数学对口单招高考试卷及答案

江苏省20XX 年普通高校对口单招文化统考数学试卷一、单项选择题。

（本大题共12小题，每小题4分，共48分，每小题列出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1.设集合{|03,},M x x x N =≤<∈则M 的真子集个数为 （ ） A.3B.6C.7D.82.448log 3log 12log 4-+等于 （ ）A.13-B.1C.12D.53-3.已知向量(1,1),(1,2),a x b =+=-若0a b >，则x 的取值范围为 （ ） A.(,)-∞+∞ B.(,2)(2,)-∞-+∞ C.（-3，1）D.(,3)(1,)-∞-+∞4.设函数(),(0,)y f x x =∈+∞，则它的图象与直线x=a 的交点个数为（ ） A.0B.1C.0或1D.25.已知5343sin ,(,),cos ,(,2),13252ππααπββπ=-∈=∈则αβ+是（ ） A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角6.一工厂生产某种产品240件，它们来自甲、乙、丙三条生产线。

为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样，已知从甲、乙、丙三条生产线抽取的个体数组成一个等差数列，则乙生产线生产的产品件数为 （ ）A.40B.80C.120D.1607.已知过点A （1，a ），和B （2，4）的直线与直线x-y+1=0垂直，则a 的值为（ ）A.15B.13C.3D.5 8.对于直线m 和平面α、β，其中m 在α内，“//αβ”是“//m β”的（ ） A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9.若椭圆2221(1)x y a a+=>的离心率2e =，则该椭圆的方程为（ ）A.2221x y +=B.2221x y +=C.2212x y += D.2214x y += 10.设f （x ）是定义在(,)-∞+∞内的奇函数，且是减函数。

若0a b +>，则（ ） A.()()f a f b > B.()()f a f b < C.()()0f a f b +> D.()()0f a f b +<11.若圆心在y 轴上，半径为C 位于x 轴上方，且与直线0x y -=相切，则圆C 的方程为（ ）A.22(4)8x y ++=B.22(4)8x y +-=C.22(2)8x y ++=D.22(2)8x y +-=12.若直线x+y=1通过点(cos ,sin )M a b αα，则必有 （ ） A.221a b +≥ B.221a b +≤ C.22111a b +≥ D.22111a b +≤二、填空题。

（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 13.cos120tan 225︒+︒=.14.已知i 为虚数单位，若复数2()(1)a i a i ++是实数，则实数a=。

15.已知函数sin()(0,0)y A wx A w ϕ=+>>图象的一个最高点为（1，3），其相邻的一个最低点为（5，-3），则w=。

16.若曲线log a y x =与直线1(0ax ay a +=>且1)a ≠只有一个交点，则a 的取值范围是。

17.已知双曲线221169x y -=上一点M 到右焦点F 1的距离为6，N 为MF 1的中点，O 为坐标原点，则ON=。

18.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c 。

已知他投篮一次得分的数学期望为2，则ab 的最大值为。

三、解答题。

（本大题共7小题，共78分）19.（6分）求函数y =20.（10分）设a 、b 、c 分别是ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对的边，S 是ABC ∆的面积，已知4,5,a b S ===（1）求角C ； （2）求c 边的长度21.（10分）已知数列{a n }是公比为q （q>0）的等比数列，其中41a =，且233,,2a a a -成等差数列。

（1）求数列{a n }的通项公式；（2）记数列{a n }的前n 项和为n S .求证：16()n S n N +<∈.22.（10分）已知二次函数2()f x ax bx c =++的图象经过坐标原点，满足(1)(1)f x f x +=-，且方程f （x ）=x 有两个相等的实根。

（1）求该二次函数的解析式；（2）求上述二次函数在区间[-1，2]上的最大值和最小值。

23.（14分）某车间甲组有10名工人，其中4名女工，乙组有5名工人，其中3名女工。

现从甲组中抽取2名工人，乙组中抽取1名工人进行技术考核。

（1）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工的概率；（2）记ξ表示抽取的3名工人中男工的人数，求ξ的概率分布及数学期望。

24.（14分）如图，已知在四棱锥E-ABCD中，侧面EAB⊥底面ABCD，且EA=EB=AB=a，底面ABCD为正方形。

（1）求证：;⊥BC AE（2）求直线EC与底面ABCD所成角的大小（用反三角函数表示）；（3）求点D到平面ACE的距离。

25.（14分）已知抛物线C ：24(0)y px p =>的焦点在直线l ：20x my p --=上。

（1）求抛物线C 的方程；（2）设直线l 与抛物线C 相交于点A 和B.求m 的取值范围，使得在抛物线C 上存在点M ，满足.MA MB ⊥江苏省20XX 年普通高校对口单招文化统考数学试卷答案及评分参考一、单项选择题。

（本大题共12小题，每小题4分，共48分）二、填空题。

（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 13.12 14.-1 15.4π16.(1,)+∞ 17.7 18.16三、解答题。

