第3讲 定点运算及浮点运算
计算机理论：浮点数和定点数计算机表示
计算机理论：浮点数和定点数计算机表示浮点数是属于有理数中某特定子集的数的数字表示，在计算机中用以近似表示任意某个实数。
具体的说，这个实数由一个整数或定点数（即尾数）乘以某个基数（计算机中通常是2）的整数次幂得到，这种表示方法类似于基数为10的科学记数法。
浮点计算是指浮点数参与的运算，这种运算通常伴随着因为无法精确表示而进行的近似或舍入。
一个浮点数a由两个数m和e来表示：a = m × b^e。
在任意一个这样的系统中，我们选择一个基数b（记数系统的基）和精度p（即使用多少位来存储）。
m（即尾数）是形如±d.ddd...ddd的p位数（每一位是一个介于0到b-1之间的整数，包括0和b-1）。
如果m 的第一位是非0整数，m称作规格化的。
有一些描述使用一个单独的符号位（s 代表+或者-）来表示正负，这样m必须是正的。
e是指数。
由此可以看出，在计算机中表示一个浮点数，其结构如下：尾数部分（定点小数）阶码部分（定点整数）数符±尾数m 阶符±阶码e这种设计可以在某个固定长度的存储空间内表示定点数无法表示的更大范围的数。
例如，一个指数范围为±4的4位十进制浮点数可以用来表示43210，4.321或0.0004321，但是没有足够的精度来表示432.123和43212.3（必须近似为432.1和43210）。
当然，实际使用的位数通常远大于4。
此外，浮点数表示法通常还包括一些特别的数值：+∞和−∞（正负无穷大）以及NaN（'Not a Number'）。
无穷大用于数太大而无法表示的时候，NaN则指示非法操作或者无法定义的结果。
众所周知，计算机中的所有数据都是以二进制表示的，浮点数也不例外。
然而浮点数的二进制表示法却不像定点数那么简单了。
先澄清一个概念，浮点数并不一定等于小数，定点数也并不一定就是整数。
所谓浮点数就是小数点在逻辑上是不固定的，而定点数只能表示小数点固定的数值，具用浮点数或定点数表示某哪一种数要看用户赋予了这个数的意义是什么。
第3章-2定点数和浮点数PPT课件全文编辑修改
（2）浮点数的规格化
目的：字长固定的情况下提高表示精度的措施： 1 增加尾数位数（但数值范围减小） 2 采用浮点规格化形式
规格化方法：调整阶码使尾数满足下列关系： 尾数为原码表示时，无论正负应满足1/2<|d |<1 即：小数点后的第一位数一定要为1。 正数的尾数应为0.1x….x 负数的尾数应为1.1x….x 尾数用补码表示时，小数最高位应与数符符号位相反。 正数应满足 1/2≦d<1，即 0.1x….x 负数应满足 -1/2 > d≥ -1，即 1.0x….x
注意： 两操作数的绝对值相乘， 符号位单独处理。 寄存器A.B均设置双符号位，第1符号位始终是部分积符号，决定在右移时第1符号位补0 操作步数由乘数的尾数位数决定，用计数器Cd来计数。即作n次累加和移位。 最后是加符号位，根据Sx⊕Sy决定。
例如将十进制数178.125表示成微机中的单精度浮点数
解:178.125=10110010.001B =1.0110010001x27 指数E=7+127=134=10000110B 127是单精度浮点数应加的指数偏移量，其完整的浮点数形式为 ： 0 10000110 011 0010 0010 0000 0000 0000 = 43322000H
3.3.1 定点数一位乘法 1. 定点原码一位乘
规则:在机器中采用A,B,C寄存器来分别存放部分积，被乘数和乘数 （1）在机器内一次加法操作只能求出两数之和，因此每求得一个相加数时，就得与上次部分积相加。 （2）人工计算时，相加数逐次向左偏移一位，由于最后的乘积位数是乘数（或被乘数）的两倍.由于在求本次部分积时，前一次部分积的最低位，不再参与运算，因此可将其右移一位。相加数可直送而不必偏移，于是用N位加法器就可实现两个N位数相乘。 （3）部分积右移时乘数寄存器同时右移一位，这样可以用乘数寄存器的最低位来控制相加数（取被乘数或零），同时乘数寄存器的最高位可接收部分积右移出来的一位，因此，完成乘法运算后，A寄存器中保存乘积的高位部分，乘数寄存器C中保存乘积的低位部分。
定点和浮点数表示
带符号整数:
n+1位
S
|N|≤2n-1
符号位
不带符号整数: n+1
小数点
0≤|N|≤2n+1－1
小数点
(3) 浮点数
浮点数表示法对应于科学(指数)计数法,在计算机中一个浮点数 由两部分构成:阶码和尾数,阶码是指数,尾数是纯小数.
