公式法解一元二次方程公开课
人教版九年级数学上册《公式法解一元二次方程》公开课说课稿
人教版九年级数学上册《公式法解一元二次方程》公开课说课稿一. 教材分析《公式法解一元二次方程》是人教版九年级数学上册的一节重要内容。
这一节内容是在学生已经掌握了方程的解法、一元二次方程的定义等知识的基础上进行学习的。
通过这一节内容的学习，使学生掌握一元二次方程的解法，能够熟练运用公式法求解一元二次方程，培养学生解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对一元二次方程的概念和性质有一定的了解。
但是，对于公式法解一元二次方程的步骤和应用，还需要进一步的引导和培养。
因此，在教学过程中，要注重引导学生掌握公式法解题的步骤，培养学生的解题能力。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握一元二次方程的解法，能够熟练运用公式法求解一元二次方程。
2.过程与方法目标：通过学生的自主探究、合作交流，培养学生的解决问题能力和合作精神。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自信心和积极的学习态度。
四. 说教学重难点1.教学重点：使学生掌握公式法解一元二次方程的步骤和应用。
2.教学难点：如何引导学生理解并掌握一元二次方程的解法，能够灵活运用到实际问题中。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作法等教学方法，引导学生自主探究、合作交流。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等教学手段，进行生动、直观的教学。
六. 说教学过程1.导入：通过复习一元二次方程的定义和解法，引导学生进入本节内容的学习。
2.自主探究：让学生自主探究公式法解一元二次方程的步骤，引导学生发现解题规律。
3.案例教学：通过典型案例的讲解，使学生掌握公式法解题的方法和技巧。
4.小组合作：让学生进行小组合作，共同解决实际问题，培养学生的合作精神和解决问题的能力。
5.总结提升：对本节内容进行总结，强化学生对公式法解一元二次方程的理解和掌握。
6.巩固练习：布置适量的练习题，让学生进行巩固练习，提高解题能力。
2022年初中数学精品教案《用公式法解一元二次方程》公开课专用
用公式法解一元二次方程教学目标【知识与能力】理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念．【过程与方法】会熟练应用公式法解一元二次方程．【情感态度价值观】通过探索一元二次方程的求根公式，进一步培养推理能力和符号意识．教学重难点【教学重点】求根公式的推导和公式法的应用．【教学难点】一元二次方程求根公式法的推导．课前准备无教学过程复习引入1.(学生活动)解下列方程：(1)x 2-8x +7=0 (2)x 2+4x +1=0老师点评：我们前一节课，已经学习了如何解左边含有x 的完全平方形式，右边是非负数，不可以直接开方降次解方程的转化问题，那么这两道题也可以用上面的方法进行解题． 解：(1)x 2-8x +(-4)2+7-(-4)2=0(x -4)2=9x -4=±3即x 1=7，x 2=1(2)x 2+4x =-1x 2+4x +22=-1+22(x +2)2=3即xx 1，x 2-2运用配方法，我们已经会解解一般形式的一元二次方程02=++c bx ax 吗？试一试.因为0≠a ，方程两边都除以a ，得移项，得 两边都加上22⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a b ，得a c ab a b a b x x -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅+2222222， 即.222442aac b a b x -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 由于4a 2＞0，所以当b 2-4ac≥0时，由平方根的意义，得移项，得 即.aac b b x 242-±-= 一般地，对于一元二次方程ax 2+bx +c =0，当b 2-4ac ≥0时，它的根是用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法．3.例题解析：例1 用公式法解方程：（1）2x 2+5x -3=0； （2）4x 2=9x .例2 用公式法解方程例3 用公式法解方程，并求根的近似值（精确到0.01）：（x +1）（3x -1）=1.4.随堂演练：用公式法解方程：2x 2-9x +8=0计算：b 2-4ab 的值；代入：把有关数值代入公式计算；定根：写出原方程的根.用公式法解一元二次方程的一般步骤：1、把方程化成一般形式，并写出a 、b 的值；2、求出b 2-4ab 的值；3、代入求根公式；4、写出方程的解；归纳小结本节课应掌握：公式法的概念及用其解一元二次方程的步骤． 第1课时 代入法1．会用代入法解二元一次方程组．(重点)一、情境导入《一千零一夜》中有这样一段文字：有一群鸽子，其中一部分在树上，另一部分在地上．树上的一只鸽子对地上的鸽子说：“若从你们中飞上来一只，则地上的鸽子为整个鸽群的三分之一；若从树上飞下去一只，则树上、地上的鸽子一样多．”你知道树上、地上各有多少只鸽子吗？我们可以设树上有x 只鸽子，地上有y 只鸽子，得到方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3（y －1），x －1＝y ＋1.可是这个方程组怎么解呢？有几种解法？二、合作探究探究点：用代入法解二元一次方程组 【类型一】 用代入法解二元一次方程组用代入法解下列方程组：(1)⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝－19，①x ＋5y ＝1；② (2)⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＝1，①y ＋14＝x ＋23.② 解析：对于方程组(1)，比较两个方程系数的特点可知应将方程②变形为x ＝1－5y ，然后代入①求解；对于方程组(2)，应将方程组变形为⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＝1，③4x －3y ＝－5，④观察③和④中未知数的系数，绝对值最小的是2，一般应选取方程③变形，得x ＝3y ＋12. 解：(1)由②，得x ＝1－5y.③把③代入①，得2(1－5y)＋3y ＝－19，2－10y ＋3y ＝－19，－7y ＝－21，y ＝3.把y ＝3代入③，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－14，y ＝3. (2)将原方程组整理，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＝1，③4x －3y ＝－5.④ 由③，得x ＝3y ＋12.⑤ 把⑤代入④，得2(3y ＋1)－3y ＝－5，3y ＝－7，y ＝－73. 把y ＝－73代入⑤，得x ＝－3. 所以原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－73. 方法总结：用代入法解二元一次方程组，关键是观察方程组中未知数的系数的特点，尽可能选择变形后比较简单的或代入后容易消元的方程进行变形．【类型二】 整体代入法解二元一次方程组解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋13＝2y ，①2（x ＋1）－y ＝11.②解析：把(x ＋1)看作一个整体代入求解．解：由①，得x ＋1＝6y.把x ＋1＝6y 代入②，得2×6y－y ＝11.