第4课时向量的数量积第一课时
【课时讲义】6.2.4 向量的数量积 第1课时导学案及课时讲义必修第二册第六章平面向量及其应用
6．2.4 向量的数量积 导学案及课时讲义第1课时 向量数量积的定义及性质知识点一 向量夹角的概念1.已知|a |＝|b |＝3，且a 与b 的夹角为80°，则a ＋b 与a －b 的夹角是________．2．在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，|AB →|＝3，|CB →|＝1，则AC →与CB →的夹角θ＝________.知识点二 平面向量数量积的定义3.若向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a 与b 的夹角为60°，则a ·b 等于( ) A.12 B.32 C ．1＋32D ．2 4．已知A ，B 是圆心为C ，半径为5的圆上两点，且AB ＝5，则AC →·CB →等于( )A ．－52 B.52 C ．2 D.532知识点三 投影向量5.已知等边三角形ABC 的边长为2，则向量AB →在向量CA →方向上的投影向量为( )A ．－12CA →B.12CA → C ．2AC →D ．2CA →6．若|a |＝2，|b |＝4，向量a 与向量b 的夹角为120°，记向量a 在向量b 方向上的投影向量为γ，则|γ|＝( )A ．4B ．3C ．2D ．17．已知|a |＝4，e 为单位向量，a 与e 的夹角为2π3，则e 在a 方向上的投影向量的模为________．知识点四 平面向量数量积的性质 8.给出以下结论：①0·a ＝0；②a ·b ＝b ·a ；③a 2＝|a |2；④(a ·b )c ＝a (b ·c )；⑤|a ·b |≤a ·b .其中正确结论的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．49．若|a |＝1，|b |＝2，则|a ·b |的值不可能是( ) A ．0 B.12C ．2D ．310．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，点P 在AM 上，且满足AP →＝2PM →，求PA →·(PB →＋PC →)的值．知识点五 平面向量数量积的应用11.已知a ·b ＝－122，|a |＝4，a 与b 的夹角为135°，则|b |＝( ) A ．12 B ．3 C ．6 D ．3 312．已知|a |＝2，|b |＝3，且a·b ＝－3，则〈a ，b 〉＝( ) A.π6 B.2π3 C.3π4 D.5π613．已知a ，b 是两个非零向量，若|a |＝3，|b |＝4，|a ·b |＝6，求a 与b 的夹角．14．已知非零向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，向量a ，b 的夹角为120°，且|b |＝2|a |，则向量b 与c 的夹角为________．易错分析 本题出错的原因是确定向量夹角时未考察向量的方向，简单认为角B 即为向量b 与c 的夹角．一、选择题1．已知|a |＝4，|b |＝2，当a ，b 的夹角为π3时，a ·b ＝( )A ．4 3B ．4C ．8 3D ．82．向量a 的模为10，它与向量b 的夹角为150°，则它在b 方向上的投影向量的模为( )A ．－5 3B ．5C ．－5D ．5 33．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，且AC →·BD →＝0，则四边形ABCD 是( ) A ．矩形 B ．菱形 C ．直角梯形D ．等腰梯形4．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π 5．(多选)已知等腰直角三角形ABC 中，C ＝90°，且S △ABC ＝1，则下列结论正确的是( )A.AC →·BC →＝0B.AB →·AC →＝2 C.AB →·BC →＝2 D ．|AB →|cos B ＝|BC →| 二、填空题6．若|a |＝2，b ＝－2a ，则a ·b ＝________.7．已知e 为一单位向量，a 与e 之间的夹角是120°，而a 在e 方向上的投影向量的模长为2，则|a |＝________.8. 如图所示，已知圆O 为△ABC 的外接圆，AB ＝6，BC ＝7，CA ＝8，则OA →·AB →＋OB →·BC →＋OC →·CA →＝________.三、解答题9．(1)已知|a |＝3，|b |＝6，当①a ∥b ，②a ⊥b ，③a 与b 的夹角是60°时，分别求a ·b ；(2)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，AC ＝4，求AB →·BC →. 10. 如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上一点，则OP →＝xOA →＋yOB →.(1)若AP →＝PB →，求x ，y 的值；(2)若AP →＝3PB →，|OA →|＝4，|OB →|＝2，且OA →与OB →的夹角为60°，求OP →·AB →的值．6．2.4 向量的数量积第1课时 向量数量积的定义及性质 解析版知识点一 向量夹角的概念1.已知|a |＝|b |＝3，且a 与b 的夹角为80°，则a ＋b 与a －b 的夹角是________．答案 90°解析 如图，作向量OA →＝a ，OB →＝b ，以OA ，OB 为邻边作平行四边形，则四边形OACB 为菱形．∵OC →＝a ＋b ，BA →＝OA →－OB →＝a －b ，OC →⊥BA →，∴a ＋b 与a －b 的夹角为90°.2．在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，|AB →|＝3，|CB →|＝1，则AC →与CB →的夹角θ＝________.答案 120°解析 在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，CB ＝1，所以tan ∠ACB ＝ABCB ＝3，所以∠ACB ＝60°，即CB →与CA →的夹角为60°，所以AC →与CB →的夹角为120°.知识点二 平面向量数量积的定义3.若向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a 与b 的夹角为60°，则a ·b 等于( ) A.12 B.32 C ．1＋32 D ．2 答案 A解析 a ·b ＝|a ||b |cos60°＝1×1×12＝12.4．已知A ，B 是圆心为C ，半径为5的圆上两点，且AB ＝5，则AC →·CB →等于( )A ．－52 B.52 C ．2 D.532答案 A解析 因为AB ＝5，所以三角形ABC 为等边三角形，所以AC →·CB →＝|AC →||CB →|cos120°＝5×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－52.知识点三 投影向量5.已知等边三角形ABC 的边长为2，则向量AB →在向量CA →方向上的投影向量为( )A ．－12CA →B.12CA →C ．2AC →D ．