概率的意义及古典概型

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随机事件的概率及古典概型

概率的加法公式及其应用，事件的关系与运算。

一、知识导学1.必然事件：在一定的条件下必然要发生的事件.不可能事件：在一定的条件下不可能发生的事件.随机事件：在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件. 2. 概率：实际生活中所遇到的事件包括必然事件、不可能事件和随机事件.随机事件在现实世界中是广泛存在的.在一次试验中，事件A 是否发生虽然带有偶然性，但在大量重复试验下，它的发生呈现出一定的规律性，即事件A 发生的频率nm总是接近于某个常数，在它附近摆动，这个常数就叫做事件A 的概率.记着P （A ）. 0≤P （A ）≤13．若在一次试验中，每个基本事件发生的可能性都相同，则称这些基本事件为等可能基本事件． 4．具有以下两个特点：（１）所有的基本事件只有有限个；（２）每个基本事件的发生都是等可能的．我们将满足上述条件的随机试验的概率模型称为古典概型5．等可能事件的概率：如果一次试验中共有ｎ种等可能出现的结果，其中事件A 包含的结果有ｍ种，那么事件A 的概率P （A ）＝nm ．二、疑难知识导析1．必然事件、不可能事件、随机事件的区别与联系：必然事件是指在一定条件下必然发生的事件；不可能事件是指在一定的条件下不可能发生的事件；随机事件是指在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件.要辨析清事件的条件和结果，理解事件的结果是相应于“一定条件”而言的，必须明确什么是事件发生的条件，什么是在此条件下产生的结果.上述三种事件都是在一定条件下的结果.2．频率与概率：随机事件A 的频率指此事件发生的次数ｍ与试验总次数ｎ的比值，它是随着试验次数的改变而变化的，它具有一定的稳定性，即总在某个常数ｐ附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小，于是，我们给这个常数取个名字，叫随机事件的概率.因此，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小；而频率在大量重复试验的前提下，可近似地作为这个事件的概率.即概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值.3．必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率：0＜P （A ）＜1，这里要辩证地理解它们的概率：必然事件和不可能事件可以看作随机事件的两个极端，它们虽是两类不同的事件，但在一定的情况下又可以统一起来，即任意事件A 的概率满足：0≤P （A ）≤14．等可能事件的理解：一次试验中所有可能的ｎ个基本结果出现的可能性都相等，这ｎ个结果对应着ｎ个基本事件.对等可能事件的理解，其实质在于对等可能性的理解.“等可能性”指的是结果，而不是事件.例如抛掷两枚均匀的硬币，可能出现“两个正面”“两个反面”“一正一反”“一反一正”这四种结果，每一种结果的可能性相等，都是0.25；而出现“两个正面”“两个反面”“一正一反”这三种结果就不是等可能的.5．注意用集合的观点来看概率，运用图式法来弄清各事件之间的关系.对古典概率来说，一次试验中等可能出现的几个结果组成一个集合I ，其中各基本事件均为集合I 的含有一个元素的子集，包括ｍ个基本事件的子集A ，从而从集合的角度来看：事件A 的概率是子集A 的元素的个数与集合I 的元素个数的比值，即P （A ）＝nm.因此，可以借助集合的表示法来研究事件，运用图示法弄清各事件的关系，从而做到较深刻的理解. 6．互斥事件：不可能同时发生的两个事件.如果事件A 、B 、C ，其中任何两个都是互斥事件，则说事件A 、B 、C 彼此互斥.当A ，B 是互斥事件时，那么事件A ＋B 发生（即A ，B 中有一个发生）的概率，等于事件A ，B 分别发生的概率的和.P （A ＋B ）＝P （A ）＋P （B ）.如果事件A 1、A 2、…、A ｎ彼此互斥，那么事件A 1＋A 2＋…＋A ｎ发生（即A 1、A 2、…、A ｎ中有一个发生）的概率，等于这ｎ个事件分别发生的概率的和.7．对立事件：其中必有一个发生的两个互斥事件.事件A 的对立事件通常记着A .对立事件的概率和等于1.P （A ）＝1－P （A ）8．相互独立事件：事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件.当A ，B 是相互独立事件时，那么事件A ∙B 发生（即A ，B 同时发生）的概率，，等于事件A ，B 分别发生的概率的积.P （A ∙B ）＝P （A ）∙P （B ）.如果事件A 1、A 2、…、A ｎ相互独立，那么事件A 1∙A 2∙…∙A ｎ发生（即A 1、A 2、…、A ｎ同时发生）的概率，等于这ｎ个事件分别发生的概率的积.二．古典概型：概率内容的新概念较多，相近概念容易混淆，本文就学生易犯错误作如下总结：类型一 “非等可能”与“等可能”混同例1掷两枚骰子，求所得的点数之和为6的概率．错解掷两枚骰子出现的点数之和2，3，4，…，12共11种基本事件，所以概率为P=111剖析以上11种基本事件不是等可能的，如点数和2只有(1，1)，而点数之和为6有(1，5)、(2，4)、(3，3)、(4，2)、(5，1)共5种．事实上，掷两枚骰子共有36种基本事件，且是等可能的，所以“所得点数之和为6”的概率为P=536．类型二 “互斥”与“对立”混同例2 把红、黑、白、蓝4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每个人分得1张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是A ．对立事件B ．不可能事件C ．互斥但不对立事件D ．以上均不对错误答案：A剖析本题错误的原因在于把“互斥”与“对立”混同，要准确解答这类问题，必须搞清对立事件与互斥事件的联系与区别，这二者的联系与区别主要体现以以下三个方面： (1)两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立；(2)互斥的概念适用于多个事件，但对立概念只适用于两个事件；(3)两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生；而两事件对立则表示它们有且仅有一个发生．事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是不能同时发生的两个事件，这两个事件可能恰有一个发生，一个不发生，可能两个都不发生，所以应选C ．类型三 “互斥”与“独立”混同例3 甲投篮命中率为O ．8，乙投篮命中率为0.7，每人投3次，两人恰好都命中2次的概率是多少?错解设“甲恰好投中两次”为事件A ，“乙恰好投中两次”为事件B ，则两人都恰好投中两次为事件A+B ，P(A+B)=P(A)+P(B)： 2222330.80.20.70.30.825c c ⨯+⨯=剖析本题错误的原因是把相互独立同时发生的事件当成互斥事件来考虑，将两人都恰好投中2次理解为“甲恰好投中两次”与“乙恰好投中两次”的和．正确解答：设“甲恰好投中两次”为事件A ，“乙恰好投中两次”为事件B ，且A ，B 相互独立，则两人都恰好投中两次为事件A·B，于是P(A·B)=P(A)×P(B)= 2222330.80.20.70.30.169c c ⨯+⨯≈．例4 某家庭电话在家中有人时，打进的电话响第一声时被接的概率为0.1，响第二声时被接的概率为O ．3，响第三声时被接的概率为0.4，响第四声时被接的概率为0.1，那么电话在响前4声内被接的概率是多少? 错解分别记“电话响第一、二、三、四声时被接”为事件A 1、A 2、A 3、A 4，且P(A1)=0.1， P(A 2)=0．3，P(A 3)=O ．4，P(A 4)=0．1，则电话在响前4声内被接的概率为P=P(A 1)·P(A 2)· P(A 3)·P(A 4)=0．1×0．3×0．4×0．1=0．0012．剖析本题错解的原因在于把互斥事件当成相互独立同时发生的事件来考虑．根据实际生活中的经验电话在响前4声内，每一声是否被接彼此互斥．所以，P=P(A 1)十P(A 2)+P(A 3)+P(A 4)=0.1+0.3+0.4+0.1=0.9．点评以上两例错误的原因都在于把两事件互斥与两事件相互独立混同，互斥事件是指两个事件不可能同时发生；两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生与否没有影响，它们虽然都描绘了两个事件间的关系，但所描绘的关系是根本不同．类型四 “条件概率P(B / A)”与“积事件的概率P(A·B)”混同例5 袋中有6个黄色、4个白色的乒乓球，作不放回抽样，每次任取一球，取2次，求第二次才取到黄色球的概率．错解记“第一次取到白球”为事件A ，“第二次取到黄球”为事件B,”第二次才取到黄球”为事件C,所以P(C)=P(B/A)=6293=. 剖析本题错误在于P(A ⋅B)与P(B/A)的含义没有弄清, P(A ⋅B)表示在样本空间S 中,A 与B 同时发生的概率；而P （B/A ）表示在缩减的样本空间S A 中，作为条件的A 已经发生的条件下事件B 发生的概率。