存储格式:
阶符 阶码 数符 尾数
•阶码只能是一个带符号的整数,用来指示尾数中的小数点应当向左 或向右移动的位数,阶码本身的小数点约定在阶码最右面. •尾数表示数值的有效数字,其本身的小数点约定在数符和尾数之间
. •浮点数的正.负是由尾数的数符确定,而阶码的正.负只决定小数点 的位置,即决定浮点数的绝对值大小. •尾数的位数决定数的精度,阶码的位数决定数的范围.
设尾数为4位,阶码为2位,则二进制数N = 101.1(B)的浮点数表示 形式为:
0
11
0 1011ຫໍສະໝຸດ 阶符 阶码 数符 尾数 该数二进制数科学表示法为:N = 0.1011 × 211
四.二进制数在计算机中的表示
1.数的定点和浮点表示
(1)定点小数 指小数点准确固定在数据某一位置上的小数. 一般固定在最高数据位的左边,小数点前边再设一位符号位.
表示方法 N=NsN-1N-2…N-m其中Ns为符号位
S 符号位
小数点
m + 1位 |N|≤1－2-m
(2)定点整数 整数分带符号和不带符号两类,分别表示如下:
第3讲 定点运算及浮点运算
定点数转换为浮点数
x float xq 2Q
浮点数 x=0.5，定标 Q＝15， 则定点数＝0.5*32768=16384
Q表示 Q15
S表示 S0.15
十进制数表示范围 -1≤X≤0.9999695
Q14
. . . . . . Q1 Q0
S1.14
. . . . . . S14.1 S15.0
定点加法
被加数 加数
0 0 X X X X X X X X X X X X X X
0 0 X X X X X X X X X X X X X X
无溢出 被加数 加数
0 1 X X X X X X X X X X X X X X
0 1 X X X X X X X X X X X X X X
有溢出
定点加法
Q表示法16进制数2000H
Q0表示为8192
0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
符 号 位
Q15表示为0.25
小数点的位置
0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
小数点的位置
浮点数与定点数的转换关系
浮点数转换为定点数
xq int x 2Q
提高查表法的精度 扩大自变量范围
混合法
提高查表法的精度
扩大查表法的范围
设：表的范围为0.5 ～ 1 ，X为大于0.5的数 则：X m 2e 式中， 0.5 m 1 ，e为整数 log 2 ( X ) log 2 (m 2e ) log 2 (m ) log 2 (2e ) log 2 (m ) e 例如： log 2 (10000) log 2 (0.61035 214 ) log 2 (0.61035) 14 13.2877
N03-定点除法浮点运算
Xi＝S3AiBi＋S2AiBi
Yi＝Ai＋S0Bi＋S1Bi
Fi＝Xi⊕Yi⊕Cn＋i
Cn＋i＋1＝Yi＋XiCn＋i
设 G＝Y3＋Y2X3＋Y1X2X3＋Y0X1X2X3 进位发生输出 P ＝X 0X 1X 2X 3 进位传送输出 （2.37）
则
Cn＋4＝G＋PCn
G、P，有利于实现多片（组）ALU之间的先行进位 先行进位发生器（CLA）
0.1 1 0 1 商q 0.1 0 1 1 0.1 0 0 1 0 ｘ(r0) 被除数小于除数，商0 －0.0 1 0 1 1 2－1ｙ 除数右移1位,减除数，商1 0.0 0 1 1 1 0 r1 得余数r1 －0.0 0 1 0 1 1 2－2ｙ 除数右移1位,减除数，商1 0.0 0 0 0 1 1 0 r2 得余数r2 －0.0 0 0 1 0 1 1 2－3ｙ 除数右移1位,不减除数，商0 0.0 0 0 0 1 1 0 0 r3 得余数r3 －0.0 0 0 0 1 0 1 1 2－4ｙ 除数右移1位,减除数，商1 0.0 0 0 0 0 0 0 1 r4 得余数r4 得ｘ÷ｙ的商q＝0.1101,余数为r＝0.00000001。
设有n位定点小数(定点整数也同样适用)：
被除数ｘ的原码为 [ｘ]原＝ｘf .ｘn－1„ｘ1ｘ0
除数ｙ的原码为
[ｙ]原＝ｙf .ｙn－1„ｙ1ｙ0
则有商q＝ｘ/ｙ，其原码为
[q]原＝(ｘf⊕ｙf)+
(0.ｘn－1„ｘ1ｘ0/0.ｙn－1„ｙ1ｙ0)
商的符号运算qf＝ｘf⊕ｙf
设被除数ｘ＝0.1001，除数ｙ＝0.1011
2.5.2 多功能算术/逻辑运算单元(ALU)
1. 基本思想
一位全加器(FA)的逻辑表达式为 Fi＝Ai⊕Bi⊕Ci
定点数和浮点数课件
符号位
表示浮点数的正负，0表示正数，1 表示负数。
指数位
表示浮点数的指数部分，即小数点的 位置。
