二次根式乘除练习题解析
考点02二次根式乘除(解析版)
考点02二次根式乘除（解析版）点考点02二次根式的乘除一．共选择题〔共12小题〕1．〔2022·黑龙江齐齐哈尔市·九年级一模〕以下运算正确的选项是〔〕A．223222B．42aaa C．222()ababD．1052【答案】A【分析】利用幂的运算，同底数幂的除法法那么，完全平方公式，二次根式的除法运算法那么计算出正确答案即可判断．【解析】A、223224482，正确，符合题意；B、422aaa，原计算错误，不符合题意；C、222()2abaabb，原计算错误，不符合题意；D、1052，原计算错误，不符合题意；应选：A．【点睛】此题考查了同底数幂的除法，完全平方公式，二次根式的除法，熟记相关的运算法那么是解答此题的关键．2．〔2022·浙江杭州市·八年级其他模拟〕以下各式中，计算正确的选项是〔〕A．2(3)3B．5315C．164D．945【答案】B【分析】根据算术平方根的定义，二次根式的乘除法分别判断即可．【解析】解：A、2(3)3，故错误，不符合题意；B、5315，故正确，符合题意；C、164，故错误，不符合题意；D、94321，故错误，不符合题意；应选B．【点睛】此题考查了算术平方根，二次根式的性质以及乘除法，解题的关键是明确它们各自的计算方法．3．〔2022·福建省福州屏东中学八年级期中〕设ab0>>，2240abab，那么abba的值是〔〕A．2B．-3C．2D．3【答案】D【分析】由2240abab可得2()6abab，2()2abab，然后根据0ab求得ab和ab的值，代入即可求解．【解析】∵2240abab，即224abab，∴2()6abab，2()2abab，∵0ab，∴6abab，2abab，∴ababbaab632abab，应选：D．【点睛】此题考查了求分式的值以及二次根式的除法运算，正确运用完全平方公式是解题的关键．4．〔2022·四川成都市·天府七中八年级月考〕以下二次根式中，最简二次根式是〔〕．A．12B．0.5C．50D．5【答案】D【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否那么就不是．【解析】A选项：1222，故不是最简二次根式；B选项：120.522，故不是最简二次根式；C选项：5025252，故不是最简二次根式；D选项：5不能继续化简，故是最简二次根式．应选D．【点睛】考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：〔1〕被开方数不含分母；〔2〕被开方数不含能开得尽方的因数或因式．5．〔2022·四川成都市·北大附中成都为明学校八年级期中〕估计26的大小应〔〕A．在2～3之间B．在3～4之间C．在4～5之间D．在5～6之间【答案】C【分析】先根据二次根式的乘法法那么可知26＝24，再由16＜24＜25，利用算术平方根的性质可得4＜24＜5，可得结果．【解析】解：∵26＝24，16＜24＜25，∴4＜24＜5，即4＜26＜5，应选：C．【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，熟练掌握算术平方根的性质及二次根式的乘法法那么是解答此题的关键．6．〔2022·上海浦东新区·八年级期中〕以下属于最简二次根式的是〔〕A．ab B．2abC．13D．98【答案】A【分析】根据二次根式的性质和最简二次根式的定义判断即可；【解析】解：A、它是最简二次根式，故本选项符合题意；B、被开方数中含有能开得尽方的因式，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；C、被开方数中含有分母，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；D、被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；应选：A．【点睛】此题主要考查了最简二次根式的判定，准确分析判断是解题的关键．7．〔2022·山东菏泽市·〕以下根式是最简二次根式是〔〕A．13B．20C．30D．121【答案】C【分析】直接根据最简二次根式的条件进行排除选项即可．【解析】A、1333，故不符合题意；B、2025，故不符合题意；C、30符合最简二次根式的条件，故符合题意；D、12111，故不符合题意；应选C．【点睛】此题主要考查最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的条件是解题的关键．8．〔2022·上海浦东新区·上外浦东附中八年级期中〕以下二次根式中，最简二次根式是〔〕A．12某B．9某C．abb D．25某y【答案】B【分析】最简二次根式应满足的条件：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数不能含有开方开的尽的因数和因式．【解析】解：A、不符合上述条件②，即12某＝23某，故不是最简二次根式；B、符合上述条件，故是最简二次根式；C、不符合上述条件①，即abb＝2||aabb，故不是最简二次根式；D、不符合上述条件②，即25某y＝|某|5y，故不是最简二次根式．应选B．【点睛】此题考查了最简二次根式应满足的条件：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数和因式．9．〔2022·上海闵行区·八年级期中〕以下二次根式中，最简二次根式是〔〕A．22ab B．27C．32aab D．0.5a【答案】A【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即可得．【解析】A、22ab是最简二次根式，此项符合题意；B、2733不是最简二次根式，此项不符题意；C、322aabaabaab不是最简二次根式，此项不符题意；D、20.522aaa不是最简二次根式，此项不符题意；应选：A．【点睛】此题考查了最简二次根式，熟记定义是解题关键．10．〔2022·海南华侨中学九年级期中〕计算25的结果是〔〕A．5B．10C．25D．10【答案】A【分析】根据二次根式的乘方运算进行计算．【解析】解：25=5．应选：A．【点睛】此题考查二次根式的计算，解题的关键是掌握二次根式的计算方法．11．〔2022·宁波市第七中学八年级期末〕计算22的结果是〔〕A．2B．22C．1D．2【答案】D【分析】由于22表示222，根据乘法运算即可求出结果．【解析】解：22=222=2，应选：D．【点睛】此题主要考查分母有理化，分母有理化常常是乘二次根式本身〔分母只有一项〕或与原分母组成平方差公式．12．〔2022·沙坪坝区·重庆一中八年级月考〕23某，23y，那么2y某某y的值为〔〕A．14B．12C．16D．23【答案】B【分析】根据题意将某、y的值分别代入，再分母有理化，最后计算加减可得答案．【解析】解：当23某，23y时，2y某某y2323223237437432(23)(23)(23)(23)743743212应选：B．二．共填空题〔共6小题〕13．〔2022·河北唐山市·八年级期末〕计算1248的结果是________________．【答案】3【分析】利用二次根式的乘法运算法那么进行计算即可．【解析】解：1248=12438，故答案为：3．【点睛】此题考查二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的乘法运算法那么是解答的关键．14．〔2022·山东临沂市·八年级期末〕假设121aa，那么221aa=________．【答案】221【分析】由121aa，两边平方可得：22121,aa利用完全平方公式运算后可得答案．【解析】解：121aa，22121,aa22122221,aa221221,aa故答案为：22+1.【点睛】此题考查的是完全平方公式的应用，二次根式的运算，掌握以上知识是解题的关键．15．〔2022·辽宁大连市·八年级期末〕计算：2520bba__________．【答案】2a【分析】根据二次根式的除法法那么计算，再将计算结果化为最简二次根式即可解题．【解析】2520bba22252022542bbababaa故答案为：2a．【点睛】此题考查二次根式的除法、最简二次根式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．16．〔2022·四川成都市·天府七中八年级月考〕假设a，b，c是实数，且21416210abcabc，那么2bc________．【答案】21【分析】结合态，根据完全平方公式的性质，将代数式变形，即可计算得a，b，c的值，从而得到答案．【解析】∵21416210abcabc∴214162100aabbcc∴222(1)211(1)414(2)6290aabbcc∴222(11)(12)(23)0abc∴111223abc∴111429abc∴2511abc∴2251121bc．【点睛】此题考查了二次根式、完全平方公式的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式、完全平方公式、一元一次方程的性质，从而完成求解．17．〔2022·郓城县教学研究室八年级期中〕计算：812753______；【答案】6105【分析】根据二次根式的乘法运算法那么计算即可．【解析】8127538127536105．故答案为：6105．【点睛】此题主要考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握二次根式的乘法运算法那么是解题的关键．18．〔2022·山西九年级期中〕矩形的面积为36，一边长为48，那么另一边长为______．【答案】33【分析】根据题意可直接列式求解．【解析】解：由题意得：364833；故答案为33．共三．解析题〔共6小题〕19．〔2022·上海育才初级中学八年级期中〕计算：320ab某a某aa【答案】32abb【分析】根据二次根式的性质、二次根式的乘除法法那么计算．【解析】320ab某a某aa1=32aa某某ba3=2ab3=2abb【点睛】此题考查的是二次根式的乘除法，掌握二次根式的性质、二次根式的乘除法法那么是解题的关键．20．〔2022·四川成都市·天府四中八年级期中〕33a．〔1〕求267aa的值．〔2〕求3252022aa的值．【答案】〔1〕1；〔2〕2022．【分析】〔1〕由33a，可得33a，两边平方整理可得266aa，再代入求值即可得到答案；〔2〕由3226666aaaaaaa，266aa，再整体代入求值即可得到答案．【解析】解：〔1〕∵33a，∴33a，∴2233a，2693aa，∴266aa，∴26766671aaaa．〔2〕3226666aaaaaaa，266aa∴3222520226652022aaaaa262022aa6662022aa2022【点睛】此题考查的是代数式的求值，整式的乘法运算，完全平方公式的运用，二次根式的乘方，掌握以上知识是解题的关键．21．〔2022·弥勒市朋普中学九年级月考〕计算：〔1〕2312729．〔2〕33132．【答案】〔1〕2；〔2〕5【分析】〔1〕根据平方，立方根、算术平方根法那么计算，再合并即可；〔2〕先利用二次根式乘法分配律去括号和绝对值符号，再计算即可．【解析】解：〔1〕原式136，2；〔2〕原式3323，3323，5．【点睛】此题考查二次根式与实数的混合运算，熟悉相关运算法那么是解题的关键．22．〔2022·山东菏泽市·王浩屯镇中学八年级期中〕计算：〔1〕16215362〔2〕212273263【答案】〔1〕65；〔2〕6．【分析】〔1〕根据二次根式的乘法性质计算即可；〔2〕运用完全平方公式展开计算即可；【解析】〔1〕解：原式=63215332，=326532，=65；〔2〕解：原式=122733-〔3-26+2〕-6，=2+3-3+26-2-6，=6；【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，准确计算是解题的关键．23．〔2022·剑阁县公兴初级中学校九年级月考〕计算：202232202223233【答案】93【分析】根据负整数指数幂、绝对值、二次根式、零指数幂、平方差公式的性质计算，即可得到答案．【解析】202232202223233222123123139231193．【点睛】此题考查了负整数指数幂、绝对值、二次根式、零指数幂、平方差公式的知识；解题的关键是熟练掌握负整数指数幂、绝对值、二次根式、零指数幂、平方差公式的性质，从而完成求解．24．〔2022·四川成都市·成都铁路中学八年级期中〕先阅读以下的解答过程，然后作答：形如2mn的化简，只要我们找到两个数a、b使abm，abn，这样22()()abm，abn，那么便有22()()mnababab．例如：化简743．解：首先把743化为7212，这里7m，12n；由于437，4312，即22(4)(3)7，4312，27437212(43)23\+=+=+=+．由上述例题的方法化简：〔1〕13242．〔2〕740．〔3〕23．【答案】〔1〕76；〔2〕52；〔3〕622．【分析】先把各题中的无理式变成2mn的形式，再根据范例分别求出各题中的a、b，即可求解．【解析】〔1〕1324222(7)267(6)2(76)76．〔2〕740721022(5)252(2)2(52)52．〔3〕2(31)4236223222．。
2022-2023学年八年级数学下册《 二次根式的乘除》精讲与精练高分突破含答案解析
2．（2022秋·吉林长春·九年级长春市第四十五中学校考期末）计算()()154154-+，结果为（ ）A ．1-B ．1C ．11-D ．113．（2022春·八年级课时练习）计算：(1)818⨯(2)0.10.4⨯(3)322411⨯(4)243题型二：二次根式的除法4．（2022秋·重庆大渡口·九年级校考期末）估计()4233+÷的值应在（ ）A ．2到3之间B ．3到4之间C ．4到5之间D ．5到6之间5．（2023春·八年级课时练习）下列各式计算正确的是（ ）A ．2739÷=B ．48163÷=C ．2044÷=D ．413239÷=6．（2023春·全国·八年级专题练习）某直角三角形的面积为55，其中一条直角边长为10，则其中另一直角边长为（ ）A ．25B ．52C ．55D ．210题型三：二次根式的乘除混算7．（2022秋·河南驻马店·八年级校联考期中）计算：(1)()622-÷(2)()16215362-⨯-(3)2421656++(4)()()()2233232-++⨯-8．（2023春·八年级）计算：(1)21437⨯(2)25136÷(3)954312612÷⨯(4)333123b ab a b a ⎛⎫⎛⎫⋅-÷ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．9．（2023春·八年级）计算：(1)()12712453-+⨯；(2)()()6565-⨯+；(3)148312242÷-⨯+；(4)()()20222723321π---⨯-+-．题型四：最简二次根式的判断10．（2023秋·辽宁葫芦岛·八年级校考期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）A ．9aB ．23a C ．12a +D ．22a b -11．（2022秋·上海闵行·八年级校考阶段练习）下列根式中，是最简二次根式的是（ ）A ．3ab B ．3a b +C ．222a b ab+-D ．8a12．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考阶段练习）在二次根式45、32x 、11、52、4x中，最简二次根式的个数是（ ）个A ．2B ．3C ．4D ．5题型五：化为最简二次根式问题13．（2023春·全国·八年级专题练习）将632化为最简二次根式，其结果是（ ）A ．632B ．1262C ．9142D ．314214．（2022春·山东泰安·八年级统考期末）下列二次根式：①50；②12；③32；④40．将它们都化为最简二次根式后，同类二次根式是（ ）A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．①和④15．（2022春·贵州黔南·八年级校考期末）二次根式2221,12,2,5,3x x x y ++中，最简二次根式有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个题型六：已知最简二次根式求参数三、解答题+ 40．（2022·全国·八年级专题练习）若实数m、n满足2m n 41．（2023春·八年级课时练习）计算：V的面积；(1)如图1，利用秦九韶公式求ABCV的两条角平分线AD，BE交于点O，求点O (2)如图2，ABC（2）解：0.10.4⨯0.10.4=⨯0.04=0.2=；（3）解：322411⨯111241=⨯12=22=；（4）解：243243=8=22=．