2018-2019学年湖南省三湘名校教育联盟上学期高二期中考试数学(理)试题(解析版)
2018-2019学年湖南省三湘名校教育联盟高二(上)期中数学试卷(理科)
A ．逆命题与否命题均为真命题
B ．逆命题为假命题 ，否命题为真命题 C ．逆命题为假命题 ，逆否命题为真命题
D ．否命题为假命题，道否命题为真命题
8．（ 5 分）下列函数中，最小周期为π 且为偶函数的是（
）
A ．f（x）＝ sin|2x|
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B ． f（ x）＝ tan（ x﹣） C． f（ x）＝ |cos2x| D ．f（x）＝
故将函数 g（ x）＝ cos2x 的图象向右平移
个单位，可得 f（ x）的图象，
故选： D ．
【点评】 本题主要考查诱导公式的应用，函数
y＝Asin（ω x+φ ）的图象变换规律，统一
这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题．
2﹣3x+ a≥ 0 恒成立，则a 的取值范围是（
）
10．（5 分）当 x∈（0， +∞ ）时， ax
）
A ．3
B．6
【分析】 根据等差数列的求和公式可得
【解答】 解：∵ S3+S6＝ 27，
C． 9 a1+2d＝ 3，即可求出．
D． 12
∴ 3a1+
d+6a1+
d＝ 27，
即 9a1+18d＝ 27， ∴ a1+2d＝ 3， ∴ a2+a4＝2（ a1+2d）＝ 6， 故选： B． 【点评】 本题考查了等差数列的求和公式，属于基础题．
A ．10
B ．12
） C． 16
D． 20
6．（ 5 分）已知数列 { an}满足 a1＝ 2， an+1＝
，则an＝（
）
A ．2n
B ．n+1
湖南师大附中2018-2019学年高二上学期期中考试理科数学答案解析
二、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．
8. 【解析】∵sinA∶sinB∶sinC＝6∶5∶4，∴a∶b∶c＝6∶5∶4，
不妨取a＝6，b＝5，c＝4，则cosB＝ ＝ ，B∈(0，π)．
则sinB＝ ＝ .
9．577【解析】由题意可得等差数列的通项公式为an＝3n－2，由三角形数阵的特点可知第20行3列的数为第1＋2＋3＋4＋…＋19＋3＝193个数，a193＝3×193－2＝577.
与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的点M，且与直线x＋0.5y＝0的距离
最大，这里M是直线x＋y＝10和0.3x＋0.1y＝1.8的交点．
解方程组 解得 10分
此时z＝1×4＋0.5×6＝7(万元)，∴x＝4，y＝6时，z最大．
答：投资人投资甲项目4万元，乙项目6万元，获得利润最大.12分
13．【解析】(1)由f(x)≤1－a可得x2－ax＋a－1≤0，
4．D【解析】x，y满足约束条件 的可行域如图(阴影部分)：
z＝x＋y＝－x＋z，当直线过点A时，直线y＝－x＋z的截距最大，z的值最大．
由 解得A(3，0)，所以z＝x＋y的最大值为3.故选D.
5．D
6．A【解析】在△ABC中，若AB＝ ，BC＝3，∠C＝120°，
由AB2＝BC2＋AC2－2AC·BCcosC，可得：13＝9＋AC2＋3AC，
10．16【解析】根据题意，若9x＋y＝xy，则有 ＋ ＝1，
则x＋y＝(x＋y) ＝10＋ ＋ ≥10＋2 ＝16，
当且仅当 ＝ 时，等号成立，即x＋y的最小值是16，故答案为16.
三、解答题：本大题共4个小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
湖南省三湘名校教育联盟2018-2019学年高二下学期期末数学(理)试题(解析版)
三湘名校教育联盟·2019年上学期高二期末考试 理科数学命题： 审题：本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3. 考试结朿后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合()(){}140A x x x =+-<，{}1xB x e =>，则A B =I （ ）A. ()0,1B. ()0,4C. ()1,4D. ()4,+∞【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件分别求出集合A 、B ，再利用交集运算即可. 【详解】()(){}{}14014A x x x x x =+-<=-<<Q ，{}{}10x B x e x x =>=>， ()0,4A B ∴⋂=故选：B【点睛】本题考查了不等式的解法以及交集运算，属于容易题. 2.已知复数31iz i-=+，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】【分析】根据复数的运算法则，化简复数12z i =-，再利用复数的表示，即可判定，得到答案. 【详解】由题意，复数()()()()31324121112i i i iz i i i i ----====-++-， 所以复数z 对应的点(1,2)-位于第四象限. 故选D.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，以及复数的表示，其中解答中熟记复数的运算法则，准确化简复数为代数形式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 3.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，756S =，则7a =（ ） A. 10 B. 12C. 16D. 20【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列的前n 项和公式以及通项公式即可求出. 【详解】()177477562a a S a +===Q ， 48a ∴=，34a =Q ，434d a a ∴=-=， 73420a a d ∴=+=故选：D【点睛】本题考查了等差数列的前n 项和公式以及通项公式，考查了学生的计算，属于较易题. 4.下列函数既是偶函数，又在()0,∞+上为减函数的是（ ） A. 1y x =-B. 1ln y x=C. 22xxy -=-D. 222,02,0x x x y x x x ⎧+>=⎨-<⎩【答案】B 【解析】 【分析】通过对每一个选项进行判断得出答案.【详解】对于A 选项：函数1y x =-在()0,∞+既不是偶函数也不是减函数，故排除； 对于B 选项：函数1lny x=既是偶函数，又在()0,∞+是减函数； 对于C 选项：函数22x x y -=-在()0,∞+是奇函数且增函数，故排除；对于D 选项：函数222,02,0x x x y x x x ⎧+>=⎨-<⎩在()0,∞+是偶函数且增函数，故排除；故选：B【点睛】本题考查了函数的增减性以及奇偶性的判断，属于较易题.5.已知,αβ为两个不同平面，l 为直线且l β⊥，则“αβ⊥”是“//l α”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】当αβ⊥时，若l α⊂，则推不出//l α；反之//l α可得αβ⊥，根据充分条件和必要条件的判断方法，判断即可得到答案．【详解】当αβ⊥时，若l α⊂且l β⊥，则推不出//l α，故充分性不成立； 当//l α时，可过直线l 作平面γ与平面α交于m ，根据线面平行的性质定理可得//l m ，又l β⊥，所以m β⊥， 又m α⊂，所以αβ⊥，故必要性成立， 所以“αβ⊥”是“//l α”的必要不充分条件． 故选：B ．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判定，关键是掌握充分条件和必要条件的定义，判断p 是q 的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p 能否推得条件q ；二是由条件q 能否推得条件p ．6.已知向量(3,1),(1,),0=-=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u rAC AB t AB BC ，若0t <，则t =（ ）A. 4-B. 3-C. 2-D. 1-【答案】C 【解析】 【分析】首先根据向量的线性运算求出向量BC u u u r，再利用平面向量数量积的坐标表示列出方程，即可求出t 的值．【详解】因为(3,1)AC =-u u u r ，(1,)AB t =u u u r，所以(3,1)(1,)(2,1)BC AC AB t t =-=--=--u u u r u u u r u u u r，因为0AB BC ⋅=u u u r u u u r，所以12(1)0t t ⨯+⨯--=，即220t t +-=， 解得2t =-或1t =，又0t <，所以2t =-． 故选：C ．【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，平面向量数量积的坐标表示，属于基础题． 7.设 1.141lg5,log 2,()2===a b c ，则（ ） A. a b c >> B. a c b >>C. c a b >>D. c b a >>【答案】A 【解析】 【分析】根据1lg52a =>=，41log 22b ==， 1.111()22<，即可得到,,a bc 的大小关系．【详解】因为函数lg y x =在(0,)+∞是单调增函数，又5=>1lg52a =>=； 因为函数1()2xy =是R 的单调减函数，又1.11>，所以 1.111()22c =<； 又41log 22b ==，所以a bc >>． 故选：A ．【点睛】本题主要考查对数函数、指数函数的单调性的应用及对数的运算，属于基础题． 8.如图是求样本数据方差S 的程序框图，则图中空白框应填入的内容为（ ）A. ()28i S x x S +-=B. ()2(1)8i i S x x S -+-=C. ()2i S x x S i+-=D. ()2(1)i i S x x S i-+-=【答案】D 【解析】 【分析】由题意知该程序的作用是求样本128,,,x x x L 的方差，由方差公式可得. 【详解】由题意知该程序的作用是求样本128,,,x x x L 的方差， 所用方法是求得每个数与x 的差的平方，再求这8个数的平均值， 则图中空白框应填入的内容为：()2(1)i i S x x S i-+-=故选：D【点睛】本题考查了程序框图功能的理解以及样本方差的计算公式，属于一般题.9.将函数()()cos f x x ϕ=+图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵 坐标不变），再把得到的图像向左平移6π个单位长度，所得函数图像关于2x π=对称，则tan ϕ=（ ） A. 3-B. 3-C. 3D. 3【答案】B 【解析】【分析】运用三角函数的图像变换，可得cos 1212y x πϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭，再由余弦函数的对称性，可得,3k k Z πϕπ=-∈，计算可得所求值.【详解】函数()()cos f x x ϕ=+图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵 坐标不变），则可得1cos 2y x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再把得到的图像向左平移6π个单位长度， 则可得cos 1212y x πϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭，因为所得函数图像关于2x π=对称，所以cos 1412ππϕ⎛⎫++=± ⎪⎝⎭， 即412k ππϕπ++=，解得：,3k k Z πϕπ=-∈，所以：tan tan 3ϕπ=-=故选： B【点睛】本题考查了三角函数的图像变换以及余弦函数的对称性，属于一般题.10.过双曲线22221(>0:0,>)x y a a C b b-=的一个焦点F 向其一条渐近线1:2l y x =作垂线，垂足为E ，O 为坐标原点，若OEF V 的面积为1，则C 的焦距为（ ）A. B. 3C. D. 5【答案】C 【解析】 【分析】利用点到直线的距离可求得||EF ，进而可由勾股定理求出||OE ，再由1OEF S =△解方程即可求出结果． 【详解】不妨设(c,0)F ，则其到渐近线:20l x y -=的距离||EF ==在直角OEF V 中，||OE ===，所以2111||||122555OEF S EF OE c c =⋅⋅=⨯⨯==△，所以c =所以椭圆C 的焦距为 故选：C ．【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，点到直线的距离公式，同时考查方程的思想，属于基础题．11.已知函数32()f x x ax bx c =+++的图像关于点()0,2对称，曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线过点()2,7，设曲线()y f x =在0x =处的切线的倾斜角为α，则sin(3)tan()+⋅-παπα的值为（ ）A.4B.4C.10D. 10-【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得()()4f x f x +-=对任意x ∈R 恒成立，可得0a =，2c =，根据导数的几何意义可得在点()1,(1)f 处切线的斜率，进而可求出在点()1,(1)f 处切线的方程，将点()2,7代入切线的方程即可求出b ，进而可求出tan α，再利用诱导公式及同角三角函数关系，即可到答案． 【详解】因为函数32()f x x ax bx c =+++的图像关于点()0,2对称，所以()()4f x f x +-=对任意x ∈R 恒成立，即32324x ax bx c x ax bx c +++-+-+=对任意x ∈R 恒成立， 即22ax c +=对任意x ∈R 恒成立，所以0a =，2c =， 所以3()2f x x bx =++，所以2()3f x x b '=+，所以函数()f x 在1x =处的切线的斜率(1)3k f b '==+，又(1)3f b =+， 所以切线的方程为(3)(3)(1)y b b x -+=+-，又切线过点()2,7， 所以7(3)(3)(21)b b -+=+-，解得12b =，所以函数()f x 在0x =处的切线的斜率1(0)2k f b '===， 所以1tan 2α=，所以5sin α=，所以515sin(3)tan()sin (tan )sin tan 2+⋅-=-⋅-=⋅=⨯=παπααααα． 故选：C ．【点睛】本题考查函数的对称中心方程应用，导数的几何意义及在一点处的切线的方程，同时考查诱导公式和同角基本关系，属于中档题．12.已知点()0,4M ，点P 在抛物线28x y =上运动，点Q 在圆()2221x y +-=上运动，则2PM PQ的最小值为（ ） A. 2 B. 83C. 4D.163【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件先求得抛物线的焦点和准线方程，过P 点作PB l ⊥，垂足为B 点，求得圆的圆心和半径，运用圆外一点到圆上的点的距离的最值和抛物线的定义，结合基本不等式，即可得到所求最小值. 【详解】如图：抛物线28x y =的准线方程为:2l y =-，焦点()0,2F ，过P 点作PB l ⊥，垂足为B 点， 由抛物线的定义可得PF PB =,圆()2221x y +-=的圆心为()0,2F ，半径1r =，可得PQ 的最大值为1PF r PF +=+，由221PM PM PQ PF ≥+， 可令()11PF t t +=>，则12p PF t PB y =-==+，即()23,83p p y t x t =-=-，可得：()22224625256641p p x y PM t t t PF tt t +--+===+-≥=+，当且仅当5t =时等号成立，即2241PM PM PQ PF ≥≥+， 所以2PM PQ的最小值为4故选：C【点睛】本题考查了抛物线定义以及基本不等式求最小值，考查了计算能力，属于较难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设x ，y 满足约束条件3310x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，则z x y =+的最大值为________．【答案】3 【解析】 【分析】作出不等式组对应的平面区域，画出可行域，平移直线y x z =-+，找到z 的最大值．【详解】x ，y 满足约束条件3310x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩的可行域如图：，则z x y =+经过可行域的A 时，目标函数取得最大值， 由033y x y =⎧⎨+=⎩，解得()3,0A ，所以z x y =+的最大值为3． 故答案为：3．【点睛】本题考查了线性规划问题，求线性目标函数的最值问题，考查了画图能力．利用数形结合是解决本题的关键．14.63x x ⎛ ⎝的展开式中2x 的系数为______. 【答案】-160 【解析】 【分析】利用二项式展开式的通项公式求出展开式的通项，令3r =，即可得2x 的系数.【详解】二项式的展开式的通项为()466316632rr r r r r r T C x C x x --+⎛=⋅⋅=-⋅⋅ ⎝， 令3r =，得2x 的系数为()3362160C -⋅=-故答案为：160-【点睛】本题考查了二项式的展开式以及组合数的计算，属于较易题. 15.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，n n S a λ+=，66316S =，则λ=______. 【答案】4 【解析】 【分析】由已知条件可判断出数列{}n a 为等比数列，再由66316S =可求出首项，再令1n =即可求出λ的值. 【详解】n n S a λ+=Q ，且11n n S a λ--+=，()1111120n n n n n n n n n n S a S a S S a a a a -----∴+-+=-+-=-=，即112n n aa -=，则数列{}n a 为等比数列且公比为12， 611611263631321612a a S ⎛⎫⎛⎫⋅- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===-Q ， 12a ∴=，在n n S a λ+=中令1n =得：124a λ== 故答案为：4【点睛】本题考查了已知,n n S a 的关系求数列通项，以及等比数列前n 项和公式，考查了学生的计算能力，属于一般题.16.《九章算术》卷五《商功》中有如下叙述“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈“刍甍”指的是底面为矩形的对称型屋脊状的几何体，“下广三丈”是指底面矩形宽三丈，“袤四丈”是指底面矩形长四丈，“上袤二丈”是指脊长二丈，“无宽”是指脊无宽度，“高一丈”是指几何体的高为一丈．现有一个刍甍如图所示，下广三丈，袤四丈，上袤三丈，无广，高二丈，则该刍甍的外接球的表面积为_______________平方丈．【答案】25π 【解析】 【分析】连结AC ，BD 交于O ，可得OA OB OC OD OE OF =====，即可确定点O 为刍甍的外接球的球心，利用球的表面积公式即可得到答案．【详解】如图，连结OE ，OF ，连结AC ，BD 交于O ，可得52OA OB OC OD ====，由已知可得22352()22OE OF ==+=，所以点O 为刍甍的外接球的球心，该球的半径为52， 所以该刍甍的外接球的表面积为254()252ππ⨯=． 故答案为：25π【点睛】本题主要考查多面体外接球表面积的求法，同时考查数形结合思想，属于中档题．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.已知a ，b ，c 分别为ABC V 内角A ，B ，C 的对边，1cos 2a Bbc +=. （1）求A ； （2）若7a =ABC V 33，求ABC V 的周长. 