尾数位
表示浮点数的尾数部分，即小数点后 面的数字。
浮点数的范围和精度
范围
浮点数的范围取决于指数位的位 数和尾数位的位数，一般分为单 精度和双精度两种类型，单精度 范围较小，双精度范围较大。
精度
浮点数的精度取决于尾数位的位 数，位数越多，精度越高，能够 表示的数字越精确。
浮点数定义
浮点数是指小数点位置可以浮动的数 值表示方式，通常用于计算机内部运 算，其小数点位置可以根据需要移动。
浮点数的优点
浮点数的缺点
浮点数表示方式相对复杂，计算机内 部计算浮点数需要更多的时间和空间 资源，同时浮点数容易受到计算机内 部精度限制的影响。
浮点数表示方式的范围广泛，可以表 示非常大或非常小的数值，同时浮点 数精度高，能够准确表示小数。
具体实现可能会有所不同。
在定点数运算中，需要注意溢出、 舍入误差等问题。
一般来说，定点数运算的速度比 浮点数运算要快，因此在需要高 精度计算的情况下，定点数是一
种更好的选择。
2023
PART 03
浮点数的表示方法
REPORTING
浮点数的表示格式
IEEE 754标准
浮点数在计算机中采用IEEE 754标准 进行表示，包括符号位、指数位和尾 数位三个部分。
浮点数的运算规则
01
加减运算
浮点数的加减运算与普通加减运算类似，只需要对尾数位进行加减即可，
指数位不变。
02
乘除运算
浮点数的乘除运算需要将尾数位和指数位分开计算，然后组合得到结果。
乘法时尾数位需要左移一位，除法时尾数位需要右移一位。
浮点运算
简介当我们用不同的电脑计算圆周率时，会发现一台电脑的计算较另一台来讲结果更加精确。
或者我们在进行枪战游戏的时候，当一粒子弹击中墙壁时，墙上剥落下一块墙皮，同样的场面在一台电脑上的表现可能会非常的呆板、做作；而在另外一台电脑上就会非常生动形象，甚至与我们在现实中看到的所差无几。
这都是浮点运算能力的差异导致的。
定点与浮点大学计算机基础中已经了解过计算机的实数表示方法可分为两种即定点与浮点1、定点数：定点数指小数点在数中的位置是固定不变的，通常有定点整数和定点小数。
在对小数点位置作出选择之后，运算中的所有数均应统一为定点整数或定点小数，在运算中不再考虑小数问题。
（1）定义：数据中小数点位置固定不变的数（2）种类：定点整数（3）小数点在符号位与有效位之间。
注：定点数受字长的限制，超出范围会有溢出。
2、浮点数：浮点数的表示形式有点像科学计数法（*.*****×10^***），它的表示形式是0.*****×10^***，在计算机中的形式为 .***** e ±***），其中前面的星号代表定点小数，也就是整数部分为0的纯小数，后面的指数部分是定点整数。
利用这样的形式就能表示出任意一个整数和小数，例如1024就能表示成0.1024×10^4，也就是 .1024e+004，3.1415926就能表示成0.31415926×10^1，也就是 .31415926e+001，这就是浮点数。
浮点数进行的运算就是浮点运算。
注：其浮点数的精度由尾数决定，数的表示范围由阶码决定。
浮点数，这个复杂点，有三种格式单精度：_31_30________23_22___________0符号指数有效数双精度：_63_62__________52_51__________________0符号指数有效数扩展精度数：_79_78____________64_63___________________0符号指数有效数3、定点数与浮点数区别定点表示法运算直观，但数的表示范围较小，不同的数运算时要考虑比例因子的选取，以防止溢出。
第3讲 定点运算及浮点运算汇总
结果超过16位的定点加法
例子： 设x＝15000，y＝20000，则浮点运算结果为z
＝x+y＝15000+20000＝35000，显然z>32767; Qx＝1，Qy＝0，Qz＝0，则定点加法为： x＝30000；y＝20000; temp＝20000<<1＝40000; temp＝temp+x＝40000+30000＝70000; z＝70000L>>1＝35000;
除法运算的C语言定点模拟
z = x/y
zq 2Qz=
xq 2Qx yq 2Qy
zq
xq
2(Qz Qx Qy ) yq
float x,y,z; z = x/y;
int x,y,z;
long temp;
temp = (long)x;
z = (temp<<(Qz-Qx+Qy))/y;
定点除法
0010000000000000
小数点的位置
浮点数与定点数的转换关系
浮点数转换为定点数
xq int x 2Q
定点数转换为浮点数
x floatxq 2Q
浮点数 x=0.5，定标 Q＝15， 则定点数＝0.5*32768=16384
Q表示 Q15 Q14
. . . . . .
