哈工大断裂力学讲义(第三章)(1)
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第三章 第一部分 断裂分类及微观机制
•世界载人航天史上的悲剧 ——“挑战者”号航天飞机升空失事
1986年 1月28日，“挑 战者”号第10次飞行中， 升空73秒后起火爆炸。 造成直接经济损失近20亿 美元，7名航天员死亡， 航天飞机飞行被迫中断近 2年，直到1988年9月29日 才恢复“发现号”的飞行。
事故原因：“挑战者”号右侧助推火箭连接处的 O形 密封圈在火箭点火后破裂，燃烧火焰热流外逸，波及 燃料箱，引起爆炸。
2011 年 7 月 14 日上午 8 点 50 分左右， 福建武夷山市的武夷山公馆大桥北 端发生垮塌事故，牌号为闽 H30953 的一辆旅游大巴车坠入桥 下，当场造成1人死亡，22人受伤
2011年7月15号，通车仅14 年的杭州钱江三桥引桥坍塌。
2011年7月19号，零点40分，一辆重 达160吨的严重超载货车，通过北京 市宝山寺白河桥时，造成桥梁塌毁。
• 脆性断裂
——在断裂前几乎不产生明显的宏观塑性变形或塑性 变形量极小，难以察觉，断裂突然发生，而且有时伴随 产生大量碎片，其危害性极大，经常导致灾难性的后果。
80℃
-30℃
此种分类方法只具有相对意义：
• 同一种材料，条件改变（如应力、温度、环境等变 化），其变形量也可能发生显著的变化； • 在某些情况下，宏观范围内是脆性断裂，但在局部 范围或微观范围内却存在着大量的塑性变形。
断口上观察到韧窝并不意味该材料发生了韧性断裂 ——韧窝的存在，只说明材料在局部微小区域内曾发生过剪切 变形，变形可能只局限于断裂路径所经过的很小体积内，即断 口两侧的微观区域内，至于在宏观区域内材料是否表现为有很 大的塑性并不能由此而定。 沿晶断裂的断口表面 上虽然存在微观塑性变形 所形成的韧窝，但是宏观 表现仍然为脆性断裂。
2、微孔聚合型断裂的裂纹长大 ——微孔形成后，依靠第二相粒子周围金属的塑性变形而长大。
断裂力学第三讲断裂力学理论
应力强度因子。应力强度因子是有限量，它是代表应 力场强度的物理量，用其作为参量建立破坏条件是 合适的。
27
应力强度因子
应力强度因子一般写为：
K Y a
——名义应力，即裂纹位置上按无裂纹计算的应力
a ——裂纹尺寸，即裂纹长或深
Y——形状系数，与裂纹大小、位置有关
应力强度因子单位：N.m-3/2
28
应力强度因子
3
k
Hale Waihona Puke 1平面应力3 4 平面应变
14
Ⅲ型裂纹求解
对于I型和II型裂纹来说，是属于平面问题。但对于III型裂纹， 由于裂纹面是沿z方向错开，因此平行于xy平面的位移为零， 只有z方向的位移不等于零 对于此类反平面问题，前面给出的平面问题的基本方程已不 适用，因此不能沿用Airy应力函数求解，需要从弹性力学的 一般（空间）问题出发，推导公式。弹性力学一般问题的基 本方程，可以仿照平面问题的方法导出
同。选取应力函数
＝yReZII
II x
yReZII z
yII ReZIIzyImZIIz
因为
ReZzReZz
x
ReZzImZz
y
ImZz ReZz
y
所以
2II x2
yReZII
z
2 y2II 2ImZIIzyReZIIz 2 xyII ReZIIzyImZIIz
8
Ⅱ型裂纹求解
得到II型裂纹问题各应力分量表达式为
用解析函数求解III型裂纹尖端 应力强度因子的定义式
19
Ⅲ型裂纹求解
应力强度因子是在裂尖时 0存在极限，若考虑裂尖附近 的一个微小区域，则有：
KI 2ZΙΙI()
ZΙI ( )
27
应力强度因子
应力强度因子一般写为：
K Y a
——名义应力，即裂纹位置上按无裂纹计算的应力
a ——裂纹尺寸，即裂纹长或深
Y——形状系数，与裂纹大小、位置有关
应力强度因子单位：N.m-3/2
28
