大学高等数学函数pptPPT课件
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大学高等数学课件 1.2 函数概念
记作 y f (x) , x D .
因变量 自变量 定义域 , 记为 D( f )
值域 R( f ) {y y f (x), xD( f )}
全体函数值的集合 f 在点 x 处的函数值
注意：在函数的定义中 , 对于 x D( f ) , 对应的函数值
y f (x)是唯一的 ; 但对于 y R( f ) , 其自变量不一定唯
g(
x)
2x2
1,
x 2
的定义域，并作其图形.
解
x 2 或 x 2
2 x 4
4 x 4
x [4, 2) (2, 4];
x 2 x [2, 2];
由于分段函数定义域是各段定义域的并集，
故 g 的定义域为
D(g) [4,2) (2,4] [2,2] [4,4]
y
4 2 O 2 4 x
一.
例如： y x2
x R , R( f ) y y 0.
对于每一个函数值 y R( f ) , 对应的自变量有两个: x y 和 x y.
函数的两个要素：定义域 D( f ) 和对应法则f .
约定：如无特别指出，定义域是自变量所能取的使表达式 有意义的一切实数．
例如: y 1 x2 , D : 1,1 .
实际的含义，此时定义域的确定需根据实际情况来确定 .
比如在圆面积公式S πr2中， r 表示圆半径 , 它必是正数， 故此函数的定义域为(0,) .
若不考虑实际意义,则上述函数的自然定义域 为 (,).
P.8 练习1.2 2（1）；4（1）；3（1）
2. 分段函数
有些函数在它的定义域的不同部分,其表达式不同，亦即 用多个解析式表示函数，这类函数称为分段函数.
《高等数学》电子课件(同济第六版)01第一章 第1节 函数
第一节 映射与函数
一、集合
二、函数概念 三、映射 四、函数的特性 五、反函数
六、基本初等函数 七、复合函数 初等函数
1
第一节 映射与函数
一.集合:
1、集合
M {x x具有特定性质}
有限集 如 M {0,1,2, ,9}
无限集 如 M2 {( x, y) x2 y2 1}
2、集合间的关系：
（1） 子 集 ；（2） 集 合 相 等 ；（3） 空 集 ；
2
故定义域为
D
[
0
,
1 2
)
12
3、几个特殊的函数举例
(1) 符号函数
1 当x 0
y
sgn
x
0
当x 0
1 当x 0
定义域 D (, ), 值域 W {1,0,1}
图形：
y
1
o
x
-1
x sgn x x 13
(2) 取整函数： y=[x] [x]表示不超过 x 的最大整数
如 [3] 0, [ 3] 1, [8] 8, [3.8] 4.
x, x 1
f
(x)
min{ x , x2}
x
2
,
1 x 1
三、映射（自学）x, x 1
19
四、函数的特性
1．函数的有界性:
若X D,M 0,x X,有 f (x) M 成立,
则称函数f ( x)在X上有界.否则称无界.
如 y cos x 在（ ， ）上有界， 2 x2
y
1 x2
作业
习题11 P21
4(1)(3)(5)(7)(9),5(2)(3),6,7(1),10,11, 12(1)(3)(5),14(1)(3)(5),16,17,18
一、集合
二、函数概念 三、映射 四、函数的特性 五、反函数
六、基本初等函数 七、复合函数 初等函数
1
第一节 映射与函数
一.集合:
1、集合
M {x x具有特定性质}
有限集 如 M {0,1,2, ,9}
无限集 如 M2 {( x, y) x2 y2 1}
2、集合间的关系：
（1） 子 集 ；（2） 集 合 相 等 ；（3） 空 集 ；
2
故定义域为
D
[
0
,
1 2
)
12
3、几个特殊的函数举例
(1) 符号函数
1 当x 0
y
sgn
x
0
当x 0
1 当x 0
定义域 D (, ), 值域 W {1,0,1}
图形：
y
1
o
x
-1
x sgn x x 13
(2) 取整函数： y=[x] [x]表示不超过 x 的最大整数
如 [3] 0, [ 3] 1, [8] 8, [3.8] 4.
x, x 1
f
(x)
min{ x , x2}
x
2
,
1 x 1
三、映射（自学）x, x 1
19
四、函数的特性
1．函数的有界性:
若X D,M 0,x X,有 f (x) M 成立,
则称函数f ( x)在X上有界.否则称无界.