Q1 Q0
DSP芯片的数以2的补码形式表示 数的定标：“小数点” 的位置 Q表示法和S表示法 对定点数而言，数值范围与精度是一对矛盾，一 个变量要想能够表示比较大的数值范围，必须以 牺牲精度为代价。
Q表示法16进制数2000H
Q0表示为8192
0010000000000000
符
号 位 Q15表示为0.25
定点数与浮点数
定点数与浮点数什么是定点数、浮点数？首先我们要认清一个概念，定点数不一定是整数，浮点数不一定是小数。
如其名，浮点数和定点数的区别就在于浮点和定点上，点就是指小数点。
浮点数就是小数点是浮动的，定点数就是小数点是固定不动的。
具体，什么是浮点数？浮点数是在计算机中用以近似表示任意某个实数。
具体的说，这个实数由一个整数或定点数（即尾数）乘以某个基数（计算机中通常是2）的整数次幂得到，这种表示方法类似于基数为10的科学记数法。
一个浮点数a由两个数m和e来表示：a = m × b^e。
在任意一个这样的系统中，我们选择一个基数b（记数系统的基）和精度p（即使用多少位来存储）。
m（即尾数）是形如±d.ddd...ddd的p 位数（每一位是一个介于0到b-1之间的整数，包括0和b-1）。
如果m 的第一位是非0整数，m称作规格化的。
有一些描述使用一个单独的符号位（s 代表+或者-）来表示正负，这样m必须是正的。
e是指数。
对于一些外文资料中，指数即：exponent，尾数即：mantissa。
在IEEE 754中，定义了两种浮点数，即我们熟悉的float和double型。
如图所示。
对于float型的浮点数来说，最高一位是符号位，不用说了，1为负号，0为正。
紧跟着指数位是8位，尾数是23位。
由于尾数是规格化的，最高一位肯定非零，并且最高一位隐藏。
所以对于尾数来说，实际上可以有 23+1=24位。
比如说，如果mantissa为010，exponent为3，s为0，则尾数实际上是1.010，因此这个数是+1.010*2^3=1010b,即为十进制10.0。
Double的位数说明类似于float。
什么是定点数？我们在上述的浮点数中可以看到，浮点的小数位是可变的（随exponent变化），因此浮点数可表达的小数范围非常广。
但浮点数运算量非常大（从它的定义上就知道了）。
并且在目前市场占有量最大的定点DSP并不支持浮点运算。
定点与浮点数
《例二》：x1＝0.5，x2＝3.1，求y＝x1＋x2之數值。 同樣的例子，但是把x1、x2 乘以2倍，則變成下面 的算式。 y2＝（x1 × 2）＋（x2 × 2）＝1＋6.2＝7.2， 取整數為7＝0111b。 ∴y＝y2 >> 1＝3。 >> ,右移,除2
定點數字表示法 (Conti.)
定點運算的小數點位置完全設計者的心 中，位置取決於乘上的整數值，至於要 選擇多大的整數乘上浮點數呢？ 如果乘上2n的倍數，相當於將浮點數往 左位移n個位元，通常一個數字向左或向 右移動幾個位元，在運算上最為快速。 表示法
表示法所能涵蓋的範圍 -32768 ≦ x ≦ 32767 -16384 ≦ x ≦ 16383.5 -8192 ≦ x ≦ 8191.75 -4096 ≦ x ≦ 4095.875 -2048 ≦ x ≦ 2047.9375 -1024 ≦ x ≦ 1023.96875 -512 ≦ x ≦ 511.984375 -256 ≦ x ≦ 255.9921875 -128 ≦ x ≦ 127.99609375 -64 ≦ x ≦ 63.998046875 -32 ≦ x ≦ 31.9990234375 -16 ≦ x ≦ 15.99951171875 -8 ≦ x ≦ 7.999755859375 -4 ≦ x ≦ 3.9998779296875 -2 ≦ x ≦ 1.99993896484375 -1 ≦ x ≦ 0.999969482421875
減法運算
《範例》：兩個運算元都是以Q13為定點數字的表示法， x1＝3.5，x2＝3.1，求y＝x1﹣x2之定點數值。 x1＝3.5 × 8192＝28672（Q13） x2＝3.1 × 8192＝25395（Q13） 因為兩個運算元都為相同的定點表示法，直接作減法運算。 y＝x1 ﹣ x2＝3277（Q13）≒0.40算元為相同的定點表示法， x1＝0.5（Q15），x2＝0.25（Q15），求y＝x1 × x2之定點數 值，x1、x2都宣告為有號數的short。 x1＝0.5 × 32768＝16384（Q15） x2＝0.25 × 32768＝8192（Q15） y＝x1 × x2＝134217728（Q30）， 兩個有號數的short整數相乘， 結果變成一個定點為Q30 有號數int。
定点数与浮点数
定点数与浮点数计算机处理的数值数据多数带有小数，小数点在计算机中通常有两种表示方法，一种是约定所有数值数据的小数点隐含在某一个固定位置上，称为定点表示法，简称定点数；另一种是小数点位置可以浮动，称为浮点表示法，简称浮点数。
1. 定点数表示法(fixed-point)所谓定点格式，即约定机器中所有数据的小数点位置是固定不变的。
