截面图形的几何性质资料
4 截面图形的几何性质
C
2 πd 4 2d 2 πd 2 2d πd 2 a 8 3π 8 128 3π
将 d = 80 mm，a = 100 mm 代入后得
I x2 3 467 10 4 mm 4
从而得图a所示截面对x轴的惯性矩：
I xC
2 πd 4 2d πd 2 2d πd I x 1284.3 平行移轴公式
然后再利用平行移轴公式求半圆形对x轴的惯性矩：
I x2 I x 2d πd 2 a 3π 8
I y 1 054 10 4 mm 4
21
4.3 平行移轴公式
（3） 求 惯性积 Ixy 由
I xy xy d A 可知，只要x
A
轴或y 轴为截面的对称轴，则由于 与该轴对称的任何两个面积元素 dA的惯性积 xydA 数值相等而正负 号相反，致使整个截面的惯性积必 定等于零。图a所示截面的x 轴和y 轴都是对称轴，当然 Ixy=0。
22
4.4 惯性矩和惯性积的转轴公式
图示任意形状的截面，其面积A以及对于坐标轴x，y的 惯性矩Ix，Iy和惯性积Ixy为已知，现在来求截面对于绕原点O 旋转a 角（以逆时针为正）后的坐标轴x1y1的惯性矩 I x1, I y1和 惯性积 I x y 。
1 1
23
4.4 惯性矩和惯性积的转轴公式
由图可见，截面上任一微面积dA在x,y和x1,y1两个坐标系中坐标 的关系为
13
4.3 平行移轴公式
因截面上的任一元素dA在x，y 坐标系内的坐标为 x xC b， 于是有
2 I x y 2 d A y C a d A yC d A 2 a yC d A a 2 d A A A A A A 2
截面的几何性质
bh bh Iz 12 12 b 3 h h 3 12
3 3
I y Iz
D 4
64 64 4 D (1 4 ) 64
d 4
三、
y1
惯性矩和惯性积的平行移轴公式
z1
y z dA y
y1
已知 I z , I y , I yz
b a O1
2
y1 y a,
2 A A A A A
I z 2aSz a 2 A
I y1 z1 y1 z1dA ( y a )(z b)dA
A A
yzdA azdA bydA abdA
A A A A
I yz aSy bSz abA
I y1 I y 2bSy b A
• 平面图形的惯性矩
I z y 2 dA
A
I y z 2 dA
A
y x
面积A
• 平面图形的极惯性矩
dA y z
Ip
r dA y
2 A A
2
z
2
dA
o
r
I p Iz I y
• 惯性矩和极惯性矩为正值，单位为m4 或mm4。
• 平面图形的惯性半径
y x r y
面积A
Iz i A
2 z
Iy i A
2 y
dA
iz iy
Iz A Iy A
o
图形对z轴和y轴的惯性半径 （单位为m 或mm）
z
• 例7-2 求矩形截面对其对称轴z和y的惯性矩 和惯性半径。 y • 解：
I z y 2 dA
附录1 截面的几何性质
d D
I y内 I zc
y I z内
d4
64
2
64
d I zc A内 2 d 4 d 2 d 2 5 d 4 64 4 64 2
I y I y外 I y内 I z I z外 I z内
D4
I y bh 12
3
h
C
b
y
I y I yi I z I zi
i 1
n
n
i 1
13
三、惯性积： I yz yz dA
z
dA dA
y y
A
大小：正，负，0。
量纲：[长度]4
z 轴为对称轴：I yz yz dA 0
A
z
z
y y
O
图形对任一包含对称轴在内的一 对正交坐标轴的惯性矩为0。
C2
C yc , zc
10
C1
10 80 5 10 110 65 39.74 mm 10 80 10 110
120
80
y
A1 y1 A2 y2 yc A1 A2 10 80 40 10 110 5 9 19.74 mm 10 80 10 110
(2)计算Iz
S z ' A1 yC1 A2 yC 2 yc A A1 A2 500 800 400 400 550 425 500 800 400 550 369.44mm
I z I z1 I z 2 1.541010 mm4
