截面图形的几何性质资料
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
y
d
dA 2π d
πd 4 2 2 I P dA (2π d ) A 32 由于圆截面对任意方向的直径轴都是对称的， 故
d 2 0
O
z
I y Iz
d
所以
I P πd 4 I y Iz 2 64
10
4.2 惯性矩与惯性积
矩形： b
圆形： d
dy
5
4.1 截面的静矩与形心
例2 试计算图示T型截面的形心位置。
60
将截面分为I、II两个矩形，建立 如图所示坐标系。 各矩形的面积和形心坐标如下：
y
C
yC
z C zC C z
A A 20mm 60mm=1200mm2 yC 50mm yC 10mm
y 20
于是：
例1 试计算图示三角形截面对于与其底边重合的z轴的静矩。
y
O b
y
z
b (y )
h
解： 取平行于x轴的狭长条，
b 因此 d A ( h y ) d y h
b 易求 b( y ) (h y ) h
所以对 x 轴的静矩为
S x A y d A 0
h
b bh2 (h y ) y d y h 6
yC Ay A
i i Ci
A yC A yC A A
1200mm2 10mm+1200mm2 50mm 30mm 2 2 1200mm 1200mm 6
60
20
解：zC=0，只需计算yC
z
yC
C
4.2 惯性矩与惯性积 1、惯性矩
图形对 y，z 轴的 轴惯性矩
S yC 0
S zC 0
A1 c1 A2 c2
Sy
（3）组合图形静矩可分块计算求代数和
S z S z1 S z 2 A1 yC1 A2 yC 2
（4）求形心
S z A1 yC1 A2 yC 2 yC A A
A1 zC1 A2 zC 2 zC A A
4
4.1 截面的静矩与形心
4
截ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ图形的几何性质
1
4
截面图形的几何性质
4.1 截面的静矩与形心 4.2 惯性矩与惯性积 4.3 平行移轴公式 4.4 惯性矩和惯性积的转轴公式
4.5 截面的主惯性轴和主惯性矩
2
4.1 截面的静矩与形心
1、静矩 任意平面图形 A （例如杆的横截面） 建立 yz 坐标系（x轴为杆的轴线） 平面图形的形心C(yc,zc) 图形对 y 轴的静矩
y
dA
I y z dA
2 A
y
I z y 2 dA
A
O
z
z
惯性矩的单位：m4,cm4,mm4
7
4.2 惯性矩与惯性积
图形对原点的 极惯性矩
I p 2dA ( y 2 z 2 )dA I z I y
A A
y
图形对z轴和y轴 惯性半径
dA
iz
IZ A
i 1
n
d2
y2
x
O x
y1 y
16
b
d1
h
4.3 平行移轴公式
例5 试求图a所示截面对
于x轴的惯性矩Ix ，对于y轴
I xC 2a S xC a 2 A
注意到xC轴为形心轴，故上式中的静矩 S xC等于零，从而有
I x I xC a 2 A
14
4.3 平行移轴公式
I x I xC a 2 A
同理可得
I y I yC b2 A
I xy I xC yC abA
以上三式就是惯性矩和惯性积的平行移轴公式。需要
空心圆形： D d z y
h
z
z
y
bh3 Iz 12 hb3 Iy 12
y
Iz Iy Ip
d 4
64
4
Iy Iz
D 4 d 4
64
D 4
64
d
(1 4 )
32
32
Ip
D 4
dD
11
(1 4 )
4.2 惯性矩与惯性积
2、惯性积
注意的是式中的a，b为坐标，有正负，应用惯性积平行移
轴公式时要特别注意。
15
4.3 平行移轴公式
2、组合截面的惯性矩及惯性积
若组合截面由几个部分组成，则组合截面对于x，y 两轴的惯性矩和惯性积分别为
I x I xi，
i 1
n
I y I yi，
i 1
n