在计算机中通常采用两种简单的约定：将小数点的位置固定在数据的最高位之前，或者是固定在最低位之后。
一般常称前者为定点小数，后者为定点整数。
定点小数是纯小数，约定的小数点位置在符号位之后、有效数值部分最高位之前。
若数据x 的形式为x = x0.x1x2…x n( 其中x0为符号位，x1～x n是数值的有效部分，也称为尾数，x1为最高有效位)，则在计算机中的表示形式为：一般说来，如果最末位x n = 1，前面各位都为0 ，则数的绝对值最小，即|x|mi n = 2-n。
如果各位均为1，则数的绝对值最大，即|x|ma x =1-2-n 。
所以定点小数的表示范围是：2- n ≤ | x| ≤ 1 - 2- n定点整数是纯整数，约定的小数点位置在有效数值部分最低位之后。
若数据x 的形式为x = x0x1x2…x n ( 其中x0为符号位，x1～x n是尾数，x n为最低有效位)，则在计算机中的表示形式为：定点整数的表示范围是：1≤ | x| ≤ 2n - 1当数据小于定点数能表示的最小值时，计算机将它们作0处理，称为下溢；大于定点数能表示的最大值时，计算机将无法表示，称为上溢，上溢和下溢统称为溢出。
计算机采用定点数表示时，对于既有整数又有小数的原始数据，需要设定一个比例因子，数据按其缩小成定点小数或扩大成定点整数再参加运算，运算结果，根据比例因子，还原成实际数值。
若比例因子选择不当，往往会使运算结果产生溢出或降低数据的有效精度。
用定点数进行运算处理的计算机被称为定点机。
2. 浮点数表示法(floating-point number)与科学计数法相似，任意一个J进制数N，总可以写成N = J E × M式中M称为数N 的尾数(mantissa)，是一个纯小数；E 为数N 的阶码(e x ponent)，是一个整数，J称为比例因子J E 的底数。
浮点数计算方法ppt
2n＞ｘ≥0 0≥ｘ＞－2n
对于0，原码机器中往往有“+0”、“-0” 之分，故有两种形式：
[+0]原 = 0.000...0 [ -0]原 = 1.000...0
采用原码表示法简单易懂，但它的最大 缺点是加法运算复杂。这是因为，当两数相 加时，如果是同号则数值相加；如果是异号， 则要进行减法。而在进行减法时还要比较绝 对值的大小，然后大数减去小数，最后还要 给结果选择符号。为了解决这些矛盾，人们 找到了补码表示法。
2. 补码表示法
我们先以钟表对时为例说明补码的概念。
假设现在的标准时间为4点正； 而有一只表已
经7点了，为了校准时间，可以采用两种方法：
一是将时针退 7-4=3 格；一是将时针向前拨12-
3=9格。这两种方法都能对准到4点，由此可以
看出，减3和加9是等价的，就是说9是(-3)对12
的补码，可以用数学公式表示:
浮点数所表示的范围远比定点数大。一台 计算机中究竟采用定点表示还是浮点表示,要根 据计算机的使用条件来确定。一般在高档微机 以上的计算机中同时采用定点、浮点表示,由使 用者进行选择,而单片机中多采用定点表示。
[例1] 若浮点数ｘ的754标准存储格式为
(41360000)16，求其浮点数的十进制数值。
4. 移码表示法
移码通常用于表示浮点数的阶码。由于
阶码是个n位的整数，假定定点整数移码形式
为 ｘ0ｘ1ｘ2…ｘn时，对定点整数移码的传
统定义是：
[ｘ]移＝2n＋ｘ
2n＞ｘ≥－2n
若阶码数值部分为5位，以ｘ表示真值，
则： [ｘ]移＝25＋ｘ
25＞ｘ≥－ 25
小结：上面的数据四种机器表示法中，移码 表示法主要用于表示浮点数的阶码。由于补 码表示对加减法运算十分方便，因此目前机 器中广泛采用补码表示法。在这类机器中， 数用补码表示，补码存储，补码运算。也有 些机器，数用原码进行存储和传送，运算时 改用补码。还有些机器在做加减法时用补码 运算，在做乘除法时用原码运算。
计算机组成原理第3章
补码加、减运算举例
【例】已知x =－0.10111，y=－0.10001，求 1/2（x＋y） 。 解： ∵[x]变补=11.01001，[y]变补=11.01111， ∴[ 1/2x]变补=11.10101，[ 1/2y]变补=11.10111；[ 1/2x] 变补是对[x]变补右移一位得到的，由于移位时丢掉了最低位1， 所以对[x]变补右移一位得到的结果（11.10100）进行修正， 即在最低位加1，便得到[ 1/2x]变补。 [ 1/2(x＋y)]变补= [ 1/2x]变补＋[ 1/2y]变补=11.10101＋ 11.10111=11.01100 溢出判断：由于结果的双符号位相同，未产生溢出，运算结果正 确
2、补码加、减运算具体实现
补码表示的数的加减运算可以采用同一个电路实现。其核 心部分是全加器（运算电路的延迟时间
则全加器的Si的时间延迟为6T(每级异或门的延迟为3T)，Ci+1的 时间延迟为5T。 则：一个n位的行波进位加法器的时间延迟ta为： ta=n×2T+9T
原码一位乘法举例
举例：假定 X=0.1101 Y=0.1011
原码一位乘法实现电路
实现原理框图：
Cj A Af CR 加法器 =1 Cn C Cn 移 位 脉 冲
&
