三视图高考题解题技巧及教学建议

三视图高考题解题技巧及教学建议

【摘要】对近三年来全国各省市高考题中的三视图问题进行分类整理，探讨三视图高考题的解题技巧及教学建议。

【关键词】三视图高考题解题技巧教学建议

《高中数学课程标准》明确指出：培养和发展学生的空间想象能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力，是高中阶段数学必修系列课程的基本要求。为了保证学生的空间想象能力得到有效的培养，新教材关于立体几何部分新增了平行投影、中心投影、三视图等内容。自此，三视图问题在各省市近年的数学高考题中频频出现。经过对各省市三年来的三视图高考题的比较研究，笔者发现三视图高考题大致可分为三种题型，并从中精选了一些三视图高考题。基于此，本文从三种题型出发，探讨三视图高考题的解题技巧及教学建议。

一、虚线在三视图中的重要作用

（2012·湖南卷理科第3题）某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是（）

简要解答：本小题选D，主要考察虚线在三视图中的应用。因为D 答案中的几何体上方的三棱柱的正视图与侧视图并不相同，其正视图应如图2。

教学建议：尽管学生在初中时期就已经接触到了关于三视图的一些知识，如正视图、侧视图、俯视图的相对位置等，但是，初中阶段的数学课程标准只要求学生能画出或判断出几何体三视图的形状即可，对尺寸、线条不做严格的要求。到了高中阶段，学生继续学习三视图则是在初中关于“投影与视图”的基础上的进一步发展。高中教材明确规定，在画几何体的三视图时，能看见的轮廓线和棱用实线表示，不能看见的轮廓线和棱用虚线表示。引入虚线的目的是为了更准确、更形象地通过三视图刻画一些简单的几何体，有效地提高学生对简单几何体和组合体的认知能力，培养其空间想象能力。因此，教师在教学时应密切关注虚线在三视图中的作用，并培养学生良好的作图习惯。二、投影面的位置变化对几何体三视图的影响

（2013·湖南卷理科第7题）已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于（）。

教学建议：教材中关于三视图的定义是建立在平行投影的基础上的，所以要准确作出几何体的三视图，必须准确理解平行投影的特征，这与物理学科中关于线圈磁通量的计算方法相类似。因此，教师在三视图的教学中应该具备一定的灵活性，渗透可以将几何体进行适当的“旋转”这一理念，来强调投影面的位置变化对几何体三视图中的哪些

数据产生影响，以及投影面的位置变化对几何体的三视图中哪些数据没有影响。如正方体放置在桌面上“旋转一定的角度”，则正视图的长会受到影响，但正视图的宽不受影响（仍为几何体的高）。同理，其侧视图也将产生一定的变化。又如，2013年新课标Ⅱ卷理科第7题，该题通过引入空间直角坐标系，将三视图与空间向量的知识联系在一起，并专门强调以zOx为投影面，进一步考察了投影面的位置变化时，对几何体三视图所造成的影响。

三、旋转体与多面体的异同点

（2013·湖北卷理科第8题）一个几何体的三视图如图3所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为V1，V2，V3，V4，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有（）。

A.V1＜V2＜V4＜V3

B.V1＜V3＜V2＜V4

C.V2＜V1＜V3＜V4

D.V2＜V3＜V1＜V4

教学建议：旋转体与多面体是简单几何体的两种基本形式，它们的定义、直观图和几何性质等特征都具有明显的区别。但是，基于平行投影的知识可知，二者的正视图和侧视图有可能出现相同的情况，如圆

柱、直四棱柱的正视图和侧视图都可能是矩形，圆台、棱台的正视图和侧视图可能都是等腰梯形。因此，不能光凭正视图和侧视图就急于下结论，而应根据已知条件或俯视图来判断几何体的类型，再进行下一步的推理。同时，在高考题中还经常涉及与简单组合体相关的三视图问题，如2011年陕西卷文科第5题、2013年浙江卷理科第12题，等等。不管高考题中的组合体是由简单几何体拼接而成，还是分割而成，只要我们以整体的角度来研究组合体的三视图，密切注意旋转体与多面体的三视图的异同点，就能准确分析组合体的真正结构，从而突破题目的难点，化繁为简，化难为易，事半功倍。

总之，三视图知识的高考题能有效地检测考生的空间想象能力和运用知识解决问题的能力。它需要考生灵活运用所学习过的知识，并注重一些三视图知识的特殊细节，才能在高考中准确、高效地解决问题。因此，一线教师应有意识地对学生加强这些细节的教育，才能使三视图的教学起到有的放矢、事半功倍的效果。