I xy I xyi
y dA C
y yC
S y zdA
A
O
zC z
z
图形对 z 轴的静矩
S z ydA
A
静矩的单位：m3,cm3,mm3
3
4.1 截面的静矩与形心
2、形心的位置
yC
ydA
A
A
Sz zC A ，
zdA
A
A
Sy A
静矩的性质 （1）静矩与轴有关，可正可负可为零。 （2）若yC,zC坐标轴过形心，则有
截面的形心C在x，y坐标系内的坐标为
x b和y a。
13
4.3 平行移轴公式
因截面上的任一元素dA在x，y
坐标系内的坐标为
x xC b，
于是有
y yC a
2 I x y 2 d A yC a d A yC d A 2a yC d A a 2 d A 2 A A A A A
整个截面对于z、y两坐标轴的 惯性积
y
I yz yzdA
A
dA
（1）惯性积与轴有关，可正可负可 为零。
（2）若 y , z 轴有一为图形的对称轴， 则 Iyz = 0。
y
性质
O
z
z
12
4.3 平行移轴公式 1、平行移轴公式
已知任意形状的截面(如图)的面积A以及对于形心轴xC 和yC的惯性矩 I xC，I yC 及惯性积 I x y ，现需导出该截面对于 C C 与形心轴xC ， yC平行的x轴和y轴的惯性矩Ix，Iy和惯性积Ixy。
iy
Iy A
y
O
z
z
8
4.2 惯性矩与惯性积
例3 试计算图示矩形截面对于其对称轴（即形心轴）z和y 的惯性矩Iz和Iy，及其惯性积Iyz。 y
z dz
I z y dA
2 A
同理
A
h 2 h 2
3 bh by 2dy 12
h
y
解：取平行于z轴的狭长条作为面积元素， 则 dA bdy
O
dy
z
I y z 2dA
b 2 b 2
3 b h 2 hz dz 12
b
因为z轴（或y轴）为对称轴，故惯性积
I yz 0
9
4.2 惯性矩与惯性积
例4 试计算图示圆形截面对O点的极惯性矩IP和对于其形心轴 （即直径轴）的惯性矩Iy和Iz。 解：建立如图所示坐标系，取图示微元dA,
d
dA 2π d
πd 4 2 2 I P dA (2π d ) A 32 由于圆截面对任意方向的直径轴都是对称的， 故
d 2 0
O
z
I y Iz
d
所以
I P πd 4 I y Iz 2 64
10
4.2 惯性矩与惯性积
矩形： b
圆形： d
dy
5
4.1 截面的静矩与形心
例2 试计算图示T型截面的形心位置。
60
将截面分为I、II两个矩形，建立 如图所示坐标系。 各矩形的面积和形心坐标如下：
y
C
yC
z C zC C z
A A 20mm 60mm=1200mm2 yC 50mm yC 10mm
y 20
于是：
例1 试计算图示三角形截面对于与其底边重合的z轴的静矩。
y
O b
y
z
b (y )
h
解： 取平行于x轴的狭长条，
b 因此 d A ( h y ) d y h
b 易求 b( y ) (h y ) h
所以对 x 轴的静矩为
S x A y d A 0
h
b bh2 (h y ) y d y h 6
yC Ay A
i i Ci
A yC A yC A A
1200mm2 10mm+1200mm2 50mm 30mm 2 2 1200mm 1200mm 6
60
20
解：zC=0，只需计算yC
z
yC
C
4.2 惯性矩与惯性积 1、惯性矩
图形对 y，z 轴的 轴惯性矩
S yC 0
S zC 0
A1 c1 A2 c2
Sy
（3）组合图形静矩可分块计算求代数和
S z S z1 S z 2 A1 yC1 A2 yC 2
（4）求形心
S z A1 yC1 A2 yC 2 yC A A
A1 zC1 A2 zC 2 zC A A
4
4.1 截面的静矩与形心
4
截ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ图形的几何性质
1
4
截面图形的几何性质