21
[例Ⅰ-6] 电线铁塔基座采用四个等边角钢组成 L160× 10mm，a=3m，试计算基座的形心主惯性矩。
材料力学截面的几何性质课件
目录
• 截面的基本性质 • 截面的二次矩 • 截面的抗弯截面系数 • 截面的抗扭截面系数 • 材料力学截面的应用
01 截面的基本性质
截面的面积
面积
截面面积是二维平面图形被截后，与 原图形相比增加的面积。对于矩形、 圆形、三角形等简单形状，截面面积 可以通过几何公式直接计算。
的刚度和稳定性。
截面惯性矩
截面惯性矩是衡量截面抗弯刚度 的指标，对于承受弯矩的构件， 选择具有较大惯性矩的截面可以
减少挠度和转角。
截面抵抗矩
截面抵抗矩是衡量截面抗剪切能 力的指标，对于承受剪力的构件 ，选择具有较大抵抗矩的截面可
以增加构件的承载能力。
工程设计中的应用
桥梁设计
在桥梁设计中，需要考虑梁的截面尺寸、材料类型和截面形式等 因素，以确保桥梁具有足够的强度和刚、单位等因素，以确保数 据处理结果的准确性和可靠性。
1.谢谢聆 听
根据微面积和其对应的主 轴方向余弦，计算出截面 二次矩。
主轴的确定
根据计算出的惯性矩，找 出三个主轴的方向余弦和 角度。
实例分析
圆截面
圆截面的二次矩为常数， 且各主轴与截面垂直，说 明圆截面在弯曲时没有翘 曲的趋势。
矩形截面
矩形截面的二次矩与宽度 的平方成正比，说明矩形 截面有较好的抗弯能力。
工字形截面
工字形截面的二次矩比同 样面积的矩形截面小，但 抗弯能力仍高于同样重量 的实心杆件。
03 截面的抗弯截面系数
定义与性质
01
抗弯截面系数是截面对其轴线的惯性矩除以截面的面积 得到的数值，用来度量截面在弯矩作用下抵抗变形的能 力。
02
不同形状的截面有不同的抗弯截面系数，如圆截面为1 ，矩形截面为1.13，工字形截面为1.44等。
截面的几何性质截面的几何性质
分别为图形对于z 轴和y 轴的静矩。
3
平面图形的静矩
S z = ∫A ydA
S y = ∫ A zd A
• 静矩与截面面积大小及坐标设置有关； • 静矩可正、可负、可为零； • 静矩的单位为m3或 mm3。
4
平面图形的形心Leabharlann • 平面图形的形心 — 平面图形几何形状的中心。 • 通过截面形心的坐标轴称为形心轴 。
设图形的形心C坐标为(zC , yC)， 由均质等厚薄片重心坐标公式： A yC = ∫A ydA = S z
A z C = ∫ A zd A = S y Sy S yC = z , z C = A A
• 截面对形心轴的静矩必为零；反之，若截面对
某轴的静矩等于零，则该轴必为形心轴。
5
平面图形的静矩和形心
h 1 h * = b − y1 + y1 S z = A* yC 2 2 2 b 2 = ( h2 − 4 y1 ) 8
7
h 2
组合图形的静矩和形心位置 • 组合图形 — 由几个简单图形（如矩形、圆形
或三角形等规则图形）组成的图形。
zC =
8
∑ Ai zC i ∑ Ai
截面的几何性质 • 平面图形的静矩和形心 • 平面图形的惯性矩、惯性积和惯性半径 • 惯性矩和惯性积的平行移轴公式 • 惯性矩和惯性积的转轴公式 • 主惯性轴和主惯性矩
9
平面图形的极惯性矩和惯性矩 • 定义
I z = ∫A y 2dA
I y = ∫ A z 2 dA
• 组合图形对某一对正交轴的惯性积等于各组成
部分对同一对正交轴的惯性积之和。
I yz = ∑ ( I yz ) i
建筑力学第七章 截面的几何性质
第七章平面图形的几何性质研究截面几何性质的意义从上章介绍的应力和变形的计算公式中可以看出，应力和变形不仅与杆的内力有关，而且与杆件截面的横截面面积A、极惯性矩I P、抗扭截面系数W P等一些几何量密切相关。
因此要研究构件的的承载能力或应力，就必须掌握截面几何性质的计算方法。
另一方面，掌握截面的几何性质的变化规律，就能灵活机动地为各种构件选取合理的截面形状和尺寸，使构件各部分的材料能够比较充分地发挥作用，尽可能地做到“物尽其用”，合理地解决好构件的安全与经济这一对矛盾。
第一节 静矩一、静距的概念Ay S z d d =Az S y d d =⎰⎰⎰⎰====AAy y AAz z Az S S A y S S d d d d zy d A yz静距是面积与它到轴的距离之积。
