数列与解析几何交汇题型总结

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人教版数学高二-备课资料析解数列交汇题

析解数列交汇题数列这部分内容主要有等差数列、等比数列，常见交汇题有等差数列与等比数列的交汇，通项与前n 项和的交汇，递推数列与证明等差（比）数列的交汇，下面分别析解。

一、等差数列与等比数列的交汇例1 设数列{a n }是等差数列，a 5=6（1）当a 3=3时请在数列{a n }中找一项a m ，使得a 3、a 5、a m 成等比数列；（2）当a 3=2时，若自然数n 1，n 2，…，n t …（t ∈N +）满足5＜n 1＜n 2＜…＜n t＜…，使得a 3，a 5，1n a ，2n a ，…，t n a …成等比数列，求数列{n t }的通项公式。

分析：本题是等差数列与等比数列的综合，反复运用它们的定义解题。

解：（1）设{a n }的公差为d ，由a 5=a 3+2d ，则d=235a a -=236-=23 ∴由a m a 3=a 52，即3[3+（m-3）×23]=62，解得 m=9，即a 3、a 5、a 9成等比数列（2）∵a 3=2，a 5=6，∴d=3535--a a =2∴当n ≥5时，a n =a 5+（n-5）d=2n-4又a 3，a 5，1n a ，2n a ，…，t n a ，…成等比数列则q=35a a =26=3，于是t n a =a 5·3t ，t=1，2，3，… 又t n a =2n t -4，∴2n t -4=a 5·3t =6·3t∴2n t =2·3t+1+4，即n t =3t+1+2，t=1，2，3，…点评：在解（2）中，由等比数列求出t n a =a 5·3t ，又由等差数列写出t n a ，然后列方程求解，这就是方程思想在解决数列问题中的应用。

二、通项与前n 项和的交汇例2 设数列{a n }的前n 项的和S n =34a n -31×2n+1+32，n=1，2，3，… （1）求首项a 1与通项a n ；（2）设T n =nnS 2，求T 1+T 2+…+T n分析：由a n =⎩⎨⎧--11n n S S S 的关系便可解决第（I ）问，通过裂项求和解决第（I ）问解：（I ）由S n =34a n -31×2n-1+32，n=1，2，3，…，① 得a 1=S 1=34a 1=31×4+32，所以a 1=2 再由①有S n-1=34a n-1-31×2n +32，n=2，3，… ② 将①和②相减得a n =S n -S n-1=34（a n -a n-1）-31×（2n+1-2n ），n=2，3，… 整理得a n +2n =4（a n-1+2n-1），n=2，3，…因而数列{a n +2n }是首项为a 1+2=4，公比为4的等比数列，即a n +2n =4×4n-1=4n ，n=1，2，3，…因而a n =4n -2n ，n=1，2，3，…（II ）将a n =4n -2n 代入①得S n =34×（4n -2n ）-31×2n+1+32 =31×（2n+1-1）（2n+1-2） =32×（2n+1-1）（2n -1） T n =n n S 2=23×)12()12(21-⨯-+n n n =23×（121-n -1211-+n ） ∴T 1+T 2+T 3+…+T n =23[（1211--1212-）+（1212--1213-）+（1213--1214-）+…+（121-n -1211-+n ）] =23（1-1211-+n ）三、递推数列与证明等差（比）数列的交汇例3 设数列{a n }、{b n }、{c n }满足b n =a n -a n+2，c n =a n +2a n+1+3a n+2（n=1，2，3，…）证明{a n }为等差数列的充分必要条件是{c n }为等差数且b n ≤b n+1（n=1，2，3，…）分析：运用等差数列的概念，合理构造新数列解题（n=1）（n ≥2）证明：必要性，设{a n }是公差为d 1的等差数列，则b n+1-b n =（a n+1-a n+3）-（a n -a n+2）=（a n+1-a n ）-（a n+3-a n+2） =d 1-d 1=0所以b n ≤b n+1（n=1，2，3，…）成立又c n+1-c n =（a n+1-a n ）+2（a n+2-a n+1）+3（a n+3-a n+2）=d 1+2d 1+3d 1=6d 1（常数）（n=1，2，3，…）所以数列{c n }为等差数列充分性，设数列{c n }是公差为d 2的等差数列，且b n ≤b n+1（n=1，2，3，…） ∵c n =a n +2a n+1+3a n+2 ①∴c n+2=a n+2+2a n+3+3a n+4 ②①-② 得c n -c n+2=（a n -a n+2）+2（a n+1-a n+3）+3（a n+2-a n+4）=b n +2b n+1+3b n+2 ∵c n -c n+2=（c n -c n+1）-（c n+1-c n+2）= -2d 2∴b n+1+2b n+1+3b n+2= -2d 2 ③从而有b n+1+2b n+2+3b n+3=-2d 2 ④④-③得（b n+1-b n ）+2（b n+2-b n+1）+3（b n+3-b n+2）=0 ⑤ ∵b n+1-b n ≥0，b n+2-b n+1≥0，b n+3-b n+2≥0∵由⑤得b n+1-b n =0（n=1，2，3，…）由此不妨设b n =d 3（n=1，2，3，…），则a n -a n+2=d 3（常数）由此c n =a n +2a n+1+3a n+2=4a n +2a n+1-3d 3从而c n+1=4a n+1+2a n+2-3d 3=4a n+1+2a n -5d 3两式相减得c n+1-c n =2（a n+1-a n ）-2d 3因此a n+1-a n =21（c n+1-c n ）+d 3=21d 2+d 3（常数）（n=1，2，3，…）所以数列{a n }是等差数列。

数列问题的“交汇性”

策略二借助函数性质
（（ｃｃ２－）ｃ一：：ｃ１）２＋＋ｏ，：
由－ｃ＝６２２：广）一ｃ＋ｃ＋０得两根
一
，
从而易知函数，（ｃ）在（，
例３已知一列椭圆Ｃ：＋２１＜．ｎ２：，ｂｘ０
数列是高中代数的重点内容之一，也
（）ｎｌ时，）１当＝由．为增函数，．１且，）Ｉ
Ｃ“
＋１
是高考的必考内容及重点考查的范围，它＜，ａ６）厂１＜，２（１１＜，－１得ｌ１（１ｂａ）１啦＿＿）ｆ）ｆ
识网络的交汇点上设计试题，是高考常见的命题形式，需重点留意．
＜４故由前
．
ｄ
已证，Ｓ＜２且Ｓ（≥３．知Ｓ，Ｓｎ）
Ｌ
【评析】在解决有关数列问题时，考可虑利用函数有关知识，以它的概念、图像、性质为纽带，架起函数与数歹间的桥梁，揭示它们间的内在联系，从而有效地分解
ｄＰＩＧＩ，１＝…＋＝的增函数，）－，＝１＜，明对性质有２ＩＦＩＰ２故ｄ．ｇ＝）６１）１证ｆ
成等差数列．
ＰｎＰ与￣的等、Ｔ不一定到右准线ｚ的距离ｄ是ＩＦＩＩＣＩ差中项，其中Ｆ… 分别是Ｃ的左、 ¨ Ｇ右焦
１内是减函数．）
现在由题设取６：
ｎ十
，则：
，
解：若、、／成等差数列，３则＝＋点等式ｓｎｃｙ＝ｉｆ成立，以“ 式ｉ（＋）ｓ２￣ｎｌ所等

数列与其他知识的交汇——数列与函数、数列与平面向量、数列与解析几何等(解析版)

数列与其他知识的交汇——数列与函数、数列与平面向量、数列与解析几何等，又0n a >且()1n f a ++)2n n a a +⨯()f x 是定义在(12n n S a =1n =时，a 10,0,a >∴2n ≥时，21n n a a ---0,n a >∴）ln q，即考点二数列是一种特殊的函数，故数列有着许多函数的性质．等差数列和等比数列是两种最基本、最常见的数列，它们是研究数列性质的基础，它们与函数、方程、不等式、三角等内容有着广泛的联系，等差数列和等比数列在实际生活中也有着广泛的应用，随着高考对能力要求的进一步增加，这一部分内容也将受到越来越多的关注．【温馨提醒】数列与三角函数的交汇问题也是一类常见问题，主要题型有两大类：一是在解三角形中，一些条件用数列语言给出，常见的如三角形三内角A，B，C成等差数列；已知等差数列{}n a 与等比数列{}n b 满足11221a b a b ==+=，直线l 上三个不同的点A ，B ，C 与直线l 外的点P 满足33PA a PB b PC =+，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为（）A ．12n n -B ．23n n -C ．21n -D ．12n-【答案】A22nnd +=项和为n B ，试比较1+；（2）见解析；58n -⎛⎫< ⎪⎝⎭21n c -+2158n -⎛⎫+ ⎪⎝⎭．由此能够证明；）由∵1n n n a x x n +=-=，∴22n n d ++=112n n d --+=（2n ≥），而12{2n n n n +=，，()1121x n =++++-54554558428488n n n n ⨯-⨯-<<⨯-⨯-， 58n -⎛⎫< ⎪⎝⎭21n c -+ 258n ⎛⎫++ ⎪⎝⎭1n x n -=，∴)1+，22n nd +=112n n d --+=2），而1d =11 2n n +=≥，，，3412222n n d -+=++++124n ++-2426n +-=-．2-．1n n C -++212n nn Cn -++>+= 提升素养1121n AB AP AP AP AP AC -⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅，若给出四个数值：的值可能的共有（） C ．2个D ．3个1k AP AB kBP =+，则()111k AP AB k BP +=++， ()()1111k k AP AP AB k BP AB k BP +⎡⎤⋅=+⋅++⎣⎦()()(2221122121111,2,...,1,2k k k AB k AB BP k k BP k n k N n n+++++⋅++=-+=-∈所以1121n n T AB AP AP AP AP AC-=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ ()()(2111357...2112n AB AP n n+++++-⋅+--+()(()()11211n n AB AB BP n ++⎡-+⎣⋅++(111cos120n n +⨯⨯+()(1n -(n f n-+23n -+n f n -⎛+ ⎝1f n ⎛⎫++ ⎪⎝⎭)1n +，6.如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边22BC =.过点A 作BC 的垂线，垂足为1A ，过点1A 作AC 的垂线，垂足为2A ；过点2A 作1A C 的垂线，垂足为3A ；…，以此类推，设1BA a =，12AA a =，123A A a =，…，567A A a =，则7a =________.【答案】14【详解】在等腰直角三角形ABC 中，斜边22BC =，所以12AB AC a ===，1212222AA a AB a ===，1231222122A A a AA a ====，所以1122i i i i A A A A +++=，即3222n n a a ++=1++(n n =+-32n1)，+2(2n +-(2n ++-5211122n -⎫++⎪⎭211122n ⨯=＋10.已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1+x 2=3，x 3-x 2=2．（Ⅰ）求数列{x n }的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1(x 1，1)，P 2(x 2，2)…P n +1(x n +1，n +1)得到折线P 1 P 2…P n+1，求由该折线与直线y =0，11n x x x x +==,所围成的区域的面积．【答案】(I)12.n n x -=（II ）(21)21.2n n n T -⨯+=n T))11212,n n --+-+⨯∴。

高考中解析几何的常考题型分析总结

高考中解析几何的常考题型分析一、高考定位回顾2008,2012年的江苏高考题，解析几何是重要内容之一，所占分值在25分左右，在高考中一般有2,3条填空题，一条解答题.填空题有针对性地考查椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质及其应用，主要针对圆锥曲线本身，综合性较小，试题的难度一般不大;解答题主要是以圆或椭圆为基本依托，考查椭圆方程的求解、考查直线与曲线的位置关系，除了本身知识的综合，还会与其它知识如向量、函数、不等式等知识构成综合题，多年高考压轴题是解析几何题.二、应对策略复习中，一要熟练掌握椭圆、双曲线、抛物线的基础知识、基本方法，在抓住通性通法的同时，要训练利用代数方法解决几何问题的运算技巧.二要熟悉圆锥曲线的几何性质，重点掌握直线与圆锥曲线相关问题的基本求解方法与策略，提高运用函数与方程思想、向量与导数的方法来解决问题的能力.三在第二轮复习中要熟练掌握圆锥曲线的通性通法和基本知识.预测在2013年的高考题中:1.填空题依然是直线和圆的方程问题以及考查圆锥曲线的几何性质为主，三种圆锥曲线都有可能涉及.2.在解答题中可能会出现圆、直线、椭圆的综合问题，难度较高，还有可能涉及简单的轨迹方程和解析几何中的开放题、探索题、证明题，重点关注定值问题.三、常见题型1.直线与圆的位置关系问题直线与圆的位置关系是高考考查的热点，常常将直线与圆和函数、三角、向量、数列、圆锥曲线等相互交汇，求解参数、函数最值、圆的方程等，主要考查直线与圆的相交、相切、相离的判定与应用，以及弦长、面积的求法等，并常与圆的几何性质交汇，要求学生有较强的运算求解能力.求解策略:首先，要注意理解直线和圆等基础知识及它们之间的深入联系;其次，要对问题的条件进行全方位的审视，特别是题中各个条件之间的相互关系及隐含条件的挖掘;再次，要掌握解决问题常常使用的思想方法，如数形结合、化归转化、待定系数、分类讨论等思想方法;最后，要对求解问题的过程清晰书写，准确到位.点评:(1)直线和圆的位置关系常用几何法，即利用圆的半径r，圆心到直线的距离d及半弦长l2构成直角三角形关系来处理.(2)要注意分类讨论，即对直线l分为斜率存在和斜率不存在两种情况分别研究，以防漏解或推理不严谨.2.圆锥曲线中的证明问题圆锥曲线中的证明问题，主要有两类:一类是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如:某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等;另一类是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等).求解策略:主要根据直线、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关的性质应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明.常用的一些证明方法:点评:本题主要考查双曲线的概念、标准方程、几何性质及其直线与双曲线的关系.特别要注意直线与双曲线的关系问题，在双曲线当中，最特殊的为等轴双曲线，它的离心率为2，它的渐近线为y=?x，并且相互垂直，这些性质的运用可以大大节省解题时间.3.“是否存在”问题所谓存在性问题，就是判断满足某个(某些)条件的点、直线、曲线(或参数)等几何元素是否存在的问题.这类问题通常以开放性的设问方式给出，若存在符合条件的几何元素或参数值，就求出这些几何元素或参数值，若不存在，则要求说明理由.求解策略:首先假设满足条件的几何元素或参数值存在，然后利用这些条件并结合题目的其他已知条件进行推理与计算，若不出现矛盾，并且得到了相应的几何元素或参数值，就说明满足条件的几何元素或参数值存在;若在推理与计算中出现了矛盾，则说明满足条件的几何元素或参数值不存在，同时推理与计算的过程就是说明理由的过程.例3(2012年高考(湖北文))设A是单位圆x2+y2=1上任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足|DM|=m|DA|(m>0，且m?1)，当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标.(2)过原点斜率为k的直线交曲线C于P，Q两点，其中P在第一象限，且它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H，是否存在m，使得对任意的k>0，都有PQ?PH,若存在，请说明理由.点评:本题是一个椭圆模型，求解标准方程时注意对焦点的位置分类讨论，不要漏解.对于探讨性问题一直是高考考查的热点，一般先假设结论成立，再逆推所需要求解的条件，对运算求解能力和逻辑推理能力有较高的要求.4.定点定值问题的方法圆锥曲线中的定点、定值问题是高考的热点，是指某些几何量线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值.题型以解答题为主，解决的基本思想从变量中寻求不变，即先用变量表示要求的量或点的坐标，再通过推理计算，导出这些量或点的坐标和变量无关.常见的类型:(1)直线恒过定点问题;(2)动圆恒过定点问题;(3)探求定值问题;(4)证明定值问题.点评:(1)椭圆和双曲线的定义反映了它们的图形特点，是画图的依据和基础，而定义中的定值是求标准方程的基础，在许多实际问题中正确利用定义可以使问题的解决更加灵活.已知圆锥曲线上一点及焦点，首先要考虑使用圆锥曲线的定义求解.(2)求解直线和曲线过定点问题的基本思路是:把直线或曲线方程中的变量m，k 当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x1的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点. 5.最值与范围问题解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函数和建立不等关系，根据目标函数和不等式求最值、范围，因此这类问题的难点，就是如何建立目标函数和不等关系.建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合适变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题，这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等，要根据问题的实际情况灵活处理.求参数范围的方法:据已知条件建立等式或不等式的函数关系，再求参数范围.圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法:一是利用几何方法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解;二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.求解最值问题应注意:(1)如果建立的函数是关于斜率k的函数，要增加考虑斜率不存在的情况;(2)如果建立的函数是关于点的坐标x，y的函数，可以考虑用代入消元、基本不等式、三角换元或几何解法来解决问题.例5(2012年高考(广东理))在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:)的距x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=23，且椭圆C上的点到Q(0，2离的最大值为3.点评:从近两年高考试题来看，直线与圆锥曲线的位置关系、弦长、中点弦的问题是高考的热点问题，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高.客观题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系、弦长问题，解答题考查较为全面，在考查上述问题的同时，注重考查函数与方程、转化与化归，分类讨论等思想，所以在备战2013年高考中对于此类问题应引起足够的重视.6.轨迹问题求轨迹方程的常用方法:法:将几何关系直接转化成代数方程. (1)直接(2)定义法:满足的条件恰适合某已知曲线的定义，用待定系数法求方程.(3)代入法:把所求动点的坐标与已知动点的坐标建立联系.(4)交轨法:写出两条动直线的方程直接消参，求得两条动直线交点的轨迹.求动点的轨迹方程的一般步骤(1)建系――建立适当的坐标系;(2)设点――设轨迹上的任一点P(x，y);(3)列式――列出动点P所满足的关系式;(4)代换――依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方程式，并化简;――证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程. (5)证明点评:本小题主要考查圆的性质、椭圆的定义、标准方程及其几何性质、直线方程求解、直线与椭圆的关系和交轨法在求解轨迹方程组的运用.在求解点M的轨迹方程时，要注意首先写出直线AA1和直线A2B的方程，然后求解.。

高中数学数列交汇题的解题思想与方法分析

能顺利对数列交汇习题的解题思路及方法进行有效的分析和总结．
习题的理论知识进行详细的了解并熟练掌握，整理之前
所做的有关数列交汇习题，并总结大概的解题思路及方
法，灵活运用到各种数列交汇习题中去，学会对习题进行
（２）设数列｛６｝的通项公式是６
前ｎ项和为．
＿
，
求证：对于任意的正数ｎ，总有Ｔｎ＜１．
解（１）由已知得２Ｓ＝３ａ一３，２｜ｓ＝３ａ一３
个数列的第ｎ项，通常用。表示．因此想要提高数列交汇习题的解题质量，首先要对知识点进行了解及对问题类型进行归类，我们高中生才
收稿日期：２０１７— ０７—０１
（ｎＩ＞２）．
故２（Ｓ一Ｓ一１）＝２ａ＝３ａ一３０一ｌ，且口Ⅱ ＝３ａ一１
作者简介：谢宇琪（２０００．０２一），女，山东省东营人，高中在读
—
３５ —
＝
数理化解题研究
故数列｛。｝为等比数列，且公比ｑ＝３又当ｎ＝１
２０１７年第３１期总第３８０期
（ｎ≥ ２）．
中应该熟练掌握的知识点，利用等差数列和等比数列的
通项公式、前ｎ项和公式及其性质进行熟练的计算，是高考考查内容的重点．最后在解答一些有关数列问题时，要

2024年高考数学专项复习数列考查的九个热点(解析版)