概率的定义及其计算学习笔记

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例 Dewey G. 统计了约438023个英语单词中各字母出现的频率，发现各字母出现的频率不同：
A: 0.0788 E: 0.1268 I: 0.0707 M: 0.0244 Q: 0.0009 U: 0.0280 Y: 0.0202
B: 0.0156 F: 0.0256 J: 0.0010 N: 0.0706 R: 0.0594 V: 0.0102 Z: 0.0006
Anm n(n 1)(n 2)(n m 1)
全排列
Ann n!
可重复排列：从 n 个不同的元素中可重复地取出 m 个排成一排, 不同的排法有
nm 种
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不尽相异元素的全排列：n 个元素中有 m 类，第 i 类中有 ki 个相同的元素，
k1 k2 km n, 将这 n 个元素按一定的次序排成一排，
（1）某指定的 k 个盒子中各有一球；
则 nA1 k!
P( A1)
（2）恰有 k 个盒子中各有一球；
nA1 n
k! Nk
nA2 CNk k !
P(
A2
)
CNk N
k!
k
7
（3）某指定的一个盒子没有球；
nA3 (N 1)k
P(
A3
)
(
N 1)k Nk
（4）某指定的一个盒子恰有 m 个球 ( m k )；
又由 AB B, P(B AB) P(B) P(AB) P(A B) P(A) P(B) P(AB)
19
推广： P( A B C) P( A) P(B) P(C)
P( AB) P( AC) P(BC)
P( ABC)
一般：P(n
Ai
)
n
P(

