选修4-5 基本不等式
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3.消元法换元法求最值
一.利用基本不等式求最值
3.消元法换元法求最值
一.利用基本不等式求最值
3.消元法换元法求最值
一.利用基本不等式求最值 3.消元法换元法求最值
一.利用基本不等式求最值
4.其他方法求最值
一.利用基本不等式求最值 4.其他方法求最值
反思 感悟
在应用基本不等式求最值时，分以下三步进行 (1)首先看式子能否出现和(或积)的定值，若不具备，需对式子变形，凑出需要 的定值. (2)其次，看所用的两项是否同正，若不满足，通过分类解决，同负时，可提 取－1变为同正. (3)利用已知条件对取等号的情况进行验证.若满足，则可取最值，若不满足， 则可通过函数的单调性或导数解决.
第一讲 一 不等式
知识点 基本不等式
1.重要不等式
定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2 ≥ 2ab，当且仅当 a＝b 时，等号成立.
2.基本不等式
a＋b
(1)定理2：如果a，b＞0，那么 2 ≥ ab ，当且仅a当＝b
时，等号成立.
(2)定理2的应用：对两个正实数x，y， ①如果它们的和S是定值，则当且仅当 x＝y 时，它们的积P取得最 大 值； ②如果它们的积P是定值，则当且仅当 x＝y 时，它们的和S取得最 小 值.
二. 不等式证明
方法二 ∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1， ∴1a＋1b＋1c＝(a＋b＋c)1a＋1b＋1c ＝1＋ba＋ac＋ab＋1＋bc＋ac＋bc＋1 ＝3＋ba＋ab＋ac＋ac＋bc＋bc ≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a＝b＝c时，等号成立. ∴1a＋1b＋1c≥9.
引申探究 1.若本例条件不变，求证：ab2＋bc2＋ca2≥1.
当且仅当a＝b＝c时取等号.
反思 感悟
用基本不等式证明不等式时，应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变 形，使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式进行证明.
三、利用基本不等式解决实际应用问题
例3 某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2019年大型展 销会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量 x(万件)与年促销费用t(万元)之间满足3－x与t＋1成反比例的关系，如果不 搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2019年生产化妆品的设备 折旧、维修等固定费用为3万元，每生产 1万件化妆品需要投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生 产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能 销完. (1)将2019年的利润y(万元)表示为促销费用t(万元)的函数；
1.配凑法求最值
一.利用基本不等式求最值
一.利用基本不等式求最值
2.常数代换法求最值
一.利用基本不等式求最值
2.常数代换法求最值
一.利用基本不等式求最值
2.常数代换法求最值
一.利用基本不等式求最值
3.消元法换元法求最值
一.利用基本不等式求最值
3.消元法换元法求最值
一.利用基本不等式求最值
反思 感悟
利用不等式解决实际应用问题时，首先要仔细阅读题目，弄清要解决的实际 问题，确定是求什么量的最值；其次，分析题目中给出的条件，建立y的函数 表达式y＝f(x)(x一般为题目中最后所要求的量)；最后，利用不等式的有关知识 解题.求解过程中要注意实际问题对变量x的范围制约.
思考题
和定积最大，积定和最小
于基本不等式的应用，如果能熟练掌握一些常见结论，可使应用更加灵活快捷.
一.利用基本不等式求最值
1.配凑法求最值
一.利用基本不等式求最值
一.利用基本不等式求最值
1.配凑法求最值
一.利用基本不等式求最值
1.配凑法求最值
一.利用基本不等式求最值
1.配凑法求最值
一.利用基本不等式求最值
Leabharlann Baidu
(2)该企业2019年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？
解 y＝－t22＋t＋981t＋ 35＝50－t＋2 1＋t＋321 ≤50－2 t＋2 1×t＋321＝50－2 16＝42， 当且仅当t＋2 1＝t＋321， 即当t＝7时，等号成立，ymax＝42， ∴当促销费用定在7万元时，年利润最大.
证明 ∵a2＋b2≥2ab，∴2(a2＋b2)≥(a＋b)2. 又a，b，c∈R＋，
a＋b 2≤
a2＋b2 2 (a，b∈R＋).
∴ a2＋b2≥ 22|a＋b|＝ 22(a＋b). 同理， b2＋c2≥ 22(b＋c)， c2＋a2≥ 22(a＋c).
三式相加，得 a2＋b2＋ b2＋c2＋ c2＋a2≥ 2(a＋b＋c)＝ 2，
证明 ∵a2＋b2≥2ab， ∴ab2≥2a－b. 同理，bc2≥2b－c，ca2≥2c－a. ∴ab2＋bc2＋ca2≥(2a－b)＋(2b－c)＋(2c－a)＝a＋b＋c＝1， ∴ab2＋bc2＋ca2≥1. 当且仅当a＝b＝c时，取等号.
2.若本例条件不变，求证： a2＋b2＋ b2＋c2＋ c2＋a2≥ 2.
二. 不等式证明
证明 方法一 ∵a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1， ∴1a＋1b＋1c＝a＋ab＋c＋a＋bb＋c＋a＋bc ＋c ＝3＋ba＋ac＋ab＋bc＋ac＋bc ＝3＋ba＋ab＋ac＋ac＋bc＋bc ≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a＝b＝c时，等号成立. ∴1a＋1b＋1c≥9.
