第4课时向量的数量积第一课时

第4课时向量的数量积

【学习目标】

1.通过物理中“功”等实例，理解平而向量数疑积的含义及其物理、几何意义；

2.体会平而向量的数量积与向疑投影的关系：

3.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平而向量垂直

4.掌握数疑积的运算性质，了解用平而向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题：

【预学评价】

1•已知”|=4,冏=6, , a与〃的夹角为150° ,则a b= ___________ .

-12^3

2.判断下列各题正确与否：

①若a b = O,则“ =0 或b = O; ( X )

②若a-b = Q ,则叶问=0 ; ( X )

③若“ =0,则对任一向量以有a b=Ot ( J )

④若“丄则“•〃=();(J)

⑤对任意向量a、b、c都有(a-b).c =a-(b-c).( X )

3.__________________________________ 正三角形磁的边长为2,则丽反 = .

-2

4.己知同=5, |列=6, a 〃〃 ,则a b = _______ .；

±30

平面向量数量积(内积)的定义：已知两个非零向量a与方，它们的夹角是“，则数量|a|问cos&叫“与”的数量积，记作a b,

即a」二\a\\b\cos0(O<0<^)并规左0与任何向量的数量积为0.

当a与“同向时,a b =|«||Z>|:当“与〃反向时，ab = -|«||^|:

“丄b <=> a ・b = 0 $ cos& = 0 :

特别地，a a = a~ - ”「。

平面向量的数量积的几何意义：“小等于a的长度问与&在“方向上投影|^|cose 的乘积【经典范例一】

例1已知向量a , b的夹角为0, |“| = 3 ,0| = 4,分別在下列条件下求“丄

(1) o =150° : (2) a //b(3) “丄〃

答案(1)a-ft = |a||^|cos^ = 3x4xcosl50° =—6>/3

(2)当a 〃方时，则0=0°或180°

若0 二0° 时，a b = \2

若0 =180° 时，a b = -\2

(3)当“丄方时，a b=Q

说明两个向量的数量枳由两个向量的模和他们的夹角以及他们的夹角三个要素决定的，因此准确地求出两向量的模和•余弦值是关键。

例2 已知三角形ABC 中BC = a, G4 = Zi, AB = cJfl| = 3 , |^| = 4t |c| = 5 求a b+b c+c a的值。

分析AABC为直角三角形，求出两锐角的余弦值，再由向量数量积运算求解。

4 3

解法一由已知条件，可知，故cos A = - , cos B =二,cosC = 0.

则a・ b + b・c + c・a — |a||ft|(—cosC) ■ |Z>||c|(—cos A) ■ ”|c(一cosB) ■ —25。

解法二在ZXABC 中”+〃+c = 0

(« +b + c)2 =a2 +b2 +c2 + 2(a ・b+b・c+“ ・c)

=”「+卩「+|c「+ 2(a b + b c+a -c) = 50+2(a b + b c+a -c) = 0

可得“•〃+方・c+c・“ = —25 o

说明以三角形为背景的问题求解中要准确把握三角形的内角与向量夹角的关系。

【随堂练习一】

1.已知0、〃是两个非零向量，判断下列结论是否正确

①0・“=0；( X ) ②”•冲=叶问;(X )

③若a2 -bi1则“=切；(X ) ④若“上=匕|卩|则a〃〃. ( 4 )

2.已知阀二6, |列二4, a ,"的夹角为30。

求：⑴ a b (2) a2 (3) b2

答案：(1) \2羽(2) 36 (3) 16

3•己知|«|=10,问二12,且(3a)-(-Z>) = -36,贝怙与〃的夹角是 _________ •

答案：120°

【经典范例二】

例3已知向量a,方的夹角为120。，且同=4, 0| = 2,

求(1)(站-加)•(滋+〃)

(2) \3a-4b\

分析先根据数量积的泄义求岀“小,然后利用运算率及性质求解

解a •b = |t/||Z>|cos^ = 4x2xcosl20: =—4

(1)(跖一加)・(滋+方)=一8

(2)因为国一彻‘=9/一2滋小+ 16^=304

所以|3«-4^| = 4V19

说明於=叶即问=罰我们经常利用这一关系研究向虽的模.

例4设向量0 , b满足|a| = |^| = 1, |3«-2^| = 3求丙+列值解由条件，得阀‘=问'=1, |3« —%『=9, 所以9叶+4”_1加"=9,所以” b = L

所以国+〃「= 9”「+问’+幺鼻=9 + 2 + 1 = 12

所以|引+冲=2省.

例5 x =a —b , y = 2a +b ,且”| =问=1, “ 丄〃，求x 与y 的夹角. 解因为“丄方，所以a b=Q

|x|2=(a-b)'=”「—2a •方+晴=2,闰=血

\y[=(加=4”「一滋•〃+ ”「二5, |j| = >/5

x y = (a —b)'(2a +b)= 2|«|~ _"•方「二1

【随堂练习二】

1・已知向量a, 〃的夹角为60。，且间=1, \b\ = 2,求

(1) (a + b)2(2) (a-b)2(3) (“+〃)•(“一〃)

答案：(1) 7 (2) 3 (3) -3

2.已知向量a，〃的夹角为60° ,且问=4,(站+场)・(“一3〃)=一72, 求向量“的模.

答案：|“| = 6