2CA →答案 A解析 在等边三角形ABC 中，∵∠A ＝60°，∴向量AB →在向量AC →方向上的投影向量为12AC →，∴向量AB →在向量CA →方向上的投影向量为－12CA →.故选A.6．若|a |＝2，|b |＝4，向量a 与向量b 的夹角为120°，记向量a 在向量b 方向上的投影向量为γ，则|γ|＝( )A ．4B ．3C ．2D ．1 答案 D解析 设向量a 与向量b 的夹角为θ，与b 方向相同的单位向量为e ，则a 在b 方向上的投影向量γ＝|a |cos θ·e ，则|γ|＝||a |cos θ|＝|2×cos120°|＝1，故选D.7．已知|a |＝4，e 为单位向量，a 与e 的夹角为2π3，则e 在a 方向上的投影向量的模为________．答案12解析 ∵a 与e 的夹角θ＝2π3，∴e 在a 方向上的投影向量的模为||e |cos θ|＝12. 知识点四 平面向量数量积的性质 8.给出以下结论：①0·a ＝0；②a ·b ＝b ·a ；③a 2＝|a |2；④(a ·b )c ＝a (b ·c )；⑤|a ·b |≤a ·b .其中正确结论的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C解析 ①②③显然正确；(a ·b )c 与c 共线，而a (b ·c )与a 共线，故④错误；|a ·b |＝|a ||b ||cos θ|，a·b ＝|a ||b |cos θ，有|a ·b |≥a ·b ，故⑤错误．9．若|a |＝1，|b |＝2，则|a ·b |的值不可能是( ) A ．0 B.12 C ．2 D ．3答案 D解析 由向量内积性质知|a ·b |≤|a ||b |＝2.故选D.10．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，点P 在AM 上，且满足AP →＝2PM →，求PA →·(PB →＋PC →)的值．解 如图，由AM ＝3，且AP →＝2PM →，可知|AP →|＝2. ∵M 为BC 的中点， ∴PB →＋PC →＝2PM →＝AP →， ∴PA →·(PB →＋PC →)＝PA →·AP → ＝－PA →2＝－|PA →|2＝－4.知识点五 平面向量数量积的应用11.已知a ·b ＝－122，|a |＝4，a 与b 的夹角为135°，则|b |＝( ) A ．12 B ．3 C ．6 D ．3 3 答案 C解析 a ·b ＝|a ||b |cos135°＝－122，又|a |＝4，解得|b |＝6. 12．已知|a |＝2，|b |＝3，且a·b ＝－3，则〈a ，b 〉＝( ) A.π6 B.2π3 C.3π4 D.5π6 答案 D解析 因为|a |＝2，|b |＝3，且a·b ＝－3，所以cos 〈a ，b 〉＝a·b|a ||b |＝－32.又〈a ，b 〉∈[0，π]，所以〈a ，b 〉＝5π6. 13．已知a ，b 是两个非零向量，若|a |＝3，|b |＝4，|a ·b |＝6，求a 与b 的夹角．解 ∵a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉，∴|a ·b |＝||a ||b |cos 〈a ，b 〉|＝|a ||b ||cos 〈a ，b 〉|＝6. 又|a |＝3，|b |＝4，∴|cos 〈a ，b 〉|＝6|a ||b |＝63×4＝12，∴cos 〈a ，b 〉＝±12.∵〈a ，b 〉∈[0，π]，∴a 与b 的夹角为π3或2π3.课时易错点易错点 求夹角时忽略向量的方向致误14．已知非零向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，向量a ，b 的夹角为120°，且|b |＝2|a |，则向量b 与c 的夹角为________．易错分析 本题出错的原因是确定向量夹角时未考察向量的方向，简单认为角B 即为向量b 与c 的夹角．答案 150°正解 由题意画出图形，如图，因为a ，b 的夹角为120°， 所以∠CAB ＝60°，又|b |＝2|a |，所以∠ACB ＝90°，所以∠ABC ＝30°，则b 与c 的夹角为150°.一、选择题1．已知|a |＝4，|b |＝2，当a ，b 的夹角为π3时，a ·b ＝( )A ．4 3B ．4C ．8 3D ．8 答案 B解析 根据向量数量积的定义得a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝4×2×cos π3＝4.2．向量a 的模为10，它与向量b 的夹角为150°，则它在b 方向上的投影向量的模为( )A ．－5 3B ．5C ．－5D ．5 3 答案 D解析 a 在b 方向上的投影向量的模为||a |cos150°|＝5 3.3．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，且AC →·BD →＝0，则四边形ABCD 是( ) A ．矩形 B ．菱形 C ．直角梯形 D ．等腰梯形答案 B解析 由AB →＝DC →得四边形ABCD 中一组对边平行且相等，由AC →·BD →＝0得两条对角线互相垂直，所以四边形ABCD 为菱形．4．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π 答案 B解析 设a 与b 的夹角为θ，由题意可得，Δ＝|a |2－4a ·b ≥0，∵|a |＝2|b |，∴cos θ≤12，又θ∈[0，π]，∴θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π.故选B.5．(多选)已知等腰直角三角形ABC 中，C ＝90°，且S △ABC ＝1，则下列结论正确的是( )A.AC →·BC →＝0 B.AB →·AC →＝2 C.AB →·BC →＝2 D ．|AB →|cos B ＝|BC →| 答案 ABD解析 在等腰直角三角形ABC 中，C ＝90°，面积为1，则12AC 2＝1，得AC ＝2，得AB ＝2，所以AC →·BC →＝0，A 正确；AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos45°＝2，B 正确；AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos135°＝－2，C 不正确；向量BA →在BC →上投影的数量为|BC →|，即|AB →|·cos B ＝|BC →|，D 正确．故选ABD.二、填空题6．若|a |＝2，b ＝－2a ，则a ·b ＝________. 答案 －8解析 |b |＝2|a |＝4，且b 与a 反向，∴〈a ，b 〉＝180°. ∴a ·b ＝|a |·|b |cos180°＝2×4×(－1)＝－8.7．已知e 为一单位向量，a 与e 之间的夹角是120°，而a 在e 方向上的投影向量的模长为2，则|a |＝________.答案 4解析 因为||a |cos 120°|＝2，所以12|a |＝2，所以|a |＝4.8. 如图所示，已知圆O 为△ABC 的外接圆，AB ＝6，BC ＝7，CA ＝8，则OA →·AB →＋OB →·BC →＋OC →·CA →＝________.