,可以运用本节讲述的数 值分析法(又称牛顿-拉夫迭代法)。它特别适合与计算辅 助分析,它能给出精确的数字解答。该法实质上式现代工 程数学中的数值逼近理论在电工技术的应用。 就工程应用观点来看，工程实际中所遇到的非线性电 阻及描述它的非线性代数方程一般来说其解不仅式存在 的而且是唯一的。下面就来推导求解一元非线性代数方 程的数值分析法的算式。
i
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压控型(voltage -controlled resistor) 非线性电阻中通过的电流是其电压的单值函数。
特性 方程
i g(u)
+ u 0
i
u
i
隧道二极管 目录 上页 下页 返回 伏安特性
对每一个电压u只有 一个电流i与之对应, 但对同一个电流,电 压却可能是多值的。
ab 右边为非线性电阻，其伏安特 性为 i = f (u)，i(u)曲线如图。 两曲线交点坐标 ( u0 , i0 ) 即 为所求解答。 目录 上页 下页 返回
i0
Q(u0 , i0 )
u0
o
Us
u
i2 i 1 1Ω + 2V 2Ω 1Ω i3
(a)
a + u b + i R R0 Uoc
a + u i R
非线性电阻元件的伏安特性不满足欧姆定律，而 遵循某种特定的非线性函数关系。其阻值大小与u、 i 有关，伏安特性不是过原点的直线。
i
u
i
i + u
o
u
P-N结二 极管特性
u=f(i)
i=g(u)
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非线性电阻元件分类 流控电阻 压控电阻
+ u i R
单调型电阻
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图(a)示电路中,非线性电阻R的伏安特性曲线如图 (b) 所示，求总电压u和总电流i的约束关系。
i + u -
i1 i2 R R2 R1 E
(a)
+ u0 + u1 0
i i1(u0)
(b)
u
首先,求含非线性电阻R支路的伏安特性曲线 i1 ( u) 。这 条支路中的R、R1、E 是串联的,流过的是同一电流 ,因此 在相同电流情况下,有：
i 2 ( u)
(d)
i1 ( u)
u
E
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u u i i1 i2
i
i
i (u )
i2 i 1
o
i 1(u)
i 2( u )
(d)
u
E
u
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例 在图(a)电路中，压控型非线性电阻 R2 的伏安特性 如图（b）所示， R1 R3 1。 (1)若 us=3V , R = 1Ω 试定量画出a，b右部伏安特性曲 u, i1 , i2和i 的值。 线并计算
2
1
a
o
3 3 1 (c) 2 目录 上页 下页 返回
i2 (u1 ) u1
将R3 的伏安特性曲线 i ( u3 )画在图（d）中，由于 R3是与R1 、R2的并联电路相串联，应在同一电流 下将电压相加，即 u u1 u3
i
3
i
3
2
1
i ( u1 )
2
1
o
1 (c) 2
3 3
u1
u3
O
1
(d)
i i1 i2 u u1 u2
u
u'
u'2
u
' 1 ' u1
u(i )
u2 ( i )
u1 ( i )
i'
o
i
在每一个 i 下，图解法求 u ，将一系列 u、i 值连成 曲线即得串联等效电阻 (仍为非线性)。
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非线性电阻的并联
i + u
i1
+ i2
u1
10.2.1 曲线相交法
曲线相交法是根据解析几何中用曲线相 交解联立方程的方法
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曲线相交法
线性 含源 电阻 网络
a i
+
a i u
Ri + Us
+
u b
b
i
Us Ri
ab 以左部分为线性电路，化为戴维 南等效电路，其u、i关系为
i (u)
u U s Ri
其特性为一直线。
+
u2
i (u)
i i1 i2 u u1 u2
i
i' ' i2
i '1
i1 ( u) i 2 ( u)
同一电压下将电流 相加。
i1' o
u'
u
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如有若干元件串联，要得到这条支路的伏安特 性曲线，应在同一电流条件下将各元件电压相 加，便可得到伏安特性曲线上的一点，依次作 图可得到伏安特性曲线。 若有某些元件（支路）并联，欲求其伏安特性 曲线，应在同一电压条件下将各支路电流相加， 得出伏安特性曲线上的一点，依次作图便得到 伏安特性曲线。