应力强度因子
3
k
Hale Waihona Puke 1平面应力3 4 平面应变
14
Ⅲ型裂纹求解
对于I型和II型裂纹来说，是属于平面问题。但对于III型裂纹， 由于裂纹面是沿z方向错开，因此平行于xy平面的位移为零， 只有z方向的位移不等于零 对于此类反平面问题，前面给出的平面问题的基本方程已不 适用，因此不能沿用Airy应力函数求解，需要从弹性力学的 一般（空间）问题出发，推导公式。弹性力学一般问题的基 本方程，可以仿照平面问题的方法导出
同。选取应力函数
＝yReZII
II x
yReZII z
yII ReZIIzyImZIIz
因为
ReZzReZz
x
ReZzImZz
y
ImZz ReZz
y
所以
2II x2
yReZII
z
2 y2II 2ImZIIzyReZIIz 2 xyII ReZIIzyImZIIz
8
Ⅱ型裂纹求解
得到II型裂纹问题各应力分量表达式为
用解析函数求解III型裂纹尖端 应力强度因子的定义式
19
Ⅲ型裂纹求解
应力强度因子是在裂尖时 0存在极限，若考虑裂尖附近 的一个微小区域，则有：
KI 2ZΙΙI()
ZΙI ( )
哈工大断裂力学讲义
裂纹扩展形成新的表面，需要吸收的能量为
S = 4aBγ
γ ——形成单位面积表面所需要的表面能
4aB ——上下表面的面积和。
4
1 能量释放率与G准则
临界状态：应变能释放率
dU (dA = 2Bda) dA
= 形成新表面所需要吸收的能量率 dS dA
d (U − S) = 0 dA
稍有干扰，裂纹就自行扩展，成为不稳定。
5
1 能量释放率与G准则
d (U − S ) = 0 dA
d (U − S ) < 0 dA
d (U − S ) > 0 dA
临界状态 裂纹稳定 裂纹不稳定
应变能释放率 能量吸收率
G1
=
dU dA
G1c
=
dS dA
I代表I型裂纹，那么裂纹的临界条件为
G1 = G1c
6
1 能量释放率与G准则
对于平面应力问题，
σz = σ
z2 − a2
( ) lim
z →∞
Z
' 1
(
z
)
=
lim
z →∞
− σa 2
z2 − a2 3/2
=0
在裂纹表面 y=0 x < a 处
Z1(z) =
σz =
z2 − a2
σx
x2 − a2
⎧σ
⎪
x
=
σ
⎨σ y = σ
⎪⎩τ xy = 0
虚数！
y=0
Re Z1(z) = 0
1 σε = 1 σ 2
2 2E
中心割开一个裂纹，那么由于裂纹表面应力消失，放出部分应变
能。
3
1 能量释放率与G准则
断裂力学讲义ch3-线弹性断裂力学_821005759
y tg Argz x
复数的三角表示法： z r cos i sin i 利用 Euler 公式： e cos i sin ， 可得 复数的指数表示法
z rei
复变函数基础知识回顾（续） 复变函数： w ux, y ivx, y f z f x iy 复变函数的导数：如果
可以进一步将平面问题分解为关于裂纹延长线的对称（I 型）和反 对称（II 型）问题， 为什么能这样分解？为什么要这样分解？
分别为 I,II,III 型裂纹 标量的对称： s( x1 , x2 ) sx1 , x2 ，反对称： s( x1 , x2 ) sx1 , x2 矢量的对称：经过一个镜像对称，完全吻合时。反对称定义 但是如果将对称矢量的分量视为标量时，则有的对称有的反对称
f z 0 z f z 0 lim 存在， z 0 z 称为 f z 在 z0 可导。
解析函数的概念：如果函数 f z 在 z0 及 z0 的邻域内处处可 导，那么称 f z 在 z0 解析。如果 f z 在区域 D 内每一点 解析，那么称 f z 在 D 内解析，或称 f z 是 D 内的一个 解析函数。如果 f z 在 z0 不解析，那么称 z0 为 f z 的奇 点。
整理可得调和方程