解得y ＝1.把y ＝1代入①，得x ＋13＝2×1，x ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝1.方法总结：当所给的方程组比较复杂时，应先化简，但若两方程中含有未知数的部分相等时，可把这一部分看作一个整体求解．【类型三】 已知方程组的解，用代入法求待定系数的值已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1是二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝7，ax －by ＝1的解，则a －b 的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．2 D ．3解析：把解代入原方程组得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝7，2a －b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，. 方法总结：解这类题就是根据方程组解的定义求，即将解代入方程组，得到关于字母系数的方程组，解方程组即可．三、板书设计解二元一,次方程组)⎩⎪⎨⎪⎧基本思路是“消元”代入法解二元一次方程组的一般步骤 回顾一元一次方程的解法，借此探索二元一次方程组的解法，使得学生的探究有很好的认知基础，探究显得十分自然流畅．充分体现了转化与化归思想．引导学生充分思考和体验转化与化归思想，增强学生的观察归纳能力，提高学生的学习能力．第4课时“斜边、直角边”1．理解并掌握三角形全等的判定方法——“斜边、直角边”．(重点)2．经历探究“斜边、直角边”判定方法的过程，能运用“斜边、直角边”判定方法解决有关问题．(难点)一、情境导入舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量．(1)你能帮他想个办法吗？(2)如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”，你相信他的结论吗？二、合作探究探究点一：应用“斜边、直角边”判定三角形全等如图，已知∠A ＝∠D ＝90°，E 、F 在线段BC 上，DE 与AF 交于点O ，且AB ＝CD ，BE ＝CF .求证：Rt △ABF ≌Rt △DCE .解析：由题意可得△ABF 与△DCE 都为直角三角形，由BE ＝CF 可得BF ＝CE ，然后运用“HL ”即可判定Rt △ABF 与Rt △DCE 全等．证明：∵BE ＝CF ，∴BE ＋EF ＝CF ＋EF ，即BF ＝CE .∵∠A ＝∠D ＝90°，∴△ABF 与△DCE都为直角三角形．在Rt △ABF 和Rt △DCE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BF ＝CE ，AB ＝CD ， ∴Rt △ABF ≌Rt △DCE (HL)．方法总结：利用“HL ”判定三角形全等，首先要判定这两个三角形是直角三角形，然后找出对应的斜边和直角边相等即可．探究点二：“斜边、直角边”判定三角形全等的运用 【类型一】 利用“HL ”判定线段相等如图，已知AD ，AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高，如果AD ＝AF ，AC ＝AE .求证：BC ＝BE .解析：根据“HL ”证Rt △ADC ≌Rt △AFE ，得CD ＝EF ，再根据“HL ”证Rt △ABD ≌Rt △ABF ，得BD ＝BF ，最后证明BC ＝BE .证明：∵AD ，AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高，且AD ＝AF ，AC ＝AE ，∴Rt △ADC ≌Rt △AFE (HL)．∴CD ＝EF .∵AD ＝AF ，AB ＝AB ，∴Rt △ABD ≌Rt △ABF (HL)．∴BD ＝BF .∴BD －CD ＝BF －EF .即BC ＝BE .方法总结：证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL ”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件． 【类型二】 利用“HL ”判定角相等或线段平行如图，AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，AB ＝AD ，求证：∠1＝∠2.解析：要证角相等，可先证明全等．即证Rt △ABC ≌Rt △ADC ，进而得出角相等． 证明：∵AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，∴∠B ＝∠D ＝90°，∴△ABC 与△ACD 为直角三角形．在Rt△ABC 和Rt △ADC 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，AC ＝AC ，∴Rt △ABC ≌Rt △ADC (HL)，∴∠1＝∠2. 方法总结：证明角相等可通过证明三角形全等解决．【类型三】 利用“HL ”解决动点问题如图，有一直角三角形ABC ，∠C ＝90°，AC ＝10cm ，BC ＝5cm ，一条线段PQ ＝AB ，P 、Q 两点分别在AC 上和过A 点且垂直于AC 的射线AQ 上运动，问P 点运动到AC 上什么位置时△ABC 才能和△APQ 全等？解析：本题要分情况讨论：(1)Rt △APQ ≌Rt △CBA ，此时AP ＝BC ＝5cm ，可据此求出P 点的位置．(2)Rt △QAP ≌Rt △BCA ，此时AP ＝AC ，P 、C 重合．解：根据三角形全等的判定方法HL 可知：(1)当P 运动到AP ＝BC 时，∵∠C ＝∠QAP ＝90°.在Rt △ABC 与Rt △QPA 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AP ＝BC ，PQ ＝AB ，∴Rt △ABC ≌Rt △QPA (HL)，∴AP ＝BC ＝5cm ；(2)当P 运动到与C 点重合时，AP ＝AC .在Rt △ABC 与Rt △QPA中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AP ＝AC ，PQ ＝AB ，∴Rt △QAP ≌Rt △BCA (HL)，∴AP ＝AC ＝10cm ，∴当AP ＝5cm 或10cm 时，△ABC 才能和△APQ 全等．方法总结：判定三角形全等的关键是找对应边和对应角，由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．【类型四】 综合运用全等三角形的判定方法判定直角三角形全等如图，CD ⊥AB 于D 点，BE ⊥AC 于E 点，BE ，CD 交于O 点，且AO 平分∠BAC .求证：OB ＝OC .解析：已知BE ⊥AC ，CD ⊥AB 可推出∠ADC ＝∠BDC ＝∠AEB ＝∠CEB ＝90°，由AO 平分∠BAC 可知∠1＝∠2，然后根据AAS 证得△AOD ≌△AOE ，根据ASA 证得△BOD ≌△COE ，即可证得OB ＝OC .证明：∵BE ⊥AC ，CD ⊥AB ，∴∠ADC ＝∠BDC ＝∠AEB ＝∠CEB ＝90°.∵AO 平分∠BAC ，∴∠1＝∠2.在△AOD 和△AOE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠ADC ＝∠AEB ，∠1＝∠2，OA ＝OA ，∴△AOD ≌△AOE (AAS)．∴OD ＝OE .在△BOD 和△COE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠BDC ＝∠CEB ，OD ＝OE ，∠BOD ＝∠COE ，∴△BOD ≌△COE (ASA)．∴OB ＝OC .方法总结：判定直角三角形全等的方法除“HL ”外，还有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS.三、板书设计“斜边、直角边”1．斜边、直角边：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．简记为“斜边、直角边”或“HL ”．2．方法归纳：(1)证明两个直角三角形全等的常用方法是“HL ”，除此之外，还可以选用“SAS ”“ASA ”“AAS ”以及“SSS”．(2)寻找未知的等边或等角时，常考虑转移到其他三角形中，利用三角形全等来进行证明．本节课的教学主要通过分组讨论、操作探究以及合作交流等方式来进行．在探究直角三角形全等的判定方法——“斜边、直角边”时，要让学生进行合作交流．在寻找未知的等边或等角时，常考虑将其转移到其他三角形中，利用三角形全等来进行证明．此外，还要注重通过适量的练习巩固所学的新知识．。