第一章34节概率论

P( A B) P(AB)
P(B) 为事件A在事件B发生的条件下的条件概率.
同理，若P( A)>0,也可定义事件B在A已经发生条件下的条件概率：P(B A) P(AB)
P( A)
条件概率具有非负性、规范性及可列可加性，亦是概率，
具有概率的一切性质.
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例. 一个家庭有两个孩子。 (1) 已知至少有一个男孩，求两个都是男孩的概率？ (2) 已知年纪小的是男孩，求两个都是男孩的概率？

{n
C C m nm M NM CNn
2,
m
1}
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[例5] 设一批产品共N件，其中有M 件次品，每次从
这批产品中任取1件产品，取出后不再放回，求第i次取出的产品是次品的概率.
解：不放回抽样，样本点总数为:
PNi N (N 1)(N 2) (N i 1);
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进一步考虑下列问题，如果抽检的确实件次品，那么该件产品究竟是由哪个厂家生产的呢？当然，这同样是个不确定性问题。另外，显然，甲的可能性要大得多，因为甲产量多，次品率也高。实际上
P(B | A)= 8 9
以上这类问题在医药领域相当重要，因为人们常常需要从诊断的结果来寻找真正的原因。
7 6 10 9
5 8
0.292;
________________
(2)P( A1 A2 A3) 1 P( A1 A2 A3) 1 P( A1A2 A3)
1 P( A1)P( A2 A1)P( A3 A1 A2 )
1 3 10

2 9
1 8
0.992

1-2(概率的定义、古典概率)

P( AB) P( A) P( B) P( A B)
P( A) P( B) 1 0.3 —— 最小值
最小值在 P( A B) 1 时取得
P( AB) P( A) 0.6
—— 最大值
最大值在 P( A B) P( B) 时取得
三.几何概率
早在概率论发展初期，人们就认识到，只考虑有限个等可能样本点的古典方法是不够的. 把等可能推广到无限个样本点场合,人们引入了几何概型. 由此形成了确定概率的另一方法——几何方法.
P( AB ) P( A) P( AB) 0.7 0.1 0.6 (2) P( A B) P( A) P( B) P( AB) 0.8
(1)
(3) P( A B) P( A B) 0.2
例2 设A , B满足 P ( A ) = 0.6, P ( B ) = 0.7, 在何条件下， P(AB) 取得最大(小)值？最大(小) 值是多少？解 P( A B) P( A) P( B) P( AB)
P ( Ai ) P ( Ai )
i 1 i 1 n n 1 i j n
P( A A )
i j
1 i j k n
P( A A A )
i j k
„ ( 1)
n1
P ( A1 A2 „ An )
例1 小王参加“智力大冲浪”游戏, 他能答出甲、乙二类问题的概率分别为0.7和0.2, 两类问题都能答出的概率为0.1. 求小王 (1) 答出甲类而答不出乙类问题的概率 (2) 至少有一类问题能答出的概率 (3) 两类问题都答不出的概率解事件A , B分别表示“能答出甲,乙类问题”

概率统计知识点

一.随机事件和概率1、概率的定义和性质（1）概率的公理化定义设Ω为样本空间，A 为事件，对每一个事件A 都有一个实数P(A)，若满足下列三个条件：1° 0≤P(A)≤1， 2° P(Ω) =13° 对于两两互不相容的事件1A ，2A ，…有∑∞=∞==⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛11)(i i i i A P A P Υ常称为可列（完全）可加性。

则称P(A)为事件A 的概率。

（2）古典概型（等可能概型）1° {}n ωωωΛ21,=Ω，2° nP P P n 1)()()(21===ωωωΛ。

设任一事件A ，它是由m ωωωΛ21,组成的，则有P(A)={})()()(21m ωωωΥΛΥΥ=)()()(21m P P P ωωω+++Λn m =基本事件总数所包含的基本事件数A =2、五大公式（加法、减法、乘法、全概、贝叶斯）(1)加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当 P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B)(2)减法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)当B ⊂ A 时，P(A-B)=P(A)-P(B)当A=Ω时，P(B )=1- P(B)（3）条件概率和乘法公式定义设A、B 是两个事件，且P(A)>0，则称)()(A P AB P 为事件A 发生条件下，事件B 发生的条件概率，记为=)/(A B P )()(A P AB P 。

条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。

（4）全概公式设事件B 1, B 2,Λ , B n 满足1°B 1, B 2,Λ , B n两两互不相容，P (B i ) > 0(i = 1,2,Λ , n ) ，2°Υni iB A 1=⊂，则有)|()()|()()|()()(2211n n B A P B P B A P B P B A P B P A P +++=Λ。