& Bf C f Cn CT Q
启动
时钟脉冲
B
结束
2.2 2、原码两位乘法原理
两位乘数的取值可以有四种可能组合,每种组合对应于以下操作: 00 相当于0×X，部分积Pi右移2位,不进行其它运算; 01 相当于1×X，部分积Pi+ X后右称2位; 10 相当于2×X，部分积 Pi+ 2X后右移2位; 11 相当于3×X，部分积 Pi + 3X后右移2位。 上面出现了 + 1X, + 2X, + 3X 三种情况,+X 容易实现，+2X可把X左移1 位得2X,在机器内通常采用向左斜1位传送来实现。可是+3X一般不能一次完成, 如分成两次进行,又降低了计算速度。解决问题的办法是备: 以 +(4X-X) 来 代替 +3X运算,在本次运算中只执行 -X, 而 +4X 则归并到下一步执行,因为 下一步运算时，前一次的部分积已右移了两位,上一步欠下的 +4X 在本步已 变成 +X。实际线路中要用一个触发器C来记录是否欠下+4X的操作尚未执行， 若是,则1→C。因此实际操作要用Yi-1 Yi C三位的组合值来控制乘法运算操 作,运算规则如表2.12所示。
浮点运算和定点运算
浮点运算和定点运算
浮点运算和定点运算是计算机中常见的两种数值运算方式。
浮点运算是指在计算机中使用浮点数进行的数值运算，浮点数由尾数和指数两部分组成，用于表示实数。
其特点是可表示很大或很小的数字，而且精度可以控制，在科学计算、数字信号处理等领域有广泛应用。
但是其缺点是计算速度相对较慢，而且会因为舍入误差而产生精度误差。
而定点运算是指在计算机中使用定点数进行的数值运算，定点数通常是整数，其小数点位置是固定的。
它的特点是计算速度快，不会产生舍入误差，但是其精度不如浮点运算，只能用于一些对精度要求不高、要求计算速度快的应用场合，比如图像、视频等。
在实际应用中，通常会根据具体需求选择浮点运算或定点运算。
对于需要高精度计算的应用，如科学计算，一般采用浮点运算；而对于要求计算速度和实时性比较高的应用，如多媒体处理，通常采用定点运算。
同时，现代计算机中的CPU、GPU等处理器都具有硬件支持浮点运算和定点运算，可以根据应用场景智能地选择合适的数值运算方式，提高计算效率和精度。
定点数与浮点数
小数点的表示为了节省内存，计算机中数值型数据的小数点的位置是隐含的，且小数点的位置既可以是固定的，也可以是变化的。
定点数与浮点数如果小数点的位置事先已有约定，不再改变，此类数称为“定点数”。
相比之下，如果小数点的位置可变，则称为“浮点数”。
⑴定点数。
常用的定点数有两种表示形式：如果小数点位置约定在最低数值位的后面，则该数只能是定点整数；如果小数点位置约定在最高数值位的前面，则该数只能是定点小数。
例如，假定用两个字节存放一个定点数，则以定点方式表示的十进制整数195为：这里，(-0.6876)10=(-0.10110000000001101…)2，转换为无限循环小数，存储时多余的位被截断。
如果知道一个定点数的小数点位置约定和占用存储空间大小，那么很容易确定其表示数的范围。
⑵浮点数。
浮点数表示法来源于数学中的指数表示形式，如193可以表示为0.193x103或1.93x102等。
一般地，数的指数形式可记作：N=M x RC其中，M称为“尾数”，C称为“阶码”。
在存储时，一个浮点数所占用的存储空间被划分为两部分，分别存放尾数和阶码。
尾数部分通常使用定点小数方式，阶码则采用定点整数方式。
尾数的长度影响该数的精度，而阶码则决定该数的表示范围。
同样大小的空间中，可以存放远比定点数取值范围大得多的浮点数，但浮点数的运算规则比定点数更复杂。
1. 什么是浮点数在计算机系统的发展过程中，曾经提出过多种方法表达实数。
典型的比如相对于浮点数的定点数（Fixed Point Number）。
在这种表达方式中，小数点固定的位于实数所有数字中间的某个位置。
货币的表达就可以使用这种方式，比如99.00 或者00.99 可以用于表达具有四位精度（Precision），小数点后有两位的货币值。
由于小数点位置固定，所以可以直接用四位数值来表达相应的数值。
SQL 中的NUMBER 数据类型就是利用定点数来定义的。
还有一种提议的表达方式为有理数表达方式，即用两个整数的比值来表达实数。
DSP中浮点转定点运算--浮点与定点概述
DSP中浮点转定点运算--浮点与定点概述⼀：浮点与定点概述1.1相关定义说明 定点数：通俗的说，⼩数点固定的数。
以⼈民币为例，我们⽇常经常说到的如123.45￥，789.34￥等等，默认的情况下，⼩数点后⾯有两位⼩数，即⾓，分。
如果⼩数点在最⾼有效位的前⾯，则这样的数称为纯⼩数的定点数，如0.12345，0.78934等。
如果⼩数点在最低有效位的后⾯，则这样的数称为纯整数的定点数，如12345，78934等。
浮点数：⼀般说来，⼩数点不固定的数。
⽐较容易的理解⽅式是，考虑以下我们⽇常见到的科学记数法，拿我们上⾯的数字举例，如123.45，可以写成以下⼏种形式：12.345x1011.2345 x1020.12345 x103……为了表⽰⼀个数，⼩数点的位置可以变化，即⼩数点不固定。