《公式法》教案 (公开课)2022年(1)
公式法(一)教学目标(一)教学知识点1．一元二次方程的求根公式的推导2．会用求根公式解一元二次方程(二)能力训练要求1．通过公式推导，加强推理技能训练，进一步开展逻辑思维能力．2．会用公式法解简单的数字系数的一元二次方程．教学重点一元二次方程的求根公式．教学难点求根公式的条件：b 2-4ac ≥0教学方法讲练相结合教学过程Ⅰ．出示自学指导：小组讨论以下一元二次方程的解法，5分钟后交流解法．1．用配方法解方程2x 2-7x+3＝0．解：2x 2-7x+3＝0，两边都除以2，得x 2-2327+x =0． 移项，得 x 2-2327-=x . 配方，得x 2-,)47(23)47(2722-+-=-+x (x-1625)472=x . 两边分别开平方，得 x-4547±=, 即x- 4547=或x-4547-=. ∴x 1=3，x 2=21． 接下来大家来试着做一做下面的练习．1．用配方法解以下关于x 的方程：(1)x 2+ax ＝1；(2)x 2+2bx+4ac ＝0．(1)解x 2+ax ＝1， 配方得x 2+ax+(2a )2＝1+(2a)2，(x+2a )2=442a +．两边都开平方，得 x+2a ＝±242a +， 即x+2a ＝242a +，x+2a =-242a +. ∴x 1=242a a ++-， x 2＝242a a +-- (2)解x 2-2bx+4ac ＝0，移项，得x 2+2bx ＝-4ac ．配方，得x 2-2bx+b 2＝-4ac+b 2，(x+b)2=b 2-4ac ．两边同时开平方，得x+b ＝±ac b 42-，即 x+b ＝ac b 42-，x+b ＝-ac b 42-∴x 1=-b+ac b 42-，x 2＝-b-ac b 42-〔是否正确？〕根据平方根的性质知道：只有正数和零才有平方根，即只有在b 2-4ac ≥0时，才可以用开平方法解出x 来．所以，在这里应该加一个条件：b 2-4ac ≥0．同学们来想一想，讨论讨论， 有道理吗?从以上解题过程中，我们发现：利用配方法解一元二次方程的根本步骤是相同的．因此，如果能用配方法解一般的一元二次方程ax 2+bx+c ＝0(a ≠0)，得到根的一般表达式，那么再解一元二次方程时，就会方便简捷得多．这节课我们就来探讨一元二次方程的求根公式．Ⅱ．解决问题刚刚我们已经利用配方法求解了几个一元二次方程，那你能否利用配方法的根本步骤解方程ax 2+bx+c ＝0(a ≠0)呢?大家可参照解方程2x 2-7x+3＝0的步骤进行．因为方程的二次项系数不为1，所以首先应把方程的二次项系数变为1，即方程两边都除以二次项系数a ，得 x 2+ ac x a b +=0． 因为这里的二次项系数不为0，所以，方程ax 2+bx+c ＝0(a ≠0)的两边都除以a 时，需要说明a ≠0．以前我们解的方程都是数字系数，显然就可以看到：二次项系数不为0，所以无需特殊说明，而方程ax 2+bx+c ＝0(a ≠0)的两边都除以a 时，必须说明a ≠0．好，接下来该如何呢?移项，得x 2+ac x a b -= 配方，得x 2+22)2()2(a b a c a b x a b +-=+, (x+22244)2aac b a b -=. 这时，可以直接开平方求解吗?因为a ≠0，所以4a 2>0．当b 2-4ac ≥0时，就可以开平方．在进行开方运算时，被开方数必须是非负数，即要求2244aac b -≥0．因为4a 2>0恒成立，所以只需b 2-4ac 是非负数即可． 因此，方程(x+a b 2)2＝2244a ac b -的两边同时开方，得x+a b 2=±2244aac b -. 大家来想一想，讨论讨论：±2244a ac b -=±a ac b 242-吗? ……当b 2-4ac ≥0时， x+a b 2=±2244a ac b -=±||242a ac b - 因为式子前面有双重符号“±〞，所以无论a>0还是a<0，都不影响最终的结果：±aac b 242- 所以x+a b 2=±aac b 242-, x=-a b 2±aac b 242- =aac b b 242-±-−−−−→−a 两边都除以 −−→−配方x=aac b b 242-±- (b 2-4ac ≥0)， 一般地，对于一元二次方程ax 2+bx+c ＝0(a ≠0)，当b 2-4ac ≥0时，它的根是 x=aac b b 242-±- 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法．(Solving by formular)由此我们可以看到：一元二次方程ax 2+bx+c ＝0(a ≠0)的根是由方程的系数a 、b 、c 确定的．因此，在解一元二次方程时，先将方程化为一般形式，然后在b 2-4ac ≥0的前提条件下，把各项系数a 、b 、c 的值代入，就可以求得方程的根．注：(1)在运用求根公式求解时，应先计算b 2-4ac 的值；当b 2-4ac ≥0时，可以用公式求出两个不相等的实数解；当b 2-4ac ＜0时，方程没有实数解．就不必再代入公式计算了．(2)把方程化为一般形式后，在确定a 、b 、c 时，需注意符号．接下来，我们来看一例题． [例题]解方程x 2-7x-18＝0．分析：要求方程x 2-7x-18＝0的解，需先确定a 、b 、c 的值．注意a 、b 、c 带有符号．解：这里a ＝1，b ＝-7，c ＝-18．∵b 2-4ac=(-7)2-4×1×(-18)＝121＞0，∴x=2117121217±=⨯±, x 1＝9，x 2＝-2．我们来共同总结一下用公式法解一元二次方程的一般步骤．(1)把方程化为一般形式，进而确定a 、b ，c 的值．(注意符号)(2)求出b 2-4ac 的值．(先判别方程是否有根)(3)在b 2-4ac ≥0的前提下，把a 、b 、c 的直代入求根公式，求出a ac b b 242-±-的值，最后写出方程的根．接下来我们通过练习来稳固用公式法求解一元二次方程的方法．Ⅲ．课堂练习课本P 51随堂练习 1、2Ⅳ．课时小结−−→−≥-如果042ac b这节课我们探讨了一元二次方程的另一种解法——公式法．(1)求根公式的推导，实际上是“配方〞与“开平方〞的综合应用．对于a ≠0，b 2-4ac≥0。
18.2一元二次方程的解法(公式法)公开课
