数列与数学归纳法专项训练(含答案)(新)
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数列与数学归纳法专项训练
1.如图,曲线2
(0)y x y =≥上的点i P 与x 轴的正半轴上的点i Q 及原点O 构成一系列正三角形△OP 1Q 1,△Q 1P 2Q 2,…△Q n-1P n Q n …设正三角形1n n n Q P Q -的边长为n a ,n ∈
N ﹡(记0Q 为O ),(),0n n Q S .(1)求1a 的值; (2)求数列{n a }的通
项公式n a 。
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
2. 设{}{},n n a b 都是各项为正数的数列,对任意的正整数n ,都有21,,n n n a b a +成等差数列,2211,,n n n b a b ++成等比数列.
(1)试问{}n b 是否成等差数列?为什么?
(2)如果111,2a b ==,求数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n S .
3. 已知等差数列{n a }中,2a =8,6S =66.
(Ⅰ)求数列{n a }的通项公式;
(Ⅱ)设n n a n b )1(2+=
,n n b b b T +++= 21,求证:n T ≥16
.
4. 已知数列{n a }中5
31=
a ,112--=n n a a (n ≥2,+∈N n ),数列}{n
b ,满足11-=n n a b (+∈N n ) (1)求证数列{n b }是等差数列;
(2)求数列{n a }中的最大项与最小项,并说明理由;
(3)记++=21b b S n …n b +,求
)1(lim -∞
→n b n n .
5. (Ⅰ (Ⅱ (Ⅲn 项的
6. (1(2
7. 已知数列{}n a 各项均不为0,其前n 项和为n S ,且对任意*∈N n ,都有
n n pa p S p -=⋅-)1((p 为大于1的常数),并记
n
n n n n n n S a C a C a C n f ⋅⋅++⋅+⋅+=21)(2211 .
(1)求n a ; (2)比较)1(+n f 与)(21n f p
p ⋅+的大小*∈N n ; (3)求证:⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⋅-+≤≤⋅---=∑1212111111)()()12(n n i p p p p i f n f n (*∈N n ).
8. 已知n N *∈,各项为正的等差数列{}n a 满足
263521,10a a a a ⋅=+=,又数列{}lg n b 的前n 项和是
()()11lg312
n S n n n n =+--。 (1)求数列{}n a 的通项公式;
(2)求证数列{}n b 是等比数列;
(3)设n n n c a b =,试问数列{}n c 有没有最大项?如果有,求出这个最大项,如果没有,说
明理由。
9. 设数列{}n a 前项和为n s ,且(3),(32)+∈+=+-N n m ma s m n n ,其中m 为常数,m .3≠
(1) 求证:是等比数列;
若数列{}n a 的公比q=f(m),数列{}n b 满足),2,)((231,11≥∈=
=+-n N n b f b a b n n 求证:⎭
⎬⎫⎩⎨
⎧n b 1为等差数列,求n b .
10. 已知数列}{n a 满足:,21,121==a a 且0]1)1[(22])1(3[2=--+--++n n n n a a ,*N n ∈.
(Ⅰ)求3a ,4a ,5a ,6a 的值及数列}{n a 的通项公式;
(Ⅱ)设n n n a a b 212⋅=-,求数列}{n b 的前n 项和n S ;
11. 组13T =-(1(2(3
12. 23010S (Ⅰ)求{}n a 的通项;
(Ⅱ)求{}n nS 的前n 项和n T 。
13. 设数列}{n a 是首项为0的递增数列,(N n ∈),,)(1sin
)(n n a x n x f -=,[n a x ∈]1+n a
满足:对于任意的b x f b n =∈)(),1,0[总有两个不同的根。
(1)试写出)(1x f y =,并求出2a ;
(2)求n n a a -+1,并求出}{n a 的通项公式;
(3)设n n n a a a a a S 14321)1(--++-+-= ,求n S 。
14.
2的等(Ⅰ
15. A 口
)时,在B (1)的关(2)n S
16. 已知数列}{n a ,其前n 项和S n 满足λλ(121+=+n n S S 是大于0的常数),且a 1=1,a 3=4.
(1)求λ的值;
(2)求数列}{n a 的通项公式a n ;
(3)设数列}{n na 的前n 项和为T n ,试比较
2
n T 与S n 的大小.
17. 定义:若数列{}n A 满足21n n A A +=,则称数列{}n A 为“平方递推数列”.已知数列{}n a 中,
12a =,且2122n n
n a a a +=+,其中n 为正整数. (1)设21n n b a =+,证明:数列{}n b 是“平方递推数列”,且数列{lg }n b 为等比数列;
(2)设(1)中“平方递推数列” {}n b 的前n 项之积为n T ,即12(21)(21)(21)n n T a a a =+++,
求数列{}n a 的通项及n T 关于n 的表达式;
(3)记21log n n a n c T +=,求数列{}n c 的前n 项之和n S ,并求使2008n S >的n 的最小值.
18.
C 2 ( A C (
19. (1 (2
20. 已知数列{a n }中,a 11=,a a a n n n =+
--111(n =2,3,4,…) (I )求a a 23、的值;
(II )证明当n =2,3,4,…时,2132n a n n -<≤
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