【点睛】本题考查二次根式的乘法和除法．掌握二次根式的乘法和除法的运算法则是解题关键．4．C【分析】先根据二次根式的除法进行计算()4233+÷，然后估算14的大小即可求解．【详解】解：∵()4233+÷141=+，∵3144<<∴41415<+<故选C【点睛】本题考查了二次根式的除法，无理数的估算，掌握以上知识是解题的关键．5．B【分析】根据二次根式的除法法则进行计算即可．【详解】解：A ．27393÷==，选项不正确，不符合题意；B ．48163÷=，选项正确，符合题意；C ．2045¸=，选项不正确，不符合题意；D ．41491223393¸=´==，选项不正确，不符合题意．故选：B ．【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，准确熟练地进行计算是解题的关键．6．B【分析】利用三角形的面积公式列式计算即可．【详解】解：由题意得，其中另一直角边长为：105102551052102⨯÷===，故选：B ．【点睛】此题考查二次根式的除法，掌握三角形的面积公式是解决问题的关键．7．(1)31-(2)65-(3)13(4)426-【分析】（1）根据二次根式的除法运算法则，分母有理化计算即可；（2）利用乘法分配律计算()62153-⨯，利用分数的性质和二次根式的性质化简162；（3）根据二次根式除法和运算法则和分母有理化化简242166+，再计算与5的和即可；（4）先利用完全平方公式、平方差公式分别进行计算，再求和即可．【详解】（1）()622-÷6222=÷-÷31=-（2）()16215362-⨯-263215362=⨯-⨯-⨯1842325=--326532=--65=-（3）2421656++(2462166)5=÷+÷+4365=++265=++13=（4）()()()2233232-++⨯-2222(2)223(3)(3)2=-⨯⨯++-226334=-++-426=-【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．8．(1)422(2)2(3)36(4)292a b ab -【分析】（1）根据二次根式的乘法运算进行计算即可求解；（2）根据二次根式的除法运算进行计算即可求解；（3）根据二次根式的乘除混合运算进行计算即可求解；（4）根据二次根式的乘除混合运算进行计算即可求解．【详解】（1）2143⨯7=2672⨯42=2；（2）25136÷5536=÷5635=⨯2=（3）954312612÷⨯954312126=÷⨯112=36=；（4）333123b ab a b a ⎛⎫⎛⎫⋅-÷ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3392a ab a b b=-⋅⋅=292a b ab -．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．9．(1)115+(2)1(3)46+(4)1【分析】（1）先用乘法分配律，再利用二次根式的乘法法则，最后合并同类二次根式即可；（2）利用平方差公式计算即可；（3）先算二次根式的乘除法，再算加减法即可；（4）先算乘方和绝对值，再化简各个二次根式最后算加减法即可．【详解】（1）解：()12712453-+⨯111271245333=⨯-⨯+⨯9415=-+3215=-+115=+；（2）解：()()6565-⨯+65=-1=；（3）解：148312242÷-⨯+16626=-+4626=-+46=+；（4）解：()()020222723321π---⨯-+-3323311=--⨯+332331=--+1=．【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算以及二次根式的性质，掌握二次根式混合运算法则是关键．10．D【分析】直接根据最简二次根式的定义进行判断即可．【详解】A 、93a a =，故不符合题意；B 、233a a =，故不符合题意；C 、12222a a ++=，故不符合题意；D 、22ab -是最简二次根式；故选：D ．【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，同时满足下列条件的二次根式，叫做最简二次根式（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．熟记最简二次根式的定义是解题的关键．11．B【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．【详解】解：A 、3ab b ab =，被开方数中含有能开得尽方的因式，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；B 、3a b +是最简二次根式，故本选项符合题意；C 、()2222a b ab a b a b +-=-=-，被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；D 、822a a =，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键．12．A【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，解答即可．【详解】解： 4535=，32x 2x x =，4x 2x =，∴最简二次根式有：11、52共两个．故选：A ．【点睛】本题考查二次根，熟练掌握最简二次根的性质是解题关键．13．D【分析】根据二次根式的化简方法即可得．【详解】解：原式6327922242312⨯⨯⨯===⨯，故选：D ．【点睛】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握化简方法是解题关键．14．A【分析】先将各式化为最简二次根式，再结合同类二次根式的定义解答．【详解】解：①50=52；②12=22；③36=22；④40=21052 与22是同类二次根式，故选：A ．【点睛】本题考查最简二次根式、同类二次根式等知识，最简二次根式满足两个条件：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式．15．B【分析】根据最简二次根式的定义（被开方数不含有能开得尽方的因式或因数，被开方数不含有分母），判断即可．【详解】解：∵1233=，1223=､255||x x =，∴在2221,12,2,5,3x x x y ++中，最简二次根式有2x +，22x y +，共2个，故选：B ．【点睛】本题考查了对最简二次根式的理解，能熟练地运用定义进行判断是解此题的关键．16．D【分析】根据最简二次根式的被开方数相同知开方次数相同，被开方数相同，即可列出二元一次方程组，再解出即可．【详解】根据题意可知3102a b a b +=⎧⎨-=⎩，解得：31a b =⎧⎨=⎩，∴314a b +=+=．故选D ．【点睛】此题考查最简二次根式的定义，解二元一次方程组，正确理解题意列出方程组是解题的关键．17．B【分析】把a 的值依次代入即可判断求解．【详解】当a=6时，42a -=22，不能与2可以合并，当a=5时，42a -=1832=，能与2可以合并，当a=4时，42a -=14，不能与2可以合并，当a=2时，42a -=6，不能与2可以合并，故选B ．【点睛】此题主要考查二次根式的性质，解题的关键是熟知二次根式的化简方法．18．D【分析】先将8化简为最简二次根式，再根据最简二次根式的定义即可得．【详解】解：822=，22 与最简二次根式1m +能合并，12m ∴+=，解得1m =，故选：D ．【点睛】本题考查了最简二次根式、二次根式的化简，熟练掌握最简二次根式的概念是解题关键．19．D【分析】根据二次根式性质化简关判定A 、B ；根据二次根式乘法法则计算并判定C ；根据二次根式除法法则计算并判定D ．【详解】解：A 、()222-=，原计算错误，故此选项不符合题意；B 、1374=93，原计算错误，故此选项不符合题意；C 、322366⨯=，原计算错误，故此选项不符合题意；D 、4312=2÷，原计算正确，故此选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查二次根式化简及乘除运算，熟练掌握二次根的性质与乘除运算法则是解题的关键．20．A【分析】已知226a b ab +=，变形可得28a b ab +=（），24a b ab -=（），可以得出a b +（）和a b -（）的值，即可得出答案．【详解】解：∵226a b ab +=，∴28a b ab +=（），24a b ab -=（），∵0a b >>，∴8a b ab +=，4a b ab -=，∴824a b ab a b ab+==-，故选：A ．【点睛】本题考查了分式的化简求值问题，完全平方公式的变形求值，二次根式的除法，观察式子可以得出应该运用完全平方式来求解，要注意a 、b 的大小关系以及本身的正负关系．21．C【分析】根据算术平方根、立方根、二次根式的运算可进行排除选项．【详解】解：①497648=，原计算错误，②()3322-=-，原计算正确；③1823÷=，原计算错误；④52535+-=，原计算正确；⑤()()5352510156+-=-+-，原计算错误；∴正确的有2个；故选C ．【点睛】本题主要考查算术平方根、立方根、二次根式的运算，熟练掌握算术平方根、立方根、二次根式的运算是解题的关键．22．A【分析】利用二次根式有意义的条件列出不等式即可求解．【详解】解：由题意得：()60060x x x x ⎧-≥⎪≥⎨⎪-≥⎩，解得：6x ≥，故选A ．【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，能够熟练运用二次根式被开方数的非负性列不等式是解题关键．23．A【分析】根据立方根的性质化简、平方根的完全平方公式和性质，即可解答．【详解】解：A 、335050>-<，，故3355≠-，故选项错误．B 、3273=644--，故选项正确．C 、(32)(32)1+-=，故选项正确．D 、(4)(3)43-⨯-=⨯，故选项正确．故选：A ．【点睛】本题考查了平方根和立方根的性质，注意：负数开立方还是负数．24．A【分析】根据二次根式的乘法法则ab a b =⋅成立的条件为0a ≥且0b ≥，即可确定答案．【详解】解：根据题意，可得1010x x +≥⎧⎨-≥⎩，解不等式组，得 1x ≥，所以，等式2111x x x -=+⋅-成立的条件是1x ≥．故选：A ．【点睛】本题主要考查了二次根式的乘法法则和解一元一次不等式组，理解二次根式有意义的条件是解题关键．25．(1)46(2)32-(3)3a【分析】（1）根据二次根式的除法计算法则求解即可；（2）根据二次根式的除法计算法则求解即可；（3）根据二次根式的除法计算法则求解即可．【详解】（1）解：原式2723=÷224=46=；（2）解：原式55354=-÷55435=-⨯18=-32=-；（3）解：原式33b ab a=÷ 33a ab b=⨯29a =3=a ．【点睛】本题主要考查了二次根式的除法，熟知相关计算法则是解题的关键．26．623-【分析】直接将31a =+，31b =-代入2ab b +进行计算即可．【详解】解： 31a =+，31b =-，2ab b ∴+()()()2313131=+-+-()313231=-+-+2423=+-623=-，故答案为：623-．【点睛】本题考查了求代数的值、二次根式的乘法，掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键．27．B【分析】利用二次根式的混合运算将原式化简，再进行无理数的估算即可．【详解】解：2243⨯-2263=⨯-433=-，33=∵252736<<，∴5276<<，即5336<<，∴2243⨯-的值应在5和6之间，故选：B【点睛】本题考查了二次根式的混合运算以及估算无理数的大小，能估算出27的范围是解此题的关键．28．A【分析】先确定出m ，n 的值，再通过计算求解此题．【详解】解：∵2的整数部分是1，∴2的小数部分是21-，即21m -＝，∵8的整数部分是2，即2n ＝，∴()2222211==-+（），故选：A ．【点睛】此题考查了实数的估算与计算能力以及乘方，关键是能准确理解并运用相关知识．29．D【分析】通过观察，得出第n 项为：41n -，再根据31199=，得出方程4199n -=，解出即可得出答案．【详解】解：∵数列371115，，，，…，∴通过观察，可得：第n 项为：41n -，∵31191191199=⨯=⨯=，∴4199n -=，解得：25n =，∴311是它的第25项．故选：D【点睛】本题考查了数字规律问题、二次根式的乘法，解本题的关键在正确找出已知数列的规律．30．D【分析】根据二次根式的乘法计算法则求解即可．【详解】解：∵711a b ==，，∴111170.1171001010ab a ⨯=⨯=⨯=，故选D ．【点睛】本题主要考查了二次根式的乘法，熟知二次根式的乘法计算法则是解题的关键．31．D【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，进行判断即可．【详解】解：A 、原式22=，不符合题意．B 、原式14x x =，不符合题意．C 、原式32y =，不符合题意．D 、22x xy y ++是最简二次根式，符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的概念，本题属于基础题型．32．C【分析】根据最简二次根式的定义逐项分析判断即可求解．【详解】A. 1223x x =不是最简二次根式，故该选项不正确，不符合题意；B.()2222x xy y x y x y ++=+=+，不是最简二次根式，故该选项不正确，不符合题意；C.22x y +，是最简二次根式，故该选项正确，符合题意； D. 1=x x x，含有分母，故不是最简二次根式．故选：C ．【点睛】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．33．5x >##5x<【分析】利用二次根式商的性质，商的算术平方根等于算术平方根的商，其中要满足的条件是分子的被开方数必须大于等于0，分母的被开方数大于0，列出关于x 的一元一次不等式组求解即可．【详解】要使4455x x x x --=--有意义，则4050x x -≥⎧⎨->⎩，解得：5x >，故答案为：5x >．【点睛】本题考查了二次根式商的性质，掌握二次根式商的性质是解题的关键．34．2ab b【分析】根据二次根式的性质进行化简即可．【详解】解：∵0a >，0b >，∴2342a b ab b =．故答案为：2ab b ．【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念与化简，掌握二次根式的性质是解题关键．35． 2 625- 4 5【分析】（1）根据平方差公式和二次根式的运算法则求解即可；（2）根据完全平方公式和二次根式的运算法则求解即可；（3）根据二次根式的性质和除法运算法则求解即可；（4）根据二次根式的性质和乘法运算法则求解即可．【详解】解：（1）()()3131312-+=-=故答案为：2；（2）()2515251625-=-+=-，故答案为：625-；（3）483164÷==，故答案为：4；（4）1502552⨯==故答案为：5．【点睛】此题考查了二次根式的性质，二次根式的乘法和除法运算法则，平方差公式和完全平方公式等知识，解题的关键是熟练掌握以上运算法则．36．2y-【分析】根据二次根式的乘法运算法则进行计算即可．【详解】解：22212124233y y x x y y x x⋅=⋅==，∵0y <，∴212223y x y y x⋅==-，故答案为：2y -．【点睛】本题考查了二次根式的乘法以及二次根式的性质，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键．37．63【分析】设ABC V 底边上的高为h ，根据三角形的面积公式12S ah =列方程求解即可．【详解】解：设ABC V 底边上的高为h ，根据题意，得123182h ⨯=，解得：63h =，故答案为：63．【点睛】本题考查解一元一次方程、二次根式的除法运算、三角形的面积公式，正确计算是解答的关键．38．15【分析】根据二次根式的运算法则即可进行解答．【详解】解：2y y x x xy x x=⋅=，∵35x y ==，，∴原式3515=⨯=．【点睛】本题主要考查了二次根式的运算法则，解题的关键是熟练掌握二次根式的定义，性质和运算法则．39．3【分析】根据题意和图形中的数据，可以发现数字的变化规律，从而可以得到()82，与()100100，表示的两个数，进而()82，与()100100，表示的两个数的积，本题得以解决．