【答案】（1）60A =︒；（2）57. 【解析】 【分析】(1)利用正弦定理把边转化为角，再由两角和的正弦可求出角A ；(2)利用三角形面积公式可得到6bc =，再由余弦定理可求出ABC V 的周长； 【详解】(1)由正弦定理知1sin cos sin sin 2A B B C +=， ∴1sin sin()sin cos sin cos 2B A B A B B A =+-=， ∴1cos 2A =，60A =︒.（或用余弦定理将cosB 换掉求解）(2)由(1)及已知可得1333222bc ⨯=，解得6bc =， 由余弦定理知22227()3a b c bc b c bc ==+-=+-，∴5b c +=，∴ABC V 的周长为57+.【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理以及面积公式，考查了学生的计算能力，属于较易题.18.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A 为正方形，AC BC ⊥，E 是1AA 的中点，D 是AC 的中点.（1）证明：平面BCE ⊥平面1BDC ；（2）若2AC BC =，求二面角1C BD C --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）13. 【解析】 【分析】(1)由题意可得BC ⊥平面11ACC A 即可得1BC C D ⊥，再利用1ACE CC D ≅△△可以得到1CE C D ⊥，由线面垂直判断定理可得1C D ⊥平面BCE ，然后根据面面垂直判断定理可得结论；(2)先以C 点为原点建立空间直角坐标系C xyz -，设1BC =，写出相关点的坐标，再求出平面1BDC 的法向量和平面CBD 的法向量，由数量积公式求出二面角1C BD C --的余弦值. 【详解】（1）∵三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，AC BC ⊥， ∴BC ⊥平面11ACC A ， ∴1BC C D ⊥，∵E 是1AA 的中点，D 是AC 的中点，∴1ACE CC D ≅△△， ∴1CE C D ⊥， ∵BC CE C =I ， ∴1C D ⊥平面BCE ， ∵1C D ⊂平面1BDC ， ∴平面BCE ⊥平面1BDC .（2）建立如图所示空间直角坐标系C xyz -，如图：设1BC =，则()1,0,0D ，()0,1,0B ，()10,0,2C ，()1,1,0DB =-u u u r ，()11,0,2DC =-u u u u r，设平面1BDC 的法向量为(),,m x y z =u r ，则1·0·0m DB m DC ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u r r uu u u r r 即020x y x z -+=⎧⎨-+=⎩， 令2x =得()2,2,1m =u r，又平面CBD 的法向量()0,0,1n =r， ∴1cos ,34411m n m n m n→→→→===++⋅⋅u r r g ， 即二面角1C BD C --的余弦值为13. 【点睛】本题考查了面面垂直的证明，向量法求二面角的余弦值，考查了学生的逻辑推理以及计算能力，属于一般题.19.已知椭圆1C ：()222210x y a a b+=>与抛物线()220y px p =>有公共的焦点F ，且公共弦长为6（1）求a ，p 的值.（2）过F 的直线l 交1C 于A ，B 两点，交2C 于M ，N 两点，且AM BN =u u u u r u u u r，求AB . 【答案】（1）3a =，2p =；（2）112. 【解析】 【分析】(1)由椭圆以及抛物线的对称性可得到交点的纵坐标，代入1C ，2C 可得到交点的横坐标，再由有公共的焦点F ，即可得到a ，p 的值；(2)先设l ：()1y k x =-，再由直线l 交1C 于A ，B 两点，交2C 于M ，N 两点，根据根与系数的关系可得横坐标之间的关系，再由已知条件AM BN =u u u u r u u u r 可得283k =，从而可求出AB .【详解】（1）∵1C ，2C 均关于x 轴对称，∴公共弦也关于x 轴对称，∵公共弦长为y =代入1C ，2C 中解得2ax =与3x p =，∴32a p=，6ap =. ∵1C ，2C 有公共的焦点，∴2282p a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，解得3a =，2p =. （2）()1,0F ，设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,M x y ，()44,N x y ， ∵AM BN =u u u u r u u u r，∴()()31314242,,x x y y x x y y --=--，即1234x x x x -=-，()()221212343444x x x x x x x x +-=+-.当l 的斜率不存在时，显然不成立，∴设l ：()1y k x =-， 将l 方程代入1C 整理得()222289189720kx k x k +-+-=，21221889k x x k+=+，212297289k x x k -=+. 将l 方程代入2C 整理得()2222240k x k x k -++=，∴234224k x x k ++=，341x x =.代入()()221212343444x x x x x x x x +-=+-中解得283k =，∵AM BN =u u u u r u u u r ，∴341122x A N x B M ++===. 【点睛】本题考查了椭圆以及抛物线的对称性，以及直线与椭圆和抛物线的关系，抛物线定义求弦长，考查了学生的计算能力，属于较难题. 20.设函数()sin cos ,[0,]2=--∈f x x a x x x π．(1)当1a =时，求函数()f x 的值域； (2)若()0f x ≤，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)1,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦π；(2),2π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】(1) 当1a =时，()sin cos f x x x x =--，求导()104f x x ⎛⎫'=-≥ ⎪⎝⎭π，可知函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，即可求出()f x 的值域；(2)根据已知可得sin cos a x x x ≥-，对x 分类讨论：当0x =时，不等式恒成立；当02x π<≤时，cos sin x xa x -≥，令cos ()sin -=x x h x x ，只需max ()a h x ≥即可，求导可得2sin 1cos ()sin x x x h x x +-'=，令()sin 1cos =+-g x x x x ，则()sin 0g x x x '=>，即可得()0h x '>，从而可得()22h x h ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭ππ，从而可得2a π≥．【详解】(1)当1a =时，()sin cos f x x x x =--，所以()1cos sin 104f x x x x ⎛⎫'=-+=+-≥ ⎪⎝⎭π 所以()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，最小值为(0)1f =-，最大值为122⎛⎫=- ⎪⎝⎭f ππ， 所以()f x 的值域为1,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦π．(2)由()0f x ≤，得sin cos a x x x ≥-， ①当0x =时，不等式恒成立，此时a R ∈； ②当02x π<≤时，cos sin x xa x -≥，令cos ()sin -=x x h x x，则22(1sin )sin (cos )cos sin 1cos ()sin sin '+--+-==x x x x x x x xh x x x，令()sin 1cos =+-g x x x x ，则()sin 0g x x x '=>， 所以()g x 在[0,]2π上单调递增，所以()(0)1g x g >=，所以()0h x '>，所以()h x 在[0,]2π上单调递增，所以()22h x h ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭ππ，所以2a π≥ 综上可得实数a 的取值范围,2π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．【点睛】本题主要考查导数在研究函数中的应用，同时考查恒成立及分类讨论的思想，属于中档题． 21.某疾病控制中心为了研究某种病毒的抗体，将这种病毒感染源放人含40个小白鼠的封闭容器中进行感染，未感染病毒的小白鼠说明已经产生了抗体，已知小白鼠对这种病毒产生抗体的概率为15.现对40个小白鼠进行抽血化验，为了检验出所有产生该种病毒抗体的小白鼠，设计了下面的检测方案：按n （140n <<，且n 是40的约数）个小白鼠平均分组，并将抽到的同组的n 个小白鼠每个抽取的一半血混合在一起化验，若发现该病毒抗体，则对该组的n 个小白鼠抽取的另一半血逐一化验，记X 为某组中含有抗体的小白鼠的个数.（1）若5n =，求X 的分布列和数学期望. （2）为减少化验次数的期望值，试确定n 的大小.（参考数据：440.415⎛⎫≈ ⎪⎝⎭，540.335⎛⎫≈ ⎪⎝⎭，840.175⎛⎫≈ ⎪⎝⎭，1040.115⎛⎫≈ ⎪⎝⎭，1040.0125⎛⎫≈ ⎪⎝⎭） 【答案】（1）分布列见解析，1；（2）4 【解析】 【分析】(1)由题意可得，随机变量X 的分布满足二项分布，所以直接利用二项分布公式即可得X 的分布列和数学期望；(2)根据平均分组得到n 的可能取值，再根据二项分布可得出化验次数的期望值进行比较大小，从而可得出此时n 的值.【详解】（1）当5n =时，15,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭:，5514()55r rr P X r C -⎛⎫⎛⎫==⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0,1,2,3,4,5r =. 其分布列为1515EX np ==⨯=.（2）根据题意2,4,5,8,10,20n =，当{}2,4,5,8,10,20n ∈时，1,5X B n ⎛⎫⎪⎝⎭:，对于某组n 个小白鼠，化验次数Y 的可能取值为1，1n +，4(1)5n P Y ⎛⎫== ⎪⎝⎭，4(1)15nP Y n ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，∴4441(1)11555n n n EY n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯++-=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴40个小白鼠化验总次数的期望为40414()140155nn f n n n n n ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+-⎢⎥⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， ()234.4f =，()433.6f =，()534.8f =，()838.2f =，()1039.6f =，()2041.5f =，∴按4个小白鼠一组化验可使化验次数的期望值最小.【点睛】本题考查了二项分布求分布列以及期望，考查了计算能力，属于一般题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy 中，将单位圆221x y +=上各点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，得到曲线C ，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．(1)求曲线C 的参数方程；(2)设M 为曲线C 上一点，N 点的极坐标为2,2π⎛⎫⎪⎝⎭，求MN 的最大值及此时点M 的坐标． 【答案】(1)2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ参数)；(2)，此时23⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭M．【解析】 【分析】(1) 根据坐标变换可得曲线C 的方程，根据平方关系可求出其参数方程；(2) 求出N 的直角坐标，再由两点间的距离公式可求出||MN ，结合三角函数即可求出最值．【详解】(1) 依题意可得曲线 C 的直角坐标方程为2214x y +=，所以其参数方程为2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)． (2)(0,2)N ，设(2cos ,sin )M θθ，则||MN ===所以当2sin 3θ=-时，||MM ，此时23⎛⎫±- ⎪ ⎪⎝⎭M ． 【点睛】本题主要考查曲线的伸缩变换，参数方程与普通方程的互化，极坐标化为直角坐标，同时考查三角函数最值的求法，属于中档题．选修4-5：不等式选讲23.设函数()211f x x x =-++的最小值为m . （1）求m 的值； （2）若,,a b c ∈R ，22212a b c m ++=，求ab bc +的取值范围. 【答案】（1）32m =；（2）33,22ab bc ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦. 【解析】 【分析】(1)由题意可把含两个绝对值的函数()211f x x x =-++进行对去绝对值得到一个分段函数，再由分段函数可得到函数的最小值；(2)利用基本不等式和三角不等式即可求出ab bc +的取值范围.【详解】（1）()3,112,1213,2x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=--<≤⎨⎪⎪>⎪⎩，显然当12x =时，()f x 取得最小值32m =.（2）∵2222311244a b b c ≥=+++ab bc ab bc =+≥+， ∴33,22ab bc ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了含两个绝对值的分段函数，基本不等式以及三角不等式求最值，属于一般题.。
湖南省六校联考2018-2019学年高二上学期期中考试数学(理)试卷
湖南省六校联考2018-2019学年高二上学期期中考试数学（理）试卷本试题卷共8页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一. 选择题(12X5=60分，每小题仅有一个答案) 1. 集合{}|(1)(2)0A x x x =-+≤，B ={}0x x <，则AB =( )A ．(,0]-∞B ．(,1]-∞C ．[1,2]D ．[1,)+∞ 2、等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 3＝4，则公差d 等于( )A ．1 B.53C ．2D ．33．已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( )A ．7B ．5C ．－5D ．－7 4、下列关于命题的说法正确的是（）A ．命题“若,12=x 则1=x ”的否命题为：“若12=x ，则1≠x ”；B ．“1-=x ”是“0652=--x x ”的必要不充分条件；C ．命题“a 、b 都是有理数”的否定是“a 、b 都不是有理数”；D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题．5.已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则C 的方程是( )A.x 23＋y 24＝1 B.x 24＋y 23＝1C.x 24＋y 22＝1 D.x 24＋y 23＝1 6.双曲线x 24－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( ) A.25 B.45C.255 D.4557.在△ABC 中，已知030,8,A a b === （）A ．．16C ．16D ．8.设{}n a 是公差不为零的等差数列，22a =．且139,,a a a 成等比数列，则数列 {}n a 的前n 项n S =( )A.2744n n + B.2322n n + C.2344n n+ D.222n n + 9.“1a =”是“直线1:210l ax y +-=与直线2:(1)40l x a y +++=平行”的（ ）A. 充要条件B.必要不充分条件C. 充分不必要条件D.既不充分也不必要条件10.设a >0，b >0.或3是3a 与3b的等比中项，则1a ＋1b的最小值为( )A ．8B ．4C ．1 D.1411.已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0，x ＋y －2≤0，若ax ＋y 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为()A.12或－1B.2或12C.－2或1D.2或－1 12如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A.2B.3C.32D.26二、填空题：（4X5=20分）13.已知实数,x y 满足20,,4430,x y y x x y -≥⎧⎪≥⎨⎪+-≥⎩则2z x y =+的最小值为 .14.已知命题p ：∀x ∈R，322++x ax ＞0，如果命题⌝P 是真命题，那么实数 a 的取值范围是．15.设等比数列{}n a 的前n 项和3n n S c =+，则常数c ＝ ． 16.现给出如下四个不等式：①112>，②111123++>，③111312372++++>，④111122315++++>，⑤11123+++…131+＞52，请你根据以上不等式的特点和规律，写出第n 不等式(即一般形式)：11123+++…+ ＞ ． 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
2019-2020学年湖南省三湘名校教育联盟2018级高二5月联考数学试卷参考答案
或 sinx＝－1，即 x＝π或 x＝7π.当 x∈（0，π）时，f′（x）<0；当 x∈（π，7π）时，f′（x）>0；
2
6
6
当 x∈（7π，3π]时，f′（x）<0，∴x0＝π，∴tan（2x0－π）＝ 3 .
62
3
16．64 解析：由已知可得球的半径 r=3，设球心到四棱锥底面的距离为 x，棱锥的高为 h＝3＋x， 3
2019-2020学年湖南省三湘名校教育联盟2018级高二5月联考数学试卷
高二数学参考答案
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
答案 A
D
B
A
A
D
C
B
B
D
C
B
1.A 解析：A＝[－1，1]，∴A∩B＝[0，1]．
2
2
2．D 解析：∵y＝ln|x|－1x2 是偶函数，∴图像关于 y 轴对称．又 x>0 时，f′(x)＝1－x＝1－x2，∴f(x) f(1)
4 有一个极值点为零点，只能是 x＝a 处，∴f (a)＝0，解得 a＝2，∴f (x)在 x＝0 处取得极大值为 .又
3
f (3)＝4，∴f (x)在[-3,3]上的最大值为4，故选 C．
3
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12.B 解析：由已知可得点 F 在以 AB 为直径的圆上， AF BF , AB 2MF 4, AF 2 BF 2 16,
a＋b＝－2.
