41第一节 幂法和反幂法

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二、反幂法
反幂法是求非奇异矩阵A按模最小的特征值和 对应特征向量的方法.
设矩阵A非奇异, 其特征值为1, 2, , n , 满足
1 2 n1 n 0
1 1 i i
设相应的特征向量v1, v2, , vn线性无关，则
Avi i vi A vi v
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这样就得到两个极限 1 lim k xk a1v1
k
1
( xk 1 )i lim 1 k ( x ) k i
因此当k充分大时，就可以近似得到按摸最大 的特征值和对应的特征向量为 xk 1 i k xk 1 a1v1 1 xk i 从而我们就得到幂法的迭代公式
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求A的特征值问题等价于求A的特征方程
a11
a21 E A a n1
a12 an 2

a1n a2 n 0
a22
ann
的根；求A的属于特征值的特征向量等价于求 非零解.
( E A) x 0
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设为A∈Rn×n的特征值, x 称为A的与特 征值 相对应的一个特征向量,即Ax= x, (x≠0) 则有 (1) cx (c≠0为常数)也是 A的与特征值 相对
应的一个特征向量，即A(cx)=(cx)； (2) k为Ak的特征值, 且Akx=kx ;
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0.9877 0.8245 0.8134 0.8134
0.1902, 1, -0.8834 0.1843, 1, -0.9124 0.1831, 1, -0.9129 0.1832, 1, -0.9130
可得
31/0.8134=1.2294
特征向量
v3 (0.1832, 1, -0.9130)T
由于
2 k 2 1 2
| 1 || 2 | | n |
j 1
故有
1
j 2,, n ,
lim
k
所以得
lim k 0 即有 k
1

k 1
xk a1v1
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lim
k
1

k 1
xk a1v1
就是 1 的特征向量.
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如果要计算A的按模最大特征值1, 只要选择合适 的数p，使1-p为矩阵B=A-pI 的按模最大特征值，且
i p 2 max 2 i n p 1 1 那么，对矩阵B=A-pI应用幂法求其按模最大特征值 1-p, 收敛速度将会加快. 这种通过求B=A-pI的按模 最大特征值和特征向量，而得到A的按模最大特征值 和特征向量的方法叫原点平移法. 对于A的特征值的 某种分布，它是十分有效的. 也可以求其它特征值.
T xk
0.5, 1, 0.25 0.5, 1, 0.8611 0.5, 1, 0.7360 0.5, 1, 0.7536 0.5, 1, 0.7494 0.5, 1, 0.7501 0.5, 1, 0.7500 0.5, 1, 0.7500
T
从而得 1 m8 11.0000 , v1 x8 0.5 , 1.0 , 0.7500
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9 1 2 8 U L 4 1 29 32 1.8103 4.5 1.1034 1
反幂法迭代公式为
解Lzk xk 1 , 求出zk 解Uyk zk , 求出yk mk max yk x y / m k k k
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一、幂法
幂法——计算矩阵的按模最大的特征值和相应 特征向量的一种向量迭代法。
适用矩阵——大型稀疏矩阵.
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特征值问题及性质
设矩阵ARn×n，特征值问题是求C和 非零向量xRn，使
Ax=x 其中是矩阵A的特征值，x是矩阵A属于特征
值的特征向量.
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幂法的迭代公式为
xk Axk 1
当k充分大时，有
k 1,2,
xk 1k a1v1 xk 1 i 1 x k i 2 收敛速度取决于比值 ,比值越小,收敛越快. 1
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3. 误差分析
幂法的迭代公式为
k 1,2,
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取 x0=(1,1,1)T, 迭代5步的计算结果见下表
k 1
T yk
0.2446, 0.5625,-0.2703
mk 0.5652
T xk
0.4348, 1, -0.4783
2 3 4 5
0.1879, 0.9877,-0.8725 0.1520, 0.8245,-0.7523 0.1489, 0.8134,-0.7426 0.1490 ,0.8134,-0.7426
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4. 实用计算公式 yk Axk 1 mk max yk x y /m k k k
( k 1, 2, )
其中 mk 是向量 yk中绝对值最大的第一个分量.这 时xk分量的模最大为1. 当k充分大时, 有
1 mk v1 xk ( 或 yk )
即A-1的特征值为1/i , 对应的特征向量仍为v1, v2, , vn.
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A-1的特征值满足 从而求得A的按模最小 特征值
1
n