【详解】解：由题意可得：每三个数一循环，1,2,3，()82，在数列中是第()1772230+⨯÷+=个，30310÷=，()82，表示的数正好是第10轮的最后一个，即()82，表示的数是3，由题意可得：每三个数一循环，1,2,3，()100100，在数列中是第()1999921005050+⨯÷+=个，5050316831÷=⋯，()100100，表示的数正好是第1684轮的第一个，即()100100，表示的数是1，故（()82，与()100100，表示的两个数的积是：313⨯=．故答案为3．【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律，求出相应的两个数的乘积．40．1113±【分析】先根据2710m n m n +-+--=求出8353m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，然后求出4m n +的值，即可得出答案．【详解】解：∵2710m n m n +-+--=，∴27010m n m n +-=⎧⎨--=⎩，解得：8353m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴853744333m n +=⨯+=，373的平方根为3711133±=±，即4m n +的平方根是1113±．【点睛】本题主要考查了算术平方根的非负性和绝对值的非负性，求代数式的值，求平方根，解题的关键是根据算术平方根的非负性和绝对值的非负性求出m 、n 的值．41．(1)46+(2)2【分析】（1）直接利用二次根式的乘除运算法则、二次根式的性质化简，进而得出答案；（2）将原式用平方差公式化简，再求值即可【详解】（1）解：148318243÷-⨯+148318263=÷-⨯+16626=-+46=+（2）03(51)(51)(2)27+-+--()25113=-+-53=-2=【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和混合运算法则．42．(1)22(2)63(3)62(4)269(5)3(6)0.092(7)32(8)255【详解】（1）()211|11|-+-1111=+，22=；（2）108363=⨯，63=；（3）2382+648=+，72=，362=⨯，62=；（4）82783273⨯=⨯，4681⨯=，269=；（5）333333⨯=⨯，3=；（6）0.060.27⨯0.010.812=⨯⨯，0.10.92=⨯，0.092=；（7）114-34=，32=；（8）41154点O 为ABC V 的角平分线交点，∴点O 到AB ，AC ，BC 的距离相等，长度为设,OF h =，则ABC ACO S S =+V V 111。
二次根式的乘除练习题(含答案)
第十六章 二次根式16.2 二次根式的乘除1．下列二次根式中，最简二次根式是 A 23aB 13C 153D 1432．如果mn >0，n <0，下列等式中成立的有｡ mn m n =1n m m n =m m n n=1m m n mn =-．A ．均不成立B ．1个C ．2个D ．3个3．下列各组二次根式化成最简二次根式后，被开方数完全相同的是 A ab 2abB mn 11m n+ C 22m n +22m n - D 3289a b 3489a b 4．下列等式不成立的是 A ．2×36B 8÷2=4C 1333D 8×2=453x x-3x x -，则x 的取值范围是A ．x <3B ．x ≤3C ．0≤x <3D ．x ≥06结果为A ．B ．C ．D ．7=x 的取值范围是__________．8．计算：=__________．9=__________．10．下列二次根式：． 其中是最简二次根式的是__________．（只填序号）11．计算：-=__________．12．200020012)2)+⋅-=__________． 13．计算：（1；（2）- 14．计算：（123）4）．15．计算（1）1223452533÷⨯；（2）21123(15)3825⨯-÷； （3）282(0)aa b ab a b÷⨯>；（4）27506⨯÷．16．当x <03x y -等于A ．xyB ．xC ．-xy -D ．-xy 179520的结果是 A ．32B 32C 532D ．5218．计算8(223)÷-⨯的结果是A ．26B ．33C ．32D ．6219．下列运算正确的是A 222253535315⨯==⨯=B 22224343431-=-=-=C．2510 5=D．(4)(16)416(2)(4)8-⨯-=-+-=-⨯-=20．若22m n+-和3223m n-+都是最简二次根式，则m=__________，n=__________．21．一个圆锥的底面积是26cm2，高是43cm，那么这个圆锥的体积是__________．22．计算：263⨯+（3-2）2-2（2-6）．23．方老师想设计一个长方形纸片，已知长方形的长是140πcm，宽是35πcm，他又想设计一个面积与其相等的圆，请你帮助方老师求出圆的半径．24．（2018·甘肃兰州）下列二次根式中，是最简二次根式的是A．18B．13C．27D．1225．（2018·湖南益阳）123=⨯__________．26．（2018·江苏镇江）计算：182⨯=__________．1．【答案】D【解析】A a |，可化简；B ==C ==，可化简；因此只有D ： =，不能开方，符合最简二次根式的条件．故选D ．2．【答案】C【解析】根据题意，可知mn >0，n <0，所以可得m <0，根据二次根式的乘法的性质，可知m ≥0，n ≥0，=1，故②正确；根据二次根式除法的性质，可知m ≥0，n >0=-m ，故④正确．故选C ． 3．【答案】D【解析】选项A 的被开方数不相同；选项B 的被开方数不相同；选项C ，不能够化简，被开方数不相同；选项D ，=23，23ab D ．4．【答案】B【解析】选项A 、C 、D 正确；选项B 2=，选项B 错误，故选B ． 5．【答案】C【解析】根据题意得：030x x ≥⎧⎨->⎩，解得：03x ≤<．故选C ．6．【答案】B【解析】原式==，故选B ．9．【答案】7120.091960.091960.31470.361440.361440.61212⨯==⨯=⨯．故答案为：712．10．【答案】①⑥【解析】最简二次根式是满足下列条件的二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含有能开的尽方的因式或因数.由此可得①⑥是二次根式，故答案为：①⑥． 11．【答案】-5【解析】原式48332731639495=÷-÷==-=-．故答案为：5-．123+2【解析】原式200020002000(32)(32)(32)[(332)]=-++⋅=⋅2000(1)32)=-⋅+⋅32)+32=32+．13．【解析】（1）25144⨯25144=512=⨯ 60=．（2）13xyz xy⋅－ 13xyz xy=-⋅=-14．【解析】（1==（2==（3）====-．（4）====15．【解析】（1）原式233=⨯23=45==（2）(13()8=⨯-⨯354=-⨯ 154=-．（3）原式===（4）原式15==． 16．【答案】C【解析】∵x <0=|x -C ． 17．【答案】A【解析】原式32，故选A ． 18．【答案】BB ． 19．【答案】A5315==⨯=，故正确；，故不正确；248==⨯=，故不正确．故选A ． 20．【答案】1、2【解析】由题意，知213221m n m n +-=⎧⎨-+=⎩，解得12m n =⎧⎨=⎩，因此m 的值为1，n 的值为2．故答案为：1，2．21【解析】根据圆锥的体积公式可得，这个圆锥的体积是13⨯==故答案为24．【答案】B【解析】A1832=B13是最简二次根式，正确；C2733=不是最简二次根式，错误；D1223=B．25．【答案】6【解析】原式3×3=6．故答案为：6．26．【答案】218 2182⨯，故答案为：2．。
初二数学二次根式试题答案及解析
初二数学二次根式试题答案及解析1.计算（1）（2）【答案】（1）；（2）2.【解析】（1）根据二次根式的乘除法则运算；（2）根据二次根式有意义的条件得到-（a+2）2≥0，得到a=-2，然后把a=-2代入原式进行计算．试题解析：（1）原式===（2）∵-（a+2）2≥0，∴a=-2，原式==3-5+4=2．【考点】二次根式的混合运算．2.计算：【答案】.【解析】先进行二次根式的乘法运算得到原式=3﹣3+2+2+1，然后合并即可．试题解析：原式=3﹣3+2+2+1=.【考点】二次根式的混合运算.3.化简的结果是（）A．-3B．3C．±3D．【答案】B．【解析】.故选B．【考点】二次根式化简.4.下列变形中，正确的是………（）A．(2)2＝2×3＝6B．C．D．【答案】D.【解析】A、(2)2＝4×3＝12，故本选项错误；B、，故本选项错误；C、，故本选项错误；D、，正确.故选D.【考点】二次根式的化简与计算.5.当1≤x≤5时，【答案】4．【解析】根据x的取值范围，可判断出x-1和x-5的符号，然后再根据二次根式的性质和绝对值的性质进行化简．试题解析：∵1≤x≤5，∴x-1≥0，x-5≤0．故原式=（x-1）-（x-5）=x-1-x+5=4．考点: 二次根式的性质与化简．6.有一个数值转换器，原理如下：当输入的x=64时，输出的y等于（）A．2B．8C．D．【答案】D．【解析】由图表得，64的算术平方根是8，8的算术平方根是．故选D．【考点】算术平方根．7.下列计算正确的是（）A．B．C．D．【答案】A.【解析】根据根式运算法则.不是同类项不能合并同类项【考点】根式运算.8.=________________．【答案】6【解析】由题, .,由题, .【考点】二次根式的化简.9.函数中自变量x的取值范围是．【答案】x≥4【解析】二次根式有意义的条件：二次根号下的数为非负数，二次根式才有意义．由题意得，．【考点】二次根式有意义的条件点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握二次根式有意义的条件，即可完成.10.的平方根是（）A．4B．±4C．±2D．2【答案】C【解析】一个正数有两个平方根，且它们互为相反数，其中正的平方根叫它的算术平方根.，平方根是±2，故选C.【考点】平方根点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握平方根的定义，即可完成．11.函数y=中，自变量x的取值范围是。
初二数学二次根式试题答案及解析
初二数学二次根式试题答案及解析1.（6分）化简：（＋）－（＋6）÷．【答案】．【解析】分别利用二次根式的乘除运算法则化简，进而合并得出即可．试题解析：（＋）－（＋6）÷=2+3﹣3﹣=．【考点】二次根式的混合运算．2.规定用符号[m]表示一个实数m的整数部分. 例如：[]="0" ，[3.14]="3" ，按此规定[]的值为_________ .【答案】4.【解析】∵9＜10＜16，∴. ∴.试题解析：【考点】1.新定义；2.估计无理数的大小.3.当时，二次根式的值为【答案】5.【解析】当时，.【考点】二次根式求值.4.下列变形中，正确的是………（）A．(2)2＝2×3＝6B．C．D．【答案】D.【解析】A、(2)2＝4×3＝12，故本选项错误；B、，故本选项错误；C、，故本选项错误；D、，正确.故选D.【考点】二次根式的化简与计算.5.计算：【答案】3【解析】先进行乘方、分母有理化及负整数指数幂，最后合并同类二次根式即可求解.原式=【考点】实数的混合运算.6.若，则。
A．B．C．0D．2【答案】A.【解析】∵∴x+y=2，x-y=2∴原式=（x+y）（x-y）=2×2=4．故选A.考点: 二次根式的化简求值．7.若，则的取值范围是。
【答案】x≥0．【解析】根据（a≥0），可得答案．试题解析：解；∵，∴2x≥0，∴x≥0．考点: 二次根式的性质与化简．8.计算（）（＋＋＋…＋）【答案】2013.【解析】根据分母有理化的计算，把括号内各项分母有理化，计算后再利用平方差公式进行计算即可得解．试题解析：（）（＋＋＋…＋）=（）（-1+-+-+…+-）=（）（）=2014-1=2013.考点: 分母有理化．9.已知+，那么 .【答案】8【解析】由+，得，所以.10.已知、b为两个连续的整数，且，则= .【答案】11【解析】∵，、b为两个连续的整数，又＜＜，∴ =6，b=5，∴．11.的平方根是．【答案】±2．【解析】的算术平方根是4，4的平方根是±2．【考点】1.算术平方根；2. 平方根．12.下列说法正确的是……（）A．0的平方根是0B．1的平方根是1C．－1的平方根是－1D．的平方根是－1【答案】A.【解析】根据平方根的定义即可判定A.0的平方根是0，故说法正确；B.1的平方根是±1，故说法错误；C.-1的平方根是-1，负数没有平方根，故说法错误；D.（-1）2=1，1的平方根为±1，故说法错误【考点】平方根．13.设S＝+++…+，则不大于S的最大整数[S]等于（）A．98B．99C．100D．101【答案】B.【解析】，，…,所以所以不大于S的最大整数[S]等于99.【考点】规律型.14.计算：【答案】5【解析】解：原式【考点】实数运算点评：本题难度较低，主要考查学生对实数运算知识点的额掌握，为中考常考题型，要求学生牢固掌握。
二次根式乘除练习题带答案
二次根式乘除练习题带答案一、选择题1. 计算下列二次根式的乘积：A. \(\sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{6}\)B. \(\sqrt{8} \times \sqrt{2} = 4\)C. \(\sqrt{5} \times \sqrt{5} = 5\)D. \(\sqrt{7} \times \sqrt{7} = 7\)答案：A2. 计算下列二次根式的商：A. \(\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}} = 3\)B. \(\frac{\sqrt{48}}{\sqrt{12}} = 2\)C. \(\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{25}} = 2\)D. \(\frac{\sqrt{32}}{\sqrt{16}} = 2\)答案：A二、填空题1. 将下列二次根式化简：\(\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = \_\_\_ 答案：5\sqrt{2}2. 计算下列二次根式的乘积：\(\sqrt{12} \times \sqrt{27} = \_\_\_答案：9\sqrt{6}三、计算题1. 计算下列二次根式的乘除混合运算：\(\frac{\sqrt{45}}{\sqrt{5}} \times \sqrt{20}\)答案：6\sqrt{3}2. 解决实际问题：一个正方形的面积是 \(\sqrt{36}\) 平方厘米，求这个正方形的边长。
答案：边长为 \(\sqrt{36} = 6\) 厘米。
四、解答题1. 已知 \(\sqrt{72} = 6\sqrt{2}\)，求 \(\sqrt{72} \times\sqrt{2}\) 的值。
答案：\(\sqrt{72} \times \sqrt{2} = 6\sqrt{2} \times\sqrt{2} = 6 \times 2 = 12\)2. 如果 \(\sqrt{a} \times \sqrt{b} = 10\)，且 \(a = 25\)，求\(b\) 的值。
二次根式乘除练习题带答案
二次根式乘除练习题带答案二次根式乘除练习题带答案二次根式是数学中的一个重要概念，也是我们在学习代数时经常遇到的一个知识点。
在解决实际问题或进行数学推理时，我们经常需要对二次根式进行乘除运算。
为了帮助大家更好地理解和掌握二次根式的乘除运算，下面将给出一些练习题，并附带答案供大家参考。
练习题一：计算下列二次根式的乘积，并将结果化简为最简形式：1. √3 * √52. √6 * √83. √10 * √12答案：1. √3 * √5 = √(3 * 5) = √152. √6 * √8 = √(6 * 8) = √48 = √(16 * 3) = 4√33. √10 * √12 = √(10 * 12) = √120 = √(10 * 12) = √(4 * 3 * 10) = 2√30练习题二：计算下列二次根式的商，并将结果化简为最简形式：1. √20 / √42. √27 / √93. √50 / √10答案：1. √20 / √4 = √(20 / 4) = √52. √27 / √9 = √(27 / 9) = √33. √50 / √10 = √(50 / 10)= √5练习题三：计算下列二次根式的乘积或商，并将结果化简为最简形式：1. (√2 + √3) * (√2 - √3)2. (√5 - √7) * (√5 + √7)3. (√8 + √12) / (√2 + √3)答案：1. (√2 + √3) * (√2 - √3) = (√2)^2 - (√3)^2 = 2 - 3 = -12. (√5 - √7) * (√5 + √7) = (√5)^2 - (√7)^2 = 5 - 7 = -23. (√8 + √12) / (√2 + √3)= (√4 * 2 + √4 * 3) / (√2 + √3) = (2√2 + 2√3) / (√2 + √3) = 2通过以上练习题的解答，我们可以看到二次根式的乘除运算并不复杂。