9.B 解析：EX＝6×2＝4，DX＝6×2×（1－2）＝4，EY＝3×4－3＝3，DY＝（3）2×4＝3，∴EY
2018-2019学年高二数学上学期期中试题(4)
湘南中学2018年下期高二年级期中考试数学学科试卷时间：120分钟分值：100学校：______姓名：___________班级：___________考号：___________分卷I一、选择题(共10小题,每小题4.0分,共40分)1.“x＝1且y＝－1”是“xy＝－1”的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不必要也不充分条件2.数列2,3,4,5，…的一个通项公式为()A．a n＝n B．a n＝n＋1C．a n＝n＋2D．a n＝2n3.命题“一次函数都是单调函数”的否定是()A．一次函数都不是单调函数B．非一次函数都不是单调函数C．有些一次函数是单调函数D．有些一次函数不是单调函数4.等差数列{a n}，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8的值等于()A． 45B． 75C． 180D． 3005.设a、b是实数，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是()A． 6B． 4C． 2D． 86.(x＋1)(x＋2)＞0是(x＋1)(x2＋2)＞0的()A．必要不充分条件B．充要条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件7.1和4的等差中项和等比中项分别是()A． 5,2B．5，－2C．，4D．，±28.在△ABC中，已知sin2A＋sin2B－sin A sin B＝sin2C，且满足ab＝4，则该三角形的面积为()A． 1B． 2C．D．9.“实数m＝”是“直线l1：x＋2my－1＝0和直线l2：(3m－1)x－my－1＝0相互垂直”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10.现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为()A． 9B． 10C． 19D． 29分卷II二、填空题(共5小题,每小题4.0分,共20分)11.已知数列{a n}的通项公式为a n＝则它的前4项依次为________．12.已知△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos A＝，b＝5，B＝，则a＝________.13.已知命题p：∃c>0，y＝(3－c)x在R上为减函数，命题q：∀x∈R，x2＋2c－3>0.若p∧q为真命题，则实数c的取值范围为________．14.等比数列{a n}中，前n项和为S n，S3＝2，S6＝6，则a10＋a11＋a12＝________.15.下列所给的p，q中，p是q的充要条件的为________．(填序号)①在△ABC中，p：∠A>∠B，q：sin A>sin B；②若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；③p：|x|>3，q：x2>9.三、解答题(共5小题,共40分)16.判定下列数列是否是等差数列？（6分）(1)9,7,5,3，…，－2n＋11，…；(2)－1,11,23,35，…，12n－13，…；(3)1,2,1,2，…；(4)1,2,4,6,8,10，…；(5)a，a，a，a，a，….17.在等差数列{a n}中，已知a6＝12，a18＝36，求通项公式a n（8分）18.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c＝a sin C－c cos A.（8分）(1)求A;(2)若a＝2，△ABC的面积为，求b，c.19.已知命题p：m2＋2m－3≤0成立．命题q：方程x2－2mx＋1＝0有实数根．若¬p为假命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．（8分）20.已知数列{an}满足a1＝1，a n＋1＝2a n＋1.（10分）(1)证明数列{a n＋1}是等比数列；(2)求数列{a n}的通项公式．答案解析1.【答案】A【解析】由“x＝1且y＝－1”可以得到“xy＝－1”，当“xy＝－1”时，不一定得到“x＝1且y＝－1”，故“x＝1且y＝－1”是“xy＝－1”的充分不必要条件，故选A.2.【答案】B【解析】这个数列的前4项都比序号大1，所以，它的一个通项公式为a n＝n＋1.3.【答案】D【解析】命题的否定只对结论进行否定，“都是”的否定是“不都是”，即“有些”．4.【答案】C【解析】∵a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝(a3＋a7)＋(a4＋a6)＋a5＝5a5＝450，∴a5＝90.∴a2＋a8＝2a5＝180.5.【答案】B【解析】∵a＋b＝3，∴2a＋2b≥2＝2＝2＝4.6.【答案】A【解析】解(x＋1)(x＋2)＞0得x＜－2，或x＞－1；解(x＋1)(x2＋2)＞0，得x＞－1，∵当x＜－2，或x＞－1时，x＞－1不一定成立；当x＞－1时，x＜－2，或x＞－1成立，∴(x＋1)(x＋2)＞0是(x＋1)(x2＋2)＞0的必要不充分条件．7.【答案】D【解析】∴1和4的等差中项为＝，等比中项为±＝±2.故选D.8.【答案】D【解析】由＝＝＝2R及sin2A＋sin2B－sin A sin B＝sin2C，可得a2＋b2－ab＝c2，∴cos C＝＝，∴C＝60°，sin C＝.∴S△ABC＝ab sin C＝.9.【答案】A【解析】当实数m＝时，直线l1：x＋y－1＝0和直线l2：x－y－1＝0相互垂直，即“实数m＝”是“直线l1：x＋2my－1＝0和直线l2：(3m－1)x－my－1＝0相互垂直”的充分条件；当“直线l1：x＋2my －1＝0和直线l2：(3m－1)x－my－1＝0相互垂直”时， (3m－1)＋2m·(－m)＝0，即m＝或m＝1.即“实数m＝”是“直线l1：x＋2my－1＝0和直线l2：(3m－1)x－my－1＝0相互垂直”的不必要条件，故“实数m＝”是“直线l1：x＋2my－1＝0和直线l2：(3m－1)x－my－1＝0相互垂直”的充分不必要条件．10.【答案】B【解析】钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．∴钢管总数为：1＋2＋3＋…＋n＝.当n＝19时，S19＝190.当n＝20时，S20＝210>200.∴n ＝19时，剩余钢管根数最少，为10根．11.【答案】4,7,10,1512.【答案】8【解析】由cos A＝，得sin A＝，又由正弦定理可得＝，∴a＝＝8.13.【答案】(2,3)【解析】由于p∧q为真命题，所以p，q都是真命题，所以解得2<c<3.故实数c的取值范围为(2,3)．14.【答案】16【解析】∵S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，∴(S6－S3)2＝S3·(S9－S6)．又∵S3＝2，S6＝6，∴S9＝14.再由S6－S3，S9－S6，S12－S9成等比数列，即(S9－S6)2＝(S6－S3)·(S12－S9)，求出S12－S9＝16，即a10＋a11＋a12＝16.也可以由S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等比数列，此数列首项为S3＝2，公比q′＝＝＝2，得S12－S9＝2×23＝16.15.【答案】①②③【解析】①在△ABC中，有∠A>∠B⇔sin A>sin B，所以p是q的充要条件．②若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，即p⇒q；若a＝b＝0，则a2＋b2＝0，即q⇒p，故p⇔q，所以p是q的充要条件．③由于p：|x|>3⇔q：x2>9，所以p是q的充要条件．16.【答案】由等差数列的定义，得(1)，(2)，(5)为等差数列，(3)，(4)不是等差数列．17.【答案】a n＝2n【解析】由题意可得解得d＝2，a1＝2.∴a n＝2＋(n－1)×2＝2n.18.【答案】解(1)由c＝a sin C－c cos A及正弦定理得sin A sin C－cos A sin C－sin C＝0.由于sin C≠0，所以sin(A－)＝，又0<A<π，故A＝.(2)△ABC的面积S＝bc sin A＝，故bc＝4，而a2＝b2＋c2－2bc cos A，故b2＋c2＝8，解得b＝c＝2.19.【答案】∵¬p为假命题，p∧q为假命题，∴命题p为真命题，命题q为假命题．对于命题p：m2＋2m－3≤0成立，可得m∈[－3,1]，对于命题q：方程x2－2mx＋1＝0有实数根，可得Δ＝4m2－4≥0，解得m≥1或m≤－1. 由于q为假，则m∈(－1,1)．综上可得解得－1＜m＜1.∴实数m的取值范围是－1＜m＜1.【解析】20.【答案】(1)方法一)∵a n＋1＝2a n＋1，∴a n＋1＋1＝2(a n＋1)．由a1＝1知a1＋1≠0，从而a n＋1≠0.∴＝2(n∈N*)．∴数列{a n＋1}是等比数列．方法二)由a1＝1知a1＋1≠0，从而a n＋1≠0.∵＝＝2(n∈N*)，∴数列{a n＋1}是等比数列．(2)由(1)知{a n＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n＋1＝2×2n－1＝2n，即a n＝2n－1.【解析】。
湖南省三湘名校教育联盟2023-2024学年高二上学期11月期中联考数学试卷(含答案)
三湘名校教育联盟2023-2024学年下学期高二期中联考数学本试卷共4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合()(){}430A x x x =∈+-<Z ，(){}2log 2B x y x ==-，则()RB A =ðA.[]2,2-B.{}1,0,1-C.{}2,1,0,1,2--D.∅2.已知复数z 的共轭复数z 满足()2i 1i z +=-，则z 在复平面内对应的点位于 A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知双曲线C ：()222210,0y x a b a b-=>>的焦距为4，则C 的渐近线方程为A.2y x =±B.y =C.12y x =±D.y = 4.已知数列{}n a 中，13a =，()1112n n a n a -=-…，则2023a 等于 A.12-B.13 C.23D.35.已知()111,P x y ，()222,P x y 是直线2023y kx =+（k 为常数）上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组11221,1x x y y x x y y +=⎧⎨+=⎩的解的情况，下列说法正确的是 A.无论k ，1P ，2P 如何，总是无解 B.无论k ，1P ，2P 如何，总有唯一解 C.存在k ，1P ，2P ，使12x y =⎧⎨=⎩是方程组的一组解D.存在k ，1P ，2P ，使之有无穷多解6.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，球O 是正方体的内切球，点G 是内切球O 表面上的一个动点，则GB GC ⋅的取值范围为A.[]0,4B.2⎡⎤-⎣⎦C.4,2⎡+⎣D.2⎡-+⎣7.已知定义域为R 的函数()f x 满足()()f x f x =--，当(]12,,0x x ∈-∞且12x x ≠时，()()12120f x f x x x -<-成立.若存在[]0,1x ∈使得()()212f ax x f a --<-成立，则实数a 的取值范围是A.(),1-∞B.()+∞C.(22---+D.()1,+∞8.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>，M 和N 分别为实轴的右端点和虚轴的上端点，过右焦点F 的直线l 交C 的右支于A ，B 两点.若存在直线l 使得点M 为NAB △的重心，则C 的离心率为A.43C.2 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知直线l ：210kx y k -++=和圆O ：228x y +=，则 A.直线l 恒过定点()2,1 B.直线l 与圆O 相交C.存在k 使得直线l 与直线0l ：240x y -+=平行D.直线l 被圆O 截得的最短弦长为10.设函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是 A.若()f x 的最小正周期为π，则2ω= B.若1ω=，则()f x 的图象关于点2,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称C.若()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则403ω<< D.若()f x 在区间[]0,2π上恰有2个零点，则7131212ω<… 11.已知F 为抛物线E ：()220y px p =>的焦点，A ，B ，C 是E 上三点，且()1,2A ，则下列说法正确的是A.当B ，C ，F 三点共线时，BC 的最小值为4B.若12BC =，设B ，C 中点为M ，则点M 到y 轴距离的最小值为6C.若2BF FC =，O 为坐标原点，则BOC △的面积为2D.当AB AC ⊥时，点A 到直线BC的距离的最大值为12.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 为线段1B C 的中点，点F 和点P 分别满足111D F D C λ=，11D P D B μ=，其中[],0,1λμ∈，则下列说法正确的是A.BP ⊥平面AECB.AP 与平面11BDD B 所成角的取值范围为[]45,60︒︒C.PE PF +D.点P 到直线1B C的距离的最小值为6PE =三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知圆C 过点()0,0O ，且与直线40x y ++=相切，则满足要求的面积最小的圆C 的标准方程为______.14.已知3sin 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2sin22sin 1tan ααα++的值为______.15.已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，2AB =，1AC =，60BAC ∠=︒，则此球的体积为______.16.如图，椭圆1C ：()2211221110x y a b a b +=>>和2C ：2222221x y a b +=有相同的焦点1F ，2F ，离心率分别为1e ，2e ，B 为椭圆1C 的上顶点，21F P F P ⊥，1F ，B ，P 三点共线且垂足P 在椭圆2C 上，则12e e 的最大值是______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，存在四点()0,1A ，()7,0B ，()4,9C ，()1,3D . （1）求过A ，B ，C 三点的圆M 的方程，并判断D 点与圆M 的位置关系； （2）若过D 点的直线l 被圆M 截得的弦长为8，求直线l 的方程. 18.（本小题满分12分）长沙市某中学近几年加大了对学生奥赛的培训，为了选择培训的对象，2023年5月该中学进行一次数学竞赛，从参加竞赛的同学中，选取50名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成六组：第1组[)40,50，第2组[)50,60，第3组[)60,70，第4组[)70,80，第5组[)80,90，第6组[]90,100，得到频率分布直方图（如图），观察图中信息，回答下列问题：（1）根据频率分布直方图，估计本次考试成绩的平均数和第71百分位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）已知学生成绩评定等级有优秀、良好、一般三个等级，其中成绩不小于90分时为优秀等级，若从成绩在第5组和第6组的学生中，随机抽取2人，求所抽取的2人中至少有1人成绩优秀的概率.19.（本小题满分12分）已知a ，b ，c 分别为ABC △三个内角A ，B ，C 的对边，且cos sin 0b C C a c --=. （1）求角B ；（2）若点D 满足2AD DC =，且1BD =，求ABC △的面积的最大值. 20.（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，90ABP ∠=︒，2AB BP ==，点D 在平面ABP 内的投影F 是AB 的中点，E 是PC 的中点.（1）证明：EF ∥平面ADP ；（2）若3PD =，求二面角D EF P --的正弦值.21.（本小题满分12分） 已知函数()2ee xx f x a =-，()ln g x x =.（1）求函数()26g x x --的单调递增区间；（2）若对任意21,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，存在()1,0x ∈-∞，使得()()12f x g x ≠，求实数a 的取值范围；（3）若函数()()()F x f x f x =+-，求函数()F x 的零点个数. 22.（本小题满分12分）椭圆E ：22143x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F .过1F 作直线1l 交E 于A ，B 两点.过2F 作垂直于直线1l 的直线2l 交E 于C ，D 两点.直线1l 与2l 相交于点P . （1）求点P 的轨迹方程；（2）求四边形ACBD 面积的取值范围.三湘名校教育联盟・2023年下学期高二期中联考・数学参考答案、提示及评分细则1.【答案】C 【解析】因为()(){}{}433,2,1A x x x =∈+-<=--Z ，又(){}{}2l o g 222B x y xx x x ==-=><-或，{}22B x x =-R剟ð，所以(){}2,1,0,1,2B A =--Rð，故选C. 2.【答案】A【解析】由()2i 1i z +=-可得()()()()1i 2i 1i 13i 2i 2i 2i 55z ---===-++-，所以13i 55z =+，对应点为13,55⎛⎫⎪⎝⎭，在第一象限.故选A. 3.【答案】C【解析】由已知得，双曲线的焦点在y轴上，双曲线的焦距2c =c = 双曲线的实轴长为24a =，解得2a =，则4b ===，即双曲线C 的渐近线方程为12a y x xb =±=±.故选C. 4.【答案】D 5.【答案】B 【解析】由题意11222023,2023,y kx y kx =+⎧⎨=+⎩则()()()12211221122023202320230x y x y x kx x ky x x -=+-+=-≠，（直线2023y kx =+的斜率存在，∴12x x ≠），故1l ：111x x y y +=与2l ：221x x y y +=相交，∴方程组总有唯一解.A ，D 错误，B 正确；若1,2x y =⎧⎨=⎩是方程组的一组解，则112221,21,x y x y +=⎧⎨+=⎩则点()111,P x y ，()222,P x y 在直线21x y +=，即1122y x =-+上，但已知这两个点在直线2023y kx =+上，这两条直线不是同一条直线，∴1,2x y =⎧⎨=⎩不可能是方程组的一组解，C 错误.故选B. 6.【答案】D【解析】取BC 中点为H ，因为GB GH HB =+，GC GH HC =+， 所以2221GB GC GH HC GH ⋅=-=-，又GH GO OH =+，则2222GH GO OH GO OH =++⋅，又正方体的棱长为2，则正方体的内切球半径为1，则1GO =，2OH =，所以2322cos ,GH GO OH =+，所以21222cos ,GB GC GH GO OH ⋅=-=+，所以当GO ，OH 反向时，cos ,1GO OH =-，GB GC⋅有最小值为2-； 当GO ，OH 同向时，cos ,1GO OH =，GB GC ⋅有最大值为2+故选D. 7.【答案】D【解析】由条件可知函数()f x 在R 上单调递减.存在[]0,1x ∈使得()()212f ax xf a --<-成立等价于存在[]0,1x ∈使得不等式212ax x a -->-成立.由212ax x a -->-得()211x a x ->+，∵[]0,1x ∈，∴10x -…，∴①当1x =时，02>不成立；②当[)0,1x ∈时，211x a x +>-有解.求当[)0,1x ∈时，函数211x y x+=-的最小值.令(]()10,1t x t =-∈，则221(1)1221x t y t x t t+-+===+--， 而函数22y t t=+-是(]0,1上的减函数，所以当且仅当1t =，即0x =时，min 1y =. 故1a >，故选D. 8.【答案】A【解析】依题意，(),0M a ，()0,N b .点M 为NAB △的重心时，AB 中点3,22a b P ⎛⎫-⎪⎝⎭.