（本大题共7小题，共78分） 19.解：由题意得：22820,xx+-≥………………………………………………………………………2分22322,x x +≤2230,x x +-≤……………………………………………………………………2分 31,x -≤≤所以函数的定义域为[-3，1].…………………………………………………2分 20.解：（1）由题意得：1sin ,2S ab C =145sin 2C ⨯⨯=所以sin C =，…………………………………………3分 60C ∠=︒或120︒.………………………………………………………………3分 （2）当60C ∠=︒时，2222cos c a b ab C =+-=1162524521,2+-⨯⨯⨯=c =……………………………………………………2分当120C ∠=︒时，2222cos c a b ab C =+-=11625245()61,2+-⨯⨯⨯-=c =……………………………………………………2分21.解（1）由题意得：32322,a a a =+- 2112,a q a q -=-①又3411,a a q ==②①÷②可得：2210,q q +-=……………………………………………………2分 所以12q =或q=-1（舍去）.……………………………………………………2分 因为3411a a q ==所以18a =，从而1412.n n n a a q --==…………………………………………………………2分（2）1(1)116(1()),12n n n a q S q -==--…………………………………………2分 所以116(1())16.2n n S =-<……………………………………………………2分22.解：（1）由题意得：C=0，………………………………………………………………………………1分1,2ba-=…………………………………………………………………………2分 2(1)0ax b x +-=有相等实根，所以2(1)0b ∆=-=，………………………………………………………………1分从而11,,2b a ==-所以21().2f x x x =-+……………………………………………………………1分（2）因为22111()(1),222f x x x x =-+=--+……………………………………1分所以f （x ）在区间[-1，2]上的最大值为1(1)2f =，最小值为3(1)2f -=-.……………………………………………………………………………………4分23.解（1）记从甲组抽取的工人中恰有1名女工的概率为P 1，由题意得：114612108.15C C P C ==……………………………………………………………………4分（2）设i A ={从甲组抽取i 名男工人}，i =0，1，2，B={从乙组抽取1名男工人}，ξ可取0，1，2，3，12340211056(0)()75C C P P A B C C ξ====1010(1)()()()P P A B A B P A B P A B ξ===+111216434221211051052875C C C C C C C C C =+=2121(2)()()()P P A B A B P A B P A B ξ===+211116364221211051053175C C C C C C C C C =+=216222110510(3)()75C C P P A B C C ξ====………………………………………………6分所以，ξ的概率分布列为………………………………………2分838()155E ξ⨯==…………………………………………………………………2分24.（1）证明：在四棱锥E —ABCD 中，因为底面ABCD ⊥侧面EAB ，又因为底面ABCD 为正方形，所以BC ⊥AB ，从而BC ⊥平面EAB ， 又AE ⊂平面EAB ，所以BC ⊥AE.………………………………………………………4分 （2）解：取AB 的中点F ，连接EF ，CF ，因为EA=AB=BE=a ，所以∆ABE为正三角形，故2EF a =，所以EF ⊥AB ，又因为侧面EAB ⊥底面ABCD ， 所以EF ⊥底面ABCD ，因此，∠ECF 就是直线EC 与底面ABCD 所成的角.…………………………2分 由（1）可知∆EBC 是Rt ∆，在Rt ∆EBC 中， ∠CBE=90°，BC=a ，BE=a，从而EC =，在Rt ∆EFC中，sin EF ECF EC ∠===，所以arcsin4ECF ∠=，即直线EC 与底面ABCD所成角的大小为arcsin4.…………………………3分（3）设点D 到平面ACE 的距离为h ，在ACE ∆中，AC EC ==，AE a =，227.4AEC S a a ∆==……………………………………………1分因为D ACE E ADCV V --=，所以2217113,343227a h a a h a ==所以，故点D 到平面ACE 的距离为7a.…………………………………………4分25.（1）由题意知抛物线C 的焦点（p ，0）在直线l 上，所以20p p -=得1p =， 因此，抛物线C 的方程为24y x =.……………………………………………4分（2）由（1）知2:10,:4l x my C y x --==. 设1122(,),(,),A x y B x y 则由2104x my y x --=⎧⎨=⎩ 消去x ，得2440y my --= ①根据韦达定理得12124,4y y m y y +==- ②从而2121242,1x x m x x +=+= ③……………………………………………………2分再设抛物线C 上的点M 2(,)4y y ，则221122(,),(,)44y y MA x y y MB x y y =--=--，由MA ⊥MB 知0MA MB =，即221212()()()()044y y x x y y y y --+--=………………………2分 从而得242121212121()()0164y y x x x x y y y y y y -+++-++=，将②，③两式代入上式，并整理得2221(4)(2)16y my +=+，…………………………………………………………1分 所以244(2)y my +=±+.…………………………………………………………1分 当244(2)y my +=+时，可得2440y my --=，它与方程①相同，表明M 点为A 或B 点，不合题意，舍去.………………………………………1分当244(2)y my +=-+时，可得24120y my ++=，由判别式216480m ∆=-≥，得23m ≥，即m m ≥≤所以(,[3,)m ∈-∞+∞.……………………………………………3分。