平面图形的静矩是对一定的坐标而言的，同一平面图形对不同的坐标轴，其静矩显然不同。
静矩的数值可能为正，可能为负，也可能等于零。
它常用单位是m 3或mm 3。
形心d A zyy zCx Cy ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⋅∆∑=⋅∆∑=A y A y Az A z C C ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==⎰⎰A ydA y A zdA z AC A C ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==A S y A S z z C y C ⎭⎬⎫⋅=⋅=C y C z z A S y A S 平面图形对z 轴（或y 轴）的静矩，等于该图形面积A 与其形心坐标y C （或z C ）的乘积。
当坐标轴通过平面图形的形心时，其静矩为零；反之，若平面图形对某轴的静矩为零，则该轴必通过平面图形的形心。
如果平面图形具有对称轴，对称轴必然是平面图形的形心轴，故平面图形对其对称轴的静矩必等于零。
⎭⎬⎫⋅=⋅=C y C z z A S y A S二、组合图形的静矩根据平面图形静矩的定义，组合图形对z 轴（或y 轴）的静矩等于各简单图形对同一轴静矩的代数和，即⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=+++==+++=∑∑==ni Ci i Cn n C C y ni Ci i Cn n C C z z A z A z A z A S y A y A y A y A S 1221112211 式中 y Ci 、z Ci 及A i 分别为各简单图形的形心坐标和面积;n 为组成组合图形的简单图形的个数。
建筑力学6截面图形几何性质
截面图形的几何性质一.重点及难点：(一).截面静矩和形心1.静矩的定义式如图1所示任意有限平面图形，取其单元如面积dA ，定义它对任意轴的一次矩为它对该轴的静矩，即ydAdSx xdA dS y == 整个图形对y 、z 轴的静矩分别为⎰⎰==AAy ydASx xdAS （I-1） 2.形心与静矩关系 图I-1设平面图形形心C 的坐标为C C z y , 则 0AS y x= ， A S x y = （I-2）推论1 如果y 轴通过形心（即0=x ），则静矩0=y S ；同理，如果x 轴通过形心（即0=y ），则静矩0=Sx ；反之也成立。
推论2 如果x 、y 轴均为图形的对称轴，则其交点即为图形形心；如果y 轴为图形对称轴，则图形形心必在此轴上。
3.组合图形的静矩和形心设截面图形由几个面积分别为n A A A A ⋯⋯321,,的简单图形组成，且一直各族图形的形心坐标分别为⋯⋯332211,,,y x y x y x ；；，则图形对y 轴和x 轴的静矩分别为∑∑∑∑========ni ni ii xi x ni ii ni yi y y A S S x A S 1111S （I-3）截面图形的形心坐标为∑∑===ni ini ii AxA x 11 ， ∑∑===ni ini ii AyA y 11 （I-4）4.静矩的特征(1) 界面图形的静矩是对某一坐标轴所定义的，故静矩与坐标轴有关。
(2) 静矩的单位为3m 。
(3) 静矩的数值可正可负，也可为零。
图形对任意形心轴的静矩必定为零，反之，若图形对某一轴的静矩为零，则该轴必通过图形的形心。
(4) 若已知图形的形心坐标。
则可由式（I-1）求图形对坐标轴的静矩。
若已知图形对坐标轴的静矩，则可由式（I-2）求图形的形心坐标。
组合图形的形心位置，通常是先由式（I-3）求出图形对某一坐标系的静矩，然后由式（I-4）求出其形心坐标。
（二）.惯性矩 惯性积 惯性半径1. 惯性矩（极惯性矩、对y 轴和x 轴的惯性矩）定义 设任意形状的截面图形的面积为A （图I-3），则图形对O 点的极惯性矩定义为⎰=Ap dA I 2ρ （I-5）图形对y 轴和x 轴的惯性矩分别定义为⎰=Ay dA x I 2 ， dA y I Ax ⎰=2 （I-6）惯性矩的特征（1） 界面图形的极惯性矩是对某一极点定义的；轴惯性矩是对某一坐标轴定义的。