二次根式的加减乘除混合运算试题讲解
1．〔2021秋•宿迁校级期中〕计算：．考点：二次根式的乘除法．专题：计算题．分析：按照•=，从左至右依次相乘即可．解答：解：，=2．点评：此题考察二次根式的乘法运算，比拟简单，注意在运算时要细心．2．〔2021 •凉山州〕计算：﹣32+×+|﹣3|考点：二次根式的混合运算；特殊角的三角函数值．分析：分别利用特殊角的三角函数值以及绝对值的性质化简求出即可．解答：解：﹣32+×+|﹣3|=﹣9+×+3﹣=﹣5﹣．点评：此题主要考察了二次根式的混合运算以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质等知识，正确化简各数是解题关键．3．〔2021 •福州〕计算：〔﹣1〕2021 +sin30°+〔2﹣〕〔2+〕．考点：二次根式的混合运算；特殊角的三角函数值．分析：运用﹣1的奇次方等于﹣1，30°角的正弦等于，结合平方差公式进展计算，即可解决问题．解答：解：原式=﹣1++4﹣3=．点评：该题主要考察了二次根式的混合运算、特殊角的三角函数值等知识点及其应用问题；结实掌握特殊角的三角函数值、灵活运用二次根式的混合运算法那么是正确进展代数运算的根底和关键．4．〔2021 •苏州模拟〕计算：．考点：二次根式的混合运算．专题：计算题．分析：先根据二次根式的乘除法法那么得到原式=﹣+2，然后利用二次根式的性质化简后合并即可．解答：解：原式=﹣+2=4﹣+2=4+．点评：此题考察了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进展二次根式的乘除运算，然后进展二次根式的加减运算．5．〔2021 •江阴市二模〕计算：〔1〕sin60°﹣|﹣|﹣﹣〔〕﹣1〔2〕〔1+〕÷．考点：二次根式的混合运算；分式的混合运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：〔1〕根据特殊角的三角函数值、分母有理化和负整数指数幂的意义得到原式=﹣﹣﹣2，然后合并即可；〔2〕先把括号内合并和除法运算化为乘法运算，然后约分即可．解答：解：〔1〕原式=﹣﹣﹣2=﹣2；〔2〕原式=•=x．点评：此题考察了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进展二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考察了负整数指数幂和分式的混合运算．6．〔2021 •泉港区模拟〕计算：〔2021 ﹣π〕0+|﹣2|+÷+〔〕﹣1．考点：二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂．分析：首先根据零指数幂、负整数指数幂的运算方法，二次根式的除法的运算法那么，以及绝对值的求法计算，然后根据加法交换律和结合律，求出算式〔2021 ﹣π〕0+|﹣2|+÷+〔〕﹣1的值是多少即可．解答：解：〔2021 ﹣π〕0+|﹣2|+÷+〔〕﹣1．=1+3=〔1+2+3〕=6+0=6点评：〔1〕此题主要考察了二次根式的混合运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式〞，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式〞．〔2〕此题还考察了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：〔1〕a0=1〔a≠0〕；〔2〕00≠1．〔3〕此题还考察了负整数指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：〔1〕a﹣p=〔a≠0，p为正整数〕；〔2〕计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算；〔3〕当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．〔4〕此题还考察了绝对值的非负性和应用，要熟练掌握．7．〔2021 •蓬溪县校级模拟〕化简：〔1〕〔2〕〔3〕．考点：二次根式的混合运算．专题：计算题．分析：〔1〕、〔2〕利用二次根式的性质把二次根式化为最简二次根式；〔3〕根据平方差公式计算．解答：解：〔1〕原式=4；〔2〕原式=；〔3〕原式=〔﹣〕〔+〕=3﹣2=1．点评：此题考察了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进展二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．8．〔2021 •蓬溪县校级模拟〕计算：〔1〕〔2〕﹣5+6〔3〕×﹣〔4〕﹣π〔准确到0.01〕．考点：二次根式的混合运算．分析：〔1〕先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；〔2〕先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；〔3〕根据二次根式的乘法法那么运算；〔4〕把≈1.414，π=3.142代入原式进展近似计算即可．解答：解：〔1〕原式=2+4﹣=5；〔2〕原式=4﹣+=3；〔3〕原式=﹣=20﹣3=17；≈﹣1.23．点评：此题考察了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进展二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．9．〔2021 •新疆模拟〕计算：﹣﹣〔〕2+|2﹣|．考点：二次根式的混合运算．专题：计算题．分析：先把各二次根式化为最简二次根式，再根据绝对值的意义去绝对值，然后合并即可．解答：解：原式=2﹣﹣2+2﹣=．点评：此题考察了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进展二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．10．〔2021 •岳池县模拟〕计算：〔〕﹣1﹣|2﹣1|+．考点：二次根式的混合运算；负整数指数幂．专题：计算题．分析：根据负整数指数幂和分母有理化的意义得到原式3﹣2+1+，然后合并即可．解答：解：原式=3﹣〔2﹣1〕+=3﹣2+1+=4﹣．点评：此题考察了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进展二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考察了负整数指数幂．11．〔2021 •闵行区二模〕计算：+〔﹣〕+．考点：二次根式的混合运算．分析：先进展二次根式的化简和乘法运算，然后合并．解答：解：原式=+1+3﹣3+=4﹣．点评：此题考察了二次根式的混合运算，解答此题的关键是掌握二次根式的化简和乘法法那么．12．〔2021 •深圳一模〕计算：〔〕﹣2﹣+〔﹣6〕0﹣．考点：二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：根据零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值得到原式=4﹣4+1﹣，然后进展二次根式的除法运算后合并即可．解答：解：原式=4﹣4+1﹣=1﹣2=﹣1．点评：此题考察了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进展二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考察了零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值．13．〔2021 •高新区一模〕计算：〔2﹣〕2+﹣〔〕﹣1．考点：二次根式的混合运算；负整数指数幂．专题：计算题．分析：根据完全平方公式和负整数指数幂的意义得到原式=4﹣4+3﹣3，然后合并即可．解答：解：原式=4﹣4+3﹣3=1﹣．点评：此题考察了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进展二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考察了负整数指数幂．14．〔2021 •昆山市一模〕计算〔1〕〔2〕．考点：二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂．分析：〔1〕先算负指数幂，0次幂和绝对值，再进一步合并即可；〔2〕先利用平方差公式和二次根式的性质化简，再进一步合并即可．解答：解：〔1〕原式=2﹣1+3=4；〔2〕原式=2﹣3+﹣2=﹣3．点评：此题考察二次根式的混合运算，正确掌握二次根式的性质化简以及乘法计算公式是解决问题的关键．15．〔2021 •平定县一模〕〔1〕计算：4×÷﹣2sin30°﹣〔〕﹣1〔2〕化简：÷﹣．考点：二次根式的混合运算；分式的混合运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．分析：〔1〕分别进展二次根式的乘法运算、除法运算，特殊角的三角函数值，负整数指数幂等运算，然后合并；〔2〕根据分式的混合运算法那么求解．解答：解：〔1〕原式=10÷﹣2×﹣2=10﹣1﹣2=7；〔2〕原式=•﹣=﹣=．点评：此题考察了二次根式的混合运算、特殊角的三角函数值、负整数指数幂等知识，掌握运算法那么是解答此题的关键．16．〔2021春•兴业县期末〕计算：〔1〕+〔﹣2021〕0﹣〔〕﹣1+|﹣3|〔2〕÷﹣×+．考点：二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂．专题：计算题．分析：〔1〕根据零指数幂和负整数指数幂的意义得到原式=3+1﹣2+3，然后进展加减运算；〔2〕根据二次根式的乘除法那么运算．解答：解：〔1〕原式=3+1﹣2+3=5；〔2〕原式=﹣+2=4﹣+2=4+．点评：此题考察了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进展二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考察了零指数幂和负整数指数幂．17．〔2021 春•平南县期中〕计算〔1〕÷+﹣3〔2〕〔+〕〔﹣〕．考点：二次根式的混合运算．专题：计算题．分析：〔1〕先进展二次根式的除法运算，再先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；〔2〕利用平方差公式计算．解答：解：〔1〕原式=+2﹣3=0；〔2〕原式==a﹣2b．点评：此题考察了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进展二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．18．〔2021 春•昌江县校级期中〕〔1〕〔2〕．考点：二次根式的混合运算．专题：计算题．分析：〔1〕先进展乘方和开方运算，再进展乘法运算，然后进展减法运算；〔2〕先去括号，然后合并即可．解答：解：〔1〕原式=4+4×〔﹣〕=4﹣3=1；〔2〕原式=2+2﹣=2+．点评：此题考察了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，在进展二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．19．〔2021 春•大名县期中〕计算题：〔1〕+﹣；〔2〕〔1+〕〔﹣〕﹣〔2﹣1〕2．考点：二次根式的混合运算．分析：〔1〕先进展二次根式的化简，然后合并；〔2〕先进展二次根式的乘法运算，然后合并．解答：解：〔1〕原式=3+﹣=4﹣；〔2〕原式=﹣+﹣3﹣13+4=4﹣2﹣13．点评：此题考察了二次根式的混合运算，解答此题的关键是掌握二次根式的乘法法那么以及二次根式的化简．20．〔2021 春•龙口市期中〕计算〔1〕+〔3+〕〔2〕〔﹣〕×2〔3〕先化简，再求值．〔a+〕﹣〔﹣b〕，其中a=2，b=3．考点：二次根式的混合运算；二次根式的化简求值．专题：计算题．分析：〔1〕先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；〔2〕根据二次根式的乘法法那么运算；〔3〕先把各二次根式化为最简二次根式得到原式=+2﹣+，然后合并后把a和b的代入即可．解答：解：〔1〕原式=3+3+2=8；〔2〕原式=2﹣2=4﹣；〔3〕原式=+2﹣+=+3当a=2，b=3时，原式=+3．点评：此题考察了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进展二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考察了二次根式的化简求值．。
专题21.2 二次根式的乘除【九大题型】(举一反三)(华东师大版)(解析版)
专题21.2二次根式的乘除【九大题型】【华东师大版】【题型1求字母的取值范围】 (1)【题型2二次根式乘除的运算】 (2)【题型3二次根式的符号化简】 (3)【题型4最简二次根式的判断】 (5)【题型5化为最简二次根式】 (6)【题型6已知最简二次根式求参数】 (7)【题型7分母有理化】 (8)【题型8比较二次根式的大小】 (9)【题型9分母有理化的应用】 (10)【例1】（2022=x的取值范围是x＞8．【分析】直接利用二次根式的性质进而得出关于x的不等式组求出答案．=∴≥0−8＞0，则x的取值范围是：x＞8．故答案为：x＞8．【变式1-1】（2022秋•犍为县校级月考）已知(−3)⋅(−−2)=3−⋅+2，使等式成立的x的取值范围是﹣2≤x≤3．【分析】根据二次根式的性质得出关于x的不等式组，进而求出答案．【解答】解：∵(−3)⋅(−−2)=3−⋅+2，∴3−≥0+2≥0，解得：﹣2≤x≤3．故答案为：﹣2≤x≤3．【变式1-2】（2022=x的取值范围是（）A．x＞0B．x≥0C．x＞2D．x≥2【分析】根据二次根式和分式有意义的条件进行解答即可．【解答】解：由题意得：−2≥0＞0，解得：x≥2，故选：D．【变式1-3】（2022•宝山区校级月考）已知实数x满足22−3=x•2−，则x的取值范围是0≤x≤2．【分析】依据二次根式被开方数大于等于0和2=a（a≥0）列不等式组求解即可．【解答】解：∵原式=(2−p2=x•2−，∴x≥0且2﹣x≥0．解得：0≤x≤2．故答案为：0≤x≤2．【题型2二次根式乘除的运算】【例2】（2022•长宁区期中）计算：（1）354；（2）12．【分析】（1）利用二次根式的乘法法则计算即可．（2）根据二次根式的混合运算法则计算即可．【解答】解：（1）原式＝5×8×36=（2）原式＝2×15×=【变式2-1】（2022•长宁区期中）计算：83．【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则化简求出答案．【解答】解：原式＝2×＝9＝82．【变式2-2】（2022÷(⋅(−（x＞0）．【分析】根据二次根式的乘除法运算法则进行计算．【解答】解：∵x＞0，xy3≥0，∴y≥0，∴原式=−=−46=−94xy•（−56x B）=1582B．【变式2-3】（2022−÷b＜0）．【分析】直接利用二次根式的性质化简进而得出答案．【解答】解：∵由二次根式的性质可得a＜0，b＜0，∴原式=2•（﹣b）B•（32a B）÷＝﹣3a2b÷＝﹣3a2b×（−＝a2b2×＝ab B．【题型3二次根式的符号化简】【例3】（2022•安达市校级月考）已知xy＞0，将式子x移到根号内的正确结果为（）A．B．−C．−D．−−【分析】根据被开方数大于等于0求出y＜0，再根据同号得正判断出x＜0，【解答】解：∵−2＞0，∴y＜0，∵xy＞0，∴x＜0，∴=−=−−．故选：D．【变式3-1】（2022•自贡期中）把二次根式）A B C．−D．−【分析】根据二次根式的性质先判断a的符号，然后再进行计算．【解答】解：由题意可知−13＞0，∴a＜0，∴=a=−故选：D．