数列考查的九个热点热点题型速览热点一等差数列的基本计算热点二等比数列的基本计算热点三等差数列与等比数列的综合计算热点四数列与函数的交汇热点五数列与不等式交汇热点六数列与解析几何交汇热点七数列与概率统计交汇热点八等差数列、等比数列的判断与证明热点九数列中的“新定义”问题热点一等差数列的基本计算1(2023春·河南开封·高三通许县第一高级中学校考阶段练习)已知等差数列a n 为递增数列，S n 为其前n 项和，a 3+a 7=34,a 4⋅a 6=280，则S 11=()A.516B.440C.258D.2202(2022秋·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考期中)某种卷筒卫生纸绕在圆柱形盘上，空盘时盘芯直径为60mm ，满盘时直径为120mm ，已知卫生纸的厚度为0.1mm ，则满盘时卫生纸的总长度大约( )(π≈3.14，精确到1m )A.65mB.85mC.100mD.120m3(2020·全国高考真题(理))北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)()A.3699块B.3474块C.3402块D.3339块2024年高考数学专项复习数列考查的九个热点（解析版）4(2022·全国·统考高考真题)记S n为等差数列a n的前n项和．若2S3=3S2+6，则公差d=．【规律方法】1.等差数列中的基本量a1,a n,d,n,S n，“知三可求二”，在求解过程中主要运用方程思想.要注意使用公式时的准确性与合理性，更要注意运算的准确性．在遇到一些较复杂的方程组时，要注意运用整体代换思想，使运算更加便捷．2. 在等差数列{a n}中，若出现a m-n，a m，a m+n等项时，可以利用等差数列的性质将其转化为与a m有关的条件；若求a m项，可由a m=12(a m-n+a m+n)转化为求a m-n，a m+n或a m-n+a m+n的值．3.数列的基本计算，往往以数学文化问题为背景.热点二等比数列的基本计算5(2020·全国·统考高考真题)设{a n}是等比数列，且a1+a2+a3=1，a2+a3+a4=2，则a6+a7+a8= ()A.12B.24C.30D.326(2023·广东揭阳·惠来县第一中学校考模拟预测)在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”.其大意是：有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天，才到目的地.则此人后3天共走的里程数为()A.6B.12C.18D.427(2023·全国高考真题)已知a n为等比数列，a2a4a5=a3a6，a9a10=-8，则a7=.【规律方法】1.等比数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公比q,然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解.2.等比数列的通项公式及前n项和公式,共涉及五个量a1,a n,q,n,S n,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想解决问题.3.根据题目特点，可选用等比数列的性质.热点三等差数列与等比数列的综合计算8(2019·北京·高考真题)设{an}是等差数列，a1=-10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列．(Ⅰ)求{an}的通项公式；(Ⅱ)记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值．9(2022·全国·统考高考真题)记S n为数列a n的前n项和．已知2S nn+n=2a n+1．(1)证明：a n是等差数列；(2)若a4,a7,a9成等比数列，求S n的最小值．10(2023·天津·统考高考真题)已知a n是等差数列，a2+a5=16,a5-a3=4．(1)求a n的通项公式和2n-1i=2n-1a i ．(2)已知b n为等比数列，对于任意k∈N*，若2k-1≤n≤2k-1，则b k<a n<b k+1，(Ⅰ)当k≥2时，求证：2k-1<b k<2k+1；(Ⅱ)求b n 的通项公式及其前n 项和．热点四数列与函数的交汇11(2018·浙江·高考真题)已知a 1,a 2,a 3,a 4成等比数列，且a 1+a 2+a 3+a 4=ln (a 1+a 2+a 3)．若a 1>1，则A.a 1<a 3,a 2<a 4B.a 1>a 3,a 2<a 4C.a 1<a 3,a 2>a 4D.a 1>a 3,a 2>a 412(2023秋·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习)如图1所示，古筝有多根弦，每根弦下有一个雁柱，雁柱用于调整音高和音质.图2是根据图1绘制的古筝弦及其雁柱的简易平面图.在图2中，每根弦都垂直于x 轴，相邻两根弦间的距离为1，雁柱所在曲线的方程为y =1.1x ，第n 根弦(n ∈N ，从左数首根弦在y 轴上，称为第0根弦)分别与雁柱曲线和直线l ：y =x +1交于点A n x n ,y n 和B n x n,y n，则20n =0y n y n=.(参考数据：取1.122=8.14.)13(2023秋·福建厦门·高三厦门一中校考阶段练习)已知数列a n 满足a 1>0，a n +1=log 2a n ,n =2k -1,k ∈N ∗2a n+2,n =2k ,k ∈N ∗.(1)判断数列a 2n -1 是否是等比数列？若是，给出证明；否则，请说明理由；(2)若数列a n 的前10项和为361，记b n =1log 2a 2n +1 ⋅a 2n +2，数列b n 的前n 项和为T n ，求证：T n <12.14(2023·全国·高三专题练习)已知A x 1,y 2 、B x 2,y 2 是函数f x =2x 1-2x ,x ≠12-1,x =12的图象上的任意两点，点M 在直线x =12上，且AM =MB ．(1)求x 1+x 2的值及y 1+y 2的值；(2)已知S 1=0，当n ≥2时，S n =f 12 +f 2n +f 3n +⋅⋅⋅+f n -1n，设a n =2Sn，T n 数列a n 的前n 项和，若存在正整数c ，m ，使得不等式T m -c T m +1-c <12成立，求c 和m 的值；热点五数列与不等式交汇15(2022·浙江·统考高考真题)已知数列a n 满足a 1=1,a n +1=a n -13a 2n n ∈N ∗，则()A.2<100a 100<52 B.52<100a 100<3 C.3<100a 100<72 D.72<100a 100<416(2023·浙江嘉兴·统考模拟预测)如图，在一个单位正方形中，首先将它等分成4个边长为12的小正方形，保留一组不相邻的2个小正方形，记这2个小正方形的面积之和为S 1；然后将剩余的2个小正方形分别继续四等分，各自保留一组不相邻的2个小正方形，记这4个小正方形的面积之和为S 2．以此类推，操作n 次，若S 1+S 2+⋅⋅⋅+S n ≥20232024，则n 的最小值是()A.9B.10C.11D.1217(2023秋·四川绵阳·高三绵阳中学校考阶段练习)已知等差数列a n 的前n 项和为S n ，且S 4=4S 2,a 3n =3a n +2n ∈N *(1)求a n 的通项公式，(2)设b n =1a n a n +1，且b n 的前n 项和为T n ，证明，13≤T n <12.18(2022·全国·统考高考真题)记S n 为数列a n 的前n 项和，已知a 1=1,S n a n 是公差为13的等差数列．(1)求a n 的通项公式；(2)证明：1a 1+1a 2+⋯+1a n<2．19(2021·全国·统考高考真题)设a n 是首项为1的等比数列，数列b n 满足b n =na n3．已知a 1，3a 2，9a 3成等差数列．(1)求a n 和b n 的通项公式；(2)记S n 和T n 分别为a n 和b n 的前n 项和．证明：T n <S n2．20(2023·河南郑州·统考模拟预测)已知数列a n 与b n 的前n 项和分别为A n 和B n ，且对任意n ∈N *，a n +1-a n =32b n +1-b n 恒成立.(1)若A n =3n 2+3n2，b 1=2，求B n ；(2)若对任意n ∈N *，都有a n =B n 及b 2a 1a 2+b 3a 2a 3+b 4a 3a 4+⋯+b n +1a n a n +1<13恒成立，求正整数b 1的最小值.21(2023秋·云南·高三云南师大附中校考阶段练习)已知a n 为等差数列，b n 为等比数列，b 1=2a 1=2，a 5=5a 4-a 3 ，b 5=4b 4-b 3 ，数列c n 满足c n =1a n a n +2,n 为奇数b n,n 为偶数.(1)求a n 和b n 的通项公式；(2)证明：2ni =1c i ≥133.热点六数列与解析几何交汇22(2022·全国·统考高考真题)图1是中国古代建筑中的举架结构，AA ,BB ,CC ,DD 是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中DD 1,CC 1,BB 1,AA 1是举，OD 1,DC 1,CB 1,BA 1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为DD 1OD 1=0.5,CC 1DC 1=k 1,BB 1CB 1=k 2,AA 1BA 1=k 3．已知k 1,k 2,k 3成公差为0.1的等差数列，且直线OA 的斜率为0.725，则k 3=()A.0.75B.0.8C.0.85D.0.923(重庆·高考真题)设A x 1,y 1 ,B 4,95 ,C x 2,y 2 是右焦点为F 的椭圆x 225+y 29=1上三个不同的点，则“|AF |,|BF |,|CF |成等差数列”是“x 1+x 2=8”的()A.充要条件B.必要而不充分条件C.充分而不必要条件D.既不充分也不必要条件24(2021·浙江·统考高考真题)已知a ,b ∈R ,ab >0，函数f x =ax 2+b (x ∈R ).若f (s -t ),f (s ),f (s +t )成等比数列，则平面上点s ,t 的轨迹是()A.直线和圆B.直线和椭圆C.直线和双曲线D.直线和抛物线热点七数列与概率统计交汇25(2023秋·江西·高三校联考阶段练习)甲同学现参加一项答题活动，其每轮答题答对的概率均为13，且每轮答题结果相互独立.若每轮答题答对得5分，答错得0分，记第i 轮答题后甲同学的总得分为X i ，其中i =1,2,⋅⋅⋅,n .(1)求E X 99 ；(2)若乙同学也参加该答题活动，其每轮答题答对的概率均为23，并选择另一种答题方式答题：从第1轮答题开始，若本轮答对，则得20分，并继续答题；若本轮答错，则得0分，并终止答题，记乙同学的总得分为Y .证明：当i >24时，E X i >E Y .26(2023秋·湖北荆州·高三沙市中学校考阶段练习)在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，点A 处有一只小蚂蚁，每次随机等可能地沿各条棱或侧面对角线向另一顶点移动，设小蚂蚁移动n 次后仍在底面ABC 的顶点处的概率为P n .(1)求P1，P2的值.(2)求P n.27(2019·全国·高考真题(理))为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得-1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得-1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．(1)求X的分布列；(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，p i(i=0,1,⋯,8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0=0，p8=1，p i=ap i-1+bp i+cp i+1(i=1,2,⋯,7)，其中a=P(X=-1)，b=P(X=0)，c=P(X=1)．假设α=0.5，β=0.8．(i)证明：{p i+1-p i}(i=0,1,2,⋯,7)为等比数列；(ii)求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．热点八等差数列、等比数列的判断与证明28【多选题】(2022·广东茂名·模拟预测)已知数列a n的前n项和为S，a1=1，S n+1=S n+2a n+1，数列2na n⋅a n+1的前n项和为Tn，n∈N*，则下列选项正确的为()A.数列a n+1是等比数列 B.数列a n+1是等差数列C.数列a n的通项公式为a n=2n-1 D.T n>129(2021·全国·统考高考真题)记S n为数列a n的前n项和，b n为数列S n的前n项积，已知2S n+1b n=2．(1)证明：数列b n是等差数列;(2)求a n的通项公式．热点九数列中的“新定义”问题30(2020·全国·统考高考真题)0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列a1a2⋯a n⋯满足a i∈{0,1}(i=1,2,⋯)，且存在正整数m，使得a i+m=a i(i=1,2,⋯)成立，则称其为0-1周期序列，并称满足a i+m=a i(i=1,2,⋯)的最小正整数m为这个序列的周期.对于周期为m的0-1序列a1a2⋯a n⋯，C(k)=1 mmi=1a i a i+k(k=1,2,⋯,m-1)是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足C(k)≤15(k=1,2,3,4)的序列是()A.11010⋯B.11011⋯C.10001⋯D.11001⋯31【多选题】(2023秋·湖南长沙·高三周南中学校考阶段练习)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，⋯称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，⋯称为正方形数，记三角形数构成数列a n，正方形数构成数列b n，则下列说法正确的是()A.1b 1+1b 2+1b 3+⋯+1b n<2；B.1225既是三角形数，又是正方形数；C.10i =11b i +1-a i +1=95；D.∀m ∈N *，m ≥2总存在p ，q ∈N *，使得b m =a p +a q 成立；32(2022秋·山东·高三校联考阶段练习)若项数为n 的数列a n 满足：a i =a n +1-i i =1，2，3，⋯，n 我们称其为n 项的“对称数列”．例如：数列1，2，2，1为4项的“对称数列”；数列1，2，3，2，1为5项的“对称数列”．设数列c n 为2k +1项的“对称数列”，其中c 1，c 2⋯c k +1是公差为2的等差数列，数列c n 的最大项等于8，记数列c n 的前2k +1项和为S 2k +1，若S 2k +1=32，则k =．数列考查的九个热点热点题型速览热点一等差数列的基本计算热点二等比数列的基本计算热点三等差数列与等比数列的综合计算热点四数列与函数的交汇热点五数列与不等式交汇热点六数列与解析几何交汇热点七数列与概率统计交汇热点八等差数列、等比数列的判断与证明热点九数列中的“新定义”问题热点一等差数列的基本计算1(2023春·河南开封·高三通许县第一高级中学校考阶段练习)已知等差数列a n 为递增数列，S n 为其前n 项和，a 3+a 7=34,a 4⋅a 6=280，则S 11=()A.516 B.440C.258D.220【答案】D【分析】根据给定条件，利用等差数列性质求出a 4,a 6，再利用前n 项和公式求解作答.【详解】等差数列a n 为递增数列，则a 4<a 6，由a 3+a 7=34，得a 4+a 6=34，而a 4⋅a 6=280，解得a 4=14,a 6=20，所以S 11=11(a 1+a 11)2=11a 6=220.故选：D2(2022秋·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考期中)某种卷筒卫生纸绕在圆柱形盘上，空盘时盘芯直径为60mm ，满盘时直径为120mm ，已知卫生纸的厚度为0.1mm ，则满盘时卫生纸的总长度大约( )(π≈3.14，精确到1m )A.65m B.85mC.100mD.120m【答案】B【分析】依题意，可以把绕在盘上的卫生纸长度，近似看成300个半径成等差数列的圆周长，然后分别计算各圆的周长，再借助等差数列前n 项和公式求总和即可.【详解】因为空盘时盘芯直径为60mm ，则半径为30mm ，周长为2π×30=60πmm ，又满盘时直径为120mm ，则半径为60mm ，周长为2π×60=120πmm ，又因为卫生纸的厚度为0.1mm ，则60-300.1=300，即每一圈周长成等差数列，项数为300，于是根据等差数列的求和公式，得：S300=300×60π+120π2=27000πmm ，又27000πmm≈84780mm≈85m，即满盘时卫生纸的总长度大约为85m，故选：B.3(2020·全国高考真题(理))北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)()A.3699块B.3474块C.3402块D.3339块【答案】C【解析】设第n环天石心块数为a n，第一层共有n环，则a n是以9为首项，9为公差的等差数列，a n=9+n-1×9=9n，设S n为a n的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为S n，S2n-S n，S3n-S2n，因为下层比中层多729块，所以S3n-S2n=S2n-S n+729，即3n9+27n2-2n9+18n2=2n9+18n2-n9+9n2+729即9n2=729，解得n=9，所以S3n=S27=279+9×272=3402.故选：C4(2022·全国·统考高考真题)记S n为等差数列a n的前n项和．若2S3=3S2+6，则公差d=．【答案】2【分析】转化条件为2a1+2d=2a1+d+6，即可得解.【详解】由2S3=3S2+6可得2a1+a2+a3=3a1+a2+6，化简得2a3=a1+a2+6，即2a1+2d=2a1+d+6，解得d=2.故答案为：2.【规律方法】1.等差数列中的基本量a1,a n,d,n,S n，“知三可求二”，在求解过程中主要运用方程思想.要注意使用公式时的准确性与合理性，更要注意运算的准确性．在遇到一些较复杂的方程组时，要注意运用整体代换思想，使运算更加便捷．2. 在等差数列{a n}中，若出现a m-n，a m，a m+n等项时，可以利用等差数列的性质将其转化为与a m有关的条件；若求a m 项，可由a m =12(a m -n +a m +n)转化为求a m -n ，a m +n 或a m -n +a m +n 的值．3.数列的基本计算，往往以数学文化问题为背景.热点二等比数列的基本计算5(2020·全国·统考高考真题)设{a n }是等比数列，且a 1+a 2+a 3=1，a 2+a 3+a 4=2，则a 6+a 7+a 8=()A.12B.24C.30D.32【答案】D【分析】根据已知条件求得q 的值，再由a 6+a 7+a 8=q 5a 1+a 2+a 3 可求得结果.【详解】设等比数列a n 的公比为q ，则a 1+a 2+a 3=a 11+q +q 2 =1，a 2+a 3+a 4=a 1q +a 1q 2+a 1q 3=a 1q 1+q +q 2 =q =2，因此，a 6+a 7+a 8=a 1q 5+a 1q 6+a 1q 7=a 1q 51+q +q 2 =q 5=32.故选：D .6(2023·广东揭阳·惠来县第一中学校考模拟预测)在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”.其大意是：有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天，才到目的地.则此人后3天共走的里程数为()A.6B.12C.18D.42【答案】D【分析】设第n n ∈N ∗ 天走a n 里，其中1≤n ≤6，由题意可知，数列a n 是公比为12的等比数列，利用等比数列的求和公式求出a 1的值，然后利用等比数列的求和公式可求得此人后3天共走的里程数.【详解】设第n n ∈N ∗ 天走a n 里，其中1≤n ≤6，由题意可知，数列a n 是公比为12的等比数列，所以，a 11-12 6 1-12=6332a 1=378，解得a 1=378×3263=192，所以，此人后三天所走的里程数为a 4+a 5+a 6=192×181-1231-12=42.故选：D .7(2023·全国高考真题)已知a n 为等比数列，a 2a 4a 5=a 3a 6，a 9a 10=-8，则a 7=.【答案】-2【分析】根据等比数列公式对a 2a 4a 5=a 3a 6化简得a 1q =1，联立a 9a 10=-8求出q 3=-2，最后得a 7=a 1q ⋅q 5=q 5=-2.【解析】设a n 的公比为q q ≠0 ，则a 2a 4a 5=a 3a 6=a 2q ⋅a 5q ，显然a n ≠0，则a 4=q 2，即a 1q 3=q 2，则a 1q =1，因为a 9a 10=-8，则a 1q 8⋅a 1q 9=-8，则q 15=q 5 3=-8=-2 3，则q 3=-2，则a 7=a 1q ⋅q 5=q 5=-2，故答案为：-2.【规律方法】1.等比数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公比q ,然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解.2.等比数列的通项公式及前n 项和公式,共涉及五个量a 1,a n ,q ,n ,S n ,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想解决问题.3.根据题目特点，可选用等比数列的性质.热点三等差数列与等比数列的综合计算8(2019·北京·高考真题)设{an }是等差数列，a 1=-10，且a 2+10，a 3+8，a 4+6成等比数列．(Ⅰ)求{an }的通项公式；(Ⅱ)记{an }的前n 项和为Sn ，求Sn 的最小值．【答案】(Ⅰ)a n =2n -12；(Ⅱ)-30.【分析】(Ⅰ)由题意首先求得数列的公差，然后利用等差数列通项公式可得a n 的通项公式；(Ⅱ)首先求得S n 的表达式，然后结合二次函数的性质可得其最小值.【详解】(Ⅰ)设等差数列a n 的公差为d ，因为a 2+10，a 3+8，a 4+6成等比数列，所以(a 3+8)2=(a 2+10)(a 4+6)，即(2d -2)2=d (3d -4)，解得d =2，所以a n =-10+2(n -1)=2n -12.(Ⅱ)由(Ⅰ)知a n =2n -12,所以S n =-10+2n -122×n =n 2-11n =n -112 2-1214；当n =5或者n =6时，S n 取到最小值-30.9(2022·全国·统考高考真题)记S n 为数列a n 的前n 项和．已知2S nn+n =2a n +1．(1)证明：a n 是等差数列；(2)若a 4,a 7,a 9成等比数列，求S n 的最小值．【答案】(1)证明见解析；(2)-78．【分析】(1)依题意可得2S n +n 2=2na n +n ，根据a n =S 1,n =1S n-Sn -1,n ≥2，作差即可得到a n -a n -1=1，从而得证；(2)法一：由(1)及等比中项的性质求出a 1，即可得到a n 的通项公式与前n 项和，再根据二次函数的性质计算可得．【详解】(1)因为2S nn+n =2a n +1，即2S n +n 2=2na n +n ①，当n ≥2时，2S n -1+n -1 2=2n -1 a n -1+n -1 ②，①-②得，2S n +n 2-2S n -1-n -1 2=2na n +n -2n -1 a n -1-n -1 ，即2a n +2n -1=2na n -2n -1 a n -1+1，即2n -1 a n -2n -1 a n -1=2n -1 ，所以a n -a n -1=1，n ≥2且n ∈N *，所以a n 是以1为公差的等差数列．(2)[方法一]：二次函数的性质由(1)可得a 4=a 1+3，a 7=a 1+6，a 9=a 1+8，又a 4，a 7，a 9成等比数列，所以a 72=a 4⋅a 9，即a 1+6 2=a 1+3 ⋅a 1+8 ，解得a 1=-12，所以a n=n-13，所以S n=-12n+n n-12=12n2-252n=12n-2522-6258，所以，当n=12或n=13时，S nmin=-78．[方法二]：【最优解】邻项变号法由(1)可得a4=a1+3，a7=a1+6，a9=a1+8，又a4，a7，a9成等比数列，所以a72=a4⋅a9，即a1+62=a1+3⋅a1+8，解得a1=-12，所以a n=n-13，即有a1<a2<⋯<a12<0,a13=0.则当n=12或n=13时，S nmin=-78．【整体点评】(2)法一：根据二次函数的性质求出S n的最小值，适用于可以求出S n的表达式；法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解．10(2023·天津·统考高考真题)已知a n是等差数列，a2+a5=16,a5-a3=4．(1)求a n的通项公式和2n-1i=2n-1a i ．(2)已知b n为等比数列，对于任意k∈N*，若2k-1≤n≤2k-1，则b k<a n<b k+1，(Ⅰ)当k≥2时，求证：2k-1<b k<2k+1；(Ⅱ)求b n的通项公式及其前n项和．【答案】(1)a n=2n+1，2n-1i=2n-1a i=3⋅4n-1；(2)(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)b n=2n，前n项和为2n+1-2.【分析】(1)由题意得到关于首项、公差的方程，解方程可得a1=3,d=2，据此可求得数列的通项公式，然后确定所给的求和公式里面的首项和项数，结合等差数列前n项和公式计算可得2n-1i=2n-1a i=3⋅4n-1.(2)(Ⅰ)利用题中的结论分别考查不等式两侧的情况，当2k-1≤n≤2k-1时，b k<a n，取n=2k-1，当2k-2≤n≤2k-1-1时，a n<b k，取n=2k-1-1，即可证得题中的不等式；(Ⅱ)结合(Ⅰ)中的结论，利用极限思想确定数列的公比，进而可得数列的通项公式，最后由等比数列前n 项和公式即可计算其前n项和.【详解】(1)由题意可得a2+a5=2a1+5d=16a5-a3=2d=4，解得a1=3d=2，则数列a n的通项公式为a n=a1+n-1d=2n+1，求和得2n-1i=2n-1a i=2n-1i=2n-12i+1=22n-1i=2n-1i+2n-1-2n-1+1=22n-1+2n-1+1+2n-1+2+⋯+2n-1+2n-1=22n-1+2n-1⋅2n-12+2n-1=3⋅4n-1.(2)(Ⅰ)由题意可知，当2k-1≤n≤2k-1时，b k<a n，取n=2k-1，则b k<a2k-1=2×2k-1+1=2k+1，即b k<2k+1，当2k-2≤n≤2k-1-1时，a n<b k，取n=2k-1-1，此时a n=a2k-1-1=22k-1-1+1=2k-1，据此可得2k-1<b k，综上可得：2k-1<b k<2k+1.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：2k-1<bk<2k+1，2k+1-1<b k+1<2k+1+1则数列b n的公比q满足2k+1-12k+1=2-32k+1<q=b k+1b k<2k+1+12k-1=2+32k-1，当k∈N*,k→+∞时，2-3 2k+1→2,2+32k-1→2，所以q=2，所以2k-1<b12k-1<2k+1，即2k-12k-1=2-12k-1<b1<2k+12k-1=2+12k-1，当k∈N*,k→+∞时，2-1 2k-1→2,2+12k-1→2，所以b1=2，所以数列的通项公式为b n=2n，其前n项和为：S n=2×1-2n1-2=2n+1-2.热点四数列与函数的交汇11(2018·浙江·高考真题)已知a1,a2,a3,a4成等比数列，且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3)．若a1>1，则A.a1<a3,a2<a4B.a1>a3,a2<a4C.a1<a3,a2>a4D.a1>a3,a2>a4【答案】B【分析】先证不等式x≥ln x+1，再确定公比的取值范围，进而作出判断.【详解】令f(x)=x-ln x-1,则f (x)=1-1x，令f(x)=0,得x=1，所以当x>1时，f (x)>0，当0<x<1时，f (x)<0，因此f(x)≥f(1)=0,∴x≥ln x+1，若公比q>0，则a1+a2+a3+a4>a1+a2+a3>ln(a1+a2+a3)，不合题意；若公比q≤-1，则a1+a2+a3+a4=a1(1+q)(1+q2)≤0,但ln(a1+a2+a3)=ln[a1(1+q+q2)]>ln a1>0，即a1+a2+a3+a4≤0<ln(a1+a2+a3)，不合题意；因此-1<q<0,q2∈(0,1)，∴a1>a1q2=a3,a2<a2q2=a4<0，选B.【点睛】构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.如x≥ln x+1,e x≥x+1,e x≥x2+1(x≥0).12(2023秋·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习)如图1所示，古筝有多根弦，每根弦下有一个雁柱，雁柱用于调整音高和音质.图2是根据图1绘制的古筝弦及其雁柱的简易平面图.在图2中，每根弦都垂直于x轴，相邻两根弦间的距离为1，雁柱所在曲线的方程为y=1.1x，第n根弦(n∈N，从左数首根弦在y轴上，称为第0根弦)分别与雁柱曲线和直线l：y=x+1交于点A n x n,y n和B n x n ,y n，则20n=0y n y n=.(参考数据：取1.122=8.14.)【答案】914【分析】根据题意可得y n =n +1,y n=1.1n ，进而利用错位相减法运算求解.【详解】由题意可知：y n =n +1,y n =1.1n ，则20n =0y n y n=20n =0n +1 1.1n =1×1.10+2×1.11+⋯+20×1.119+21×1.120，可得1.1×20n =0y n y n =1×1.11+2×1.12+⋯+20×1.120+21×1.121，两式相减可得：-0.1×20n =0y n y n=1.10+1.11+⋯+1.120-21×1.121=1-1.1211-1.1-21×1.121=1-1.121+0.1×21×1.121-0.1=1+1.122-0.1=1+8.14-0.1=-91.4，所以20n =0y n y n=914.故答案为：914.13(2023秋·福建厦门·高三厦门一中校考阶段练习)已知数列a n 满足a 1>0，a n +1=log 2a n ,n =2k -1,k ∈N ∗2a n+2,n =2k ,k ∈N ∗.(1)判断数列a 2n -1 是否是等比数列？若是，给出证明；否则，请说明理由；(2)若数列a n 的前10项和为361，记b n =1log 2a 2n +1 ⋅a 2n +2，数列b n 的前n 项和为T n ，求证：T n <12.【答案】(1)数列a 2n -1 成等比数列，证明见解析(2)证明见解析【分析】(1)推导出a 2n +1=2a 2n +2=2log 2a 2n -1+2=4a 2n -1，得到结论；(2)先得到a 2n -1=a 1⋅4n -1，a 2n =2(n -1)+log 2a 1，从而得到S 10=341a 1+5log 2a 1+20，令f (x )=341x +5log 2x +20，得到函数单调递增，且由特殊点函数值得到a 1=1，b n =14n2，求出T 1=14<74，当n ≥2时，利用裂项相消法求和，得到T n <12.【详解】(1)数列a 2n -1 成等比数列，证明如下：根据a n +1=log 2a n ,n =2k -1,k ∈N ∗2a n+2,n =2k ,k ∈N ∗得，a 2n +1=2a 2n +2=2log 2a 2n -1+2=22a 2n -1=4a 2n -1；∵a 1>0，∴a 2n -1>0，a2n +1a 2n -1=4，即数列a 2n -1 成等比数列.(2)由(1)得，a 2n -1=a 1⋅4n -1，a 2n =log 2a 2n -1=2(n -1)+log 2a 1，故S 10=a 140+41+42+43+44 +5log 2a 1+2×(0+1+2+3+4)=341a 1+5log 2a 1+20，由S 10=361，得341a 1+5log 2a 1+20=361.令f (x )=341x +5log 2x +20，当x >0时，f (x )=341x +5log 2x +20单调递增，且f (1)=361=f a 1 ，故a 1=1，a 2n +1=4n =22n ，a 2n +2=log 2a 1+2n =2n ，∴b n =1log 2a 2n +1 ⋅a 2n +2=14n 2，T 1=b 1=14<12，当n ≥2时，b n =14n2<14(n -1)n =141n -1-1n∴T n =b 1+b 2+⋯+b n <141+1-12+12-13+⋯+1n -1-1n=142-1n <14×2=12，综上，知T n <1214(2023·全国·高三专题练习)已知A x 1,y 2 、B x 2,y 2 是函数f x =2x 1-2x,x ≠12-1,x =12的图象上的任意两点，点M 在直线x =12上，且AM =MB ．(1)求x 1+x 2的值及y 1+y 2的值；(2)已知S 1=0，当n ≥2时，S n =f 12 +f 2n +f 3n +⋅⋅⋅+f n -1n，设a n =2Sn，T n 数列a n 的前n 项和，若存在正整数c ，m ，使得不等式T m -c T m +1-c <12成立，求c 和m 的值；【答案】(1)x 1+x 2=1,y 1+y 2=-2(2)存在，c =1,m =1【分析】(1)根据点M 在直线x =12上，设M 12,y M ，利用AM =MB ，可得x 1+x 2=1，分类讨论：①x 1=12，x 2=12；②x 1≠12时，x 2≠12，利用函数解析式，可求y 1+y 2的值；(2)由(1)知，当x 1+x 2=1时，y 1+y 2=-2，∴f k n +f n -kn=-2，代入k =0，1，2，⋯，n -1，利用倒序相加法可得S n =1-n ，从而可得数列a n 的通项与前n 项和，利用T m -c T m +1-c <12化简即可求得结论.【详解】(1)根据点M 在直线x =12上，设M 12,y M ，则AM =12-x 1,y M -y 1 ，MB =x 2-12,y 2-y M ，∵AM =MB ，∴x 1+x 2=1．①当x 1=12时，x 2=12，y 1+y 2=f x 1 +f x 2 =-1-1=-2；②当x 1≠12时，x 2≠12，y 1+y 2=2x 11-2x 1+2x 21-2x 2=2x 11-2x 2 +2x 21-2x 1 1-2x 1 1-2x 2 =2(x 1+x 2)-8x 1x 21-2(x 1+x 2)+4x 1x 2=2(1-4x 1x 2)4x 1x 2-1=-2；综合①②得，y 1+y 2=-2．(2)由(1)知，当x 1+x 2=1时，y 1+y 2=-2．∴f k n +f n -k n=-2，k =0,1,2,⋯,n -1，∴n ≥2时，S n =f 1n +f 2n +f 3n +⋯+f n -1n①S n =f n -1n +f n -2n +f n -3n +⋯+f 1n ②①+②得，2S n =-2(n -1)，则S n =1-n ．又n =1时，S 1=0满足上式，∴S n =1-n ．∴a n =2S n=21-n ，∴T n =1+12+⋯+12n -1=1×1-12 n1-12=2-22n．∵T m -c T m +1-c <12，∴2T m -c -T m +1-c 2T m +1-c<0，∴c -2T m -T m +1c -T m +1<0，∵Tm +1=2-12m ，2T m -T m +1=4-42m -2+12m =2-32m ，∴12≤2-32m <c <2-12m <2，c ,m 为正整数，∴c =1，当c =1时，2-32m<12-12m >1，∴1<2m <3，∴m =1．【点评】作为高考热点，数列与函数的交汇问题，等差数列易于同二次函数结合，研究和的最值问题，而等比数列易于同指数函数结合，利用指数函数的单调性解决问题，递推、通项问题往往与函数的单调性、周期性相结合.热点五数列与不等式交汇15(2022·浙江·统考高考真题)已知数列a n 满足a 1=1,a n +1=a n -13a 2n n ∈N ∗，则()A.2<100a 100<52 B.52<100a 100<3 C.3<100a 100<72 D.72<100a 100<4【答案】B【分析】先通过递推关系式确定a n 除去a 1，其他项都在0,1 范围内，再利用递推公式变形得到1a n +1-1a n =13-a n >13，累加可求出1a n >13(n +2)，得出100a 100<3，再利用1a n +1-1a n =13-a n<13-3n +2=131+1n +1 ，累加可求出1a n -1<13n -1 +1312+13+⋯+1n ，再次放缩可得出100a 100>52．【详解】∵a 1=1，易得a 2=23∈0,1 ，依次类推可得a n ∈0,1由题意，a n +1=a n 1-13a n ，即1a n +1=3a n 3-a n=1a n +13-a n ，∴1a n +1-1a n =13-a n >13，即1a 2-1a 1>13，1a 3-1a 2>13，1a 4-1a 3>13，⋯，1a n -1a n -1>13,(n ≥2)，累加可得1a n -1>13n -1 ，即1a n >13(n +2),(n ≥2)，∴a n <3n +2,n ≥2 ，即a 100<134，100a 100<10034<3,又1a n +1-1a n =13-a n <13-3n +2=131+1n +1 ,(n ≥2)，∴1a 2-1a 1=131+12 ，1a 3-1a 2<131+13 ，1a 4-1a 3<131+14 ，⋯，1a n -1a n -1<131+1n,(n≥3)，累加可得1a n -1<13n -1 +1312+13+⋯+1n ,(n ≥3)，∴1a 100-1<33+1312+13+⋯+1100 <33+1312×4+16×96 <39，即1a 100<40，∴a 100>140，即100a 100>52；综上：52<100a 100<3．故选：B ．16(2023·浙江嘉兴·统考模拟预测)如图，在一个单位正方形中，首先将它等分成4个边长为12的小正方形，保留一组不相邻的2个小正方形，记这2个小正方形的面积之和为S 1；然后将剩余的2个小正方形分别继续四等分，各自保留一组不相邻的2个小正方形，记这4个小正方形的面积之和为S 2．以此类推，操作n 次，若S 1+S 2+⋅⋅⋅+S n ≥20232024，则n 的最小值是()A.9B.10C.11D.12【答案】C【分析】由题意可知操作n 次时有2n 个边长为12n 的小正方形，即S n =2n ×12n2=12n，结合等比数列前n 项和解不等式即可.【详解】由题意可知操作1次时有21=2个边长为121=12的小正方形，即S 1=21×1212=121=12，操作2次时有22=4个边长为122=14的小正方形，即S 2=22×122 2=122=14，操作3次时有23=8个边长为123=18的小正方形，即S 3=23×1232=123=18，以此类推可知操作n 次时有2n 个边长为12n 的小正方形，即S n =2n ×12n2=12n ，由等比数列前n 项和公式有S 1+S 2+⋅⋅⋅+S n =12+12 2+⋅⋅⋅+12 n =12×1-12 n1-12=1-12 n，从而问题转换成了求1-12 n ≥20232024不等式的最小正整数解，将不等式变形为12 n ≤12024，注意到12 10=11024>12024，1211=12048<12024，且函数y =12x在R 上单调递减，所以n 的最小值是11.故选：C .17(2023秋·四川绵阳·高三绵阳中学校考阶段练习)已知等差数列a n 的前n 项和为S n ，且S 4=4S 2,a 3n =3a n +2n ∈N *(1)求a n 的通项公式，(2)设b n =1a n a n +1，且b n 的前n 项和为T n ，证明，13≤T n <12.【答案】(1)a n =2n -1(2)证明见解析【分析】(1)利用等差数列的通项公式以及前n 项和公式，列方程求解首项和公差，即得答案；(2)由(1)结论可得b n =1a n a n +1的表达式，利用裂项求和可得T n 表达式，即可证明结论.【详解】(1)设a n 的公差为d ，由S 4=4S 2得，4a 1+6d =42a 1+d ，解得d =2a 1，∵a 3n =3a n +2，即a 1+3n -1 d =3a 1+n -1 d +2，∴2d =2a 1+2，结合d =2a 1，∴d =2,a 1=1,∴a n =1+2n -1 =2n -1；(2)证明：由b n =12n -1 2n +1=1212n -1-12n +1 .∴T n =b 1+b 2+⋯+b n =121-13+13-15+⋯+12n -1-12n +1，即∴T n =121-12n +1 ，又T n 随着n 的增大增大，当n =1时，T n 取最小值为T 1=13，又n →+∞时，12n +1>0，且无限趋近于0，故T n =121-12n +1 <12，故13≤T n <12.18(2022·全国·统考高考真题)记S n 为数列a n 的前n 项和，已知a 1=1,S n a n 是公差为13的等差数列．(1)求a n 的通项公式；(2)证明：1a 1+1a 2+⋯+1a n<2．【答案】(1)a n =n n +12(2)见解析【分析】(1)利用等差数列的通项公式求得S n a n =1+13n -1 =n +23，得到S n =n +2 a n 3，利用和与项的关系得到当n ≥2时，a n =S n -S n -1=n +2 a n 3-n +1 a n -13,进而得：a n a n -1=n +1n -1，利用累乘法求得a n =n n +1 2，检验对于n =1也成立，得到a n 的通项公式a n =n n +1 2；(2)由(1)的结论，利用裂项求和法得到1a 1+1a 2+⋯+1a n =21-1n +1 ，进而证得.【详解】(1)∵a 1=1，∴S 1=a 1=1,∴S1a 1=1,又∵S n a n 是公差为13的等差数列，∴S n a n =1+13n -1 =n +23,∴S n =n +2 a n 3,∴当n ≥2时，S n -1=n +1 a n -13，∴a n =S n -S n -1=n +2 a n 3-n +1 a n -13,整理得：n -1 a n =n +1 a n -1,即a na n-1=n+1n-1,∴a n=a1×a2a1×a3a2×⋯×a n-1a n-2×a na n-1=1×31×42×⋯×nn-2×n+1n-1=n n+12，显然对于n=1也成立，∴a n的通项公式a n=n n+12；(2)1a n =2n n+1=21n-1n+1,∴1 a1+1a2+⋯+1a n=21-12+12-13+⋯1n-1n+1=21-1n+1<219(2021·全国·统考高考真题)设a n是首项为1的等比数列，数列b n满足b n=na n3．已知a1，3a2，9a3成等差数列．(1)求a n和b n的通项公式；(2)记S n和T n分别为a n和b n的前n项和．证明：T n<S n 2．【答案】(1)a n=13n-1，b n=n3n；(2)证明见解析.【分析】(1)利用等差数列的性质及a1得到9q2-6q+1=0，解方程即可；(2)利用公式法、错位相减法分别求出S n,T n，再作差比较即可.【详解】(1)因为a n是首项为1的等比数列且a1，3a2，9a3成等差数列，所以6a2=a1+9a3，所以6a1q=a1+9a1q2，即9q2-6q+1=0，解得q=13，所以a n=13n-1，所以b n=na n3=n3n.(2)[方法一]：作差后利用错位相减法求和T n=13+232+⋯+n-13n-1+n3n，S n 2=12130+131+132+⋯+13n-1 ，T n-S n2=13+232+333+⋯+n3n-12130+131+132+⋯+13n-1 =0-1230+1-1231+2-1232+⋯+n-1-123n-1+n3n．设Γn=0-1230+1-1231+2-1232+⋯+n-1-123n-1， ⑧则13Γn=0-1231+1-1232+2-1233+⋯+n-1-123n． ⑨由⑧-⑨得23Γn=-12+131+132+⋯+13n-1-n-323n=-12+131-13n-11-13-n-323n．所以Γn=-14×3n-2-n-322×3n-1=-n2×3n-1．因此T n-S n2=n3n-n2×3n-1=-n2×3n<0．故T n<S n 2．[方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法证明：由(1)可得S n=1×1-13n1-13=321-13n，T n=13+232+⋯+n-13n-1+n3n，①1 3T n=132+233+⋯+n-13n+n3n+1，②①-②得23T n=13+132+133+⋯+13n-n3n+1=131-13n1-13-n3n+1=121-13n-n3n+1，所以T n=341-13n-n2⋅3n，所以T n-S n2=341-13n-n2⋅3n-341-13n=-n2⋅3n<0，所以T n<S n 2 .[方法三]：构造裂项法由(Ⅰ)知b n=n13n，令c n=(αn+β)13 n，且b n=c n-c n+1，即n13 n=(αn+β)13 n-[α(n+1)+β]13n+1，通过等式左右两边系数比对易得α=32,β=34，所以c n=32n+34 ⋅13 n．则T n=b1+b2+⋯+b n=c1-c n+1=34-34+n2 13 n，下同方法二．[方法四]：导函数法设f(x)=x+x2+x3+⋯+x n=x1-x n1-x，由于x1-x n1-x'=x1-x n'1-x-x1-x n×1-x'1-x2=1+nx n+1-(n+1)x n(1-x)2，则f (x)=1+2x+3x2+⋯+nx n-1=1+nx n+1-(n+1)x n(1-x)2．又b n=n13n=13n13 n-1，所以T n=b1+b2+b3+⋯+b n=131+2×13+3×132+⋯+n⋅13n-1 =13⋅f 13 =13×1+n13n+1-(n+1)13 n1-132=341+n13n+1-(n+1)13n =34-34+n213 n，下同方法二．20(2023·河南郑州·统考模拟预测)已知数列a n与b n的前n项和分别为A n和B n，且对任意n∈N*，a n +1-a n =32b n +1-b n 恒成立.(1)若A n =3n 2+3n2，b 1=2，求B n ；(2)若对任意n ∈N *，都有a n =B n 及b 2a 1a 2+b 3a 2a 3+b 4a 3a 4+⋯+b n +1a n a n +1<13恒成立，求正整数b 1的最小值.【答案】(1)n (n +1)；(2)3【分析】(1)利用a n ,S n 求通项公式，再求证{b n }是首项、公差均为2的等差数列，进而求B n ；(2)由题设易得b n +1=3b n ，等比数列前n 项和公式求B n ，进而可得b n +1a n a n +1=1B n -1B n +1，裂项相消法化简已知不等式左侧，得b 1>31-23n +1-1恒成立，进而求最小值.【详解】(1)由题设，a n =A n -A n -1=32[n 2+n -(n -1)2-n +1]=3n 且n ≥2，而a 1=A 1=3，显然也满足上式，故a n =3n ，由a n +1-a n =32b n +1-b n ⇒b n +1-b n =2，又b 1=2，所以{b n }是首项、公差均为2的等差数列.综上，B n =2×(1+...+n )=n (n +1).(2)由a n =B n ，a n +1-a n =32b n +1-b n ，则B n +1-B n =b n +1=32(b n +1-b n )，所以b n +1=3b n ，而b 1≥1，故bn +1b n=3，即{b n }是公比为3的等比数列.所以B n =b 1(1-3n )1-3=b 12(3n -1)，则B n +1=b12(3n +1-1)，b n +1a n a n +1=B n +1-B n B n +1B n =1B n -1B n +1，而b 2a 1a 2+b 3a 2a 3+b 4a 3a 4+⋯+b n +1a n a n +1<13，所以1B 1-1B 2+1B 2-1B 3+...+1B n -1B n +1=1B 1-1B n +1=1b 1-2b 1(3n +1-1)<13，所以1b 11-23n +1-1 <13⇒b 1>31-23n +1-1对n ∈N *都成立，所以1-23n +1-1<1，故b 1≥3，则正整数b 1的最小值为3.21(2023秋·云南·高三云南师大附中校考阶段练习)已知a n 为等差数列，b n 为等比数列，b 1=2a 1=2，a 5=5a 4-a 3 ，b 5=4b 4-b 3 ，数列c n 满足c n =1a n a n +2,n 为奇数b n,n 为偶数.(1)求a n 和b n 的通项公式；(2)证明：2ni =1c i ≥133.【答案】(1)a n =n ；b n =2n (2)证明见解析【分析】(1)设等差数列a n 的公差为d ，等比数列b n 的公比为q ，根据题意列式求d ,q ，进而可得结果；(2)利用分组求和以及裂项相消法求得T n =-14n +2+4n +13-56，进而根据数列单调性分析证明.【详解】(1)设等差数列a n 的公差为d ，等比数列b n 的公比为q ，由a 1=1，a 5=5a 4-a 3 ，可得1+4d =5d ，解得d =1。