一元二次方程的解法——公式法教学目标：知识与技能目标1.让学生熟练应用一元二次方程求根公式解一元二次方程；2.通过公式的引入，培养学生抽象思维能力． 过程与方法目标1.让学生经历一元二次方程求根公式的推导过程，感受分类思想；2.让学生在实践中运用公式法解一元二次方程，体会求根公式的结构特点． 情感态度与价值观目标1. 通过一元二次方程求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想；2. 培养学生寻求简便方法的探索精神及创新意识．重点和难点重点：让学生掌握一元二次方程求根公式解一元二次方程； 难点：对字母系数二次三项式进行配方．教具准备 多媒体课件教学过程一、创设情境，导入新课问题 思考如何用配方法解下列方程？二、探究归纳，讲解新课让学生独立解决问题，并思考：用配方法解一元二次方程的步骤怎样？关键是什么？用配方法解一元二次方程的步骤： （1）化二次项系数为1； （2）移项；（3）配方：方程两边都加上一次项系数的一半的平方；（4）开方：如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．让学生仿问题（1），讨论尝试求解问题（2）；当二次项系数不为1时，如何应用配方法？指出 当二次项系数不为1时，只要在方程两边同除以二次项的系数，将方程转化为二次项系数为1的方程． 探索我们来讨论一般形式的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的解． 用配方法来解一般形式的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)．22(1)1510(2)980x x x x +=-+= 2因为a ≠0，所以可以把方程的两边都除以二次项的系数a ，得02=++ac x a b x，移项，得ac x ab x-=+2，配方，得22222⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎪⎭⎫⎝⎛++a b a ca b x a bx ，即222442aac b a b x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+．因为a ≠0，所以4a 2＞0，当b 2-4ac ≥0时，得22442aac b ab x -±=+，即aac bab x 2422-±=+．所以aac b ab x 2422-±-=，即aac b b x 242-±-=．上面的式子叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式．用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法．从上面的结论可以发现：(1)一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根是由一元二次方程的系数a 、b 、c 确定的．(2)在解一元二次方程时，可先把方程化为一般形式，然后在b 2-4ac ≥0的前提下，把a 、b 、c 的值代入aacbb x 242-±-=(b 2-4ac ≥0)中，可求得方程的两个根．思考当 b 2-4ac ＜0时，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根怎样？三、实践应用，讲解例题 例1 解方程：242=+x x解:将方程化为一般式，得2x ＋4x －2＝0 (1)这里a=1 b=4 c=-2 ∴622244±-=±-=x原方程的解是x 1＝-2＋6,x 2＝-2-6.在教师的引导下，学生回答，教师板书，提醒学生一定要先“代”后“算”．不要边代边算，易出错．并引导学生总结步骤 ：(1)确定a 、b 、c 的值；(2)算出b 2-4ac 的值；(3)代入求根公式求出方程的根．例2 运用公式法解下列方程： （1）32322=--x x （2）x x 3232=+解：（1）方程两边同乘以 3得 2 2x -3x-2=0 a=2，b= -3，c= -2. ∴b 2-4ac =(-3) 2-4×2×(-2)=25.aac b b x 242-±-=()45322253±=⨯±--=∴x 1＝2,x 2＝21-.()242144422=-⨯⨯-=-ac b()3143243,32,10332x )2(222=⨯⨯--=-=-===+-ac b c b a x 移向，得3232120)32(==⨯±--=x321==x x四、交流反思1.一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式aacbb x 242-±-=(b 2-4ac ≥0)．利用公式法求一元二次方程的解的步骤：(1)化方程为一般式；(2)确定a 、b 、c的值；(3)算出b 2-4ac 的值；(4)代入求根公式求根．2.通过上面的例1和例2，可以发现，在应用求根公式时，一定要先算b 2-4ac的值．当b 2-4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数解；当b 2-4ac ＝0时，方程有两个相等的实数解；当 b 2-4ac ＜0时，方程没有实数解．3.解一元二次方程的方法有：直接开平方法、配方法和公式法，对于各种类型的一元二次方程，可以用不同的方法求解，在具体求解时，应当根据方程的特点，灵活运用各种方法．五、布置作业1、第二十九页 第四题2、预习下节课内容 六、教学后记1、要创造性的使用教材教材只是为教师提供最基本的教学素材，教师完全可以根据学生的实际情况进行适当调整。
《用公式法求解一元二次方程》PPT课件 (公开课获奖)2022年北师大版 (7)
在一块长为１６m，宽为１２m的矩形荒地 上，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒 地面积的一半。你觉得这个方案能实现吗？若
可以实现，你能给出具体的设计方案吗？
练习巩固
在一幅长90cm、宽60cm的风景画的 四周外围镶上一条宽度相同的金色 纸边，制成一幅挂图，如果要求风 景画的面积是整个挂图面积的72%， 那么金边的宽应该是多少？
例 填空
1 4
___ ____
11700 ___ ___
3018
____
________
201536 ___________
想一想:
时钟在8点20分 时,时钟的时针与 分针所成的角是多 少度?
4时15分呢？ 2时48分呢？
钟表上的数学
确定相应钟表上时针与分针所成的
角度
4：00
第二章 一元二次方程
第3节 用公式法求解一元二次方程(二)
学习目标
• 知道有些一元二次方程没有根， 会用判别式判定一个一元二次 方程根的情况
• 熟悉用求根公式解一元二次方 程
温故知新
1.你能举例说明什么是 方法求解一元二次方程？ 怎样用公式法求解一元二次方程？
A 共有10个角
D
E
E D
C
B
B
图1
C
O
A
图2
1、角是指( ) A.由两条线段组成的图形; B.由两条射线组成的图形 C.由两条直线组成的图形; D.有公共端点的两条射线组成的图形
2、如图所示，从点O出发有
三条射线，则图中有 个
角，它们分别是
．
C B
OA
D O AC B
(3)哈尔滨在北京的北 偏东大约多少度？
钟表上有12大格， 每小时时针走1大
《公式法解一元二次方程》课件
4
又因为二次项系数不为0，
1
所以m≠0，即m＞−
4
且m≠0．
4.（例2变式）若关于 x 的方程 kx2−4x+2=0有实数根，
则 k 的取值范围为 k≤2
．
解：分两种情况讨论：
（1）若方程为一元一次方程，则k=0，
1
方程化为−4x+2=0. 解得 x .
2
（2）若方程为一元二次方程，则k≠0且Δ≥0，
, x2
.
4
4
4
4
,
课堂导入
你能用配方法解方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 吗?
解：移项，得ax2+bx=-c．
2
二次项系数化为1，得 +
配方，得 2 +
即 +
2
2
=
+
2
2
2 −4
．
2
4
=
=− ．
2
− +
．
2
这里可以直接开平
方吗？为什么？
实数根
有两个相等实数根
利用判别式判断方程根的情况的一般步骤：
一化：化一般式，确保二次项系数为正；
二找：找a,b,c，确定其值，注意带前面的符号；
三算：算b2-4ac的值，判断符号；
四判：判断方程根的情况.