【变式3-2】（2022•张家港市校级期末）将（2﹣x（）A．−2B．2−C．﹣22−D．−−2【分析】根据二次根式的性质得出x﹣2的符号，进而化简二次根式得出即可．【解答】解：由题意可得：x﹣2＞0，则原式=−−2．故选：D．【变式3-3】（2022春•龙口市期中）把（a﹣b根号外的因式移到根号内结果为【分析】先根据二次根式成立的条件得到−1K＞0，则a﹣b＜0，所以原式变形为﹣（b﹣a−(−p2•法得到−⋅【解答】解：∵−1K＞0，∵a﹣b＜0，∴原式＝﹣（b﹣a=−(−p2•=−=−−．故答案为−−．【知识点2最简二次根式】我们把满足①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．【例4】（2022、18、2−1、0.6中，最简二次根【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．、2−1是最简二次根式，、2−1．【变式4-1】（2022春•曲靖期末）下列二次根式中属于最简二次根式的是（）A．48B．14C D．4+4【分析】根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，即可解答．【解答】解：A、48=43，故A不符合题意；B、14是最简二次根式，故B符合题意；C=C不符合题意；D、4+4=2+1，故D不符合题意；故选：B．【变式4-2】（2022②2+1③④0.1是最简二次根式的是②③（填序号）．【分析】根据最简二次根式的被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，可得答案．【解答】解：②2+1③是最简二次根式，故答案为：②③．【变式4-3】（2022、12、30、+2，402，2+2中，是最简二次根式的共有3个．【分析】结合选项根据最简二次根式的概念求解即可．2、12、30、+2，402，2+2中，是最简二次根式的是30、+2，2+2，故答案为：3【例5】（2022春•安阳期末）下列二次根式化成最简二次根式后，被开方数与另外三个不同的是（）A．2B．58C．28D【分析】先把B、C、D化成最简二次根式，再找被开方数不同的项．【解答】解：∵2是最简二次根式，58=102，28=27，=∴化成最简二次根式后，被开方数相同的是A、B、D．故选：C．【变式5-1】（2022春•番禺区期末）把下列二次根式化成最简二次根式（1100（2）32（3【分析】（1）直接利用二次根式的除法运算法则性质化简得出答案；（2）直接利用二次根式的性质化简得出答案；（3）直接利用二次根式的除法运算法则性质化简得出答案．【解答】解：（1=（2）32=42；（3==【变式5-2】（2022秋•合浦县月考）把下列各式化成最简二次根式：（1（2）−【分析】本题需先将二次根式分母有理化，分子的被开方数中，能开方的也要移到根号外．【解答】解：（1）原式==275×53×33；（2）当b，c同为正数时，原式=−B2×2×=−当b，c同为负数时，原式=−B2×（−2）×=−当c＝0时，原式＝0．【变式5-3】（2022化成最简二次根式是±or1)．【分析】对被开方数的分母进行因式分解，然后约分；最后将二次根式的被开方数的分母有理化，化简求解．【解答】解：原式==①当y＞0时，上式=②当y＜0时，上式=−【题型6已知最简二次根式求参数】【例6】（2022春•浉河区校级期末）若二次根式5+3是最简二次根式，则最小的正整数a为2．【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．【解答】解：若二次根式5+3是最简二次根式，则最小的正整数a为2，故答案为：2．【变式6-1】（2022春•武江区校级期末）若是最简二次根式，则a的值可能是（）A．﹣4B．32C．2D．8【分析】根据二次根式有意义的条件判断A选项；根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断B，C，D选项．【解答】解：A选项，二次根式的被开方数不能是负数，故该选项不符合题意；B2=C选项，2是最简二次根式，故该选项符合题意；D选项，8=22，故该选项不符合题意；故选：C．【变式6-2】（2022秋•崇川区校级期末）若2rK2和33K2r2都是最简二次根式，则m ＝1，n＝2．【分析】利用最简二次根式定义列出方程组，求出方程组的解即可得到m与n的值．【解答】解：∵若2rK2和33K2r2都是最简二次根式，∴+−2=13−2+2=1，解得：m＝1，n＝2，故答案为：1；2．【变式6-3】（2022春•宁都县期中）已知：最简二次根式4+与K23的被开方数相同，则a+b＝8．【分析】已知两个最简二次根式的被开方数相同，因此它们是同类二次根式，即：它们的根指数和被开方数相同，列出方程组求解即可．【解答】解：由题意，得：−=24+=23解得：=5=3，∴a+b＝8．【知识点3分母有理化】①分母有理化是指把分母中的根号化去：分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式；②两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．一个二次根式的有理化因式不止一个．【题型7分母有理化】【例7】（2022）A．4b B．2CD【解答】解：∵a＞0，ab＞0，即a＞0，b＞0；===【变式7-1】（2022•沂源县校级开学）分母有理化：=2；（2=3；（3=2．（1=【解答】解：（1==（2（3=【变式7-2】（2022春•海淀区校级期末）下列各式互为有理化因式的是（）A．+和−B．−和C．5−2和−5+2D．+和+【分析】根据有理化因式定义：如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式，结合各个选项中两个代数式特征作出判断即可．【解答】解：A.+•−=(+p(−p，因此+和−不是有理化因式，故选项A不符合题意；B．−•=−a，所以−和是有理化因式，因此选项B符合题意；C．（5−2）（−5+2）＝﹣（5−2）2，所以5−2和−5+2）不是有理化因式，因此选项C不符合题意；D．（x+y）•（x+y）＝（x+y）2，因此x+y和x+y不是有理化因式，所以选项D不符合题意；故选：B．【变式7-3】（2022【分析】根据二次根式的性质以及运算法则即可求出答案．【解答】解：原式======【题型8比较二次根式的大小】【例8】（2022春•海淀区校级期末）设a=22−3，b=1，则a、b大小关系是（）A．a＝b B．a＞b C．a＜b D．a＞﹣b【分析】本题考查二次根式，先求出b的值，再与a比较得出结果．【解答】解：∵a＝22−3==−（22+3）∴b=1故选：B．【变式8-1】（2022春•金乡县期中）已知a=b＝2+5，则a，b的关系是（）A．相等B．互为相反数C．互为倒数D．互为有理化因式【分析】求出a与b的值即可求出答案．=5+2，b＝2+5，【解答】解：∵a=故选：A．）【变式8-2】（2022B C DA【解答】解：将三个二次根式化成同分母分数比较：==故选：C．【变式8-3】（2022秋•雨城区校级期中）利用作商法比较大小【分析】根据作商比较法，看最后的比值与1的大小关系，从而可以解答本题．=1，【题型9分母有理化的应用】【例9】（2022春•大连月考）阅读材料：黑白双雄、纵横江湖；双剑合璧、天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”．如：（2+3）（2−3）＝1，（5+2）（5−2）＝3，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法====7+43．像这样，通过分子、（1）4+7的有理化因式可以是4−分母有理化得2．（2）计算：+②已知：x =y =x 2+y 2的值．【分析】（1）找出各式的分母有理化因式即可；（2）①原式各项分母有理化，合并即可得到结果；②将x 与y 分母有理化后代入原式计算即可得到结果．【解答】解：（1）4+7的有理化因式可以是4−7，故答案为：4−7；（2）①原式=2−1+3−2+⋯+2000−1999=2000−1＝205−1；②∵x ==2−3，y ==2+3，∴x 2+y 2＝7﹣43+7+43=14．【变式9-1】（2022=3)=7+43；除此之外，还可以用先平方再开方的方法化简一些有特点的无理数，如要化简4+7−4−7，可以先设x =4+7−4−7，再两边平方得x 2＝（4+7−4−7）2＝4+7+4−7−2(4+7)(4−7)=2，又因为4+7＞4−7，故x ＞0，解得x =2，4+7−4−7=2，根据以上方法，+8+43−8−43的结果是（）A ．3﹣22B ．C ．42D ．3【分析】直接利用有理化因式以及二次根式的性质、完全平方公式分别化简得出答案．【解答】解：设x =8+43−8−43，两边平方得x 2=(8+43−8−43)2=8+43+8−43−2(8+43)(8−43)=8，∵8+43＞8−43，∴x ＞0，∴x ＝22，原式=22=6−22=+22＝3﹣22+22＝3．故选：D．【变式9-2】（2022•普定县模拟）阅读以下材料：将分母中的根号化去，叫做分母有理化．分母有理化的方法，一般是把分子分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号．例==−1；（1（2）关于x的方程3x−12=++⋯+的解是11．【分析】（1）根据材料进行分母有理化即可；（2）先分母有理化，再根据式子的规律即可求解．==2−1【解答】解：（1（2）3x−13x−12=3x−12=(3+1)(+(5+3)(5−3)+(7+7−5)+⋯+(3x−12=12（3−1+5−3+7−5+⋯+99−97），6x﹣1＝﹣1+99，6x＝311，x=【变式9-3】．（2022春•九龙坡区校级月考）材料一：有这样一类题目：将±2化简，如果你能找到两个数m、n，使m2+n2＝a且mm=，则将a±2将变成m2+n2±2n，即变成（m±n）2开方，从而使得±2化简．例如，5±26=3+2±26=（3）2+（2）2±22×3=（3±2）2，所以5±26= (3±2)2=3±2；=======3（三）．以上这种化简的步骤叫做分母有理化．====3−1（四）；请根据材料解答下列问题：（1）3−22−1；4+23+1．+⋯+（2【分析】（1）根据材料一和完全平方公式即可得出答案；（2）根据材料二将每一个式子分母有理化，并合并同类二次根式可得出答案．【解答】解：（1）∵3﹣22=2+1﹣22=（2−1）2，∴3−22=(2−1)2=2−1，∵4+23=3+1+23=（3+1）2，∴4+23=(3+1)2=3+1，故答案为：2−1，3+1；（2=(3+1)(3−1)+(5+3)(5−3)+•••2r1+2K1)(2r1−=3−1+5−3+7−5+•••+2+1−2−1＝﹣1+2+1．。
16.2 二次根式的乘除(含答案)
16.2 二次根式的乘除一、选择题1下列各式是最简二次根式的是( )A. 13 B. 12 C. a 3(a ≥0) D. 532．当，结果正确的是（ ）A ．B ．CD ．3．下列运算正确的是（）A ．2a ＋3a ＝6aB ．C ．D ．64．下列计算正确的是（）A ．B ．C ．D ．5．下列各数中，与2A．2B ．2CD ．26．×＝（ ）A．B．C．D ．37．计算÷×结果为（ ）A．3B．4C ．5D ．68．已知a ＜b ，则化简二次根式的正确结果是（ ）A ．B ．C．D ．9的值可以是（）A ．6B ．5C ．4D ．210能合并，则x 的值可能为( )A ．x ＝－B ．x ＝C ．x ＝2D ．x ＝5二、填空题11．计算：12，那么这个长方形的周长是_________．13中，最简二次根式有_____个．14．已知m＝ ___________．15________．0m<-22(3)6a a -=222()a b a b-=-a 1234a ===625150=⨯=6530=⨯=三、解答题16．计算：（1）（2；（3）；（4）；（5）；（617．化简：（1（2）（3；（4；（5．18．先化简，再求值：，其中．5-)21)33-0)a>(()(0)x⋅->2221111a aa a++---1a=19．当20．先化简，再求的值，其中．21．已知，，，且A 、B 、C 是可以合并的最简二次根式，求、及的值.=x22242121a a a a a a +-÷+--+2a =A =-B =12C =-a b A B C +-22．请阅读下列材料：一般的，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么正数x 就叫做a），如，3就叫做9的算术平方根．（1________________________；（2）观察（1这三个数之间存在什么关系？________________________（3）由（2________（，）；（4）根据（3________________=________（写最终结果）23时运用了下面的方法：由可得两边平方可解得＝－1，经检验＝－1是原方程的解.请你参考小明的方法，解下列方程：.x ==239=====0a ≥0b ≥==2=()()2224816x x =-=---=2=8=5=5=x x 16;=4x =16.2 二次根式的乘除1．A 2．D 3．C 4．D 5．A 6．B 7．B 8．A 9．B 10．C 11．2412．13．214．215．﹣6．15．-216．（1）；（2）；（3）4）；（5）；（6）．17．（1），（2（34；（5）．18．．19．．20．21．，，22．（1）2，5，10；（23；（4）4，，1223．（1）x=±39 （2） x=3 16+4552y 1a a -312a +1a =45b =-A B C +-==23。
二次根式的乘除法(含例题)
第十六章 二次根式16.2 二次根式的乘除1．二次根式的乘法法则（1）一般地，二次根式的乘法法则是：__________(00)a b a b =≥≥，．语言叙述：二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数__________．在进行二次根式的乘法运算时，一定不能忽略其被开方数a ，b 均为非负数这一条件． 000)a b c abc a b c =≥≥≥，，． ②00)a b c d bd b d =≥≥，，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行运算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数；③乘法交换律和结合律以及乘法公式（平方差公式和完全平方公式）在二次根式的乘法中仍然可应用． （2）二次根式乘法法则的逆用00)ab a b a b =≥≥，．语言叙述：积的算术平方根等于积中各因数或因式的算术平方根的积．公式中的a ，b 可以是数，也可以是代数式，但必须满足a ≥0，b ≥0．实际上，a ≥0，b ≥0是限制公式右边的，对公式的左边，只要ab ≥0即可．二次根式乘法法则的逆用也称为积的算术平方根，在进行二次根式的乘法运算时，这两个关系经常交替使用． 0000)abcd a b c d a b c d =≥≥≥≥，，，．运用这个性质可以化简二次根式：如果一个二次根式的被开方数有的因数（式）是完全平方数（式），(00)ab a b a b =≥≥，2(0)a a a =≥将这些因数（式）“开方”出来，从而将二次根式化简．利用积的算术平方根的性质化简的步骤：①将被开方数进行因数分解或因式分解；②应用积的算术平方根的性质，将能开得尽方的因数或因式开出来．2．二次根式的除法法则（1）一般地，二次根式的除法法则是：0__________0)a b =≥，． 语言叙述：二次根式相除，把被开方数__________，根指数不变．【注意】①a ≥0，b >0时，式子才成立，若a ，b 都是负数，虽然0a b >在实数范围内无意义；若b =0，a b则号无意义． ②如果被开方数是带分数，应先将其化成假分数．③二次根式的运算结果应不含能开得尽方的因数或因式，同时分母中不含二次根式．（2）二次根式除法法则的逆用00)a b =≥>， ★语言叙述：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根．公式中的a ，b 表示的代数式必频满足a ≥0，b >0，a ≥0，b >0是限制公式右边的，对公式的左边，只要0a b≥且0b ≠即可．利用这个公式，同样可以达到化简二次根式的目的，在化简被开方数是分数（或分式）的二次根式时，先将其化为“（a ≥0，b >0）的形式，然后利用分式的基本性质，分子和分母同乘上一个适当的因式，化去分母中的根号即可． 3．最简二次根式满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．