答案 －1492解析 OA →·AB →＝|OA →||AB →|cos(180°－∠BAO )，∵|OA →|cos(180°－∠BAO )＝－|OA →|cos ∠BAO ＝－12|AB →|，∴OA →·AB →＝－12·|AB →|2，同理，OB →·BC →＝－12|BC →|2，OC →·CA →＝－12|CA →|2，∴OA →·AB →＋OB →·BC →＋OC →·CA →＝－12×(62＋72＋82)＝－1492. 三、解答题9．(1)已知|a |＝3，|b |＝6，当①a ∥b ，②a ⊥b ，③a 与b 的夹角是60°时，分别求a ·b ；(2)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，AC ＝4，求AB →·BC →.解 (1)①当a ∥b 时，若a 与b 同向，则它们的夹角θ＝0°，∴a ·b ＝|a ||b |cos0°＝3×6×1＝18.若a 与b 反向，则它们的夹角θ＝180°，∴a ·b ＝|a ||b |cos180°＝3×6×(－1)＝－18.②当a ⊥b 时，它们的夹角θ＝90°，∴a ·b ＝0.③当a 与b 的夹角是60°时，有a ·b ＝|a ||b |cos60°＝3×6×12＝9. (2)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，AC ＝4，故BC ＝3，且cos ∠ABC ＝35， AB →与BC →的夹角θ＝180°－∠ABC ，∴AB →·BC →＝－|AB →||BC →|cos ∠ABC ＝－5×3×35＝－9. 10. 如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上一点，则OP →＝xOA →＋yOB →.(1)若AP →＝PB →，求x ，y 的值；(2)若AP →＝3PB →，|OA →|＝4，|OB →|＝2，且OA →与OB →的夹角为60°，求OP →·AB →的值．解 (1)若AP →＝PB →，则OP →＝12OA →＋12OB →， 故x ＝y ＝12. (2)因为|OA →|＝4，|OB →|＝2，∠BOA ＝60°，所以∠OBA ＝90°，所以|AB →|＝2 3.又因为AP →＝3PB →，所以|PB →|＝32. 所以|OP →|＝22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝192，cos ∠OPB ＝5719， 所以OP →与AB →的夹角θ的余弦值为－5719. 所以OP →·AB →＝|OP →||AB →|cos θ＝－3.。
高中数学 第二章 平面向量 第四节 平面向量的数量积(第一课时)示范教案 新人教A版必修4
第二章第四节平面向量的数量积第一课时教学设计(一)整体设计教学内容分析本课内容选自普通高中课程标准实验教科书数学必修4(人教A版)§2.4平面向量的数量积的第一课时，本课主要内容是向量的数量积的定义及运算律，本节课让学生了解从特殊到一般再由一般到特殊的这种认识规律和体会概念法则的学习过程．学生学习情况分析学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的运算体系，掌握了向量的概念及其线性运算，具备了功等物理知识，并且初步体会了研究向量运算的一般方法．在功的计算公式和研究向量运算的一般方法的基础上，学生基本上能类比得到数量积的含义和运算律，对于运算律不一定给全或给对，对运算律的证明可能会存在一定的困难，教学中教师要注意引导学生分析判断．设计思想遵循新课标以人为本的理念，以启发式教学思想和建构主义理论为指导，采用探究式教学，以多媒体手段为平台，利用问题让学生自主地参与探究，在探究过程中注重学生学习过程的体验和数学能力的发展，引导学生积极将知识融入自己的知识体系．教学目标1．了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义．2．体会平面向量的数量积与向量投影的关系，理解掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关的判断和运算．3．体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力．教学重点和难点重点是平面向量数量积的概念、用平面向量数量积表示向量的模及夹角；难点是平面向量数量积的定义及运算律的理解，平面向量数量积的应用．教学过程活动一：创设问题情境，引出新课1．提出问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？答：向量的加法、减法及数乘运算．这些运算的结果是向量．2．提出问题2：请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？答：物理模型→概念→性质→运算律→应用．3．新课引入：本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算．导入课题：平面向量数量积的物理背景及其含义．设计意图1．明白新旧知识的联系性．2．明确研究向量的数量积这种运算的途径．活动二：探究数量积的概念1．给出有关材料并提出问题3：(1)如图1所示，一物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功：W＝|F||s|cosθ.图12)这个公式有什么特点？请完成下列填空：①W(功)是________量，②F(力)是________量，③s(位移)是________量，④θ是________．(3)你能用文字语言表述“功的计算公式”吗？答：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积．(4)如果我们将公式中的力与位移推广到一般向量，其结果又该如何表述？答：两个向量的大小及其夹角余弦的乘积．2．明晰数量积的定义(1)数量积的定义已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量︱a︱︱b︱cosθ叫做a与b 的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝︱a︱︱b︱cosθ.(2)定义说明①记法“a·b”中间的“·”不可以省略，也不可以用“×”代替．②“规定”：零向量与任何向量的数量积为零．设计意图1．认识向量的数量积的实际背景．2．使学生在形式上认识数量积的定义．3．从数学和物理两个角度创设问题情境，使学生明白为什么研究这种运算，从而产生强烈的求知欲望．3．提出问题4：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？答：线性运算的结果是向量，而数量积的结果则是数量，这个数量的大小不仅和向量a 与b的模有关，还和它们的夹角有关．4引导学生通过自主研究，明确两个向量的夹角决定它们的数量积的符号，进一步从细节上理解向量数量积的定义．5．研究数量积的几何意义(1)给出向量投影的概念：如图2，我们把|b|cosθ(|a|cosθ)叫做向量b在a方向上(a在b方向上)的投影，记作：OB1＝|b|cosθ.图2(2)提出问题5：数量积的几何意义是什么？