如 y cos x 在（ ， ）上有界， 2 x2
y
1 x2
作业
习题11 P21
4(1)(3)(5)(7)(9),5(2)(3),6,7(1),10,11, 12(1)(3)(5),14(1)(3)(5),16,17,18
大学高数第一章函数和极限ppt课件
例如函数 y x2 在 (, 0) 上单调递减， 在 (0, ) 上单调递增
7
3.函数的奇偶性
如函数 y f (x) 的定义域 D 关于原点对称，且对于任意 xD ，均有： f (x) f (x) ，则称该函数在其定义域内是偶函数； 若是 f (x) f (x) ，则称该函数在其定义域内是奇函数；
lim 3x
x
28
2、当 x x0 时函数极限
定义 1.6 设函数在点 x0 附近有定义（但在这一点可以没有
定义），若 x （ x x0 ）无论以怎样的方式趋近于 x0 ，函
数 f (x) 都无限趋近于一个常数 A ，就称当 x 趋近于 x0 时，
函数以 A 为极限，记为：
lim f (x) A 或
(2)
1 x 1
ln(x 0
1)
1
1
e
x
1 1
x
e
1
D :[1 1, e 1] e
12
邻域的概念
以 x0 为中心的任何开区间称为点 x0 的邻域，记作 N x0 。 设 为任一正数，称开区间 x0 , x0 为 x0 的 邻 域，记作 N x0 , ， x0 称为邻域的中心， 称为邻域的半
无界的。
如:函数 y sin x ，在 ,内有界,且：| y | 1
10
1.1.3复合函数
定义 1.2 如变量 y 是变量 u 的函数，变量 u 又是
变量 x 的函数，即： y f (u) ， u (x) ， 且 u (x) 的值域与 y f (u) 的定义域有公共部分， 则称 y 是 x 的复合函数，记作： y f [(x)]
7
3.函数的奇偶性
如函数 y f (x) 的定义域 D 关于原点对称，且对于任意 xD ，均有： f (x) f (x) ，则称该函数在其定义域内是偶函数； 若是 f (x) f (x) ，则称该函数在其定义域内是奇函数；
lim 3x
x
28
2、当 x x0 时函数极限
定义 1.6 设函数在点 x0 附近有定义（但在这一点可以没有
定义），若 x （ x x0 ）无论以怎样的方式趋近于 x0 ，函
数 f (x) 都无限趋近于一个常数 A ，就称当 x 趋近于 x0 时，
函数以 A 为极限，记为：
lim f (x) A 或
(2)
1 x 1
ln(x 0
1)
1
1
e
x
1 1
x
e
1
D :[1 1, e 1] e
12
邻域的概念
以 x0 为中心的任何开区间称为点 x0 的邻域，记作 N x0 。 设 为任一正数，称开区间 x0 , x0 为 x0 的 邻 域，记作 N x0 , ， x0 称为邻域的中心， 称为邻域的半
无界的。
如:函数 y sin x ，在 ,内有界,且：| y | 1
10
1.1.3复合函数
定义 1.2 如变量 y 是变量 u 的函数，变量 u 又是
变量 x 的函数，即： y f (u) ， u (x) ， 且 u (x) 的值域与 y f (u) 的定义域有公共部分， 则称 y 是 x 的复合函数，记作： y f [(x)]
函数的极限【高等数学PPT课件】
A(或f
( x0
0)
A)
右极限: 定理1
lim
xx0
f (x)
A(或f (x0
0)
A)
lim f (x) A lim f (x) lim f (x) A
xx0
xx0
xx0
x sin x, x 0
例1
试问函数f ( x)
10, x 0
(c) Sketch the graph of F.
例2 lim sin x不存在 x
lim sin 1 不存在.
x0
x
y sin 1 x
思考与练习
1. 若极限 lim f ( x) 存在, 是否一定有
x x0
lim f ( x) f ( x0 ) ？
x x0
2. 设函数 f ( x) a x2, x 1 且 2x 1, x 1
lim f ( x)
x1
存在, 则 a 3 .
3.Let F (x) x 2 1 .
x 1
(a) Find (i) lim F (x) x 2 1 .
x1
x 1
(ii) lim x1
F(x)
x2 1 .
x 1
(b) Does lim F(x). exist?
x1
lim f ( x) lim f ( x) lim f ( x) 不存在.
x0
x0
x0
二、函数极限的性质
1.惟一性
定理1 (极限的惟一性) 如果函数极限
存在，则极限值惟一.
