第九章多元函数微分法及其应用(复习题)

高等数学A(2)复习题
第九章 多元函数微分法及其应用
一、填空题
1、设函数)ln(),(22y x x y x f --=，其中0>>y x ，则=-+),(y x y x f
2、数141
2222-++--=y x y x z 的定义域是 .
3、设函数f x y x y xy x y (,)=+-+-32231，则一阶偏导数(3,2)y f '= .
4、设函数xy e y x z +=2，则
=∂∂)2,1(y z . 5、设函数)32ln(),(x
y x y x f += ，则偏导数=')0,1(y f . 6、设函数(,,),x z f x y f y =可微，则偏导数z y
∂=∂ . 7、设函数)ln(2xy y z =，则=)2,1(y z
∂∂ .
8、设函数y z (sin x)=,则偏导数y
z ∂∂= . 10、设函数2(,)cos()z f x y x y ==，则二元偏导数值(1,)2
xx f π= . 11、设2ln ,z u v =而,32,x u v x y y =
=-， 则y z ∂∂= 12、设函数y x e z 2-=，而t x sin =，3t y =，则
=dt dz . 13、设函数222),(y x y x f +=，则 =+),('),('y x f y x f y x .
14、设函数(,)f x y =(1,2)x f '= .
15、设函数)32ln(),(x y x y x f +
= ，则(1,0)y f = . 16、已知方程ln x x y z =确定隐函数(,)z z x y =，则z x
∂=∂ . 17、已知由方程0323=+-y xz z 确定隐函数),(y x f z =，则
z x ∂=∂ ． 18、设函数sin()2xy z =，则全微分=dz .
19、设函数z x y x e y =--322，则全微分dz = .
20、设函数)ln(2xy z =，则=dz .
21设 )sin(xy z =可微， 则全微分=dz .
22、设函数 xy e z =，则全微分dz ＝ .
23、设函数xy z xe =，则全微分dz = .
24、设函数)cos(2y x z =，则=dz .
25、极限42lim 00+-→→xy xy
y x = .
26、极限=→→x xy y x sin lim 2
0 . 28
、0
x y →→=_______________.
29、(,)(0,1)sin lim x y xy x
→=___________. 30、极限42lim
00+-→→xy xy y x = . 31、 极限
(,)(0,0)sin lim x y xy x
→=_____________． 32、极限02sin lim
x y xy x →→= . 33、极限=-+→→113lim
00xy xy y x .
34、曲面224z x y =--在点 处的切平面平行于平面220x y z ++=.
35、设函数),(y x f z =在点),(00y x 处可微，且0),(00=y x f x ，0),(00=y x f y ，0),(00>y x f xx 0),(00>y x f yy 0),(00=y x f xy 则函数),(y x f 在),(00y x 处必有______________（填极大或极小）.
36、若函数632),(22+++++=by ax y xy x y x f 在点)1,1(-处取得极值，则常数_____________,==b a
37、设函数22),(xy y x y x f +=，则其在点（1,2）处的梯度为 .
38、函数22y x z +=在点（1,2）处沿从点A （1,2）到点B （2,2＋3）的方向的方向导数等于 .
39、函数y
xe z 2=在点)0,1(P 处沿从点)0,1(P 到点)1,2(-Q 的方向的方向导数等于 ．
40、函数x ye z 2=在点（0,1）处沿向量}21
,21
{-方向的方向导数为 . 41、设函数222),,(z y x z y x f ++=，则梯度)2,2,1(grad -f 为⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽.
42、设函数223),(xy y x y x f -=，则其在点(1,2)处的梯度为 _____________．
44、 函数22
z y xy x =-+在点(1,1)M 处沿向量{}6,8l =r 的方向导数为 45、 函数223u x y xy =+-在点(1,2)M -处沿其梯度方向l 的方向导数
M u l ∂∂ .
二、解答题
1、设y x u arctan =，求y x u x u ∂∂∂∂∂222,.
2、求三元函数z
y x u =的全微分du
3、设函数2z (,), ,x y z z f x y x y ∂∂=∂∂求 .
4、设函数ln(z x =+，求x z ∂∂，2z x y ∂∂∂.
5、已知函数
z =，试求2,z z x x y ∂∂∂∂∂. 6、 设ln(ln )z x y =+，求2z x y
∂∂∂. 7、设函数
z = ，求y x z x z ∂∂∂∂∂2,. 9、设函数2sin (sin sin )z y x F y x =+-，其中)(u F 可导，试求z z x y
∂∂∂∂，． 10、 设函数22
(,)z f xy x y =,且(,)f u v 具有二阶连续偏导，求2z x y ∂∂∂. 11、 设函数()
2ln z x y =+，求y x z ∂∂∂2。

13、 已知方程z
e z y x =-+2确定二元隐函数),(y x z z =，试求y x z y z x z ∂∂∂∂∂∂∂2,,. 14、设由方程 3
33a xyz z =- 确定),(y x f z =，求y x z ∂∂∂2 . 15、设方程xyz z 33
= 确定函数),(y x f z =，求y x z ∂∂∂2 . 16、求由方程1=++zx yz xy 所确定的函数),(y x z 的偏导数y
x z ∂∂∂2． 17、设方程06333=-+++xyz z y x 确定),(y x f z =，求,z z x y
∂∂∂∂. 18、设由方程2
222ye z x =+确定(,)z z x y =，试求y x z ∂∂∂2. 19、设函数x y
u xye = ，求全微分du .
20、求曲面3=+-xy z e z 在点)0,1,2(处的切平面及法线方程.
23、求曲面624222=+-z y x 上点)3,2,2(处的切平面方程与法线方程.
24、求椭球面2222 1 x y z ++=上平行于平面 20x y z -+=的切平面方程.
25、在椭圆抛物面14122-+
=y x z 上求一点，使该点的切平面与平面02=++z y x 平行，并求该点的切平面方程.
27、求曲线2sin 4,cos 1,sin t z t y t t x =-=-=在对应于2π=t 点处的切线方程及法平面方程. 28、求函数22)(4),(y x y x y x f ---=的极值.
29、求函数22
(,)2f x y x xy y x y =-+-+的极值.
30、求函数)2(22y y x e z x ++=的极值.
31、求函数333z x y xy =+-的极值.
32、求函数)0(),(>++=a y
a x a xy y x f 的极值. 34、现用铁板做成一个表面积为72的无盖长方体水箱，问长、宽、高各为多少时，体积最大？并求最大体积。

35、求函数y xe z 2=在点（1，0）处沿向量}{
1, 1-方向的方向导数.
三、综合题
1、设函数22(),z xf x y xy =-,且f 可微，求,x y
∂∂∂∂z z . 2、求曲面3=+-xy z e z 在点)0,1,2(处的切平面方程.
7、在椭圆2244x y +=上求一点，使其到直线2360x y +-=的距离为最近.
8、现用铁板做成一个表面积为36的无盖长方体水箱，问长、宽、高各为多少时，体积最大？ 10、求22ln()z x y =+在点(3,4)M 处沿下列方向的方向导数：（1）沿向量{}1,0l =r ；（2）沿梯度方向.。