附录1 截面图形的几何性质概况PPT课件
1.1 静矩和形心
max
FN max A
;
T
GI P
;
max
T WP
一、截面的静矩(static moment)
dSx dA y
dSy dA x
Sx dSx ydA
A
A
Sy dSy xdA
A
A
3
二、形心(centriod of an area）
¯x
m x dm m
h1 2
bh1
( h2 2
h1 ) dh2
h2
Sy x.A 0
x0
h1
x
y Sx
b
A
8
1.2 惯性矩、惯性积和惯性半径
一、惯性矩(moment of inertia)：（类似于转动惯量）
Ix y2dA A
I y x2dA A
二、极惯性矩：是面积对极点的二次矩。 IP r2dA Ix I y A
xi Ai
x 1
A1
x.3 120 80 70 110
图（b）
y
yi Ai
y 1
A1
y 2 A2
A
A1 A2
5 (70 110) 20.3 120 80 70 110
7
练习：求Sx、Sy，并求形心位置。
yd
S x S1x S2 x
I x I xC b2 A
12
I x I xC b2 A 同理：
I y I yC a2 A I xy I xC yC abA
注意！C点必须为截面形心。
13
y
d O
A
例 3-1 求图示圆对其切线AB的惯性矩. 解 ：求解此题有两种方法：一是安
第7章-截面图形的几何性质（PDF）
第7章 截面图形的几何性质教学提示：在对构件进行应力和强度等计算时，需要用到构件截面图形的几何性质，即与构件截面几何形状和尺寸有关的一些量，例如形心、静矩、惯性矩、惯性半径、极惯性矩、惯性积等。
本章的主要内容就是讨论这些几何性质的定义和计算。
教学要求：通过本章学习，要求理解形心、静矩、惯性矩、极惯性矩、惯性积和主惯性矩的概念，会用平行移轴公式计算组合截面对形心轴的惯性矩、主惯性矩等。
受力构件的承载能力，不仅与材料性能和加载方式有关，而且与构件截面的几何形状和尺寸有关。
当研究构件的强度、刚度和稳定性问题时，都要涉及到一些与截面形状和尺寸有关的几何量。
这些几何量包括：形心、静矩、惯性矩、惯性半径、极惯性矩、惯性积、主惯性矩等，统称为“截面图形的几何性质”。
研究这些几何性质时，完全不需考虑研究对象的物理和力学因素，只作为纯几何问题处理。
7.1 静矩与形心考察如图7.1所示任意截面几何图形。
在其上取面积微元d A ，设该微元在Oyz 坐标系中的坐标为(y 、z )。
定义下列积分d y AS z A =∫， d z AS y A =∫(7.1)图7.1分别为截面图形对y 轴和z 轴的静矩(或称为面积矩)。
其量纲为长度的三次方。
常用单位是3m 或3mm 。
由于均质等厚薄板的重心与薄板截面图形的形心有相同的坐标(C y 、C z )，而薄板的重心坐标由式(2.24)给出，即d d AAzCy V y A S y V AA ===∫∫d d y AAC z Vz A S z VAA===∫∫第7章 截面图形的几何性质·91··91·所以，形心坐标为d Az Cy A Sy AA==∫， d y ACz A S z AA==∫ (7.2a)或y C S A z =⋅，z C S A y =⋅(7.2b)由式(7.2)可知，若某坐标轴通过形心轴，则图形对该轴的静矩等于零，即若0C y =，则0z S =，或若0C z =，则0y S =；反之，若图形对某一坐标轴的静矩等于零，则该坐标轴必然通过图形的形心。
截面的几何性质
b2
A
上式称为计算惯性矩的平行移轴公式。这个公式表明 ：截面对任意一个轴的惯性矩，等于截面对与该轴平行的 形心轴的惯性矩加上截面的面积与两轴距离的乘积。
工程力学与建筑结构
1.4 组合截面的惯性矩
在计算组合截面对某座标轴的惯性矩时，根据定义， 可分别计算各组成部分对该轴的惯性矩，然后再相加，即 ：
工程力学与建筑结构
工程力学与建筑结构
截面的几何性质