例2 若关于 x 的一元二次方程 kx2−4x+2=0有两个不相
k<2且k ≠0
等的实数根，则 k 的取值范围为
解：∵ Δ= (-5)2-4×1×7= -3<0，
公式法解一元二次方程说课课件
这个课件将介绍公式法解一元二次方程的步骤，展示一元二次方程在现实生 活中的例子，以及探讨一元二次方程与二元一次方程的联系。
一元二次方程的定义
一元二次方程是一个包含未知数的二次方程，可用形如ax²+bx+c=0的标准形式 表示，其中a、b、c是已知常数。
公式法求解一元二次方程的步骤
一元二次方程与二元一次方程的联系
一元二次方程
只有一个未知数，但该未知数的次数是2的方程。
二元一次方程
有两个未知数，且它们的次数都是1的方程。
桥面高低
桥面的设计通常会考虑抛物线形状，以提供稳定的承重能力。
如何判断一元二次方程行判断，若判别式大于0，则方程有两个不相等的实数根。
2 因式分解法
当判别式等于零时，可以将一元二次方程因式分解。
3 复数解
当判别式小于0时，方程在复数域内有两个共轭复数根。
Step 1
将一元二次方程变换成标准形式。
Step 2
根据公式 x = ∓−±√(²−̅ 4·a·c) / (2·a)，计算x的值。
Step 3
将x的值代入一元二次方程，验证结果是否满足。
现实生活中的一元二次方程例子
抛物线轨道
一架投掷物体的轨迹往往可以用一元二次方程来描述。
抛物线喷泉
喷泉中的水柱以抛物线形状向上喷射。
如何判断一元二次方程的根的性质
1 顶点图形法
通过绘制一元二次方程的顶点图形来确定其根的性质。
2 判别式的正负
根据判别式的正负来判断一元二次方程的根是实数还是复数。
3 系数的符号
根据方程的系数的符号来判断一元二次方程的根的正负性。
一元二次方程的图像
《用公式法求解一元二次方程》PPT课件 (公开课)2022年北师大版 (4)
b b2 4ac
x 2a
(b2-4ac≥0 )
练一练，巩固新知
一、判断下列方程解的情况： （1）x2-7x=18 （2）2x2+3=7x
（3）3x2+2x+1=0 （4）9x2+6x+1=0 （5）16x2+8x=3 （6） 2x2-9x+8=0
比一比谁简洁
（3）3x2+2x+1=0
解:a=3,b=2,c=1
1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的求根公式是什么？
2、如何判断一元二次方程根的情况？ 3、用公式法解方程应注意的问题是什么？ 4、你在解方程的过程中有哪些小技巧？
作业
1、课本47页1,2题.
2、已知长方形城门的高比宽多6尺8寸,门的对角线长1丈,那么,门的高和宽各是 多少?
3、一张桌子长4米,宽2米,台布的面积是桌面面积的2倍,铺在桌子上时,各边下 垂的长度相同,求台布的长和宽
第二章 一元二次方程
第3节 用公式法求解一元二次方程(一)
回忆巩固
用配方法解下列方程：
(1)2x2+3=7x
(2)3x2+2x+1=0
解:
73 x2 x 0
22
x2 7 x (7)2 49 3 0
2 4 16 2
(x 7)2 25 0 4 16
(x 7)2 25 4 16
x 1 22
练一练，巩固新知
二、解下列方程 （1） x2-7x=18 （2）2x2+3=7x
（3）3x2+2x+1=0 （4）9x2+6x+1=0 （5）16x2+8x=3 （6） 2x2-9x+8=0
用公式法求解一元二次方程课件 (共25张PPT)
复习引入
（4） 4 x2 3x 2 0.
3 1 解：两边同时除以4，得 x x 0 . 4 2 3 1 2 移项，得 x x= . 4 2 2 2 3 1 3 3 2 配方，得 x x = ， 4 8 2 8 2 3 23 即 x = . 8 64 ∴此方程无实数根.
2
2 b b 4ac 0. 即： x 2 2a 4a 2
b b2 4ac 移项，得 x = . 2 2a 4a
2
下面该怎么 运算？有条 件限制吗？
探索新知
ax2 bx c 0 a 0
2 b b 4ac 2 当 b 4ac ≥0时，开平方得 x = . 2 2a 4a
（1）x 5x 4 0；
2
∵ b 4ac ＞0，∴方程有两个不相等的实数根.
2
（2） 4x2 7 6 x；
2 b 4ac ＜0，∴方程没有实数根. ∵
（3） 2 x 2 6 x 3 0.
2
2 ∵ b 4ac ＝0 ，∴方程有两个相等的实数根.
1 解：两边都除以2，得：x 2 x 0 . 2
2
1 移项，得 x 2 x= . 2
2
2
1 配方，得 x 2 x 1= 1 . 2 3 2 即 x 1 = . 2
6 6 ∴ x1 1 ，x2 =1+ . 2 2
复习引入
（2）x2 1.5= 3x；
2
分析：（1）确定a,b,cLeabharlann 值；（2）判断方程是否有根；
（3）写出方程的根.
新知应用
（1）x 7 x 18 0； 例1 解方程：
北师大版九年级数学上册《用公式法求解一元二次方程》第1课时示范公开课教学课件
解：
(1) 这里a = 1，b = -7，c = -18.
∵ b2 - 4ac = (-7)2-4×1×(-18) = 121 > 0，
∴
即 x1 = 9，x2 =-2.
例 解方程. (1) x2 -7x-18 = 0； (2) 4x2 +1=4x.
解：设门的高为 x 尺，根据题意得
x2 + (x - 6.8)2 = 102
即 2x2 - 13.6x - 53.76 ＝ 0.
解这个方程，得
x1 ＝ 9.6， x2 ＝ -2.8 (不合题意，舍去).∴ x - 6.8 = 2.8.
答:门的高是 9.6 尺，宽是 2.8 尺.
用公式法求解一元二次方程
当b2 - 4ac ＞ 0 时，
把b2 - 4ac 叫做一元二次方程的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”来表示.
方程有两个不相等的实数根；
当b2 - 4ac = 0 时，
方程有两个相等的实数根；
当b2 - 4ac ＜ 0 时，
方程没有实数根.
1.不解方程，判断下列方程的根的情况:
(1) 2x2 + 5 = 7x；
分析：
②判断
(1) ①找对应系数： a=1，b= -7，c= -18；
b2 - 4ac≥0；
③代入求根公式即可.
(2) ①化一般形式：4x2-4x+1=0； ②找对应系数：a=4，b= -4，c=1；
③判断
b2 - 4ac≥0；
④代入求根公式即可.
∵ b2 - 4ac = (-3)2 - 4×1×5 = -11 < 0，
∴ 方程没有实数根.