数列与其他知识交汇5：数列与解析几何

数列与解析几何交汇题型总结一、“数列”与“直线”交汇例题1．取直角坐标系内11(P x ，1)y ，22(P x ，2)y 两点，使1，1x ，2x ，7依次成等差数列，1，1y ，2y ，8依次成等比数列，若1P ，2P 两点关于直线l 对称，则直线l 的方程为( ) A ．10x y ++= B ．10x y --=C ．70x y +-=D ．250x y --=【解析】1，1x ，2x ，7依次成等差数列，13x ∴=，25x =1，1y ，2y ，8依次成等比数列，12y ∴=，24y =，1(3,2)P ∴，2(5,4)P1P ，2P 两点关于直线l 对称，12P P ∴两点连线的斜率是42153-=-， ∴直线l 的斜率是1-，直线l 过点(4,3)∴直线l 的方程是31(4)y x -=--，即直线l 的方程是70x y +-=，故选C ．【小结】本题根据所给的两个数列，写出数列中出现的字母，即得到两个点的坐标，根据要求的直线与这两个点的连线垂直，求出直线l 的斜率，又根据直线过两点连线的中点，根据点斜式写出方程．例题2．已知数列{}n a ，定直线:(3)(24)90l m x m y m +-+--=，若(,)n n a 在直线l 上，则数列{}n a 的前13项和为( ) A ．10B ．21C ．39D ．78【分析】由点(n ，*)()n a n N ∈在直线:(3)(24)90l m x m y m +-+--=上，可得392424n m m a n m m ++=-++，即可得到数列{}n a 的前13项和．二、“数列”与“圆”交汇例题3．已知曲线1C 的方程为221x y +=，过平面上一点1P 作1C 的两条切线，切点分别为1A ，1B 且满足11160A PB ∠=︒，记1P 的轨迹为2C ，过一点2P 作2C 的两条切线，切点分别为2A ，2B 且满足22260A P B ∠=︒，记2P 的轨迹为3C ，按上述规律一直进行下去⋯⋯，设点n A 与1n A +之间距离的最小值为n a ，且n S 为数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，则满足1|2|100n S -<的最小的n 为 A ．5 B ．6 C ．7D ．8【分析】设1(,)P x y ，则11||2||2OP OA ==，可得方程222:4C x y +=．同理可得2P 的方程3C 为：2216x y +=．设1(cos ,sin )A θθ，2(2cos ,2sin )A αα，可得2212||(cos 2cos )(sin 2sin )54cos()312A A θαθααθ=-+-=--=+，同理可得：11||22n n n n n max a A A -+==+．可得1na ．可得数列1{}na 的前n 项和n S ，代入1211||332100n n S --=<⨯，由此能求出n ．【解析】设1(,)P x y ，则11||2||2OP OA ==，可得方程222:4C x y +=．同理可得2P 的方程3C 为：2216x y +=．设1(cos ,sin )A θθ，2(2cos ,2sin )A αα2212||(cos 2cos )(sin 2sin )54cos()312A A θαθααθ=-+-=--=+，同理可得：11||22n n n n n max a A A -+==+．111112232n nn n a --==+⨯．数列1{}na 的前n 项和111212(1)133212n n n S -=⨯=--，则满足1211||332100n n S --=<⨯，解得7n ．故选C ．例题4．在圆2210210x y x y +--+=内，过点(2,1)有n 条弦的长度成等差数列，最短弦长为数列的首项1a ，最长弦长为n a ，若公差11(,)35d ∈，那么n 的取值集合为．【分析】先由圆的几何性质，最短时该点与圆心的连线与所在直线垂直，最长时则该直线过圆心，即圆的直径．从而求得首项和末尾项，再由公差的范围求解．【解析】圆2210210x y x y +--+=即为22(5)(1)25x y -+-=，圆心为(5,1)，半径为5，则最长的弦长为直径，即10n a =，最短弦长为222538-=，即18a =，1211n a a d n n -∴==--，公差11(,)35d ∈，∴121315n <<-，1352n -∴<<，即711n <<， n ∴为8，9，10，故n 的取值集合为{8，9，10}，故答案为：{8，9，10}．【小结】本题主要考查了圆的几何性质，最长弦与最短弦的求法，还考查了等差数列的通项公式及不等式问题，体现了知识间的渗透，应用了转化思想．三、“数列”与“椭圆”交汇例题5．椭圆22143x y +=上有n 个不同的点1P ，2P ，3P ，n P ⋯⋯，椭圆右焦点F ，数列{||}n P F 是公差大于12019的等差数列，则n 的最大值为( ) A ．4036 B ．4037C ．4038D ．4039【分析】由椭圆方程求出a 、b 、c 、e 的值，再求出右焦点的坐标、右准线的方程，设(n P x ，)n y ，根据圆锥曲线的统一定义、题意，列出1x 、n x 的不等式，再利用椭圆上点的横坐标范围，解之即可得到n 的取值范围，从而得出n 的最大值．【解析】由椭圆22143x y +=得，2a =、b 1c =，所以右焦点为(1,0)F ，离心率12e =，设(n P x ，)n y ，P 到右准线4x =的距离为4n n d x =-，根据圆锥曲线的统一定义得，||12n n P F e d ==，所以11||(4)222n n n P F x x =-=-，因为数列{||}n P F 是公差大于12019的等差数列，所以11||||2019n n P F PF -->，可得1111222019n n x x -->，化简得1222019n n x x -->，结合椭圆上点的横坐标的范围，得124n x x a -<=，所以2242019n -<，解得4039n <，得n 的最大值为4038，故选C ．四、“数列”与“抛物线”交汇例题6．对于每个自然数n ，抛物线22()(21)1y n n x n x =+-++与x 轴交于n A ，n B 两点，以||n n A B 表示该两点间的距离，则112220152015||||||A B A B A B ++⋯+的值是（） A ．20142015B ．20162015C ．20152014 D ．20152016【分析】根据抛物线的解析式，抛物线与x 轴交点的横坐标，根据x 轴上两点间的距离公式，得11||1n n A B n n =-+，再代入计算即可．【解析】抛物线的解析式为22()(21)1y n n x n x =+-++，∴抛物线与x 轴交点坐标为1(n，0)，1(1n +，0)，11||1n n A B n n ∴=-+， 112220152015||||||1111112232015201612015120162016A B A B A B ∴++⋯+=-+-+⋯+-=-=，故选D ．【小结】本题是一道找规律的题目，考查了抛物线与x 轴的交点问题，令0y =，方程的两个实数根正好是抛物线与x 轴交点的横坐标．五、“数列”与“双曲线”交汇例题7．已知一簇双曲线222:()(*,2020)2020n n E x y n N n -=∈，设双曲线n E 的左、右焦点分别为1n F 、2n F ，nP 是双曲线n E 右支上一动点，三角形12n n n P F F 的内切圆n G 与x 轴切于点(n n A a ，0)，则122020a a a ++⋯= ．【解析】如图所示，设1n n P F ，2n n P F 与圆n G 分别切于点n B ，n C ．根据内切圆的性质可得：||||n n n n P B P A =，11||||n n n n B F A F =，22||||n n n n A F C F =，又点n P 是双曲线n E 右支上一动点，122||||220201010n n n n n n P F F P a ∴-===，12||||1010n n n n nA F A F ∴-=． ()()1010n n n n n a c c a ∴----=．可得：2020n na =．可得：122020122020202120202a a a ++⋯⋯+++⋯==．故答案为：20212．例题8．已知数列{}n a 的首项为2，n S 为其前n 项和，且12(0,*)n n S qS q n N +=+>∈ （1）若4a ，5a ，45a a +成等差数列，求数列{}n a 的通项公式；（2）设双曲线2221ny x a -=的离心率为n e ，且23e =，求222212323n e e e ne +++⋯+．【解析】（1）通过12n n S qS +=+，212n n S qS ++=+，两式相减得到21n n a qa ++=，1n ．说明数列{}n a 是首项为2，公比为q 的等比数列．通过4a ，5a ，45a a +成等差数列，求出2q =．然后求解通项公式．（2）求出双曲线2221ny x a -=的离心率22(1)114n n n e a q -+=+．然后利用错位相减法，转化求解思念的和即可．【解答】解：（1）由已知，12n n S qS +=+，212n n S qS ++=+，两式相减得到21n n a qa ++=，1n ．又由212S qS =+得到21a qa =，故1n n a qa +=对所有1n 都成立．所以，数列{}n a 是首项为2，公比为q 的等比数列．由4a ，5a ，45a a +成等差数列，可得54452a a a a =++，所以542a a =，故2q =．所以*2()n n a n N =∈．（2）由（1）可知，12n n a q -=，所以双曲线2221ny x a -=的离心率22(1)114n n n e a q -=++．由23e ==，得q =．所以222222(1)12323(14)2(14)(14)n n e e e n e q n q -+++⋯+=++++⋯++22(1)(1)4(12)2n n n q nq -+=+++⋯+，记22(1)123n n T q q nq -=+++⋯+①222(1)22(1)n n n q T q q n q nq -=++⋯+-+②①-②得2222(1)2221(1)11n n nn n q q T q q qnqnq q---=+++⋯+-=-- 所以222222222211122(1)21(1)(1)(1)(1)n n n nn n n n q nq q nq T n n q q q q --=-=-=-+=-+----．所以222212(1)2(1)242n n n n e e n e n ++++⋯+=-++．【小试牛刀】变式1．已知直线:0l ax by c ++=，若a ，b ，c 成等差数列，则当点(2,1)P 到直线l 的距离最大时，直线l 的斜率是．【解析】a ，b ，c 成等差数列，可得2a c b +=，即20a b c -+=，由直线:0l ax by c ++=，可得直线l 恒过定点(1,2)M -，当点(2,1)P 到直线l 的距离最大时，可得直线l 垂直于直线PM ，由直线PM 的斜率为12321+=-，则直线l 的斜率为13-．故答案为：13-．变式2．已知点(sin2n π，n a +在直线:l y ={}n a 的前30项的和为．【解析】点(sin2n π，)4n a +在直线:4l y =++2n n a π∴=， sin2n π的最小正周期为4，取值是1，0，1-，0的循环， ∴数列{}n a 的前30项和：3030010)10]S =⨯+-+++=故答案为：．变式3．椭圆的焦点是1(3F -，20)(3,0)F ，P 为椭圆上一点，且12||F F 是1||PF 与2||PF 的等差中项，则椭圆的方程为．【解析】椭圆的焦点是1(3F -，20)(3,0)F ，P 为椭圆上一点，且12||F F 是1||PF 与2||PF 的等差中项，1212||||2||12PF PF F F ∴+==，212a ∴=，26c =，即6a =，3c =236927b ∴=-=，∴椭圆的方程为2213627x y +=．变式4．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，点列(,)()nS n n N n+∈在直线y x =上．（1）求数列{}n a 的通项n a ；（2）求数列11{}n n a a +的前n 项和n T ．【解析】解：（1）依题意有n S n n=，即2n S n = 当1n =时时，111a S ==,当2n 时，121n n n a S S n -=-=- 又1n =时时上式也成立,21n a n ∴=-，*n N ∈ （2）111111()(21)(21)22121n n a a n n n n +==--+-+ ∴11111111[(1)()()](1)2335212122121n nT n n n n =-+-+⋯+-=-=-+++变式5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，132n n S S +=+，*n N ∈．（1）证明：数列{1}n S +为等比数列；（2）已知曲线22:(19)1n n C x a y +-=，若n C 为椭圆，求n 的值；（3）若33()log ()22n nn aa b =⨯，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【解析】（1）证明：132n n S S +=+，11333(1)n n n S S S +∴+=+=+，又11113S a +=+=，{1}n S ∴+是以3为首项，以3为公比的等比数列．（2）解：由（1）可知13n n S +=，即31n n S =-，当2n 时，1113323n n n n n n a S S ---=-=-=．显然当1n =时，上式也成立，故123n n a -=．曲线22:(19)1n n C x a y +-=表示椭圆，190n a ∴->且191n a -≠．∴1123192318n n --⎧<⎨≠⎩，又n N ⨯∈，故1n =或2n =．（3）解：133log 3n n b -=13n n n -=．0231132333433n n T n -∴=++++⋯+，①两边同乘3可得：2343132333433n n T n =++++⋯+，② ①-②可得：231131121333333()31322n n nn n n T n n n ---=++++⋯+-=-=---，211344n n n T -∴=+．变式6．已知数列{}n a 的首项为1，n S 为数列{}n a 的前n 项和，若110n n S qS +--=，其中0q >，*n N ∈．（1）若2a ，3a ，224a -成等差数列，求{}n a 的通项公式；（2）设双曲线2221n x y a -=的渐近线斜率的绝对值为n b ，若23b =，求111(1)(1)ni i i i b b b +=+++∑．【解答】解：（1）11n n S qS +=+，11(2)n n S qS n -=+，1(2)n n a qa n +∴=，211S qS =+，1211a a qa ∴+=+，11a =，21a qa ∴=，*1()n n a qa n N +=∈，0q >，{}n a ∴为公比是q 的等比数列，即1n n a q -=，2a ，3a ，224a -成等差数列，322224a a a ∴=+-，2223(21)(2)02q q q q q =--+==-（舍)，12q =，∴11()2n n a -=．（2）1n nb a =，∴11()n n b q -=，23b =，∴13n n b -=．11111113311()(1)(1)(31)(31)2(31)(31)i nnn i i i i ii i i i i b b b +--===+==-++++++∑∑∑， 11101121(1)(1)3111111()231313131313131133()22314232ni i i i n n n n b b b +=+-++=-+-+⋯+-++++++=-=-++∑．变式7．设双曲线时22:13y x Γ-=，正项数列{}n x 满足11x =，对任意的2n ，*n N ∈，都有1()n n x -是Γ上的点．（1）求数列{}n x 的通项公式；（2）记12231111n n n S x x x x x x +=++⋯++++，是否存在正整数m ，使得22133m y x S -=与Γ有相同的渐近线？如果有，求出m 的值；如果没有，请说明理由．【解答】（1）正项数列{}n x 满足11x =，对任意的2n ，*n N ∈，都有1()n n x -是双曲线22:13y x Γ-=上的点，可得2211n n x x --=，即有2{}n x 为首项和公差均为1的等差数列，可得211nx n n =+-=，即n x = （2）11n n x x +==+1223111111n n n S x x x xx x +=++⋯+++++，假设存在正整数m ，使得22133m y x S -=与Γ有相同的渐近线，即有y =与y == 即99m S =199=，解得9999m =，则存在正整数9999m =，使得22133m y x S -=与Γ有相同的渐近线．变式8．已知抛物线2y =的焦点也是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的右焦点，而E 的离心率恰好为双曲线2213x y -=的离心率的倒数．（1）求椭圆E 的方程；（2）各项均为正数的等差数列{}n a 中，11a =，点12(P a 在椭圆E 上，设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【解析】（1）依题意双曲线2213x y -=，抛物线2y =的焦点0)，可得：c =e =，∴c a =， 2a ∴=，∴1b ==．故椭圆E 的方程为2214x y +=．（2）点12(P a 在椭圆E 上，∴2312214a a a +=，又11a =，∴23243a a =，又{}n a 是等差数列，24(12)3(1)d d ∴+=+．1d ∴=或13d =-，当13d =-时，411303a =-⨯=，与0n a >矛盾．1d ∴=．1(1)1n a n n ∴=+-⨯=．∴111(1)1n b n n n n ==-++． ∴111111111122334111n n T n n n n =-+-+-+⋯⋯+-=-=+++．。