在工程中研究构件的受力和变形时，经常会遇到一些 和构件的横截面形状、尺寸有关的几何量，这些几何量通 称为截面的几何性质。 1.1 截面的静矩和形心 1. 截面的静矩
如图所示的平面图形代表一个任意截面，其面积为A 。在图形平面内选坐标系Oyz，在坐标为(y, z)处取微面积 dA ，则以下两个积分分别被定义为平面图形A 对于z轴和y 轴的静矩。
I z iz2 A
Iy
i
2 y
A
于是得到:
iz
Iz A
iy
IyБайду номын сангаасA
通常把iz和iy分别称为平面图形对z轴和y轴的惯性半径 （或回转半径）。
工程力学与建筑结构
1.3平称移轴公式 同一截面对于不同坐标轴的惯性矩不相同， 但它们
之间都存在着一定的关系。
I z I zc a 2 A
Iy
I yc
Ai
i 1
工程力学与建筑结构
1.2 截面的惯性矩 1. 惯性矩的计算公式
任意一个构件的横截面如图所示，其面积A 对于z轴和 y轴的惯性矩定义为 ：
I z
A
y 2dA
I y
z 2dA
A
常用截面的惯性矩可查阅工程设计手册。
工程力学与建筑结构
《工程力学》课件第6章 截面图形的几何性质
Ip
r2dA A
D 2
r2
2
rdr
D4
0
32
Ip Iy Iz
Iy
பைடு நூலகம்
Iz
Ip 2
D4
64
四、组合截面的惯性矩与惯性积
z
I
例如工字型截面 A AI AII AIII
II
y
III
Iy
z 2 dA
A
z2dA z2dA z2dA
AI
AII
AIII
m
I yI I yII I yIII I yi
包括：形心、静矩、极惯性矩、惯性矩、惯性半径、惯 性积、主轴和形心主轴、主矩和形心主矩等
6.1 静矩和形心
一、静矩
截面对z轴的静矩
z
Sz
ydA
A
截面对y轴的静矩
y
dA
A
z
Sy
zdA
A
o
单位： m3
y
静矩的数值可大于零、等于零或小于零。
二、形心
如图所示均质薄板，重心与形心C重合，
由静力学可知形心坐标在yoz：
何关系， y R sin , dy R cosd ,
dA 2R cosdy 2R2 cos2 d
Sz
A
（2）形心
ydA yC
2 0
Sz A
R sin 2R2 cos2 d
2 R3 3
4R
1 R2 3
zC
2 3
0
R3
2
三、组合截面的静矩和形心 z
D d
y
整个图形对某一轴的静矩等于各个分图形对同一轴的静矩之和。
z1
y1 z
(优选)截面的几何性质ppt讲解
y
1.极惯性矩（或截面二次极矩）
I p
2d A
A
y
2.惯性矩（或截面二次轴矩）
I y
x2 d A
A
I x
y2d A
A
（为正值，单位m4 或 mm4) O
由于 2 y2 x2
dA
x
x
所以
Ip
2 d A
A
(y2
A
x2)
dA
IxIy
（即截面对一点的极惯性矩，等于截面对以该点为原
bh2
S x
y d A (h y)y d y
A
0h
6
例2求图示半径为r的半圆形对其直径轴x的静矩及其形心坐标yC 。
解：过圆心O作与x轴垂直的y轴，在距x任意高度y处取一个与x 轴平行的窄条，
d A 2 r2 y2 • d y
y
dA
dy
yC
Sx
A
yd
A
r
0
y(
2
r2 y2 )d y 2 r3 3
•组合截面的惯性矩和惯性积
1.惯性矩和惯性积的平行移轴公式
1.公式推导
y
yC
x
b
xC
I x
y2d A
A
A yc a2 d A
A yc 2 d A 2a A yc d A a2 A d A
I xc 2a A yc a2 A
C
dA yC
xC I xc a 2 A
y a
yC
Ai yC i Ai
(20010) (5 150) 2 (10300) 0 20010 2 (10300)
38.8 mm
矩形I
截面的几何性质课件
目录
• 截面的基本概念 • 截面的形状分类 • 截面的力学性质 • 截面的设计原则 • 截面的优化设计 • 截面的实验研究 • 截面的工程实例
01
截面的基本概念
截面的定义
二维图形
截面是指用一个平面去截一个三 维图形（如长方体、正方体、球 体等），得到的二维图形。
几何形状
