第3章 解题指导(理论力学 金尚年 第二版)
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2
2
（ 6）
1 c 1 4 c1 2 2 ( ) 4a 2h 2a
由（5）、（6）式可得
2 2
（ 5）
c1 0 代回（4）式，得：
du 1 c 4 u c1 2 2au u 2 2 u （ 4） d 4a 2 4h 2 2
du 1 2 u u 4a 2 2ad
r
解： 如图所示，α 粒子运动中 受重核静电斥力作用下其速度 随时间改变,到达A点时与重核 距离最近（rs ）。根据角动量 （对力心O）守恒
m
d
rs
M
rs s r0 0
或
rs s d 0
（ 1）
rs s d 0
由机械能守恒，有:
2 1 2 Ze 1 2 2 m s k m0 2 rs 2
r r0 e
其中
k a 2 h2 h
r0 e
k
（4 ）
,可见质点的轨迹为对数螺线。
k
kr0 e r
h k r
h 2 r
h k r r
2 h h k 2 r k 2 3 r r r
故质点所受的中心力为:
（7）式为半径为a的圆，力心 在圆周上，如图所示。
由（1）和（2）式得:
a 2 h 2 dr dr h r r d d r 2
a 2 h 2 dr dr h r r d d r 2
即 设θ=0时，r
dr r
a 2 h2 d h
（3 ）
r0，积分（3）式，得质点轨迹方程：
a 2 h2 h
（2）例题 例1. 一质点在中心势场中运动，力的大小为F=F(r), a (a 0) ，求质点的轨道方程及所 质点的速率为 r 受的中心力。 解：取图所示的极坐标，根据角动量守恒
mh mr
2
a 由 r
h 2 r
，有: （2 ）
2 a 2 2 r 2 2 r r2
2 2 0
代入实验数据可算出 rs 10 m ，与后来对原 子核半径的测量值在数量级上相符。
本例是著名的α粒子散射实验的原理。1911年， 卢瑟福（Rutherford）在研究α粒子散射实验基础上， 提出了原子的有核模型，为原子结构和原子核的研 究奠定了基础。
15
例3 质点所受的中心力为 F mc / r 5 , 若质点在 ro=2a，θ=0处以速率 o c 2 4a 2 沿垂直于极轴 方向抛出。求质点的运动轨道及运动规律。
第三章
两体问题
解题指导
一、本章习题的类型和基本解法 常见的习题类型有两种： 1、粒子在中心势场V=V(r)中运动问题的计算
通常给定中心势（一般为 ），求轨 道方程及其形状、轨道稳定条件、粒子运动情况以 及其他有关的物理量。
V
a r
基本解法：应用动力学方程、角动量守恒定律和机 械能守恒定律即可求得所要求的量。
或
1 d( ) r 1 1 2 1 2 ( ) ( ) r r 2a
2ad
du 1 u u 4a 2
2
2ad
1 d( ) r 1 1 2 1 ( ) ( )2 r r 2a
2ad
积分上式并代入初始条件： 可得轨道方程：
0
时
r 2a
，
r 2a cos
（ 7）
解：（1）求运动轨道 将
F mc / r mcu
5
5
2 d u m 2 代入比耐公式: u ( u) 2 F ( u ) 2 d L
令： L
mh
（ 1）
d 2u c 3 u u d 2 h2
d 2u c 3 u u d 2 h2
（ 1）
d 2u d du d du du d ( ) ( ) （ 2） 2 d d d du d d du
dr 0 du
2
（ 4）
沿垂直于极 轴方向抛出
0 0 而 r
d du 0 0 ( )0 0 dt d
可定出： c 1 c ( 1 ) 4 1 2 2
4a
2h
2a
（ 5）
由初速度 0 c 2 4a 2 ，可知：
m0 2a L mh
c 8a h
二、碰撞问题的计算
通常是已知碰撞前粒子的运动情况和相互作用 势V（r），求碰撞后粒子的运动变化（如碰撞后运 动的速度大小与方向）和散射情况（散射分布） 基本解法： ①分清碰撞前、碰撞过程和碰撞后三个阶段；
②碰撞前后两个阶段可应用动量定理、质心运动定 理、动量矩定理、动能定理和恢复系数公式；
③在碰撞过程阶段只能用积分形式的动量定理（或 质心运动定理）和动量矩定理，不能用动能定理 （因碰撞力的功很难计算）
（ 1）
（2 ）
（为何不考虑初始位置 处的 r 2 0 静电势能 k 2 Ze ？）
r0
由（1）、（2）式，得:
r
2 s
m
d
rs
M
Ze 2 4k r d 0 s 2 m 0
2
2 m0 d 2 2kZe2 rs [1 1 ( ) ] 2 2 m0 2kZe
（舍去负根）
m d 2 2kZe rs [1 1 ( ) ] 2 2 m0 2kZe
2 r ) F (r ) m( r
h h ma m(k 3 r 4 ) 3 r r r
2
2
2
2
例2. 设α 粒子的质量为m，电荷为2e，从远处以速度 0 向一个质量为M，电荷为Ze的重原子核（金、铂 等）射来。重核与矢量 0 的垂直距离为d（称为瞄准 距离）。设M >> m，重核可近似看成是静止的。试求 α 粒子与重核的最近距离 s 。
du 式中： d
（ 3）
将（2）代入（1）式得：
c 3 d ( 2 u u)du h 2 c1 积分得： 2 c 4 u
2 4h
2
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u
2
2
（ 4）
c 4 u 2 c1 2u 2 2 2 4h 由初始条件：t=0时， r0 2a, 0
1 u0 , 0 0 2a dr dr du d r dt du d dt
2
（ 6）