数列与解析的交汇问题

数列与解析几何的交汇问题例 1.（2010年广东）已知曲线2:nC y nx =，点(,)(0,0)n n n n n P x y x y >>是曲线n C 上的点（1,2,3n = ）（1）写出曲线n C 在点n P 处的切线n l 的方程，并求出n l 与y 轴的交点n Q 的坐标（2）若原点到n l 的距离与线段n n P Q 的长度之比取得最大值，试求点n P 的坐标例2．（2010年安徽文）如图，设123,,,,,n C C C C 是坐标平面内的一系列圆，它们的圆心都在x 轴的正半轴上，且都与直线y x =相切，对每一个正整数n ，圆n C 都与圆1n C +相互外切，以n r 表示n C 的半径，已知{}n r 为递增数列（1）证明{}n r 为等比数列（2）设11r =，求数列n n r ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和例3．（1993上海）设数列{}n a 的前n 项和是(1)(1,2,3,4,),,n S an bn n n a b =+-= 是常数，且b a ≠（1）证明数列{}n a 是等差数列（2）证明以(,1)n n S a n-为坐标的点(1,2,3,4,)n P n = 都在同一条直线上，并写出此直线的方程例4．（2010湖南）为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川山上相距8km 的,A B 两点各建一个考察基地。

视冰川面为平面图形，以过,A B 两点的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系。

考察范围为到,A B 两点的距离之和不超过10km 的区域。

（1）求考察区域边界曲线的方程（2）设线段12,P P 是冰川的部分边界（不考虑其它边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km ，以后每年移动的距离为前一年的2倍。

问：经过多长时间，点A 恰好在冰川边界上？例5．（2012全国）函数2()23f x x x =--，定义数列{}n x 如下：112,n x x +=是过两点(4,5),(,())n n n P Q x f x 的直线n PQ 与x 轴交点的横坐标。

高考数学专题辅导与训练配套课件：4.3与数列交汇的综合问题(湖北专供-数学理)

2.数列与不等式数列与不等式的综合问题考查方式主要有三种：一是判断数列问题中的一些不等关系，二是以数列为载体，考查不等式的恒成立问题，三是考查与数列问题有关的不等式的证明问题. 在解决这些问题时，要充分利用数列自身的特点.例如，在需要用到数列的单调性的时候，可以通过比较相邻两项的大小进行判断.
(2)数列与解析几何交汇，主要涉及点列问题，属中等以上难度.
【核心自查】一、主干构建
二、交汇问题 1.数列与函数数列的通项是自变量为正整数的一类函数，其通项公式相当于函数的解析式，我们可以用函数的观点来研究数列.例如，要研究数列的单调性、周期性、最值等性质，可以通过研究其通项公式所对应函数的单调性、周期性、最值等性质来实现. 提醒：要注意自变量为正整数这一特点.
2.(1)由已知可得，x1+x2=1,
(2)y由1 (1y)知2 当lxo1g+3 x12=3xx111时，log3
1
3x x
2 2
log3
1
x1
3x1x 2
x2
x1x
2
1.
y1 y2 f x1 f x2 1.
Sn
f（ 1 ） n
f（ 2 ） n
f（ n 1） n
①
Sn
f（ n 1） n
函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列{an}，{f(an)}仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”.现有定义在(-∞，0)
∪(0，+∞)上的如下函数：
①f(x)=x2；②f(x)=2x;
③
④f(x)=ln|x|.
f x x ;
则其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号为( )
(A)①② (B)③④ (C)①③ (D)②④

人教版数学高二-备课资料数列与解析几何的综合问题

数列与解析几何的综合问题一、知识预备 1．数列与解析几何的综合问题内容涉及解析几何、数列多个方面，因此，我们首先需要仔细阅读题目，并根据题设理清思路，从繁杂的条件中选取有用的信息，把握问题的实质． 2．数列与解析几何的综合性和探索性强，要求学生有较强的理性思维能力，能有效地考查深层次数学品质和数学综合素质，因而这类综合题往往作为压轴题形式出现，是近年来高考出现频率较高的综合题．3．数列与解析几何的综合问题解决的策略往往是把综合问题分解成几部分，先利用解析几何的知识以及数形结合得到数列的通项公式，然后再利用数列知识和方法求解．二、典例选析例1．已知i ，j 分别是x 轴，y 轴方向上的单位向量，OA 1→=j ，OA 2→=10j ，且A n －1A n =3A n A n+1（n=2，3，4，…），在射线y=x （x≥0）上从下到上依次有点Bi （i=1，2，3，…），OB 1→=3i+3j 且Bn Bn 1-=22．（n=2，3，4，…）．（1）求A 4 A 5→；（2）求OA n → ， OB n →；（3）求四边形A n A n+1B n+1B n 面积的最大值．分析：第（2）小题利用向量知识将OA n → ， OB n→分别转化为等比数列、等差数列求和．第（3）小题主要是利用解析几何中点到直线的距离计算四边形面积．解：（1）由已知1An -An =1An -An ，得A n-1A n →=131An -An ，A 4 A 5→=13A 3 A 4→=（13）2A 2 A 3→=（13）3A 1 A 2→=127 （OA 2→－OA 1→）=13j ．（2）由（1）知A n-1A n →=13n-1 A 1 A 2→=13n-3 j ， OA n →=OA 1→+A 1 A 2→+…+A n-1A n →=j+A 1 A 2→+…+A n-1A n →=j+9j+3j+…+13n-3 j =j+j n 311])31(1[91---=j n 2)31(294-- ∵|B n-1B n →|=22且B n －1，B n 均在射线上y=x （x≥0）上，B n-1B n →=2i+2j ．∴OB n →=OB 1→+B 1 B 2→+B 2 B 3→+…+B n-1B n →=3i+3j+（n －1）（2i+2j ）=（2n+1）i+（2n+1）j（3）四边形A n A n+1B n+1B n 的面积为S n =S ΔA n A n+1B n+1+S ΔB n+1B n A n又|A n A n+1→|=13n-3 ， △A n A n+1B n+1的底边A n A n+1上的高为h 1=2n+3．又|B n B n+1→|=22，A n （0， 2)31(294--n ）到直线y=x 的距离为h 2=22)31(294--n ∴S n =3322922)31(29222131)32(2143-+=-⋅⋅+⋅+⋅--n n n n n 而S n －S n －1=343332313---+-=--n n n n n n < 0，∴S 1>S 2>…>S n >… ∴S max =S 1=2479229312292=+=+- 点评：本题将向量、解析几何与等差、等比数列有机的结合，体现了在知识交汇点设置试题的命题原则．其中割补法是解决四边形面积的常用方法．例2．已知函数f （x ）与函数y=a(x-1)（a>0）的图象关于直线y=x 对称（1）试用含a 的代数式表示函数f （x ）的解析式，并指出它的定义域；（2）数列中｛a n ｝中，a 1=1，当n≥2时，a n >a 1．数列｛b n ｝中，b 1=2，S n =b 1+b 2+…+b n ．点P n （ a n ，)nS n （n=1，2，3，…）在函数f （x ）的图象上，求a 的值；（3）在（2）的条件下，过点P n 作倾斜角为4π的直线l n ，则l n 在ｙ轴上的截距为31（b n +1）（n=1，2，3，…），求数列｛a n ｝的通项公式．分析：本题条件繁多，内容涉及解析几何、函数、数列多个方面，因此，我们首先需要仔细阅读题目，并根据题设理清思路，从繁杂的条件中选取有用的信息，把握问题的实质．实际上，本题的实质仍然是数列问题，解析几何和函数只是起到一种伪装的作用．解：（1）由题可知：f （x ）与函数y=a(x-1)（a>0）互为反函数，所以，f （x ）= a x 2+1，（x≥0）（2）因为点P n （ a n ，)nS n （n=1，2，3，…）在函数f （x ）的图象上，所以，n S n =aa n 2+1（n=1，2，3，…）（*）在上式中令n=1可得：S 1=a a n 2+1，又因为：a 1=1，S 1=b 1=2，代入可解得：a=1．所以，f （x ）=x 2+1，（*）式可化为：n S n =a 2n +1 （n=1，2，3，…）① （3）直线l n 的方程为：y －nS n =x －a n （n=1，2，3，…），在其中令x=0，得y=n S n －a n ，又因为l n 在ｙ轴上的截距为31（b n +1），所以，nS n －a n =31（b n +1）结合①式可得：b n =3a 2n －3a n +2 ②由①可知：当自然数n≥2时，S n =na 2n +n ，S n －1=（n －1）a 2n-1+n －1，两式作差得：b n =na 2n －（n －1）a 2n-1+1．结合②式得：（n －3）a 2n +3a n =（n －1）a 2n-1+1 （n≥2，n ∈N ） ③在③中，令n=2，结合a 1=1，可解得：a 2=1或2，又因为：当n≥2时，a n >a 1，所以，舍去a 2=1，得a 2=2．同上，在③中，依次令n=3，n=4，可解得：a 3=3，a 4=4．猜想：a n =n （n ∈N *）．下用数学归纳法证明．（1）n=1，2，3时，由已知条件及上述求解过程知显然成立．（2）假设n=k 时命题成立，即a k =k （k ∈N ，且k≥3），则当n=k+1时，由③式可得：（k －2）a 2k+1+3a k+1=ka 2k +1 把a k =k 代入上式并解方程得：a k+1=－212-+-k k k 或k+1 由于k≥3，所以，－212-+-k k k =kk k -+-21)1(<0，所以，a k+1=－212-+-k k k 不符合题意，应舍去，故只有a k+1=k+1．所以，n=k+1时命题也成立．综上可知：数列｛a n ｝的通项公式为a n =n （n ∈N *）点评：演绎和归纳是解决数列问题的常用方法；解决综合题的策略往往是把综合问题分解成几部分，然后各个击破．例3．设点A n （x n ，0），P n （x n ，2n －1）和抛物线C n ：y=x 2+a n x ＋b n （n ∈N *），其中a n ＝－2－4n －121-n ，x n 由以下方法得到： x 1＝1，点P 2（x 2，2）在抛物线C 1：y ＝x 2＋a 1x ＋b 1上，点A 1（x 1，0）到P 2的距离是A 1到C 1上点的最短距离，…，点P n+1（x n+1，2n ）在抛物线C n ：y ＝x 2＋a n x ＋b n 上，点A n （x n ，0）到P n+1的距离是A n 到C n 上点的最短距离．（1）求x 2及C 1的方程；（2）证明｛x n ｝是等差数列．解：（1）由题意，得A 1（1，0），C 1：y=x 2－7x+b 1．设点P （x ，y ）是C 1上任意一点，则|A 1P|=22)1(y x +- =2122)b 7x -(x )1(¨++-x 令f （x ）=（x －1）2+（x 2－7x+b 1）2，则f′（x ）=2（x －1）+2（x 2－7x+b 1）（2x －7）．由题意，得f′（x 2）=0，即2（x 2－1）+2（x 22－7x 2+b 1）（2x 2－7）=0．又P 2（x 2，2）在C 1上，∴2=x 22－7x 2+b 1，解得x 2=3，b 1=14．故C 1方程为y=x 2－7x+14．（2）设点P （x ，y ）是C n 上任意一点，则|A n P|=(x-x n )2+(x 2+a n x+b n )2令g （x ）=（x －x n ）2+（x 2+a n +x+b n ）2，则g′（x ）=2（x －x n ）+2（x 2+a n x+b n ）（2x+a n ）由题意得g′（x n+1）=0，即2（x n+1－x n ）+2（x 2n+1+a n x n+1+b n ）（2x n+1+a n ）=0又∵2n =x 2n+1+a n x n+1+b n ，∴（x n+1－x n ）+2n （2x n+1+a n ）=0（n≥1）．即（1+2n+1 ）x n+1－x n +2n a n =0（*）由（1）知x 1=1，x 2=3，x 3=5，猜想：x n =2n －1下面用数学归纳法证明x n =2n －1①当n=1时，x 1=1，等式成立．②假设当n=k 时，等式成立，即x k =2k －1则当n=k+1时，由（*）知（1+2k+1）x k+1－x k +2ka k =0 又a k =－2－4k －121-k ，∴x k+1=1212++-k k k k a x =2k+1．即当n=k+1时，等式成立．由①②知，等式对n ∈N *成立． ∴｛x n ｝是等差数列．。

数列与解析几何的综合-高中数学知识点讲解

数列与解析几何的综合
1．数列与解析几何的综合
【知识点的知识】
函数、数列、解析几何作为高中数学的主要躯干，蕴含着诸多的数学思想和方法（数形结合、函数与方程、转化和归纳等），因而一直是高考的重点．尤其是它们互相之间及和其他数学知识（如复数、向量等）之间的互相渗透、互相联系，更为高考命题带来广阔的空间．而传统的章节复习法使学生分散地学习知识，对各个章节的联系和渗透考虑较少，从而造成对一些综合题心存胆怯．近几年高考中常见的函数﹣数列﹣解析几何综合题就是其中的典型．
【解题方法点拨】
事实上，无论是函数、数列还是解析几何中的曲线（包括复数、向量），都表现出数和形两种状态，数列是一个特殊的函数；函数的图象（解析式）则可看作解析几何中一种特殊的形（方程）；而复数、向量的坐标顺理成章地使它们与函数、数列及解析几何发生联系．解函数﹣数列﹣解析几何综合题首先是建立在对数学基本概念理解的基础上，然后抓住概念间内在的联系，将问题转化为较熟悉的数学问题予以解决，当然这也离不开对各章节内部的扎实基本功．
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新高考数学数列经典题型专题提升-第28讲数列与几何的交汇问题(解析版)