案例9古典概型

3. 求古典概型概率的基本步骤 1) 算出所有基本事件的个数 n； 2) 求出事件 A 包含的所有基本事件数 m； 3）代入公式 P(A)=m/n，求出 P（A）。 4. 概率分布事件的概率表示了一次试验某一个结果发生的可能性大小。若要全面了解试验，则必须知道试验的全部可能结果及各种可能结果发生的概率，即必须知道随机试验的概率分布。
币、掷骰子）。即从装有 m 个白球 n 个黑球的袋子中有放回摸球，求在摸到 a 次黑球前摸到 b 次白球的概率。由此又可以转化为大量的应用问题，而二项分布、几何分布、负பைடு நூலகம்项分布等常见离散型分布均可由点数问题引申出来，所以点数问题的圆满解决被认为是概率论诞生的标志之一。实验 2 赌徒梅勒的第二个问题: 当时赌徒梅勒问帕斯卡的另一个问题是：
9.2 点数问题
实验 1 点数问题：通常认为概率论起于骰子的应用，源于点数问题（又
称分赌本问题）。所谓点数问题是：A，B 两人赌博，其技巧相当，约定谁先胜 s 局则获全部赌金。若进行到 A 胜 s1 局而 B 胜 s2 局（s1<s，s2<s）时，因故停止，赌金该如何分配才公平？点数问题最早见于意大利数学家帕乔利（Ｌ.Pacioli， 1445－1517）的《算术、几何及比例性质摘要》中。该书记载：A，B 两人进行一场公平赌博，约定先赢得 s=6 局者获胜。而在 A 胜 s1=5 局且 B 胜 s2=2 局时中断。帕乔利认为该赌博最多需要进行 2(s-1)+1=11 局，因而赌金分配方案为 s1/(2s-1)与 s2/(2s-1)之比，即 s1/ s2＝5/2。帕乔利的方案实际上是按已胜局数比例分配(这也是一般人的看法)，这种分法合理吗？我们不妨通过如下实验结果来探讨这个问题。问题分析：在 A 已经五胜两负的基础上，用计算机模拟两人以后的博弈，计算他们应得的赌金。由于两位技巧相当，不妨假定他们在以后的每局比赛中胜负机会相等。连续模拟 n 次（为了使结果更有说服力，取 n 较大，如 n>1000），每次模拟到 A，B 双方有一方先胜 6 局为止，胜者获得全额赌金，n 次模拟结束后，计算双方所获赌金的比例，以该比例作为赌金分配方案。实验过程：Matlab 实验程序如下(stake.m 文件)： function [Awin,Bwin,p]=stake(s1,s2,s,n) %定义函数 stake，输入参数 s1,s2

古典概率与几何概率的区别

古典概型和几何概型的意义和主要区别在初中阶段的教学过程中，作为教师，理解古典概型和几何概型的意义和主要区别，有利于从事相应的教学。

几何概型是在学习了古典概型之后，将等可能事件的概念从有限向无限的延伸，这两种概型，在初中阶段都呈现了出来，作为教师，理解古典概型和几何概型的意义和主要区别，有利于培养学生的建模能力、逻辑推理能力和空间观念，下面我就两种概型的意义、两种概型的主要区别以及怎样应用它们发展学生的诸多能力加以简单介绍。

一、古典概型和几何概型的意义（一）.几何概型的定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.1.几何概型的特点:(1)试验中所有可能出现的基本事件有无限多个.(2)每个基本事件出现的可能性相等.2.几何概型求事件A的概率公式：P(A)=构成事件A的区域长度(面积或体积)/ 实验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)（二）古典概型的意义大家都很熟知，此处不在介绍1. 古典概型的特点：(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个.(2)每个基本事件出现的可能性相等.2. 古典概型求事件A的概率公式：P(A)=事件A可能发生的结果数/实验发生的所有等可能的结果数二. 古典概型与几何概型的主要区别几何概型是另一类等可能概型，它与古典概型的区别在于试验的结果不是有限个，利用几何概型可以很容易举出概率为0的事件不是不可能事件的例子，概率为1的事件不是必然事件的例子。

三.利用不同概率模型,培养学生的建模能力及实际应用能力（一）结合实例进行建模题组一：情境1、抛掷两颗骰子，求出现两个“6点”的概率情景2、1号口袋中装有两只红球一只白球，2号口袋中装有一只红球一只白球，这些球处颜色不同外，其他都相同，小明从两个袋各摸一球，问摸出的两球异色的概率是多少？情景3、一口袋中装有3只红球2只白球，小明从口袋里摸出一球放回去，摇匀后，在摸出一球，问两次摸出的球为异色的概率是多少？情景4、一口袋中装有3只红球2只白球，小明从口袋里一次摸出2球，问两球异色的概率是多少？说明：第一组题是古典概型，（1）通过解题让学生从多角度理解古典概型的特征；（2）通过作树状图，让学生领略各题之间存在的不同；（3）体会应用古典概型解决实际问题时应注意的事项（如：元素是否重复利用、元素间有无顺序；实验出现的结果确保等可能性）。