2.有界性
定理2 (局部有界性)
如果极限 lim f (x) xx0
高等数学 第一部分 函数、极限与连续 课件ppt
a 1 时，y log a x 单调递增， y
y logax (a 1)
0 a 1时y， log a x 单调递减。 o
x
y logax (0 x 1)
1-1 函数
4. 三角函数
正弦函数：y sin x
定义域：(,)．
值 域：[1,1] ．
单调性：
在
2
2k , 2
2k
单调增加；2
1-1 函数
函数的表示法
1）以数学式子表示函数的方法叫公式法如： y x2, y cos x 公式法的优点是便于理论推导和计算．
2）以表格形式表示函数的方法叫表格法，它是 将自变量的值与对应的函数值列为表格，如三角函 数表、对数表等，表格法的优点是所求的函数值容 易查得．
3）以图形表示函数的方法叫图形法或图象法， 这种方法在工程技术上应用很普遍，其优点是直观 形象，可看到函数的变化趋势．
4
2
3
（2） y sin x cosx 的周期T 2
（3） y cos 2x tan x 的周期T 3 ．
3 3 6
1-1 函数
4．有界性
定义 1.6 设函数 y f (x) 的定义域为 D，如果存在 一个正常数 M，使得对于任意的 x D ，都有| f (x) | M , 则称函数 y f (x) 在 D 上有界．如果不存在这样的正常 数 M，即对任意的正常数 M，都存在某个点 x0 D ，使 得| f (x0 ) | M , 则称函数 y f (x) 在 D 上无界．
2k ,
3
2
2k
单调减少．
奇偶性：奇函数．
周期性：周期函数．
有界性：有界函数．
余弦函数：y cosx
1-1 函数
高等数学 函数课件
性质
幂级数具有收敛半径、收敛区间和收敛域等性质， 这些性质决定了幂级数的展开式和函数关系。
分类
根据项的幂次性质，幂级数可以分为多项式 级数、幂函数级数和三角函数级数等类型。
幂级数的应用
函数展开
幂级数可以用于函数的展开，将复杂的函数表示为简单的 幂级数形式，便于分析函数的性质和计算。
01
无穷小分析
幂级数在无穷小分析中具有重要应用， 通过幂级数可以研究函数的极限和连续 性等性质。
在至少一个d∈(a, b)，使得f(d)=c。
函数的间断点
第一类间断点
函数在该点的左右极限都存在，但至少有一 个极限不等于该点的函数值。
第二类间断点
函数在该点的左右极限至少有一个不存在。
可去间断点
函数在该点的极限存在，但等于该点的函数 值，该点可以视为连续的。
跳跃间断点
函数在该点的左右极限都存在，但不相等， 该点是间断的。
导数的四则运算
通过导数的四则运算，我们可以求出一些复合函数的 导数。
隐函数的导数
对于一些由方程定义的函数，我们可以通过对方程两 边求导来求得函数的导数。
微分的概念与计算
01
微分的定义
微分是函数在某一点处的线性逼 近，它描述了函数在该点附近的 小变化。
02
03
微分的几何意义
微分的计算
微分的几何意义是切线的斜率， 即函数图像在该点处的切线的斜 率。
连续性的性质
01
零点定理
如果函数在区间[a, b]上连续，且f(a)和f(b)异号，则存在至少一个
c∈(a, b)，使得f(c)=0。
02
中值定理
如果函数在区间[a, b]上连续，且a≠b，则存在至少一个c∈(a, b)，使
高等数学1.3函数的连续性第二节课.ppt
一、连续函数的四则运算的连续性
定理 1 如果函数 f (x) 和 g(x) 均在点 x0 连续，则它们 的和（差） f (x) g(x) 、积 f (x) g(x) 、以及商 f (x)
g(x) （ g(x0 ) 0 ）都在点 x0 连续．
例如，函数 y sin x 、 y cos x 都在区间 (,) 内连
lim
xx0
f [(x)]
f [(x0)]
f [lim (x)] xx0
例3. 求 lim ln x2 x1
解：u x2在x 1处连续，ln u在u 1处连续，
故复合函数ln x2在x 1处连续，故
lim ln x2 ln( lim x2 ) ln 1 0
x1
x1
2
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3
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sin x
例4. 求 lim e x
x0
sin x
lim e x
lim sin x
ex0 x
e1
e
x0
4
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2. 上式不仅对x x0成立，对x , x , 或者x x0 也成立
即：设外函数y f (u)在点u0处连续，且内函数
满足lim (x) u0
以了．即
lim
xx0
f (x)
f
(x0 ) ．因此，关于初等函数连续性的结
论提供了求极限的一种方法．这就是：如果 f (x) 是初等函数，
且
x0 是
f
(x) 的定义域内的点，那么 lim xx0
f (x)
f (x0 ) ．
8