设()11,B x y ，()22,A x y ，则2211221x y a b -=，2222221x y a b -=.两式作差得：22BA OP b k k a ⋅=.其中，3OP b k a=-.又因为B ，A ，F ，P 四点共线，所以232BA FPb k k ac ==-.故222332bb b a a ac -⋅=-，解得34c a =，故43e =.故选A.9.【答案】BD【解析】对于A ，由210kx y k -++=可得，()210k xy +-+=，令20x+=，即2x =-，此时1y =，所以直线l 恒过定点()2,1-，A 错误；对于B ，因为定点()2,1-=<()2,1-在圆内，所以直线l 与圆O 相交，B 正确；对于C ，因为直线0l ：240x y -+=的斜率为12，所以直线l 的斜率为12，此时直线l 的方程为240x y -+=，直线l 与直线0l 重合，故C 错误；对于D ，设直线l 恒过定点()2,1A -，圆心到直线l的最大距离为OA =，此时直线l 被圆O截得的弦长最短为=D 正确；故选BD. 10.【答案】AD【解析】对于A ，若()f x 的最小正周期为π，则2ππω=，解得2ω=，故A 正确；对于B ，若1ω=，则()sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，23x π=时，()2sin 136f x ππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，故B 错误； 对于C ，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，,6626x πππωπω⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，因为()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则6262ππωππ-<-…，解得403ω<…，故C 错误； 对于D ，[]0,2x π∈时，,2666x πππωπω⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，若()f x 在[]0,2π上恰有2个零点， 则226πππωπ-<…，解得7131212ω<…，故D 正确.故选AD. 11.【答案】ACD 【解析】依题意，2p =.对于A 选项，当B ，C ，F 三点共线时，BC 为焦点弦.通径（垂直于对称轴的焦点弦）最短，最短为2p ，故A 正确；对于B 选项，12BF CF BC +=…（当且仅当B ，C ，F 三点共线时等号成立），即212B C x x ++…，故5M x …，所以点M 到y 轴距离的最小值为5，B 错误；对于C 选项，依题意，BC 为焦点弦且2BF CF =.不妨设直线BC 的倾斜角α为锐角，则1cos pBF α=+，1cos p CF α=-，解得1cos 3α=，故22sin 2p S α==C 正确；对于D 选项，设直线BC ：x my n =+，()11,B x y ，()22,C x y ，与抛物线方程联立，得：2440y my n --=.由韦达定理有：124y y m +=，124y y n ⋅=-.依题意121222111y y x x --⋅=---.即()()()()121222110y y my n my n --++-+-=，整理得：()()()22121212(1)40m y y mn m y y n ++--++-+=.代入韦达定理可得：()()22341n m -=+，解得()213n m =±++，其中()213n m =++时，直线过定点()5,2-，()213n m =-++时，直线过点A ，不符合题意，故直线BC 过定点()5,2P -，点A 到直线BC的距离最大值为AP =正确.故选ACD. 12.【答案】ACD【解析】对于A 选项，平面AEC 即为平面1AB C ，易知A 正确；对于选项B ：如图，连接AC 交BD 于点O ，连接OP ，知AO ⊥平面11BDD B ，所以APO ∠即为AP 与面11BDD B 所成角，所以2s i n AO APO AP AP ∠==，由P 在1D B 上知AP ∈⎣，所以1sin 2APO ∠⎡∈⎢⎣⎦，因为()0,90APO ∠∈︒︒，所以APO ∠的范围是[]30,60︒︒，即直线AP 与平面11BDD B 所成角的范围是[]30,60︒︒，故B 错误；对于C 项，把问题转化为在平面11ABC D 内求点P 使得PE PF +最小，如图，作点E 关于线段1D B 的对称点1E ，过点1E 作11D C ，AB 的垂线，垂足分别为F 和H ，则1PE PF E F +…，设1E BA ∠θ=，则()1111sin sin 3ABD C BD θ∠∠=-=，故11sin 6E H BE θ==，故166E F ==.对于D 项，当23μ=时，P ∈平面1AB C 且A ，P ，E 三点共线.此时1PE B C ⊥，1PE BD ⊥，即此时P 到直线1B C的距离最小，最小值为13AE =.故选ACD. 13.【答案】()()22112x y +++=【解析】过O 作直线40x y ++=的垂线，垂足为A . 当OA 为直径时，圆C 的面积最小.O 到直线40x y ++=的距离d ==可知半径r =(),a b 在直线0x y -=上，且222a b +=，解得1a =-，1b =-，所求圆的方程为()()22112x y +++=. 14.【答案】725-【解析】由3sin 45πα⎛⎫+=⎪⎝⎭)3cos sin 5αα+=，两边平方得72sin cos 25αα=-.所以()222sin cos cos sin sin22sin 2sin cos 2sin 72sin cos sin 1tan cos sin 251cos αααααααααααααααα+++====-+++. 15.【解析】由已知该三棱柱是直三棱柱，且底面是直角三角形，90ACB ∠=︒，设D ，1D 分别是AB ，11A B 的中点，O 是1DD 中点，则O 就是三棱柱外接球球心，121sin602ABC S =⨯⨯⨯︒=△，12V Sh DD ==⨯=，即12DD =，OA ===.所以334482333V OA πππ=⨯=⨯=.16.【答案】12【解析】由图知1111OF c e a BF ==，122212222OF c c e a a PF PF ===+ 则121212PF PF e e BF +=，设12PF F ∠θ=， 则()122sin cos PF PF c θθ+=⋅+，1cos c BF θ=则()121sin cos cos 242e e πθθθθ⎛⎫=+⋅=++ ⎪⎝⎭…. 17.【解析】（1）设圆M 方程为220x y Dx Ey F ++++=，把A ，B ，C 三点坐标代入可得：10,4970,1681490,E F D F D E F ++=⎧⎪++=⎨⎪++++=⎩解得8D =-，8E =-，7F =，所以圆M 方程是228870x y x y +--+=把D 点坐标代入可得：1982470+--+<，故D 在圆M 内；（2）由（1）可知圆M ：()()224425x y -+-=，则圆心()4,4M ，半径5r =，由题意可知圆心到直线l 的距离是3，当直线l 斜率存在时，设直线l 方程为：()1330y k x kx y k =-+⇒-+-=，3=，解得43k =-，故直线l 的方程为43130x y +-=； 当直线l 斜率不存在时，则直线l 方程为：1x =，此时圆心到直线l 的距离是3，符合题意.综上所述，直线l 的方程为43130x y +-=或1x =.18.【解析】（1）450.1550.26650.2750.3850.08950.0666.8x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，所以本次考试成绩的平均分约为66.8；因为成绩在[)40,70的频率为()0.010.0260.02100.56++⨯=，成绩在[)40,80的频率为0.560.03100.86+⨯=，所以第71百分位数位于[)70,80，设其为x ，则()0.56700.030.71x +-⨯=，解得75x =，所以第71百分位数为75；（2）第5组的人数为：500.008104⨯⨯=人，可记为A ，B ，C ，D ；第6组的人数为：500.006103⨯⨯=人，可记为a ，b ，c ；则从中任取2人，有(),A B ，(),A C ，(),A D ，(),A a ，(),A b ，(),A c ，(),B C ，(),B D ，(),B a ，(),B b ，(),B c ，(),C D ，(),C a ，(),C b ，(),C c ，(),D a ，(),D b ，(),D c ，(),a b ，(),a c ，(),b c ，共21种情况，其中至少有1人成绩优秀的情况有(),A a ，(),A b ，(),A c ，(),B a ，(),B b ，(),B c ，(),C a ，(),C b ，(),C c (),D a ，(),D b ，(),D c ，(),a b ，(),a c ，(),b c ，共15种情况.所以至少有1人成绩优秀的概率155217P ==.19.【解析】（1）由正弦定理可得：sin cos sin sin sin 0B C B C A C --=又在三角形ABC 中，()sin sin A B C =+，∴()sin cos sin sin sin 0B C B C B C C -+-=，sin cos sin sin 0B C B C C --=，又在三角形ABC 中，sin 0C >，cos 1B B -=，∴1sin 62B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ∵()0,B π∈，∴3B π=；（2）由2AD DC =，可得()11123333BD BA AD BA AC BA BC BA BC BA =+=+=+-=+， 两边平方可得222144999BD BC BA BC BA =++⋅，即221441cos 999a c ac B =++， 所以229426a c ac ac =++…，当且仅当2a c =时取“=”，所以32ac …，所以1sin 2ABC S ac B =…△所以ABC △. 20.【解析】（1）证明：取DP 的中点G ，连接EG ，GA∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB CD ∥，∵F 为AB 中点，∴AF CD ∥，且12AF CD =， ∵G 为DP 中点，E 为CP 中点，∴EG 为CDP △的中位线，∴EG CD ∥，且12EG CD =， 即AF EG ∥，且AF EG =，故四边形AFEG 是平行四边形，∴EF AG ∥，又AG ⊂平面ADP ，EF ⊄平面ADP ，∴EF ∥平面ADP ；（2）取CD 中点N ，连接BN ，∵点D 在平面ABP 内的投影为F ，∴DF ⊥平面ABP .∵PF ===3DP =∴2DF ===，∵BN CD ⊥，则2BN DF ==，由于BA ，BN ，BP 两两垂直，则可以点B 为坐标原点建系，以BA 为x 轴，BP 为y 轴，BN 为z 轴，则有()0,0,0B ，()2,0,0A ，()0,2,0P ，()1,0,0F ，1,1,12E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()1,0,2D ， 则3,1,12DE ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，3,1,12EF ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()1,2,0FP =-， 设平面DEF 的法向量为()1111,,n x y z =，则110,0,DE n EF n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即11111130,230,2x y z x y z ⎧-+-=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩ 令13y =，则12x =，10z =，故()12,3,0n =，设平面PEF 的法向量为()2222,,n x y z =，则220,0,EF n FP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即2222230,220,x y z x y ⎧--=⎪⎨⎪-+=⎩ 令21y =，则22x =，22z =，故()22,1,2n =，1212124cos ,13n n n n n n ⋅+===⋅ 设二面角D EF P --的平面角为θ，则sin θ==. 故二面角D EF P --的正弦值为39. 21.【解析】（1）由260x x -->得：2x <-或3x >，即()26g x x --的定义域为{}23x x x <->或，令26m x x =--，ln y m =在()0,m ∈+∞内单调递增， 而(),2x ∈-∞-时，26m x x =--为减函数， ()3,x ∈+∞时，26m x x =--为增函数，故函数()26g x x --的单调递增区间是()3,+∞. （2）由21,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦与()1,0x ∈-∞可知()[]21,1g x ∈-，()1e 0,1x ∈ 所以112e e 1x x a ->或112e e 1x x a -<-， 分离参数得11211e e x x a >+，或11211e e x x a <-有解， 令11ex n =，则1n >，2a n n >+或2a n n <-有解， 得2a >或0a <；（3）依题意()()()222ee e e e e e e 2x x x x x x x x F x a a a a ----=-+-=+-+-， 令e e x x t -=+，则函数()F x 转化为()()222h t at t a t =--…，此时只需讨论方程220at t a --=大于等于2的解的个数，①当0a =时，()0h t t =-=没有大于等于2的解，此时()F x 没有零点；②当0a >时，()020h a =-<，当()20h >时，1a >，方程没有大于等于2的解，此时()F x 没有零点；当()20h =时，1a =，方程有一个等于2的解，函数()F x 有一个零点；当()20h <时，01a <<，方程有一个大于2的解，函数()F x 有两个零点.③当0a <时，()020h a =->，()2220h a =-<恒成立，即方程不存在大于等于2的解，此时函数()F x 没有零点.综上所述，当1a =时，()F x 有一个零点；当01a <<时，()F x 有两个零点；当0a …或1a >时，()F x 没有零点.22.【解析】（1）设(),P x y ，依题意()11,0F -，()21,0F ，且120PF PF ⋅=.所以()()2110x x y +-+=，整理得221x y +=. 故点P 的轨迹方程为221x y +=；（注：也可以用斜率之积为1-来求轨迹方程，但需讨论斜率不存在的特殊情况.否则扣1分）（2）依题意，12S AB CD =⋅. 过1F 作平行于2l 的直线交E 于M ，N 两点，由对称性知CD MN =.①当1l 的斜率为0或斜率不存在时，14362S =⨯⨯=； ②当1l 的斜率存在且不为0时，设1l ：1x my =-，()11,A x y ，()22,B x y .联立方程221,34120,x my x y =-⎧⎨+-=⎩消元得：()2234690m y my +--=.()2Δ1441m =+故()2212134m AB m +==+， 同理，()2222112112143134m m CD MN m m ⎡⎤⎛⎫-+⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎢⎥⎣⎦===+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭. 故()()()2222721123443m S AB CD m m +=⋅=++. 令21t m =+，()1,t ∈+∞，则()()22727211314112t S t t t t ==+--++， 其中211491212,4t t ⎛⎤-++∈ ⎥⎝⎦， 故288,649S ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭. 综上，288,649S ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.。
湖南省湖南师范大学附属中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学(理)试题 Word版含解析
湖南师大附中2018－2019学年度高二第一学期期中考试数学(理科)一、选择题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.不等式x2－5x＋6<0的解集是A. {x|－2<x<3}B. {x|－3<x<2}C. {x|2<x<3}D. {x|－3<x<－2}【答案】C【解析】【分析】根据二次不等式的解法得到答案.【详解】不等式x2－5x＋6<0等价于（x-2）(x-3)<0,根据二次函数的性质得到，解集是(2，3)，故选C【点睛】与集合元素有关问题的思路：（1）确定集合的元素是什么，即确定这个集合是数集还是点集．（2）看这些元素满足什么限制条件．（3）根据限制条件列式求参数的值或确定集合元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．2.在等差数列{a n}中，若a5，a7是方程x2－2x－6＝0的两根，则{a n}的前11项的和为A. 22B. －33C. －11D. 11【答案】D【解析】【分析】a5，a7是方程x2－2x－6＝0的两根,则a5＋a7＝2, S11＝=11 a6进而得到结果【详解】等差数列{a n}中，若a5，a7是方程x2－2x－6＝0的两根，则a5＋a7＝2，∴a6＝(a5＋a7)＝1，∴{a n}的前11项的和为S11＝＝11a6＝11×1＝11.故选D.【点睛】点睛：本题考查等差数列的通项公式，是基础的计算题，对于等差数列的小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质.3.在△ABC中，c＝，A＝75°，B＝45°，则△ABC的外接圆面积为A. B. π C. 2π D. 4π【答案】B【解析】【分析】根据正弦定理可得2R＝，解得R＝1，故△ABC的外接圆面积S＝πR2＝π.【详解】在△ABC中，A＝75°，B＝45°，∴C＝180°－A－B＝60°.设△ABC的外接圆半径为R，则由正弦定理可得2R＝，解得R＝1，故△ABC的外接圆面积S＝πR2＝π.故选B.【点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现及、时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.4.设x，y满足约束条件则z=x+y的最大值为（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】如图，作出不等式组表示的可行域，则目标函数经过时z取得最大值，故，故选D．点睛:本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数的最值取法或值域范围．5.若，则下列说法正确的是（）A. 若，，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】D【解析】【分析】根据不等式的基本性质以及特殊值法判断即可．【详解】A．取a=1，b=-3，c=2，d=1，可知不成立，B．取c=0，显然不成立，C．取a=-3，b=﹣2，显然不成立，D．根据不等式的基本性质，显然成立，综上可得：只有B正确．故选：D．【点睛】本题考查了不等式的基本性质、举反例否定一个命题的方法，考查了推理能力，属于基础题．6.在△ABC中，若AB＝，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】在△ABC中，设A、B、C所对的边分别为a，b，c，则由c2＝a2＋b2－2ab cos C，得13＝9＋b2－2×3b×，即b2＋3b－4＝0，解得b＝1(负值舍去)，即AC＝1.故选A.7.已知数列{a n}满足：a1＝－13，a6＋a8＝－2，且a n－1＝2a n－a n＋1(n≥2)，则数列的前13项和为A. B. － C. D. －【答案】B【解析】【分析】根据题干变形可得到数列{a n}为等差数列，再由等差数列的公式得到通项，最终裂项求和即可. 【详解】a n－1＝2a n－a n＋1(n≥2)，可得a n＋1－a n＝a n－a n－1，可得数列{a n}为等差数列，设公差为d，由a1＝－13，a6＋a8＝－2，即为2a1＋12d＝－2，解得d＝2，则a n＝a1＋(n－1)d＝2n－15.，即有数列的前13项和为＝×＝－.故选B.【点睛】这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。
