体育中的数学模型
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
不存在这样的选民 i ，使得
( x y)i ( x y)
5/30
Arrow定理
对于至少有三名候选人和
两名选民的投票，不存在满足Arrow公理的选
举规则。
6/30
阿罗的结论是：根本不存在一种能保证效率、尊重个人 意向、并且不依赖程序的多数规则的投票方案。或者说 ，不可能通过一定的程序准确地表达社会全体成员的个 人意向来达到合意的公共决策。
4:18:48
风
4:27:42
跑吧
4:35:09
跑吧
4:43:14
风
4:50:19
风
4:56:20
38
24
8
1
0
0
0
27/30
(5,2)规则 跑吧得分 风队得分 最终结果 25 30 跑吧胜
时间规则 19:12:11 19:37:04 跑吧胜
合理规则 663 776 风队胜
28/30
建模小结：
1. 深入分析公平性内涵，提出公平性准则； 2. 学会构造合适的实例来说明问题； 3. 国际田联积分表的应用，以及北京国际马拉松 赛成绩的利用，增强了模型的说服力。
准则一：二元独立性（ binary independence）
A与B两个队的相对顺序不应当依赖于任何其他队
的表现。
准则二：孔多塞准则（Condorcet Criterion）
一个队如果在与任一个队的两两对决中获胜，则
这个队应当是整个比赛的优胜者。
10/30
准则三：单调性（Monotonicity Criterion） 如果A队是一次竞赛的获胜者。假如在另一次竞赛 中所有的参赛队与选手都不变，A队的一个选手a提高了 名次，而除a之外的其他所有参赛选手之间的相对顺序
规则。比赛进行到一半时，成绩如下：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 C1 C2 A1 A2 A3 B1 B2 B3 B4 B5 A4 C3 C4 C5 A5
三队目前得分为：38,40,42.淘汰Ｃ队后成绩如下：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A1 A2 A3 B1 B2 B3 B4 B5 A4 A5
性与帕累托条件。
20/30
例4 考虑4个队参加的一次比赛，采用顺序孔多赛规 则，两两对决时采用（3,0）规则。比赛结果为：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C1
B1
A1
B2
A2
A3
D1 D2 D3
C2
C3
B3
设两两对决顺序为ABCD。 首先 A：B —11:10 — B胜； A B C 2 1 3 5 6 4 5 然后 B：C —11:10 — C胜； D B C 1 2 4 3 5 4 6 最后 C：D — 12:9 — D胜！ 但是有：ai < di，i=1~3，所以不满足帕累托条件。 更有甚者，a3 < d1 !
数学建模—从自然走向理性之路
吴 孟 达 苏州·西交利物浦
2014-6
【本节简介】 体育科学的研究中，也有大量的数学建模问题，例
如：棒球的最佳击球点问题，滑板滑雪赛道的设计，划
艇比赛中运动员的体力分配，NBA赛程的科学性评价，
体操团体赛出场队员的最佳组合等等，本讲重点介绍一
个案例：越野长跑团体赛的排名规则，通过对排名规则 的公平性的不同度量，可以得到不同的结果。
14/30
结论3 （5, 2）规则满足单调性。
结论4 （5, 2）规则满足帕累托条件。
15/30
三、其他几种竞赛规则评价
考虑以下几种其他规则：
1、名次加权（m，l）规则；
名次差异非均匀化。
2、迭代（m，0）规则；
每次淘汰最后一名，然后重新计算名次。
3、顺序孔多赛规则；
按任意顺序，前两队对决，胜者与下一队对决，如此进
如果A赢得3.，则对称地，B赢得6.，这时的胜负实际上由各队的
第一人决定，因此是非团体规则。 反过来，如果A赢得6.，则B赢得3.，这时的胜负由各队的第二人 决定，仍是非团体规则。
22/30
越野团体赛计分规则的Arrow定理
以名次为排序依据，那么，在有至少三个队
参加的越野团体赛中，如果一个规则同时满足二元
21/30
例5 （非团体规则的例子）考虑2个队的比赛，每个队派两名 队员，共有6种可能结果： 1. A1 A2 B1 B2 2. A1 B1 A2 B2 4. B1 B2 A1 A2 5. B1 A1 B2 A2
3. A1 B1 B2 A2
6. B1 A1 A2 B2
假设帕累托条件满足，则A赢得1.2.，B赢得4.5.。
13/30
