高等数学期末复习- 多元函数微分学

高等数学期末复习第九章 多元函数微分学一、内容要求1、会求简单二元函数定义域2、会求多二元函数表达式和值3、会求简单二元函数的极限4、掌握二元函数偏导数定义，性质，能确识别二元函数偏导数定义形式，得出偏导数正确表达5、会求二元函数偏导数值：求偏导函数，代入点求值6、会求二元函数微分值：求偏导函数，代入点求微分表达式7、会按一元函数求导法则求直接函数的偏导数8、会由轮换对称性确定多元函数对称元导数9、会用链式规则求抽象形式多元函数的偏导数10、会求多元函数全微分11、会求多元隐函数的偏导数12、会求二元函数驻点，判定二元函数极值的存在性13、能观察出简单多元函数极值情况14、能应用多元函数求极值方法解决简单应用问题15、会求空间曲面的切平面、法线方程16、会求空间曲线的切线、法平面方程17、会求多元函数的方向导数18、会求多元函数的梯度二、例题习题1、二元函数的定义域是( )xyz arcsin= A.B. |}||||),{(x y y x ≤}0|||||),{(≠≤x x y y x C. D. }0|||||),{(≠>x x y y x }0|||||),{(≠≥x x y y x 解：使函数有意义，只要，即，所以，选B. x y z arcsin=||1,0yx x≤≠||||,0y x x ≤≠（内容要求1）2、函数的定义域为；221(,)ln()=+++f x y x y x y 解：使函数有意义，只要，所以填221(,)ln()=+++f x y x y x y220,0x y x y +>+≠（内容要求1）22{(,)|0,0}x y x y x y +>+≠Al l ng s3、设则( ).22(,),f x y x y x y +-=-(,)f x y =(A)(B)(C)(D) 22x y -22x y +2()x y -xy解：令，则，于是,u x y v x y =+=-,22u v u vx y +-==22(,)f x y x y x y +-=-⇒(,)f u v uv=即由函数与自变量记号选取无关性有。

所以选D 。

（内容要求2）(,)f x y xy =4、设，则；22(,)2+=x y f x y xy(2,3)-=f 解：，所以填。

（内容要求2）4913(2,3)1212f +-==--1312-5、()；(,)limx y →=A.B.C.D. 214110解：(,)(,)(,)12limlim lim x y x y x y →→→===所以选A 。

（内容要求3）6、；(,)(0,0)sin lim→=x y xyx 解：(,)(0,0)(,)(0,0)(,)(0,0)(,)(0,0)sin sin sin limlim []lim lim 0x y x y x y x y xy xy xyy y x xy xy →→→→=⋅=⋅=所以填0。

（内容要求3）7、；(,)(2,0)sin limx y xyy →=解：，所以填2。

（内容要求3）(,)(2,0)(,)(2,0)(,)(2,0)sin sin limlim lim 2x y x y x y xy xyx y xy →→→=⋅=8、函数在点处存在偏导数，则 ( )；) ,(y x f )0 ,0(=-→xx f f x )0,2()0,0(lim0A ．B ．C ．D ．)0,0(21'x f )0,0(21'-x f )0,0(2'-x f )0,0(2'x f 解：由偏导数定义，00(0,0)(2,0)(2,0)(0,0)lim2lim 2(0,0)2x x x f f x f x f f x x→→--'=-=-所以选C 。

（内容要求4）9、 函数在点处存在偏导数，则 ()；) ,(y x f )0 ,0(=-→yy f f y 2),0()0,0(limA ．B ．C ．D ．)0,0(21'y f )0,0(21'-y f )0,0(2'-y f )0,0(2'y f 解：由偏导数定义，00(0,0)(0,)1(0,)(0,0)1limlim (0,0)222y y y f f y f y f f y y →→--'=-=-所以选B 。

（内容要求4）10、 函数在点处存在偏导数，则 ()；) ,(y x f ) ,(00y x =∆∆--→∆xy x x f y x f x ),(),(lim00000A ．B ．C ．D ．),(00y x f x '),(00y x f x '-),(00y x f y '),(00y x f y '-解：由偏导数定义，000000000000(,)(,)(,)(,)limlim (,)x x x f x y f x x y f x x y f x y f x y x x∆→∆→--∆-∆-'==∆-∆所以选A 。

（内容要求4）11、函数在点处偏导数存在是在点处连续的()；) ,(y x f ) ,(00y x ) ,(y x f ) ,(00y x A ．充分必要条件 B ．必要条件 C ．充分条件D ．既不充分也不必要条件解：选D 。