湖南省三湘名校教育联盟2018-2019学年高二数学下学期期末考试试题 理(含答案)
湖南省三湘名校教育联盟2018～2019学年高二下学期期末考试数学试题 理本试卷共4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结朿后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 A={0 <)4)1(−+x x x ,B= {1 >xxe }，则=B A A.(0,1) B. (0,4) C.(1,4) D.(4, +∞)2.复数iiz +−=13的共轭复数z 在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知等差数列{n a }的前n 项和为n S ，56,473==S a ，则=7a A.10B.12C.16D.204.下列函数既是偶函数，又在(0，+∞)上为减函数的是A. 1−=x yB. x y 1ln =C.xx y −−=22 D. ⎪⎩⎪⎨⎧−+=0<,20>,222x x x x x x y5.已知βα,为两个不同平面，l 为直线且α⊥l ，则“βα⊥”是“α∥l ”的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知向量0),,1(),1,3(=⋅=−=t ，若0 <t ，则=t A.-4B.-3C.-2D.-17.设1.14)21(,2log ,5lg ===c b a ，则 A. a>b>cB. a>c>bC. c>a>bD. c>b>a8.如图是求样本数据方差S 的程序框图，则图中空白框应填入的内容为A. 8)(2x x S S i −+=B.8)()1(2x x S i S i −+−=C. i x x S S i 2)(−+=D. ix x S i S i 2)()1(−+−=9.将函数)cos()(ϕ+=x x f 图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵 坐标不变），再把得到的图像向左平移6π个单位长度，所得函数图像关 于2π=x 对称，则=ϕtanA. 33−B. 3−C. 33± D. 3± 10.过双曲线C: )0>0,>(12222b a b y a x =−的一个焦点F 向其一条渐近线x y l 21:=作垂线，垂足为E,0为坐标原点，若△OEF 的面积为1，则C 的焦距为 A. 5− B.3 C. 52 D. 511.已知函数c bx ax x x f +++=23)(的图像关于点（0,2)对称，曲线)(x f y =在点（1，)1(f )处的切线过点(2,7)，设曲线)(x f y =在0=x 处的切线的倾斜角为α，则)tan()3sin(απαπ−⋅+的值为A.105 B. 105− C. 426− D. 462− 12.已知点M(0,4)，点P 在抛物线y x 82=上运动，点Q 在圆1)2(22=−+y x 上运动，则PQPM 2的最小值为 A.2 B. 38 C.4 D. 316二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
湖南省三湘名校教育联盟2018-2019学年高二上学期期中考试理科数学试题(附解析)
湖南省三湘名校教育联盟2018-2019学年上学期高二期中考试理科数学一：选择题。
1.已知集合，且，则集合B可以是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解出集合，或，由得出B．【详解】解：，或，且；符合条件的只有B．故选：B．【点睛】本题考查描述法的定义，以及并集的定义及运算2.已知命题p：，，则为A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】【分析】根据全称命题的否定为特称命题可得答案．【详解】解：命题p：，，则为，，故选：D．【点睛】本题考查的知识点是全称命题，命题的否定，熟练掌握全特称命题的否定方法是解答的关键．3.已知，均为单位向量，，则A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知结合向量数量积的性质可求，代入即可求解．【详解】解：，均为单位向量，且，，，则，故选：B．【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的性质的简单应用，属于基础试题．4.已知等差数列的前n项和为，，则A. 3B. 6C. 9D. 12【答案】B【解析】分析：把已知与求值式全部用首项和公差表示，详解：由题意，∴，∴．故选B．点睛：等差数列与等比数列中基本量法是最基本最重要的方法，必须掌握，解等差数列和等比数列的问题大多数情况下都可用基本法求解，即用首项和公差（比）表示出已知条件，如能求出首项和公差（比）就求出，否则得出它们的关系式，再把待求式也用首项和公差（比）表示后就可求得结论．5.已知E、F分别为椭圆的左、右焦点，倾斜角为的直线l过点E，且与椭圆交于A，B两点，则的周长为A. 10B. 12C. 16D. 20【答案】D【解析】【分析】利用椭圆的定义即可得到结果．【详解】椭圆，可得，三角形的周长，，所以：周长，由椭圆的第一定义，，所以，周长．故选：D．【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义的应用，三角形的周长的求法，属于基本知识的考查．6.已知数列满足，，则A. 2nB.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用数列的递推关系式，推出是等差数列，然后求解数列的通项公式．【详解】数列满足，，可得：，所以数列是等差数列，可得：，可得，故选：D．【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用，数列的通项公式的求法，考查计算能力．7.设a、，原命题“若，则”，则关于其逆命题、否命题、逆否命题的结论正确的是A. 逆命题与否命题均为真命题B. 逆命题为假命题，否命题为真命题C. 逆命题为假命题，逆否命题为真命题D. 否命题为假命题，道否命题为真命题【答案】A【解析】【分析】判断出原命题是假命题，从而原命题的逆否命题是假命题；再判断现原命题的逆命题是真命题，从而原命题的否命题是真命题．【详解】解：原命题：“设a、，原命题“若，则”，是假命题，原命题的逆否命题是假命题；原命题的逆命题：“若，则”，是真命题，原命题的否命题是真命题．故选：A．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.下列函数中，最小周期为且为偶函数的是A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用三角函数的奇偶性、周期性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．【详解】解：为偶函数，但它的最小正周期为，故排除A；由于为非奇非偶函数，故排除B；为偶函数，但它的最小正周期为，故排除C；为偶函数，且它的最小正周期为，故D满足条件，故选：D．【点睛】本题主要考查三角函数的奇偶性、周期性，属于基础题．9.要得到函数的图象，只需将函数的图象A. 向左平移个单位B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 向右平移个单位【答案】D【解析】【分析】利用三角恒等变换、函数的图象变换规律，得出结论．【详解】解：函数，故将函数的图象向右平移个单位，可得的图象，故选：D．【点睛】本题主要考查三角函数的恒等变换，函数的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题．10.当时，恒成立，则a的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】对，不等式恒成立通过以及，利用二次函数的性质即可得出．【详解】解：当时，不等式不恒成立，由二次函数的性质可知：，且，解得，时，不恒成立，综上．故选：C．【点睛】本题考查了不等式恒成立问题的等价转化方法、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11.已知P是椭圆E：上异于点，的一点，E的离心率为，则直线AP与BP的斜率之积为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用点P与双曲线实轴两顶点连线的斜率之积的不等式，建立等式，考查双曲线的方程，即可确定a，b的关系，从而通过双曲线的离心率，求解即可．【详解】设，点，，椭圆椭圆E：，椭圆的离心率为，，，则，所以，点P与双曲线实轴两顶点连线的斜率之积为：，故选：C．【点睛】本题考查斜率的计算，考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于中档题．12.在中，若，则角A的最大值为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据即可得出，从而得出，进而得出，从而可求出A的最大值．【详解】；，；，且；的最大值为．故选：A．【点睛】本题考查向量数量积的运算及计算公式，向量垂直的充要条件，向量减法的几何意义，以及的应用．二：填空题。
湖南省三湘名校教育联盟2020-2021学年高二上学期期中考试理科数学试题
【校级联考】湖南省三湘名校教育联盟2020-2021学年高二上学期期中考试理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}2230A x x x =--，且A B R ⋃=，则集合B 可以是( ) A ．{|3}x x ≥ B ．{|1}x x ≥- C ．{|3}x x <D ．{|13}x x -<<2．已知命题p ：0x ∀≥，sin x x ≥，则p ⌝为( ) A ．0x ∀<，sin x x < B ．0x ∀≥，sin x x < C ．00x ∃<，00sin x x <D ．00x ∃≥，00sin x x <3．已知a ⃗ ，b ⃗ 均为单位向量，|a ⃗ +b ⃗ |=√3，则(2a ⃗ +b ⃗ )⋅(a ⃗ −b ⃗ )=( ) A ．−12B ．12C ．−32D ．324．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，3627S S +=，则24(a a += ) A ．3B ．6C ．9D ．125．已知E 、F 分别为椭圆221259x y +=的左、右焦点，倾斜角为60的直线l 过点E ，且与椭圆交于A ，B 两点，则FAB 的周长为( ) A ．10B ．12C ．16D ．206．已知数列{a n }满足a 1=2，a n+1=2a na n +2，则a n =( ) A ．2nB ．n +1C ．1n +1D ．2n7．设a 、b R ∈，原命题“若21()2x a b >+，则22x a b >+”，则关于其逆命题、否命题、逆否命题的结论正确的是( ) A ．逆命题与否命题均为真命题 B ．逆命题为假命题，否命题为真命题 C ．逆命题为假命题，逆否命题为真命题 D ．否命题为假命题，逆否命题为真命题8．下列函数中，最小周期为π且为偶函数的是( )A ．f(x)=sin|2x|B ．f(x)=tan(x −π4) C ．f(x)=|cos2x|D ．f(x)=1−tan 2x 1+tan 2x9．要得到函数()cos2sin 26f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数()cos2g x x =的图象( )A ．向左平移3π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移6π个单位D ．向右平移6π个单位10．当()0,x ∈+∞时，230ax x a -+≥恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．][33,,22⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭11．已知P 是椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>上异于点(),0A a -，(),0B a 的一点，EAP 与BP 的斜率之积为( ) A ．34-B ．34C ．14-D ．1412．在△ABC 中，若(3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⊥CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则角A 的最大值为( ) A ．π6 B ．π3C ．2π3D ．5π6二、填空题13．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S6S 3=4，则a 92a7a 8=______．14．已知向量()2,sin a α=，()1,cos b α=，且//a b ，则()5sin cos tan 24ππαπαα⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭___．15．在ABC 中，AB AC =，120BAC ∠=，过点A 作AB 的垂线交BC 于点D ，AC x AB y AD =+，则xy=______．16．如图，ABC 中，ACB ∠为钝角，10AC =，6BC =，过点B 向ACB ∠的角平分线引垂线交于点P，若AP =ABP 的面积为______．三、解答题17．△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知(2b −a)cosC =c ⋅cosA ． (1)求角C ；(2)若c =7，△ABC 的面积为10√3，求△ABC 的周长．18．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知22n S n n =+，*n N ∈．()1求数列{}n a 的通项公式； ()2设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 19．已知x ，y 满足约束条件2040250x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩．()1若z mx y =-+取得最小值的最优解有无数多个，求m 的值； ()2求22z x y =+的取值范围．20．已知数列{b n } 的前n 项和为S n ，S n +b n =2，等差数列{a n } 满足b 1a 2=3，b 1+a 5=7 （Ⅰ）求数列{a n }，{b n }的通项公式； （Ⅱ）证明：a 1b 2+a 2b 3+⋯+a n b n+1<3. 21．设函数()cos 22sin sin .344f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1求()f x 的单调递减区间及其图象的对称轴方程；()2若()f x 在区间,12a π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求实数a 的取值范围． 22．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个顶点为A(−3,0)，且经过点(2,53). (1)求椭圆C 的方程；(2)过点A 作斜率为k(k ≠0)的直线l 交C 于另一点D ，交y 轴点E ，P 为线段AD的中点，O为坐标原点，是否存在点Q满足对于任意的k(k≠0)都有OP⊥EQ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1．B 【解析】 【分析】解出集合A {x |x 1=<-或x 3}>，由A B R ⋃=得出B ． 【详解】 解：A {x |x 1=<-或x 3}>，且AB R ⋃=；∴符合条件的只有B ．故选B ． 【点睛】本题考查描述法的定义，以及并集的定义及运算 2．D 【分析】根据全称命题的否定为特称命题可得答案． 【详解】解：命题p ：x 0∀≥，x sinx ≥，则p ￢为0x 0∃≥，00x sinx <， 故选D ． 【点睛】本题考查的知识点是全称命题，命题的否定，熟练掌握全(特)称命题的否定方法是解答的关键． 3．B 【解析】 【分析】由已知结合向量数量积的性质可求a ⃗ ⋅b ⃗ ，代入即可求解． 【详解】解：∵a ⃗ ，b ⃗ 均为单位向量，且|a ⃗ +b ⃗ |=√3， ∴3=a ⃗ 2+2a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2，∴a ⃗ ⋅b ⃗ =12，则(2a ⃗ +b ⃗ )⋅(a ⃗ −b ⃗ )=2a ⃗ 2−a ⃗ ⋅b ⃗ −b ⃗ 2=12，故选：B ． 【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的性质的简单应用，属于基础试题． 4．B 【解析】分析：把已知与求值式全部用首项1a 和公差d 表示，详解：由题意361113361591827S S a d a d a d +=+++=+=，∴123a d +=， ∴2411113242(2)236a a a d a d a d a d +=+++=+=+=⨯=． 故选B ．点睛：等差数列与等比数列中基本量法是最基本最重要的方法，必须掌握，解等差数列和等比数列的问题大多数情况下都可用基本法求解，即用首项和公差（比）表示出已知条件，如能求出首项和公差（比）就求出，否则得出它们的关系式，再把待求式也用首项和公差（比）表示后就可求得结论． 5．D 【分析】利用椭圆的定义即可得到结果． 【详解】椭圆221259x y +=，可得5a =，三角形2AF B 的周长22AF BF AB =++，11AB AF BF =+， 所以：周长1212AF AF BF BF =+++，由椭圆的第一定义，1212210AF AF BF BF a +=+==， 所以，周长420a ==． 故选D ． 【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义的应用，三角形的周长的求法，属于基本知识的考查． 6．D 【解析】 【分析】利用数列的递推关系式，推出{1a n}是等差数列，然后求解数列的通项公式．【详解】数列{a n }满足a 1=2，a n+1=2a na n +2，可得：1an+1−1a n=12，所以数列{1a n}是等差数列，可得：1a n=12+12(n −1)=n2， 可得a n =2n ， 故选：D ． 【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用，数列的通项公式的求法，考查计算能力． 7．A 【分析】判断出原命题是假命题，从而原命题的逆否命题是假命题；再判断现原命题的逆命题是真命题，从而原命题的否命题是真命题． 【详解】解：原命题：“设a 、b R ∈，原命题“若21x (a b)2>+，则22x a b >+”，是假命题， ∴原命题的逆否命题是假命题；原命题的逆命题：“若22x a b >+，则21x (a b)2>+”，是真命题， ∴原命题的否命题是真命题．故选A ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 8．D 【解析】 【分析】利用三角函数的奇偶性、周期性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论． 【详解】解：∵f(x)=sin|2x|为偶函数，但它的最小正周期为12⋅2π2=π2，故排除A ；由于f(x)=tan(x −π4)为非奇非偶函数，故排除B ； ∵f(x)=|cos2x|为偶函数，但它的最小正周期为12⋅2π2=π2，故排除C ； ∵f(x)=1−tan 2x 1+tan x=cos 2x−sin 2x cos x+sin x=cos2x 为偶函数，且它的最小正周期为2π2=π，故D 满足条件， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查三角函数的奇偶性、周期性，属于基础题． 9．D 【分析】利用三角恒等变换、函数()y Asin ωx φ=+的图象变换规律，得出结论． 【详解】 解：函数()π11πf x cos2x sin 2x cos2x cos2x cos2x cos 2x 6223⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-=+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故将函数()g x cos2x =的图象向右平移π6个单位，可得()f x 的图象， 故选D ． 【点睛】本题主要考查三角函数的恒等变换，函数()y Asin ωx φ=+的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题． 10．