高等数学期末复习- 多元函数微分学

高等数学期末复习

第九章 多元函数微分学

一、内容要求

1、会求简单二元函数定义域

2、会求多二元函数表达式和值

3、会求简单二元函数的极限

4、掌握二元函数偏导数定义，性质，能确识别二元函数偏导数定义形式，得出偏导数正确表达

5、会求二元函数偏导数值：求偏导函数，代入点求值

6、会求二元函数微分值：求偏导函数，代入点求微分表达式

7、会按一元函数求导法则求直接函数的偏导数

8、会由轮换对称性确定多元函数对称元导数

9、会用链式规则求抽象形式多元函数的偏导数10、会求多元函数全微分11、会求多元隐函数的偏导数

12、会求二元函数驻点，判定二元函数极值的存在性13、能观察出简单多元函数极值情况

14、能应用多元函数求极值方法解决简单应用问题15、会求空间曲面的切平面、法线方程16、会求空间曲线的切线、法平面方程17、会求多元函数的方向导数18、会求多元函数的梯度

二、例题习题

1、二元函数的定义域是( )

x

y

z arcsin

= A.

B. |}||||),{(x y y x ≤}

0|||||),{(≠≤x x y y x C. D. }0|||||),{(≠>x x y y x }

0|||||),{(≠≥x x y y x 解：使函数有意义，只要，即，所以，选B. x y z arcsin

=||1,0y

x x

≤≠||||,0y x x ≤≠（内容要求1）

2、函数的定义域为

；

22

1

(,)ln()=++

+f x y x y x y 解：使函数有意义，只要，所以填22

1(,)ln()=++

+f x y x y x y

22

0,0x y x y +>+≠（内容要求1）

22{(,)|0,0}x y x y x y +>+≠

A

l l n

g s

3、设则( ).22

(,),f x y x y x y +-=-(,)f x y =(A)

(B)

(C)

(D) 2

2

x y -22

x y +2

()x y -xy

解：令，则，于是,u x y v x y =+=-,22

u v u v

x y +-=

=22(,)f x y x y x y +-=-⇒(,)f u v uv

=即由函数与自变量记号选取无关性有。所以选D 。（内容要求2）

(,)f x y xy =4、设，则

；

22

(,)2+=x y f x y xy

(2,3)-=f 解：，所以填。（内容要求2）4913(2,3)1212f +-=

=--13

12

-5、

(

)；

(,)lim

x y →=A.

B.

C.

D. 2

1

4

1

10

解：

(,)(,)(,)1

2lim

lim lim x y x y x y →→→===所以选A 。（内容要求3）6、

；

(,)(0,0)sin lim

→=x y xy

x 解：

(,)(0,0)(,)(0,0)(,)(0,0)(,)(0,0)

sin sin sin lim

lim []lim lim 0

x y x y x y x y xy xy xy

y y x xy xy →→→→=⋅=⋅=所以填0。（内容要求3）

7、

；

(,)(2,0)sin lim

x y xy

y →=解：

，所以填2。

（内容要求3）(,)(2,0)(,)(2,0)(,)(2,0)sin sin lim

lim lim 2x y x y x y xy xy

x y xy →→→=⋅=8、函数

在点处存在偏导数，则 ( )；

) ,(y x f )0 ,0(=-→x

x f f x )

0,2()0,0(lim

0A ．

B ．

C ．

D ．)0,0(2

1'

x f )0,0(2

1'

-

x f )0,0(2'-x f )

0,0(2'

x f 解：由偏导数定义，00(0,0)(2,0)(2,0)(0,0)

lim

2lim 2(0,0)2x x x f f x f x f f x x

→→--'=-=-所以选C 。（内容要求4）

9、 函数

在点处存在偏导数，则 (

)；

) ,(y x f )0 ,0(=-→y

y f f y 2)

,0()0,0(lim

A ．

B ．

C ．

D ．)0,0(2

1'

y f )0,0(2

1'

-

y f )0,0(2'

-y f )

0,0(2'

y f 解：由偏导数定义，0

0(0,0)(0,)1(0,)(0,0)1

lim

lim (0,0)

222

y y y f f y f y f f y y →→--'=-=-所以选B 。（内容要求4）

10、 函数

在点处存在偏导数，则 (

)；

) ,(y x f ) ,(00y x =∆∆--→∆x

y x x f y x f x )

,(),(lim

00000

A ．

B ．

C ．

D ．),(00y x f x '),(00y x f x '-),(00y x f y ')

,(00y x f y '-解：由偏导数定义，

00000000000

0(,)(,)(,)(,)

lim

lim (,)x x x f x y f x x y f x x y f x y f x y x x

∆→∆→--∆-∆-'==∆-∆所以选A 。（内容要求4）11、函数

在点处偏导数存在是在点处连续的(

)；

) ,(y x f ) ,(00y x ) ,(y x f ) ,(00y x A ．充分必要条件 B ．必要条件 C ．充分条件

D ．既不充分也不必要条件

解：选D 。（内容要求4）

12、设函数(

).

2

(,)=+f x y x (1,1)'=y f (A) 1

(B)

(C)

(D) 212

3

解：，所以选C 。（内容要求5）(,)y f x y '=

1

(1,1)2

y f '=

13、设，则(

).

2y z x =2(1,1)

z

x y -∂=∂∂(A)

(B) (C)

(D) 2-1-21

解：，所以，所以选C 。

（内容要求5）22222,z y z y x x x y x ∂∂=-=-∂∂∂2(1,1)

2z

x y -∂=∂∂14、，则

22

ln(1)z x y =++1

2

d |

x y z

===解：

，所以，，故222222,11z x z y x x y y x y ∂∂==∂++∂++11

2212

|,|33

x x y y z z x y ====∂∂==∂∂