例2 设一次比赛有A、B、C、D 4支队伍参加，成 绩如下： A：1 2 3 25 26 27 28（57） B：4 9 11 14 16 18 20（54） C：5 7 12 13 19 21 22（56） D：6 8 10 15 17 23 24（56） B队第一，A队垫底！ 但在与A队两两对决中，A队前5名名次为：1 2 3 11 12，得分29，而其他队名次都是4~10，得分30, A队胜！ 结论2 （5,2）规则不满足孔多塞准则。
8/30
越野长跑团体赛竞赛规则的公平性
越野长跑团体赛的竞赛规则如下：每个参赛团体
由7名队员组成，取该团体跑在前面的5个队员在所有
参赛选手中的排名顺序之和为该团体的得分，然后根
据各参赛队得分（由小到大）的顺序决定比赛排名（
简称5-2规则）。试讨论该竞赛规则的合理性并提出
改进方案。
9/30
一、比赛公平性的几个判断准则
合理计分规则满足所有5条公平性准则！
26/30
例6 从《2010北京马拉松男子全程成绩表》中取 出十四名选手分作两个团体，成绩及转换分数如表：
名次 报名号 团体 1 17260 风
3:10:53
2 17891 风
3:26:22
3 10280 跑吧
3:36:20
4 11342 跑吧
3:44:36
5 10656 跑吧
都不变，则A队仍应是获胜者。
准则四：帕累托条件（ Pareto Condition）
如果A、B两队各有m个队员参赛，且有 ai < bi（
i=1,2，„m），则A队排名应优于B队。
11/30
孔多塞
（Marie Jean Antoine Nicolas de Caritat, marquis de Condorcet，
独立性与帕累托条件，则该规则是非团体规则。
23/30
四、实际竞赛方案探讨
时间排序规则：
按各队前5名队员的竞赛时间之和排名。
容易验证，这个方案满足上述所有4条准则！
但在合理性上是否完美无缺呢？
24/30
准则五：成绩与训练难度匹配原则 一个团队的成绩，应体现获得该成绩所需要的训练 难度。 合理计分规则：采用（m，l）竞赛方案，记录所有 运动员比赛时间，按照《国际田联田径项目分值表》转 换为得分，取各队前m名队员的总得分为排序依据。
1743年－1794年）
● 数学家、哲学家。 ● 1782年当选法兰西科学院院士。 ● 在生命最后时刻，完成了自己的思想绝唱——《人类 精神进步史表纲要》。
12/30
二、（5,2）规则的公平性判断
我们按照上述准则来判断（5，2）规则的公平性。 例1 设一次越野团体赛有33个队231名队员参加， 其中3个队的队员成绩如下： 风队： 1，2，3，8，27，36，45（41） 越野者队： 4，12，15，24，35，49，55（90） 酷跑队： 10，11，13，28，30 ，43，69 （92） 不算风队 1，8，11，20，30，43，48（70） 6，7，9，23，25，37，62（70） 仅算两队 1，4，6，7，10，12，13（28） 2，3，5，8，9，11，14 （27） 结论1 （5,2）规则不满足二元独立性。
29/30
数学建模—从自然走向理性之路
2/30
肯尼斯·阿罗
（Kenneth J. Arrow, 1921- ）
美国著名数理经济学家。 1951年出版著名著作《社会选择和个 人价值》。
最著名的工作：“阿罗不可能定理”。
1972年荣获诺贝尔经济学奖。
3/30
Arrow公理
公理1 （选举的完全性） 选民对候选人的任何一种排序都是允许的。 公理2（个体选择与群体选择的正相关性） 如果对所有选民i，都有（x＞y）i ，那么，应当有 （x＞y）。 此性质又称为Pareto效应。
行下去，最后留下的队就是获胜队。
4、非团体规则
存在 i，使得 A < B
16/30
ai < bi
结论5
名次加权（m，l）规则不满足二元独
立性与孔多塞准则，但满足单调性与帕累托条件。
结论6
迭代（m，0）规则满足孔多塞准则与
帕累托条件，但不满足单调性，也不满足二元独立 性。
17/30
例3 考虑3个队参加的一次比赛，采用迭代（5,0）
该方案满足准则1~4！
25/30
成绩与积分之间的关系 1600 1400 1200 1000 800 600 400 200 0 0
分值（S）
实际数据 拟合曲线 y = 0.0529x2 - 29.545x + 4129 R2 = 0.9999 50 100 150 时间（T） 200 250 300
此时得分为：33,45,42，Ｂ队被淘汰。
1 2 3 4 5 6 ７ ８ ９ 10
C 1 C 2 A1 A 2 A3 A4 C 3 C 4 C 5 A5
第二轮得分为：A:28, C:27。 A队被淘汰！Ｃ队夺冠！ 故迭代（5,0）规则不满足单调性。