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u u0 u1 E
因为该支路中有非线性电阻R,u与 i1 不是线性关系, 因此必须利用各元件伏安特性曲线,在同一电流条件 下将电压相加,才能得到该支路的伏安特性曲线 。
i1 ( u)
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i
R的伏安特性曲线i1 (u0 ),
i1 (u1 )
i1 ( u0 ),
u2 i3 1A 2
2A
1Ω
2Ω i3 b
uR -
i2 i i3 1 A
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i1 2 i1 3 A
当非线性电阻不易写出它的数学表达式，求解较困 难，而且所得到的解答往往也是近似解。因此，对 非线性简单电阻网络往往采用图解分析法进行分析， 此法包括曲线相交法和曲线相加法。
u
非线性电阻元件的静态电阻和动态电阻都 不是常数，而是其电压或电流的函数，且 随工作点的不同而不同。
动态电阻是正值 RdQ 0 动态电阻是负值 RdP 0 动态电阻的正或负由 其伏安特性及静态工 作点的位置决定的。
i
Q
O
P
u
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10.2 图解分析法
曲线相交法
曲线相加法
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2
3
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(1)us 3V , R 1 :
a，b左部的方程为：
i
3
2
1
i(u)S
u uS Ri 3 i
左部电路伏安特性曲 线为红色曲线所示。
Q
O
3
i(u)r
u
1
2
(e)
交点Q就是给定电路的工作点。
i
3 4
5
i＝1A，u 2V
再据图（c）得：
i1 (u1 )
a + uR i
2A
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解：在给定电路中 ,a、b两点的左侧为一个线性有源 的二端网络。根据戴维南定理,我们将原电路图(a) 电路化成图 (b)所示戴维南等效电路。
i2 i 1 1Ω + 2V 2Ω 1Ω i3
(a)
a + u b
(b)
a i R + Uoc R0 b + u i R
静态电阻:非线性电阻特性曲线上静态工作点 处的电压与电流的比值, 静态电阻它正比于 tan 值。 i
Q
O
动态电阻：指在静态工
作点Q附近电压对电流的 变化率,正比于 tan
RdQ
du tan di i IQ
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1
R0Q
UQ IQ
tan
IQ
UQ
i1 ( E )
R1的伏安特性曲线 i1 (u1 ) E的伏安特性曲线 i1 ( E )
u
O (c)
E
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i
i1 (u1 )
i1 ( E )
i1 ( u0 )
i1
O
︷ ︷
u
u E
'
u1
u0
u1 u0
u
E
i1 0 :
' 1
得到图 (c)曲线上的u=E的一点,
流控型：(current-controlled resistor) 非线性电阻两端的电压是电流的单值函数
特性 方程
u f (i )
+ u i
u
-
0
目录 上页 下页 返回 伏安特性
i
充气二极管
u
对每一个电流i只有 u1 一个电压u 与之对应, 但对同一个电压,电 流却可能是多值的 。
0
i1
i2
i
i
3
i1 (u1 )
3
P
i(u)r
i(u)S
2
1
i ( u1 )
2
o
1 (c) 2
3 3
Βιβλιοθήκη Baidu
i2 (u1 ) u1
1
O
u
1
2
3 4
5
(e) 目录 上页 下页 返回
据图（d）曲线， 令 i 3 A ,得 , u 3V 3
i
3
2
1
据图 (c)
u1 2V
i1 2 A, i2 1 A
3
o
第十章
非线性电路
学习目标与要求： (1) 充分理解非线性元件的特性 (2) 掌握非线性电路的图解分析法
(3) 熟练掌握非线性电路的小信号分析法
第十章
非线性电路
• 10.1 • 10.2
非线性元件特性 图解分析法
• 10.3
• 10.4
数值分析法
小信号分析法
10.1 非线性元件特性
非线性元件特点
静态电阻与动态电阻