（1）被开方数不含__________；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式．【拓展】分母有理化：二次根式的除法可以用化去分母中的根号的方法来进行，这种化去分母中根号的变形叫做分母有理化．分母有理化的方法是根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的有理化因式（两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式），化去分母中的根号．分母的有理化因式不唯一，但以运算最简便为宜．K知识参考答案：1．ab，不变2．>，相除3．分母K—重点二次根式的乘法和除法；最简二次根式的判断K—难点二次根式的乘法法则和除法法则的逆用K—易错运算顺序错误；忽视隐含条件一、二次根式的乘法1．法则中的a，b表示的代数式都必须是非负的．2．两个二次根式相乘，被开方数的积中有开得尽方的一定要开方．【例1】下列计算正确的是A．25×35=65B．32×33=36C．42×23=85D．22×63=126【答案】D⨯⨯得【例2】916144A．144 B．±144 C．±12 D．12【答案】A⨯⨯．故选A．916144⨯⨯916144=3412=144二、二次根式的除法1000)a b c ÷=≥>>，，；2．((()m n ÷=÷⋅，其中000a b n ≥>≠，，．【例3】=成立的条件是 A ．a 、b 同号B ．a ≥0，b >0C ．a >0，b >0D ．a >0，b ≥0 【答案】B【解析】由二次根式的非负性可知，a ≥0，b ≥0，由于b 是分母，故b >0．故选B ．【例4】计算A ．B ．23xC ．D x 【答案】C【解析】原式=4×C ． 三、二次根式的乘除混合运算二次根式乘除混合运算的方法与整式乘除混合运算的方法相同，整式乘除法的一些法则、公式在二次根式乘除法中仍然适用．二次根式乘除混合运算的一般步骤：（1）将算式中的除法转化为乘法；（2）利用乘法运算律将运算转化为系数和被开方数的乘法运算；（3）将系数和被开方数分别相乘；（4）化成最简二次根式．【例5】A B C D ．【答案】A==．故选A．四、最简二次根式判断二次根式是不是最简二次根式的方法：一看：看被开方数中是否含有能开得尽方的因数（或因式），且被开方数中是否含有分母．二化：若被开方数是多项式，能化成因数（或因式）积的形式，要先化成积的形式．三判断：得出结论．【例6】下列根式中，是最简二次根式的是A B C D【答案】C【解析】因为：A=；B=；D||b=，所以这三项都可化简，不是最简二次根式．故选C．。
专题01 二次根式的乘除(解析版)
2022-2023学年人教版八年级数学下册精选压轴题培优卷专题01 二次根式的乘除一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2022春•保山期末）若2、5、n为三角形的三边长，则化简+的结果为（ ）A．5B．2n﹣10C．2n﹣6D．10解：∵2、5、n为三角形的三边长，∴3＜n＜7．∴+＝|3﹣n|+|8﹣n|＝n﹣3+8﹣n＝5．故选：A．2．（2分）（2022春•潍坊期中）如果ab＞0，a+b＜0，那么下列各式中正确的是（ ）A．＝B．×＝1C．＝b D．（）2＝﹣ab解：∵ab＞0，a+b＜0，∴a＜0，b＜0．∴，无意义，∴A的结论不正确；∵＝＝1，∴B的结论正确；∵＝＝＝﹣b，∴C的结论不正确；∵＝ab，∴D的结论不正确，故选：B．3．（2分）（2022春•福清市期中）已知，，c＝2021×2020﹣2019×2021，则（a﹣b）（b﹣c）的值（ ）A．大于零B．小于零C．等于零D．无法确定解：∵＝＝＜2022，＝＝＝2022，c＝2021×2020﹣2019×2021＝2021×（2020﹣2019）＝2021，∴a﹣b＜0，b﹣c＝1，∴（a﹣b）（b﹣c）＜0，故选：B．4．（2分）（2021秋•祁阳县期末）计算•的结果是（ ）A．2a B．3a C．D．3解：＝，故选：A．5．（2分）（2021秋•双牌县期末）先阅读下面例题的解答过程，然后作答．例题：化简．解：先观察，由于8＝5+3，即8＝（）2+（）2，且15＝5×3，即＝2××，则有＝＝+．试用上述例题的方法化简：＝（ ）A．+B．2+C．1+D．+2解：＝＝＝+2；故选：D．6．（2分）（2022春•新抚区期末）能使等式成立的x的取值范围是（ ）A．x＞0B．x≥0C．x＞2D．x≥2解：由题意得：，解得：x≥2，故选：D．7．（2分）（2022秋•辉县市期中）若2＜a＜3，则等于（ ）A．5﹣2a B．1﹣2a C．2a﹣5D．2a﹣1解：∵2＜a＜3，∴＝a﹣2﹣（3﹣a）＝a﹣2﹣3+a＝2a﹣5．故选：C．8．（2分）（2022秋•海淀区校级期末）当a＜0时，化简的结果是（ ）A．B．C．D．解：根据a＜0，∴＝＝＝，故选：A．9．（2分）（2021春•八步区期中）若a、b、c分别是三角形的三边，化简的结果是（ ）A．2a B．2b C．﹣2a D．﹣2b解：∵a、b、c分别是三角形的三边，∴a﹣b＜c，b+a＞c．∴a﹣b﹣c＜0，b+a﹣c＞0．∴+|b+a﹣c|＝|a﹣b﹣c|+|b+a﹣c|＝﹣（a﹣b﹣c|+b+a﹣c＝﹣a+b+c+b+a﹣c＝2b．故选：B．10．（2分）（2021春•鼓楼区期末）下列式子为最简二次根式的是（ ）A．B．C．D．解：A、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；B、，不是最简二次根式，故本选项符合题意；C、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；D、，是最简二次根式，故本选项符合题意；故选：D．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2022春•辛集市期末）已知xy＜0，化简：x＝ ．解：∵二次根式，∴y＜0，∵xy＜0，∴x＞0，∴＝，故答案为：．12．（2分）（2022春•定远县期末）已知xy＜0，化简二次根式x的正确结果为 ．解：∵xy＜0，x有意义，∴y＜0，x＞0，∴原式＝＝．故答案为：．13．（2分）（2022春•聊城期末）若＝，则x的取值范围为 ﹣≤x＜1 ．解：∵＝，∴，解得：﹣≤x＜1，故答案为：﹣≤x＜1．14．（2分）（2022春•黄梅县期中）小明做数学题时，发现＝；＝；＝；＝；…；按此规律，若＝（a，b为正整数），则a+b＝ 73 ．解：根据题中的规律得：a＝8，b＝82+1＝65，则a+b＝8+65＝73．故答案为：73．15．（2分）（2021春•西乡塘区校级月考）观察：①＝﹣1，②＝﹣，③＝2﹣．……按此规律，第8个等式的是 ＝3﹣2 ．解：通过观察等式的中被开方数与等式的序号的关系找到规律为：第n个式子为：，∴第8个等式的是：＝，即：＝3﹣2．故答案为：＝3﹣2．16．（2分）（2022•普定县模拟）阅读以下材料：将分母中的根号化去，叫做分母有理化．分母有理化的方法，一般是把分子分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号．例如：，（1）将分母有理化可得 ﹣1 ；（2）关于x的方程3x﹣＝+++…+的解是 ．解：（1）＝＝﹣1故答案为：﹣1；（2）3x﹣＝+++…+，3x﹣＝+++…+，3x﹣＝+++…+，3x﹣＝（+），6x﹣1＝﹣1+，6x＝3，x＝，故答案为：．17．（2分）实数a、b满足，则a2+b2的最大值为 52 ．解：原式变形为++|b+4|+|b﹣2|＝10，∴|a﹣2|+|a﹣6|+|b+4|+|b﹣2|＝10，∴a到2和6的距离之和是4，b到﹣4和2的距离之和是6，∴2≤a≤6，﹣4≤b≤2，∴|a|最大为6，|b|最大为4，∴a2+b2＝62+（﹣4）2＝36+16＝52．故答案为：52．18．（2分）计算（﹣2）2﹣2﹣1+（1﹣）0+＝ 4 ．已知x＝+1，则＝ ．解：（﹣2）2＝4，2﹣1＝，（1﹣）0＝1，＝﹣1，因此（﹣2）2﹣2﹣1+（1﹣）0+＝4﹣+1+﹣1＝4；＝．19．（2分）（2021春•黄石月考）已知＝1.536，＝4.858．则＝ 0.04858 ．若＝0.4858，则x＝ 0.236 ．解：0.00236是由23.6小数点向左移动4位得到，则＝0.04858；0.4858是由4.858向左移动一位得到，则x＝0.236．故答案是：0.04858，0.236．20．（2分）（2022春•蜀山区校级期中）实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为 7 ．解：由数轴可得，4＜a＜8，∴＝a﹣3+10﹣a＝7，故答案为：7．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2022春•遂溪县期末）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|﹣．解：由数轴知：a＜0，b＞0．∴a﹣b＜0．∴原式＝﹣a﹣|a﹣b|＝﹣a﹣（b﹣a）＝﹣a﹣b+a＝﹣b．22．（6分）（2022春•锦江区校级期中）（1）计算：+（）﹣1+|﹣2|﹣；（2）求不等式组的解集：．解：原式＝+3+2﹣﹣2＝5﹣2；（2），不等式①的解集是：x＞﹣3，不等式②的解集是：x≤3，∴原不等式组的解集是：﹣3＜x≤3．23．（8分）（2022春•高安市期中）＝|a|是二次根式的一条重要性质．请利用该性质解答以下问题：（1）化简：＝ 2 ，＝ π﹣3 ；（2）若＝﹣1﹣x，则x的取值范围为 x≤﹣1 ；（3）已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简﹣|c﹣a|+．解：（1）＝|﹣2|＝2，＝|3﹣π|＝π﹣3．∴答案为：2，π﹣3．（2）∵＝|1+x|＝﹣1﹣x．∴1+x≤0，∴x≤﹣1．故答案为：x≤﹣1．（3）由数轴得：a＜b＜0＜c．∴c﹣a＞0，b﹣c＜0．∴原式＝|a|﹣（c﹣a）+|b﹣c|＝﹣a﹣c+a﹣b+c＝﹣b．24．（8分）（2022春•海淀区校级期中）我们规定用（a，b）表示一对数对，给出如下定义：记m＝，n ＝（其中a＞0，b＞0），将（m，n）与（n，m）称为数对（a，b）的一对“和谐数对”．例如：（4，1）的一对“和谐数对”为（，1）和（1，）．（1）数对（16，5）的一对“和谐数对”是 （，）和（，） ；（2）若数对（3，m）的一对“和谐数对”相同，则m的值为 ；（3）若数对（x，y）的一个“和谐数对”是（，1），则xy的值为 或2 ．解：（1）∵m＝＝，n＝，∴数对（16，5）的一对“和谐数对”是（，）和（，），故答案为：（，）和（，）；（2）∵数对（3，m）的一对“和谐数对”相同，∴＝∴m＝；故答案为：；（3）∵数对（x，y）的一个“和谐数对”是（，1），∴或，解得或，∴xy＝或2．故答案为：或2．25．（8分）（2022秋•海淀区校级期中）小明在学习了“二次根式”后，发现一些含根号的代数式可以写成另一个根号的代数式的平方，如3+2＝（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：设a+b＝（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b＝m2+2mn+2n2，a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了把类似a+b的代数式化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的代数式分别表示a、b，则：a＝ m2+5n2 ，b＝ 2mn ；（2）利用所探索的结论找一组正整数a、b、m、n填空： 21 + 4 ＝（ 1 + 2 ）2；（3）若a+6＝（m+n）2，且a、m、n均为正整数，求a的值．解：（1）（m+n）2＝m2+2mn+5n2＝a+b，∴a＝m2+5n2，b＝2mn，故答案为：m2+5n2；2mn；（2）由（1）知a＝m2+5n2，b＝2mn，令m＝1，n＝2，则a＝12+5×22＝21，b＝2×1×2＝4．故答案为：21；4；1；2；（3）由（1）知a＝m2+5n2，6＝2mn，∴mn＝3，∵a、m、n均为正整数，∴令m＝1，n＝3或m＝3，n＝1；当m＝1，n＝3时，a＝12+5×32＝46．当m＝3，n＝1时，a＝32+5×12＝14．综上，a的值为14或46．26．（8分）（2021秋•兴隆县期末）观察下列各式：＝1+﹣＝1；＝1+﹣＝1；＝1+﹣＝1，…请你根据以上三个等式提供的信息解答下列问题①猜想：＝ 1+﹣ ＝ 1 ；②归纳：根据你的观察，猜想，请写出一个用n（n为正整数）表示的等式： ＝1+﹣＝ ；③应用：计算．解：①猜想：＝1+﹣＝1；故答案为：1+﹣，1；②归纳：根据你的观察，猜想，写出一个用n（n为正整数）表示的等式：＝1+﹣＝；③应用：＝＝＝1+﹣＝1．27．（8分）（2022春•定州市期中）阅读下列解题过程：＝＝＝﹣＝﹣2；＝＝＝2+2；请解答下列问题：（1）观察上面解题过程，计算；（2）请直接写出的结果．（n≥1）（3）利用上面的解法，请化简：+++…++．解：（1）原式＝＝+；（2）归纳总结得：＝﹣（n≥1）；（3）原式＝﹣1+﹣+﹣+…+﹣+﹣＝10﹣1＝9．28．（8分）（2021春•信州区校级月考）小芳在解决问题：已知a＝，求2a2﹣8a+1的值．他是这样分析与解的：a＝＝＝2﹣，∴a＝2﹣，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3，∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1请你根据小芳的分析过程，解决如下问题：（1）化简．（2）若．①求4a2﹣8a﹣1的值；②求3a3﹣12a2+9a﹣12的值．解：（1）原式＝＝＝5；（2）①∵a＝＝+1，∴原式＝4（a﹣1）2﹣5＝8﹣5＝3；②∵a2＝3+2，∴原式＝3a（a2+3）﹣12（a2+1）＝3（+1）（2+6）﹣12（4+2）＝﹣18。
二次根式的乘除运算(人教版)(含答案)
学生做题前请先回答以下问题问题1：判断一个式子是否是最简二次根式，需要满足哪两个条件？问题2：什么是同类二次根式？问题3：二次根式的乘除法则是什么？以下是问题及答案，请对比参考:问题1：判断一个式子是否是最简二次根式，需要满足哪两个条件？答：最简二次根式需要具备：①被开方数中不得含有能开的尽方的因数；②根号下不含分母，分母中不含根号. 问题2：什么是同类二次根式？答：化成最简二次根式后，被开方数相同的两个二次根式是同类二次根式．问题3：二次根式的乘除法则是什么？答：二次根式的乘除法则：①；②．二次根式的乘除运算（人教版）一、单选题(共11道，每道9分)1.下列各式中与相乘，结果是有理数的是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次根式乘除运算2.化简的结果是( )A.0.4B.0.04C.0.8D.0.08答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次根式乘除运算3.下面计算正确的是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次根式加减运算4.计算的结果是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次根式乘除运算5.下列计算中正确的是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次根式的化简6.计算的结果是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次根式的乘除法则7.计算的结果是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次根式的乘除法则8.计算的结果是( )A.30B.3C.20D.6答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次根式乘除运算9.计算的结果为( )A.1B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次根式乘除运算10.若，则的值为( )A. B.C.8D.2答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次根式的乘除法则11.化简的结果是( )A.-3B.-2C.2D.3答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次根式的乘除法则。