（内容要求4）12、设函数().2(,)=+f x y x (1,1)'=y f (A) 1(B)(C)(D) 2123解：，所以选C 。

（内容要求5）(,)y f x y '=1(1,1)2y f '=13、设，则().2y z x =2(1,1)zx y -∂=∂∂(A)(B) (C)(D) 2-1-21解：，所以，所以选C 。

（内容要求5）22222,z y z y x x x y x ∂∂=-=-∂∂∂2(1,1)2zx y -∂=∂∂14、，则22ln(1)z x y =++12d |x y z===解：，所以，，故222222,11z x z y x x y y x y ∂∂==∂++∂++112212|,|33x x y y z z x y ====∂∂==∂∂，所以填。

（内容要求6）1212d 33|x y z dx dy ===+1212d 33|x y z dx dy ===+15、设，则221ln(1)2z x y =++(1,1)d |z =解：，所以，，故2222,11z x z y x x y y x y ∂∂==∂++∂++111111|,|33x x y y z z x y ====∂∂==∂∂，所以填。

（内容要求6）1111d 33|x y z dx dy ===+1111d 33|x y z dx dy ===+16、设，则( )；x y z arctan==∂∂xzA.B.C.D. 222y x x +22y x y+221y x +-22y x y +-解：，所以选D 。

（内容要求7）22221(1()z y yy x x x y x∂=⋅-=-∂++17、 设，则().sinyz x=z y ∂=∂(A) (B) (C) (D)1cos y x x 1cos yx x-2cos y yx x-2cos y yx x解：，所以选A 。

（内容要求7）11cos cos z y yy x x x x∂=⋅=∂18、设，则().22sin()z x y =-22zx∂=∂ (A)(B)22sin()x y --22sin()x y -(C)(D) 2224sin()x x y --222222cos()4sin()x y x x y ---解：，所以选D 。

（内容要2222222222cos(),2cos()4sin()z z x x y x y x x y x x∂∂=-=---∂∂求7）19、设，则( )；x y z ln ==∂∂xzA.B.C. D. y xx yy1-x1-解：，所以选D. （内容要求7）21()z x y x y x x∂=⋅-=-∂20、设，yxy z )1(+==∂∂yz解：，所以填1(1)ln(1)(1)(1)[ln(1)]1y y y z x xy x xy xy xy xy y xy-∂=+⋅++⋅+=+++∂+。

（内容要求7）(1)[ln(1)]1y xxy xy xy++++21、 若函数，则222xy x z +==∂∂xz解：，所以填。

（内容要求7）24zx y x∂=+∂24x y +22、设，验证。

)2(cos 22y x z -=02222=∂∂∂+∂∂y x zyz 解：22cos (cos(2)1,2sin(2),sin(2)2y z zz x x y x y x y x y∂∂=-=-+=--=-∂∂，将上述导数代入式子左端得0，所以等式成2222cos(2),cos(2)z zx y x y x y y∂∂=-=--∂∂∂立。

（内容要求7）23、设，求.44224=+-z x y x y 222222,,,∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂z z z z x y x y y x解：22322248,128,16z z z x xy x y xy x x x y∂∂∂=-=-=-∂∂∂∂由在表达式中的对称性，。

（内容要求8）,x y 2222128,16z z y x xy y y x∂∂=-=-∂∂∂24、设，求．22y x z +=2222y z x z ∂∂+∂∂解：22z z xx ∂∂==-=∂∂由在表达式中的对称性，，所以，,x y 22z y ∂=∂i ng si nt he rb i n g。

（内容要求8）2222z zx y∂∂+=∂∂25、设，求 )ln(y x z +=yz y x z x∂∂+∂∂解：在表达式中的对称性，12zx ∂==∂,x y ，所以，（内容要求8）12z y ∂==∂12z z xy x y ∂∂+=∂∂26、 设，求.)ln(22y x z +=yx zy z x z ∂∂∂∂∂∂∂22222,,解：，2222222222222222222224224,,()()()z x z x y x z xyx x y x x y x y x y x y x y ∂∂-∂==-==-∂+∂+++∂∂+由在表达式中的对称性，。

（内容要求8）,x y 222222222()z x y x x y ∂-=∂+27、设，验证-=0.)ln(yx e e z +=⋅∂∂22x z 22y z ∂∂22⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂y x z 解：2222222,,()()()x x x x y x yx y x y x y x y xy z e z e e e z e x e e x e e e e e e x y e e ++∂∂∂==-==-∂+∂+++∂∂+由在表达式中的对称性，，将上述各导数代入式子左端得0，所以,x y 222()x yx y z e y e e +∂=∂+等式成立。