2u3 0
由复变函数中解析函数的性质可知， u3 若由解析函数的实 部或虚部表示，则上式自动满足
z u3 i 3
其中 3 为应力函数。
将各个场量采用解析函数 z u3 i 3 表示
由 3
u v u v u3, 和 Cauchy-Riemann 条件 x y ， y x
第三章 线弹性裂纹场分析
复数的三角表示法： z r cos i sin i 利用 Euler 公式： e cos i sin ， 可得 复数的指数表示法
z rei
复变函数基础知识回顾（续） 复变函数： w ux, y ivx, y f z f x iy 复变函数的导数：如果
可以进一步将平面问题分解为关于裂纹延长线的对称（I 型）和反 对称（II 型）问题， 为什么能这样分解？为什么要这样分解？
分别为 I,II,III 型裂纹 标量的对称： s( x1 , x2 ) sx1 , x2 ，反对称： s( x1 , x2 ) sx1 , x2 矢量的对称：经过一个镜像对称，完全吻合时。反对称定义 但是如果将对称矢量的分量视为标量时，则有的对称有的反对称
f z 0 z f z 0 lim 存在， z 0 z 称为 f z 在 z0 可导。
解析函数的概念：如果函数 f z 在 z0 及 z0 的邻域内处处可 导，那么称 f z 在 z0 解析。如果 f z 在区域 D 内每一点 解析，那么称 f z 在 D 内解析，或称 f z 是 D 内的一个 解析函数。如果 f z 在 z0 不解析，那么称 z0 为 f z 的奇 点。
整理可得调和方程
2u3 0
由复变函数中解析函数的性质可知， u3 若由解析函数的实 部或虚部表示，则上式自动满足
z u3 i 3
其中 3 为应力函数。
将各个场量采用解析函数 z u3 i 3 表示
由 3
u v u v u3, 和 Cauchy-Riemann 条件 x y ， y x
第三章 线弹性裂纹场分析
哈工大断裂力学讲义(第三章 裂纹的断裂准则 )
S 2a [(k 1)(1 cos ) (1 cos )(3cos 1)]
16G
S 0
2S
2
0
0 0
0
arccos(k 1) 6
0
arccos(k
1) 6
S 0
2a 16G
(14k
k2
1) 1 12
SC
19
KII a KIIC
K2 IIC
16G
(14k
k2
1) 1 12
裂纹扩展
R
GⅠ
KⅠ E
1 E
a
2Y 2
测定ai i
计算 R R a 阻力曲线
3.临界条件
只有 A3 点是失稳的扩展条件
G R G R
a a
3
二.能量判据
GⅠ GⅠC
三.应力强度因子判据
KⅠ KⅠC
4
§3.2 最大周向正应力理论 一.复合型裂纹断裂判据需要解决的问题
➢ 裂纹沿什么方向扩展 确定开裂角;
r
(
r
3 2
)]
0
0
12
r 0
r
3 2
0
( r
3 2
|
0
0
KⅠcos
0
2
KⅡ
sin
0
2
0 0
2
arctan
KⅠ ) KⅡ
G0
1 2 E
(
KⅡ4 KⅠ2 KⅡ2
)
G0
1 2 E
(KⅠ2
KⅡ2 )
G0 G0 根不是解
起始裂纹方向取于
2 3
| 0
| 0 0
周向应力取平稳值的方向与能量释放率取平稳值的方向
断裂力学讲义-1
'
2
......
(2.19)
应力集中与应力强度因子的关系式：
K
I
lim 0
y
max
2
,
K
II
lim
0
t
max
,
K
III
lim 0
yz
max
,
（2.20）
对于Ⅱ型模式，当无穷远处的外力τxy=τxy∞ 作用于椭圆孔时，有
t
max
xy
a / 1
2
/a
2
K II
2 r'
2r '
sin
3
2
'
cos
3
2
'
sin
'
2
2
cos
'
2
cos
3
2
'
K II
2 r'
sin
'
2
'
cos 2
cos 3 '
2
......