C 【解析】 【分析】对()x 0,∞∀∈+，不等式2ax 3x a 0-+≥恒成立⇔通过a 0=以及a 0>、a ＜0，利用二次函数的性质即可得出．【详解】解：当a 0=时，不等式不恒成立，由二次函数的性质可知：a 0>，且294a 0=-≤，解得3a 2≥， a 0<时，2ax 3x a 0-+≥不恒成立，综上3a ,2∞⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭． 故选C ． 【点睛】本题考查了不等式恒成立问题的等价转化方法、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 11．C 【分析】利用点P 与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积的不等式，建立等式，考查椭圆的方程，即可确定a ，b 的关系，从而通过椭圆的离心率，求解即可． 【详解】设(),P x y ，点(),0A a -，(),0B a ，椭圆E ：22221x y a b +=，22222a x yb a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭2c a ∴=，2234c a =，则22234a b a -=，所以2214b a =， ∴点P 与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积为：2222214y y y b x a x a x a a ⋅==-=-+--， 故选C ． 【点睛】本题考查斜率的计算，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于中档题． 12．A 【解析】 【分析】根据(3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⊥CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 即可得出(3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，从而得出0=(3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=3|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−4|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosA ，进而得出cosA ≥√32，从而可求出A 的最大值． 【详解】∵(3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⊥CB⃗⃗⃗⃗⃗ ； ∴0=(3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=3|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−4AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， =3|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−4|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosA ≥2√3|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |−4|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosA ； ∴cosA ≥√32，且0<A <π；∴A 的最大值为π6． 故选：A ． 【点睛】本题考查向量数量积的运算及计算公式，向量垂直的充要条件，向量减法的几何意义，以及a 2+b 2≥2ab 的应用． 13．3 【解析】 【分析】根据题意，由等比数列的求和公式，求出公比，再根据通项公式即可求出． 【详解】解：设等比数列的公比为q ，由S 6S 3=4，可得1−q 61−q =1+q 3=4，解得q 3=3，∴a 92a 7a 8=a 7q 2⋅a 8q a 7a 8=q 3=3，故答案为：3． 【点睛】本题考查了等比数列的定义和通项公式以及前n 项和公式的应用问题，属于基础题． 14．415【解析】 【分析】由已知求得tan α，再由诱导公式及同角三角函数基本关系式化简求值． 【详解】解：由()a 2,sin α=，()b 1,cos α=，且a //b ， 得2cos αsin α0-=，即tan α2=．()()π5ππsin απcos αtan αsin αsin αtan α244⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-+-=-⋅-⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()22222212sin αtan α4sin α12153sin αcos α3tan α1-=⋅===-+-+-+．故答案为415-． 【点睛】本题考查平面向量共线的坐标运算，训练了利用诱导公式及同角三角函数基本关系式化简求值，是基础题． 15．13- 【解析】 【分析】由题意，可得出22BD AD DC ==，由向量三角形法则可得出3122AC AD AB =-，再结合AC x AB y AD =+，根据平面向量基本定理，得出x ，y 的值，即可得出答案． 【详解】在ABC 中，AB AC =，120BAC ∠=，过点A 作AB 的垂线交BC 于点D 如图30ABC ∴∠=，2BD AD ∴=，且60ADB ∠=， 所以DC AD =22BD AD DC ∴==，()11312222AC AD DC AD BD AD AD AB AD AB ∴=+=+=+-=-， 又AC x AB y AD =+，12x ∴=-，32y =13x y ∴=-． 故答案为13- 【点睛】本题考查平面向量基本定理以及向量加法减法运算法则，属于向量基本题．16．【分析】设CP x =，ACP BCP α∠=∠=，利用直角三角形的边角关系和余弦定理求得x 和cos α的值，再计算sin ACB ∠以及ABCS 、ACPS和BCP S的值，从而求得ABP 的面积．【详解】 如图所示，设CP x =，ACP BCP α∠=∠=， 则cos 6x α=， 由余弦定理得，2222cos AP AC x x AC α=+-⋅⋅，解得x =cos α=；sin sin22ACB α∴∠===16102ABCS∴=⨯⨯=11023ACPS=⨯⨯=1623BCPS=⨯⨯=20ABPABCACPBCPSSSS∴=--==即ABP 的面积为 【点睛】本题考查了解三角形的应用问题，也考查了三角形面积计算问题，是中档题． 17．（1）π3（2）20 【解析】 【分析】(1)由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得2sinBcosC =sinB ，由sinB >0，可求cosC =12，结合范围C ∈(0,π)，可求C 的值；(2)由(1)及三角形面积公式可求ab =40，由余弦定理可求a +b 的值，即可解得△ABC 的周长． 【详解】(1)∵(2b −a)cosC =c ⋅cosA ，∴由正弦定理可得：(2sinB −sinA)cosC =sinCcosA ，可得：2sinBcosC =sinAcosC +sinCcosA =sin(A +C)=sinB ， ∵sinB >0， ∴解得：cosC =12， ∵C ∈(0,π)， ∴C =π3，(2)由(1)及已知可得：△ABC 的面积为10√3=12ab ×√32，解得ab =40，∵由余弦定理可得：c 2=a 2+b 2−ab ，可得：49=(a +b)2−3ab =(a +b)2−3×40，解得：a +b =13，∴△ABC 的周长a +b +c =13+7=20 【点睛】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 18．（1）=41n a n -（2）129nn +【解析】试题分析：（1）由n a 与n S 之间的关系求出通项公式；（2）求出111()44143n b n n =--+，再用裂项相消法求出前n 项和．试题解析：（1）由22n S n n =+，得当1n =时，113a S ==；当2n ≥时，1n n n a S S -=- ()()222211n n n n ⎡⎤=+--+-⎣⎦41n =-.所以41n a n =-. （2）11n n n b a a +=()()14143n n =-+ 11144143n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，所以11111[437710n T ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 11]4143n n ⎛⎫+⋅⋅⋅+- ⎪-+⎝⎭1114343129n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭. 19．（1）m 1=-或m 2=；（2）8z 130≤≤. 【分析】利用约束条件画出可行域，()1利用目标函数的最优解求解即可；()2利用目标函数的几何意义，转化求解即可．【详解】作出约束条件的可行域如图：由图形可知：()A 3,1，()B 7,9，()C 1,3；()1z mx y =-+取得最小值的最优解有无数多个，若m 0>，则m 2=；若m 0<，则m 1=-，故m 1=-；所以m 1=-或m 2=．()222z x y =+的几何意义是可行域内的点与()0,0的距离的平方，由图可得：2min z 8==；2max z |OB |130==．8z 130∴≤≤．【点睛】本题考查线性规划的简单应用，判断目标函数的最值的求法，目标函数的几何意义是解题的关键，考查数形结合以及计算能力． 20．（Ⅰ）a n =n +1,b n =(12)n−1；（Ⅱ）详见解析.【分析】（Ⅰ）根据b n =S n −S n−1，整理可得b n =12b n−1，从而可知{b n }为等比数列，将n =1代入S n +b n =2可求得b 1，根据等比数列通项公式求出b n ；将b 1a 2=3，b 1+a 5=7化为a 1和d 的形式，求解出基本量，根据等差数列通项公式求得a n ；（Ⅱ）利用错位相减法求解出a 1b 2+a 2b 3+⋅⋅⋅+a n b n−1=3−n+32n，由n+32n >0可证得结论.【详解】（Ⅰ）∵S n +b n =2 ∴当n =1时，b 1=S 1=2−b 1 ∴b 1=1 当n ≥2时，b n =S n −S n−1=2−b n −2+b n−1，整理得：b n =12b n−1 ∴数列{b n }是以1为首项，12为公比的等比数列 ∴b n =(12)n−1设等差数列{a n }的公差为d∵b 1a 2=3，b 1+a 5=7 ∴{a 1+d =3a 1+4d =6 ，解得：{a 1=2d =1∴a n =a 1+(n −1)d =2+(n −1)×1=n +1（Ⅱ）证明：设T n =a 1b 2+a 2b 3+⋅⋅⋅+a n b n−1=2×12+3×(12)2+⋅⋅⋅+(n +1)⋅(12)n∴12T n =2×(12)2+3×(12)3+⋅⋅⋅+(n +1)⋅(12)n+1两式相减可得：12T n =1+(12)2+(12)3+⋅⋅⋅+(12)n −(n +1)⋅(12)n+1=1−(n +1)⋅(1)n+1+14(1−12n−1)1−12=3−n +3n+1T n =3−n +32n即a 1b 2+a 2b 3+⋅⋅⋅+a n b n−1=3−n+32n∵n+32n>0 ∴a 1b 2+a 2b 3+⋅⋅⋅+a n b n−1<3【点睛】本题考查等差数列、等比数列通项公式的求解、错位相减法求解数列的前项和的问题，属于常规题型.21．（1）单调递减区间为π5πk π,k π36⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，对称轴方程为()k ππx k Z 23=+∈；（2）π3π,.34⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】()1利用恒等变换公式将()f x 化为πsin 2x 6⎛⎫- ⎪⎝⎭，再利用正弦函数的单调递减区间和对称轴可得结果；()2利用正弦函数的图象可得实数a 的取值范围．【详解】()()()()11f x cos2x sinx cosx sinx cosx 2=++-+1πcos2x cos2x sin 2x 26⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 令ππ3π2k π2x 2k π262+≤-≤+，则π5πk πx k π36+≤≤+，k Z ∈． ()f x ∴的单调递减区间为π5πk π,k π36⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈． 由()ππ2x k πk Z 62-=+∈得()k ππx k Z 23=+∈． ()f x ∴图象的对称轴方程为()k ππx k Z 23=+∈．()π2x ,a 12⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，πππ2x ,2a 636⎡⎤∴-∈--⎢⎥⎣⎦结合正弦函数图象可知：ππ4π2a 263≤-≤，解得π3πa 34≤≤， 实数a 的取值范围是π3π,.34⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】函数()sin (0,0)y A x B A ωϕω=++>>的性质 (1) max min =+y A B y A B =-，. (2)周期2π.T ω=(3)由 ()ππ2x k k +=+∈Z ωϕ求对称轴 (4)由()ππ2π2π22k x k k -+≤+≤+∈Z ωϕ求增区间;由()π3π2π2π22k x k k +≤+≤+∈Z ωϕ求减区间. 22．(1)x 29+y 25=1(2)见解析【解析】 【分析】(1)由由题意可得{a =34a 2+259b 2=1 ，解得a 2=9，b 2=5，由此能求出椭圆方程；(2)直线的方程为y =k(x +3)，与椭圆联立，得(5+9k 2)x 2+54k 2x +81k 2−45=0，由此利用韦达定理、中点坐标公式、直线方程、直线垂直、椭圆性质，结合已知条件能求出定点Q 的坐标．【详解】 (1)由题意可得{a =34a 2+259b 2=1 ，解得a 2=9，b 2=5， 则椭圆C 的方程为x 29+y 25=1，(2)直线的方程为y =k(x +3)，得E(0,3k)，联立椭圆方程，消元化简得(5+9k 2)x 2+54k 2x +81k 2−45=0， ∴x A =−3， ∴x D =−27k 2+155+9k 2，∴y D =k(x D +3)=30k5+9k 2， ∴D(−27k 2+155+9k 2,30k5+9k 2)，又∵点P 为AD 的中点，∴P(−27k 25+9k2,15k 5+9k 2)，则k OP =−59k (k ≠0)，假设存在定点Q(m,n)(m ≠0)使得OP ⊥EQ ，则k OP ⋅k EQ =−1， 即−59k ⋅n−3k m=−1恒成立，∴k(9m +15)−5n =0恒成立， ∴{5n =09m+15=0，即m =−53，n =0，因此定点Q 的坐标为(−53,0) 【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查满足直线与直线垂直的定点是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意韦达定理、中点坐标公式、直线方程、直线垂直、椭圆性质的合理运用，是中档题．。
2018-2019学年湖南省长沙市浏阳市六校联考高二(上)期中数学试卷(理科)(解析版)
2018-2019学年湖南省长沙市浏阳市六校联考高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.集合A={x|（x-1）（x+2）≤0}，B={x|x＜0}，则A∪B=（）A. (−∞,0]B. (−∞,1]C. [1,2]D. [1,+∞)2.等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=6，a3=4，则公差d等于（）A. 1B. 53C. 2D. 33.已知{a n}为等比数列，a4+a7=2，a5a6=-8，则a1+a10=（）A. 7B. 5C. −5D. −74.下列关于命题的说法正确的是（）A. 命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B. “x=−1”是“x2−5x−6=0”的必要不充分条件C. 命题“a、b都是有理数”的否定是“a、b都不是有理数”D. 命题“若x=y，则sin x=sin y”的逆否命题为真命题5.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（1，0），离心率等于12，则C的方程是（）A. x23+y24=1 B. x2423=1 C. x24+y22=1 D. x24+y23=16.双曲线x24-y2=1的顶点到其渐近线的距离等于（）A. 25B. 45C. 255D. 4557.在△ABC中，已知A=30°，a=8，b=83，则△ABC的面积为（）A. 323B. 16C. 323或16D. 323或1638.设{a n}是公差不为零的等差数列，a2=2，且a1，a3，a9成等比数列，则数列{a n}的前n项和S n=（）A. n24+7n4B. n22+3n2C. n24+3n4D. n22+n29.设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y-1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件10.设a＞0，b＞0．若3是3a与3b的等比中项，则1a +1b的最小值为（）A. 8B. 4C. 1D. 1411.已知x，y满足约束条件x−2y−2≤02x−y+2≥0x+y−2≤0，若ax+y取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）A. 12或−1 B. 2或12C. −2或1D. 2或−112.如图F1、F2是椭圆C1：x24+y2=1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）A. B. 3 C. 32D. 62二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知实数x，y满足2x−y≥0y≥x4x+4y−3≥0，则z=2x+y的最小值为______．14.已知命题p：∀x∈R，ax2+2x+3＞0，如果命题￢p是真命题，那么实数a的取值范围是______．15.等比数列{a n}前n项和S n=3n+r，则r=______．16.现给出如下四个不等式：①1＞12，②1+12+13＞1，③1+12+13+…+17＞32，④1+12+13+…+115＞2，⑤1+12+13+…+131＞52，请你根据以上不等式的特点和规律，写出第n不等式（即一般形式）：1+12+13+…+______＞______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.设p：方程x2+2mx+1=0有两个不相等的正根；q：方程x2+2（m-2）x-3m+10=0无实根，则使p∨q为真，p∧q为假的实数m的取值范围．18.已知p：x∈A={x|x2-2x-3≤0，x∈R}，q：x∈B={x|x2-2mx+m2-9≤0，x∈R，m∈R}（1）若A∩B=[2，3]，求实数m的值；（2）若p是￢q的充分条件，求实数m的取值范围．19.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a cos C+3a sin C-b-c=0（1）求A；（2）若a=2，△ABC的面积为3；求b，c．20.某工厂要建造一个长方体的无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m，如果池底造价为每平方米150元，池壁每平方米造价为120元，怎么设计水池能使总造价最低？最低造价是多少？21.已知数列{a n}的前n项和是S n，且S n+12a n=1（n∈N*）（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log3（1-S n+1）（n∈N*），求适合方程1b1b2+1b2b3+…+1b n b n+1=2551的n的值．22.设椭圆x2a +y2b=1(a＞b＞0)的左焦点为F，离心率为33，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433．