3.《九章算术》“勾股”章中有一题:“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈. 问户高、广各几何.”大意是说: 已知长方形门的高比宽多 6 尺 8 寸，门的对角线长 1 丈，那么门的高和宽各是多少？(1尺=10寸，1丈=10尺)
北师大版九年级数学上册《用公式法求解一元二次方程》第2课时示范公开课教学设计
第二章一元二次方程3 用公式法求解一元二次方程第2课时一、教学目标1.通过对学校荒地改造方案的设计，体会用一元二次方程解决实际问题的重要性.2.学会建立一元二次方程模型解决有关面积的问题.3.在解决问题的过程中进一步熟练用公式法解一元二次方程.4.能从题意中分析具体问题情境，发展学生逻辑推理核心素养能力.二、教学重难点重点：分析各图形面积之间的关系，找出等量关系，建立方程模型.难点：能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，对方程的解进行恰当的取舍.三、教学用具电脑、多媒体、课件、教学用具等四、教学过程设计想一想，你会怎么设计这片荒地？看一看：下面几位同学的设计方法是否合理？小明的设计方案：如右图所示.其中花园四周小路的宽都相等.通过解方程, 得到小路的宽为2m或12m.解：设小路的宽为x m, 根据题意得：即x2- 14x + 24 = 0.解方程得x1 = 2 , x2 = 12.将x =12 不符合题意舍去.所以小路的宽为2m.结论：小明的这样设计是可行的，但是结果不能取小路的宽为12m.小亮的设计方案：如右图所示.其中花园每个角上的扇形都相同.问题：你能帮小亮计算一下这个扇形的半径是多少吗？解：设扇形半径为 x m, 根据题意得：216122x ⨯π=， 即 πx 2= 96.解方程得 x 1 =96 5.5≈π，x 2 =96-π(舍去). 所以扇形半径约为5.5m. 结论：小亮的设计方案是可行的. 小颖的设计方案：如右图所示.其中花园是两条互相垂直的小路,且它的宽都相等.问题：你能帮小颖计算一下图中x 吗？ 解：设小路的宽为 x m, 根据题意得：()()161216122x x ⨯--= 即 x 2 - 28x + 96 = 0. 解方程得x 1 = 4 , x 2 = 24, x =24 不符合题意舍去. 所以小路的宽为4m.结论：小颖的设计方案是可行的. 【延伸】思考：你还有其他的设计方案吗？ 预设：其他的设计方案：其他的设计方案不止这4种，可以充分调动学生的参与性，只要合理即可.并让学生试着自己验证这些方案的合理性？【典型例题】教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再在小组内交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.例如图,在一块长为92m ,宽为60m 的矩形耕地上挖三条水渠,水渠的宽都相等,水渠把耕地分成面积均为885m2的 6 个矩形小块,水渠应挖多宽？分析：动画演示：设水渠宽为x m，将所有耕地的面积拼在一起，变成一个新的矩形，长为(92 – 2x )m, 宽(60 -x)m.解：设水渠的宽应挖x m .(92-2x)(60 -x)= 6×885教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.1.在一幅长90 cm、宽40 cm 的风景画的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图，如果要求风景画的面积是整个挂图面积的72%，那么金边的宽应该是多少？2.某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙(墙长25 m)，另三边用木栏围成，木栏长40 m.(1)鸡场的面积能达到180 m2吗？能达到200 m2吗？(2)鸡场的面积能达到250 m2吗？3.如图，圆柱的高为 15 cm ，全面积(也称表面积) 为 200 π cm 2，那么圆柱底面半径为多少？答案：1.解:设金色纸边的宽度是 x cm ．()()409090240272%x x ⨯=++ 解得x 1＝-70(舍去)，x 2＝5 所以，金色纸边的宽度是 5cm ． 2.解: (1)设鸡场的宽为x m ．由题意，得40 - 2x > 0，40 - 2x ≤ 25， 解得：7.5 ≤ x ＜ 20．当鸡场的面积为180 m 2时，列方程得：x (40-2x )＝180， 解得()121010,1010x x =+=-舍去， 即鸡场宽为 (1010+) m 时，鸡场面积达到 180 m 2．当鸡场的面积为200 m 2时，列方程得： x (40-2x )＝200，解得 x 1＝x 2＝10．即鸡场宽为 10 m 时，鸡场面积达到 200 m 2． (2)当鸡场的面积为250 m 2时，列方程得：x (40-2x )＝250，方程无解． 即鸡场面积达不到 250 m 2． 3.解: 设圆柱底面半径为 r cm ．2πr 2＋15×2πr ＝ 200π 解得 r 1＝-20(舍去)，r 2＝5． 所以，圆柱底面半径为 5 cm ．思维导图的形式呈现本节课的主要内容：教科书第45页题2.6 第4题。
用公式法求解一元二次方程【公开课教案】
2．3 用公式法求解一元二次方程第1课时 用公式法求解一元二次方程1．理解一元二次方程求根公式的推导过程；2．会用公式法解一元二次方程；(重点) 3．会用根的判别式b 2－4ac 判断一元二次方程根的情况及相关应用．(难点)一、情景导入如果这个一元二次方程是一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，你能否用配方法的步骤求出它们的两根？请同学独立完成下面这个问题．问题：已知ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，且b 2－4ac ≥0，试推导它的两个根x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2－4ac2a .二、合作探究探究点一：用公式法解一元二次方程方程3x 2－8＝7x 化为一般形式是__________，其中a ＝________，b ＝________，c ＝________，方程的根为____________．解析：将方程移项可化为3x 2－7x －8＝0.其中a ＝3，b ＝－7，c ＝－8，因为b 2－4ac ＝(－7)2－4×3×(－8)＝145＞0，代入求根公式可得x ＝7±1456.故答案分别为3x 2－7x －8＝0，3，－7，－8，7±1456.方法总结：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根是由方程的系数a ，b ，c 确定的，只要确定了系数a ，b ，c 的值，代入公式就可求得方程的根．用公式法解下列方程：(1)－3x 2－5x ＋2＝0; (2)2x 2＋3x ＋3＝0；(3)x 2－2x ＋1＝0.解析：先确定a ，b ，c 及b 2－4ac 的值，再代入公式求解即可．解：(1)－3x 2－5x ＋2＝0，3x 2＋5x －2＝0. ∵a ＝3，b ＝5，c ＝－2，∴b 2－4ac ＝52－4×3×(－2)＝49＞0，∴x ＝－5±492×3＝－5±76，∴x 1＝13，x 2＝－2；(2)∵a ＝2，b ＝3，c ＝3，∴b 2－4ac ＝32－4×2×3＝9－24＝－15＜0，∴原方程没有实数根；(3)∵a ＝1，b ＝－2，c ＝1，∴b 2－4ac ＝(－2)2－4×1×1＝0，∴x ＝2±02×1＝2±02，∴x 1＝x 2＝1.方法总结：用公式法解一元二次方程时，首先应将其变形为一般形式，然后确定公式中a ，b ，c 的值，再求出b 2－4ac 的值与“0”比较，最后利用求根公式求出方程的根(或说明其没有实数根)．探究点二：一元二次方程根的判别式 【类型一】 用根的判别式判断一元二次方程根的情况已知一元二次方程x 2＋x ＝1，下列判断正确的是( )A ．该方程有两个相等的实数根B ．该方程有两个不相等的实数根C ．该方程无实数根D ．该方程根的情况不确定解析：原方程变形为x 2＋x －1＝0.∵b 2－4ac ＝12－4×1×(－1)＝5＞0，∴该方程有两个不相等的实数根，故选B.方法总结：判断一元二次方程根的情况的方法：利用根的判别式判断一元二次方程根的情况时，要先把方程转化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)．当b 2－4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b 2－4ac ＝0时，方程有两个相等的实数根；当b 2－4ac ＜0时，方程无实数根．【类型二】 根据方程根的情况确定字母的取值范围若关于x 的一元二次方程kx 2－2x－1＝0，有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( )A ．