根据所用的平面和三维图形的相 对位置不同，截面可以是圆、椭 圆、矩形、三角形等不同的几何 形状。
01
进行实验
按照实验方案进行实验操作，并详细记录实验数据。
02
数据清洗与预处理
对采集到的实验数据进行清洗和预处理，以消除异常值和缺失值，确保
数据质量。
03
数据转换与统计分析
对预处理后的数据进行转换和统计分析，以挖掘截面几何性质的特征和
规律。
结果评估与应用
结果评估
根据统计分析结果，对截面几何性质的特征和规律进行评估 ，验证实验设计的合理性和结果的可靠性。
截面的形状、尺寸、材料、截面系数等。
计算公式
最大剪力 = 截面系数 x 剪力系数 x 跨度 x 集中荷载。
截面的抗扭强度
定义
截面的抗扭强度是指截面在承受扭矩作用下的最大抗扭能力。
影响因素
截面的形状、尺寸、材料、截面系数等。
计算公式
最大扭矩 = 截面系数 x 扭矩系数 x 跨度 x 集中荷载。
04
截面的设计原则
安全性原则
确保截面结构强度
在设计截面时，需要考虑结构强度和 稳定性，以避免在承载重量或受到外 力作用时发生变形或损坏。
保障截面安全使用
设计时应考虑到使用者的安全，避免 出现尖锐边角或易滑倒的表面，确保 使用过程中不会发生意外伤害。
截面·平面图形几何性质.pdf
∫ ∫ Sy =
zdA =
h z i b (h − z) i dz = bh2
0h
6
zc
=
Sy A
=
bh2 / 6 bh / 2
= h/3
【例 4.2】 求图 4.3 所示半圆截面的静矩 Sy，Sz 及形心 C 位置。已知圆的半径为 R。
【解】（1）求静矩。由于 y 轴为对称轴，故有
Sy = 0
取平行于 z 轴的狭长条作为微面积 dA，则有 dA = 2R cosθ dy
i =1
Iz,2 + Iz,3
=
BH 3 12
−
2
×
⎧⎪ ⎨
⎡⎣(
B
⎪⎩
−
d ) / 2⎤⎦ h3
12
⎫⎪ ⎬ ⎪⎭
=
1 12
⎡⎣BH 3
−(B
−
d ) h3 ⎤⎦
。
【例 4.7】 试计算图 4.10 中矩形和圆形对过形心的 y 轴、z 轴的惯性半径。
图 4.9 例 4.6 图
图 4.10 例 4.7 图
yc
=
Sz A
=
2 R3 3 1 πR2
=
4R 3π
，
zc
=
0
2
·81·
材料力学
4.1.2 组合图形的形心和静矩
在工程实际中，许多杆件的截面图形由若干个简单的基本几何图形（如矩形、圆形、 三角形等）组成，这种截面称为组合截面。由式（4.2）得到分块积分原理，即整个平面 图形对某一轴的静矩应等于其所有基本几何图形对该轴静矩的代数和。因此由式（4.3a） 可得
3
∑∑ yc
=
Ai yci
i =1 3
截面图形的几何性质-材料力学
yC
Sz A
558000 9000
62
Sz Sz1 Sz2 120 40 20 140 30110 558000
A A1 A2 120 40 140 30 9000
120
I
CI
C
CII
II
y 30
参考轴
z 40
yC
zC 140
注意
① 由两块组成组合图形，其复合图形形心一定位于两个子图的形心连线上。 ② 组合图形形心计算公式也适用于负面积情况， 但要记住面积为负号。
z
I
C1 C
s
C2
II
b
y1 h
y
y2
t
典型例题
例3 已知组合截面尺寸t=20mm，h=140mm，b=100mm。试求截面图
形对形心轴 y 的惯性矩。
t
解： 由平行移轴定理
矩形1对y轴的惯性矩：
I (1) y
I y1
b12 A1
矩形2对y轴的惯性矩：
I (2) y
I y2
b22 A2
整个截面的惯性矩：
Iz
y 2 dA
A
h y2bdy 0
b
y3 3
/
h 0
bh3 3
y
h b
dy y
z
典型例题
例2 试求图示截面对形心轴zC轴的惯性矩。
IzC
y 2 dA
A
h
2 h
y2bdy
2
b
y3 3
h
/
2
h
2
bh3
12
I yC
z 2dA
A
y
yC
hb3 =
截面几何性质
a b b C. Iy ≺ Iy， x ≻ Ix； Ia y
b b D Iy ≺ Iy， x ≺ Ix。 . a Ia y
o
x
o
x
(a)
(b)
C
课堂练习
I.