答：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．设计意图这里将数量积的几何意义提前，使学生从代数和几何两个方面对数量积的特征有了更加充分的认识．6．研究数量积的物理意义(1)请同学们用一句话来概括功的数学本质：功是力与位移的数量积．(2)尝试练习：一物体质量是10千克，分别做以下运动：①竖直下降10米；②竖直向上提升10米；③在水平面上的位移为10米；④沿倾角为30度的斜面向上运动10米．分别求重力做功的大小．设计意图通过尝试练习，一方面使学生尝试计算数量积，巩固对定义的理解；另一方面使学生理解数量积的物理意义，明白学科间的联系，同时也为数量积的性质埋下伏笔．活动三：探究数量积的运算性质1．提出问题6：(1)将尝试练习中的①②③的结论推广到一般向量，你能得到哪些结论？(2)比较︱a·b︱与︱a||b︱的大小，你有什么结论？2．请证明上述结论．3．明晰数量积的性质设a和b都是非零向量，则(1)a⊥b⇔a·b＝0；(2)当a与b同向时，|a·b|＝|a||b|；当a与b反向时，|a·b|＝－|a||b|，特别地a·a＝|a|2或|a|＝a·a；(3)|a·b|≤|a||b|.设计意图将尝试练习的结论推广得到数量积的运算性质，使学生感到亲切自然，同时也培养了学生由特殊到一般的思维品质和类比创新的意识．活动四：探究数量积的运算律1．提出问题7：我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些运算律对向量是否也适用？答：(1)交换律：ab＝ba；(2)结合律：(ab)c＝a(bc)；(3)分配律：(a＋b)c＝ac＋bc.猜想：①a·b＝b·a；②(a·b)c＝a(b·c)；③(a＋b)·c＝a·c＋b·c.2．分析猜想：猜想①的正确性是显而易见的．关于猜想②的正确性，请同学们先讨论：猜测②的左右两边的结果各是什么？它们一定相等吗？答：左边是与向量c共线的向量，而右边则是与向量a共线的向量，显然在向量c与向量a不共线的情况下猜测②是不正确的．设计意图要求学生通过对过去所学过的运算律的回顾类比得出数量积的运算律，通过讨论纠错来理解不同运算的运算律不尽相同，看到数学的法则与法则间的相互联系与区别，体会法则，学习研究的重要性．3．明晰：数量积的运算律：已知向量a、b、c和实数λ，则：(1)a·b＝b·a；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.4．学生活动：证明运算律(2)在证明时，学生可能只考虑到λ>0的情况，为了帮助学生完善证明，提出以下问题：当λ<0时，向量a与λa，b与λb的方向的关系如何？此时，向量λa与b及a与λb 的夹角与向量a与b的夹角相等吗？5．师生活动：证明运算律(3)设计意图学会利用定义证明运算律(1)(2)，运算律(3)的图形构造有些困难，先让学生讨论，后根据学生的情况加以指导或共同完成．活动五：应用与提高1．学生独立完成：已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，求a·b.设计意图通过计算巩固对定义的理解．2．师生共同完成：已知|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为60°，求(a＋2b)·(a－3b)，并思考此运算过程类似于哪种实数运算？3．学生独立完成：对任意向量a，b是否有以下结论：(1)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2，(2)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.设计意图让学生体会解题中运算律的作用，比较向量运算与实数运算的异同．4．师生共同完成：已知|a|＝3，|b|＝4，且a与b不共线，k为何值时，向量a＋k b与a －k b 互相垂直？并讨论：通过本题，你有什么体会？设计意图学会利用数量积来解决垂直问题，体会用数量积将几何问题转化为方程来求解，体现向量的工具性．5．反馈练习(1)判断下列各题正确与否：①若a≠0，则对任一非零向量b ，有a·b≠0.②若a≠0，a·b ＝a·c ，则b ＝c.(2)已知△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，当a·b<0或a·b ＝0时，试判断△ABC 的形状．设计意图1．加强学生的练习．2．通过观察、问答等方式对学生的掌握情况有了进一步的了解和把握．活动六：小结1．本节课我们学习的主要内容是什么？2．平面向量的数量积有哪些应用？3．我们是按照怎样的思维模式进行概念的归纳和性质的探究的？在运算律的探究过程中，渗透了哪些数学思想？4．类比向量的线性运算，我们还应该怎样研究数量积？设计意图通过学生讨论总结，加强了学生对概念、法则的理解和掌握，体会整个内容的研究过程，明白了为什么要学这些内容，学了这些内容可以做什么，这对以后的学习有什么指导意义．活动七：布置作业1．课本习题2.4A 组1、2、3.2．拓展与提高：已知a 与b 都是非零向量，且a ＋3b 与7a －5b 垂直，a －4b 与7a －2b 垂直，求a 与b 的夹角．(本题供学有余力的同学选做)设计意图通过设计不同层次的作业既使学生掌握基础知识，又使学有余力的学生有所提高，从而达到激发兴趣和“减负”的目的．教学反思本节课从总体上说是一节概念教学，从数学和物理两个角度创设问题情境来引入数量积概念，能激发学生的学习兴趣．通过安排学生讨论影响数量积结果的因素并完成表格和将数量积的几何意义提前，有助于学生更好地理解数量积的结果是数量而不是向量．数量积的性质和运算律是数量积概念的延伸，这两方面的内容按照创设一定的情境，让学生自己去探究、去发现结论，教师明晰后，再由学生或师生共同完成证明．这样能更清楚地看到数学法则与法则间的联系与区别，体会法则学习研究的重要性，例题和练习的选择都是围绕数量积的概念和运算律展开的，这能使学生更好地掌握概念法则．。
向量的数量积课件(共17张PPT)
A
O
B
三、 抽象概念，建构新知
特殊的夹角
0
O
B
2
A
O
B
A
O
a与b 方向相同
a与b垂直 记作a b
B a与b 方向相反
三、 抽象概念，建构新知
2、向量数量积的定义：
已知两个非零向量a与b ，它们的夹角为，
我们把数量积 a b cos 叫做向量a与b 的数量积（或内积），
记作a b ，即a b a b cos.
A
规定:零向量与任一向量的数量积为0.
O
B
四、 小试牛刀，巩固落实
课本P17例9 已知 a 5, b 4, a与b 的夹角 2 ，求a b.
3
变式：已知 a 5, b 4, a b 10，求a与b 的夹角.
解：a b a b cos 分析：由a b a b cos
向量的数量积
册 别：必修第二册 学 科：高中数学（人教A版）
一、 温故知新，提出问题
问题1：前面我们学习了向 量的加、减运算，类比数 的运算，向量之间还可以
建立哪些运算？
二、 借助物理，创设情境
问题2：类比研究向量运算中 加法运算的基本路径， 怎样来研究向量的乘法？
物 理
力
力的合成
数 学
向 量
向量的加法
5 4 cos 2
3 5 4( 1)
2 10.
得到cos a b
ab
10 1 54 2
0， ，
2 .