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定理 1 如果函数 f (x) 和 g(x) 均在点 x0 连续，则它们 的和（差） f (x) g(x) 、积 f (x) g(x) 、以及商 f (x)
g(x) （ g(x0 ) 0 ）都在点 x0 连续．
例如，函数 y sin x 、 y cos x 都在区间 (,) 内连
lim
xx0
f [(x)]
f [(x0)]
f [lim (x)] xx0
例3. 求 lim ln x2 x1
解：u x2在x 1处连续，ln u在u 1处连续，
故复合函数ln x2在x 1处连续，故
lim ln x2 ln( lim x2 ) ln 1 0
x1
x1
2
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sin x
例4. 求 lim e x
x0
sin x
lim e x
lim sin x
ex0 x
e1
e
x0
4
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2. 上式不仅对x x0成立，对x , x , 或者x x0 也成立
即：设外函数y f (u)在点u0处连续，且内函数
满足lim (x) u0
以了．即
lim
xx0
f (x)
f
(x0 ) ．因此，关于初等函数连续性的结
论提供了求极限的一种方法．这就是：如果 f (x) 是初等函数，
且
x0 是
f
(x) 的定义域内的点，那么 lim xx0
f (x)
f (x0 ) ．
8
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大学高等数学函数ppt
有界性
若函数在某点的极限存在，则该函数在该 点的值是有界的。
局部四则运算性质
若两个函数的极限都存在，则它们的和、 差、积、商的极限也存在，且分别等于它 们各自极限的和、差、积、商。
无穷小量与无穷大量
无穷小量
在自变量趋近某一值时，函数值无限趋近于0。
无穷大量
在自变量趋近某一值时，函数值无限增大。
无穷小量与无穷大量的关系
定积分的概念
定积分定义
定积分是积分的一种，是函数在 区间上积分和的极限。定积分实 际上是一个数，而不像不定积分 那样是一种函数。
几何意义
定积分的值可以看作是曲线与x轴 所夹的面积，即“以直代曲”的 思想。
计算方法
通过微积分基本定理，可以将定 积分转化为求解原函数在区间端 点处的值之差。
定积分的性质
根据函数的定义域，函数可以分为实数函数、复数函数、离散函数等；根据函数的值域，函数可以分为常数函数、 一次函数、二次函数等；根据函数的特性，函数可以分为连续函数、可导函数、有界函数等。
02
函数的极限
极限的定义
极限的描述性定义
当自变量趋近某一值时，函数值无限接 近于某一常数，称该常数为函数的极限 。
两者之间可以相互转化。例如，当$x to infty$时，$frac{1}{x}$由无穷小量转化为无穷大量；当$x to 0^+$时，$x^2$由无穷小量转化为无穷大量。
03
导数与微分
导数的定义
总结词
导数是描述函数在某一点附近的变化率的重要概念。
详细描述
导数定义为函数在某一点处的切线的斜率，表示函数在该点附近的小变化所引起的函数 值的大小的变化率。导数的计算公式为lim(x→0) [f(x+Δx)-f(x)]/Δx，其中Δx是自变量
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y 14
3
y = [x] = n, n ≤ x < n + 1,
2
n = 0, ±1,± 2, …
-4 -3 -2 -1 o-11 2 3 -2
45
x
-3
其定义域为D( f )＝(－
-4
∞,+∞),
值域为Z( f )＝Z.
阶梯曲线
可以证明：对于任何实数x, 有不等式
[x] ≤x < [x] + 1.
考核及要求
1. 期末总评成绩的计算
期末考试成绩占70%，平时成绩占30%。
平时成绩：期中测验成绩，作业成绩，考勤。
2. 考勤
不许旷课、迟到、早退，自觉维护课堂纪律。
3. 作业
要求认真完成作业，按时交作业。严禁抄作业。字迹
潦草、表达混乱、乱划乱改的作业返回重做，甚至取
消该次成绩。
4. 答疑
时间：
地点：四教西305
课程特点与学习方法
特点：1. 课堂大 2. 时间长 3. 进度 快 方法: 1. 课前预习 2.重点听讲
3. 简记笔记 4. 整理咀嚼 5. 后作练习 6. 答疑
5
第一章 函 数
函数的概念及基本特性 预备知识
1、数的扩张：
自负然整数数整 分
数有 数
理
数实数复
解：(1) ∵函数的定义域为(－∞, +∞), 且
f ( x) ln[ x 1 ( x)2 ] ln( x 1 x2 )
( x 1 x2 )(x 1 x2 ) ln
x 1 x2
ln
1
ln(x 1 x2 )
x 1 x2
记作 U( x0 , ) { x || x x0 | } { x x0 x x0 }.
x0
x0
x0
x
去心邻域： 0 点x0的去心的 邻域, 记作U (x0 , ). 0 U (x0, ) {x 0 x x0 } (x0 , x0 ) (x0 , x0 ).