古典概型的概率计算例题和知识点总结

古典概型的概率计算例题和知识点总结在概率论中，古典概型是一种非常基础且重要的概率模型。

它具有简单直观、易于理解和计算的特点。

接下来，我们将通过一些具体的例题来深入理解古典概型的概率计算方法，并对相关知识点进行总结。

一、古典概型的定义与特点古典概型是指试验中所有可能的结果是有限的，并且每个结果出现的可能性相等。

例如，掷一枚均匀的硬币，结果只有正面和反面两种，且出现正面和反面的可能性相等；掷一个均匀的骰子，结果有 1、2、3、4、5、6六种，每种结果出现的概率都是 1/6。

二、古典概型的概率计算公式如果一个试验有n 个等可能的结果，事件A 包含其中的m 个结果，那么事件 A 发生的概率 P(A) ＝ m ／ n 。

三、例题解析例 1：从装有 3 个红球和 2 个白球的口袋中随机取出 2 个球，求取出的 2 个球都是红球的概率。

解：从 5 个球中取出 2 个球的组合数为 C(5, 2) ＝ 10 种。

取出 2 个红球的组合数为 C(3, 2) ＝ 3 种。

所以取出 2 个球都是红球的概率为 3 ／ 10 。

例 2：一个盒子里有 5 个完全相同的球，分别标有数字 1、2、3、4、5，从中随机摸出一个球，求摸到奇数球的概率。

解：总共有 5 个球，摸到每个球的可能性相等。

奇数球有 1、3、5 三个。

所以摸到奇数球的概率为 3 ／ 5 。

例 3：同时掷两个均匀的骰子，求点数之和为 7 的概率。

解：同时掷两个骰子，总的结果数为 6 × 6 ＝ 36 种。

点数之和为7 的情况有（1，6）、（2，5）、（3，4）、（4，3）、（5，2）、（6，1），共 6 种。

所以点数之和为 7 的概率为 6 ／ 36 ＝ 1 ／ 6 。

四、古典概型概率计算的注意事项1、要确保试验结果的等可能性。

如果试验结果不是等可能的，就不能使用古典概型的概率计算公式。

2、计算基本事件总数和事件包含的基本事件数时，要注意不重不漏。

3、对于复杂的问题，可以通过分类讨论或分步计算来解决。

概率的基本概念与性质

概率的基本概念与性质概率，是数学中一个重要的概念，用来描述随机事件发生的可能性大小。

它在各个领域都有广泛的应用，如统计学、经济学、物理学等。

本文将介绍概率的基本概念和性质，帮助读者更好地理解概率论的基础知识。

1. 概率的定义和表示方法概率是描述事物发生可能性的一个数值，通常用介于0和1之间的实数表示。

概率可以使用分数、小数或百分比来表示。

以事件A发生的概率为例，可以用P(A)或Pr(A)来表示。

2. 概率的性质(1) 非负性：对于任何事件A，其概率P(A)都大于等于0，即P(A)≥0。

(2) 可加性：对于任意的不相容事件（互斥事件）A和B，它们的概率可以相加，即P(A∪B) = P(A) + P(B)。

(3) 规范性：对于一定发生或一定不发生的事件，其概率分别为1和0，即P(S) = 1和P(∅) = 0，其中S代表样本空间，∅代表不可能事件。

3. 概率的计算方法(1) 古典概型：指的是所有可能的结果都是等可能发生的情况。

在古典概型中，事件A的概率等于事件A包含的有利结果数目与样本空间的大小之比，即P(A) = 有利结果数目 / 样本空间大小。

(2) 几何概型：指的是通过对空间的测量来计算概率。

例如，在计算一个点在一个平均分布的正方形区域中的概率时，可以用该点所在区域的面积与整个区域的面积之比。

(3) 统计概率：是通过观察和统计数据来计算概率。

统计概率常用于实际问题，根据大量数据的分析和推断得出概率值。

4. 概率的性质与公式(1) 加法规则：对于任意两个事件A和B，其概率可以通过加法规则计算，即P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)。

