高一数学人教B版必修1：3.1.1 实数指数幂及其运算 学案

第三章 基本初等函数(Ⅰ) §3.1 指数与指数函数 3.1.1 实数指数幂及其运算

自主学习

学习目标

1．了解指数函数模型的实际背景，体会引入有理数指数幂的必要性． 2．理解有理数指数幂的含义，知道实数指数幂的意义，掌握幂的运算．

自学导引

1．如果存在实数x ，使得________________，则x 叫做a 的n 次方根． 2．式子n

a 叫做________，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数． 3．(1)n ∈N *时，(n

a )n ＝________.

(2)n 为正奇数时，n a n ＝________；n 为正偶数时，n

a n ＝________.

4．分数指数幂的定义：(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：a m

n

＝________(a >0，m 、

n ∈N *，且m

n

为既约分数)；

(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：a －m n ＝________(a >0，m 、n ∈N *，且m

n

为既约

分数)；

(3)0的正分数指数幂等于________，0的负分数指数幂________________． 5．有理数指数幂的运算性质： (1)a r a s ＝________(a >0，r 、s ∈Q )； (2)(a r )s ＝________(a >0，r 、s ∈Q )； (3)(ab )r ＝________(a >0，b >0，r ∈Q )．

对点讲练

知识点一 根式与分数指数幂的互化

例1 用分数指数幂的形式表示下列各式(式中a >0)的化简结果：

(1)a 3·3

a 2；

(2)a a ；

(3)3

a 32·a －3·(a －

5)－12(a －12

)13.

规律方法 此类问题应熟练应用a m n

＝n

a m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．当所求根式含

有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简．

变式迁移1 将下列根式化成分数指数幂的形式：

(1)

13x (5x 2)2

； (2)(

4

b －23)－2

3

(b >0)．

知识点二 利用幂的运算性质化简、求值

例2 计算(或化简)下列各式：

(1)42＋1·23－

22·8－23；

(2)(0.064)－13－⎝⎛⎭⎫－780＋[(－2)3]－43＋16－0.75＋|－0.01|12

； (3)a －b

a 12＋

b 12－a ＋b －2a 12·b

1

2a 12－b 12(a >0，b >0)．

规律方法 一般地，进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数进行运算，便于进行乘、除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的．利用

乘法公式解决分数指数幂的化简求值问题，是简化运算的常用方法，熟练掌握a ＝(a 1

2

)2

(a >0)，a ＝(a 13)3以及a b －a －

b ＝(a b 2＋a －b 2)(a b 2－a －b 2

)等变形．

变式迁移2 求值：1.5－13×⎝⎛⎭

⎫－760＋80.25×42＋(3

2×3)6－⎝⎛⎭⎫－2323

.

知识点三 灵活应用——整体代入法

例3 已知x ＋y ＝12，xy ＝9，且x

x 12＋y 12

的值．

规律方法 “整体代入”方法在条件求值中非常重要，也是高中数学的一种重要的解题思想、解题方法，它反映了我们“把握全局”的能力．解题过程中不宜求出x 、y 后再代入，而应考虑把x ＋y 及xy 整体代入求值．

变式迁移3 已知x 12＋x －1

2＝3，求x 32＋x －32＋2x ＋x －1

＋3

的值．

1．理解好方根的概念，是进行根式的计算和化简的关键． 2．将根式转化为分数指数幂是化简求值的关键．

3．正整数指数幂的运算性质对于实数指数幂仍然适用，只是底数的范围缩小为a >0.(想一想，为什么？)

课时作业

一、选择题

1．下列根式与分数指数幂互化中正确的是( )

A ．－x ＝(－x )1

2

(x ≠0)

B ．x －13＝－3

x (x ≠0)

C ．(x y )－3

4＝ 4(y x )3(xy >0)

D.6

y 2＝y 13

(y <0)

2．计算(2n ＋

1)2×(12

)2n ＋1

4n

×8

－2(n ∈N *)的结果为( ) A.16

4 B ．22n ＋

5 C ．2n 2－2n ＋

6 D ．(12

)2n －

7

3．(3

4

a 6)2·(4

3a 6)2

等于( ) A ．a B ．a 2 C ．a 3

D ．a 4

4．把根式－25(a －b )－

2改写成分数指数幂的形式为( )

A ．－2(a －b )－25

B ．－2(a －b )－5

2

C ．－2(a －25－b －25)

D ．－2(a －52－b －5

2)

5．化简(a 43b 12)÷

⎝⎛⎭

⎫－13a 16b 142

的结果是( ) A ．6a B ．－a C ．－9a D ．9ª

二、填空题

6．计算：64－2

3的值是________．

7．化简－x 3

x

的结果是________．

8．设5x ＝4,5y ＝2，则52x －

y ＝________.

三、解答题 9．化简求值：

(1)(a －1)2＋(1－a )2＋3

(1－a )3；

(2)

3

a 72

a －3÷3a －83a 15÷3a －3a －

1； (3)(0.027)－13－⎝⎛⎭⎫－17－2＋2563

4

－3－1＋(2－1)0.

10．(1)若2x ＋2－x ＝3，求8x ＋8－

x 的值；

(2)已知a ＝－827，b ＝17

71，求a 23＋33

ab ＋9b 23a 43－27a 13

b ÷a 133a －33b 的值．