3
五、 几何角度，深化理解
问题3：a b a b cos
其中 a cos，你能联想到其几何意义吗？
A b
向量数量积的概念(第一课时)-教案
向量数量积的概念（第一课时）教案物理情境：我们在物理课中学习过，物体受到力的作用，并在力的作用方向上发生了一段位移，我们就说这个力对物体做了功.如图向量平移到同一个起点，下面给出两个向量夹角的定义.1. 两个向量夹角的定义定义：给定两个非零向量a和b，在平面内任选一点O ，作OA=a，OB=b，则称],0[π内的AOB∠为向量a和b的夹角，记作〈a，b〉.图3根据定义我们来判断图3向量a与向量b、向量c、向量d、向量e的夹角的大小，由图3可知向量a与b方向向相同，选一点O，作,a=,0[πOA，b=OB，则闭区间]内的∠AOB的取值为零，则向量a与b夹角大小的为零，当然有夹角的定义可知，若向量a与b夹角大小的为零，也可判断这两个向量是方向相同.接下来我们来判断向量a与向量c的夹角，向量a与向量c方向相反，我们作则闭区间OD,d=的取值为π，当然有夹角的定义可4a与d断这两个向量关系的是不共线，并且这两OE则闭区间,e=的取值为π，向量2，则称向量a与向量所以当两个向量的夹角为3.由已知可得cos π4cos 3a b a b a b b b ⋅=|| ||〈〉16=⨯|| ||=2.，在应用向量数量积的定义进行计算时，这个定义式中出现了四个量，分别是向量的数量积、向量a 的模长、向量b 的模长以及向量夹角余弦值，这四个量，当我们知道其中三个，可根据此式列出未知那个量的方程，也就是知三求一。
在应用定义时，注意a b ⋅是由向量a的模长，向量b 的模长以及两个向量夹角余弦值这三个数量的乘积得到，平面向量的数量积是两个向量之间的一种“乘法”运算，运算结果是一个数量，而不是向量，这与之前所学的向量的线性运算的结果仍是向量不同；平面向量在书写时，向量a 与b 之间用实心圆点“· ”连接，不能用实数的乘法运算符号“×”乘号.那么两个非零向量的数量积是一个实数，当090θ︒︒≤<时，cos ,0a b >，0a b ⋅>；当90θ︒=时，cos ,0a b =，0a b ⋅=；当90180θ︒︒<≤时，cos ,0a b <，0a b ⋅<.两个非零向量的数量积和功一样，可以为正数、可以为零、也可以为负数，符号由两个向量夹角决定.0,||4|360..==︒⋅<=∠⋅若，|，，求BA BC AB BC ABC AB BC）思路分析：试判断△ABC 的形状；要判断三角形在△ABC 形状，需要判断出三角形中最大内角的范围，根据条件向量BA 与向量BC 数量积为负数，找到其与三角形内角的关系，由向量数量积的定义可知，那就需要找到向量BA 与向量BC 的夹角与三角形△ABC 的内角的关系，由图可知，向量BA 与向量BC 的夹角与∠B 相等，这样就可以根据数量积的符号，得到∠B 的范围，来看解题步骤.解：cos 0πcos 0π2⋅∠∠=||||〈〉<〈〉<<〈〉<〈〉=由， ，可得， ，所以， ，因， ，所以BA BC BA BC BA BC BA BC BA BC BA BC B B所以△ABC 是钝角三角形.（2）思路分析：例2的第二问要求⋅AB BC ，由数量积的为钝角，cos ⋅=||||〈〉， AB BC AB BC AB BC ,结合已知条件向量AB 和BC 的模长，只需找出〉， AB BC 与三角形内角∠ABC 的大小关系，因为这两个向量此时是首尾相接，需要把AB 平移到以BD ，〉， AB BC 的夹角就是∠与∠ABC 的关系是互补的，这样我们就可以根据向cos cos12014362︒︒︒〈〉=180-∠=120⋅=||||〈〉=|||| =⨯⨯- - = ， ，， （）AB BC ABC AB BC AB BC AB BC AB BC本节课我们研究向量数量积的路径的性质，并了解每条性质的作用.六、作业1.||||4||||16.a b a b a ba b a b a b︒⋅⋅1=8=〈〉=602=-8=〈〉（），，，，；（），，，已知求已知求解：（1）由已知可得||||cos4cos6a b a b a b︒⋅=〈〉=8⨯⨯0=16，.（2）由已知可得||||coscos1cos23a b a b a ba ba ba b⋅=〈〉-8=16⨯〈〉〈〉=-2π〈〉=，，，，.所以所以2. 已知△ABC是边长为2的等边三角形，求⋅AB CA解：因为△ABC中是边长为2的等边三角形，对本节课所学知识进行巩固练习.|||2|||cos|||cos120122 2.2=︒︒︒︒∠=60==〈〉=180-∠=120⋅=〈〉==⨯⨯--所以，|，由，，|，|（）BAC AB CAAB CA BACAB CA AB CA AB CAAB CA所。
《向量数量积》课件
注意事项
需要确保向量的图形表示是准 确的，并且测量过程中没有出
现误差。
向量分解法
定义
步骤
向量分解法是将一个向量分解为其他两个 向量的和，然后利用这两个向量的数积 来计算原向量的数量积。
首先，将一个向量分解为两个其他向量的 和，然后分别计算这两个向量的数量积， 最后将结果相加。
几何意义
总结词
向量数量积的几何意义是表示一个向量在另一个向量上的投影长度。
详细描述
向量数量积的几何意义可以理解为第一个向量在第二个向量上的投影长度，这 个长度与两个向量的夹角有关，夹角越小，投影长度越大，反之则越小。
向量数量积的标量性
总结词
向量数量积的结果是一个标量，而不是向量。
详细描述
由于向量数量积的定义中对应坐标相乘后求和，其结果是一个标量，而不是向量。这个标量表示两个 向量的相似程度，其值越大表示两个向量越相似或方向越一致，反之则越不相似或方向越不一致。
02
CATALOGUE
向量数量积的性质
非负性
总结词
向量数量积的非负性是指两个非零向 量的数量积大于等于0，当且仅当两 向量共线且方向相同时取等号。
详细描述
非负性是向量数量积的一个重要性质 ，它反映了向量之间的角度关系。如 果两个非零向量的数量积为0，则这两 个向量垂直。
向量数量积与模的关系
总结词
向量数量积与向量点积的区别与联系
总结词
向量数量积和点积都是两个向量的内积 ，但计算方式不同。点积计算时考虑向 量的方向，而数量积不考虑方向只考虑 大小。
VS
详细描述
点积计算时，将两个向量的每一个分量相 乘后求和，得到的结果是一个标量。而数 量积则只考虑两个向量的模长和夹角的余 弦值，不考虑方向。因此，点积的结果不 仅与向量的模长和夹角有关，还与向量的 方向有关。而数量积的结果只与向量的模 长和夹角有关，与方向无关。
高中数学必修二课件：向量的数量积(第1课时)
题型三 投影向量
例3 已知|a|＝3，|b|＝1，向量a与向量b的夹角为120°，求： (1)向量a在向量b上的投影向量； (2)向量b在向量a上的投影向量．
【解析】 (1)∵|b|＝1，∴b为单位向量． ∴向量a在向量b上的投影向量为|a|cos 120°·b＝3×－12b＝－32b. (2)∵|a|＝3，∴|aa|＝13a， ∴向量b在向量a上的投影向量为|b|cos 120°|aa|＝1·－12·13a＝－16a.