其中P(A∩B)表示事件A和B同时发生的概率。

(2) 乘法规则：对于相互独立的两个事件A和B，其概率可以通过乘法规则计算，即P(A∩B) = P(A) × P(B)。

注意，乘法规则只适用于独立事件。

(3) 条件概率：指在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，表示为P(A|B)。

古典概型

计算公式是：P（A）+ P(B)＝１；P( A )=1－P(A)；
（二）分布列 1．分布列：设离散型随机变量 ξ 可能取得值为 x1，x2，…，x3，…，ξ 取每一个值 xi（i=1，2，…）的概率为
P(
xi )
pi ，则称表为随机变量 ξ
的概率分布，简称 ξ
的分布列
新疆王新敞
奎屯
ξ
x1
x2
…
8．两点分布列: 随机变量 X 的分布列是：
ξ
0
1
P 1 p
p
像上面这样的分布列称为两点分布列．
[全面解读] 古典概型这一模块内容分两个部分，一个是古典概型，一个是离散型随机变量的概率分布。古典概型的问题基本是数个数，它本质是排列组合问题，分布列问题主要应掌握期望与方差的公式，对二项分布问题应重点关注。 [难度系数]★★☆☆☆
知识点分析：
（一）古典概型
１．随机事件 A 的概率： 0 P( A) 1，其中当 P( A) 1时称为必然事件；当 P( A) 0 时称为不可能事件；
2．等可能事件的概率（古典概型）： P(A)= m 。理解这里 m、ｎ的意义。 n
3．互斥事件：A、B 互斥，即事件 A、B 不可能同时发生。计算公式：P(A+B)＝P(A)+P(B)。 4．对立事件：A、B 对立，即事件 A、B 不可能同时发生，但 A、B 中必然有一个发生。
6.方差的性质： Da b a2D ；
7．二项分布：在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在 n 次独立重复试验中这个事件发生的次数 ξ 是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是 P，那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率是

概率的起源和发展

概率的起源和发展概率是一门研究随机事件发生规律的数学分支，它在现代科学和工程领域中扮演着重要的角色。

本文将详细探讨概率的起源和发展，从古代到现代，介绍了概率的相关概念、理论和应用。

一、概率的起源概率的概念最早可以追溯到古希腊时期。

古希腊数学家泰勒斯提出了一种用来解释自然现象的理论，他认为一些事件的发生是由于某种“原因”或者“必然性”，而其他事件则是“偶然”的。

这种思想奠定了概率的基础。

在17世纪，法国数学家帕斯卡尔和费马对概率进行了更深入的研究。

帕斯卡尔提出了著名的帕斯卡三角形，用于计算组合数和概率。

费马则提出了著名的费马定理，用于计算概率的近似值。

这些成果为概率的进一步发展奠定了基础。

二、概率的发展概率的发展在18世纪和19世纪得到了巨大的推动。

英国数学家贝叶斯提出了贝叶斯定理，用于计算条件概率。

这一理论对于统计学的发展具有重要意义。

同时，法国数学家拉普拉斯提出了拉普拉斯定理，用于计算大数定律。

这些理论为概率论的发展和应用提供了重要的工具。

20世纪是概率论发展的黄金时期。

俄国数学家科尔莫哥洛夫提出了概率论的公理化体系，奠定了现代概率论的基础。

他的工作为概率论的严格化建立了基本框架。

此外，美国数学家卡尔曼和英国统计学家皮尔逊等人对概率论进行了广泛的应用研究，为概率论在统计学和工程领域的应用打下了坚实的基础。

三、概率的相关概念和理论概率的核心概念包括随机事件、样本空间、事件的概率等。

随机事件指的是在一定条件下可能发生的事件，样本空间是所有可能结果的集合。

事件的概率是指事件发生的可能性大小，通常用一个介于0和1之间的数字表示。

概率的理论包括古典概型、几何概型、统计概型等。

古典概型指的是在有限样本空间中，每一个样本发生的概率相等的情况。

几何概型指的是在连续样本空间中，通过几何方法计算概率的情况。

统计概型则是通过统计方法计算概率的情况。

概率的计算方法包括加法法则、乘法法则、条件概率和贝叶斯定理等。

加法法则用于计算两个事件同时发生的概率，乘法法则用于计算两个事件相继发生的概率。

研修：古典概型和几何概型的意义和主要区别

古典概型和几何概型的意义和主要区别古典概型特点：1、实验的样本空间只包括有限个元素；2、实验中每个基本事件发生的可能性相同；具有以上两个特点的实验是大量存在的，这种实验叫等可能概型，也叫古典概型。

求古典概型的概率的基本步骤：（1）算出所有基本事件的个数n；（2）求出事件A包含的所有基本事件数m；（3）代入公式P(A)=m/n，求出P（A）。

概率模型的转换：古典概率模型是在封闭系统内的模型，一旦系统内的某个事件的概率在其他概率确定前被确定，其他事件概率也会跟着发生改变。

概率模型会由古典概型转变为几何概型。

简单地说，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型。

比如：对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一个点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到中述区域内的某个指定区域中的点。

这里的区域可以是线段，平面图形，立体图形等。

用这种方法处理随机试验，称为几何概型.几何概型与古典概型相对，将等可能事件的概念从有限向无限的延伸。

这个概念在我国初中数学中就开始介绍了。

古典概型与几何概型的主要区别在于：几何概型是另一类等可能概型，它与古典概型的区别在于试验的结果不是有限个。

几何概型的特点有下面两个：(1)试验中所有可能出现的基本事件有无限多个.(2)每个基本事件出现的可能性相等古典概型是概率的来源，利于学生接受和掌握，几何概率有利于学生的发展。

解决概率问题时，拿出一类概率问题要能抽象出本质，看它属于哪种模型，对于具体的某一概率问题，要能寻找它的变式，从感性到理性，从简到繁，从现象到本质，举一反三，触类旁通。