（1）求椭圆的方程；（2）设A，B分别为椭圆的左右顶点过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点，若AC•DB+AD•CB=8，求k的值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：因为集合A={x|（x-1）（x+2）≤0}={x|1≥x≥-2}，所以B={x|x＜0}所以A∪B={x|x≤1}，故选：B．通过解二次不等式求出集合A，求出B的补集，然后求解它们的并集．本题考查二次不等式的解法，集合的基本运算，考查计算能力．2.【答案】C【解析】解：设{a n}的公差为d，首项为a1，由题意得，解得，故选：C．用等差数列的通项公式和前n项和公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，解方程即可．本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式，熟练应用公式是解题的关键．3.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了等比数列的性质及通项公式的应用，考查了基本运算的能力．由a4+a7=2，及a5a6=a4a7=-8可求a4，a7，进而可求公比q，代入等比数列的通项可求a1，a10，即可【解答】解：∵a4+a7=2，由等比数列的性质可得，a5a6=a4a7=-8∴a4=4，a7=-2或a4=-2，a7=4当a4=4，a7=-2时，，∴a1=-8，a10=1，∴a1+a10=-7当a4=-2，a7=4时，q3=-2，则a10=-8，a1=1∴a1+a10=-7综上可得，a1+a10=-7故选D．4.【答案】D【解析】解：对于A，命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2≠1，则x≠1”，∴A错误；对于B，x=-1时，x2-5x-6=0；x2-5x-6=0时，x=-1或x=6，∴应是充分不必要条件；∴B错误；对于C，命题“a、b都是有理数”的否定是“a、b不都是有理数”，∴C错误；对于D，命题“若x=y，则sinx=siny”是真命题，∴它的逆否命题也是真命题，∴D正确．故选：D．A中，由原命题若p，则q的否命题为若￢p，则￢q，判定A错误；B中，由x=-1时，x2-5x-6=0成立；x2-5x-6=0时，x=-1不一定成立，判定B错误；C中，命题p的否定是￢p，判定C错误；D中，原命题是真命题，判定它的逆否命题也是真命题，得出D正确．本题通过命题真假的判定，考查了四种命题之间的关系，命题的否定以及充分与必要条件的问题，解题时应对每一个命题认真分析，以便做出正确的选择，是基础题．5.【答案】D【解析】解：由题意设椭圆的方程为．因为椭圆C的右焦点为F（1，0），所以c=1，又离心率等于，即，所以a=2，则b2=a2-c2=3．所以椭圆的方程为．故选：D．由已知可知椭圆的焦点在x轴上，由焦点坐标得到c，再由离心率求出a，由b2=a2-c2求出b2，则椭圆的方程可求．本题考查了椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单性质，属中档题．6.【答案】C【解析】解：根据题意，双曲线的方程为-y=1，顶点坐标为（±2，0），渐近线方程为y=±x，即x±2y=0，则该双曲线的顶点到其渐近线的距离d==；故选：C．根据题意，由双曲线的方程可得双曲线的顶点坐标和渐近线方程，由点到直线的距离公式计算可得答案．本题考查双曲线的标准方程，关键是由双曲线的标准方程求出双曲线的焦点坐标以及渐近线方程．7.【答案】D【解析】解：∵在△ABC中，已知A=30°，a=8，b=，由余弦定理cosA=得：cos30°==解得：c=16或c=8又∵S△ABC=•bc•sinA∴S △ABC=32，或S△ABC=16故选：D．由已知中，在△ABC中，已知A=30°，a=8，b=，由余弦定理，我们可以求出c的值，代入S△ABC=•bc•sinA，即可求出△ABC的面积．本题考查的知识点是三角形中的几何计算，余弦定理，三角形面积公式，其中根据已知利用余弦定理求出c的值，是解答本题的关键．8.【答案】D【解析】解：设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），由a2=2，且a1，a3，a9成等比数列，得（2+d）2=（2-d）（2+7d），解得d=1．∴a1=a2-d=2-1=1．∴=．故选：D．设出等差数列的公差，由已知结合a1，a3，a9成等比数列求得公差，进一步求得首项，代入等差数列的前n项和得答案．本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，考查了等比数列的性质，是基础题．9.【答案】A【解析】解：∵当a=1时，直线l1：x+2y-1=0与直线l2：x+2y+4=0，两条直线的斜率都是-，截距不相等，得到两条直线平行，故前者是后者的充分条件，∵当两条直线平行时，得到，解得a=-2，a=1，∴后者不能推出前者，∴前者是后者的充分不必要条件．故选：A．运用两直线平行的充要条件得出l1与l2平行时a的值，而后运用充分必要条件的知识来解决即可．本题考查必要条件充分条件和充要条件的问题，考查两条直线平行时要满足的条件，本题解题的关键是根据两条直线平行列出关系式，不要漏掉截距不等的条件，本题是一个基础题．10.【答案】B【解析】解：因为3a•3b=3，所以a+b=1，，当且仅当即时“=”成立，故选：B．由题设条件中的等比关系得出a+b=1，代入中，将其变为2+，利用基本不等式就可得出其最小值本小题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变通能力．11.【答案】C【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=y+ax得y=-ax+z，即直线的截距最大，z也最大．若a=0，此时y=z，此时，目标函数只在A处取得最大值，不满足条件，若-a＞0，即a＜0，目标函数y=-ax+z的斜率k=-a＞0，要使z=y+ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=-ax+z与直线2x-y+2=0平行，此时a=-2，若-a＜0，即a＞0，目标函数y=-ax+z的斜率k=-a＜0，要使z=y+ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=-ax+z与直线x+y-2=0，平行，此时-a=-1，解得a=1，综上a=1或a=-2，故选：C．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，得到直线y=-ax+z 斜率的变化，从而求出a的取值．本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．注意要对a进行分类讨论，同时需要弄清楚最优解的定义．12.【答案】D【解析】解：设|AF1|=x，|AF2|=y，∵点A为椭圆C1：+y2=1上的点，∴2a=4，b=1，c=；∴|AF1|+|AF2|=2a=4，即x+y=4；①又四边形AF1BF2为矩形，∴+=，即x2+y2=（2c）2==12，②由①②得：，解得x=2-，y=2+，设双曲线C2的实轴长为2m，焦距为2n，则2m=|AF2|-|AF1|=y-x=2，2n=2c=2，∴双曲线C2的离心率e===．故选：D．不妨设|AF1|=x，|AF2|=y，依题意，解此方程组可求得x，y的值，利用双曲线的定义及性质即可求得C2的离心率．本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得|AF1|与|AF2|是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．13.【答案】1【解析】解：画出不等式组表示的平面区域，得到如图所示阴影部分及其边界，其中A（，），B（，）；设z=F（x，y）=2x+y，将直线l：z=2x+y进行平移，观察y轴上的截距变化，可得当l经过点A时，目标函数z达到最小值，且z=F（，）=2×+=1．最小值故答案为：1．作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，将目标函数z=2x+y对应的直线进行平移，可得当x=，y=时，z取得最小值．本题给出二元一次不等式组，求目标函数的最小值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．14.【答案】a≤13【解析】解：因为命题￢p是真命题，所以命题p是假命题，而当命题p是真命题时，就是不等式ax2+2x+3＞0对一切x∈R恒成立，这时应有，解得a＞，因此当命题p是假命题，即命题￢p是真命题时实数a的取值范围是a≤．故选A≤由命题￢p是真命题，我们可得命题p是假命题，我们可以先假定命题p是真命题，求出参数a的范围，再求出a的范围的补集，即可得到实数a的取值范围．对命题“∂x∈A，P（X）”的否定是：“∀x∈A，¬P（X）”；对命题“∀x∈A，P（X）”的否定是：“∂x∈A，¬P（X）”，即对特称命题的否定是一个全称命题，对一个全称命题的否定是特称命题15.【答案】-1【解析】解：∵S n=3n+r，∴S n-1=3n-1+r，（n≥2，n∈N+），∴a n=S n-S n-1=2•3n-1，又a1=S1=3+r，由通项得：a2=6，公比为3，∴a1=2，∴r=-1．故答案为：-1可根据a n=S n-S n-1求得数列的通项公式，进而求得a1，再根据a1=S1求得r．本题主要考查等比数列的性质，以及等比数列的前n项和公式．解题的关键是求出数列的通项公式．16.【答案】12−1n 2【解析】解：由已知的式子可发现左边为正整数的倒数和，第一个式子1个数，第二个式子3个数，第三个式子7个数，第四个式子15个数，可猜测第n个式子应为n式子右侧为，1，，2即为，，，第n个应为，一般不等式为：…+＞，故答案为：，，根左右边的规律即可求出答案本题考查归纳推理知识，观察已知式子的特点，找出规律是解决此类问题的关键．本题需要较强的归纳能力．17.【答案】解：∵p∨q为真，P∧q为假∴p与q一个为真，一个为假由p：方程x2+2mx+1=0有两个不相等的正根当P为真时，m＜-1，则p为假时，m≥-1由q：方程x2+2（m-2）x-3m+10=0无实根当q为真时，-2＜m＜3，则q为假时，m≤-2，或m≥3当p真q假时，m≤-2当p假q真时，-1≤m＜3故使p∨q为真，P∧q为假的实数m的取值范围是（-∞，-2]∪[-1，3）【解析】由使p∨q为真，P∧q为假，则p，q中必然一真一假，故我们可以根据p：方程x2+2mx+1=0有两个不相等的正根；q：方程x2+2（m-2）x-3m+10=0无实根．求出各种情况下，m的取值范围，综合分析后，即可得到使p∨q为真，P∧q为假的实数m的取值范围．（1）由简单命题和逻辑连接词构成的复合命题的真假可以用真值表来判断，反之根据复合命题的真假也可以判断简单命题的真假．假若p且q真，则p 真，q也真；若p或q真，则p，q至少有一个真；若p且q假，则p，q至少有一个假．（2）可把“p或q”为真命题转化为并集的运算；把“p且q”为真命题转化为交集的运算．18.【答案】解：（1）A={x|-1≤x≤3，x∈R}，B={x|m-3≤x≤m+3，x∈R，m∈R}，∵A∩B=[1，3]，∴m-3=1，m+3≥3．解得m=4．（2）∵p是¬q的充分条件，∴A⊆∁R B，∁R B={x|x＜m-3，x＞m+3}，∴3≤m-3或-1≥m+3，∴m≥6或m≤-4．（1）利用不等式的解法、交集的运算性质即可得出．（2）p是¬q的充分条件，可得A⊆∁R B，即可得出．本题考查了不等式与方程的解法、集合的运算关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.【答案】解：（1）由正弦定理得：a cos C+3a sin C-b-c=0，即sin A cos C+3sin A sin C=sin B+sin C∴sin A cos C+3sin A sin C=sin（A+C）+sin C，即3sin A-cos A=1∴sin（A-30°）=12．∴A-30°=30°∴A=60°；（2）若a=2，△ABC的面积=12bcsinA=34bc=3，∴bc=4．①再利用余弦定理可得：a2=b2+c2-2bc•cos A=（b+c）2-2bc-bc=（b+c）2-3×4=4，∴b+c=4．②结合①②求得b=c=2．【解析】（1）已知等式利用正弦定理化简，整理后得到sin（A-30°）=．即可求出A的值；（2）若a=2，由△ABC的面积为，求得bc=4．①，再利用余弦定理可得b+c=4．②，结合①②求得b和c的值．本题考查了正弦定理及余弦定理的应用，考查了三角形面积公式的应用，是中档题．20.【答案】解：如图所示，设长方体的长宽分别为x，y，则3xy=4800，可得y=1600x．水池总造价f（x）=xy×150+2（3x+3y）×120=（x+1600x）×720+1600×150≥2 x⋅1600x×720+240000=57600+240000=297600元．当且仅当x=40m，y=40m时取等号．∴设计水池底面为边长为20m的正方形能使总造价最低，最低造价是297600元．如图所示，设长方体的长宽分别为x，y，则3xy=4800，可得y=．水池总造价f（x）=xy×150+2（3x+3y）×120=（x+）×720+1600×150，利用基本不等式的性质即可得出．本题考查了基本不等式的性质、长方体的体积与表面积，考查了推理能力与计算能力，属于中档题本题考查了基本不等式的性质、长方体的体积与表面积，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）当n=1时，a1=S1，由S1+12a1=1，得a1=23．当n≥2时，∵S n=1−12a n，S n−1=1−12a n−1，∴S n−S n−1=12(a n−1−a n)，即a n=12(a n−1−a n)．∴a n=13a n−1．∴{a n}是以23为首项，13为公比的等比数列．故a n=23⋅(13)n−1=2⋅(13)n．（7分）（Ⅱ）1−S n=12a n=(13)n，b n=log3(1−S n+1)=log3(13)n+1=−n−1，（9分）1b n b n+1=1(n+1)(n+2)=1n+1−1n+21b1b2+1b2b3++1b n b n+1=(12−13)+(13−14)++(1n+1−1 n+2)=12−1n+2（11分）解方程12−1n+2=2551，得n=100（14分）【解析】（Ⅰ）令n=1，得到，当n≥2时，求出和，两者相减，利用a n=s n-s n-1得到∴{a n}是以为首项，为公比的等比数列．求出通项公式即可；利用=-化简等式得到关于n的方程，求出解即可．考查学生灵活运用做差法求数列通项公式的能力，以及会求等比数列的通项公式及前n项和的公式．22.【答案】解：（1）∵过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为433．∴2b2a =433，∵离心率为33，∴ca=33，解得b=2，c=1，a=3．∴椭圆的方程为x23+y22=1；（2）直线CD：y=k（x+1），设C（x1，y1），D（x2，y2），由直线与椭圆消去y得，（2+3k2）x2+6k2x+3k2-6=0，∴x1+x2=-6k22+3k ，x1x2=3k2−62+3k，又A（-3，0），B（3，0），∴AC•DB+AD•CB=（x1+3，y1）•（3-x2．-y2）+（x2+3，y2）•（3-x1．-y1）=6-（2+2k2）x1x2-2k2（x1+x2）-2k2，=6+2k2+122+3k2=8，解得k=±2，验证满足题意．【解析】（1）先根据椭圆方程的一般形式，令x=c代入求出弦长使其等于，再由离心率为，可求出a，b，c的关系，进而得到椭圆的方程．（2）直线CD：y=k（x+1），设C（x1，y1），D（x2，y2），由直线与椭圆消去y得，（2+3k2）x2+6k2x+3k2-6=0，再由韦达定理进行求解．求得•+•，利用•+•=8，即可求得k的值．本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的简单性质等，考查方程思想．在椭圆中一定要熟练掌握a，b，c之间的关系、离心率、准线方程等基本性质．。
2018-2019学年湖南省怀化三中高二上学期期中考试理科数学试题 解析版
绝密★启用前湖南省怀化三中2018-2019学年高二上学期期中考试理科数学试卷一、单选题1．不等式x（x－2）＜0的解集是（）A．（0，2）B．（－∞，0）∪（2，＋∞）C．（－∞，0）D．（2，＋∞）【答案】A【解析】【分析】对应一元二次方程两个根为，对应二次函数开口向上，由此可写出一元二次次不等式的解集.【详解】一元二次不等式对应的一元二次方程两个根为和，且对应一元二次函数开口向上，所以解集为.【点睛】本题考查一元二次不等式的解法.当一元二次不等式对应的二次函数开口向上时，若两个根为，那么大于零的解集为，小于零的解集为.属于基础题.2．已知那么一定正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】同向不等式可以相加，不能相减；在同时为正数时才能够相乘，由此得出正确选项.【详解】由于同向不等式可以相加，不能相减；在同时为正数时才能够相乘.所以A、B、D三个选项不正确，对于C选项，由于，两式相加得到，所以本小题选C.【点睛】本小题主要考查不等式的性质，考查同向不等式可加性，即若，则有，但是同向不等式不能相减或者相乘.同向不等式若满足同为正数，才可以相乘，即若，则有.不等号两边同时加上一个数，不等号的方向不改变.3．等比数列｛an｝满足a1=3，=6，则( )A．21 B．42 C．63 D．84【答案】B【解析】【分析】利用基本元的思想，先列方程求得的值，再利用等比数列通项公式求得所求的结果.【详解】由于数列为等比数列，所以，所以，故选B.【点睛】本小题考查等比数列的通项公式.主要采用的是基本元的思想，将题目的已知条件转化为的形式，求出后可求得所求表达式的结果.4．等轴双曲线的两条渐近线的夹角是（）A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】D【解析】【分析】求出双曲线的渐近线，得到渐近线的斜率，由此求得两渐近线的夹角.【详解】等轴双曲线的渐近线为，两条直线相互垂直，所以两渐近线的夹角为，选D.【点睛】本小题考查等轴双曲线的渐近线，考查斜率和倾斜角的对应关系，基本没有什么运算量，属于基础题.5．在△ABC中，，则b=（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】先利用三角形内角和定理求得角，然后用正弦定理求得的值.【详解】由三角形内角和定理得，由正弦定理得，解得.故选B.【点睛】本小题主要考查三角形内角和定理，考查利用正弦定理解三角形.三角形内角和定理往往是题目的隐藏条件，需要在做题时想到.本题属于基础题.6．对于原命题：“已知，若，则”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题，在这4个命题中，真命题的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．4个【答案】C【解析】【分析】先判断原命题是假命题，故其逆否命题也是假命题.再判断其逆命题是真命题，故其否命题也是真命题，由此得到正确的选项.【详解】当时，不等式不成立，故原命题为假命题，其逆否命题也是也是假命题.原命题的逆命题为“若，则”，这时一定不是，故为真命题，同时否命题也是真命题.从而有个真命题和个假命题，故选C.【点睛】本小题考查四种命题真假性的判断.原命题和逆否命题真假性相同，逆命题和否命题真假性也是相同的.属于基础题.7．“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】不等式等价于，故是的必要不充分条件.【详解】不等式等价于.由于，属于是的必要不充分条件.故选B.【点睛】本小题考查对数不等式的解法，考查充分必要条件的判断.充分必要条件的判断主要依据是小范围可以推出大范围，大范围不能推出小范围.也即小范围是大范围的充分不必要条件，大范围是小范围的必要不充分条件.如果两个范围相等，则为充分必要条件.8．设x,y满足约束条件，则的最大值为（）A．8 B．10 C．3 D．2【答案】A【解析】【分析】画出可行域，平移直线来求得目标函数的最大值.【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最大值为，故选A.【点睛】本小题主要考查线性规划求最大值.主要方法是先画出可行域，然后平移目标函数到可行域的边界点，根据截距的大小来确定最大值和最小值.9．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A．1盏B．2盏C．3盏D．5盏【答案】C【解析】【分析】通过分析可知灯数是一个等比数列，根据前项和及公比，列方程，可求得的值，从而求得顶层的灯数.【详解】依题意可知，且灯数成等比数列，故，解得，故选C.【点睛】本小题主要考查实际问题中等比数列的案例，考查等比数列的前项公式，根据题意利用等比数列前项和公式列出方程，可求得顶层灯数.属于基础题.10．在△ABC中，AB＝，AC＝1，B＝，则△ABC的面积等于()A．B．C．或D．