k >－1B ．k >－1且k ≠0C ．k <1D ．k <1且k ≠0解析：由根的判别式知，方程有两个不相等的实数根，则b 2－4ac >0，同时要求二次项系数不为0，即⎩⎪⎨⎪⎧（－2）2－4·k ·（－1）>0，k ≠0.解得k >－1且k ≠0，故选B.易错提醒：利用b 2－4ac 判断一元二次方程根的情况时，容易忽略二次项系数不能等于0这一条件，本题中容易误选A.【类型三】 根的判别式与三角形的综合应用已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三边长，当m >0时，关于x 的一元二次方程c (x 2＋m )＋b (x 2－m )－2m ax ＝0有两个相等的实数根，请判断△ABC 的形状．解析：先将方程转化为一般形式，再根据根的判别式确定a ，b ，c 之间的关系，即可判定△ABC 的形状．解：将原方程转化为一般形式，得(b ＋c )x 2－2m ax ＋(c －b )m ＝0.∵原方程有两个相等的实数根， ∴(－2m a )2－4(b ＋c )(c －b )m ＝0， 即4m (a 2＋b 2－c 2)＝0.又∵m ≠0，∴a 2＋b 2－c 2＝0，即a 2＋b 2＝c 2.根据勾股定理的逆定理可知△ABC 为直角三角形．方法总结：根据一元二次方程根的情况，利用判别式得到关于一元二次方程系数的等式或不等式，再结合其他条件解题．三、板书设计用公式法解一元二次方程错误!经历从用配方法解数字系数的一元二次方程到解字母系数的一元二次方程，探索求根公式，发展学生合情合理的推理能力，并认识到配方法是理解求根公式的基础．通过对求根公式的推导，认识到一元二次方程的求根公式适用于所有的一元二次方程，操作简单．体会数式通性，感受数学的严谨性和数学结论的确定性．提高学生的运算能力，并养成良好的运算习惯.。
公式法解一元二次方程
学生总 结，各抒己 见，并提出 知识未解。
对学生已 有的数学知识 体系进行进一 步的完善。
板 设 书 计
例 1:利用公式法解方程： 练习
2
的概念；
（2） x 3 2 3x
2
解： （定） a 2 ， b 7 ， c 4 （1） 典 型 例 题 （判） b2 4ac 72 4 2 (4) 81 0
2 （代） x b b 4ac 7 81 7 9 2a 2 2 4
教 难 学 点 重
教学 环节
1.所学“配方 一、 相关知识回顾，引入新课： 1. 回顾配方法的解题步骤及用配方法来解二次项系数为 1. 积 极 回 顾 法”解一元二
2 1 的 x px q 0 的过程。
学 前 准 备
练习：运用配方法解： 2 x 8 x 9 0
2
2. 请用配方法解： ax2 bx c 0(a 0)
2
（2） 4 x 2 x
2
（3） 4x 4 3x 3 0
2
2
（4） p(2 p) 5
2、 （思考）解方程： 4 x 4 x m 0 3、请利用配方法解上题中的（1） （2）两题；比较下公式 法与配方法哪种更适合你呢？
学生独立完 成。
考察学生 是否能否熟练 运用公式法解 一元二次方 程。
课堂 小结 作业 设计
本节课我们学习哪些知识，你感觉哪些是重点？你能 总结下我们能用几种方法解一元二次方程了吗？ 1、 完成课本 P29 页习题 18.2 的第 4 题； 2、 完成全品作业本的《公式法》 。
18.2.3 公式法解一元二次方程 一 探究： 二 公式法： 1、求根公式： 2、一般步骤：
用公式法求解一元二次方程市公开课一等奖省优质课获奖课件
∴x=
=
= 即 x1=2，
x2= -
求根公式 ： X=
例 用公式法解方程： x2 +3 = 2 x
解：移项，得 x2 -2 x+3 = 0 a=1，b=-2 ，c=3 b2-4ac=(-2 )2-4×1×3=0
∴x=
==
x1 = x2 =
练习：用公式法解方程 1、 x2 - x -1= 0 2、 2x2 - 2 x+1= 0
解：
a=2 b=5 c= -3
∴ b2-4ac=52-4×2×(-3)=49
∴x=
=
= 即 x1= - 3 x2=
第6页
求根公式 ： X=
(a≠0， b2-4ac≥0)
（口答）填空：用公式法解方程
2x2+x-6=0 解：a= 2 ，b= 1 ，c = -6 ．
b2-4ac= x=
12-4×2×(-6) = 49 ．
2a
第3页
心动 不如行动
公式法
普通地，对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
当b2 4ac 0时,它的根是 :
x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
当b2 4ac 0 时，方程有
实数根吗
上面这个式子称为一元二次方程求根公式.
用求根公式解一元二次方程方法称为公式法
回顾与复习
一、用配方法解一元二次方程： (1).2x2 4x 1 0 (2).3x2 12x 1 0 3
二、用配方解一元二次方程步骤是什么？
1、若二次项系数不是1，把二次项系数化为1(方程两 边都除以二次项系数)； 2、把常数项移到方程右边； 3、在方程两边各加上一次项系数绝对值二分之一平 方，使左边成为完全平方； 4、假如方程右边整理后是非负数，用直接开平方法 解之，假如右边是个负数，则指出原方程无实根． 用直接开平方法和配方法解一元二次方程，计算比 较麻烦，能否研究出一个更加好方法，快速求得一 元二次方程实数根呢？
人教版九年级数学上册《公式法解一元二次方程》公开课教学设计
人教版九年级数学上册《公式法解一元二次方程》公开课教学设计一. 教材分析人教版九年级数学上册《公式法解一元二次方程》是本学期的重要内容，它为学生提供了解决实际问题的工具，同时也为学习更高阶的数学知识打下基础。
本节课通过讲解公式法解一元二次方程的原理和步骤，使学生能够理解和掌握公式法解一元二次方程的方法。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的代数基础，对一元二次方程有了初步的了解。
但是，对于公式法解一元二次方程的原理和步骤，他们还不够熟悉。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生理解和掌握公式法解一元二次方程的方法。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解和掌握公式法解一元二次方程的原理和步骤。
2.过程与方法：通过实例演示和练习，培养学生运用公式法解一元二次方程解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的耐心和自信心。
四. 教学重难点1.教学重点：公式法解一元二次方程的原理和步骤。
2.教学难点：理解和掌握公式法解一元二次方程的方法，以及如何运用公式法解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、实例演示法、练习法、小组合作学习法等教学方法，引导学生主动探究、积极参与，提高学生的学习兴趣和效果。
六. 教学准备1.教学PPT：制作详细的PPT，内容包括公式法解一元二次方程的原理、步骤和实例。
2.练习题：准备一些练习题，用于巩固学生的学习效果。
3.小组分组：将学生分成若干小组，便于小组合作学习。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引出一元二次方程，激发学生的兴趣。
2.呈现（10分钟）讲解公式法解一元二次方程的原理和步骤，让学生理解和掌握。
3.操练（10分钟）让学生分组进行练习，运用公式法解一元二次方程。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（5分钟）挑选一些练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
5.拓展（5分钟）引导学生思考如何将公式法解一元二次方程应用于实际问题，进行拓展训练。
《解一元二次方程公式法》PPT课件
第二十四章 解一元二次方程
24.2 解一元二次方程
第3课时 因式分解法
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.回顾因式分解的相关知识. 2.学会用因式分解法解一元二次方程. (重点、难点)
导入新课
观察与思考
问题 一元二次方程的一般式是怎样的？常用的求一元二次 方程的解的方法有哪些？
ax2 bx c 0（a≠0）
24．2 解一元二次方程 公式法
12．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是2x2－8x＋7＝
0的两个实数根，则这个直角三角形的斜边长是( B )
A. 3 B．3 C．6
D．9
13．已知x＝1是方程x2＋bx－2＝0的一个根，则方程的另一个根
是( C )
A．1 B．2 C．－2 D．－1
24．2 解一元二次方程 公式法
适合运用公式法 ① ⑦ ⑧
；
适合运用配方法 ④
.