第28讲数列与几何的交汇问题一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列的首项为，公差为，其前项和为，若直线与圆的两个交点关于直线对称，则数列的前100项和等于（）A ．B ．C ．D ．1【答案】A 【分析】由题意可知，直线与直线垂直，且直线过圆心，可求得和的值，然后利用等差数列的求和公式求得，利用裂项相消法可求得数列的前项和.【详解】因为直线与圆的两个交点关于直线对称，所以直线经过圆心，且直线与直线垂直，所以，，解得，，则，，以数列的前100项和为．故选：A.2．（2022·全国·高三专题练习）已知各项都不相等的数列，2，，，圆，圆，若圆平分圆的周长，则的所有项的和为（）A ．2014B ．2015C ．4028D ．4030【答案】D 【分析】{}n a 1a d n n S 112y a x m =+()221x y -+=0x y d +-=1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭100101991009899112y a x m =+0x y d +-=0x y d +-=1a d n S 1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭100112y a m =+()2221x y -+=0x y d +-=0x y d +-=112y a x m =+0x y d +-=200d +-=1112a =2d =12a =()()12212n n n S n n n -=+⨯=+()111111n S n n n n ==-++1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭11111110011223100101101101-+-++-=-= {}{1n a n =3⋯2015}221:440C x y x y +--=2222016:220n n C x y a x a y -+--=2C 1C {}n a根据两圆的关系求出两圆的公共弦，求出圆的圆心，得到，利用倒序相加法即可求得结果.【详解】根据题意知，圆与圆相交，设交点为，，圆，圆，相减可得直线的方程为：圆平分圆的周长，直线经过圆的圆心，，．的所有项的和为．故选：D 【点睛】方法点睛：求数列和常用的方法：（1）等差等比数列：分组求和法；（2）倒序相加法；（3）（数列为等差数列）：裂项相消法；（4）等差等比数列：错位相减法.3．（2021·浙江·高考真题）已知，函数.若成等比数列，则平面上点的轨迹是（）A ．直线和圆B ．直线和椭圆C ．直线和双曲线D ．直线和抛物线【答案】C 【分析】首先利用等比数列得到等式，然后对所得的等式进行恒等变形即可确定其轨迹方程.【详解】由题意得，即，对其进行整理变形：，，1C 20164n n a a -+=1C 2C A B 221:440C x y x y +--=2222016:220n n C x y a x a y -+--=AB 2016(2)(2)0n n a x a y --+-= 2C 1C ∴AB 1C (2,2)20162(2)2(2)0n n a a -∴-+-=20164n n a a -∴+=1201522014201514a a a a a a ∴+=+==+=L {}n a ∴20152015440302S ⨯==+11n n n b a a +={}n a ⨯,R,0a b ab ∈>()2R ()f x ax b x =+∈(),(),()f s t f s f s t -+(),s t 2()()[()]f s t f s t f s -+=()2222()()a s t b a s t b as b ⎡⎤⎡⎤-+++=+⎣⎦⎣⎦()()()22222222as at ast b as at ast b as b +-++++=+()()222222(2)0as at b ast as b++--+=，，所以或，其中为双曲线，为直线.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查轨迹方程，关键之处在于由题意对所得的等式进行恒等变形，提现了核心素养中的逻辑推理素养和数学运算素养，属于中等题.4．（2012·江西信丰·高三月考（理））已知ABCD-A 1B 1C 1D 1为单位正方体，黑白两个蚂蚁从点A 出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”，白蚂蚁爬行的路线是AA 1→A 1D 1→……，黑蚂蚁爬行的路线是AB→BB 1→……，它们都遵循如下规则：所爬行的第与第段所在直线必须是异面直线(其中是自然数)，设白，黑蚂蚁都走完2011段后各停止在正方体的某个顶点处，这时黑，白两蚂蚁的距离是A ．1B ．C ．D ．0【答案】A 【详解】解：由题意，白蚂蚁爬行路线为AA 1→A 1D 1→D 1C 1→C 1C→CB→BA ，即过6段后又回到起点，可以看作以6为周期，同理，黑蚂蚁也是过6段后又回到起点．所以黑蚂蚁爬完201B 段后回到A 点，同理，白蚂蚁爬完2011段后到回到D 点；所以它们此时的距离为1．故选A ．()2222222240asat b at a s t ++-=222242220a s t a t abt -++=22220as at b -++=0=t 2212s t b b a a-=0=t5．（2020·四川省遂宁市第二中学校模拟预测（理））今有9节长的竹子，上细下粗，最下面相邻三节总容积为4升，最上面相邻四节总容积为3升，每节竹子的容积自上而下均匀递增．现用该竹子向底面为正方形且边长为50厘米、高为100厘米的长方体水池中注水，若将水池注满，则向水池注水的次数最少为（）（注：1立方米=1000升）A ．26B ．27C ．28D ．29【答案】C 【分析】将9节竹子的容积从上而下依次记为，设公差为，9节竹子总容积为升，根据题意列出方程组，求出首项和公差，得出，进而可得出结果.【详解】将9节竹子的容积从上而下依次记为，设公差为，9节竹子总容积为升，则即解得，，所以，而水池的容积积为（立方米），因为1立方米=1000升，所以0.25立方米=250升．又因为，所以至少需要注水28次．故选：C ．【点睛】本题主要考查等差数列的应用，熟记等差数列的通项公式和求和公式即可，属于常考题型.二、多选题6．（2021·吉林·长春市第二实验中学高二期中）已知双曲线且，设直线与双曲线在第一象限内的交点为，点在的两条渐近线上的射影分别为，记的面积为，则下列说法正确的是（）A ．双曲线的渐近线方程为B ．C ．数列为等差数列D ．【答案】ACD1239,,,...,a a a a d S S 1239,,,...,a a a a d S 12347893,4,a a a a a a a +++=⎧⎨++=⎩11463,3214,a d a d +=⎧⎨+=⎩766d =11322a =1398799.1422266S ⨯=⨯+⨯≈0.50.510.25V =⨯⨯=25027.359.14≈22*:(2019n nE x y n N -=∈2019)n ≤2x =n E n A n A n E ,n n B C n n n A B C V n a y x =±2019n n a ={}n a 122019505+2a a a ++=【分析】根据双曲线的方程求出渐近线方程，设点，求出到两渐近线的距离，从而得到，即可得到的通项公式，再根据等差数列的前项和公式计算可得；【详解】解：因为双曲线的方程为且，所以渐近线方程为，设点，则且，记到两条渐近线的距离分别为，则则，故因此为等差数列，故，故选：AC D.7．（2021·湖北黄石·高三开学考试）在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，是圆上两个不同的动点，是的中点，且满足．设到直线的距离之和的最大值为，则下列说法中正确的是（）A ．向量与向量所成角为B．C ．D ．若，则数列的前n 项和为【答案】ACD 【分析】对于A ，用与表示，结合给定向量等式计算判断；对于B ，求出的值即可判断；对于C ，转化为点到直线距离最大值并计算判断；对于D ，求出数列的通项，代入并利用裂项相消法计算判断作答.【详解】依题意，，而点是弦的中点，则，(2,)n n A y (2,)n n A y 12,d d 1212n n n A B C S d d =△{}n a n 22*:(N 2019n nE x y n -=∈2019)n ≤y x =±(2,)n n A y 2*4(N 2019n ny n -=∈2019)n ≤(2,)n n A y 12,d d 1d 2d 12121092442019n n nA B C nn Sd d ==⨯△42019n na =⨯{}n a 12201911201920185052019420194201922a a a ⨯++=⨯+⨯=⨯⨯ ,n n M N 222:O x y n +=n P n n M N ()220n n n OM ON OP n *⋅+=∈ N ,n n M N 20l y n n +++=n a n OMn ON 120︒n OP n= 22n a n n=+2n n a b n =+12{}(21)(21)n nn b b b +--11121n +--n OM n ON n OP||n OP n P l {}n b ||||n n OM ON n ==n P n n M N 1()2n n n OP OM ON =+，而，于是得，，即，A 正确；显然是顶角的等腰三角形，则，B 不正确；依题意，点到直线的距离之和等于点到直线距离的2倍，由知，点在以原点O为圆心，为半径的圆上，则点到直线距离的最大值是点O 到直线的距离加上半径，而点O 到直线距离，则点到直线距离的最大值是，因此，，C 正确；由得，，则，因此，数列的前n 项和，D 正确.故选：ACD8．（2021·河北·高三月考）若直线与圆相切，则（）A ．B ．数列为等差数列C ．圆C 可能经过坐标原点D ．数列的前10项和为23【答案】BCD 【分析】根据直线与圆相切，列出方程，即可求得数列的通项公式，从而可判断AB ；将代入，解之得，即可判断C ，根据等差数列前n 项和的公式即可判断D.2222111(2)422n n n n n n n OP OM OM ON ON OM ON n =+⋅+=+⋅220n n n OM ON OP ⋅+= 212n n O n OM N ⋅=- 1cos 2||,||n n n n n n OM ON OM ON OM ON 〈〉==-⋅⋅120,n n OM ON 〈〉= n n OM N V 120n n M ON ∠=1|||co 60|s 2n n OP OM n ==,n n M N 2:0l y n n +++=n P l 1|2|n OP n = n P 12n n P l l12n l 22n n d +==n P l 22n n +222()22n n a n n n =+=+2n n a b n =+n b n =111122(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)n n n b n n n b b n n n n ++++---==------1112121n n +=---12{}(21)(21)nnn b b b +--2231111111111212121212121n n n n T ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()*340x y n n N ++=∈()222:(2)0n n C x y a a -+=>165a ={}n a {}n a ()*340x y n n N ++=∈()222:(2)0n n C x y a a -+=>{}n a ()0,0222:(2)n C x y a -+=解：由圆，则圆心，半径为，因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离为，，则，故A 错误；所以，则，所以是以为公差的等差数列，故B 正确；将代入，解得，则，解得，所以当时，圆C 经过坐标原点，故C 正确；设数列的前n 项和为，则，所以，故D 正确.故选：BCD.9．（2021·山东威海·高二期末）设直线与圆交于不同的两点A n ，B n (n ∈N*)．已知a 1=1，，记数列的前n 项和为S n ，则（）A ．B ．a n =2n -1C ．S n =2n +1-n-2D ．【答案】BCD 【分析】根据圆的弦长公式得，进而得到，化为，即可求得数列通项公式，从而得前n 项和表达式，再利用裂项求和判断D 项．()222:(2)0n n C x y a a -+=>()2,0C n a ()*340x y n n N ++=∈()222:(2)0n n C x y a a -+=>()2,0C ()*340x y n n N ++=∈n a 65n n a +=175a =65n n a +=115n n a a +-={}n a 15()0,0222:(2)n C x y a -+=2n a =625n +=4n =4n ={}n a n S ()761355210n S n n n n +⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==()101010132310S ⨯+==:n l y x =22:21n n C x y a n +=++214n n n a A B +={}n a 12n n a +=111122221i n nn i i i a a ++=+-=-∑2n n A B 121n n a a +=+()1121n n a a ++=+的圆心为，半径为所以圆心到直线的距离为则，所以，则所以，得，故A 错，B 正确；前n 项和为，故C 正确；由，故D 正确．故选：BCD三、填空题10．（2021·福建省龙岩第一中学模拟预测）已知一簇双曲线：(且)，设双曲线的左、右焦点分别为、，是双曲线右支上一动点，的内切圆与轴切于点，则________．【答案】1011【分析】首先证明双曲线的焦点三角形的内切圆与轴切于双曲线的实轴顶点，然后结合已知条件求出的通项公式，然后利用等差数列的前项和求解即可.【详解】设双曲线的标准方程为：(，)，点为双曲线右支上一点，，为双曲线焦点，且，，的内切圆与轴切于点，与、分别切于、，如下图所示：22:21n n C x y a n +=++()0,0r =:n l y x =d ()()2224421n n n A B r d a =-=+121n n a a +=+()1121n n a a ++=+()111122n n n a a -+=+=21n n a =-()12122212n n n S n n +-=-=---()()11111111122111221212121212121i i n nn ni i n n i i i i i i i a a +++++===+-⎛⎫==-=-= ⎪------⎝⎭∑∑∑n E 2222021n x y ⎛⎫-= ⎪⎝⎭n N +∈2021n ≤n E 1n F 2n F n P n E 12n n n P F F V n G x (),0n n A a 122021a a a ++⋅⋅⋅+=x {}n a n 22221x y a b -=0a >0b >P 1F 2F 1(,0)F c -2(,0)F c 12PF F △x M 1PF 2PF E N由圆的切线性质可知，，，，由双曲线定义可知，，又因为，所以，故点坐标为.又由双曲线：化成标准方程为：，从而可知，，则，，所以.故答案为：101111．（2021·四川广元·高二期末（文））已知一族双曲线，设直线与在第一象限内的交点为，点在的两条渐近线上的射影分别为、，记的面积为，对任意不等式恒成立，则的最小值为______．【答案】4【分析】设，且点在两渐近线上的射影分别为，利用点到直线的距离公式，分别求得，得到，求得的面积为，得到，化简得到，求得，得到，即可求解.【详解】设，由双曲线的渐近线方程分别为，PE PN =11F E F M =22F N F M =12121212()2PF PF PE F E PN F N F E F N F M F N a -=+-+=-=-=122F M F N c +=1F M a c =+M (,0)a n E 2222021n x y ⎛⎫-= ⎪⎝⎭22221()()20212021x y n n -=2021n n a =112021a =20211a =120211*********()10112a a a a a +++⋅⋅⋅+==()222:n E y n N x n +-=∈2x n =n E n A n A n E n B n C n n n A B C V n a n *∈N ()1231232341nna a a n a λ++++<+L λ00(,)n A x y n A ,n n B C n A 12l l ⊥90n n n B A C ∠=n n n A B C V 22004n n nA B C x y S -=V 24n n a =()114()11n n n a n n =-++()1231234423411n n a a a n a n ++++=-++L 42441n ≤-<+00(,)n A x y 222:n E x y n -=12:0,:0l x y l x y -=+=可得两渐近线互相垂直，即，设点在两渐近线上的射影分别为，则为到直线的距离，即为到直线的距离，即由于，所以，可得，所以的面积为又由点在双曲线上，可得，所以，即，所以，所以，因为且，所以，所以，又因为对任意不等式恒成立，所以，所以的最小值为.12．（2017·云南·二模（理））在数列中，，若平面向量与平行，则的通项公式为__________．12l l ⊥00(,)n A x y ,n n B C n n A B n A 1:0l x y -=1d n A n n A C n A 2:0l x y +=1d n A 12l l ⊥90n n B OC ∠= 90n n n B A C ∠=n n n A B C V 12n n nn A n n B C S A B A =⋅V 00(,)n A x y 222:n E x y n -=22002x y n -=2220044n n nA B C x y n S -==V 24n n a =()4114()1(1)1n n n a n n n n ==-+++()12312311111114[(1)(()()]2341223341n n a a a n a n n ++++=-+-+-++-++ L 144(1411n n =-=-++1n ≥n N +∈4021n <≤+42441n ≤-<+n N +∈()1231232341nn a a a n a λ++++<+L 4λ≥λ4{}n a 1a 2=(2,1)n b n =+ 1(1,)n n n n c a a a +=-+-{}n a【答案】【详解】因为与平行，所以，整理为：，两边同时除以，可得，设，那么，采用累加法，，整理为，而，所以，那么，故填： .【点睛】本题考查了根据递推公式求通项公式，形如：型，可采用累加法求通项；（2）形如的形式，可采用累乘法求通项；（3）形如，可转化为，其中，构造等比数列求通项；（4）形如，可通过两边取倒数，然后再按(3)的形式构造等比数列，（5），而本题方法不太常见，注意是如何构成辅助数列求通项.13．（2021·全国·高二课时练习）已知圆O 的半径为5，，过点P 的n 条弦的长度组成一个等差数列，最短弦长为，最长弦长为，且公差，则n 的取值集合为______.【答案】##【分析】求出过点P 的n 条弦的最短弦长、最长弦长，即和，然后可得，即可求出答案.【详解】因为圆O 的半径为5，，所以过点P 的n 条弦的最短弦长，最长弦长为直径10，则过点P 的n 条弦的长度组成一个等差数列，最短弦长为，最长弦长为，即，解得，则，则n 的取值集合为.故答案为：22313n n n a ++=n b n c()()1211n n n a n a a +=+-+-()()()1131n n n a n a n ++=+++()()()123n n n +++()()()()()()11231223n n a a n n n n n n +=+++++++()()12n n a b n n =++()()11112323n n b b n n n n +-==-++++()()()()2132431111111............344512n n b b b b b b b b n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++-=-+-++-⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭11132n b b n -=-+113b =2132n b n =-+()()()()()21212231121333n n n n n a n n n ++++=++-+==22313n n ++()1n n a a f n +-=()1n na f n a +=1n n a pa q +=+()1n n a t p a t ++=+1qt p =-1n n n pa a qa k +=+1nn n a pa q +=+4OP =1a n a 2,13d ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦{}5,61a n a 42,113d n ⎛⎤=∈ ⎥-⎝⎦4OP =6==16a =10n a =()1061n d =+-42,113d n ⎛⎤=∈ ⎥-⎝⎦57n ≤<{}5,6{}5,614．（2021·全国·高二单元测试）赵爽是我国古代的数学家､天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”.第24届国际数学家大会会标就是以“赵爽弦图”为基础进行设计的.如图，四边形是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如果小正方形的面积为1，再以正方形为“小”正方形向外作“弦图”，得到正方形……按此作法进行下去，记，，正方形的面积为.若，则___________.【答案】【分析】设，，当时，设，，则有，数列是以25为首项，25为公比的等比数列，由此求得答案.【详解】解：设，，则，，所以.当时，设，，则，，所以，，所以，所以数列是以25为首项，25为公比的等比数列，所以，，所以.故答案为：.15．（2022·全国·高三专题练习）已知数列，2，3，，，圆，圆，若圆平分圆的周长，则数列的所有项的和为___．【答案】4032【分析】根据两圆的关系求出两圆的公共弦，求出圆的圆心，得到，利用倒序相加法即可求得结果.【详解】根据题意知，圆与圆相交，设交点为，，1111D C B A ABCD 1111D C B A 2222A B C D 11AA B ∠=θππ,42θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭n n n n A B C D ()*n a n ∈N 4tan 3θ=15a =152530##514AB a =13AA a =2n ≥14n n A B m -=13n n A A m -=125nn aa -={}n a 14AB a =13AA a =431AD a a a =-==1155A B a ==21525a ==2n ≥14n n A B m -=13n n A A m -=1143n n A D m m m --=-=5n n A B m =21n a m -=()22525n a m m ==125nn a a -={}n a 1252525n n n a -=⨯=*n ∈N 151525a =1525{}(1n a n =⋯2016)221:440C x y x y +--=2222017:220n n C x y a x a y -+--=2C 1C {}n a 1C 20174n n a a -+=1C 2C A B圆，圆，相减可得直线的方程为：圆平分圆的周长，直线经过圆的圆心，，即，的所有项的和为．故答案为：4032．【点睛】方法点睛：求数列和常用的方法：（1）等差等比数列：分组求和法；（2）倒序相加法；（3）（数列为等差数列）：裂项相消法；（4）等差等比数列：错位相减法.16．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，直线交于，两点，且.若对成立，则实数的取值范围是_____________.【答案】.【分析】由圆中弦长公式求得，由求得，用错位相减法求得和，然后分离参数转化为求数列的最大项．【详解】圆心到已知直线的距离为，圆半径为，所以，所以，，时，，，所以是等比数列，公比为，所以．设，则，221:440C x y x y +--=2222017:220n n C x y a x a y -+--=AB 2017(2)(2)0n n a x a y --+-=2C 1C ∴AB 1C (2,2)20172(2)2(2)0n n a a -∴-+-=20174n n a a -+=1201622015201614a a a a a a ∴+=+==+=L {}n a ∴20162016440322S ⨯==+11n n n b a a +={}n a ⨯{}n a n n S y x =-2222n x y a +=+n A ()*n B n N ∈214n n n S A B =2123232n n a a a na a λ++++<+ *n N ∀∈λ1(,)2+∞n S n S n a 122n a a na +++ 2d r =2221224224n n n n n S A B r d a a ==-=+-=-11122a S a ==-12a =2n ≥11(22)(22)n n n n n a S S a a --=-=---12n n a a -={}n a 2q =2n n a =12323n n T a a a na =++++ 23122(1)n n n T a a n a na +=+++-+，所以．不等式对成立，即对成立，，设，则，当时，，，所以，中最大项为．∴．故答案为：．【点睛】方法点睛：本题考查直线与圆相交弦长，考查错位相减法求和，数列不等式恒成立，求数列的最大项．求圆中弦长谅进几何法，即求出圆心到直线的距离，再由勾股定理得弦长，等差数列与等比数列相乘形成的新数列求和一般用错位相减法求和．不等式恒成立常常用分离参数转化为求数列的最大项或最小项．作差法是求数列最值的基本方法．四、解答题17．（2021·湖北·襄阳四中一模）已知椭圆经过点，离心率（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设是经过椭圆右焦点的一条弦（不经过点且在的上方），直线与直线相交于点M ，记PA ，PB ，PM 的斜率分别为，，，将、、如何排列能构成一个等差数列，证明你的结论．【答案】（1）；（2）或为等差数列；证明见解析．【分析】（1）由题得到关于的方程组，解方程组即得解；（2）设的斜率为，则直线的方程为，联立直线和椭圆方程得到韦达定理，求出11212(12)212n n n n n T a a a na n ++--=+++-=-⋅- 1(1)22n n T n +=-⋅+2123232n n a a a na a λ++++<+ *n N ∀∈12(1)2222n n n λ+-⋅+<⋅+*n N ∀∈112n n λ-->112n n n c --=1112222n nn n n n n nc c +----=-=2n >10n n c c +-<1n n c c +<12345c c c c c <=>>> {}n c 2312c c ==12λ>1(,)2+∞()2222:10x y C a b a b +=>>(P e =AB F P A B AB 2x =1k 2k 3k 1k 2k 3k 2212x y +=132k k k 、、231k k k 、、,,a b c AB k AB (1)y k x =-，即得解.【详解】解：（1）由点在椭圆上得，①，．又由①②得，．故椭圆的标准方程为．（2）或能构成一个等差数列．椭圆右焦点坐标，显然直线斜率存在，设的斜率为，则直线的方程为③．代入椭圆方程，整理得，易知．设，则有④．在方程③中，令，得，从而因为将④代入⑤得而，即为、的等差中项，所以或为等差数列．【点睛】方法点睛：关于直线和椭圆的位置关系问题，经常要联立直线和椭圆的方程得到韦达定理，再利用韦达定理来化简求解.18．（2021·江苏淮安·高二期末）已知椭圆的离心率为，且过点，设M ．F分别是椭圆E 的左、右焦点．12k k ==3k k ==12k k +=32k (P 221112a b +=c e a =∴=2221,2,1c a b ===C 2212x y +=132k k k 、、231k k k 、、F (1,0)AB AB k AB (1)y k x =-2212x y +=2222(21)42(1)0k x k x k +-+-=0∆>1122(,),(,)A x y B x y 2212122242(1),2121k k x x x x k k -+==++2x =(2,)M k 12k k ==3k k ==12k k +==12k k +=2k =322(2k k k ==12k k +=32k 3k 1k 2k 132k k k 、、231k k k 、、2222:1(0)x y E a b a b+=>>123(1,)2P（1）是椭圆E 的标准方程；（2）若椭圆E 上至少有个不同11的点，使得，，，…组成公差为d 的等差数列，求公差d 的取值范围（3）若过右焦点F 的直线交椭圆E 于A ，B 两点，过左焦点M 的直线交椭圆E 于C ，D 两点，且，求的最小值．【答案】（1）；（2）且；（3）．【分析】（1）由，已知点的坐标代入椭圆方程，同时结合可解得得椭圆方程；（2）由椭圆焦半径最小值为1，最大值为3，知，，，…中只要最小项为，数列的第11项不大于3，或最大项为，数列的第11项不小于1即可得．注意公差不可能为0．（3）先计算出当直线中有一个斜率为0（或不存在）时，的值，在直线的斜率存在且不为0时，直线方程为，设，直线方程代入椭圆方程，由韦达定理得，然后由弦长公式求出，同理得，观察得为常数，利用基本不等式得的最小值，比较上面的值可得结论．【详解】（1）由题意，由，故解得∴椭圆标准方程是；（2）设是椭圆上的点，则，，∵等差数列，，，…至少有11项，若，则，解得，若，则，解得，若，则满足条件的点最多有4个，不合题意．1,2()3,i P i =⋯1FP 2FP 3FP AB CD ⊥AB CD +22143x y +=1155d -≤≤0d ≠48712c a =222a b c =+,,a b c 1FP 2FP 3FP 11PF =13PF =,AB CD AB CD +AB k AB (1)y k x =-1122(,),(,)A x y B x y 1212,x x x x +AB CD 11AB CD+AB CD +22222121914c a a b a b c⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩0a b >>21a b c =⎧⎪⎨⎪=⎩22143x y +=P min 211FP a c =-=-=max 213FP =+=1FP 2FP 3FP 0d >1103d +≤105d <≤0d <3101d +≥105d -≤<0d =P∴所求的范围是且；（3）当斜率为0时，，，，同理当斜率不存在时，也有，当斜率存在且不为0时，设斜率为，方程为，设，由得，∴，，，设，同理可得，∴，∴，当且仅当，即时等号成立．∴．，∴的最小值为．【点睛】方法点睛：本题考查由离心率求椭圆标准方程，考查椭圆的焦半径的概念，直线与椭圆相交中的最值．求最值问题的方法是“设而不求”的思想方法，应用韦达定理求得弦长，从而得出一个常数后利用基本不等式求得最小值．解题时注意对直线的斜率分类讨论．否则过程不完整，易出错．19．（2021·江苏·高二专题练习）如图，在边长为1的等边△ABC 中，圆O 1为△ABC 的内切圆；圆O 2与圆O 1外切，且与AB 、BC 相切；圆O 3与圆O 2外切，且与AB 、BC 相切；…；圆O n +1与圆O n 外切，且与AB 、BC 相切；如此无限继续下去．记圆O n 的面积为a n (n ∈N *)．d 1155d -≤≤0d ≠AB 24AB a ==223b CD a==7+=AB CD AB 7+=AB CD AB k AB (1)y k x =-1122(,),(,)A x y B x y 22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩2222(34)84120k x k x k +-+-=2122834k x x k +=+212241234k x x k -=+2212(1)34k k +==+3344(,),(,)C x y D x y 2222112112(1)34134k k CD k k ⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥ ⎪⎝⎭+⎢⎥⎣⎦==+⎛⎫+⨯- ⎪⎝⎭221177712(1)12k AB CD k ++==+11()2224AB CD AB CD AB CD CD AB ⎛⎫++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭AB CD =1k =±487AB CD +≥4877<AB CD +487（1）证明：数列{a n }是等比数列；（2）证明：数列{a n }的前n 项和S n·S △ABC ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）结合图形，得到两个相邻圆的半径之间的关系，即可得到数列的通项公式，从而得到数列的通项公式，即可证明.（2）由（1）得到S n ，即可证明不等式.【详解】（1）记c n 为圆O n 的半径，则c 1＝tan30°因为＝sin30°＝，所以c n ＝c n -1，n ≥2；故{c n }公比为的等比数列，即c n ×()n -1)n ；因为圆O n 的面积为a n ，所以π··()2n ＝·31-2n ，＝＝，因此{a n }是首项为，公比为的等比数列；（2）由（1）可知，a 1＝，公比q ＝，a n ＝×()n -1，所以{a n }的前n 项的和S n ＝＝(1－()n )，因为n ∈N *，所以S n ＝(1－()n )＜；又S △ABC ，所以S n ·S △ABC ．20．（2021·全国·高三专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知个圆、、、与轴和直线均相切，且任意相邻两圆外切，其中圆.{}n c {}n a 1211n n n n c c c c ---+12131313132·n n a c π＝＝34134π1n n a a +-1-2123434nnππ-⋅⋅1912π1912π1912π191(1())129119n π--332π19332π19332πxOy n 1C 2C n C x ):1l y x =+()()222:i i i i C x a y b r -+-=()*211,,18,0,0ni i i n i aa ab r ≤≤∈-<<<<=>>N（1）求数列的通项公式；（2）记个圆的面积之和为，求证：．【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）设圆、分别切轴于点、，过点作，垂足为点，可得出，由可推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得的通项公式，进而可求得数列的通项公式；（2）利用等比数列的求和公式可证得结论成立.【详解】（1）直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为，且直线过点，在直线上，，如下图所示：{}n a n S 2438S π<()3*113n n a n -⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭N i C 1i C +x P Q 1i C +1i i C M PC +⊥M 130i i C C M +∠=111sin 2i i i i i MC C C M C C ++∠=={}1n a +{}1n a +{}n a l 60 12C C 30 12C C ()1,0-(),i i i C a b )1y x +)1i i a b +=设圆、分别切轴于点、，过点作，垂足为点，则，其中，，，，可得，，，则，为等比数列且首项为，公比为，；（2）.【点睛】方法点睛：求数列通项公式常用的七种方法：（1）公式法：根据等差数列或等比数列的通项公式或进行求解；（2）前项和法：根据进行求解；（3）与的关系式法：由与的关系式，类比出与的关系式，然后两式作差，最后检验出是否满足用上面的方法求出的通项；i C 1i C +x P Q 1i C +1i i C M PC +⊥M 130i i C C M +∠=i N *∈1i i i MC b b +=-11i i i i C C b b ++=+111sin 2i i i i i MC C C M C C ++∠==111122i i i i b b b b ++-=⇒=+11222i i i i a a a a ++⇒++=-132i i a a +∴=+()1131i i a a ++=+{}1n a ∴+119a +=131111199133n n n n a a --⎛⎫⎛⎫∴+=⋅⇒=⋅- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2222221212n nS r r r b b b ππππππ=+++=+++ ()()()22212181192431243111113389819n n n a a a ππππ⎡⎤⎛⎫⋅-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦⎡⎤=++++++=⋅=-< ⎪⎣⎦⎝⎭- ()11n a a n d +-=11n n a a q -=n 11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩n S n a n S n a 1n S -1n a -1a（4）累加法：当数列中有，即第项与第项的差是个有规律的数列，就可以利用这种方法；（5）累乘法：当数列中有，即第项与第项的商是个有规律的数列，就可以利用这种方法；（6）构造法：①一次函数法：在数列中，（、均为常数，且，）.一般化方法：设，得到，，可得出数列是以的等比数列，可求出；②取倒数法：这种方法适用于（、、为常数，），两边取倒数后，得到一个新的特殊（等差或等比）数列或类似于的式子；⑦（、为常数且不为零，）型的数列求通项，方法是在等式的两边同时除以，得到一个型的数列，再利用⑥中的方法求解即可.21．（2020·上海市嘉定区第一中学高二月考）已知数列是公差的等差数列，记为其前n 项和（1）若，，依次成等比数列，求其公比q ；（2）若，，求证：点都在同一条直线上；（3）若，，，是否存在一个半径最小的圆，使得对任意，点都在这个圆内或圆周上，如果存在，写出这个圆的方程；如果不存在，说明理由．【答案】（1）3；（2）证明见解析；（3）存在，.【分析】（1）根据，，依次成等比数列解方程即可求出q ；（2）利用向量的运算可知量与共线即可求证；（3）计算，根据二次函数可得，可知存在半径最小的圆满足题意.【详解】（1）因为，，依次成等比数列，所以，即，{}n a ()1n n a a f n --=n 1n -{}n a ()1n n a f n a -=n 1n -{}n a 1n n a ka b -=+k b 1k ≠0k ≠()1n n a m k a m -+=+()1b k m =-1b m k =-1n b a k ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭k n a ()112,n n n ka a n n N ma p*--=≥∈+k m p 0m ≠1n n a ka b -=+1nn n a ba c +=+b c n *∈N n a 1n c +1n n a ka b +=+{}n a 0d ≠n S 2a 3a 6a 11a =()*,n n S OP n n n ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭N n P 11a =12d =()*2,n nn a S OQ n n n ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭N *n ∈N n Q 222x y +=2a 3a 6a m n P P (2,)b d = 2n OQ 22n OQ ≤ 222x y +=2a 3a 6a 2326a a a =⋅()()()211125a d a d a d +=++因为，所以，所以．（2）因为，而，所以，所以向量与共线，所以点都在同一条直线上．（3）因为，所以，所以，因为，所以，所以，当且仅当时取等号，所以所以存在半径最小的圆满足题意．【点睛】关键点点睛：利用向量的运算结合数列的性质及运算，证明点都在同一条直线上，根据向量的模的运算确定是否存在符合条件的圆，属于较难题目.22．（2020·浙江·高一期末）已知抛物线的焦点为F ，过原点O 且斜率为的直线l 与抛物线另一个交点为M ，延长到点N ，使得M 为线段的中点，以N 为圆心，长为半径作圆N ，过F 、M 两点的直线m 与抛物线另一个交点为A ，与圆N 另一个交点为B ．0d ≠12d a =-323a q a ==,,,n m n m m n n m S S S S P P OP OP n m n m n m n m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11(1)(1)222n m S S n d m d n m a a d n m ---⎡⎤⎡⎤-=+-+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,(2,)222m n n m n m n m P P n m d d b ---⎛⎫=-=⋅=⋅ ⎪⎝⎭m n P P (2,)b d = n P 11a =12d =1111(1)222n a n n =+-⋅=+2344n n S n =+()222222242411(1)3216n n n n n n a S OQ n n n n ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦=+=+ 24324251413113141317151616161313n n n n n n n ++⎛⎫⎛⎫==++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1n ≥101n <≤2131712161313n ⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭1n =22n OQ ≤ 222x y +=n P 24x y =()0k k ≠OM ON MN（1）设直线的斜率为，求的值：（2）当成等比数列时，求直线l 的方程．【答案】（1）；（2）或.【分析】（1）设直线l 的方程为，由，求得M 的坐标，同理得到A 的坐标，然后由化简求解.（2）设圆心坐标为，由M 为线段的中点得到及半径，设直线MF 的方程，求得圆心到直线的距离，由弦长公式得，然后根据成等比数列，由化简求解.【详解】（1）因为抛物线，所以，因为直线l 过原点O 且斜率为，所以设，由，解得，所以，同理，OA 1k 1kk 1,,2AF MF MB 14-12y x =12y x =-y kx =24y kx x y =⎧⎨=⎩AF MF k k =(),N a b ON ()28,8N k k 24114k y x k--=MB =22141,41AF k MF k =+=+1,,2AF MF MB 212MF MB AF =⋅24x y =()0,1F ()0k k ≠y kx =24y kx x y=⎧⎨=⎩24,4x k y k ==()24,4M k k ()2114,4A k k因为，所以，即，化简得：.（2）设圆心坐标为，则，解得，即，半径为：，设直线的方程为：，则圆心到直线的距离为：，所以由抛物线的定义得：，因为成等比数列，所以，即所以整理得：两边平方得，整理得到，故即，解得．直线的方程为或【点睛】AF MF k k =2211414144k k k k --=111144k k k k-=-114kk =-(),N a b 24242a kb k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩288a k b k =⎧⎨=⎩()28,8N k k 4=MF 24114k y x k--=2441k d k +MB =22141,41AF k MF k =+=+,,2MB AF MF 22MB MF AF =⋅()(222144141k k k ++=()2221414144k k k ⎡⎛⎫++⎢ ⎪⎝⎭⎢⎣=()241k k =+()()()222222141114k k k k =+-++()()242224162494341k k k k =++=++()2224143k k =++428210k k +-=12k =±l 12y x =12y x =-思路点睛：第一问根据直线过原点，联立直线方程与抛物线方程，易得M ，A 的坐标，然后由A ，F ，M 共线，斜率相等求解；第二问由成等比数列，要得到三个的长度，利用抛物线的定义易得，重心在如何求上，由于涉及到圆，自然会想到用“”法更为简单.1,,2AF MF MB ,AF MF MB ,r d。

2024高考数学解析几何知识点总结与题型分析

2024高考数学解析几何知识点总结与题型分析随着时间的推移，我们离2024年的高考越来越近。

数学作为高考的一门重要科目，解析几何是其中的一个重点内容。

为了帮助同学们更好地复习解析几何，并在高考中取得好成绩，本文将对2024高考数学解析几何的知识点进行总结与题型分析。

1. 直线与平面1.1 直线的方程直线的一般方程为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数。

根据直线的特点，我们可以将其方程转化为其他形式，如点斜式、两点式、截距式等，以便于解题。

1.2 平面的方程平面的一般方程为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C、D为常数。

类似于直线的情况，根据平面的性质，我们可以将其方程转化为点法式、截距式等形式。

2. 空间几何体2.1 球球是解析几何中的一个重要概念。

其方程为(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2，其中(a, b, c)为球心坐标，r为半径长度。