或【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理求得的值，有两个解，然后利用三角形的内角和定理求得的值，再用三角形面积公式求得面积.【详解】由正弦定理得，所以或者，当时，，三角形面积为.当时，，三角形面积为.故选D.【点睛】本小题主要考查利用正弦定理解三角形，考查三角形的面积公式.在利用正弦定理解三角形时，要注意有两个解的情况.属于基础题.11．设分别是双曲线的左、右焦点．若双曲线上存在点，使，且，则双曲线离心率为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】根据双曲线的定义、余弦定理以及这三个条件，列方程组，化简求得离心率的值.【详解】根据双曲线的定义、余弦定理以及这三个条件，列方程组得，化简得，故离心率，选A.【点睛】本小题主要考查双曲线的定义，考查利用余弦定理解三角形，还考查了双曲线离心率的求解.对于圆锥曲线的问题，首先要把握住圆锥曲线的定义，如本题中双曲线的定义：到两个定点距离之差的绝对值为常数的点的轨迹.根据双曲线的定义可得到一个方程，再结合其他的条件可求得有关的表达式，由此可求出离心率.12．将离心率为的双曲线的实半轴长和虚半轴长同时增加个单位长度，得到离心率为的双曲线，则（）A．对任意的，B．当时，；当时，C．对任意的，D．当时，；当时，【答案】D【解析】【分析】采用特殊值的方法，先给定对应的的值，然后增加给定的个单位长度，求得新的离心率，由此得出正确选项.【详解】不妨设的，则离心率为，都增加个单位，得到，则离心率，排除B和C两个选项.同理设的，则离心率为，都增加个单位，得到，则离心率，排除选项，故选D.【点睛】本小题主要考查双曲线离心率，考查双曲线实轴和虚轴的变化，影响离心率的变化情况.由于本题是选择题，所以可采用特殊值的方法来解题.在选择合适的特殊值代入时，要注意先观察选项，根据选项的特征来选择特殊值.如本题中，不能只选一组特殊值，要用两组不同的值来排除.第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题13．若与7的等差中项为4，则实数＝________．【答案】1【解析】【分析】根据等差中项的公式，列方程，解方程求得的值.【详解】由于与的等差中项为，故.【点睛】本小题主要考查等差中项的公式.利用公式列方程可求得的值.属于基础题.14．在△ABC中，，b＝2，c＝3，则A＝________【答案】【解析】【分析】先用余弦定理求得的值，再根据特殊角的三角函数值得到的值.【详解】由余弦定理得，由于为三角形的内角，所以.【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形.余弦定理有两种形式，一种是整式的形式，即，另一种是分式的形式，即.当题目已知条件不同时，采用不同的公式来计算，会使得运算节约时间.在三角形中余弦值为正数，则这个角为锐角.15．以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为________．【答案】【解析】双曲线焦点(±4,0)，顶点(±2,0)，故椭圆的焦点为(±2,0)，顶点(±4,0)．答案：16．已知数列是公差不为0的等差数列，对任意大于2的正整数，记集合的元素个数为，把的各项摆成如图所示的三角形数阵，则数阵中第17行由左向右数第10个数为___________．【答案】293【解析】【分析】设出等差数列的通项公式，用来表示表示的值，通过其最小值和最大值，求得前行共有个数，由此求得第行左数第个数.【详解】设，则，由题意，当，时，取最小值1，当，时，取最大值，易知可取遍，即.数阵中前16行共有个数，所以第17行左数第10个数为【点睛】本小题主要考查等差数列的性质，考查对新定义三角形数阵的分析，属于难题.需要有较强的分析能力.三、解答题17．已知{}是首项为，公差为的等差数列，是其前项的和，且，．求数列{}的通项及.【答案】。
配套K12湖南省湘南三校联盟2018-2019学年高二数学10月联考试题 文
湖南省湘南三校联盟2018-2019学年高二数学10月联考试题 文第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．命题“存在x 0∈R,2x 0≤0”的否定是 ( )A ．不存在x 0∈R,2x 0>0B ．存在x 0∈R,2x 0>0C ．对任意的x ∈R, 2x ≤0 D．对任意的x ∈R,2x >0 2.已知110a b<<，则下列结论错误的是 ( )A.22a b <B.2ab b >C.2b aa b+> D.2lg lg a ab < 3.已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，且1a ，3a ，2a 成等差数列，则公比q 的值为（ ） A ．12-B ．2-C ．1或12-D ．1-或124．设a ，b ∈R ，则“（a ﹣b ）a 2＜0”是“a ＜b ”的（ ） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．设S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，且S 1，S 2，S 4成等比数列，则等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 6．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每个人所得成等差数列，最大的三份之和的17是最小的两份之和，则最小的一份的量是 ( ) A.116 B.103 C.56 D.537．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且c =2a ，则cos B =（ ） A ．B ．C ．D ．8.如图，从地面上C ，D 两点望山顶A ，测得它们的仰角分别为45°和30°，已知CD ＝100米，点C 位于BD 上，则山高AB 等于( ) A ．米 B ．米 C ．米 D ． 100米 9．已知a ＞0，b ＞0，a +b =2，则的最小值是（ ）A ．B ．4C ．D ．510.已知实数，满足，则的最大值与最小值之和为 （ ） A ．B ．C ．D ．111. 已知数列{}n a ，若112,21n n a a a n +=+=-，则2017a =（ ）A ．2019C ．2017D ． 201612.数列{}n a 是等差数列，若，且它的前n 项和n S 有最大值，那么当n S 取得最小正值时，n 值等于( ）A ．11B ．17C ．19D ．21第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13、在ABC △中，三个角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若角A ，B ，C 成等差数列，且边a ，b ，c 成等比数列，则ABC △的形状为________．14．在等比数列{a n }中，若a 3，a 15是方程x 2﹣6x+8=0的根，则= ．15设(5)(2)1,1x x x y x ++>-=+则函数的最小值是______16、如图是网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2,3出现在第2行；数字6,5,4（从左至右）出现在第3行；数字7,8,9,10出现在第4行，依此类推，則第20行从左至右的第4个数字应是 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本题满分10分）已知数列{}n a 中，12a =，12n n a a +=． （1）求n a ；（2）若n n b n a =+，求数列{}n b 的前5项的和5S ．18．（本小题满分12分）在ABC △中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，已知3c =，3C π=，sin 2sin B A =．（1）求a ，b 的值；（2）求ABC △的面积．19．（本小题满分12分）命题p ：关于x 的方程x 2+ax +2=0无实根，命题q ：函数f （x ）=log a x 在（0， +∞）上单调递增，若“p ∧q ”为假命题，“p ∨q ”真命题，求实数a 的取值范围．20.（本小题满分12分）数列}{n a 满足11=a ，111122n na a +=+（*N n ∈）。
2018-2019学年高二上学期期中联考数学(理)试题
考试时间：120分钟 总分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
每小题只有一个选项最符合题意。
）1．已知命题1sin ,:≤∈∀x R x P ，则P ⌝为（）。
A.:,sin 1P x R x ⌝∃∈≤ B.:,sin 1P x R x ⌝∀∈≥C.:,sin 1P x R x ⌝∃∈>D.:,sin 1P x R x ⌝∀∈>2.已知a >b >0，c >d >0，则( ) 。
A ．c a >d bB ．ac >bdC ．a －c >b －dD ．b c >a d3．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和， 12a =，34a =，则7S = ( ) 。
A ．21 B ．28 C ．35 D ．42 4.在△ABC 中，A ＝135°，C ＝30°，c ＝20，则边a 的长为( ) 。
A ．102 B ．202 C ．206 D ．20635.如果方程22131x y m m -=++表示焦点在Y 轴上的双曲线，则实数的取值范围是（ ）。
A ．(,3)-∞-B ．(3,2)--C ．(2,1)--D ．(1,)-+∞6．“lg lg x y >”是的 ( ) 。
A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且152,35n n a a S +=+=-，则当S n 取得最小值时，n 的值是（ ）。
A ．6B ．7C ．8D ．9 8.在△ABC 中，若cos A cos B ＝ba ，则△ABC 是( ) 。
A ．等腰三角形 B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形9.已知直线0634:1=+-y x l 和直线1:2-=x l ，抛物线x y 42=上的一个动点P 到直线21l l 和的距离之和的最小值为（ ）。
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2018-2019学年湖南省三湘名校教育联盟上学期高二期中考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合，且，则集合B可以是A．B．C．D．【答案】B【解析】解出集合，或，由得出B．【详解】解：，或，且；符合条件的只有B．故选：B．【点睛】本题考查描述法的定义，以及并集的定义及运算2．已知命题p：，，则为A．，B．，C．，D．，【答案】D【解析】根据全称命题的否定为特称命题可得答案．【详解】解：命题p：，，则为，，故选：D．【点睛】本题考查的知识点是全称命题，命题的否定，熟练掌握全特称命题的否定方法是解答的关键．3．已知，均为单位向量，，则A．B．C．D．【解析】由已知结合向量数量积的性质可求，代入即可求解．【详解】解：，均为单位向量，且，，，则，故选：B．【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的性质的简单应用，属于基础试题．4．已知等差数列的前n项和为，，则A．3 B．6 C．9 D．12【答案】B【解析】分析：把已知与求值式全部用首项和公差表示，详解：由题意，∴，∴．故选B．点睛：等差数列与等比数列中基本量法是最基本最重要的方法，必须掌握，解等差数列和等比数列的问题大多数情况下都可用基本法求解，即用首项和公差（比）表示出已知条件，如能求出首项和公差（比）就求出，否则得出它们的关系式，再把待求式也用首项和公差（比）表示后就可求得结论．5．已知E、F分别为椭圆的左、右焦点，倾斜角为的直线l过点E，且与椭圆交于A，B两点，则的周长为A．10 B．12 C．16 D．20【答案】D【解析】利用椭圆的定义即可得到结果．椭圆，可得，三角形的周长，，所以：周长，由椭圆的第一定义，，所以，周长．故选：D．【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义的应用，三角形的周长的求法，属于基本知识的考查．6．已知数列满足，，则A．2n B．C．D．【答案】D【解析】利用数列的递推关系式，推出是等差数列，然后求解数列的通项公式．【详解】数列满足，，可得：，所以数列是等差数列，可得：，可得，故选：D．【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用，数列的通项公式的求法，考查计算能力．7．设a、，原命题“若，则”，则关于其逆命题、否命题、逆否命题的结论正确的是A．逆命题与否命题均为真命题B．逆命题为假命题，否命题为真命题C．逆命题为假命题，逆否命题为真命题D．否命题为假命题，道否命题为真命题【答案】A【解析】判断出原命题是假命题，从而原命题的逆否命题是假命题；再判断现原命题的逆命题是真命题，从而原命题的否命题是真命题．【详解】解：原命题：“设a、，原命题“若，则”，是假命题，原命题的逆否命题是假命题；原命题的逆命题：“若，则”，是真命题，原命题的否命题是真命题．故选：A．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8．下列函数中，最小周期为且为偶函数的是A．B．C．D．【答案】D【解析】利用三角函数的奇偶性、周期性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．【详解】解：为偶函数，但它的最小正周期为，故排除A；由于为非奇非偶函数，故排除B；为偶函数，但它的最小正周期为，故排除C；为偶函数，且它的最小正周期为，故D满足条件，故选：D．【点睛】本题主要考查三角函数的奇偶性、周期性，属于基础题．9．要得到函数的图象，只需将函数的图象A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【答案】D【解析】利用三角恒等变换、函数的图象变换规律，得出结论．【详解】解：函数，故将函数的图象向右平移个单位，可得的图象，故选：D．【点睛】本题主要考查三角函数的恒等变换，函数的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题．10．当时，恒成立，则a的取值范围是A．B．C．D．【答案】C【解析】对，不等式恒成立通过以及，利用二次函数的性质即可得出．【详解】解：当时，不等式不恒成立，由二次函数的性质可知：，且，解得，时，不恒成立，综上．故选：C．【点睛】本题考查了不等式恒成立问题的等价转化方法、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11．已知P是椭圆E：上异于点，的一点，E的离心率为，则直线AP与BP的斜率之积为A．B．C．D．【答案】C【解析】利用点P与双曲线实轴两顶点连线的斜率之积的不等式，建立等式，考查双曲线的方程，即可确定a，b的关系，从而通过双曲线的离心率，求解即可．【详解】设，点，，椭圆椭圆E：，椭圆的离心率为，，，则，所以，点P与双曲线实轴两顶点连线的斜率之积为：，故选：C．【点睛】本题考查斜率的计算，考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于中档题．12．在中，若，则角A的最大值为A．B．C．D．【答案】A【解析】根据即可得出，从而得出，进而得出，从而可求出A 的最大值．【详解】；，；，且；的最大值为．故选：A．【点睛】本题考查向量数量积的运算及计算公式，向量垂直的充要条件，向量减法的几何意义，以及的应用．二、填空题13．已知等比数列的前n项和为，，则______．【答案】3【解析】根据题意，由等比数列的求和公式，求出公比，再根据通项公式即可求出．【详解】解：设等比数列的公比为q，由，可得，解得，，故答案为：3．【点睛】本题考查了等比数列的定义和通项公式以及前n项和公式的应用问题，属于基础题．14．已知向量，，且，则___．【答案】【解析】由已知求得，再由诱导公式及同角三角函数基本关系式化简求值．【详解】解：由，，且，得，即．，．故答案为：．【点睛】本题考查平面向量共线的坐标运算，训练了利用诱导公式及同角三角函数基本关系式化简求值，是基础题．15．在中，，，过点A作AB的垂线交BC于点D，，则______．【答案】【解析】由题意，可得出，由向量三角形法则可得出，再结合，根据平面向量基本定理，得出x，y的值，即可得出答案．【详解】在中，，，过点A作AB的垂线交BC于点D如图，，且，所以，，又，，．故答案为【点睛】本题考查平面向量基本定理以及向量加法减法运算法则，属于向量基本题．16．如图，中，为钝角，，，过点B向的角平分线引垂线交于点P，若，则的面积为______．【答案】【解析】设，，利用直角三角形的边角关系和余弦定理求得x和的值，再计算以及、和的值，从而求得的面积．【详解】如图所示，设，，则，由余弦定理得，，解得，；；，，，，即的面积为．【点睛】本题考查了解三角形的应用问题，也考查了三角形面积计算问题，是中档题．三、解答题17．内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．求角C；若，的面积为，求的周长．【答案】（1）（2）20【解析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得，由，可求，结合范围，可求C的值；由及三角形面积公式可求，由余弦定理可求的值，即可解得的周长．【详解】解：，由正弦定理可得：，可得：，，解得：，，，由及已知可得：的面积为，解得，由余弦定理可得：，可得：，解得：，的周长【点睛】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18．记为数列的前n项和，已知，．求数列的通项公式；设，求数列的前n项和．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）由与之间的关系求出通项公式；（2）求出，再用裂项相消法求出前n项和。
试题解析：（1）由，得当时，；当时，.所以.（2），所以.19．已知x，y满足约束条件．若取得最小值的最优解有无数多个，求m的值；求的取值范围．【答案】（1）或；（2）.【解析】利用约束条件画出可行域，利用目标函数的最优解求解即可；利用目标函数的几何意义，转化求解即可．【详解】解：作出约束条件的可行域如图：由图形可知：，，；取得最小值的最优解有无数多个，若，则；若，则，故；所以或．的几何意义是可行域内的点与的距离的平方，由图可得：；．．【点睛】本题考查线性规划的简单应用，判断目标函数的最值的求法，目标函数的几何意义是解题的关键，考查数形结合以及计算能力．20．已知数列的前n项和为，等差数列满足，．求数列，的通项公式；证明：．【答案】（1），；（2）见证明【解析】由数列的递推式：时，，时，，化简计算可得；再由等差数列的通项公式，可得首项和公差，即可得到；由数列的错位相减法，结合等比数列的求和公式，以及不等式的性质，即可得证．【详解】，可得时，，可得；时，，即有，可得；等差数列的公差设为d，，，即有，，解得，，可得；证明：设，，相减可得，化简可得，由，可得．【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式和等差数列的通项公式，考查数列的错位相减法求和，以及不等式的性质，考查运算能力，属于中档题．21．设函数求的单调递减区间及其图象的对称轴方程；若在区间上的值域为，求实数a的取值范围．【答案】（1）单调递减区间为，，对称轴方程为；（2）【解析】利用恒等变换公式将化为，再利用正弦函数的单调递减区间和对称轴可得结果；利用正弦函数的图象可得实数a的取值范围．【详解】解：，令，则，．的单调递减区间为，．由得．图象的对称轴方程为．，结合正弦函数图象可知：，解得，实数a的取值范围是【点睛】函数的性质(1) .(2)周期(3)由求对称轴(4)由求增区间;由求减区间.22．已知椭圆C：的一个顶点为，且经过点求椭圆C的方程；过点A作斜率为的直线l交C于另一点D，交y轴点E，P为线段AD的中点，O为坐标原点，是否存在点Q满足对于任意的都有？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)见解析【解析】由由题意可得，解得，，由此能求出椭圆方程；直线的方程为，与椭圆联立，得，由此利用韦达定理、中点坐标公式、直线方程、直线垂直、椭圆性质，结合已知条件能求出定点Q的坐标．【详解】由题意可得，解得，，则椭圆C的方程为，直线的方程为，得，联立椭圆方程，消元化简得，，，，，又点P为AD的中点，，则，假设存在定点使得，则，即恒成立，恒成立，，即，，因此定点Q的坐标为【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查满足直线与直线垂直的定点是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意韦达定理、中点坐标公式、直线方程、直线垂直、椭圆性质的合理运用，是中档题．。