2.解下列一元二次方程： （1）（x－5) (3x－2)=10; (2) (3x－4)2=(4x－3)2.
解： (1) 化简方程，得 3x2－17x=0.
将方程的左边分解因式，得 x(3x－17)=0,
∴x=0 或3x－17=0
解得
x1=0,
x2=
17 3
则x=0,或x-3=0,解得x1=0，x2=3.
(2)同上可得x1=0.8，x2=-0.8. 像上面这种利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式 分解法.
归纳 因式分解法的基本步骤是： 若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零； 将方程的左边分解因式； 根据若A·B=0,则A=0或B=0,将解一元二次方程转化为解两 个一元一次方程.
一元二次方程的解法—公式法ppt课件
k≠0
k≠0
归纳 当一元二次方程二次项系数是字母时，一定要注意二次项 系数不为 0，再根据“Δ”求字母的取值范围.
【变式题】删除限制条件“二次”
若关于 x 的方程 kx2 − 2x −1 = 0 有实数根，则 k 的取值范围是
( A)
A. k≥ −1
B. k≥ −1且 k≠0
C. k < 1
D. k < 1 且 k≠0
第二十一章 一元二次方程
21.2 解一元二次方程
21.2.2 公式法
学习目标
1. 了解求根公式的推导过程；（难点） 2. 掌握用公式法解一元二次方程；(重点） 3. 会用判别式判断一元二次方程的根的情况.
知识回顾
用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？
一“化”：将方程化为一般形式，且把二次项系数化为1； 二“移”：将常数项移到方程的右边； 三“配”：方程方左程边两配边成同完时全加平上方一的次形项式系；数一半的平方，将
练一练
不解方程，判断下列方程的根的情况．
（1）3x2+x－1=0；
（2）2x2+6=3x;
方法归纳
判断一元二次方程根的情况的方法：
将方程整理 为一般形式 ax2+bx+c=0
Δ= b2 − 4ac > 0 Δ= b2 − 4ac = 0 Δ= b2 − 4ac < 0
有两个不等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根
Δ= b2－4ac = (− )2－4×2×1 = 0. 方程有两个相等的实数根
x1 = x2
(3) 5x2－3x = x + 1； 解：方程化为 5x2－4x－1 = 0.
±-
a = 5，b = －4，c = －1. Δ= b2－4ac = (－4)2－4×5×(－1) = 36＞0.
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2
即
x
b 2a
2
b2 4ac 4a2
用配方法解一般形式的一元二次方程
ax2 bx c 0 4a2 04a2 b20当4acb2 04ac 0 时
2
b
b 4ac
x 2a
4a 2
即
b
b2 4ac
x
2a
2a
b b2 4ac x
2a
ห้องสมุดไป่ตู้
特别提醒
一元二次方程的 求根公式
一元二次方程的 求根公式
求根公式 x b b2 4ac 2a
例 1 解方程： x2 7x 18 0
解： 这里 a 1 b 7 c 18
b2 4ac （ 7）2 41（- 18） 121
x 7 121 7 11
21
2
即 ： x1 9 x2 2
用公式法解一元二次方程的一般步骤： 1、把方程化成一般形式，并写出 a、b、c 的值。
练习：判别下列方程的根的情 况解方程。
例：当k取什么值时，已知关于x的方程：
（1）方程有两个不相等的实根； （2）方程有两个相等 的实根； （3）方程无实根；
思考题
1、 m取什么值时，方程 x2+(2m+1)x+m2-4=0有两个相等的实数解
2、关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)。 当a，b，c 满足什么条件时，方程的两根 为互为相反数？
当堂 检测
用公式法解下列方程：
（1）2x2-9x+8=0;
（2）9x2+6x+1=0;
（3）16x2+8x=3. (4) m取什么值时，关于x的方程方程
x2+(2m+1)x+m2-4=0有两个相等的实数 解
2、求出 b2 4ac 的值，
特别注意:当 b2 4ac 0 时无解 3、代入求根公式 : x b b2 4ac
2a
4、写出方程的解： x1、x2
求根公式 x b b2 4ac 2a
例 2 解方程： x2 3 2 3 x
解： 化简为一般式：x2 2 3 x 3 0
这里 a 1、 b= - 2 3、 c= 3
一、用配方法解一元二次方程:
(1)x2 4x 1 0 (2)2x2 3x 1 0
用配方法解一般形式的一元二次方程
ax2 bx c 0(a 0)
解: 把方程两边都除以 a
x2 b x c 0 aa
移项，得
x2 b x c
a
a
配方，得
x2
b a
x
b 2a
2
c a
b 2a
b2 4ac （ 2 3）2 41 3 0
（- 2 3） x
02
3
3
21
2
即 ： x1 x2 3
求根公式 x b b2 4ac 2a
例 3 解方程： x 21 3x 6
解：去括号，化简为一般式：
3x2 7x 8 0
这里 a 3、 b= - 7、 c= 8 b2 4ac （ 7）2 4 3 8
49 96 - 47 0
方程没有实数解。
合作探究
对于一元二次方程 你能谈论一下它的根的情况吗? 在什么情况下，一元二次方程有解? 有什么样的解? 什么情况下一元二次方程无解?
我们把 b2 4ac 叫做一元二次方程
ax2 bx c 0a 0 的根的判别式，
用符号“ ”表示，即 b2 4ac
记住了， 别搞错!
一元二次方程的根的情况：
1.当 ___b_2 __4_a_c__0_时，方程有两个不相等的实数根 2.当____b2___4_ac___0_时，方程有两个相等的实数根 3.当____b_2 __4_a_c__0_时，方程没有实数根
反过来： 1.当方程有两个不相等的实数根时，___b_2 __4_a_c_ 0 2.当方程有两个相等的实数根时，____b_2 __4_a_c__0_ 3.当方程没有实数根时，___b_2__4_a_c___0_