2.2 圆锥曲线圆锥曲线包括圆、椭圆、双曲线和抛物线。

通过对几何体的方程进行适当的变化，可以得到不同类型的圆锥曲线方程。

掌握其特点和方程形式，对于解析几何的学习非常重要。

3. 空间几何关系3.1 直线与直线的位置关系直线与直线的位置关系包括相交、平行、重合等情况。

根据两条直线的方程，我们可以通过求解方程组或直线的斜率等方式，判断它们之间的空间位置关系。

3.2 直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系包括相交、平行、重合等情况。

根据直线的方程和平面的方程，我们可以通过代入求解或者检验点的方法，判断它们之间的位置关系。

4. 解析几何的常见题型4.1 直线与平面的交点求解给定直线和平面的方程，我们需要求解它们的交点。

通过将直线方程代入平面方程中，可以得到关于未知变量的方程组，进而求解出交点的具体坐标。

4.2 距离计算在解析几何中，我们常常需要计算点、直线或平面之间的距离。

对于给定的两点，我们可以利用距离公式进行计算；对于直线和平面，我们可以利用点到直线/平面的距离公式进行计算。

数列与解析几何综合—点列问题

专题：数列与解析几何综合——点列问1．如图，直线)21,0(1:1±≠≠-+=k k k kx y l 与:2l 2121+=x y 相交于点P.直线l 1与x 轴交于点P 1，过点P 1作x 轴的垂线交直线l 2于点Q 1，过点Q 1作y 轴的垂线交直线l 1于点P 2，过点P 2作x 轴的垂线交直线l 2于点Q 2，…，这样一直作下去，可得到一系列点P 1、Q 1、P 2、Q 2，…，点P n （n=1，2，…）的横坐标构成数列{}.n x（Ⅰ）证明*),1(2111N n x kx n n ∈-=-+；（Ⅱ）求数列{}n x 的通项公式；（Ⅲ）比较5||4||22122+PP k PP n 与的大小.【解析】（Ⅰ）证明：设点P n 的坐标是),(n n y x ，由已知条件得点Q n 、P n+1的坐标分别是：).2121,(),2121,(1+++n n n n x x x x 由P n+1在直线l 1上，得.121211k kx x n n -+=++ 所以 ),1()1(211-=-+n n x k x 即 .*),1(2111N n x kx n n ∈-=-+（Ⅱ）解：由题设知 ,011,1111≠-=--=k x k x 又由（Ⅰ）知 )1(2111-=-+n n x kx ，所以数列 }1{-n x 是首项为,11-x 公比为k21的等比数列.从而 .*,)21(21,)21(111N n k x k k x nn n n ∈⨯-=⨯-=--即（Ⅲ）解：由⎪⎩⎪⎨⎧+=-+=,2121,1x y k kx y 得点P 的坐标为（1，1）.所以,)21(2)21(8)11(2)1(2||2222222-+⨯=--++-=n n nn n kk k kx x PP .945])10()111[(45||42222212+=+-+--=+k kk PP k （i ）当2121,21||>-<>k k k 或即时，5||4212+PP k >1+9=10.而此时 .5||4||2.10218||2,1|21|021222+<=+⨯<<<PP k PP PP k n n 故所以（ii ）当1110||,(,0)(0,)222k k <<∈-即时，5||4212+PP k <1+9=10.而此时 .5||4||2.10218||2,1|21|21222+>=+⨯>>PP k PP PP kn n 故所以EX ：已知点()n n n b a P ,都在直线22:+=x y l 上，1P 为直线l 与x 轴的交点，数列{}n a 成等差数列，公差为1. （+∈N n ）(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； (2)求数列{}n b -12的前n 项和n T . (3)求证：+2211P P+2311P P …… +52121<nP P (n ≥2, +∈N n ) 【解析】(1)()22,2,0,11-=-=-n b n a P n n 4分（2）令n c =nb -12=14n 2-则它的前n 项的和ns =132n n -，7=cn T =()⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤-78413)7(1322n n n n n n 4分(3) ())0,1(,22,21---P n n P n )1(51-=∴n P P n )2(≥n 2分()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++++=+++∴22221231221113121151111n P P P P P P n()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++⨯+⨯+<)1(11151121321211151n n n 52)1(1251<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=n 4分2、如图，曲线2(0)y x y =≥上的点i P 与x 轴的正半轴上的点i Q 及原点O 构成一系列正三角形111221,,,,.n n n OPQ Q P Q Q P Q -设正三角形1n n n Q P Q -的边长为n a ,n ∈N ﹡(记0Q 为O ),(),0n n Q S .(1) 求1a 的值;(2) 求数列{n a }的通项公式n a ;(3) 求证:当2≥n 时,2222122111132nn nna a a a ++++++<. 【解析】（1）由条件可得1111,22P a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,代入曲线2(0)y x y =≥得21111312,0,423a a a a =>∴=; (2)12n n S a a a =+++ ∴点1111(,)22n n n n P S a a ++++代入曲线2(0)y x y =≥并整理得 PP 2PQ 1 Q 2O2113142n n n S a a ++=-,于是当*2,n n N ≥∈时,221113131()()4242n n n n n n n a S S a a a a -++=-=--- 即11113()()()24n n n n n n a a a a a a ++++=+⋅- *1120,(2,)3n n n n a a a a n n N ++>>∴-=≥∈又当2122231421,,(4233n S a a a ==-∴=-时舍去）2123a a ∴-=,故*12()3n n a a n N +-=∈ 所以数列{n a }是首项为23、公差为23的等差数列, 23n a n =; (3) 由（2）得23n a n =，当2n ≥时，22221221111n n n na a a a ++++++22299944(1)44n n n =+++⋅22291114(1)4n n n ⎡⎤=++⎢⎥+⎣⎦91114(1)(1)2(21)n n n n n n ⎡⎤<++⎢⎥-+-⎣⎦9111111()()()411212n nn n n n ⎡⎤=-+-++-⎢⎥-+-⎣⎦9119(1)()4128(1)n n n n n +=-=--，欲证9(1)38(1)2n n n +<-，只需证23344n n n +<-，即证24730n n -->，设2()473f n n n =--，当78n ≥时，f （n ）递增.而当3n ≥时,有()0f n >成立.所以只需验证n=2时不等式成立.------ 13分事实上,919529613164646464642++=+=<. 综上,原不等式成立. ------------------------------------------14分3、已知曲线C ：x y 1=， n C ：n x y -+=21 （*∈N n ）。

2-3-3第三讲与数列交汇的综合问题

2 3 n 2Tn＝1＋＋ 2＋„＋ n－1. 2 2 2 1 1 1 n 因此，2Tn－Tn＝1＋2＋22＋„＋ n－1－2n 2
n＋1 n 2 －n－2 ＝2－ n－1－2n＝ . n 2 2
1
2n 1－n－2 所以Tn＝ . 2n
＋
1．数列与函数的综合问题主要有以下两类 (1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题； (2)已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形．
n 3－3 求得S＝－2－ 4
n＋1
，
5×3n＋1－15 nn＋6 所以f′(1)＝－ 2 . 4 5×3n＋1－15 nn＋6 即bn＝－ 2 ， 4 5×3n＋2－15 n＋1n＋7 而bn＋1＝－， 4 2 15×3n 7 两式作差，得bn＋1－bn＝－n－ >0， 2 2 所以{bn}是单调递增数列.
1 1＋ 2
n
4 1 －1 ＝＋ · n －1 . 3 3 2 4 1 －1 故数列{an}的通项公式为an＝3＋3· n－1 . 2
n
3．(2014· 安徽)设实数c>0，整数p>1，n∈N*. (1)证明：当x>－1且x≠0时，(1＋x)p>1＋px； (2)数列{an}满足a1>c
解：(1)由Sn＋1－3Sn－2n－4＝0(n∈N*)，得 Sn－3Sn－1－2n＋2－4＝0(n≥2)，两式相减得an＋1－3an－2＝0，可得an＋1＋1＝3(an＋ 1)(n≥2)，又由a1＝4可得a2＝14，所以a2＋1＝3(a1＋1)，即{an＋1}是一个首项为5，公比为3的等比数列，所以an＝5×3n－1－1(n∈N*)． (2)因为f′(x)＝an＋2an－1x＋„＋na1xn 1，

新高考数学数列经典题型专题提升-第26讲数列与导数的交汇问题(解析版)