八年级数学下册《二次根式的乘除》练习题(附答案解析)
八年级数学下册《二次根式的乘除》练习题(附答案解析)一、选择题1. 下列二次根式是最简二次根式的是( )A. √13B. √8C. √14D. √122. 估计2√3×√12的值应在( )A. 1和2之间B. 2和3之间C. 3和4之间D. 4和5之间3. 若xy<0，则√x2y化简后的结果是( )A. x√yB. x√−yC. −x√−yD. −x√y4. 若x=√a−√b，y=√a+√b，则xy的值为( )A. 2√aB. 2√bC. a−bD. a+b5. a、b在数轴上的位置如图所示，那么化简|a−b|−√a2的结果是( )A. 2a−bB. bC. −bD. −2a+b6. 下列各式中，计算正确的是( )A. √27√3=9 B. √48√16=√3C. √20÷√4=4D. √43÷√19=3√27. 已知m=(−√33)×(−2√21)，则有( )A. 5<m<6B. 4<m<5C. −5<m<−4D. −6<m<−58. 设√2=a，√3=b，用含a、b的式子表示√0.54，则下列表示正确的是( )A. 0.3abB. 3abC. 0.1ab2D. 0.1a2b9. 计算√ba ÷√ab×√1ab(a>0,b>0)的值为( )A. 1ab2√ab B. 1a2b√ab C. 1b√ab D. b√ab10. 下列等式中成立的是( )A. √4+45=4√45B. √3+34=3√34C. √2+23=2√23D. √1+12=√12二、填空题11. 化为最简二次根式：√24=．12. 若√x−23−x =√x−2√3−x成立，则x满足．13. 计算√5×√15√3的结果是．14. 已知最简二次根式√4a+3b与√2a−b+6b+1可以合并，则a+b的值为．三、解答题15. 若二次根式√4m2=5，求m的值．16.计算：2√23m ÷16√6m⋅√8m3．17. 已知y =√x −2+√2−x +38，求√xy 的值．18.实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，化简√a 2−√b 2+√(a −b)2．19. 已知a ，b ，c 为△ABC 三边的长，化简：√(a +b −c)2+√(a −b −c)2．20. 已知a =√3−√2，b =1√3+√2，(1)求ab ，a +b 的值;(2)求b a +a b 的值．参考答案与解析1.【答案】C【解析】解：√13=√33不是最简二次根式；√8=2√2不是最简二次根式；√14是最简二次根式；√12=2√3不是最简二次根式；故选：C．根据最简二次根式的概念判断即可．本题考查的是最简二次根式的概念，(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．2.【答案】B【解析】【分析】此题主要考查了估算无理数的大小，正确进行二次根式的计算是解题关键．直接利用二次根式的乘法运算法则化简，进而估算无理数的大小即可．【解答】解：∵2√3×√12=√12×12=√6，4<6<9，∴2<2√3×√12<3，故选：B．3.【答案】D【解析】【分析】本题考查了二次根式的性质和化简，是基础知识要熟练掌握．根据二次根式有意义可得出y≥0，再由xy<0，得出x<0，y>0，从而化简即可．【解答】解：∵x2y≥0，∴y≥0，∵xy<0，∴x<0，y>0，∴√x2y=−x√y．故选D．4.【答案】C【解析】【分析】本题考查二次根式的乘法，根据二次根式的乘法法则运算即可解决．【解答】解：∵x=√a−√b，y=√a+√b，∴xy=(√a−√b)(√a+√b)=a−b．故选C．5.【答案】B【解析】【分析】本题考查了实数与数轴，绝对值和二次根式的性质．根据数轴得出a<0<b，推出a−b<0，再根据绝对值和二次根式的性质化简即可．【解答】解：∵a<0<b∴a−b<0∴|a−b|−√a2=b−a+a=b．故选B．6.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查的是二次根式的乘除的有关知识，利用二次根式的除法法则将给出的各个选项中的式子进行逐一计算即可求解．【解答】解：A．√27√3=3，故A错误；B√48√16=√3，故B正确；C.√20÷√4=√5，故C错误；D.√43÷√19=√43÷19=√43×9=2√3，故D错误．故选B．7.【答案】A【解析】略8.【答案】A【解析】【分析】此题主要考查了二次根式的化简以及二次根式的乘除的逆用.先把√0.54化为√2、√3的形式，再把a、b代入计算即可．【解答】解：√0.54=√54100=√2×3×32100=310×√2×√3=0.3ab，故选A．9.【答案】B【解析】【分析】本题考查了二次根式的乘除法，解决本题的关键是熟记二次根式的乘除法．根据二次根式的乘除法，即可解答．【解答】解：√ba ÷√ab×√1ab=√ba×1ab×1ab=√1a3b=√aba2b．故选：B．10.【答案】C【解析】【分析】本题考查的是二次根式的性质，掌握二次根式的性质是关键．根据最简二次根式的性质进行化简即可判断．【解答】解：A、√4+45≠4√45，不成立；B、√3+34≠3√34，不成立；C、√2+23=√83=2√23，成立；D、√1+12=√32≠√12，不成立．11.【答案】2√6【解析】【分析】本题考查的是最简二次根式，掌握二次根式的乘法法则是解题的关键．根据二次根式的乘法法则化简即可．【解答】解：√24=√4×6=2√6，故答案为：2√6．12.【答案】2≤x<3【解析】解：要使√x−23−x =√x−2√3−x成立，必须{x−2≥0 3−x>0，解得：2≤x<3，故答案为：2≤x<3．根据二次根式有意义的条件得出不等式组，求出不等式组的解集即可．本题考查了二次根式的除法，二次根式有意义的条件和解一元一次不等式组等知识点，能根据题意得出不等式组是解此题的关键．13.【答案】5【解析】【分析】本题主要考查了二次根式的乘除的应用，解题的关键是熟练掌握二次分式的乘除的法则， √5×√15√3的值． √5×√15√3=√5×15√3=√753=√25=5．14.【答案】2【解析】【分析】根据同类二次根式的概念列出方程组，解方程组求出a 、b ，再计算即可．本题考查的是同类二次根式的概念，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．【解答】解：由题意得，{b +1=24a +3b =2a −b +6， 解得，{a =1b =1， 则a +b =1+1=2，故答案为：2．15.【答案】解：∵二次根式√4m 2=5，∴4m 2=25，∴m 2=254，∴m =±52【解析】本题主要考查的是二次根式的性质的有关知识，根据二次根式的运算法则即可求出答案．16.【答案】解：原式=2×6√23m ×16m×8m 3 =12√8m 9=8√2m ．【解析】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确掌握运算法则是解题关键．直接利用二次根式的乘除运算法则化简求出答案．17.【答案】解：根据题意知，{x −2≥02−x ≥0， 解得：x =2，当x =2时，y =38，则√xy =√2×38=√32． 【解析】根据二次根式有意义的条件可得关于x 的不等式组，解不等式组可得x 的值，代入等式得y 的值，继而可得答案．本题考查了二次根式的有意义的条件．二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．18.【答案】解：由数轴知，a <0，且b >0，∴a −b <0，∴√a 2−√b 2+√(a −b)2=|a|−|b|+|a −b|=−a −b +(b −a)=−a −b +b −a =−2a ．【解析】本题主要考查二次根式的性质：当a >0时，√a 2=a ；当a <0时，√a 2=−a ；当a =0时，√a 2=0.首先利用数轴确定a ，b ，a −b 的取值范围，然后利用二次根式的性质化简即可．19.【答案】2b【解析】略20.【答案】解：(1)∵a=√3−√2=√3+√2(√3−√2)(√3+√2)=√3+√2，b=√3+√2=√3−√2(√3+√2)(√3−√2)=√3−√2，∴ab=(√3+√2)×(√3−√2)=1，a+b=√3+√2+√3−√2=2√3；(2)ba+ab=√3−√2√3+√2+√3+√2√3−√2=(√3−√2)2+(√3+√2)2=5−2√6+5+2√6=10．【解析】此题主要考查了分母有理化，正确得出有理化因式是解题关键．(1)直接利用平方差公式分别化简各式进而计算得出答案；(2)利用(1)中所求，结合分母有理化的概念得出有理化因式，进而化简得出答案．。
专题16 二次根式的乘除（含答案）
专题16 二次根式的乘除知识解读1.二次根式相关法则 （1）乘法法则：ab ab =a ≥0，b ≥0）.a bc abc =a ≥0，b ≥0，c ≥0）.（2）除法法则：a ab b=（a ≥0，b ≥0）. （3）积的算术平方根：ab a b =⋅（a ≥0，b ≥0）.（4）商的算术平方根：a ab b=（a ≥0，b ＞0）. 2.分母有理化（1）分母形如a x 的二次根式，可分子、分母同时乘x .（2）分母形如a x b y +的式子，可利用平方差公式，分子、分母同时乘a x b y -，就可以化去分母中的根号. 3.最简二次根式（1）被开方数不含分式，也就是被开方数是整数或者是整式；（2）被开方数的每一个因数或者因式的指数都小于根指数2，即每个因数或者因式的指数都是1.培优学案典例示范一、二次根式的乘法 例1 计算：（1）0436..⨯； （2）32545223⨯. 【提示】可将系数与系数相乘，被开方数与被开方数相乘，最后将二次根式化简. 【解答】【技巧点评】二次根式变形的最后结果必须是最简二次根式，最简二次根式要求：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 跟踪训练 1.计算：（12330554a b .bc （2320((211548)3⨯.二、二次根式的除法 例2 计算：（1）1327()108÷； （2）(24118854)33÷⨯-.【提示】有括号的先算括号里面的，然后利用除以一个数等于乘以这个数的倒数，将除法转化为乘法再进行计算. 【解答】【技巧点评】两个二次根式相除，把根号前面的系数与系数对应相除，根号内的部分对应相除，被开方数对应相除时也可以用除以一个数等于乘这个数的倒数的方法进行约分化简. 跟踪训练 2.计算：(23213022)232⨯÷-.三、分母有理化 例3 化简下列各式：（172 （22x y +； （353-； （4232332-； （5x y +.【提示】（12；（2x y +；（3）将分子、分母同时乘53+；（4）将分母提取6；（5）由于x y +的有理化因式x y -可能为零，所以不能将分子分母同乘x y -，可考虑将x y -利用平方差公式因式分解.【解答】 跟踪训练3.将下列各式分母有理化：（1）3540； （2）101280⨯； （3）233a a -+； （4）74323++.四、二次根式的化简 例4 化简:1232＝________. 【技巧点评】二次根式化简的思路很多，只要应用的法则有根有据就行. 跟踪训练 4.化简312aab＝________.【拓展延伸】 例5 比较大小：（1）323 （27582； （351-05.； （4）12m m ++与23m m ++； （5）213与327+； （6）148-与82-【提示】（1）可把前面的系数乘到根号内，然后比较被开方数的大小；（2）可比较两数平方的大小；（3）将两数相减，看差是正数还是负数；（4）将两数相除，比较商与1的大小；（5）可用估值法；（6）将148-与82-看作1481-与821-，然后分子、分母分别同时乘148+和82+.【解答】跟踪训练 5.比较大小：（1）43与34； （2）611+与143+； （3）332+与531-；（4102652； （531-21-； （615141413【竞赛链接】例6 （希望杯试题）322322+-的结果是 ( ) A .3 B . 12 C . 22+D . 22 【提示322322+-. 跟踪训练6.（希望杯试题）如果7352x y +=-，7253x y -=-，那么xy 的值是 （ ）A . 3332+B . 3332-C . 7352-D . 7253-培优训练直击中考 1.★化简13232-+-的值是 （ ） A .0 B . 23 C . 23- D . 4 2.★计算35210⨯的结果应该是 （ ） A .300 B . 302 C . 605 D . 300 3.★y ＞0时，3x y -= （ ） A . x xy - B . x xy C . x xy -- D . x xy -4.★计算：3427a b ＝________；3239()x y x y +＝________. 5.★计算： （1）273； （2）(23418)58÷-.6.★计算： （13022043.； （2320((211548)3-⨯.7.★比较下列各式大小：（1）21135 （2）2736 （3148115；（4）62-与2； （5）237-与73-.8.★当a ＝-3，b ＝-2时，求322442b a a b ab a b b-+-的值.挑战竞赛1. ★★把二次根式1a a-化为最简二次根式是 （ ） A . a B . a - C . a -- D . a - 2.★★（希望杯试题）设11n n x n n+=++11n ny n n +=+-，n 为正整数，如果22221922015x xy y ++=成立，那么n 的值为 （ ） A . 7 B . 8 C . 9 D . 10114142.≈≈________（精确到0.01，22141422222.==≈≈⨯________（精确到0.01）. （2）在下列各题的横线上填上最简单的二次根式，使它们的积不含根号： 3×________； ②26×________； 32________；22a ________； 38x ________1x -×________；（3）根据以上问题解答过程所得到的启发求下列各式的值（精确到0.01）： ①63； ②2105； ③63214； ④15..中小学教育资源及组卷应用平台21世纪教育网。
初二数学二次根式试题答案及解析
初二数学二次根式试题答案及解析1.计算：（1）（2）【答案】（1）原式=﹣6；（2）原式=2x﹣x．【解析】（1）根据二次根式的乘法法则运算；（2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可试题解析：（1）原式==﹣6；（2）原式=2+2x﹣x﹣2=2x﹣x．【考点】二次根式的混合运算2.下列式子中，是最简二次根式的是（）A．B．C．D．【答案】B．【解析】A、=3，故A选项错误；B、是最简二次根式，故B选项正确；C、=2，不是最简二次根式，故C选项错误；D、=，不是最简二次根式，故D选项错误．故选B．【考点】最简二次根式．3.化简后的结果是（）A．B．C．D．【答案】B.【解析】.故选B.【考点】二次根式的化简.4.有一个数值转换器，原理如下：当输入的x=64时，输出的y等于（）A．2B．8C．D．【答案】D．【解析】由图表得，64的算术平方根是8，8的算术平方根是．故选D．【考点】算术平方根．5.计算：______.【答案】13【解析】6.在实数，，，，中，无理数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【解析】因为所以在实数，0，，，中，有理数有，0，，，只有是无理数.7.阅读下面问题：；.试求：（1）的值；（2）（为正整数）的值.（3）的值.【答案】（1）（2）（3）9【解析】解：（1）=.（2）.（3）8.在3.14、、、、、0.2020020002这六个数中，无理数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B.【解析】无理数即无限不循环小数，显然3.14、、0.2020020002这三个数是有限小数，不是无理数；而是无理数，所以也是，毫无疑问是无理数，的结果是一个无限循环小数，所以不是无理数，因此无理数有2个，即：故选B.【考点】无理数的定义.9.（1）已知：(x＋5)2＝16，求x；（2）计算：【答案】（1），；（2）.【解析】本题考查了平方根、立方根的定义及性质和绝对值的性质.（1）根据平方根的定义，先得出：，再分别计算出的值；（2）先利用平方根、立方根的性质及绝对值的性质分别计算出每个式子的值，最后相加.试题解析：解：（1)∵∴∴，原式【考点】1、平方根的定义及性质；2、立方根的定义及性质；3、绝对值的性质.10.在数轴上与表示的点距离最近的整数点所表示的数是 .【答案】2【解析】本题主要考查了实数与数轴的对应关系，解题应看这个无理数的被开方数在哪两个能开得尽方的数的被开方数之间，比较无理数的被开方数和这两个能开得尽方的数的被开方数的距离，进而求解．先利用估算法找到与的点两边的两个最近整数点，再比较这两个点与的大小即可解决问题．因为，所以左右两边的整数点是1和2，又因为3与4的距离最近，所以与的点的距离最近的整数点所表示的数是2，故填2.【考点】实数与数轴.11.若(x－3)2+=0，则x－y= ．【答案】5.【解析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可求解．解：根据题意得，x-3=0，y+2=0，解得x=3，y=-2，x-y=3-（-2）=3+2=5．故答案为：5．【考点】1.非负数的性质：2.算术平方根；3.偶次方．12.估算的值（）A．在1到2之间B．在2到3之间C．在3到4之间D．在4到5之间【答案】C.【解析】因为5＜＜6，所以3＜＜4．故选C．【考点】估算无理数的大小．13.若x、y为正实数，且x+y=12那么的最小值为 .【答案】13【解析】若x、y为正实数，且x+y=12，那么y=12-x；因此=；设S=，则==；所以S【考点】最值点评：本题考查最值，解答本题的关键是掌握求代数式最值的方法，本题难度较大，计算量比较大14.观察各数：，，，．其中最小数与最大数的和为（结论化简）；【答案】【解析】依题意：；；；，易知最大数为，最小数为。