一.利用基本不等式求最值
3.消元法换元法求最值
一.利用基本不等式求最值
3.消元法换元法求最值
一.利用基本不等式求最值 3.消元法换元法求最值
一.利用基本不等式求最值
4.其他方法求最值
一.利用基本不等式求最值 4.其他方法求最值
反思 感悟
在应用基本不等式求最值时，分以下三步进行 (1)首先看式子能否出现和(或积)的定值，若不具备，需对式子变形，凑出需要 的定值. (2)其次，看所用的两项是否同正，若不满足，通过分类解决，同负时，可提 取－1变为同正. (3)利用已知条件对取等号的情况进行验证.若满足，则可取最值，若不满足， 则可通过函数的单调性或导数解决.
第一讲 一 不等式
知识点 基本不等式
1.重要不等式
定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2 ≥ 2ab，当且仅当 a＝b 时，等号成立.
2.基本不等式
a＋b
(1)定理2：如果a，b＞0，那么 2 ≥ ab ，当且仅a当＝b
时，等号成立.
(2)定理2的应用：对两个正实数x，y， ①如果它们的和S是定值，则当且仅当 x＝y 时，它们的积P取得最 大 值； ②如果它们的积P是定值，则当且仅当 x＝y 时，它们的和S取得最 小 值.
二. 不等式证明
方法二 ∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1， ∴1a＋1b＋1c＝(a＋b＋c)1a＋1b＋1c ＝1＋ba＋ac＋ab＋1＋bc＋ac＋bc＋1 ＝3＋ba＋ab＋ac＋ac＋bc＋bc ≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a＝b＝c时，等号成立. ∴1a＋1b＋1c≥9.
引申探究 1.若本例条件不变，求证：ab2＋bc2＋ca2≥1.
当且仅当a＝b＝c时取等号.
反思 感悟
用基本不等式证明不等式时，应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变 形，使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式进行证明.
三、利用基本不等式解决实际应用问题
例3 某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2019年大型展 销会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量 x(万件)与年促销费用t(万元)之间满足3－x与t＋1成反比例的关系，如果不 搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2019年生产化妆品的设备 折旧、维修等固定费用为3万元，每生产 1万件化妆品需要投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生 产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能 销完. (1)将2019年的利润y(万元)表示为促销费用t(万元)的函数；
1.配凑法求最值
一.利用基本不等式求最值
一.利用基本不等式求最值
2.常数代换法求最值
一.利用基本不等式求最值
2.常数代换法求最值
一.利用基本不等式求最值
2.常数代换法求最值
一.利用基本不等式求最值
3.消元法换元法求最值
一.利用基本不等式求最值
3.消元法换元法求最值
一.利用基本不等式求最值
反思 感悟
利用不等式解决实际应用问题时，首先要仔细阅读题目，弄清要解决的实际 问题，确定是求什么量的最值；其次，分析题目中给出的条件，建立y的函数 表达式y＝f(x)(x一般为题目中最后所要求的量)；最后，利用不等式的有关知识 解题.求解过程中要注意实际问题对变量x的范围制约.
思考题
和定积最大，积定和最小
于基本不等式的应用，如果能熟练掌握一些常见结论，可使应用更加灵活快捷.
一.利用基本不等式求最值
1.配凑法求最值
一.利用基本不等式求最值
一.利用基本不等式求最值
1.配凑法求最值
一.利用基本不等式求最值
1.配凑法求最值
一.利用基本不等式求最值
1.配凑法求最值
一.利用基本不等式求最值
Leabharlann Baidu
(2)该企业2019年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？
解 y＝－t22＋t＋981t＋ 35＝50－t＋2 1＋t＋321 ≤50－2 t＋2 1×t＋321＝50－2 16＝42， 当且仅当t＋2 1＝t＋321， 即当t＝7时，等号成立，ymax＝42， ∴当促销费用定在7万元时，年利润最大.
证明 ∵a2＋b2≥2ab，∴2(a2＋b2)≥(a＋b)2. 又a，b，c∈R＋，
a＋b 2≤
a2＋b2 2 (a，b∈R＋).
∴ a2＋b2≥ 22|a＋b|＝ 22(a＋b). 同理， b2＋c2≥ 22(b＋c)， c2＋a2≥ 22(a＋c).
三式相加，得 a2＋b2＋ b2＋c2＋ c2＋a2≥ 2(a＋b＋c)＝ 2，
证明 ∵a2＋b2≥2ab， ∴ab2≥2a－b. 同理，bc2≥2b－c，ca2≥2c－a. ∴ab2＋bc2＋ca2≥(2a－b)＋(2b－c)＋(2c－a)＝a＋b＋c＝1， ∴ab2＋bc2＋ca2≥1. 当且仅当a＝b＝c时，取等号.
2.若本例条件不变，求证： a2＋b2＋ b2＋c2＋ c2＋a2≥ 2.
二. 不等式证明
证明 方法一 ∵a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1， ∴1a＋1b＋1c＝a＋ab＋c＋a＋bb＋c＋a＋bc ＋c ＝3＋ba＋ac＋ab＋bc＋ac＋bc ＝3＋ba＋ab＋ac＋ac＋bc＋bc ≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a＝b＝c时，等号成立. ∴1a＋1b＋1c≥9.