解析 如图，连接AD.
因为△ABC为等腰三角形，且D为BC的中点， 所以AD⊥BC. 又AB＝2，∠ABC＝30°， 所以CD＝BD＝AB·cos 30°＝ 3. 由图可知B→A与C→D的夹角为∠ABC的补角， 所以B→A与C→D的夹角为150°.
(1)向量B→A在向量C→D上的投影向量为|B→A|cos 150°|CC→ →DD|＝2×cos 150°×C→D3 ＝－C→D.
【思路】 根据非零向量数量积的定义直接求解即可，只需确定其夹角θ.
【解析】 ①当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角为0°. ∴a·b＝|a||b|cos 0°＝2×5×1＝10. 若a与b反向，则它们的夹角为180°. ∴a·b＝|a||b|cos 180°＝2×5×(－1)＝－10. ②当a⊥b时，它们的夹角为90°. ∴a·b＝|a||b|cos 90°＝2×5×0＝0. ③当a与b的夹角为30°时， a·b＝|a||b|cos 30°＝2×5× 23＝5 3.
4．若a·b＝0，则a⊥b对吗？ 答：不对，也可能a＝0或b＝0.
5．在等边△ABC中，向量A→B与向量B→C夹角为π3 ，对吗？ 答：不对，向量A→B与向量B→C夹角为2π 3 .
课时学案
题型一 数量积的运算 例1 (1)已知|a|＝2，|b|＝5，若：①a∥b；②a⊥b；③a与b的夹角为30°， 分别求a·b.
向量的数量积课件
详细描述
向量数量积在计算机图形学中也有着广可以用 来计算光照和阴影的方向和强度，或者用来 实现物理模拟和动画效果。此外，向量数量 积还可以用于实现碰撞检测和运动控制等算 法。
05
总结与展望
向量数量积的重要性和意义
数学基础
，数量积为ab。
几何意义
向量数量积的几何意义是表示一个向量在另一个向量上的投 影长度。
当两个向量的夹角为锐角时，数量积为正，表示两向量方向 相同；当夹角为钝角时，数量积为负，表示两向量方向相反 ；当夹角为直角时，数量积为0。
向量数量积的运算性质
向量数量积满足交换律和分配 律，即a·b=b·a和 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积的模的性质
总结词
两个向量的数量积的值等于它们的模的乘积与它们夹角的余弦值的乘积。
详细描述
向量的数量积的模的性质表明，两个向量的数量积等于它们的模的乘积与它们 夹角的余弦值的乘积。这个性质对于计算两个向量的数量积非常重要，因为它 提供了一个公式来直接计算数量积的值。
向量数量积的交换律和结合律
向量的数量积ppt课件
目录
• 向量数量积的定义 • 向量数量积的性质 • 向量数量积的运算 • 向量数量积的应用 • 总结与展望
01
向量数量积的定义
定义
向量数量积定义为两个向量的模 长之积与夹角的余弦值的乘积，
记作a·b=abcosθ。
其中，a和b分别为两个向量，θ 为两向量的夹角。
当两个向量的夹角为90°时，数 量积为0；当夹角为0°或180°时
理论价值
向量的数量积是向量代数中的基本概 念之一，是研究向量关系和进行数学 分析的重要工具。
向量数量积的概念是线性代数和解析 几何理论体系的重要组成部分，对于 理解空间几何和线性变换的本质具有 重要意义。
高中数学(人教B版)教材《向量的数量积》完美课件1
向量的数量积满足模的性质，即 $|vec{a}| = sqrt{vec{a} cdot vec{a}}$。
03
CATALOGUE
向量的数量积的应用
在物理中的应用
力的合成与分解
通过向量的数量积，可以计算出 合力的大小和方向，也可以计算
出分力的大小和方向。
速度和加速度
在物理中，速度和加速度都是向量 ，通过向量的数量积可以计算出物 体在某段时间内的位移和速度变化 。
01
分配律是数量积的一个基本性质，可以用来简化计算。
结合几何意义理解
02
通过结合向量的几何意义，可以更直观地理解数量积的计算过
程。
掌握特殊情况的处理方法
03
对于一些特殊情况，如两个向量垂直或平行，需要掌握相应的
处理方法。
易错点解析
理解概念不准确
对于数量积的概念理解不准确，导致在计算中出 现错误。
运算错误
性质
01
02
总结词：向量的数量积 的性质
详细描述
03
04
05
1. 向量的数量积满足交 换律，即$mathbf{A} cdot mathbf{B} = mathbf{B} cdot mathbf{A}$。
2. 向量的数量积满足分 配律，即$(mathbf{A} + mathbf{B}) cdot mathbf{C} = mathbf{A} cdot mathbf{C} + mathbf{B} cdot mathbf{C}$。
向量与自身的数量积为该向量的模的 平方，即$vec{a} cdot vec{a} = |vec{a}|^2$。
运算性质
向量的数量积满足非负性，即 $vec{a} cdot vec{b} geq 0$， 当且仅当$vec{a}$与$vec{b}$同
高一数学新人教版(A版)必修第1册《6.2.4 向量的数量积》第1课时 课件
A
(3)当θ为钝角时，OA1与e方向相反，所以
A1 B
OA1 a cos AOA1 a cos π AOA1 = a cos，
即 OA1 a cos e ．
OA1 a cos e
特别地，当θ=0时，λ=|a|，所以 OA1 a e a cos 0 e ；
b
由于 有正负，我们可以讨论当θ
为锐角、直角、钝角时
的值。
二、引入投影概念，体会投影意义
(1)当θ为锐角时，OA1 与e方向相同， OA1 a cos ，所以
OA1 OA1 e a cos e ；
(2)当θ为直角时，λ=0，所以 OA1 0 a cos e ；
product）），记作a·b，即a·b=|a||b|cosθ．
规定：零向量与任一向量的数量积为0．
注意：
(1) 两个向量的数量积是一个实数，