第26讲数列与导数的交汇问题参考答案与试题解析一．解答题（共27小题）1．（2021•全国模拟）函数，曲线在点，（1）处的切线在轴上的截距为．（1）求；（2）讨论的单调性；（3）设，，证明：．【解答】解：（1）函数的导数为，曲线在点，（1）处的切线斜率为，切点为，切线方程为，代入可得，解得；（2），，当时，，可得在递增；（3）要证，只需证，即为，只要证，由在递减，，若，只要证，()(0)1a xf x x x+=>+()y f x =(1f )y 112a 2()(())g x x f x =11a =1()n n a f a +=22|27|1n n lna ln --<()(0)1a xf x x x+=>+21()(1)a f x x -'=+()y f x =(1f )14a -1(1,2a +11(1)24a ay x +--=-11(0,)21111(01)224a a +--=-7a =3222271449()(())()1(1)x x x xg x x f x x x x +++===++g 23(7)[(2)3]()(1)x x g x x +-+'=+0x >()0g x '>()g x (0,)+∞22|27|1n n lna ln --<111|7|22n n lna ln --<11|2n -<1||2<()f x (0,)+∞0n a >n a >1()n n a f a f +=<=1<<12)ln <12)<即，此时2）知若，只要证，即，此时，由（2）知若综上可得，成立，则，由，可得，则成立．2．（2021•枣庄期末）已知函数，，曲线在点，（1）处的切线在轴上的截距为．（1）求；（2）讨论函数和的单调性；（3）设，，求证：．【解答】解：（1）对求导，得．因此．又因为（1），所以曲线在点，（1）处的切线方程为，即．由题意，．21n n a a +>n a >21()n n n a a g a g +=>=n a <1()n n a f a f +=>=1<<12)ln <12)<21n n a a +<n a <21()n n n a a g a g +=<=n a =1||2<(1,*)n n N ∈ (1)1111|||7222n n ln --<=g 2117122ln lne <=11|2n -<22|27|1n n lna ln --<()(2)(0f x ln x a x =+>0)a >()y f x =(1f )y 233ln -a ()()2(0)g x f x x x =->2()()(0)21xh x f x x x =->+125a =1()n n a f a +=152120(2)2n n n n a +-<-<…()(2)f x ln x a =+2()2f x x a'=+2(1)2f a'=+f (2)ln a =+()y f x =(1f 2(2)(1)2y ln a x a-+=-+22(2)22y x ln a a a=++-++22(2)323ln a ln a +-=-+显然，适合上式．令，求导得，因此（a ）为增函数：故是唯一解．（2）由（1）可知，，，因为，所以为减函数．因为，所以为增函数．（3）证明：由，，易得由（2）可知，在上为减函数．因此，当时，，即．令，得，即．因此，当时，．所以成立．下面证明：．方法一：由（2）可知，在上为增函数．因此，当时，，即．因此，即．令，得，1a =2()(2)(0)2a ln a a aϕ=+->+212()02(2)a a a ϕ'=+>++ϕ1a =()(21)2(0)g x ln x x x =+->2()(21)(0)21xh x ln x x x =+->+24()202121xg x x x '=-=-<++()()2(0)g x f x x x =->22224()021(21)(21)xh x x x x '=-=>+++2()()(0)12xh x f x x x=->+125a =1()(21)n n n a f a ln a +==+152120.225n n n n n n a a a +-><-⇔<()()2(21)2g x f x x ln x x =-=+-(0,)+∞0x >()(0)0g x g <=()2f x x <1(2)n x a n -=...11()2n n f a a --<12n n a a -<2n (2)112122225nn n n n a a a a ---<<<⋯<=152122n n n a +-<-120na -<22()()(21)2121x xh x f x ln x x x =-=+-++(0,)+∞0x >()(0)0h x h >=2()021xf x x >>+111()2f x x<+1112(2)()2f x x-<-1(2)n x a n -= (11)1112(2)()2n n f a a ---<-即．当时，．因为，所以，所以．所以，当时，．所以，当时，成立．综上所述，当时，成立．方法二：时，因为，所以．下面用数学归纳法证明：时，．①当时，．而，因为，所以．可见，不等式成立．②假设当时不等式成立，即．当时，．因为，是增函数，所以．要证，只需证明．而，因为，所以．所以．可见，时不等式成立．11112(2)2n n a a --<-2n =2111111222222() 1.8()5n a a f a ln f -=-=-=-=-11.82ln >>=1201.8ln -<2120a -<3n ...2212211111112(2)(2)(2)0222n n n n a a a a ----<-<-<⋯<-<2n (1)20na -<2n (1521)202n n n a +-<-<2n …0n a >1112022n n n a a a -<⇔<⇔>2n (1)2n a >2n =2112()(21)(21) 1.85a f a ln a ln ln ==+=⨯+=2211.8 1.8 1.8 1.82 3.2422a ln ln =>⇔>⇔>⇔>⇔>3.242>212a >2n =(2)n k k = (12)k a >1n k =+1()(21)n k k k a a f a ln a +===+12k a >()(21)f x ln x =+11(21)(21)22k k a ln a ln ln +=+>⨯+=112k a +>122ln >2212222422ln ln >⇔>⇔>⇔>⇔>42>122ln >112k a +>1n k =+由①②可知，当时，成立．3．（2021•武侯区校级模拟）已知，，其中与关于直线对称）（1）若函数在区间上递增，求的取值范围；（2）证明：；（3）设，其中恒成立，求满足条件的最小整数的值．【解答】解：（1）由题意：恒成立，则恒成立．又单调递减，（2）由（1）知，当时，在单调增（1）．（3）由即：又，，则，，单调增，又，（1）则必然存在，使得，在单减，，单增，则，又又，则，恒成立2n (1)2n a >()sin f x a x =()g x lnx =1(()a R y g x -∈=()y g x =y x =()(1)()G x f x g x =-+(0,1)a 211sin2(1)nk ln k =<+∑12()()2(1)(0)F x g x mx x b m -=--++<()0F x >b 1()sin(1),/()cos(1)0G x a x lnx G x a x x=-+=-->1cos(1)a x x <-1cos(1)y x x =-1a ∴…1a =()sin(1)G x x lnx =-+(0,1)sin(1)x lnx G ∴-+<10sin(1)(01)x ln x x=∴-<<<∴2222212(1)sin sin[1](1)(1)2k k k ln k k k k++=-<+++∴222221123(1)1sin ()(2)2(1)1324(1)(1)(2)2nk k k k ln ln ln k k k k k k =++<⋅⋅=⋅<+⨯⨯-+++∑122()()2(1)220x F x g x mx x b e mx x b -=--++=--+->()0min F x >()22x F x e mx '=--()2x F x e m ''=-0m < //()0F x >()F x ∴'(0)0F '<F '0>0(0,1)x ∈0()0F x '=()F x ∴0(,)x -∞0(x )+∞∴02000()()220x F x F x e mx x b =--+-> 020022x b e mx x >-+++00220x e mx --=∴0022x e m x -=∴0000000(2)22(1)222x x x x e xb e x e x ->-+++=-++0m <0(0,2)x ln ∈∴000(1)22x x b e x >-++0(0,2)x ln ∈令，则，，在单调递增又在单调递增，，又为整数．最小整数的值为：2．4．（2021•泉州校级模拟）已知函数，，．（Ⅰ）若在定义域内恒成立，求的取值范围；（Ⅱ）当取（Ⅰ）中的最大值时，求函数的最小值；（Ⅲ）证明不等式．【解答】解：（Ⅰ）的定义域是，当时，，递减，当时，，递增（1）依题意得，，，故的取值范围，（4分）（Ⅱ）当时，，的定义域是，，令，，由（Ⅰ）知，的最小值是（1），，递增，又（1）时，，，递减，当时，，，递增，（1）；（9分）（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）得，时，，令，，（14分）()(1)22x xmx e x =-++(0,2)x ln ∈1/()(1)12x m x x e =-+1()02x m x xe ''=>()m x ∴'(0,2)x ln ∈1/(0)02m =>()0()m x m x ∴'>∴(0,2)x ln ∈()(2)22m x m ln ln ∴<=22b ln ∴>b ∴b ()f x x lnx a =--11()()a g x x lnx x+=+-a R ∈()0f x …a a ()g x 1112()(21)(22)21n nk kn k ln n N ++=>∈+++∑()f x (0,)+∞11()1x f x x x-'=-=(0,1)x ∈()0f x '<()f x (1,)x ∈+∞()0f x '>()f x ()min f x f ∴=1a=-10a -…1a …a (-∞1]⋯1a =21()()g x x lnx x =+-()g x (0221121)()12x xlnx g x lnx x x x --'+∞=+-=g 2()21h x x xlnx =--()2(1)h x x lnx '=--()h x 'h '0=()0h x '∴…()h x h 0(0,1)x =∈()0h x '<()0g x '<()g x (1,)x ∈+∞()0h x '>()0g x '>()g x ()min g x g ∴=2=⋯1x >2221()(1),()()g x g x lnx lnx lnx x >+->>>*221()21k kx k N +=>∈+2222,2121k k k k ln ln ++>>++∴22112222222222(21)2(21)2()21212121212121n n n nn n n k ln ln ln ln ln -+=+++++>++⋯+=⋯=⋯+++++++g g g5．设函数，．（1）求函数的最小值；（2）证明不等式：．【解答】解：（1）．令，，令，则，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减．当时，确定最小值，（1）．，函数单调递增．而当时，（1），即（1）；当时，，即，函数单调递增；当时，，即，函数单调递减．因此当时，函数取得最小值，（1）．（2）由（1）可得：当时，．，当，令．．，下面用数学归纳法证明：．①当时，左边，右边，21()()g x x lnx x=+-(0)x >()g x 1*2(21n nn k ln n N +=>∈+)2221212()1(0)lnx x xlnx g x x x x x '--=--=>2()12f x x xlnx =--()222f x x lnx '=--()222u x x lnx =--22(1)()2x u x x x'-=-=1x >()0u x '>()u x 01x <<()0u x '<()u x ∴1x =()u x u 0=()0f x ∴'…∴()f x 1x =f 0=g '0=1x >()0f x >()0g x '>()g x 01x <<()0f x <()0g x '<()g x 1x =()g x g 2=1x …()2g x …∴212x ln x x++…1x >lnx ->*11()2k x k N =+∈212k k ln +==>∴12121212212121(21)(21)(21)222222n n nn n k ln ln ln ln =+++++⋯+>++⋯+=⋯g g g g g 12112(21)(21)(21)222221n n n n +++⋯+>⋯+g g g g g 1n =1121322+==11124213+==+左边右边成立．②假设当时成立，即成立．则当时，左边，，，右边．当时不等式成立．，不等式成立．．不等式：成立．6．（2021•淄博模拟）已知函数，函数，其中，是的一个极值点，且．（1）讨论的单调性；（2）求实数和的值；（3）证明．【解答】解：（1）函数的定义域，，令，则，由可得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，故当时，函数取得极小值也是最小值（1），所以即，所以在上单调递增；>*()n k k N =∈121(1)2(21)(21)(21)2212k k k k k ++++⋯+>+g g 1n k =+12111(1)112(21)(21)(21)(21)22121222k k k k k k k k k ++++++++⋯+++=>+g g g g 122(1)111(21)2222(22)k k k k k ++++++>+=+ g ∴11112122221k k k k ++++++>+∴11211221221221k k k kk k ++++++>=++g ∴1n k =+*n N ∴∀∈12112(21)(21)(21)222221n n n n +++⋯+>⋯+g g g g g ∴121*12(21)(21)(21)2(22221n n nn ln ln n N +++⋯+>∈⋯+g g g g g )∴1*2(21n nn k ln n N +=>∈+)2()2f x x xlnx =-2()()ag x x lnx x=+-a R ∈0x ()g x 0()2g x =()f x 0x a *1(21)()2nk ln n n N =>+∈()f x (0,)+∞()222f x x lnx '=--()222h x x lnx =--2(1)()x h x x-'=()0h x '=1x =(0,1)x ∈()0h x '<()h x (1,)x ∈+∞()0h x '>()h x 1x =h 0=()0h x …()0f x '…()f x (0,)+∞（2）的定义域，，由题意可得，即①，由可得②，联立①②消去可得，，令，则，由（1）知，故，故在上单调递增，又（1），故方程③有唯一的解，代入①可得，所以，，（3）证明：由（1）在上单调递增，故当时，（1），，所以在上单调递增，因此当时，（1），即，故，，取，，，故，所以．7．（2021•揭阳一模）已知函数，，其中．（1）若函数，当时，求函数的极值；（2）若函数在区间上为减函数，求的取值范围；（3）证明：．()g x (0,)+∞22()1a lnxg x x x'=--0()0g x '=200020x x lnx a --=0()2g x =220000()20x x lnx x a --+=a 20002()220x lnx lnx ---=2()2()22t x x lnx lnx =---222(1)()2lnx x lnx t x x x x--'=--=10x lnx --…()0t x '…()t x (0,)+∞t 0=01x =1a =01x =1a =2()2f x x xlnx =-(0,)+∞1x >()f x f >1=22221()1()0x xlnx f x g x x x ---'==>()g x (1,)+∞1x >()g x g >2=21()2x lnx x+->22()lnx >∴lnx ->2121k x k +=-*k N ∈(21)(21)ln k ln k >+--=(Tex translation failed)*1(21)()2nk ln n n N =>+∈()f x ax =()g x lnx =a R ∈()()()F x f x g x =-1a =()F x ()(sin(1))()G x f x g x =--(0,1)a 11sin(1)1nk ln n k =<++∑【解答】解：（1）当时，函数，，令得，当时，当时，，即函数在单调递减，在单调递增，函数在处有极小值，．（2）解法函数在区间上为减函数在上恒成立在上恒成立，设，则，当时，，在上恒成立，即函数在上单调递减，当时，（1），．解法函数在区间上为减函数对，恒成立，，，当时，式显然成立；当时，式在上恒成立，设，易知在上单调递增，（1），，综上得，．（3）由（2）知，当时，（1），，对有， 1a =()F x x lnx =-(0)x >∴11()1x F x x x-'=-=()0F x '=1x =(0,1)x ∈()0F x '<(1,)x ∈+∞()0F x '>()F x (0,1)(1,)+∞∴()F x 1x =()111F x ln ∴=-=极小1: ()(sin(1))()sin(1)G x f x g x a x lnx =--=--(0,1)∴1()cos(1)0G x a x x'=--…(0,1)1cos(1)a x x ⇔-…(0,1)1()cos(1)H x x x =-2222(cos(1)sin(1))sin(1)cos(1)()cos (1)cos (1)x x x x x x H x x x x x -------'==--(0,1)x ∈sin(1)0x -<cos(1)0x ->()0H x '∴<(0,1)()H x (0,1)∴(0,1)x ∈()H x H >1=1a ∴…2: ()(sin(1))()sin(1)G x f x g x a x lnx =--=--(0,1)∴(0,1)x ∀∈1()cos(1)0(*)G x a x x'=--…(0,1)x ∈ cos(1)0x ∴->0a …(*)0a >(*)⇔1cos(1)x x a-…(0,1)()cos(1)h x x x =-()h x (0,1)()h x h ∴<1=∴1101a a⇒<……(a ∈-∞1]1a =()sin(1)G x x lnx G =-->0=1sin(1)sin(1)x lnx x ln x⇒->⇒-<(**)*k N ∀∈(0,1)1kk ∈+在式中令得，，即．8．（2021•凉山州一模）设函数，（1）当时，求的最小值；（2）若，在上有两个不同的零点，求的取值范围；（3）证明：【解答】解：（1）时，，则，所以时，；时，；所以，的最小值是（2）．（2），则，所以时，；时，；所以，时，取最小值（a ）；在有两个不同的零点，，．（3）要证；即证：由（1）知：时，，当且仅当时取“”．即：；(**)1k x k =+11sin(1)sin 11k k ln k k k+-=<++∴11131341sinsin sin 2(2)(1)231223n n ln ln ln ln ln n n n n++++⋯+<++⋯+==++g g g 11sin(1)1nk ln n k =<++∑()f x lnx =()(0)ag x a x=>2a =()()()h x f x g x =+()()()h x f x g x =+(0,)+∞a 11(2)1(!)22nk nln e ln n k=>-∑2a =2()h x lnx x =+22()x h x x-'=02x <<()0h x '<2x >()0h x '>()h x h 21ln =+()a h x lnx x =+2()x ah x x-'=(0,)x a ∈()0h x '<(,)x a ∈+∞()0h x '>x a =()h x h 1lna =+()h x (0,)+∞10lna ∴+<10a e∴<<11(2)1(!)22nk nln e ln n k =>-∑111(21)11(123)2322n ln ln ln ln lnn n ++++⋯+>-+++⋯+0x >221lnx ln x ++…2x ==∴112122ln lnx x ++…121122ln lnx x +-…∴2111122ln ln +>-12112222ln ln +- (12113322)ln ln +>-⋯121122ln lnn n +>-以上各式相加得：．9．已知函数，，为常数）（1）若方程在区间，上有解，求实数的取值范围；（2）当时，证明不等式在，上恒成立；（3）证明：，（参考数据：【解答】解：（1），，方程可化为．即．令．则．由得，，或（舍去）．当时，．单调递增．当时，．单调递减．，（1），．，时，．方程在区间，上有解等价于．（2）时，不等式可化为，即．111(!)2nk ln n k =>∑()fx lnx =3()2ag x x=-(a 2()()f x e g x =1[21]a 1a =()()2g x f x x <<-[4)+∞(Tex translation failed)*()n N ∈20.693)ln ≈()f x lnx = 3()2ag x x=-∴2()()f x e g x =232a x x=-332a x x =-+33()2h x x x =-+23()32h x x '=-+23()302h x x '=-+=x =x =x ∈23()302h x x '=-+>()h x x ∈23()302h x x '=-+<()h x 15()28h = h 12=h =1[2x ∴∈1]1()[2h x ∈∴2()()f x e g x =1[21]1[2a ∈1a =()()g x f x <312lnx x-<132lnx x +>令．则．当，时，单调递增．（4）．当，时，恒成立．可化为，即．令．．当，时，单调递减．（4）．当，时，恒成立．当时，证明不等式在，上恒成立．（3），，由（2）可知，，，即，，，，．1()r x lnx x=+211()r x x x '=-[4x ∈)+∞()r x ()min r x r ∴=13442ln =+>∴[4x ∈)+∞()()g x f x <()2f x x <-2lnx x <-2lnx x -<-()k x lnx x =-1()1k x x'=-[4x ∈)+∞()k x ()max k x k ∴=442ln =-<-∴[4x ∈)+∞()2f x x <-∴1a =()()2g x f x x <<-[4)+∞()f x lnx = 2(21)(1)()2(21)(1)f k f k f k ln k ln k lnk ∴+-+-=+-+-2(21)(1)k lnk k +=+1(4)(1)f k k =++31()22f x x x-<<-∴3111(4)4212(1)(1)4(1)f k k k k k k -<+<+-++++3(1)111(4)224(1)1(1)1k k f k k k k k k +-<+<-+++++∴51111(4)2416(1)4(1)1f k k k k k k +<+<-+++++∴(Tex translation failed)*n N ∈ ∴(Tex translation failed)10．（2021•天津校级二模）已知函数，为实常数）（1）当时，求函数在，上的最小值；（2）若方程（其中在区间，上有解，求实数的取值范围；（3）证明：（参考数据：【解答】解：（1）当时，，则，在区间，上，，在区间，，，在区间，上单调递减，在区间，上单调递增．在，上，当时，的最小值为（4）．（4分）（2）方程在区间，上有解即在区间，上有解即在区间，上有解令，，，，在区间上，，在区间，上，，在区间上单调递增，在区间，上单调递减，又（1）．（1）即故（9分）（3）设，由（1）知，的最小值为（4），()f x lnx =3()(2a g x a x=-1a =()()()x f x g x ϕ=-[4x ∈)+∞2()()f x e g x = 2.71828)e =⋯1[21]a *151[2(21)()(1)]21,460nk n f k f k f k n n N =+<+--+<+∈⋅∑20.6931)ln ≈1a =13()()()2x f x g x lnx x ϕ=-=+-22111()x x x x xϕ-'=-= (01]()0x ϕ'…[1)+∞()0x ϕ'…()x ϕ∴(01][1)+∞∴[4x ∈)+∞4x =()x ϕϕ544ln =-2()()f x e g x =1[21]232lnx a e x =-1[21]332a x x =-1[21]33()2h x x x =-1[2x ∈1]23()32h x x ∴'=- 1[2()0h x '…1]()0h x '…()h x ∴1[21]h 1(2h <h ∴()h x h ......1()2h x (1)[2a ∈⋯24412(21)()(1)2(21)(1)(1)k k k a f k f k f k ln k lnk ln k ln k k ++=+--+=+--+=+()x ϕϕ5404ln =->又，．构造函数，则，当时，．在，上单调递减，即（4）．当时，．，即．．故．（14分）11．（2021春•青羊区校级期中）已知，其导函数为，反函数为（1）求证：的函数图象恒不在的函数图象的上方．（2）设函数．若有两个极值点，；记过点，，的直线斜率为．问：是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．（3）求证：．【解答】解（1），其导函数为，反函数为，令，，令，即，在上单调递减，在上单调递增，，从而所得结论成立．31(4)2lnx x x∴>-… 24414(1)k k k k ++>+223(1)5115115111(244144(21)44(21)(23)482123k k k a k k k k k k k +∴>-=+⋅>+⋅=+⋅-+++++++∴1511111115111511151(()()4835572123483234835460nk k a n n n n n n n =>+⋅-+-+⋯+-=+⋅-+⋅-=++++∑…()2(4)F x lnx x x =-+…1()xF x x-'=∴4x …()0F x '<()F x ∴[4)+∞()F x F …422(21)0ln ln =-=-<∴4x >2lnx x <-24411142(1)1k k k a ln k k k k ++∴=<+--++1121k a k k <+-+∴1121211nk k a n n n =<+-<++∑(Tex translation failed)()g x lnx =()g x '1()g x -1y x =+1()y g x -=()()()()()g x f x e g x a g x a R '=--⋅∈()f x 1x 2x 1(A x 12())(f x B x 2())f x k a 2k a =-a 1()1nn k k e ne =<-∑*()n N ∈()g x lnx = ()g x '1()g x -1()()11x h x g x x e x -=--=--()1x h x e '∴=-()10x h x e '=-=0x =()h x ∴(,0)-∞(0,)+∞()(0)0h x h ∴=…（2）．，的定义域为，，令，其判别式△，从而当时，△，故，故在上单调递增．当时，△，故的两根都小于0，在上，，故在上单调递增．当当时，△，故的两根为，，当时，；当，时，；当时，，故分别在，，上单调递增，在，上单调递减．从而当是，函数有两个极值点．又因为，所以又由（1）知，．于是若存在，使得则．即，亦即，令，，再由知，函数在上单调递增，而，所以，这与式矛盾．故不存在，使得，（3）由（1）有（当且仅当时取等）对任意的实数均成立，令，则，，，()()()()()g x f x e g x a g x a R '=--⋅∈ 1()f x x alnx x∴=--()f x (0,)+∞22211()1a x ax f x x x x -+∴'=+-=2()1F x x ax =-+24a =-||2a …0…()0f x '…()f x (0,)+∞2a <-0>()0F x =(0,)+∞()0f x '>()f x (0,)+∞2a >0>()0F x =11(2x a =21(2x a =+10x x <<()0f x '>1x 2x x <<()0f x '<2x x >()0f x '>()f x 1(0,)x 2(x )+∞1(x 2)x 2a >1212121212()()()()x x f x f x x x a lnx lnx x x --=-+--1212121212()()11f x f x lnx lnx k a x x x x x x --==+---121x x =12122lnx lnx k a x x -=--a 2k a =-12121lnx lnx x x -=-1212lnx lnx x x -=-222120x lnx x --=21(*)x >1()2h t t lnt t=--1t >(*)1()2h t t lnt t=--(0,)+∞21x >22211212101x lnx ln x -->--=(*)a 2k a =-1x x e +…0x =R *(,1,2,3,,1)i x n N i n n =-∈=⋯-1ini e n --<(1()(1,2,,1)inni n i e e i n n--∴-<==⋯-()(1,2,,1)ni n i e i n n--∴<=⋯-，，从而结论成立．12．（2021•揭阳一模）已知函数，，其中，．（1）若函数有极值1，求的值；（2）若函数在区间上为减函数，求的取值范围；（3）证明：．【解答】解：（1），，①若，则对任意的都有，即函数在上单调递减，函数在上无极值；②若，由得，当时，；当时，，即函数在单调递减，在单调递增，函数在处有极小值，，．（2）解法函数在区间上为减函数，且当时，，在上恒成立在上恒成立，设，则，当时，，，在上恒成立，即函数在上单调递减，当时，（1），．解法函数在区间上为减函数，∴(1)(2)11121()()(((1nn n n n n n n i k n n e e e nn n n n -----=-=++⋯++<++⋯++∑ (1)(2)111111111n n n e e eee e e e ---------++⋯++=<=---()f x ax =()g x lnx =a R ∈( 2.718)e ≈()()()F x f x g x =-a ()(sin(1))()G x f x g x =--(0,1)a 211sin2(1)nk ln k =<+∑()F x ax lnx =- (0)x >∴1()F x a x'=-0a …(0,)x ∈+∞()0F x '<()F x (0,)+∞()F x (0,)+∞0a >()0F x '=1x a =1(0,)x a ∈()0F x '<1(,)x a∈+∞()0F x '>()F x 1(0,)a 1(,)a +∞∴()F x 1x a=∴11(11F ln a a =-=1a ∴=1: ()(sin(1))()sin(1)G x f x g x a x lnx =--=--(0,1)(0,1)x ∈cos(1)0x ->∴1()cos(1)0G x a x x'=--…(0,1)1cos(1)a x x ⇔-…(0,1)1()cos(1)H x x x =-2222(cos(1)sin(1))sin(1)cos(1)()cos (1)cos (1)x x x x x x H x x x x x -------'==--(0,1)x ∈sin(1)0x -<cos(1)0x ->()0H x '∴<(0,1)()H x (0,1)∴(0,1)x ∈()H x H >1=1a ∴…2: ()(sin(1))()sin(1)G x f x g x a x lnx =--=--(0,1)对，恒成立，，，当时，式显然成立；当时，式在上恒成立，设，易知在上单调递增，（1），，综上得，．（3）证法1：由（2）知，当时，（1），，对任意的有，，，即．证法2：先证明当时，，令，则对任意的恒成立，函数在区间上单调递减，当时，，，对任意的，而．，．∴(0,1)x ∀∈1()cos(1)0(*)G x a x x'=--…(0,1)x ∈ cos(1)0x ∴->0a …(*)0a >(*)⇔1cos(1)x x a-…(0,1)()cos(1)h x x x =-()h x (0,1)()h x h ∴<1=∴1101a a⇒<……(a ∈-∞1]1a =()sin(1)G x x lnx G =-->0=1sin(1)sin(1)x lnx x lnx⇒->⇒-< *k N ∈21(0,1)(1)k ∈+∴211(0,1)(1)k -∈+∴22211(1)sin1(1)(2)1(1)k ln ln k k k k +<=++-+∴22222222211123(1)23(1)2(1)sin sin sin []223(1)1324(2)1324(2)2n n n ln ln ln ln ln ln n n n n n n +++++⋯+<++⋯+=⋯=<+⨯⨯+⨯⨯++g g 211sin2(1)nk ln k =<+∑02x π<<sin x x <()sin p x x x =-()cos 10p x x '=-<(0,)2x π∈∴()p x (0,2π∴02x π<<()(0)0p x p <=sin x x ∴< *k N ∈21(0,)2k π∈2214112(412121k k k k <=---+g ∴221111sin2()(1)(1)2123k k k k <<-++++g ∴232111111112sin 2()2(1)355721233nk lne ln k n n =<-+-+⋯+-<=<=+++∑13．（2021•天津校级一模）已知函数的定义域为，当时，对于任意，，都成立，数列满足，，2，（1）证明：；（2）令．【解答】（1）证明：，，2，3，，故当时，．．，；（当时，不等式也成立．（2）证明：，．①，，2，，故当时，．分分()y f x =R 01L <<1x 2x R ∈1212|()()|||f x f x L x x --…{}n a 1()n n a f a +=1n =⋯11211||||1nk k k a a a a L+=---∑…()12111211,2,3,:lim 1n k k k k k a a a A k its A A a a k L=+++⋯==∑--⋅-证明…1()n n a f a += 1n =⋯2n …111|||()()|||n n n n n n a a f a f a L a a +---=--…22121|()()|||n n n n L f a f a L a a ----=--…112||n L a a -⋯-……∴1122311||||||||nk k n n k a a a a a a a a ++=-=-+-+⋯+-∑2112(1)||n L L L a a -+++⋯+-…121||1nL a a L -=--01L << ∴11211||||1nk k k a a a a L+=---∑…1n =) 12kk a a a A k++⋯+=∴11211|||()|(1)k k k k A A a a a ka k k ++-=++⋯+-+12323411|()2()3()()|(1)k k a a a a a a k a a k k +=-+-+-+⋯+-+1()n n a f a += 1n =⋯2n …11121|||()()||||()()|n n n n n n n n a a f a f a L a a L f a f a +-----=--=-…212112||||n n n L a a L a a ----⋯-………6⋯∴112233411||||||||||nk k n n k a a a a a a a a a a ++=-=-+-+-+⋯+-∑2112(1)||7n L L L a a -+++⋯+-⋯…．分，（当时，不等式也成立）．分②，．分．分，121||1n L a a L -=--8⋯01L << ∴11211||||1nk k k a a a a L+=---∑…1n =9⋯12kk a a a A k++⋯=∴121211||||1k k k k a a a a a a A A k k ++++⋯+++⋯+-=-+1211|()|(1)k k a a a ka k k +=++⋯+-+12233411|()2()3()()|(1)k k a a a a a a k a a k k +=-+-+-+⋯+-+12233411(||2||3||||)(1)k k a a a a a a k a a k k +-+-+-+⋯+-+…11⋯∴1122311||||||||n k k n n k A A A A A A A A ++=-=-+-+⋯+-∑1223111111||(2||()1223(1)2334(1)a a a a n n n n -++⋯++-++⋯+⨯⨯+⨯⨯+ (3411111)3||()||3445(1)(1)n n a a n a a n n n n ++-++⋯++⋯+-⨯⨯⨯++1223112||(1)||(1||(1)111n n na a a a a a n n n +=--+--+⋯+--+++12231121||||||||1n n a a a a a a a a L+-+-+⋯+---……14⋯12233411(||2||3||||(1)k k a a a a a a k a a k k +-+-+-+⋯+-+…∴1122311||||||||n k k n n k A A A A A A A A ++=-=-+-+⋯+-∑1223111111||(2||()1223(1)2334(1)a a a a n n n n -++⋯++-++⋯+⨯⨯+⨯⨯+ (3411111)3||()||3445(1)(1n n a a n a a n n n n ++-++⋯++⋯+-⨯⨯⨯++1223112||(1)||(1||(1)111n n na a a a a a n n n -=--+--+⋯+--+++．14．（2021•如皋市模拟）已知函数，．（1）证明：两函数图象有且只有一个公共点；（2）证明：．【解答】证明：（1）令，令，则，令，则，所以在上单调递增，又（1），所以当时，，则，故单调递减，当时，，则，故单调递增，所以（1），当且仅当时取等号，故函数只有一个零点，即方程只有一个根，所以两函数图象有且只有一个公共点；（2）由（1）可知，对任意的恒成立，所以，当时，，所以，，所以，故．15．（2021春•鼓楼区校级月考）已知函数．12231||||||n n a a a aa a +-+-+⋯+- (121)||1a a L--…1()f x x x=+2()2()g x lnx =+(1)(*)nn k k ln n n N ==->+∈212()x lnx x +=+21()()2h x x lnx x=+--21211()12x lnx x h x lnx x xx--'=--⋅=1()2x x lnx x ϕ=--22212(1)()10x x x x x ϕ-'=+-=…()x ϕ(0,)+∞ϕ0=01x <<()0x ϕ<()0h x '<()h x 1x >()0x ϕ>()0h x '>()h x ()h x h …0=1x =()h x 212()x lnx x+=+21()20x lnx x+--…0x >22()lnx -…1x >lnx <1k x k+=11,2,,,*k ln k n n N k +<=⋅⋅⋅∈(1)ln k lnk >+-(Tex translation failed)(1)(*)nn k k ln n n N ==->+∈()1f x lnx =+（1）①证明：当时，（当且仅当时取得等号）；②当，时，证明：；（2）设，若对恒成立，求实数的取值范围．【解答】（1）证明：①构造函数，得；当时，；当时，；（1）；；；（当且仅当时取得等号）；②由①可知，，，令，则，，取，则，即，故，，（2）解：若对恒成立等价于对恒成立；记，问题等价于；由（1）知（当且仅当时取得等号）；（当且仅当时取得等号）；故，所以；实数的取值范围为，．16．（2021•成都二模）已知函数，其中，，令函数．（Ⅰ）若函数在上单调递增，求的取值范围；0x >()f x x …1x =2n …*n N ∈1(1)14nk lnk n n k =-<+∑1()(1)1g x ax a lnx x=+---g ()0g x …0x >a ()()1m x f x x lnx x =-=+-11()10(0)xm x x x x-'=-==>1x =(0,1)x ∈()0m x '>(1,)x ∈+∞()0m x '<[()]max m x m ∴=0=()0m x ∴…()f x x ∴…1x =(1)2ln x x --…1x >1x t -=1lnt t -…0t >2t n =221lnn n -…(1)(1)2n n lnn +- (1)12lnn n n -+…*n N ∈2n …∴1121(1)12224nk lnk n n n k =--++⋯+=+∑…()0g x …0x >111lnx x a x x+++…0x >11()1lnx x G x x x++=+()maxa G x …1lnx x +…1x =111()111lnx x x x G x x x x x+++∴==++…1x =()1max G x =1a …∴a [1)+∞1(),()f x x g x alnx x=-=0x >a R ∈()()()h x f x g x =-()h x (0,)+∞a（Ⅱ）当取中的最大值时，判断方程在上是否有解，并说明理由；（Ⅲ）令函数，证明不等式．【解答】解：，，函数在上单调递增，在上恒成立，即在上恒成立，解得．当时，，．令，，构造函数，恒成立，函数在上单调递增，且（1），在上无解．令，当为偶数时，，由可知：，即．当为奇数时，，由可知：．．，，，，累加求和得不等式．．17．（2021•岳阳校级一模）已知函数，，其中．（1）若函数在区间上为增函数，求的取值范围；a ()I ()(2)0h x h x +-=(0,1)1()2F x lnx x =+211(1)[1()]1(*)2nk k k F n N =-+-<∈∑1()()()()(0)I h x f x g x x alnx x x =-=-->22211()1a x ax h x x x x -+'=+-= ()h x (0,)+∞210x ax ∴-+…(0,)+∞1a x x+…(0,)+∞2a …()II 2a =1()2h x x lnx x=--2()(2)22[(2)](2)h x h x ln x x x x ∴+-=----(2)(0t x x =-∈1)2()22t lnt tϕ=--222222()0tt t t tϕ-'=-=>∴()t ϕ(0,1)ϕ0=2()22t lnt tϕ∴=--(0,1)()III 11()2k k a =+-k 1k a >()I 12k k klna a a +<11(1)[1()]1()22k k k F -+-<+k 01k a <<()I 12k k klna a a +>∴111(1)[1()][1()]1()222k k k k F -+-<-+-=-++∴121211()()1()1()22F a F a -+<+-+343411()()1()1()22F a F a -+<+-+⋯21221211()()1()1()22k k n n F a F a ---+<+-+221222111[1()]1111122(1)[1()]()()()1()112222212k nk k kk k F =--+-<++⋯+==-<-∑()f x ax =()g x lnx =a R ∈()[sin(1)]()F x f x g x =-+(0,1)a（2）设，求证：．【解答】（1）解：函数，，只要在区间上大于等于0，，，求的最小值即可，求的最大值即可，，，在增函数，（1），的最小值为1，；（2）证明：，在上恒成立，，．18．（2021•武侯区校级模拟）已知，．（Ⅰ）当时，求的最大值；，恒成立；（Ⅲ）求证：．（参考数据：，【解答】解：（Ⅰ）设，，则，在区间，内单调递减，故的最大值为（1）．21sin (1)n a n =+12nk k a ln =<∑ ()[sin(1)]()sin(1)F x f x g x a xlnx =-+=-+1()cos(1)(1)F x a x x∴'=-⨯-+()F x '(0,1)1()cos(1)(1)0F x a x x∴'=-⨯-+…1cos(1)a x x ∴-…1cos(1)x x -()cos(1)h x x x =-011x <-<()cos(1)sin(1)0h x x x x '=-+-> ()h x ∴(0,1)()h x h <1=∴1cos(1)x x -1a ∴ (2)101(1)k <<+ sin x x < (0,1)x ∈∴22222221111111111111197197sin sinsin sin 2(1)23(1)23(1)49164556(1)1441144nk ln k n n n n n ==++⋯+++⋯+<+++++⋯+=-<<+++⨯⨯++∑…∴211sin2(1)nk ln k =<+∑()f x lnx =()g x =-1x …()()f x g x -112x x lnx -+<<1x ∀>22131(2,)21282221n k n n n n n n N k ln k =+<<+∈+-∑…3 1.1ln ≈5 1.6)ln ≈()()()F x f x g x lnx =-=-1x …1()0F x x '==()F x ∴[1)+∞()F x F 0=（Ⅱ）由（Ⅰ）得，对，都有，即．，，．设，，则．设，则，在区间内单调递增，（1），即．在区间内单调递增，（1），即．因为，，所以，从而原命题得证．（Ⅲ）由（Ⅱ）得，当恒成立．令，．；另一方面，当时，，，从而命题得证．19．（2021•五华区校级模拟）已知函数，，直线与曲线切于点，，且与曲线切于点，（1）．（1）求实数，的值；（2）证明：（ⅰ）；（ⅱ）当为正整数时，．【解答】解：（1）由的导数，1x ∀…()()f x g x <lnx <=10x -> 0lnx >∴<()(1)2(1)G x x lnx x =+--1x >11()2x xlnx x G x lnx x x+-+'=+-=()1H x xlnx x =-+()0H x lnx '=>()H x ∴(1,)+∞()H x H ∴>0=()0G x >()G x ∴(1,)+∞()G x G ∴>0=(1)2(1)x lnx x +>-10x ->0lnx >112x x lnx -+<1x >112(1)x lnx x +<<-2121k x k +=-*k N ∈121()21k k ln k <<+-∴2111212221nnk k n nk k lnk ==<=++-∑∑2k (1)1218()21k k ln k >>=-+-∴2121117(1)(2)13()21388282821nnk k n n n n nk k ln lnk ==-+->+->+-=++-∑∑()(1)f x ln ax a =++()sin 2xg x bx π=+l ()y f x =(0(0))f ()y g x =(1g )a b ()1(0)1xf x x x x<-<>+n 211112nk k lnn k =-<-+∑…()f x ()1af x ax '=+的导数，则，，（1），（1），曲线在点，处的切线为，曲线在点，（1）处的切线为，即，依题意，得；证明：（2）（ⅰ），令，所以，当时，，所以单调递减，所以；令，则，所以单调递减，故，所以成立；（ⅱ）由（ⅰ），取得：，令，则，当时，．因此．又，故，所以当为正整数时，成立．20．（2021•新课标Ⅱ）已知函数．（1）讨论在区间的单调性；（2）证明：()g x ()cos22xg x b ππ'=+(0)f a =(0)f a '=g 1b =+g 'b =()y f x =(0(0))f y ax a =+()y g x =(1g )(1)1y b x b =-++1y bx =+1a b ==()1(1)f x ln x -=+()(1)1xh x ln x x=-++2211()(1)1(1)xh x x x x -'=-=+++(0,)x ∈+∞()0h x '<()h x ()(0)0h x h <=()(1)x ln x x ϕ=+-1()1011x x x x ϕ-'=-=<++()x ϕ()(0)0x ϕϕ<=(1)(0)1xln x x x x<+<>+1x n =111(11ln n n n<+<+211nn k kx lnn k ==-+∑112x =2n …1222111(10111(1)n n n n x x ln n n n n n n --=-+<-=-<+-++1112n n x x x -<<⋯<=(Tex translation failed)(Tex translation failed)111221111111()111(1)(1)n n n k k k k k k k k k k n ---===>-=--=-+>-+++∑∑∑…n 211112nk k lnn k =-<-+∑…2()sin sin 2f x x x =()f x (0,)π|()|f x …（3）设，证明：．【解答】解：（1），，令，解得，，或，当或，时，，当，时，，在，，上单调递增，在，上单调递减．证明：（2），由（1）可知，，，为周期函数且周期为，；（3）由，，，．．21．（2021•广州一模）已知函数，．（1）求函数在上的单调区间；（2）用，表示，中的最大值，为的导函数，设函数，，若在上恒成立，求实数的取值范围；（3）证明：．*n N ∈2222sin sin 2sin 4sin 2x x x ⋯34nnn x …23()sin sin 22sin cos f x x x x x ==22222()2sin (3cos sin )2sin (34sin )f x x x x x x ∴'=-=-222sin [32(1cos 2)]2sin (12cos 2)x x x x =--=+()0f x '=3x π=23x π=(0,)3x π∈2(3π)π()0f x '>(3x π∈23π()0f x '<()f x ∴(0,3π2(3π)π(3π2)3π(0)()0f f π== 2()3f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭极小值()3f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭极大值()max f x ∴=()min f x =()f x π|()|f x ∴…2222(sin sin 2sin 4sin 2x x x ⋯333332)|sin sin 2sin 4sin 2nx x x x =⋯⋯13sin 2n x -|n x 2333|sin ||sin sin 2sin 4sin 2x x x x =⋅⋯⋯12sin 2||sin 2n n x x -⋅|n x 12|sin ||()(2)(2)||sin 2n x f x f x f x -=⋅⋯⋅|n x 1|()(2)(2)|n f x f x f x -⋯ (2)222sin sin 2sin 4sin 2x x x ∴⋯233]4nnn n x =…32()(4)6x f x x e x x -=-+-1()(13g x a x lnx =---()f x (0,)+∞{max m }n m n ()f x '()f x (){()h x max f x ='()}g x ()0h x …(0,)+∞a 111113(*)12313ln n N n n n n n+++⋯++>∈++-。

9】第九讲数列与解析几何、点列问题

b 1 2 n ，且已知 P ， nN 0 ， 2 3 3 1 a n
（2）判断点 Pn n 2 与直线 l 的位置关系，并证明你的结论；（3）求点 Pn 的极限位置．【解法导析】：二问用数学归纳法解决相对来说比较合适，从题目中意思就可以感受出现猜测后通过数学归纳法证明．
第九讲数列与解析几何、点列问题一、考点演绎点列问题是数列问题与解析几何问题的综合，一个点的横，纵坐标分别是某两个不同数列的项，而这两个数列又由点所在的曲线建立了联系，从而数列的代数特征与曲线的几何性质紧密相关，就可以根据已知条件从数列和曲线两个角度利用所学过的知识进行演绎推理，得到所需要的结果．这类问题在近几年高考中经常出现，就是因为它的综合性较强，可以从数与形的两个角度考查理性思维能力，数学联结能力以及分析问题与解决问题的能力．二、例题精讲例 1．设曲线 c : y x ( x 0) 上的点为 P0 ( x 0 , y 0 ), 过 P0 作曲线 c 的切线与 x 轴交于 Q1，
xn1 4 x 2 ，注意到 x n 0 ，所以 x n 2 与 x n 1 2 异号 2 n1 xn1 1 xn1 1
由于 x1 1 2 ，所以 x2 2 ，以此类推，当 n 2k 1(k N ) 时， x n 2 ；
*
当 n 2k (k N ) 时， x n 2 ．
1 2 【详解】：（1）由 a b 0 ， 0 ，得： 3 3
2 1 3 1 3 3， b a 1 1 2 4 3 4 4 1 1 3
显然直线 l 的方程为 xy ． 1
3 1 3 1 4 1 4 4，（2）由 a a b 1 ， 1 ，得： b 2 2 ． 2 4 4 5 4 5 5 1 1 4

数列与解析几何交汇

《概率与统计》解答题通关1、随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”的证件之一.若某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，他需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试.在一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会（这5次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试；若5次都没有通过，则需重新报名），其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费.某驾校对以往2000个学员第1次参加科目二考试进行了统计，得到下表：若以上表得到的男、女学员第1次通过科目二考试的频率分别作为此驾校男、女学员每次通过科目二考试的概率，且每人每次是否通过科目二考试相互独立.现有一对夫妻同时在此驾校报名参加了驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止.（1）求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率；（2）若这对夫妻前2次参加科目二考试均没有通过，记这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为元，求的分布列与数学期望.2、某场以分期付款方式销售某种品，根据以往资料統计，顾客购买该高品选择分期付款的期数ξ的分布列为其中0<a<1,0<b<1(1)求购买该商品的3位顾客中,恰有2位选择分2期付款的概率；(2)商场销售一件该商品，若顾客选择分2期付款，则商场获得的利润为200元；若顾客选择分3期付款，则商场获得的利润为250元；若顾客选择分4期付款，则商场获得的利润为300元。

