第七讲 算术平方根及勾股定理

1．算术平方根

一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即2x a ，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根.

a 的算术平方根记为______，读作________，a 叫做__________.

规定：0的算术平方根是_____. 2．勾股定理

（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于_____的平方．

如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2

． （2）勾股定理应用的前提条件是在___三角形中．

（3）勾股定理公式a 2+b 2=c 2 的变形有：a 2=c 2﹣b 2，b 2= c 2﹣a 2及c 2=a 2+b 2

．

（4）由于a 2+b 2=c 2＞a 2

，所以c ＞a ，同理c ＞b ，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中

的每一条直角边． 3. 直角三角形的性质

（1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．

（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：

性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）． 性质2：在直角三角形中，两个锐角___．

性质3：在直角三角形中，斜边上的___等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位

于斜边的中点）

性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．

算术平方根及勾股定理

性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的___；在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，

那么这条直角边所对的锐角等于___．

4．勾股定理的应用

（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．

（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．

（3）常见的类型：

①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．

②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以

斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．

③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．

④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是

两个正整数的直角三角形的斜边．

5．平面展开-最短路径问题

（1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，_________．在平面图形上构造直角三角形解决问题．

（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．

（20-40分钟）

解算术平方根

考点1

【典题导入】【亮点题】

【例1】求下列各数的算术平方根

（1）100 （2）0.0001

【方法提炼】

根据算术平方根的定义求解即可.

【小试牛刀】

练1. 求下列各数的算术平方根

（1）0.0025 （2）121 【解析】根据算术平方根的定义计算即可.

练2. （2014春•

普陀区校级月考）2

(4) 的算术平方根是________；81的算术平方根的相反数是__________.

【解析】先将原式化简，再利用算术平方根的定义求解即可.

勾股定理

【典题导入】【亮点题】

【例2】（2014•临沂蒙阴中学期末）已知△ABC 中，AB=17，AC=10，BC 边上的高AD=8，则

边BC 的长为（ ）

A ．21

B ．15

C ．6

D ．以上答案都不对．

高线AD 可能在三角形的内部也可能在三角形的外部，本题应分两种情况进行讨论．分别依

据勾股定理即可求解．

【方法提炼】

【小试牛刀】

练3. （2014秋•绥化六中质检）在△ABC 中，AB=15，AC=13，BC 上的高AD 长为12，则

△ABC 的面积为（ ）

A ．84

B ．24

C ．24或84

D ．42或84 【解析】由于高的位置是不确定的，所以应分情况进行讨论．

练4.（2014春•江西赣州中学期末）如图所示，AB=BC=CD=DE=1，AB ⊥BC ，AC ⊥CD ，AD ⊥

DE ，则AE=（ ）

考点2

A．1 B． C． D．2

等腰直角三角形

【典题导入】【亮点题】

【例3】（2014•鹰潭中学校级模拟）已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，第n个等腰直角三角形的面积是（）

A．2n﹣2 B．2n﹣1 C．2n D．2n+1

【解析】根据△ABC是边长为1的等腰直角三角形分别求出Rt△ABC、Rt△ACD、Rt△ADE 的面积，找出规律即可．

【方法提炼】

【小试牛刀】

练5.将一等腰直角三角形纸片对折后再对折，得到如图所示的图形，然后将阴影部分剪掉，把剩余部分展开后的平面图形是（）

A． B． C． D．

【解析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解结合实际操作解题．

勾股定理的应用

【典题导入】【亮点题】

考点4

考点3