不是向量，符号由cos的符号所决定．
(2)两个向量的数量积称为内积，写
成 a b ，不能写成 a b 或 ab ，书写时
要严格区分．
即
ab
ab
ab
2
π
当 ＜θ≤π时，cosθ<0，从而a·
b<0．
2
一、创设问题情境，引入数量积概念
2π
例1 已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角θ= ，求a·b．
3
1
2π
解：a·b=|a||b|cosθ=5×4× cos =5×4×(- )=-10．
3
2
例2 设|a|=12，|b|=9，a·b=-54 2 ，求a与 b的夹角．
b=|a||b|
a与b相互垂直
高一数学必修四课件时向量的数量积
计算两向量的夹角
01
与平面几何类似，可以通过向量数量积计算两个空间向量的夹
积为零，则两向量垂直。
计算向量的投影
03
向量在另一个向量上的投影长度同样可以通过向量数量积求得
。
典型例题解析
01
02
03
04
例题1
已知向量a和b的坐标，求a和 b的夹角。
例题2
判断向量a和b是否垂直。
动量定理
动量定理描述了物体所受合外力的冲量等于物体动量的变化，即$vec{I}=Delta vec{p}$ 。其中，冲量是力对时间的积累，可以表示为力向量与时间向量的数量积。
向量数量积在电磁学中应用
01 02 03
电场强度与电势差的关系
电场强度$vec{E}$与电势差$V$之间的关系可以通过向量 数量积表示为$V=-int_{a}^{b} vec{E} cdot d vec{l}$，其 中$d vec{l}$是位移向量。该公式描述了电场中两点间电 势差与电场强度的关系。
洛伦兹力与安培力的计算
洛伦兹力$vec{F}=qvec{v} times vec{B}$和安培力 $vec{F}=Ivec{l} times vec{B}$的计算中涉及到向量外积 ，但外积的结果仍然是一个向量，其大小可以通过向量数 量积来计算。
电磁感应中的感应电动势
感应电动势的大小与磁通量的变化率成正比，即$e=frac{d Phi}{dt}$。其中，磁通量是磁感应强度$vec{B}$与 面积向量$vec{S}$的数量积，即$Phi=vec{B} cdot vec{S}$。
示。
向量的共线定理
向量$vec{a}$与向量$vec{b}$共 线的充要条件是存在唯一实数 $lambda$，使得$vec{a} = lambdavec{b}$。
向量的数量积(第1课时) 课件
(3) 当与同向时, · =||||.
(2) ⊥ · =0.
(4) |·| ≤ |||| .
当与反向时, · =-||||.
夹角公式：cos=
课后作业
6.2.4向量的数量积（第2课时）（分层作业）（必做题+选做题）
THANKS
“
”
【单元知识结构框架】
教学重点： 向量加、减运算的运算法则及其几何意义，向量数乘运算的定义及其几何意义，向量数量积的概念与运算律。教学难点：对向量加法运算法则与向量减法运算法则的理解，对向量数量积的概念及运算律的理解，向量数量积的应用。
问题1：在物理课中我们学过功的概念，那么右图中力对小车所做的功是？
因为力做功的计算公式中涉及力与位移的夹角，所以我们先要定义向量的夹角概念.已知两个非零向量(如图)，是平面上的任意一点，作，，则叫做向量与的夹角.显然，当时，与同向；当时，与反向.如果与的夹角是，我们说与垂直，记作.
作=, =,则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫做向量与的夹角.
1. 向量的夹角
已知两个非零向量, ，O是平面上的任意一点,
解：由 ·=||||cosθ, 得
cosθ =
=
= .
因为θ∈[0, π],
所以 θ = .
此步不可省略！
小结:由cosθ的值不能直接得出θ的值, 须由θ的取值范围确定.
3. 向量的投影
如图6.2-20(1),设与是两个非零向量, , ,
过的起点A和终点B, 分别作所在直线的垂线, 垂足分别为A1, B1, 得到,
或
(1)
问题2 根据数量积的概念，数量积有哪些性质？
课前预习
5．（2022春•聊城期末）若平面上的三个力F1，F2，F3作用于一点，且处于平衡状态．已知|F1|＝1N，|F3|＝2N，F1与F3的夹角为120°，则F2的大小为（ ）
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第4课时向量的数量积
【学习目标】
1.通过物理中“功”等实例，理解平而向量数疑积的含义及其物理、几何意义；
2.体会平而向量的数量积与向疑投影的关系：
3.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平而向量垂直
4.掌握数疑积的运算性质，了解用平而向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题：
【预学评价】
1•已知”|=4,冏=6, , a与〃的夹角为150° ,则a b= ___________ .
-12^3
2.判断下列各题正确与否：
①若a b = O,则“ =0 或b = O; ( X )
②若a-b = Q ,则叶问=0 ; ( X )
③若“ =0,则对任一向量以有a b=Ot ( J )
④若“丄则“•〃=();(J)
⑤对任意向量a、b、c都有(a-b).c =a-(b-c).( X )
3.__________________________________ 正三角形磁的边长为2,则丽反 = .
-2
4.己知同=5, |列=6, a 〃〃 ,则a b = _______ .；
±30
平面向量数量积(内积)的定义：已知两个非零向量a与方，它们的夹角是“，则数量|a|问cos&叫“与”的数量积，记作a b,
即a」二\a\\b\cos0(O<0<^)并规左0与任何向量的数量积为0.