19/30
结论7
顺序孔多塞规则满足孔多
塞准则和单调性，但不满足二元独立
4/30
公理3 （无关候选人的独立性， Independent of irreletive alternatives ） 设 x，y 是任意两个候选人，若在两次投票中，每
个选民对 x，y 的相对排序都不变，那么在两次选举结
果中， x，y 的相对排序也应不变。
公理4 （非Байду номын сангаас裁性， Non-dictatorial ）
完美无缺的程序民主不存在！
7/30
“人们一直以来都在谋求理想的民主制度，即完美 的选举制度„„但Arrow却证明要想寻找这样一个完美 的理想选举方案是不可能的，历史上不知有多少伟大的 人物都在寻找这种完美民主，并留下记录，但他们实际 上都是在寻找一个逻辑上自相矛盾的怪物„„。从 Arrow以后关于民主的理论将完全改写。” —— 美国经济学家萨缪尔森
第二轮得分为：25,30，故最终Ａ队将夺冠。
18/30
在A队教练的督促下，A4 从第11名前进到了第6名。
1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10 11 11 12 12 13 13 14 14 15 15
C 1 C 2 A1 A2 A3 B A 5 C 3 C 4 C 5 A5 A4 1 B1 2 B2 3 B3 4 B5 4 B4
3:51:21
6 14153 跑吧
3:57:36
7 17275 跑吧
4:04:18
时间
标准分 名次 报名号
420 8 18408
286 9 18153
214 10 18560
162 11 13308
125 12 11138
95 13 17897
67 14 18213
团体
时间 标准分
风
4:13:19
风
( x y)i ( x y)
5/30
Arrow定理
对于至少有三名候选人和
两名选民的投票，不存在满足Arrow公理的选
举规则。
6/30
阿罗的结论是：根本不存在一种能保证效率、尊重个人 意向、并且不依赖程序的多数规则的投票方案。或者说 ，不可能通过一定的程序准确地表达社会全体成员的个 人意向来达到合意的公共决策。
4:18:48
风
4:27:42
跑吧
4:35:09
跑吧
4:43:14
风
4:50:19
风
4:56:20
38
24
8
1
0
0
0
27/30
(5,2)规则 跑吧得分 风队得分 最终结果 25 30 跑吧胜
时间规则 19:12:11 19:37:04 跑吧胜
合理规则 663 776 风队胜
28/30
建模小结：
1. 深入分析公平性内涵，提出公平性准则； 2. 学会构造合适的实例来说明问题； 3. 国际田联积分表的应用，以及北京国际马拉松 赛成绩的利用，增强了模型的说服力。
准则一：二元独立性（ binary independence）
A与B两个队的相对顺序不应当依赖于任何其他队
的表现。
准则二：孔多塞准则（Condorcet Criterion）
一个队如果在与任一个队的两两对决中获胜，则
这个队应当是整个比赛的优胜者。
10/30
准则三：单调性（Monotonicity Criterion） 如果A队是一次竞赛的获胜者。假如在另一次竞赛 中所有的参赛队与选手都不变，A队的一个选手a提高了 名次，而除a之外的其他所有参赛选手之间的相对顺序
规则。比赛进行到一半时，成绩如下：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 C1 C2 A1 A2 A3 B1 B2 B3 B4 B5 A4 C3 C4 C5 A5
三队目前得分为：38,40,42.淘汰Ｃ队后成绩如下：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A1 A2 A3 B1 B2 B3 B4 B5 A4 A5
性与帕累托条件。
20/30
例4 考虑4个队参加的一次比赛，采用顺序孔多赛规 则，两两对决时采用（3,0）规则。比赛结果为：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C1
B1
A1
B2
A2
A3
D1 D2 D3
C2
C3
B3
设两两对决顺序为ABCD。 首先 A：B —11:10 — B胜； A B C 2 1 3 5 6 4 5 然后 B：C —11:10 — C胜； D B C 1 2 4 3 5 4 6 最后 C：D — 12:9 — D胜！ 但是有：ai < di，i=1~3，所以不满足帕累托条件。 更有甚者，a3 < d1 !