这需要老师耐心引导，学生们之间认真思考交流，抓住问题的本质，促进学生素质的提高和发展。

随机事件的概率与古典概型、几何概型

随机事件的概率与古典概型、几何概型一．知识整合：1．随机事件的概念在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件。

（1）随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；（2）必然事件：在一定条件下必然要发生的事件；（3）不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件。

2．随机事件的概率事件A 的概率：在大量重复进行同一试验时,事件A 发生的频率n m总接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A 的概率,记作P （A ）。

由定义可知0≤P （A ）≤1，显然必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0。

3．事件间的关系（1）互斥事件：不能同时发生的两个事件叫做互斥事件；（2）对立事件：不能同时发生，但必有一个发生的两个事件叫做互斥事件；（3）包含：事件A 发生时事件B 一定发生，称事件A 包含于事件B （或事件B 包含事件A ）；4．事件间的运算（1）并事件（和事件）若某事件的发生是事件A 发生或事件B 发生，则此事件称为事件A 与事件B 的并事件。

注：当A 和B 互斥时，事件A +B 的概率满足加法公式：P （A +B ）=P （A ）+P （B ）（A 、B 互斥）；且有P （A +A ）=P （A ）+P （A ）=1。

（2）交事件（积事件）若某事件的发生是事件A 发生和事件B 同时发生，则此事件称为事件A 与事件B 的交事件。

5．古典概型（1）古典概型的两大特点：1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；2）每个基本事件出现的可能性相等；（2）古典概型的概率计算公式：P （A ）=总的基本事件个数包含的基本事件个数A ；一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件,通常此试验中的某一事件A 由几个基本事件组成.如果一次试验中可能出现的结果有n 个,即此试验由n 个基本事件组成,而且所有结果出现的可能性都相等,那么每一基本事件的概率都是n 1。

如果某个事件A 包含的结果有m 个,那么事件A 的概率P （A ）=n m 。

古典概型和几何概型的意义和主要区别

专题六作业：3．在初中阶段的教学过程中，作为教师，理解古典概型和几何概型的意义和主要区别，是否更有利于从事相应的教学，举例说明；在初中阶段的教学过程中，作为教师，理解古典概型和几何概型的意义和主要区别，更有利于从事相应的数学教学。

一、古典概型1、古典概型的意义如果随机试验E具有下列性质：（1）E的所有可能结果（基本事件），只有有限多个；（2）E的每一个可能结果（基本事件），发生的可能性大小相等；则称E为有限等可能型随机试验或等可能概型。

因为它是概率论发展初期的主要研究对象，所以它被称为古典概型.2.古典概型的两个基本特点（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，由试验产生随机数。

（2）每个基本事件出现的可能性相等.2、常见的三种古典概型基本模型(1) 摸球模型；同类型的问题还有1) 中彩问题；2) 抽签问题；3) 分组问题；4) 产品检验问题；5) 扑克牌花色问题；6) 英文单词、书、报及电话号码等排列问题.(2) 分房问题；同类型的问题还有：1) 电话号码问题2) 骰子问题3) 英文单词、书、报等排列问题.(3) 随机取数问题.同类型的问题还有：1) 球在杯中的分配问题(球→人，杯→房)2) 生日问题；(日→房，N=365天) ( 或月→房，N=12月)3) 旅客下站问题；( 站→房)4) 印刷错误问题；(印刷错误→人，页→房)5) 性别问题(性别→房，N=2)在老教材中的古典概型是强调用排列组合的公式计算事件个数，而新教材中的古典概型是强调利用枚举法，画树形图来排出所有的事件个数。

二、几何概型1 ．几何概型的概念：对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点。

用这种方法处理随机试验，称为几何概型．（这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等）2 ．几何概型的基本特点：（ 1 ）基本事件的个数，有无限多个。

古典概型知识点总结

古典概型知识点总结古典概型是概率论中最基本、最简单的概率模型之一。

在我们的日常生活和学习中，经常会遇到与古典概型相关的问题。

下面，让我们来系统地总结一下古典概型的相关知识点。

一、古典概型的定义如果一个随机试验具有以下两个特征：1、试验的样本空间Ω中样本点的总数是有限的。

2、每个样本点出现的可能性相等。

那么称这样的随机试验为古典概型。

例如，掷一枚均匀的硬币，观察正反面出现的情况；掷一颗均匀的骰子，观察出现的点数等，都是古典概型的例子。

二、古典概型的概率计算公式在古典概型中，事件 A 的概率定义为：P(A) ＝ A 包含的基本事件个数 m ／基本事件的总数 n例如，掷一颗均匀的骰子，出现点数为偶数的概率。