图示半圆形，若圆心位于坐标原点，则（
y
2R
R
O
C. Iy ≻ Ix；
B
R
x
课堂练习
I.
图示任意形状截面，若Oxy轴为一对主形心轴，则 （ ）不是一对主轴。
A O ； . xy
y1
y
B. O xy； 1 1
C. O x1y1 ； 2
D O x1y。 . 3
O1 O2
O
O3
x
x1
C
课堂练习
I.
任意图形，若对某一对正交坐标轴的惯性积为零， 则这一对坐标轴一定是该图形的（ ）。
xy
∫
A
∫
A
5、组合图形对某一点的极惯性矩或对某一轴的惯性矩、惯性积 、组合图形对某一点的极惯性矩或对某一轴的惯性矩、 dA x x n n n n
y
y
2
∫ (− xy )dA = 0
A 2
dA
I P = ∑ I Pi
i =1
I x = ∑ I xi
i =1
I y = ∑ I yi
i =1
I xy = ∑ I xyi
D
课堂练习
I. 图示任意形状截面，它的一个形心轴zc把截面分成 Ⅰ和Ⅱ两部分，在以下各式中，（ ）一定成立。
A I +I .
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截面图形的几何性质
1
4
截面图形的几何性质
4.1 截面的静矩与形心 4.2 惯性矩与惯性积 4.3 平行移轴公式 4.4 惯性矩和惯性积的转轴公式
4.5 截面的主惯性轴和主惯性矩
2
4.1 截面的静矩与形心
1、静矩 任意平面图形 A （例如杆的横截面） 建立 yz 坐标系（x轴为杆的轴线） 平面图形的形心C(yc,zc) 图形对 y 轴的静矩
截面的形心C在x，y坐标系内的坐标为
x b和y a。
13
4.3 平行移轴公式
因截面上的任一元素dA在x，y
坐标系内的坐标为
x xC b，
于是有
y yC a
2 I x y 2 d A yC a d A yC d A 2a yC d A a 2 d A 2 A A A A A
例1 试计算图示三角形截面对于与其底边重合的z轴的静矩。
y
O b
y
z
b (y )
h
解： 取平行于x轴的狭长条，
b 因此 d A ( h y ) d y h
b 易求 b( y ) (h y ) h
所以对 x 轴的静矩为
S x Ad y h 6
y
dA
I y z dA
2 A
y
I z y 2 dA
A
O
z
z
惯性矩的单位：m4,cm4,mm4
7
4.2 惯性矩与惯性积
图形对原点的 极惯性矩
I p 2dA ( y 2 z 2 )dA I z I y
A A
y
图形对z轴和y轴 惯性半径
dA
iz
IZ A
整个截面对于z、y两坐标轴的 惯性积
y
I yz yzdA
A
dA
（1）惯性积与轴有关，可正可负可 为零。
（2）若 y , z 轴有一为图形的对称轴， 则 Iyz = 0。
y
性质
O
z
z
12
4.3 平行移轴公式 1、平行移轴公式
已知任意形状的截面(如图)的面积A以及对于形心轴xC 和yC的惯性矩 I xC，I yC 及惯性积 I x y ，现需导出该截面对于 C C 与形心轴xC ， yC平行的x轴和y轴的惯性矩Ix，Iy和惯性积Ixy。
yC Ay A
i i Ci
A yC A yC A A
1200mm2 10mm+1200mm2 50mm 30mm 2 2 1200mm 1200mm 6
60
20
解：zC=0，只需计算yC
z
yC
C