其中( x0 , x0 )称为 x0 的左邻域,
( x0 , x0 )称为 x0 的右邻域。
函数概念
若x与y是两个变量，D是一个非空的实数集合。设有一个 对应规则 f，使每一个 x D,都有一个确定的实数 y与之对 应，则称这个对应法则 f 为定义在 D上的一个函数关系， 或称y是x的函数，记作
oa
b
x
◆半开区间：
{x a x b} 记作 [a,b)
oa
b
x
{x a x b} 记作 (a,b]
oa
b
x
◆区间长度
两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度. 区间的划分：1.有限区间 2.无限区间
{x x b} 记作(,b)
ob
x
4、邻域 设x0与是两个实数 , 且 0. 数集{ x x x0 }称为点x0的 邻域 , 点x0叫做这邻域的中心, 叫做这邻域的半径 .
= -f (x)
∴f (x)是奇函数.
2、函数的周期性
设函数f (x)的定义域为 D，如果存在一个不为零 的 数 T，使得对于 x D, (x T ) D且 f (x T ) f (x)恒 成立. 则称f (x)为周期函数，T 称为f (x)的周期.
（通常说周期函数的周期是指其最小正周期或基本周期）.
数
无 理数
虚 数
2、数的几何表示：数轴
实数与数轴上的点之间具有一一对应的关系。
3、区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数.这 两个实数叫做区间的端点.
a,b R,且a b. ◆开区间： {x a x b} 记作 (a,b)
oa
b
x
◆闭区间： {x a x b} 记作[a,b]
y f (x)
因变量
自变量
定义域：数集D叫做这个函数的定义域, 记作 D( f )
值 域：函数值全体组成的数集, 即 {y | y f (x), x D( f )}，记作Z或者Z( f ).
(1)、函数的定义域
1.数学角度：定义域是自变量所能取的使算 式有意义的一切实数值, 这种定义域称为 函数的自然定义域.
大体分为以下几种： a)偶次方根号 b)分式的分母 c)对数的真数 d)三角函数（正切余切）和反三角函数， e)以上情况的复合等
2.实际应用 时间，高度，热度等等
几个特殊的函数举例
(1)绝对值函数
y
x
x x
x0 x0
其定义域为D( f )＝(－∞,+∞), 值域为Z( f )＝[0, +∞).
（4）分段函数：在自变量的不同变化范围中,对 应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函 数. 注意：
(1) 分段函数的定义域是其各段定义域的并集；
(2) 分段函数在其整个定义域上是一个函数, 而 不
是几个函数.
二.函数的基本特性
1、函数的奇偶性
设D关于原点对称，若对于 x D, 且
f (x) f (x)
高等数学Ⅲ
微积分
自我介绍
姓 名：张智勇 地 点：四教西305室 E-mail : zzy@
课程介绍
课程名称：微积分 学 分：4 学分 学 时：64 学时（1周-16周） 课程内容：1. 函数、极限与连续
2. 导数与微分 3. 中值定理与导数应用 4. 不定积分 5. 定积分及其应用
3l 2
l 2
l 2
则称 f (x)为偶函数 ；
y y f (x)
f (x)
f (x)
-x o x
x
偶函数
设D关于原点对称, 若对于x D, 有
f (x) f (x)
则称 f ( x)为奇函数.
-x f (x)
y
y f (x)
f (x)
o
xx
奇函数
例 判断下列函数的奇偶性：
f (x) ln(x 1 x2 );
y
y x
o
x
(2) 符号函数
1 当x 0
y
sgn
x
0
当x 0
1 当x 0
y
1
o
x
-1
其定义域为D( f )＝(－∞,+∞), 值域为Z( f )＝{－1, 0, 1}. 可以证明：对于任何实数 x, 下列关系成立:
x sgn x x
(3) 取整函数
设 x 为任一实数, 不超过x 的最大整数称为 x 的整数部分, 记作 [x]. 即