倍长中线+截长补短

倍长中线巧解题
中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线•所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法・丁面举例说明.
一、证明线段不等
例1如图1,在△/!腮中，力〃为腮边上的中线.求证：AB^AO2AD
变式1：如图，点D、E三等分AABC的BC边，求证：AB^AOAD-AE
二、证明线段相等
例2如图2,在中，AH>AC9 E为必边的中点，•仏为ABAC的平分线，过E作月〃的平行线，交AB于F、交以的延长线于G.求证：BWCG.
图2
变式2：如图，D为线段AB的中点，在AB上取异于D的点C,分别以AC、BC为斜边在AB同侧作等腰直角三角形ACE与BCF,连结DE. DF、EF,求证：ADEF为等腫直角三角形
三、求线段的长
例3如图3, △/应中，ZJ=90° , 〃为斜边必的中点，E、F分别为化上的点，且DE1DF,若BES CF4,试求胪的长.（超前班选作）
四、证明线段倍分
例4 如图4, CB、C9分别是钝角△胚C和锐角的中线，且AOAB.求证：CB2CD.
图4
五、证明两直线垂直
例5：如图，ZXABC 中，D 为BC 中点，AB二5, AD二6, AC二13。

求证：AB丄AD。

变式：如图5,分别以的边初，胚为一边在三角形外作正方形丽胪和ACGH, H为刖的中点.求证:MA丄BC.
“截长补短法”在几何证明问题中的运用
例1・已知，如图1T,在四边形/仿09中，BQAB、AD-DC.劭平分ZABC.
求证：Z创仍Z〃O180°・
例2・如图2-1, AD//BC.点£在线段/矽上，ZADE二乙CDE、乙DC氐乙ECB.
求证：CD-AD^BC.
例3. 已知，如图3-1, Z1 = Z2, P为鈕'上一点，且PDLBC于点2检BO2BD. 求证：ZBA丹ZBCPX80。

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例4. 已知：如图4-1,在△川％中，乙C=2乙B、Z1 = Z2.
求证：AB-A&CD.
练习：
1、已知，如右图：RtAABC 中，ZC=90° , AC=BC,
AD 平分ZBAC.求证:AC+ CD =AB 图1」
图2
2、已知：如右图，AC II BD,
EA、EB分别平分ZCAB和
ZDBA, CD 过E 点，求证：AB二AC+BD.
3•已知：如下左图，D是EF的中点.BE二CF.求证：AABC是等腰三角形。

4•已知:如下中图,AD 平分ZBAC.AB±BD t ZBAC=2ZC,求证:AC=2AB
ZBED =ZCAD,D 是BC 的中点■求证:BE=AC
B
D C
5.已知：如下右图,。