1.2定点数与浮点数的对⽐为了简单的把问题描述清楚，这⾥都是⼗进制数字举例，详细的分析，⼤家可以在后⾯的⽂章中看到。
(1)表⽰的精度与范围不同例如，我们⽤4个⼗进制数来表达⼀个数字。
对于定点数（这⾥以定点整数为例），我们表⽰区间[0000，9999]中的任何⼀个数字，但是如果我们要想表⽰类似1234.3的数值就⽆能为⼒了，因为此时的表⽰精度为1/100=1；如果采⽤浮点数来表⽰（以归整的科学记数法，即⼩数点前有⼀位有效位，为例），则可以表⽰[0.000，9.999]之间的任何⼀个数字，表⽰的精度为1/103=0.001，精度⽐上⼀种⽅式提⾼了很多，但是表⽰的范围却⼩了很多。
也就是说，⼀般的，定点数表⽰的精度较低，但表⽰的数值范围较⼤；⽽浮点数恰恰相反。
(2)计算机中运算的效率不同⼀般说来，定点数的运算在计算机中实现起来⽐较简单，效率较⾼；⽽浮点数的运算在计算机中实现起来⽐较复杂，效率相对较低。
(3)硬件依赖性⼀般说来，只要有硬件提供运算部件，就会提供定点数运算的⽀持（不知道说的确切否，没有听说过不⽀持定点数运算的硬件），但不⼀定⽀持浮点数运算，如有的很多嵌⼊式开发板就不提供浮点运算的⽀持。
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z＝x+y
zq 2
Qz
xq 2
＝ xq 2
Qx
yq 2
yq 2
(Qx Q y )
Qy
Q x
(Qx Q y )
2 Q x
＝ [ xq y q 2
] 2 Qx
z q [ xq y q 2
(Qx Q y )
] 2(Qz Qx )
验算：由于z的Q值为15，所以定点值z＝-3276即
结果超过16位表示范围
设x的Q值为Qx，y的Q值为Qy，且Qx>Qy，加 法结果z的定标值为Qz,则定点加法为： int x，y； long temp，z； temp＝y<<(Qx-Qy)； temp＝x＋temp; z＝temp>>(Qx-Qz)，若Qx≥Qz z＝temp<<(Qz-Qx)，若Qx≤Qz
结果超过16位的定点加法
例子： 设x＝15000，y＝20000，则浮点运算结果为z ＝x+y＝15000+20000＝35000，显然z>32767; Qx＝1，Qy＝0，Qz＝0，则定点加法为： x＝30000；y＝20000; temp＝20000<<1＝40000; temp＝temp+x＝40000+30000＝70000; z＝70000L>>1＝35000;
程序变量的Q值确定
确定变量的Q值实际上就是确定变量的动态范围。 设变量的绝对值的最大值为| max |，取整数n， 使其满足
2
n1
max 2
n
如果某变量的值在-1至＋1之间，即<1，因此n = 0，Q＝15-n = 15 确定变量的绝对值的最大值 理论分析法 （三角函数、汉明窗、FIR卷积、 自相关线性预测编码等） 统计分析法 （依据足够多的采样值）
2、运算方法
通常的是全部以Q15格式表示的小数
或以Q0格式表示的整数来工作
定点乘法 定点加法 定点除法
定点乘法
• 小数乘小数 • Q15×Q15＝Q30 0.5*0.5 = 0.25 0.100000000000000 ；Q15 ×0.100000000000000 ；Q15 00.010000000000000000000000000000=0.25 ；Q30 • LT OP1 ；OP1=4000H(0.5/Q15) MPY OP2 ；OP2=4000H(0.5/Q15) PAC
定点减法
设x＝3.0，y＝3.1，则浮点运算结果为z＝x-y＝ 3.0-3.1＝-0.1; Qx＝13，Qy＝13，Qz＝15，则定点减法为： x＝24576；y＝25395； temp＝25395; temp＝x-temp＝24576-25395＝-819;
因为Qx<Qz，故 z＝(int)(-819<<2)＝3276。 为浮点值z＝-3276/32768-0.1
-2≤X≤1.9999390
. . . . . . -16384≤X≤16383.5 -32768≤X≤32767
加法/减法运算的C语言定点模拟
float x,y,z; z=x+y; 两个操作数的定标值一样 如果加法/减法的结果超出16位的表示范围， 则必须保留32位结果，以保证运算的精度
在通用DSP芯片中，一般不提供单周期的除法 指令，为此必须采用除法子程序来实现 二进制除法是乘法的逆运算。乘法包括一系 列的移位和加法，而除法可分解为一系列的 减法和移位。
定点除法
第一次运算 例如：10÷3＝3余1
00001010 00001010 － 00011000 11110010 除数的最低有效位 对齐被除数的最高 有效位
定点数转换为浮点数
x float xq 2Q
浮点数 x=0.5，定标 Q＝15， 则定点数＝0.5*32768=16384
Q表示 Q15
S表示 S0.15
十进制数表示范围 -1≤X≤0.9999695
Q14
. . . . . . Q1 Q0
S1.14
. . . . . . S14.1 S15.0
