——学学期应用随机过程试卷(修正版)

安徽大学2010—2011学年第二学期
《 应用随机过程 》考试试卷（A 卷）
（闭卷 时间120分钟）
一、填空题（每小题4分，共24分） 1、设X 是概率空间()
,,F P Ω上的一个随机变量，且EX 存在，
C 是F 的子σ－域，定义()E X C 如下：()1 ________________ ； ()2 ________________________________________ ；
2、 在全数学期望公式()EX E E X C ⎡⎤=⎣⎦中，取X ＝____，C ＝
____，即得连续型（广义）全概率公式___________________；
3、设(){},0N t t ≥是强度为λ的Poisson 过程，则()N t 具有_____、 _____增量，且0t ∀>，0h >充分小，有：()(){}()0P N t h N t +-=＝ ________，()(){}()1P N t h N t +-=＝_____________；
4、设(){},0N t t ≥是强度为λ的Poisson 过程，{},1n X n ≥、{},1n S n ≥分别为其时间间隔序列和等待时间序列，则12,,,,n X X X 独立同参数为λ的指数分布， n S ～ ______， ()11N t X =～ _______，
()()12,,,n N t n S S S d =_____________________________________；
5、设(){},0W t t ≥为一维标准Brown 运动，则0t ∀>，()W t ～____， 且与Brown 运动有关的三个随机过程____________、_____ ______________、______________都是鞅（过程）；
6、倒向随机微分方程（BSDE ）典型的数学结构为__________ ______________________________，其处理问题的实质在于 __________________________________________________.
二、证明分析题（共15分，选做一题）
1、设X 是概率空间(),,F P Ω度函数()f x 满足：(),0x R f x ∀∈>.设g 是严格递增的可微函数，
并满足：()lim y g y →-∞=-∞，()lim y g y →∞
=∞，定义随机变量()Y g X =；设()h y 是满足()1h y dy +∞-∞=⎰的任一非负函数.我们希望改变概率测
度，使得()h y 是随机变量Y 的密度函数.为此，定义：
()()()
/h g X g X Z f X ⎡⎤⎣⎦=，（1）证明随机变量Z 是非负的且1EZ =；（2）定义：()()(),A A A F P A Z dP ZdP ωω∀∈==⎰⎰，则随机变量Y 在P 下具
有密度h ；
2、设(){},0W t t T ≤≤是概率空间(),,F P Ω上的Brown 运动，{},0t F t T ≤≤是Brown 运动的域流；设(){},0t t T Θ≤≤是一个适应
过程，定义：()X t =()()0t u dW u -Θ⎰，()()[]()1exp ,2Z t X t X X t ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，()()()0t W t W t u du =+Θ⎰，并且假设：()()220T E u Z u du ⎡⎤Θ<∞⎢⎥⎣⎦⎰；令()Z Z T =，则1EZ =；且在概率测度():,A P P A ZdP A F =∈⎰下，过程
(){},0W t t T ≤≤是一个Brown 运动.
三、计算证明题（共46分） 1、（12分）假设()X E λ～，给定0c >
记忆性、条件密度和()()()
A E XI E X A P A =，求()E X X c >； 2、（10分）设12,,,n X X X 独立同[]0,1U 分布，{}12max ,,,n Y X X X =，试分别由条件数学期望的直观方法和条件数学期望的一般定义求()()()E X Y E X Y σ=；
3、（6分）乘客按每分钟2人的Poisson 流到达车站候车，公交车每5分钟到达一辆，用W 表示时间(]0,5内到达的乘客的候车时间之和；当0t =时有车到达，试求EW ；
4、（8分）设质点做一维标准Brown 运动(){},0W t t ≥，0a ≠，则，（1）“质点最终到达a ”的概率为1；（2）质点到达a 的平均时间是a ET =∞；
5、（10分，选做一题）（1）设(){},0W t t ≥表示P 下的一维标准Brown 运动，定义：()()exp Z t uW t =⎡⎤⎣⎦，利用Ito-Doeblin 公式写出()Z t 满足的随机微分方程，由此求出()()m t def E Z t ⎡⎤⎣⎦满足的
常微分方程，并通过求解其来证明：()()
2exp exp 2u t E uW t ⎛⎫=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭； （2）设(){},0W t t ≥为标准Brown 运动，试由Ito-Doeblin 公式
求解随机微分方程
()()()()d S t S t d t S t d W t μσ=+⎡⎤⎣⎦， 并求
()()46,E W t E W t ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦. 四、应用分析题（共15分，选做一题） （1）设股价遵循几何布朗运动()()
dS t S t dt μ=率为常数r .定义风险的市场价格为：r μσ
-Θ=以及状态价格密度过程为：()()21exp 2t W t r t ζ⎧⎫⎛⎫=-Θ-+Θ⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭
；a ）证明： ()()()()d t t dW t r t dt ζζζ=-Θ-；b ）设X
表示投资者采用组合过程
()t ∆时其资产组合的价值（自融资组合）
，即有： ()()()()()()()()dX t rX t dt t r S t dt t S t dW t μσ=+∆-+∆，证明：()()t X t ζ是鞅；c ）设0T >是固定的终端时刻，证明：如果投资者从初始资本()0X 出发，希望在时刻T 资产组合价值为()V T ，其中()
V T 为T F －可测随机变量，则其初始资本必为：()()()0X E T V T ζ=⎡⎤⎣⎦；
（2）试从对冲欧式看涨期权空头的角度导出原生资产遵循几何布朗运动的欧式看涨期权价值的Black-Scholes-Merton 偏微分方程，并给出风险中性测度下的定价公式.。