初三数学二次根式试题答案及解析
初三数学二次根式试题答案及解析1.下列各数中是无理数的是（）A．B．﹣2C．0D．【答案】A【解析】A、正确；B、是整数，是有理数，故B错误；C、是整数，是有理数，故C错误；D、是分数，是有理数，故D错误．故选A．【考点】无理数2. a满足以下说法：①a是无理数；②2＜a＜3；③a2是整数．那么a可能是（）A．B．C．2.5D．【答案】A．【解析】由a是无理数可知C、D是有理数，不合题意；由a2是整数可知A、B符合题意；再由2＜a＜3，只有A．故选A．【考点】1.估算无理数的大小；2.无理数；3.实数的运算．3. 16的平方根是（）A．B．4C．-4D．【答案】A.【解析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的一个平方根：∵（±4）2=16，∴16的平方根是±4．故选A.【考点】平方根.4.计算：= .【答案】2.【解析】.【考点】二次根式计算.5.=．【答案】﹣【解析】分别进行分母有理化、二次根式的化简及零指数幂的运算，然后合并即可得出答案．解：原式=﹣1﹣2+1=﹣．故答案为：﹣．6.计算：－＝________．【答案】3【解析】原式＝4－＝3.7.已知长方形的长是cm，宽是cm，求与此长方形面积相等的圆的半径.【答案】r=.【解析】利用面积公式列出方程·=πr2，解得r=.8.下面计算正确的是（）A．4+=4B．÷=3C．·=D．=±2【答案】B.【解析】A．4+=4，本选项错误；B．，本选项正确；C．，故本选项错误；D．，故本选项错误.故选B.考点: 二次根式的混合运算.9.的值为（）A．B．4C．D．2【答案】B.【解析】∵故选B.考点: 算术平方根.10.计算：．【答案】.【解析】先化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可得出答案.试题解析：.考点: 二次根式的加减法.11.式子成立的条件是（）A．≥3B．≤1C．1≤≤3D．1＜≤3【答案】D【解析】根据二次根式的定义，式子成立的条件为，－1，即1＜.12.若一个式子与之积不含二次根式,则这个式子可以是．（填写出一个即可）【答案】.【解析】本题实际是求的有理化因式,一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．与的积不含二次根式的式子是.故答案是.【考点】分母有理化．13.二次根式的值是（）A．﹣3B．3或﹣3C．9D．3【答案】D.【解析】. 故选D.【考点】二次根式化简.14.下列计算正确的是（）A．B．C．D．【答案】C．【解析】 A．，故本选项错误；B．和不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误；C．，故本选项正确；D．，故本选项错误．故选C．【考点】二次根式的乘除法．15.若，，且ab＜0，则a﹣b=．【答案】-7.【解析】先根据算术平方根的定义，求出、的值，然后根据确定、的值，最后代入中求值即可．试题解析：∵，，∴a=±3，b=4；∵，∴，；∴．考点: （1）算术平方根；（2）代数式求值.16.下列二次根式中，取值范围是的是（）A．B．C．D．【答案】C．【解析】根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件，要使在实数范围内有意义，必须；要使在实数范围内有意义，必须；要使在实数范围内有意义，必须；要使在实数范围内有意义，必须，因此，取值范围是的是. 故选C．【考点】二次根式和分式有意义的条件.17.下列式子中，是最简二次根式的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】最简二次根式满足:1.被开方数中不能含有分母;2. 被开方数中不能有开得尽方的因数或因式.只有B符合条件; 选项A,C,D都不符合条件, 故选B.【考点】最简二次根式.【考点】最简二次根式18.化简：=_______________.【答案】【解析】根据二次根号下的数为非负数，可得，解得所以.【考点】二次根式的性质19.计算与化简（1）（2）【答案】（1）；（2）.【解析】（1）将前两项化为最简二次根式，第三项根据0指数幂定义计算，再合并同类二次根式即可；（2）应用完全平方公式和平方差公式展开后合并同类二次根式即可.试题解析：（1）.（2）.【考点】1.二次根式化简；2.0指数幂；3.完全平方公式和平方差公式.20.计算：(1)（2）（3）【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）将各根式化为最简单二次根式后合并同类根式即可；（2）括号内化最简单二次根式后合并同类根式，除式变为乘式计算即可；（3）应用完全平方公式和平方差公式展开后合并同类根式即可.试题解析：（1）.（2）.（3）.【考点】二次根式化简.21.计算：。
八年级数学：二次根式的乘除(乘法)练习题(含解析)
八年级数学：二次根式的乘除（乘法）练习题（含解析）一、 单选题（共10小题)1．已知2225152x x ---=,则222515x x -+-的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】∵2225152x x ---=,2222222222(2515)(2515)(25)(15)251510x x x x x x x x ----+-=---=--+=∴2225155x x -+-=.故选C.2．下列变形正确的是（ ）A ．()()4949--=-⨯-B ．[0,]8πC ．()2a b a b +=+D ．22252425241-=-=【答案】C【解析】详解: A 选项,因为被开方数是非负数,所以 ()()4949--=-⨯-错误,B 选项,165651644==,所以B 计算错误,C 选项, ()2a b a b +=+符合2a a =的性质,所以C 正确,D 选项, ()()2225242524252449-=-+==7,所以D 错误,故选C.3．计算×的结果是（ ）A ．B ．4C ．D ．2【答案】B【解析】 试题解析：.故选B.4．把1(1)1a a --,其结果是（ ）A 1a -B 1a -C 1a -D 1a -【答案】B【详解】解：∵根式有意义, ∴101a >-,解得：a 1<,∴a-1<0,∴(21111a 11a a a -=----（）=1a -故选B.5．一个长方形的长和宽分别是6、3,则它的面积是（ ）A ．63B ．2（63C ．2D ．3【答案】C【解析】由题意得, 63618182==.故选C.6．下列计算正确的是( )A ．3242=122B ()()()()925=925=35=15-⨯----⨯-C ．-D【答案】D 【解析】A 选项：24=,计算错误,故与题意不符；B 3515=⨯=,计算步骤有误,故与题意不符;C 选项：-==计算错误,故与题意不符；D 计算正确,故与题意相符. 故选D.7是整数,则正整数k 的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】B 【解析】试题解析： 8k =∴当2k =时4,==是整数,故正整数k 的最小值为2.故选B.8．计算（）﹣2）的结果是（ ）A ．1B ．0C ．﹣1D ．﹣7【答案】C 【解析】原式=222)2341=-=-=-. 故选C.9．计算A ．B ．C ．D ．【答案】C【详解】解：== 故选C.10=a b ,用含有a ,b ,下列表示正确的是A ．20.1abB ．30.1a bC ．20.2abD ．2ab【答案】B【详解】330.10.10.1a b a b =⨯= 故答案选：B.二、 填空题（共5小题)11．【答案】2【详解】=2,故答案为：2.12．计算： 20082009⋅=_________．【解析】原式=()200823⎡⎤⨯-⎣⎦13)x 0,y 0≥≥的结果是______．【答案】【详解】)0,0x y ≥≥=4=．故答案为：414．若x x y=+--则22x y -的值为______.【答案】-6【详解】∵x =y x y +--∴22x y -=（x+y ）(x-y)=）=-6. 故答案为-6.15．若一个长方体的长为cm,则它的体积为_____ cm 3.【答案】12.【解析】解：由题意得：=12．故答案为12．三、 解答题（共3小题)16．已知a ＋1a ＝1,求a 2＋21a 的值．【答案】【详解】∵11a a +=+∴a 2＋21a ＝21a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭－2＝(1)2－2＝9＋.17．计算:;a >0,b >0).【答案】（1）;（2）（3）5b.【详解】===;=-5b===.18．化简：；；．【答案】;(2)6;(3)4.【详解】解：（1）原式；（2）原式 =32=6；（3）原式.。
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二次根式的乘除法习题课
教学目标：1、通过练习巩固二次根式的乘、除法法则.
2、能根据式子的特点，灵活运用乘积、商的算术平方根的性质和分 母有理化等手段进行二次根式的乘、除法运算.
3、进一步培养学生运用所学知识分析问题和解决问题的能力.
教学重点：二次根式乘除法法则及运算.
教学难点：能正确运用性质、法则灵活进行有关二次根式乘除法的计算.
教学过程：
一、 复习
1、 填空：
（1）二次根式的乘法法则用式子表示为 .
（2）二次根式的除法法则用式子表示为 .
（3）把分母中的 化去，叫做分母有理化. 将式子
22a 分母有理化后等于 .
（4）44162+⋅-=-x x x 成立的条件是 .
（5）x x -=-2)2(2成立的条件是 .
（6）2121+-=+-x x x x 成立的条件是 .
（7）化简： =24 . =⨯1259 . =-222129 . =c b a 324 .
=499 . =9
44 . =224c
b a . （8）计算： =⋅1510 . =⋅
x
xy 1312 .
=÷6
5321 . 2、 判断题：下列运算是否正确.
（ ）（1）ππ-=-14.3)14.3(2
（ ）（2）767372=⨯
（ ）（3）636)9()4(94==-⨯-=--
（ ）（4）5
125432516925169=⨯=⋅= （ ）（5）5.045.16=
（ ）（6）73434342222=+=+=
+ （ ）（7）22
8= （ ）（8）32
123= 3、你能用几种方法将式子
m m
（ m ＞0 ）化简? 二、讲解新课：
1、运用乘法分配律进行简单的根式运算.
例1 计算 （1）)2732(3+ （2）24)654(-
解: (1)原式=273323⨯+⨯ =273332⨯+⨯ =2
2932+
=6+9
=15
(2)原式=2462454⋅-⋅
=2462454⨯-⨯ =4666496⨯⨯-⨯⨯⨯ =2
222226236⨯-⨯⨯ =2222226236⨯-⨯⨯
=6×3×2-6×2
=24
归纳小结：1、在有理数范围内，乘法分配律是： a （b+c ）=ab+ac 这个运算律在实数范围内也适用. 2、在运律过程中要注意符号.
练习一、 计算 (1) )82(2+ (2) a a a 5)5320(+ (3) ab ab
b a a b ab ⋅--+)12( 2、比较两个实数的大小.
前面我们已经学过比较两个无理数大小的方法,就是先求无理数的近似值，转化为比较有理数的大小，从而得出两个无理数的大小.
下面我们介绍比较两个无理数大小的另一种方法.
两个正数中，较大的正数，它的算术平方根也较大，即a>b>0时，可以得出a >b . 也就是说，比较两个二次根式的大小，可以转化为先比较它们被开方数的大小，从而得出两个二次根式的大小.
例2 比较下列两个数的大小
（1）6与7 （2）23与32
解：（1） 因为6<7，所以6<7.
（2） 因为23=18232322=⨯=⋅， 32=12323222=⨯=⋅，
又因为18>12， 所以18>12.
即 23>32.
归纳小结：先应用式子)0(2≥=a a a 把根号外面的因式（或因数）移入根号内，通过比较被开方数的大小，来比较这两个根式的大小.
练习二、比较下列各组中两个数的大小：
（1）8.2与4
32 （2）67与76 （3）65-与56- （4）323
-与533- 3、二次根式的乘除混合运算.
例3 计算 （1）2
1223222330÷⨯ （2）)23(62325b a a b b
a a
b b -⨯÷ 解：（1）原式=2
52383023÷⨯ =)2
5810)(223(÷⨯÷ =)52810)(2123
(⨯
⨯⨯ =244
3⨯ =23
（2）原式=)2
3())(62(352b a a b ab b a b -⨯÷÷ =)2
3(62352b a a b ab a b b -⨯÷⋅ =b a b
a a
b a b 35)23(3⨯⨯-⨯
=552b a a
b -
=ab b a a b 222⋅- =ab ab 23
-
注意：这是二次根式乘除的混合运算，与有理数的混合运算一样，按先后从左到右顺序进行.
练习三、计算 （1）2
1223151437⨯÷- （2）)23()23
(3a a b ab -⨯-÷ 4、运用分母有理化进行计算.
例4 化简100991
431
321
211
++++++++
分析：当分母里二次根式的被开方数都相差1时，如果分母有理化后则变为1或-1，就可将原式变为不含分母的二次根式.
解：原式=1
99100134123112-++-+-+- =1100-
=10-1
=9
注意：这种解题方法是一种常用的技巧，应掌握. 思考题：计算
324213-+⋅- 三、小结：
1、二次根式的乘法公式ab b a =⋅（a ≥0,b ≥0）,由左到右是先乘再开方,由右到左是先开方再乘,运用此公式可以进行二次根式的化简和计算. 公式运用时, 要根据题目以简便为准.
2、在进行二次根式的乘除法混合算时, 如果没有括号, 应按从左到右的顺序进行运算, 运算结果要注意化简, 使被开方数中每个因式(或因数)的指数都小于2.
3、分母有理化的关键是找出分子与分母同乘以一个怎样的代数式, 才能使分母变为
有理式(或有理数).它的理论根据是分式的基本性质.
四、五分钟测评.
五、布置作业 .
二次根式乘除运算实用技巧五则
在进行二次根式的乘除运算时，若能根据题目的特点适当选择解题方法，通常可使问题化繁为简，从而提高运算的速度。
现将其中使用较为广泛的五个技巧小结如下，供同学们学习时参考。
1、直接用公式
例1、计算：
（1）（2）
解：
（1）=1。
（2）=2。
评析：这是二次根式的乘除运算的通法，要熟练掌握。
2、逆用公式
例2、计算：
（1）（2）
解：
（1）==
==5×6=30；
（2）==2
评析：根据题目的特点，先逆用公式，有时比直接用公式进行计算效果要好。
3、先逆用公式，再约分
例3、计算：
（1）5÷4（2）2÷4
解：
（1）5÷4==；
（2）2÷4=。
评析：对于型问题，先转化成型问题，后再逆用公式，进行约分，计算的速度会大大提高。
4、变形公式：
例4、计算：
（1）（2）
解：
（1）=；
（2）=
评析：把二次根式的除法转化成被开方数的除法，然后颠倒相乘，也不失一种好方法。
5、混合运算时，有理、无理分开算
例3、计算：
÷5
解：
÷5
=（÷5×2）×（÷）
=×（
=×
=×=
评析：
当遇到乘除混合运算时，不妨分成有理数之间的运算和含根号部分的运算，这样就会减少许多不必要的环节，使运算条例而有序，从而提高解题的速度和准确率。