当a与“同向时,a b =|«||Z>|:当“与〃反向时，ab = -|«||^|:
“丄b <=> a ・b = 0 $ cos& = 0 :
特别地，a a = a~ - ”「。
平面向量的数量积的几何意义：“小等于a的长度问与&在“方向上投影|^|cose 的乘积【经典范例一】
例1已知向量a , b的夹角为0, |“| = 3 ,0| = 4,分別在下列条件下求“丄
(1) o =150° : (2) a //b(3) “丄〃
答案(1)a-ft = |a||^|cos^ = 3x4xcosl50° =—6>/3
(2)当a 〃方时，则0=0°或180°
若0 二0° 时，a b = \2
若0 =180° 时，a b = -\2
(3)当“丄方时，a b=Q
说明两个向量的数量枳由两个向量的模和他们的夹角以及他们的夹角三个要素决定的，因此准确地求出两向量的模和•余弦值是关键。
例2 已知三角形ABC 中BC = a, G4 = Zi, AB = cJfl| = 3 , |^| = 4t |c| = 5 求a b+b c+c a的值。
分析AABC为直角三角形，求出两锐角的余弦值，再由向量数量积运算求解。
4 3
解法一由已知条件，可知，故cos A = - , cos B =二,cosC = 0.
则a・ b + b・c + c・a — |a||ft|(—cosC) ■ |Z>||c|(—cos A) ■ ”|c(一cosB) ■ —25。
解法二在ZXABC 中”+〃+c = 0
(« +b + c)2 =a2 +b2 +c2 + 2(a ・b+b・c+“ ・c)
=”「+卩「+|c「+ 2(a b + b c+a -c) = 50+2(a b + b c+a -c) = 0
可得“•〃+方・c+c・“ = —25 o
说明以三角形为背景的问题求解中要准确把握三角形的内角与向量夹角的关系。
【随堂练习一】
1.已知0、〃是两个非零向量，判断下列结论是否正确
①0・“=0；( X ) ②”•冲=叶问;(X )
③若a2 -bi1则“=切；(X ) ④若“上=匕|卩|则a〃〃. ( 4 )
2.已知阀二6, |列二4, a ,"的夹角为30。
求：⑴ a b (2) a2 (3) b2
答案：(1) \2羽(2) 36 (3) 16
3•己知|«|=10,问二12,且(3a)-(-Z>) = -36,贝怙与〃的夹角是 _________ •
答案：120°
【经典范例二】
例3已知向量a,方的夹角为120。
，且同=4, 0| = 2,
求(1)(站-加)•(滋+〃)
(2) \3a-4b\
分析先根据数量积的泄义求岀“小,然后利用运算率及性质求解
解a •b = |t/||Z>|cos^ = 4x2xcosl20: =—4
(1)(跖一加)・(滋+方)=一8</ + 1%小 + 站2=一156
(2)因为国一彻‘=9/一2滋小+ 16^=304
所以|3«-4^| = 4V19
说明於=叶即问=罰我们经常利用这一关系研究向虽的模.
例4设向量0 , b满足|a| = |^| = 1, |3«-2^| = 3求丙+列值解由条件，得阀‘=问'=1, |3« —%『=9, 所以9叶+4”_1加"=9,所以” b = L
所以国+〃「= 9”「+问’+幺鼻=9 + 2 + 1 = 12
所以|引+冲=2省.
例5 x =a —b , y = 2a +b ,且”| =问=1, “ 丄〃，求x 与y 的夹角. 解因为“丄方，所以a b=Q
|x|2=(a-b)'=”「—2a •方+晴=2,闰=血
\y[=(加=4”「一滋•〃+ ”「二5, |j| = >/5
x y = (a —b)'(2a +b)= 2|«|~ _"•方「二1
【随堂练习二】
1・已知向量a, 〃的夹角为60。
，且间=1, \b\ = 2,求
(1) (a + b)2(2) (a-b)2(3) (“+〃)•(“一〃)
答案：(1) 7 (2) 3 (3) -3
2.已知向量a，〃的夹角为60° ,且问=4,(站+场)・(“一3〃)=一72, 求向量“的模.
答案：|“| = 6
3•已知三角形個:中BC=a,CA=b^AB=c,\a\ = 3^ |^| = 4, \c\ = 2 求a b+b c+c a 的值.
【分层训练】
1. C 知向量a ，〃的夹角为60° ”| =问=1,则a (a-b)= __________ .
答案：；
2
2. __________________________________________ 若ab<0,则向量a, b 的夹角的取值范围是 ____________________________________________ •
答案：(訐1
3. 平行四边形MG?中BA=a.BC=b t \a\ = \b\,则丽•农二 _______________ .
答案：0
4. 已知a 和b 的夹角为60。
，冋=10,,卩| = 8求：
(1) \a + b\； (2) a + b 与a 的夹角&的余弦值 答案：(1) \a + b\ = 2^6\
(2) cosO = m\
61
5. 已知阀二2, \b\ = ^2, a 与方的夹角为45。
，要使Ab-a 与“垂直，则2 = _
答案：2
6. 已知 |a|=4, ”| = 5,
= 求(1) a b ； (2) (2a-b)-(a + 3b).
答案：(1) -10 (2) 93 7 .已知 |a|=4, \b\ = 3 , (1)若a 与 b 夹角为 60° ,求(“ +历)•(“ 一站);
(2)若(勿一3b)•(加+〃)二61,求a 与b 的夹角0.
答案：(1) 44 (2) 120°
8•若同=|方| = 1，与方的夹角120° ,那么实数2为何值时,\a-Ab\的值最小，
答案：A =——
答案：-
29 T
2
9.已知非零向量丽与走满足[皿 + 盛_]•就=0,且逛_.也=4则AABC
(l/WI \AC\丿\AB\ \AC\ 2 的形状为▲•
答案：等边三角形
10.已知平而上三个向量a、b、C的模均为1,它们相互之间的夹角均为120°.
(1)求证当(a-b)丄c (2)若|加+方+c|>l GwR),求几的取值范围.
证明(1) (a-b) c=|«||c|cosl20 -|^||c|cosl20 =0
故(“一〃)丄c・
(2) >1 的取值范围为(-8, o) U (2, +8).
【师生互动】。