数学建模—从自然走向理性之路
吴 孟 达 苏州·西交利物浦
2014-6
【本节简介】 体育科学的研究中，也有大量的数学建模问题，例
如：棒球的最佳击球点问题，滑板滑雪赛道的设计，划
艇比赛中运动员的体力分配，NBA赛程的科学性评价，
体操团体赛出场队员的最佳组合等等，本讲重点介绍一
个案例：越野长跑团体赛的排名规则，通过对排名规则 的公平性的不同度量，可以得到不同的结果。
14/30
结论3 （5, 2）规则满足单调性。
结论4 （5, 2）规则满足帕累托条件。
15/30
三、其他几种竞赛规则评价
考虑以下几种其他规则：
1、名次加权（m，l）规则；
名次差异非均匀化。
2、迭代（m，0）规则；
每次淘汰最后一名，然后重新计算名次。
3、顺序孔多赛规则；
按任意顺序，前两队对决，胜者与下一队对决，如此进
如果A赢得3.，则对称地，B赢得6.，这时的胜负实际上由各队的
第一人决定，因此是非团体规则。 反过来，如果A赢得6.，则B赢得3.，这时的胜负由各队的第二人 决定，仍是非团体规则。
22/30
越野团体赛计分规则的Arrow定理
以名次为排序依据，那么，在有至少三个队
参加的越野团体赛中，如果一个规则同时满足二元
21/30
例5 （非团体规则的例子）考虑2个队的比赛，每个队派两名 队员，共有6种可能结果： 1. A1 A2 B1 B2 2. A1 B1 A2 B2 4. B1 B2 A1 A2 5. B1 A1 B2 A2
3. A1 B1 B2 A2
6. B1 A1 A2 B2
假设帕累托条件满足，则A赢得1.2.，B赢得4.5.。
13/30
例2 设一次比赛有A、B、C、D 4支队伍参加，成 绩如下： A：1 2 3 25 26 27 28（57） B：4 9 11 14 16 18 20（54） C：5 7 12 13 19 21 22（56） D：6 8 10 15 17 23 24（56） B队第一，A队垫底！ 但在与A队两两对决中，A队前5名名次为：1 2 3 11 12，得分29，而其他队名次都是4~10，得分30, A队胜！ 结论2 （5,2）规则不满足孔多塞准则。
8/30
越野长跑团体赛竞赛规则的公平性
越野长跑团体赛的竞赛规则如下：每个参赛团体
由7名队员组成，取该团体跑在前面的5个队员在所有
参赛选手中的排名顺序之和为该团体的得分，然后根
据各参赛队得分（由小到大）的顺序决定比赛排名（
简称5-2规则）。试讨论该竞赛规则的合理性并提出
改进方案。
9/30
一、比赛公平性的几个判断准则
合理计分规则满足所有5条公平性准则！
26/30
例6 从《2010北京马拉松男子全程成绩表》中取 出十四名选手分作两个团体，成绩及转换分数如表：
名次 报名号 团体 1 17260 风
3:10:53
2 17891 风
3:26:22
3 10280 跑吧
3:36:20
4 11342 跑吧
3:44:36
5 10656 跑吧
都不变，则A队仍应是获胜者。
准则四：帕累托条件（ Pareto Condition）
如果A、B两队各有m个队员参赛，且有 ai < bi（
i=1,2，„m），则A队排名应优于B队。
11/30
孔多塞
（Marie Jean Antoine Nicolas de Caritat, marquis de Condorcet，
独立性与帕累托条件，则该规则是非团体规则。
23/30
四、实际竞赛方案探讨
时间排序规则：
按各队前5名队员的竞赛时间之和排名。
容易验证，这个方案满足上述所有4条准则！
但在合理性上是否完美无缺呢？
24/30
准则五：成绩与训练难度匹配原则 一个团队的成绩，应体现获得该成绩所需要的训练 难度。 合理计分规则：采用（m，l）竞赛方案，记录所有 运动员比赛时间，按照《国际田联田径项目分值表》转 换为得分，取各队前m名队员的总得分为排序依据。
1743年－1794年）
● 数学家、哲学家。 ● 1782年当选法兰西科学院院士。 ● 在生命最后时刻，完成了自己的思想绝唱——《人类 精神进步史表纲要》。
12/30
二、（5,2）规则的公平性判断