(2.18)
cos
'
2
1
sin
'
2
sin
3
2
'
Ⅲ型模式：
xy yz
K III
2 r'
sin
'
2
cos
所得的应力分量的解满足CCT问题的全部边界条件， 即：
z 时， x y
a x a时， y 0， xy 0
（2-6.6）
为此选择一个复变函数（在Z平面上除了a x a
之外为解析函数）为：
哈工大断裂力学讲义
处
τ xy = 0
在 z →∞处
Z1 ( z ) =
能够满足全部边界条件 我们可以考察一下
σz
z −a
2 2
25
2.张开型（I型）裂纹尖端附近的应力场.位移场
无穷远处
lim Z 1 ( z ) = lim
z →∞ '
σz
z −a − σa 2
2 2 2
z →∞
=σ =0
lim Z 1 ( z ) = lim
对于平面应力问题， dA = 2 Bda
U=
πσ 2 a 2 B
E
dU σ 2π a = dA E
临界条件
dS = 2γ dA
或
σ πa
2 c
E
= 2γ
σ 2π ac
E
= 2γ
临界应力：
2 Eγ 1 )2 σc = ( πa
表示无限大平板在平面应力状态下，长为2a裂纹失稳扩展 时，拉应力的临界值——剩余强度。
∂2 ∂ 2ϕ ∂2 Re Z y Im Z1 + ＝ 1 ∂y 2 ∂y 2 ∂y 2
(
)
(
)
σ x＝Re Z1 − y Im Z
同理(自行推导)可得：
' 1
∂ 2ϕ ‘ σ y＝ 2 ＝Re Z 1 + y Im Z 1 ∂x 2 ∂ϕ ‘ τ xy＝ − ＝ − y Re Z1
∂x∂y
23
2.张开型（I型）裂纹尖端附近的应力场.位移场
抵抗裂纹扩展能力=表面能+塑性变形能
金属材料的裂纹扩展单位面积所需要的塑性功为P 剩余强度和临界裂纹长度
9
1 能量释放率与G准则
例如：设裂纹扩展单位面积所需要的塑性变形能为P ,则 对金属p比
断裂力学讲义第三章： 弹性力学的平面问题
第3章 弹性力学的平面问题任何弹性力学问题都是空间问题，但是在某些条件下，它们可以简化为平面问题。
在平面问题中，我们以x,y,z 表示直角坐标系的三个坐标，以u,v,w 表示相应的位移分量，而以xx σ、yy σ…和xx ε、yy ε…分别表示相应的应力分量和应变分量。
§3.1 平衡方程与变形协调方程在平面问题里，所有位移量都只是x , y 的函数，与z 无关，因而所有应变和应力分量也都只是x , y 的函数，与z 无关。
平衡方程(2.40)可简化为⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂00y yyxy x xyxx f y x f y x σσσσ (3.1)变形协调方程(2.63)只余下yx x y xy yyxx ∂∂ε∂∂ε∂∂ε∂222222=+ (3.2) §3.2平面应力与平面应变3.2.1平面应力问题平面应力问题是指: 发生在物体某一方向(z 方向)的尺寸远小于其余两个方向尺寸的物体中，即物体是一个很薄的平板，此外还要求板的厚度均匀，所有外力都作用在板的中面内，或者所有外力都作用在与中面平行的平面内，且载荷对中面对称。
根据这些前提条件，在物体的两个端面(上下底面)上，进而整个物体内，=zz σ0, 其它应力分量中0==zy zx σσ。
平面应力的应变分量, 根据虎克定律(2.95)式，有0==zx yz εε,)(yy xx zz Eσσνε+-= (3.3)利用(2.95)式，虎克定律可以写成⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫+==-=-=xy xy xy xx yy yy yy xx xx E E E σνσμενσσενσσε121)(1)(1(3.4)3.2.2平面应变问题平面应变问题是指：在弹性体沿某一方向(z 方向)的尺度远大于其余两个方向的尺度，而且物体形状及载荷沿z 方向不变的情况下，在任一远离端部且与xoy 平行的平面内，物体的变形都是相同的。
此外，由于z 方向尺度极大，不能产生z 方向的位移，即0=w ，因此，物体内的变形只发生在与xoy 平行的平面内。