4.1 截面的静矩与形心 4.2 惯性矩与惯性积 4.3 平行移轴公式 4.4 惯性矩和惯性积的转轴公式
4.5 截面的主惯性轴和主惯性矩
2
4.1 截面的静矩与形心
1、静矩 任意平面图形 A （例如杆的横截面） 建立 yz 坐标系（x轴为杆的轴线） 平面图形的形心C(yc,zc) 图形对 y 轴的静矩
y
dA
I y z dA
2 A
y
I z y 2 dA
A
O
z
z
惯性矩的单位：m4,cm4,mm4
7
4.2 惯性矩与惯性积
图形对原点的 极惯性矩
I p 2dA ( y 2 z 2 )dA I z I y
A A
y
图形对z轴和y轴 惯性半径
dA
iz
IZ A
i 1
n
d2
y2
x
O x
y1 y
16
b
d1
h
4.3 平行移轴公式
例5 试求图a所示截面对
于x轴的惯性矩Ix ，对于y轴
I xC 2a S xC a 2 A
注意到xC轴为形心轴，故上式中的静矩 S xC等于零，从而有
I x I xC a 2 A
14
4.3 平行移轴公式
I x I xC a 2 A
同理可得
I y I yC b2 A
I xy I xC yC abA
以上三式就是惯性矩和惯性积的平行移轴公式。需要
空心圆形： D d z y
h
z
z
y
bh3 Iz 12 hb3 Iy 12
y
Iz Iy Ip
d 4
64
4
Iy Iz
D 4 d 4
64
D 4
64
d
(1 4 )
32
32
Ip
D 4
dD
11
(1 4 )
4.2 惯性矩与惯性积
2、惯性积
注意的是式中的a，b为坐标，有正负，应用惯性积平行移
轴公式时要特别注意。
15
4.3 平行移轴公式
2、组合截面的惯性矩及惯性积
若组合截面由几个部分组成，则组合截面对于x，y 两轴的惯性矩和惯性积分别为
I x I xi，
i 1
n
I y I yi，
i 1
n
I xy I xyi
y dA C
y yC
S y zdA
A
O
zC z
z
图形对 z 轴的静矩
S z ydA
A
静矩的单位：m3,cm3,mm3
3
4.1 截面的静矩与形心
2、形心的位置
yC
ydA
A
A
Sz zC A ，
zdA
A
A
Sy A
静矩的性质 （1）静矩与轴有关，可正可负可为零。 （2）若yC,zC坐标轴过形心，则有
截面的形心C在x，y坐标系内的坐标为
x b和y a。
13
4.3 平行移轴公式
因截面上的任一元素dA在x，y
坐标系内的坐标为
x xC b，
于是有
y yC a
2 I x y 2 d A yC a d A yC d A 2a yC d A a 2 d A 2 A A A A A
整个截面对于z、y两坐标轴的 惯性积
y
I yz yzdA
A
dA
（1）惯性积与轴有关，可正可负可 为零。
（2）若 y , z 轴有一为图形的对称轴， 则 Iyz = 0。
y
性质
O
z
z
12
4.3 平行移轴公式 1、平行移轴公式
已知任意形状的截面(如图)的面积A以及对于形心轴xC 和yC的惯性矩 I xC，I yC 及惯性积 I x y ，现需导出该截面对于 C C 与形心轴xC ， yC平行的x轴和y轴的惯性矩Ix，Iy和惯性积Ixy。
iy
Iy A
y
O
z
z
8
4.2 惯性矩与惯性积
例3 试计算图示矩形截面对于其对称轴（即形心轴）z和y 的惯性矩Iz和Iy，及其惯性积Iyz。 y
z dz
I z y dA
2 A
同理
A
h 2 h 2
3 bh by 2dy 12
h
y
解：取平行于z轴的狭长条作为面积元素， 则 dA bdy
O
dy
z
I y z 2dA
b 2 b 2
3 b h 2 hz dz 12
b
因为z轴（或y轴）为对称轴，故惯性积
I yz 0
9
4.2 惯性矩与惯性积
例4 试计算图示圆形截面对O点的极惯性矩IP和对于其形心轴 （即直径轴）的惯性矩Iy和Iz。 解：建立如图所示坐标系，取图示微元dA,