商场销售两件该商品所获得的利润记为X(单位:元)（1）求X的分布列；（2）若P(X≤500)≥0.8,求X的数学期望EX的最大值。

3、随着网络信息化的高速发展，越来越多的大中小企业选择做网络推广，为了适应时代的发展，某企业引进一种通讯系统，该系统根据部件组成不同，分为系统A和系统B，其中系统A由5个部件组成，系统B由3个部件组成，每个部件独立工作且能正常运行的概率均为p（0＜p＜1），如果构成系统的部件中至少有一半以上能正常运行，则称系统是“有效”的．（1）若系统A与系统B一样有效（总体有效概率相等），试求p的值；（2）若p＝对于不能正常运行的部件，称为坏部件，在某一次检测中，企业对所有坏部件都要进行维修，系统A中每个坏部件的维修费用均为100元，系统B中第n 个坏部件的维修费用y（单位：元）满足关系y＝50n+150（n＝1，2，3），记企业支付该通讯系统维修费用为X，求EX．4、甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪80元，每单提成4元；乙公司无底薪，40单以内（含40单）的部分每单提成6元，大于40单的部分每单提成7元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表乙公司送餐员送餐单数频数表（1）若将大于40单的工作日称为“繁忙日”，根据以上频数表能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“繁忙日”与公司有关？（2）若将频率视为概率，回答下列两个问题：①记乙公司送餐员日工资为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；②小王打算到甲、乙两家公司中的一家应聘，你会推荐小王去哪家？为什么？参考公式和数据：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)元／公斤，估计明年单价不变的可能性为10%，变为3.60元／公斤的可能性为60%，变为3.70元／公斤的可能性为30%．统计杂交稻B 的亩产数据，得到亩产的频率分布直方图如下；统计近10年来杂交稻B 的单价（单位：元/公斤）与种植亩数（单位：万亩）的关系，得到的10组数据记为(,)(1,2,10)i i x y i =L ，并得到散点图如下，参考数据见下．（1）估计明年常规稻A 的单价平均值；（2）在频率分布直方图中，各组的取值按中间值来计算，求杂交稻B 的亩产平均值；以频率作为概率，预计将来三年中至少有二年，杂交稻B 的亩产超过765公斤的概率；（3）判断杂交稻B 的单价y （单位：元/公斤）与种植亩数x （单位：万亩）是否线性相关？若相关，试根据以下的参考数据求出y 关于x 的线性回归方程；调查得知明年此地杂交稻B 的种植亩数预计为2万亩．若在常规稻A 和杂交稻B 中选择，明年种植哪种水稻收入更高？统计参考数据： 1.60x =， 2.82y =，101()()0.52i i i x x y y =--=-∑，1021()0.65i i x x =-=∑，附：线性回归方程ˆybx a =+，121()()()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑．6、某学校为调研学生在A ，B 两家餐厅用餐的满意度，从在A ，B 两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为60分．整理评分数据，将分数以10为组距分成6组：[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60]，得到A 餐厅分数的频率分布直方图和B 餐厅分数的频数分布表：B 餐厅分数频数分布表分数区间频数[0，10） 2[10，20） 3[20，30） 5[30，40）15[40，50）40[50，60] 35定义学生对餐厅评价的“满意度指数”如下：分数[0，30）[30，50）[50，60]满意度指数0 1 2（1）在抽样的100人中，求对A餐厅评价“满意度指数”为0的人数；（2）以频率估计概率，从该校在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取1人进行调查，试估计其对A餐厅评价的“满意度指数”比对B餐厅评价的“满意度指数”高的概率；（3）如果从A，B两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由．7、我市南澳县是广东唯一的海岛县，海区面积广阔，发展太平洋牡蛎养殖业具有得天独厚的优势，所产的“南澳牡蛎”是中国国家地理标志产品，产量高、肉质肥、营养好，素有“海洋牛奶精品”的美誉．根据养殖规模与以往的养殖经验，产自某南澳牡蛎养殖基地的单个“南澳牡蛎”质量（克）在正常环境下服从正态分布(32,16)N．（1）购买10只该基地的“南澳牡蛎”，会买到质量小于20g的牡蛎的可能性有多大？（2）2019年该基地考虑增加人工投入，现有以往的人工投入增量x （人）与年收益增量y模型①：由最小二乘公式可求得y 与x 的线性回归方程：ˆ 4.111.8yx =+；模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线：y a =的附近，对人工投入增量x 做变换，令t =，则y b t a =⋅+，且有772112.5,38.9,()()81.0,()3.8i i i i i t y t t y y t t ====--=-=∑∑．（i ）根据所给的统计量，求模型②中y 关于x 的回归方程（精确到0.1）；（ii ）根据下列表格中的数据，比较两种模型的相关指数2R ，并选择拟合精度更高、更附：若随机变量2(,)Z N μσ～，则(33)0.9974P Z μσμσ-<<+=，100.99870.9871≈；样本(,)(1,2,,)i i t y i n ⋯＝的最小二乘估计公式为：121()()ˆˆˆ,()nii i nii tt y y bay bt tt ==--==--∑∑，另，刻画回归效果的相关指数22121ˆ()1()niii nii y yR y y ==-=--∑∑8、某公司销售部随机抽取了1000名销售员1天的销售记录，经统计，其柱状图如图．该公司给出了两种日薪方案．方案1：没有底薪，每销售一件薪资20元；方案2：底薪90元，每日前5件的销售量没有奖励，超过5件的部分每件奖励20元．（1）分别求出两种日薪方案中日工资y （单位：元）与销售件数n 的函数关系式；（2）若将频率视为概率，回答下列问题：（Ⅰ）根据柱状图，试分别估计两种方案的日薪X （单位：元）的数学期望及方差；（Ⅱ）如果你要应聘该公司的销售员，结合（Ⅰ）中的数据，根据统计学的思想，分析选择哪种薪资方案比较合适，并说明你的理由．9、某健身机构统计了去年该机构所有消费者的消费金额（单位：元），如下图所示：（ 1）将去年的消费金额超过 3200 元的消费者称为“健身达人”，现从所有“健身达人”中随机抽取 2 人，求至少有 1 位消费者，其去年的消费金额超过 4000 元的概率；（ 2）针对这些消费者，该健身机构今年欲实施入会制，详情如下表：预计去年消费金额在 (0,1600]内的消费者今年都将会申请办理普通会员，消费金额在 (1600,3200]内的消费者都将会申请办理银卡会员，消费金额在 (3200,4800]内的消费者都将会申请办理金卡会员. 消费者在申请办理会员时，需一次性缴清相应等级的消费金额.该健身机构在今年底将针对这些消费者举办消费返利活动，现有如下两种预设方案：方案 1：按分层抽样从普通会员，银卡会员，金卡会员中总共抽取 25 位“幸运之星” 给予奖励: 普通会员中的“幸运之星”每人奖励 500 元；银卡会员中的“幸运之星”每人奖励 600 元；金卡会员中的“幸运之星”每人奖励 800 元.方案 2：每位会员均可参加摸奖游戏，游戏规则如下：从一个装有 3 个白球、 2 个红球（球只有颜色不同）的箱子中，有放回地摸三次球，每次只能摸一个球.若摸到红球的总数消费金额/元为 2，则可获得 200 元奖励金；若摸到红球的总数为 3，则可获得 300 元奖励金；其他情况不给予奖励. 规定每位普通会员均可参加 1 次摸奖游戏；每位银卡会员均可参加 2 次摸奖游戏；每位金卡会员均可参加 3 次摸奖游戏（每次摸奖的结果相互独立） . 以方案 2 的奖励金的数学期望为依据，请你预测哪一种方案投资较少？并说明理由.10、某产品年末搞促销活动，由顾客投掷4枚相同的、质地均匀的硬币，若正面向上的硬币多于反面向上的硬币，则称该次投掷“顾客胜利”．顾客每买一件产品可以参加3次投掷活动，并且在投掷硬币之前，可以选择以下两种促销方案之一，获得一定数目的代金券．方案一：顾客每投掷一次，若该次投掷“顾客胜利”，则顾客获得代金券万元，否则该次投掷不获奖；方案二：顾客获得的代金券金额和参加的3次投掷活动中“顾客胜利”次数关系如表：获得代金券金额（万元） 0“顾客胜利”次数123（1）求顾客投掷一次硬币，该次投掷“顾客胜利”的概率；（2）若某公司采购员小翁为公司采购很多件该产品，请从统计的角度来分析，小翁该采取哪种奖励方案？11、在一次高三年级统一考试中，数学试卷有一道满分10分的选做题，学生可以从A ，B 两道题目中任选一题作答．某校有900名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，计划从900名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本，为此将900名考生选做题的成绩按照随机顺序序依次编号为001－900.（1)若采用随机数表法抽样，并按照以下随机数表，以方框内的数字5为起点，从左向右依次读取数据，每次读取三位随机数，一行读数用完之后接下一行左端．写出样本编号的中位数；（2）若采用系统抽样法抽样，且样本中最小编号为008，求样本中所有编号之和； (3)若采用分层抽样，按照学生选择A 题目或B 题目，将成绩分为两层，且样本中A.题目的成绩有8个，平均数为7，方差为4；样本中B 题目的成绩有2个，平均数为8,方差为1.用样本估计900名考生选做题得分的平均数与方差．12. 在2018年中秋节到来之际，某超市为了解中秋节期间月饼的销售量，对其所在销售范围内的1000名消费者在中秋节期间的月饼购买量（单位：g ）进行了问卷调查，得到如下频率分布直方图：（1）求频率分布直方图中a 的值；（2）已知该超市所在销售范围内有20万人，并且该超市每年的销售份额约占该市场总量的5%，请根据人均月饼购买量估计该超市应准备多少吨月饼恰好能满足市场需求？（3）由频率分布直方图可以认为，该销售范围内消费者的月饼购买量Z 服从正态分布2(,)N μσ，其中样本平均数x 作为μ的估计值，样本标准差s 作为σ的估计值，设X 表示从该销售范围内的消费者中随机抽取10名，其月饼购买量位于(781,1635)g g 的人数．求X 的数学期望．附：经计算得427s =≈，若随机变量Z 服从正态分布2(,)N μσ，则()P Z μσμσ-<<+ 0.6827,(22)0.9545P X μσμσ<=-<+=．13、某部门在同一上班高峰时段对甲、乙两地铁站各随机抽取了50名乘客，统计其乘车等待时间（指乘客从进站口到乘上车的时间，乘车等待时间不超过40分钟）．将统计数据按[5,10),[10,15),[15,20),,[35,40]L 分组，制成频率分布直方图：假设乘客乘车等待时间相互独立．（Ⅰ）在上班高峰时段，从甲站的乘客中随机抽取1人，记为A ；从乙站的乘客中随机抽取1人，记为B .用频率估计概率，求“乘客A ,B 乘车等待时间都小于20分钟”的概率；（Ⅱ）从上班高峰时段,从乙站乘车的乘客中随机抽取3人，X 表示乘车等待时间小于20分钟的人数，用频率估计概率，求随机变量X 的分布列与数学期望.14、改革开放40年来，体育产业蓬勃发展反映了“健康中国”理念的普及．下图是我国2006年至2016年体育产业年增加值及年增速图．其中条形图为体育产业年增加值（单位：亿元），折线图为体育产业年增长率（％）．乘车等待时间（分钟）乙站O400.048O405101520253035频率/组距0.036甲站频率/组距乘车等待时间（分钟）3530252015105（Ⅰ）从2007年至2016年随机选择1年，求该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增加值多500亿元以上的概率；（Ⅱ）从2007年至2016年随机选择3年，设X 是选出的三年中体育产业年增长率超过20%的年数，求X 的分布列与数学期望；（Ⅲ）由图判断，从哪年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大？从哪年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大？（结论不要求证明）15、随着经济全球化、信息化的发展，企业之间的竞争从资源的争夺转向人才的竞争．吸引、留住培养和用好人才成为人力资源管理的战略目标和紧迫任务．在此背景下，某信息网站在15个城市中对刚毕业的大学生的月平均收入薪资和月平均期望薪资做了调查，数据如下图所示．（Ⅰ）若某大学毕业生从这15座城市中随机选择一座城市就业，求该生选中月平均收入薪资高于8500元的城市的概率；（Ⅱ）现有2名大学毕业生在这15座城市中各随机选择一座城市就业，且2人的选择相互独立．记X 为选中月平均收入薪资高于8500元的城市的人数，求X 的分布列和数学期望()E X ；（Ⅲ）记图中月平均收入薪资对应数据的方差为21s ，月平均期望薪资对应数据的方差为22s ，判断21s 与22s 的大小．（只需写出结论）16、据《人民网》报道，“美国国家航空航天局( NASA)发文称，相比20年前世界变得更绿色了.卫星资料显示中国和印度的行动主导了地球变绿．”据统计，中国新增绿化面积的42%来自于植树造林，下表是中国十个地区在2017年植树造林的相关数据．（造林总面积为人工造林、飞播造林、新封山育林、退化林修复、人工更新的面积之和）人工造林飞播造林新封山育林退化林修复人工更新内蒙 618484 311052 74094 136006 90382 6950河北 583361 345625 33333 135107 65653 3643河南 149002 97647 13429 22417 15376 133重庆 226333 100600 62400 63333陕西 297642 ， 184108 33602 63865 16067甘肃 325580 260144 57438 7998新疆 263903 118105 6264 126647 10796 2091青海 178414 16051 159734 2629宁夏 91531 58960 22938 8298 1335北京 19064 10012 4000 3999 1053(I)请根据上述数据分别写出在这十个地区中人工造林面积与造林总面积的比值最大和最小的地区；(Ⅱ)在这十个地区中，任选一个地区，求该地区人工造林面积占造林总面积的比值超过50%的概率是多少？(Ⅲ)在这十个地区中，从新封山育林面积超过五万公顷的地区中，任选两个地区，记X为这两个地区中退化林修复面积超过六万公顷的地区的个数，求X的分布列及数学期望．17、某大型企业为鼓励员工利用网络进行营销，准备为员工办理手机流量套餐.为了解员工手机流量的使用情况，通过抽样，得到100位员工每人手机月平均使用流量L(单位:M)的数据，其频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）从该企业的员工中随机抽取3人，求这3人中至多有1人手机月流量不超过900M的概率；（Ⅱ）据了解，某网络运营商推出两款流量套餐，详情如下：套餐名称月套餐费(单位:元) 月套餐流量(单位: M)A 20 700B 30 1000流量套餐的规则是：每月1日收取套餐费.如果手机实际使用流量超出套餐流量，则需要购买流量叠加包，每一个叠加包(包含200M的流量)需要10元，可以多次购买，如果当月流量有剩余，将会被清零.该企业准备订购其中一款流量套餐，每月为员工支付套餐费，以及购买流量叠加包所需月费用．若以所需费用的数学期望为决策依据，该企业订购哪一款套餐更经济？A B C D四所高中校按各校人18、在某区“创文明城区”（简称“创城”）活动中，教委对本区,,,数分层抽样调查，将调查情况进行整理后制成下表：（注：参与率是指：一所学校“创城”活动中参与的人数与被抽查人数的比值）假设每名高中学生是否参与“创城”活动是相互独立的.（Ⅰ）若该区共2000名高中学生，估计A学校参与“创城”活动的人数；（Ⅱ）在随机抽查的100名高中学生中，从,A C两学校抽出的高中学生中各随机抽取1名学生，求恰有1人参与“创城”活动的概率；（Ⅲ）若将上表中的参与率视为概率，从A学校高中学生中随机抽取3人，求这3人参与“创城”活动人数的分布列及数学期望.19、某不透明纸箱中共有4个小球，其中1个白球，3个红球，它们除颜色外均相同．（Ⅰ）一次从纸箱中摸出两个小球，求恰好摸出2个红球的概率；（Ⅱ）每次从纸箱中摸出一个小球，记录颜色后放回纸箱，这样摸取4次，记得到红球的次数为ξ，求ξ的分布列；（Ⅲ）每次从纸箱中摸出一个小球，记录颜色后放回纸箱，这样摸取100次，得到几次红球的概率最大？只需写出结论．20、国际上常用恩格尔系数（食品支出总额占个人消费支出总额的比重）反映一个国家或家庭生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高.联合国根据恩格尔系数的大小，对世界各国的生活质量有一个划分标准如下：（Ⅰ）从以上五个家庭中随机选出一个家庭，求该家庭在2008年和2018年都达到了“富裕” 或更高生活质量的概率；(Ⅱ) 从以上五个家庭中随机选出三个家庭，记这三个家庭在2018年达到“富裕”或更高生活质量的个数为X ，求X 的分布列；(Ⅲ) 如果将“贫穷”，“温饱”，“小康”，“相对富裕”，“富裕”，“极其富裕”六种生活质量分别对应数值：0，1，2，3，4，5. 请写出A ，B ，C ，D ，E 五个家庭在以上五个年份中生活质量方差最大的家庭和方差最小的家庭（结论不要求证明）.21、为培养学生的阅读习惯，某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动. 活动后，为了解阅读情况，学校统计了甲、乙两组各10名学生的阅读量（单位：本），统计结果用茎叶图记录如下，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以a 表示.（Ⅰ）若甲组阅读量的平均值大于乙组阅读量的平均值，求图中a 的所有可能取值；（Ⅱ）将甲、乙两组中阅读量超过．．15本的学生称为“阅读达人”. 设3a ，现从所有“阅读达人”里任取3人，求其中乙组的人数X 的分布列和数学期望.（Ⅲ）记甲组阅读量的方差为20s . 在甲组中增加一名学生A 得到新的甲组，若A 的阅读量为10，则记新甲组阅读量的方差为21s ；若A 的阅读量为20，则记新甲组阅读量的方差为22s ，试比较20s ，21s ，22s 的大小.（结论不要求证明）22、2020年我国全面建成小康社会，其中小康生活的住房标准是城镇人均住房建筑面积30平方米. 下表为2007年—2016年中，我区城镇和农村人均住房建筑面积统计数据. 单位：平方米. （Ⅰ）现从上述表格中随机抽取连续两年数据，求这两年中城镇人均住房建筑面积增长不少于2平方米的概率；（Ⅱ）在给出的10年数据中，随机抽取三年，记X 为同年中农村人均住房建筑面积超过城镇人均住房建筑面积4平方米的年数，求X 的分布列和数学期望()E X ；（Ⅲ）将城镇和农村的人均住房建筑面积经四舍五入取整后作为样本数据．记2012—2016年中城镇人均住房面积的方差为21s ，农村人均住房面积的方差为22s ，判断21s 与22s 的大小．（只需写出结论）.23、苹果是人们日常生活中常见的营养型水果.某地水果批发市场销售来自5个不同产地的富士苹果，各产地的包装规格相同，它们的批发价格（元/箱）和市场份额如下：产地 A B C D E批发价格 150160 140 155 170 市场份额15% 10% 25% 20% 30%市场份额亦称“市场占有率”.指某一产品的销售量在市场同类产品中所占比重.（Ⅰ）从该地批发市场销售的富士苹果中随机抽取一箱，估计该箱苹果价格低于160元的概率；（Ⅱ）按市场份额进行分层抽样，随机抽取20箱富士苹果进行检验， ①从产地,A B 共抽取n 箱,求n 的值；②从这n 箱中随机抽取三箱进行等级检验，随机变量X 表示来自产地B 的箱数，求X 的分布列和数学期望.（Ⅲ）产地F 的富士苹果明年将进入该地市场，定价160元/箱，并占有一定市场份额，原有五个产地的苹果价格不变，所占市场份额之比．不变（不考虑其他因素）.设今年苹果的平均批发价为每箱1M 元，明年苹果的平均批发价为每箱2M 元，比较12,M M 的大小.（只需写出结论）24、某机构对A 市居民手机内安装的“APP ”(英文Application 的缩写，一般指手机软件)的个数和用途进行调研，在使用智能手机的居民中随机抽取了100人，获得了他们手机内安装APP 的个数，整理得到如图所示频率分布直方图：（Ⅰ）从A 市随机抽取一名使用智能手机的居民，试估计该居民手机内安装APP 的个数不低于30的概率；（Ⅱ）从A 市随机抽取3名使用智能手机的居民进一步做调研，用X 表示这3人中手机内安装APP 的个数在[20,40)的人数．①求随机变量X 的分布列及数学期望； ②用Y 1表示这3人中安装APP 个数低于20的人数，用Y 2表示这3人中手机内安装APP 的个数不低于40的人数．试比较EY 1和EY 2的大小．(只需写出结论)25.某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费2000元；方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1000元.某医院准备一次性购买2台这种机器。

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最长弦长为
an
，若公差
d
(
1 3
,
1 5
)
，那么
n
的取值集合为
．
【分析】先由圆的几何性质，最短时该点与圆心的连线与所在直线垂直，最长时则该直线过圆心，即圆
的直径．从而求得首项和末尾项，再由公差的范围求解．
【解析】圆 x2 y2 10x 2y 1 0 即为 (x 5)2 ( y 1)2 25 ，圆心为 (5,1) ，半径为 5，则最长的弦长为直径，
C2 ，过一点 P2 作 C2 的两条切线，切点分别为 A2 ， B2 且满足
A2P2B2 60 ，记 P2 的轨迹为 C3 ，按上述规律一直进行下去，
设点
An
与
An 1
之间距离的最小值为
an
，且
Sn
为数列
1 an
的前
n
项
和，则满足
|
Sn
2
|
1 100
的最小的
l
对称，
P1P2
两点连线的斜率是
4 5
2 3
1
，
直线 l 的斜率是 1 ，直线 l 过点 (4,3)
直线 l 的方程是 y 3 1(x 4) ，即直线 l 的方程是 x y 7 0 ，
故选 C ．
【小结】本题根据所给的两个数列，写出数列中出现的字母，即得到两个点的坐标，根据要求的直线与
同理可得： an
|
An An1
|max 2n1
2n
．可得
1 an
．
可得数列{ 1 }
an
的前 n
项和
Sn
，代入 |
Sn
2 3
|
1 3 2n1
1 100
，
由此能求出 n ．
【解析】设 P1(x, y) ，则 | OP1 | 2 | OA1 | 2 ，可得方程 C2 : x2 y2 4 ．同理可得 P2 的方程 C3 为： x2 y2 16 ．设 A1(cos ,sin ) ， A2 (2 cos , 2sin ) | A1A2 | (cos 2cos )2 (sin 2sin )2 5 4cos( )3 1 2 ，同理可得： an | An An1 |max 2n1 2n ．
1 an
1 2n1 2n
1 3 2n1
．
数列
{
1 an
}
的前
n
项和
S
n
1
1
1 2n
3 1 1
2 3
(1
1 2n
)
，
2
则满足 |
Sn
2 3
|
1 3 2n1
1 100
，解得 n 7
．故选 C
．
例题 4．在圆 x2 y2 10x 2y 1 0 内，过点 (2,1) 有 n 条弦的长度成等差数列，最短弦长为数列的首项 a1 ，
即 an 10 ，
最短弦长为 2
52
32
8 ，即 a1
8，d
an a1 n 1
2，
n 1
公差
d
(1 , 3
1) 5
，
1 3
n
2 1
1 5
，3
n
1 2
5
，即
7
n
11 ，
n 为 8，9，10，故 n 的取值集合为{8 ，9，10} ，
故答案为：{8 ，9，10} ．
【小结】本题主要考查了圆的几何性质，最长弦与最短弦的求法，还考查了等差数列的通项公式及不等式问题，体现了知识间的渗透，应用了转化思想．
n
为
A．5
B．6
C．7
D．8
【分析】设 P1(x, y) ，则 | OP1 | 2 | OA1 | 2 ，可得方程 C2 : x2 y2 4 ．同理可得 P2 的方程 C3 为：x2 y2 16 ．设
A1(cos ,sin ) ， A2 (2 cos , 2sin ) ，可得
| A1A2 | (cos 2cos )2 (sin 2sin )2 5 4cos( )3 1 2 ，
B． x y 1 0
C． x y 7 0
D． 2x y 5 0
【解析】1 ， x1 ， x2 ，7 依次成等差数列， x1 3 ， x2 5
1 ， y1 ， y2 ，8 依次成等比数列，
y1 2 ， y2 4 ， P1(3, 2) ， P2 (5, 4)
P1
，
P2
两点关于直线
三、“数列”与“椭圆”相处
例题
5．椭圆
x2 4
y2 3
1 上有 n 个不同的点
P1 ，P2 ，P3 ，Pn
，椭圆右焦点
F
，数列{| Pn F
|} 是公差大于
1 2019
的等差数列，则 n 的最大值为 ( )
A．4036
B．4037
C．4038
D．4039
【分析】由椭圆方程求出 a 、b 、c 、 e 的值，再求出右焦点的坐标、右准线的方程，设 P(xn ， yn ) ，根据
数列与解析几何交汇题型总结
在知识网络交汇点设计创新型能力题是高考命题的必然趋势，这些问题的设计新颖，富有美感，是考查学生数学能力的重要载体.数列与解析几何有机地结合在一起，体现了数列的综合性强、立意新、难度大的特点，本文通过对数列与直线、圆、圆锥曲线的交汇，探讨数列问题在解析几何中如何体现其强大的考查能力，以及如何高效、快速处理该类问题.
圆锥曲线的统一定义、题意，列出 x1 、 xn 的不等式，再利用椭圆上点的横坐标范围，解之即可得到 n 的
取值范围，从而得出 n 的最大值．
【解析】由椭圆 x2 y2 1 得， a 2 、 b 3 、 c 1，
43
所以右焦点为 F(1,0) ，离心率 e 1 ，
D．78
【分析】由点
(n
， an )(n
N*)
在直线
l
:
(mBiblioteka 3)x(2m4) y
m
9
0
上，可得
an
m3 2m 4
n
m9 2m 4
，即可得到
数列{an} 的前 13 项和．
二、“数列”与“圆”相处
例题 3．已知曲线 C1 的方程为 x2 y2 1，过平面上一点 P1 作 C1 的
两条切线，切点分别为 A1 ， B1 且满足 A1P1B1 60 ，记 P1 的轨迹为
一、“数列”与“直线”相处
例题 1．取直角坐标系内 P1(x1 ， y1) ， P2 (x2 ， y2 ) 两点，使 1， x1 ， x2 ，7 依次成等差数列，1， y1 ， y2 ，8
依次成等比数列，若 P1 ， P2 两点关于直线 l 对称，则直线 l 的方程为 ( )
A． x y 1 0
这两个点的连线垂直，求出直线 l 的斜率，又根据直线过两点连线的中点，根据点斜式写出方程．
例题 2．已知数列{an} ，定直线 l : (m 3)x (2m 4) y m 9 0 ，若 (n, an ) 在直线 l 上，则数列{an} 的前 13 项和为 ( )
A．10
B．21
C．39