我们按照上述准则来判断（5，2）规则的公平性。 例1 设一次越野团体赛有33个队231名队员参加， 其中3个队的队员成绩如下： 风队： 1，2，3，8，27，36，45（41） 越野者队： 4，12，15，24，35，49，55（90） 酷跑队： 10，11，13，28，30 ，43，69 （92） 不算风队 1，8，11，20，30，43，48（70） 6，7，9，23，25，37，62（70） 仅算两队 1，4，6，7，10，12，13（28） 2，3，5，8，9，11，14 （27） 结论1 （5,2）规则不满足二元独立性。
29/30
数学建模—从自然走向理性之路
2/30
肯尼斯·阿罗
（Kenneth J. Arrow, 1921- ）
美国著名数理经济学家。 1951年出版著名著作《社会选择和个 人价值》。
最著名的工作：“阿罗不可能定理”。
1972年荣获诺贝尔经济学奖。
3/30
Arrow公理
公理1 （选举的完全性） 选民对候选人的任何一种排序都是允许的。 公理2（个体选择与群体选择的正相关性） 如果对所有选民i，都有（x＞y）i ，那么，应当有 （x＞y）。 此性质又称为Pareto效应。
行下去，最后留下的队就是获胜队。
4、非团体规则
存在 i，使得 A < B
16/30
ai < bi
结论5
名次加权（m，l）规则不满足二元独
立性与孔多塞准则，但满足单调性与帕累托条件。
结论6
迭代（m，0）规则满足孔多塞准则与
帕累托条件，但不满足单调性，也不满足二元独立 性。
17/30
例3 考虑3个队参加的一次比赛，采用迭代（5,0）
该方案满足准则1~4！
25/30
成绩与积分之间的关系 1600 1400 1200 1000 800 600 400 200 0 0
分值（S）
实际数据 拟合曲线 y = 0.0529x2 - 29.545x + 4129 R2 = 0.9999 50 100 150 时间（T） 200 250 300
此时得分为：33,45,42，Ｂ队被淘汰。
1 2 3 4 5 6 ７ ８ ９ 10
C 1 C 2 A1 A 2 A3 A4 C 3 C 4 C 5 A5
第二轮得分为：A:28, C:27。 A队被淘汰！Ｃ队夺冠！ 故迭代（5,0）规则不满足单调性。
19/30
结论7
顺序孔多塞规则满足孔多
塞准则和单调性，但不满足二元独立
4/30
公理3 （无关候选人的独立性， Independent of irreletive alternatives ） 设 x，y 是任意两个候选人，若在两次投票中，每
个选民对 x，y 的相对排序都不变，那么在两次选举结
果中， x，y 的相对排序也应不变。
公理4 （非Байду номын сангаас裁性， Non-dictatorial ）
完美无缺的程序民主不存在！
7/30
“人们一直以来都在谋求理想的民主制度，即完美 的选举制度„„但Arrow却证明要想寻找这样一个完美 的理想选举方案是不可能的，历史上不知有多少伟大的 人物都在寻找这种完美民主，并留下记录，但他们实际 上都是在寻找一个逻辑上自相矛盾的怪物„„。从 Arrow以后关于民主的理论将完全改写。” —— 美国经济学家萨缪尔森
第二轮得分为：25,30，故最终Ａ队将夺冠。
18/30
在A队教练的督促下，A4 从第11名前进到了第6名。
1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10 11 11 12 12 13 13 14 14 15 15
C 1 C 2 A1 A2 A3 B A 5 C 3 C 4 C 5 A5 A4 1 B1 2 B2 3 B3 4 B5 4 B4
3:51:21
6 14153 跑吧
3:57:36
7 17275 跑吧
4:04:18
时间
标准分 名次 报名号
420 8 18408
286 9 18153
214 10 18560
162 11 13308
125 12 11138
95 13 17897
67 14 18213
团体
时间 标准分
风
4:13:19
风