【精品】(数学三)第3讲导数应用

第三讲导数的应用（解答）

一．内容提要

1、三个微分中值定理：罗尔定理(用来证与某函数的导数有关的方程根的存在性，注意辅助函数的构造、与零点定理的异同）;拉格朗日定理（可用来证不等式，从函数的导数的性质来说明函数本身的性质）；柯西定理（注意有两个函数，这一点有时在解题时是一个提示)。

2、单调性；应用（证不等式，根的唯一性）。

3、极值、最值:极值的定义,求法（先求驻点及不可导点,再用第一或第二充分条件判别）；第二充分条件的扩充；应用（证不等式,根的唯性）;最值的求法与应用题.

4、曲线的凹凸性与拐点（注意曲线方程的不同给法）。

5、泰勒公式（怎么展开，某项系数的求法，余项的写法)及应用（证不等式；求

极限等）。

6、函数作图与曲线的渐近线的求法。

水平渐近线：则是水平渐近线。

铅垂渐近线：，则是铅垂渐近线。

斜渐近线：,则是斜渐近线。

考试要求：

*理解罗尔（Rolle)定理．拉格朗日（Lagrange)中值定理．了解泰勒定理．柯西（Cauchy）中值定理，掌握这四个定理的简单应用．

*会用洛必达法则求极限．

*．掌握函数单调性的判别方法，了解函数极值的概念，掌握函数极值、最大值和最小值的求法及其应用．

*．会用导数判断函数图形的凹凸性(注：在区间内，设函数具有二阶导数．当时,的图形是凹的；当时,的图形是凸的),会求函数图形的拐点和渐近线．

*．会描述简单函数的图形．

二．常考知识点

1、洛必达法则求极限．

2、利用导数确定函数的性质(单调性、极值、凹凸性、拐点等）,函数可以是显式、隐式、参数方程形式）。

3、求曲线的渐近线(水平、铅垂、斜渐近线)。

4、利用导数方法，求实际问题中的最大、小值问题。

5、利用微分中值定理，证明函数属性.

6、证明函数不等式（常数不等式也可转化为函数不等式证明）。

三．例题

1．与中值定理的相关题目

例1．设在上二阶可导，，。证明（1）存在，使得。(2)存在，使得。

证明不妨设，则

一定存在

一定存在

有零点定理存在

例2．在上使用ROLLE定理存在使得

例3．在上使用ROLLE定理存在使得

例4．设在[0，1]上可微，.证明存在,使得。

证明由，由积分中值定理令

在上满足ROLLE定理的条件，存在使得即

例5．在［0,1]上连续，在(0，1）内可导，，试证（1）存在，使得。(2）对任意的存在使得

。

证明（1）令在上满足零点定理的条件，存在使得即

（2）令在上满足rolle定理的条件，存在使得

例6．即

例7．在［0，1］上连续，在（0，1）内可导,试证(1）存在，使得。（2）存在两个不同的，使得

。

证明（1）令在上满足零点定理的条件，存在使得即。

（2）对函数在上使用拉格朗日定理存在使得

所以

例A设在（-1,1）内具有二阶连续导数,且，试证：

（1）(-1,1）内的任意，存在唯一的使得

成立。（2）。

证明因为在(—1，1）内具有二阶连续导数，所以有拉格朗日中值定理

如果存在

那么

即与矛盾，

所以（—1，1)内的任意，存在唯一的使得

成立。

（2）有泰勒公式介于0和之间

即有:

即

从而即

例B在上连续，在内可导，且。若存在，证明：(1）在内；（2）在内存在，使。证明(1）若存在，由于

（2）；令，则在上满足柯西中值定理的条件,故内存在,使得

即

2．不等式的证明（结合单调性，极值等）

例C证明时,。

证明令

即

从而时，。

例6：证明时,(1）；（2）。证明（1)令

则

即时，;

(2)令则

即

从而

即

例7.：证明时，.

证明令在上满足拉格朗日中值定理,即有

（其中

)

即

当时,。

3、洛必达法则

例5：已知当时，函数与为等价无穷小,

求和

解

所以。

19：已知当时，函数与是等价无穷小，则

(A)（B）

（C）(D)

解

例D求极限

解

因为

所

以原式=.

法二：用泰勒公式，因为当时，

所以原式

=

例E求极限

解原式=

例20:求极限

解原式=

其中

原式=

4、讨论方程根的存在情况（结合单调性,极值等）

例F问方程有几个实根？

解令的定义域为

令得驻点

故在处取得极大值

（1）时方程有2个实根

（2）时方程有1个实根

时方程没有实根.

例8.证明方程恰有两个实根。

解令

0 0

，

所以方程恰有两个实根。

例9、给出方程，就的不同取值,讨论方程根的个数。

解令的定义域为

令且

所以时方程只有一个实根

得驻点

故在处取得极小值

（1)时方程有2个实根

（2）时方程有1个实根

（3)时方程没有实根

综上所述：（1）时方程有2个实根

（2）时方程有1个实根

（3）时方程没有实根

(4）时方程只有一个实根

5.单调性、曲线凹凸性及拐点、函数的极值与最值

例10.已知函数在其定义域内为单调的,求的取值范围。解

函数在其定义域内为单调的，则