4.2 惯性矩与惯性积 1、惯性矩
图形对 y，z 轴的 轴惯性矩
I xC 2a S xC a 2 A
注意到xC轴为形心轴，故上式中的静矩 S xC等于零，从而有
I x I xC a 2 A
14
4.3 平行移轴公式
I x I xC a 2 A
同理可得
I y I yC b2 A
I xy I xC yC abA
以上三式就是惯性矩和惯性积的平行移轴公式。需要
O
dy
z
I y z 2dA
b 2 b 2
3 b h 2 hz dz 12
b
因为z轴（或y轴）为对称轴，故惯性积
I yz 0
9
4.2 惯性矩与惯性积
例4 试计算图示圆形截面对O点的极惯性矩IP和对于其形心轴 （即直径轴）的惯性矩Iy和Iz。 解：建立如图所示坐标系，取图示微元dA,
y dA C
y yC
S y zdA
A
O
zC z
z
图形对 z 轴的静矩
S z ydA
A
静矩的单位：m3,cm3,mm3
3
4.1 截面的静矩与形心
2、形心的位置
yC
ydA
A
A
Sz zC A ，
zdA
A
A
Sy A
静矩的性质 （1）静矩与轴有关，可正可负可为零。 （2）若yC,zC坐标轴过形心，则有
y
d
dA 2π d
πd 4 2 2 I P dA (2π d ) A 32 由于圆截面对任意方向的直径轴都是对称的， 故
d 2 0
O
z
I y Iz
d
所以
I P πd 4 I y Iz 2 64
10
4.2 惯性矩与惯性积
矩形： b
圆形： d
iy
Iy A
y
O
z
z
8
4.2 惯性矩与惯性积
例3 试计算图示矩形截面对于其对称轴（即形心轴）z和y 的惯性矩Iz和Iy，及其惯性积Iyz。 y
z dz
I z y dA
2 A
同理
A
h 2 h 2
3 bh by 2dy 12
h
y
解：取平行于z轴的狭长条作为面积元素， 则 dA bdy
注意的是式中的a，b为坐标，有正负，应用惯性积平行移
轴公式时要特别注意。
15
4.3 平行移轴公式
2、组合截面的惯性矩及惯性积
若组合截面由几个部分组成，则组合截面对于x，y 两轴的惯性矩和惯性积分别为
I x I xi，
i 1
n
I y I yi，
i 1
n
I xy I xyi
i 1
n
d2
y2
x
O x
y1 y
16
b
d1
h
4.3 平行移轴公式
例5 试求图a所示截面对
于x轴的惯性矩Ix ，对于y轴
空心圆形： D d z y
h
z
z
y
bh3 Iz 12 hb3 Iy 12
y
Iz Iy Ip
d 4
64
4
Iy Iz
D 4 d 4
64
D 4
64
d
(1 4 )
32
32
Ip
D 4
dD
11
(1 4 )
4.2 惯性矩与惯性积
2、惯性积
S yC 0
S zC 0
A1 c1 A2 c2
Sy
（3）组合图形静矩可分块计算求代数和
S z S z1 S z 2 A1 yC1 A2 yC 2
（4）求形心
S z A1 yC1 A2 yC 2 yC A A
A1 zC1 A2 zC 2 zC A A
4
4.1 截面的静矩与形心
dy
5
4.1 截面的静矩与形心
例2 试计算图示T型截面的形心位置。
60
将截面分为I、II两个矩形，建立 如图所示坐标系。 各矩形的面积和形心坐标如下：
y
C
yC
z C zC C z
A A 20mm 60mm=1200mm2 yC 50mm yC 10mm
y 20
于是：