基本事件的总数n ＝6，事件“出现点数为偶数”包含的基本事件有3 个（2、4、6），所以其概率 P ＝ 3/6 ＝ 1/2 。

三、古典概型的计算步骤1、确定试验的基本事件总数 n 。

2、确定事件 A 所包含的基本事件个数 m 。

3、代入公式计算 P(A) ＝ m ／ n 。

例如，从装有 3 个红球和 2 个白球的口袋中随机取出 2 个球，求取出的 2 个球都是红球的概率。

首先，基本事件总数 n ＝ C(5, 2) ＝ 10 （组合数，表示从 5 个球中选 2 个的组合数）。

事件“取出的 2 个球都是红球”包含的基本事件个数 m ＝ C(3, 2) ＝3 。

所以，取出的 2 个球都是红球的概率 P ＝ 3/10 。

四、古典概型的性质1、0 ≤ P(A) ≤ 1 ：任何事件的概率都在 0 到 1 之间。

2、P(Ω) ＝ 1 ：必然事件的概率为 1 。

3、 P(∅）＝ 0 ：不可能事件的概率为 0 。

五、古典概型的应用1、抽奖问题例如，在一次抽奖活动中，共有 1000 张奖券，其中只有 10 张是中奖券。

某人随机抽取一张，求他中奖的概率。

基本事件总数 n ＝ 1000 ，事件“中奖”包含的基本事件个数 m ＝ 10 ，所以中奖的概率 P ＝ 10/1000 ＝ 1/100 。

古典概型数学史

古典概型数学史古典概型数学是一个源远流长的数学概念，起源于古希腊时期，到了十七世纪，由于概率论的发展，古典概型得到了进一步的发展和应用。

古典概型是指具有相同几何形状，元素等可能性和独立性的问题。

在概率论中，古典概型被广泛应用于事件、样本空间的研究和计算。

本文将从其定义和历史、应用和案例、以及对数学教育的指导意义等方面进行介绍和分析。

一、定义和历史古典概型作为概率论的基本模型之一，其定义具有三个基本要素：可列性、等可能性和独立性。

可列性是指可能结果可被列为一个由n个元素组成的集合，等可能性是指每个可能结果发生的概率相等，是1/n，独立性是指本次事件的结果不受其他事件的干扰。

在历史上，古希腊时期的数学家托勒密率先研究了古典概型，并将其应用于天文学和地理学，如星座位置的预测、地球的大小等问题；十七世纪的概率论之父帕斯卡和费马进一步发展了古典概型的理论和应用，同时还提出了组合数学的基本概念。

到了十九世纪和二十世纪，古典概型得到了大量的应用，如掷硬币、抽签、掷骰子等，成为统计计算的基础模型之一。

二、应用和案例古典概型是解决概率问题的基本方法之一，在实际应用中有着广泛的应用。

例如，在进行抽样或统计时，研究的对象往往可以被分为不同的品类，每一类的数量相等，这时我们就可以使用古典概型来计算样本空间中每个事件的概率。

例如，古典概型可用于计算掷硬币的概率，每次掷硬币的结果只有两种，都是等可能的，所以每种结果的概率是1/2。

再例如，古典概型可以用于计算从n个元素中取r个元素的所有可能性。

这被称为组合问题，其计算公式为C(n,r)=n!/(r!(n-r)!)。

三、对数学教育的指导意义古典概型是数学教育中非常重要的一部分，其能够培养学生的数学思维和逻辑思维能力。

作为概率论的基本模型之一，学生可以通过学习古典概型来理解概率的概念和计算方法。

学生还可以通过古典概型理解集合的概念和计算规则，掌握组合数学的基本概念和应用。

古典概型的学习对培养学生分析问题的能力和解决问题的能力有很大的帮助。

初中概率知识点总结

初中概率知识点总结初中概率知识点总结初中概率知识点总结一、概率的意义与表示方法1、概率的意义一般地，在大量重复试验中，如果事件 A 发生的频率会稳定在某个常数p 附近，那么这个常数 p 就叫做事件 A 的概率。

2、事件和概率的表示方法一般地，事件用英文大写字母 A，B，C，…，表示事件 A 的概率 p，可记为 P(A)=P。

二、确定事件和随机事件的概率之间的关系1、确定事件概率(1)当 A 是必然发生的事件时，P(A)=1(2)当 A 是不可能发生的事件时，P(A)=02、确定事件和随机事件的`概率之间的关系三、古典概型1、古典概型的定义某个试验若具有：①在一次试验中，可能出现的结构有有限多个;②在一次试验中，各种结果发生的可能性相等。

我们把具有这两个特点的试验称为古典概型。

2、古典概型的概率的求法一般地，如果在一次试验中，有 n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件 A 包含其中的 m中结果，那么事件 A 发生的概率为四、列表法求概率1、列表法用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。

2、列表法的应用场合当一次试验要设计两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法。

五、树状图法求概率1、树状图法就是通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法。

2、运用树状图法求概率的条件当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率。

六、利用频率估计概率1、利用频率估计概率在同样条件下，做大量的重复试验，利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数，可以估计这个事件发生的概率。

2、在统计学中，常用较为简单的试验方法代替实际操作中复杂的试验来完成概率估计，这样的试验称为模拟实验。

3、随机数在随机事件中，需要用大量重复试验产生一串随机的数据来开展统计工作。