1
n 1

1
1
n 1/mk
和对应的特征向量
因此, 对A-1应用幂法, 可求出其主特征值
vn xk ，
这种方法称为反幂法.
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例1 求矩阵
2 3 2 A 10 3 4 3 6 1
的主特征值与其对应的特征向量。 解 迭代公式为
yk Axk 1 mk max yk x y /m k k k
( k 1, 2, )
取 x0=(0,0,1)T , 则有
1. 幂法的基本思想
设n 阶矩阵A的特征值和相应特征向量为
1 , 2 ,, n
即满足
v1 ,v2,…, vn
(i 1,2,, n)
Avi i vi
其中要求v1 ,v2,…, vn 线性无关，且有
| 1 || 2 | | n | .
称1为A的按摸最大特征值(也称主特征值).
解Lzk xk 1 , 求出zk 解Uyk zk , 求出yk mk max yk x 1 y k mk k
k 1,2,
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例2 求矩阵
2 8 9 A 8 3 4 9 4 7
按模最小的特征值与其对应的特征向量。 解 A 进行LU分解得 9 1 2 8 U L 4 1 29 32 1.8103 4.5 1.1034 1

k 1
a1v1 k
k a ( ) v a ( ) v
2 k 2 1 2 n k n 1 n
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2. 收敛性及幂法迭代公式 前面已知
xk
k 1
a1v1 k
n k n 1 n
k a ( ) v a ( ) v
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任取非零向量 x0 ( x , x ,, x
x0 a1v1 a2v2 anvn
(0) 1
(0) 2
(0) T , n
)
则
xk Axk 1 , k 1,2, 其中 x1 Ax0 a1 Av1 a2 Av2 an Avn =a11v1 a22v2 annvn x2 Ax1 a11 Av1 a22 Av2 ann Avn 2 2 2 =a11 v1 a22 v2 ann vn
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第四章
矩阵特征值及特征向量的计算
问题的来源 工程技术中有多种振动问题, 如桥梁或建筑 及一些 物的振动, 机械零件、飞机机翼的振动, 特征值与特征向量的问题.
稳定性分析和相关分析在数学上都可转化为求矩阵
数学学院 信息与计算科学系 第一节 幂法与反幂法
一、幂法 二、反幂法 三、原点平移法
T
1 T y1 2,4,1 , m1 4, x1 y1 0.5, 1,0.25 m1
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直到k=8 时的计算结果见下表 T k mk yk
1 2, 4, 1, 2 4.5, 9, 7.75 3 5.7222, 11.4444, 8.361 4 5.4621, 10.9223, 8.2306 5 5.5075, 11.0142, 8.2576 6 5.4987, 10.9974, 8.2494 7 5.5002, 11.0005, 8.2501 8 5.5000, 11.0000, 8.2500 4 9 11.4444 10.9223 11.0142 10.9974 11.0005 11.0000
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三、原点平移法
由前面讨论知道，应用幂法计算A的按模最大特 征值的收敛速度主要由比值 r=|2/1|来决定，但当r 接近于1时，收敛可能很慢. 这时，一个补救办法是 采用一种加速收敛的方法.
引进矩阵 B=A-pI .
其中p为参数，设A的特征值为i，则对矩阵B的特征 值为i-p ，而且A, B的特征向量相同.
2 1 1 1 2 2 2 2 2 n n n
由于 xk=Axk-1=Akx0 ，所以这种生成向量序 列的方法就称为幂法.
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将向量 xk 整理改写一下为
xk a v a v a v
k 1 1 1 k 2 2 2
k 1
k n n n
n k 2 k a1v1 a2 ( 1 ) v2 an ( 1 ) vn
设 a10, 由A构造向量序列{xk}
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即对 x0 a1v1 a2v2 anvn 用公式 xk Axk 1 , k 1,2, 就得到了向量序列
x1 Ax0 =a11v1 a22v2 annvn
x2 Ax1 =a v a v a v k k k xk Axk 1 =a11 v1 a22 v2 ann vn
当k充分大时, 有
问题是：当|1|>1时, xk 所有不为零的分量将随 k 而趋于 , 在计算机计算时会造成“溢出”;而
xk 1k a1v1 xk 1 i 1 x k i
xk Axk 1
k 1,2,
当|1|<1时, xk 的分量将随 k 而趋于0 , 成为0向量. 为了避免这个问题，对每一步的xk进行规范化， 这样就得到了修改计算公式为
1/n m k
和特征向量
来自百度文库
vn xk .
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对A-1用幂法的迭代公式为
y k A 1 x k 1 mk max yk 1 x k mk yk ( k 1,2,)
因为A-1的计算比较困难，所以解方程组先对A进行LU 分解A=LU, 此时反幂法的迭代公式为
而用向量 xk+1 的第i个分量与向量 xk 的第i个分 量之比的极限 k 1 1 a1v1 k 1 i ( xk 1 ) i lim lim k k ( x ) k a v k i 1 1 1 k i
1 [a1 (v1 )i ( k 1 )i ] 1 lim k a1 (v1 )i ( k )i 就是按摸最大特征值1 .