• 混合表示法 • 1.5×0.75 = 1.125 01.10000000000000 = 1.5 ；Q14 ×00.11000000000000 = 0.75 ；Q14 0001.0010000000000000000000000000 = 1.125;Q28
定点加法
保留32位结果——双字 调整小数点保留16位结果 加法运算必须用相同的Q点表示 通过移位操作 解决溢出问题 溢出检测 溢出保护 完全避免
乘法运算的C语言定点模拟
z = xy z q 2
Qz
= xq y q 2
(Qx Q y )
Qz (Qx Q y ) z q = ( x q y q )2
float x,y,z; z = xy; int x,y,z; long temp; temp = (long)x; z = (temp×y) >> (Qx+Qy-Qz);
00100001
＋
得数为正，左移加一
定点除法
第四次运算
00100001 － 00011000 00001001 00100001 ＋ 11101000 00001001 00010011
得数为正 左移加一 余数
商
定点除法
00001010 － 00011000 11110010舍去 00101000 － 00011000 00010000
00000011
00负，舍去
定点除法
第二次运算
被除数左移一次
00010100 － 00011000 11111100 00010100 ＋ 11101000 11111100
得数为负，舍去
定点除法
第三次运算 被除数左移一次
00101000 － 00011000 00010000 00101000 11101000 00010000
除法运算的C语言定点模拟
z = x/y zq 2Qz= xq 2 Q yq 2 zq
xq 2
( Qz Qx Q y )
Qx
y
yq
float x,y,z; z = x/y; int x,y,z; long temp; temp = (long)x; z = (temp<<(Qz-Qx+Qy))/y;
定点DSP芯片
TMS320C62x
TI公司1997年开发的新型定点DSP芯片，用于无线基站， 无线PDA，Modem, GPS等。 速度快，指令周期为3.3ns，运算能力为2400MIPS 内部结构不同，同时集成有2个16bit乘法器和6个算术 运算单元，一个周期内可执行8条32bit指令 使用超长指令集，在一个周期内可并行执行几个指令 大容量片内存储器（片内有96K程序和512K数据存储器） 和52MB寻址空间
左移加一
00010100 － 00011000 11111100舍去
00100001 － 00011000 00001001 左移加一 00010011
余数 商
非线性运算的定点快速实现
调用DSP编译系统的库函数 查表法
在实时DSP应用中实现非线性运算，一般都采取 适当降低运算精度来提高程序的运算速度。查 表法是快速实现非线性运算最常用的方法。
定点乘法
设x = 18.4，y = 36.8，则浮点运算值为z =18.4×36.8 = 677.12; Qx = 10，Qy = 9，Qz = 5，所以 x = 18841；y = 18841； temp = 18841L; z = (18841L*18841)>>(10+9-5) = 354983281L >>14 = 21666; 因为z的定标值为5，故定点 z = 21666即为 浮点的 z = 21666/32 = 677.08
三、DSP定点运算与浮点运算
数的定标 DSP程序的定点模拟 DSP芯片的定点运算 定点实现非线性函数的快速实现方法 浮点芯片中的数值表示格式 DSP浮点数的基本运算方法
一、定点运算及定点DSP
1、数据格式
2、运算方法
3、定点DSP芯片
1、数据格式
在定点DSP芯片中，采用定点数进行数值运算， 其操作数一般采用整型数来表示 DSP芯片的数以2的补码形式表示 数的定标：“小数点” 的位置 Q表示法和S表示法 对定点数而言，数值范围与精度是一对矛盾， 一个变量要想能够表示比较大的数值范围，必须 以牺牲精度为代价。
定点除法
设x = 18.4，y = 36.8，浮点运算值为z = x/y = 18.4/36.8 = 0.5;
Qx = 10，Qy = 9，Qz = 15；所以有
x = 18841, y = 18841;
temp = (long)18841; z = (18841L<<(15-10+9))/18841 = 308690944L/18841 = 16384; 因为商z的定标值为15，所以定点z = 16384即为浮 点 z = 16384/32768= 0.5
Q表示法16进制数2000H
Q0表示为8192
0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
符 号 位
Q15表示为0.25
小数点的位置
0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
小数点的位置
浮点数与定点数的转换关系
浮点数转换为定点数