1 c 1 4 c1 2 2 ( ) 4a 2h 2a
由（5）、（6）式可得
2 2
（ 5）
c1 0 代回（4）式，得：
du 1 c 4 u c1 2 2au u 2 2 u （ 4） d 4a 2 4h 2 2
du 1 2 u u 4a 2 2ad
r
解： 如图所示，α 粒子运动中 受重核静电斥力作用下其速度 随时间改变,到达A点时与重核 距离最近（rs ）。根据角动量 （对力心O）守恒
m
d
rs
M
rs s r0 0
或
rs s d 0
（ 1）
rs s d 0
由机械能守恒，有:
2 1 2 Ze 1 2 2 m s k m0 2 rs 2
r r0 e
其中
k a 2 h2 h
r0 e
k
（4 ）
,可见质点的轨迹为对数螺线。
k
kr0 e r
h k r
h 2 r
h k r r
2 h h k 2 r k 2 3 r r r
故质点所受的中心力为:
（7）式为半径为a的圆，力心 在圆周上，如图所示。
由（1）和（2）式得:
a 2 h 2 dr dr h r r d d r 2
a 2 h 2 dr dr h r r d d r 2
即 设θ=0时，r
dr r
a 2 h2 d h
（3 ）
r0，积分（3）式，得质点轨迹方程：
a 2 h2 h
（2）例题 例1. 一质点在中心势场中运动，力的大小为F=F(r), a (a 0) ，求质点的轨道方程及所 质点的速率为 r 受的中心力。 解：取图所示的极坐标，根据角动量守恒
mh mr
2
a 由 r
h 2 r
，有: （2 ）
2 a 2 2 r 2 2 r r2
2 2 0
代入实验数据可算出 rs 10 m ，与后来对原 子核半径的测量值在数量级上相符。
本例是著名的α粒子散射实验的原理。1911年， 卢瑟福（Rutherford）在研究α粒子散射实验基础上， 提出了原子的有核模型，为原子结构和原子核的研 究奠定了基础。
15
例3 质点所受的中心力为 F mc / r 5 , 若质点在 ro=2a，θ=0处以速率 o c 2 4a 2 沿垂直于极轴 方向抛出。求质点的运动轨道及运动规律。
第三章
两体问题
解题指导
一、本章习题的类型和基本解法 常见的习题类型有两种： 1、粒子在中心势场V=V(r)中运动问题的计算
通常给定中心势（一般为 ），求轨 道方程及其形状、轨道稳定条件、粒子运动情况以 及其他有关的物理量。
V
a r
基本解法：应用动力学方程、角动量守恒定律和机 械能守恒定律即可求得所要求的量。
或
1 d( ) r 1 1 2 1 2 ( ) ( ) r r 2a
2ad
du 1 u u 4a 2
2
2ad
1 d( ) r 1 1 2 1 ( ) ( )2 r r 2a
2ad
积分上式并代入初始条件： 可得轨道方程：
0
时
r 2a
，
r 2a cos
（ 7）
解：（1）求运动轨道 将
F mc / r mcu
5
5
2 d u m 2 代入比耐公式: u ( u) 2 F ( u ) 2 d L
令： L
mh
（ 1）
d 2u c 3 u u d 2 h2
d 2u c 3 u u d 2 h2
（ 1）
d 2u d du d du du d ( ) ( ) （ 2） 2 d d d du d d du
dr 0 du
2
（ 4）
沿垂直于极 轴方向抛出
0 0 而 r
d du 0 0 ( )0 0 dt d
可定出： c 1 c ( 1 ) 4 1 2 2
4a
2h
2a
（ 5）
由初速度 0 c 2 4a 2 ，可知：
m0 2a L mh
c 8a h
二、碰撞问题的计算
通常是已知碰撞前粒子的运动情况和相互作用 势V（r），求碰撞后粒子的运动变化（如碰撞后运 动的速度大小与方向）和散射情况（散射分布） 基本解法： ①分清碰撞前、碰撞过程和碰撞后三个阶段；
②碰撞前后两个阶段可应用动量定理、质心运动定 理、动量矩定理、动能定理和恢复系数公式；
③在碰撞过程阶段只能用积分形式的动量定理（或 质心运动定理）和动量矩定理，不能用动能定理 （因碰撞力的功很难计算）
（ 1）
（2 ）
（为何不考虑初始位置 处的 r 2 0 静电势能 k 2 Ze ？）
r0
由（1）、（2）式，得:
r
2 s
m
d
rs
M
Ze 2 4k r d 0 s 2 m 0
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2 m0 d 2 2kZe2 rs [1 1 ( ) ] 2 2 m0 2kZe
（舍去负根）
m d 2 2kZe rs [1 1 ( ) ] 2 2 m0 2kZe
2 r ) F (r ) m( r
h h ma m(k 3 r 4 ) 3 r r r
2
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2
例2. 设α 粒子的质量为m，电荷为2e，从远处以速度 0 向一个质量为M，电荷为Ze的重原子核（金、铂 等）射来。重核与矢量 0 的垂直距离为d（称为瞄准 距离）。设M >> m，重核可近似看成是静止的。试求 α 粒子与重核的最近距离 s 。
du 式中： d
（ 3）
将（2）代入（1）式得：
c 3 d ( 2 u u)du h 2 c1 积分得： 2 c 4 u
2 4h
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u
2
2
（ 4）
c 4 u 2 c1 2u 2 2 2 4h 由初始条件：t=0时， r0 2a, 0
1 u0 , 0 0 2a dr dr du d r dt du d dt