中考数学知识点专题分类复习：第20讲矩形

中考数学知识点专题分类复习：第20讲矩形

【知识巩固】

1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形

2.性质：

边矩形的对边平行且相等

角矩形的四个角都是直角

对角线矩形的对角线互相平分且相等

3.判定：

角有一个角是直角的平行四边形是矩形

有三个角是直角的四边形是矩形

对角线对角线相等是平行四边形是矩形

矩形是轴对称图形，有两条对称轴。

4.相关性质

平行线段：两条平行线之间的任何两条平行线段都相等

两条平行线之间的距离相等

连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线

三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

【典例解析】

典例一、矩形定义

一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为（﹣1，﹣1），（﹣1，2），（3，﹣1），则第四个顶点的坐标为（）

A.（2，2）

B.（3，2）

C.（3，3）

D.（2，3）

答案：B

知识点：坐标与图形性质；矩形的性质

解析：

解答：解：如图可知第四个顶点为：

即：（3，2）．

故选B．

分析：本题可在画出图后，根据矩形的性质，得知第四个顶点的横坐标应为3，纵坐标应为2.本题考查学生的动手能力，画出图后可很快得到答案．

【变式训练】

矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB＝60°，则对角线AC与边BC所成的角是多少度？

答案：30°

知识点：矩形的性质；等腰三角形的性质

解析：

解答：解：根据矩形的对角线相等且互相平分得到：OB＝OC．

则∠ACB＝∠OBC．

∵∠AOB＝∠ACB+∠OBC

∴∠ACB＝30°．

故选B．

分析：根据矩形的对角线的性质，结合等腰三角形的性质求解．本题主要考查了矩形的对角线相等且平分．即对角线把矩形分成了四个等腰三角形．

典例二、矩形判定

（2017贵州安顺）如图，DB∥AC，且DB=AC，E是AC的中点，

（1）求证：BC=DE；

（2）连接AD、BE，若要使四边形DBEA是矩形，则给△ABC添加什么条件，为什么？

【考点】LC：矩形的判定；L7：平行四边形的判定与性质．

【分析】（1）要证明BC=DE，只要证四边形BCED是平行四边形．通过给出的已知条件便可．

（2）矩形的判定方法有多种，可选择利用“对角线相等的平行四边形为矩形”来解决．【解答】（1）证明：∵E是AC中点，

∴EC=AC．

∵DB=AC，

∴DB∥EC．

又∵DB∥EC，

∴四边形DBCE是平行四边形．

∴BC=DE．

（2）添加AB=BC．（5分）

理由：∵DB AE，

∴四边形DBEA是平行四边形．

∵BC=DE，AB=BC，

∴AB=DE．

∴▭ADBE是矩形．

【变式训练】

（2017湖南邵阳）如图所示，已知平行四边形ABCD，对角线AC，BD相交于点O，∠OBC=∠OCB．

（1）求证：平行四边形ABCD是矩形；

（2）请添加一个条件使矩形ABCD为正方形．

【分析】（1）根据平行四边形对角线互相平分可得OA=OC，OB=OD，根据等角对等边可得OB=OC，然后求出AC=BD，再根据对角线相等的平行四边形是矩形证明；

（2）根据正方形的判定方法添加即可．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA=OC，OB=OD，

∵∠OBC=∠OCB，

∴OB=OC，

∴AC=BD，

∴平行四边形ABCD是矩形；

（2）解：AB=AD（或AC⊥BD答案不唯一）．

理由：∵四边形ABCD是矩形，

又∵AB=AD，

∴四边形ABCD是正方形．

或：∵四边形ABCD是矩形，

又∵AC⊥BD，

∴四边形ABCD是正方形．

【点评】本题考查了正方形的判断，平行四边形的性质，矩形的判定，熟练掌握特殊四边形的判定方法与性质是解题的关键．

典例三、矩形性质

（2017广西百色）矩形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，CE、AF分别交BD于G、H两点．

求证：（1）四边形AFCE是平行四边形；

（2）EG=FH．

【考点】LB：矩形的性质；L7：平行四边形的判定与性质．

【分析】（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；

（2）可证明EG和FH所在的△DEG、△BFH全等即可．

【解答】解：

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，AD=BC，

∵E、F分别是AD、BC的中点，

∴AE=AD，CF=BC，

∴AE=CF，

∴四边形AFCE是平行四边形；

（2）∵四边形AFCE是平行四边形，

∴CE∥AF，

∴∠DGE=∠AHD=∠BHF，

∵AB∥CD，

∴∠EDG=∠FBH，

在△DEG和△BFH中

，

∴△DEG≌△BFH（AAS），

∴EG=FH．

【变式训练】

（2017广西河池）如图，在矩形ABCD中，AB=，E是BC的中点，AE⊥BD于点F，则CF的长是．

【考点】LB：矩形的性质．

【分析】根据四边形ABCD是矩形，得到∠ABE=∠BAD=90°，根据余角的性质得到∠BAE=∠ADB，根据相似三角形的性质得到BE=1，求得BC=2，根据勾股定理得到AE=

=，BD==，根据三角形的面积公式得到BF==，过F作FG ⊥BC于G，根据相似三角形的性质得到CG=，根据勾股定理即可得到结论．

【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABE=∠BAD=90°，

∵AE⊥BD，

∴∠AFB=90°，

∴∠BAF+∠ABD=∠ABD+∠ADB=90°，

∴∠BAE=∠ADB，

∴△ABE∽△ADB，

∴，

∵E是BC的中点，

∴AD=2BE，

∴2BE2=AB2=2，

∴BE=1，