2019-2020学年安徽省淮北一中高一(上)期中数学试卷试题及答案(解析版)

22．已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ．
（Ⅰ）求函数 在 上的解析式；
（Ⅱ）若 ， ，函数 ，是否存在实数 使得 的最小值为 ，若存在，求 的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）若 ，则 ，
当 时， ．且 是奇函数，
当 时， ，
即当 时， ，
则 ．
（Ⅱ）若 ， ，
，
设 ， ， ， ， ，
对于②，令 ，解得 ，所以 的定义域是 ，
且 ，所以函数 为奇函数，②正确；
对于③，对于任意 ，有 ；
又 ，所以 ，③正确；
对于④，对于任意的 ， ，
有 （a） （b） ，
又 ，所以 （a） （b） ，④正确；
对于⑤，对于函数 的定义域中任意的两个不同实数 ， ，总满足 ，
即说明 是单调递增函数，但 是减函数，所以⑤错误；
综上只有当 才满足条件．
即存在存在实数 使得 的最小值为 ．
22．已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ．
（Ⅰ）求函数 在 上的解析式；
（Ⅱ）若 ， ，函数 ，是否存在实数 使得 的最小值为 ，若存在，求 的值；若不存在，请说明理由．
2019-2020学年安徽省淮北一中高一（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
如图所示， 月增加 ， 月增加 ，故④不正确．
对⑤由于： ， ， ，
， ， ，
又因为 ，
若浮萍蔓延到 、 、 所经过的时间分别为 ， ， ，则 成立．
故选： ．
12．已知函数 ，若方程 有4个解时，实数 的取值范围为
A． B．
C． D．
【解答】解：令 ， ， 有一解，
， ， 有两解，
， 有3解，
所以 有两不相等的实根 ， ，
20．“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度 （单位：千克 年）是养殖密度 （单位：尾 立方米）的函数．当 不超过4（尾 立方米）时， 的值为2（千克 年）；当 时， 是 的一次函数；当 达到20（尾 立方米）时，因缺氧等原因， 的值为0（千克 年）．
2019-2020学年安徽省淮北一中高一（上）期中数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
1．若 ，7， ，则集合 的真子集共有
A．3个B．5个C．7个D．8个
2． 的定义域是
A． ， ， B． ，
C． ， D． ， ，
3．已知函数 的零点所在的大致区间为
A． B． C． D．
4．设 ， ， ，则
17．计算：
（1） ；
（2） ．
18．已知全集为 ，函数 的定义域为集合 ，集合 ．
（1）求 ；
（2）若 ， ，求实数 的取值范围．
19． 为何值时，函数 ．
（1）在 上有两个零点；
（2）有两个零点且均比 大．
20．“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度 （单位：千克 年）是养殖密度 （单位：尾 立方米）的函数．当 不超过4（尾 立方米）时， 的值为2（千克 年）；当 时， 是 的一次函数；当 达到20（尾 立方米）时，因缺氧等原因， 的值为0（千克 年）．
A． B．
C． D．
7．函数 的单调递增区间是
A． B． C． D．
8．已知函数 对任意两个不相等的实数 ，都满足不等式 ，则实数 的取值范围是
A． ， B． ， C． D．
9．已知 ，若正实数 满足 ，则 的取值范围为
A． B． 或 C． 或 D．
10．已知函数 ，若定义在 上的奇函数 ，有 （1） ，则
1．若 ，7， ，则集合 的真子集共有
A．3个B．5个C．7个D．8个
【解答】解：因为 ，7， 共3个元素，
故集合 ，7， 共有 个真子集，
故选： ．
2． 的定义域是
A． ， ， B． ，
C． ， D． ， ，
【解答】解：要使函数有意义，则 ，即 ，
解得 或 ，
故选： ．
3．已知函数 的零点所在的大致区间为
①同学甲发现：函数 的零点为 ；
②同学乙发现．函数 是奇函数；
③同学丙发现：对于任意的 都有 ；
④同学了发现：对于任意的 ， ，都有 ；
⑤同学戊发现：对于函数 定义域中任意的两个不同实数 ， ，总满足 ；
⑥同学己发现．求使 的 的取值范围是 ．
其中正确成果的序号为②③④．
【解答】解：对于①，由 ，所以函数 的零点是0，所以①说法错误；
A． B． C． D．
5．已知集合 ， ，若 ，则实数 的值构成的集合是
A． ，0， B． ， C． ， D． ，
6．我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数 的图象大致是
③浮萍从 蔓延到 需要经过1.5个月；
④浮萍每个月增加的面积都相等；
⑤若浮萍蔓延到 、 、 所经过的时间分别为 、 、 ，则 ．
其中正确的是
A．①②B．①②③④C．②③④⑤D．①②⑤
【解答】解： 点 在函数图象上，
，故①正确；
函数 在 上是增函数，且当 时， 故②正确，
4对应的 ，经过1.5月后面积是 ，故③不正确；
由 ，即 ，得 或 ；
所以 ，
所以 ；
（2）由题意知， ，且 ，
①当 时，满足要求，此时 ，解得 ；
②当 时，要 ，
应满足 ，
解得 ；
由①②得，实数 的取值范围是 ．
19． 为何值时，函数 ．
（1）在 上有两个零点；
（2）有两个零点且均比 大．
【解答】解：（1）依题意得 ，
解得 ；
（2）由 ，
解得 ．
（1）当 时，求函数 的表达式；
（2）当养殖密度 为多大时，鱼的年生长量（单位：千克 立方米） 可以达到最大，并求出最大值．
【解答】解：（1）由题意：当 时， ．
当 时，设 ，显然 在 ， 是减函数，
由已知得 ，
解得
故函数
（2）依题意并由（1），
得 ，
当 时， 为增函数，
故 （4） ．
当 时， ，
．
A． B． C． D．
【解答】解： （1） ，
（2）
又在 上函数 的图象是连续不断的一条曲线，
所以函数 在区间 上存在零点．
故选： ．
4．设 ， ， ，则
A． B． C． D．
【解答】解： 底大于0小于1而真数大于
，
故选： ．
5．已知集合 ， ，若 ，则实数 的值构成的集合是
A． ，0， B． ， C． ， D． ，
则 等价为 ，
对称轴为 ，
①若 ，即 时， 在 ， 上为增函数，此时当 时，最小，
即 （1） ，即 成立，
②若 ，即 时， 在 ， 上为减函数，此时当 时，最小，
即 （2） ，此时不成立，
③若 ，即 时， 在 ， 上不单调，此时当 时，最小，
即 ，
此时 在 时是减函数，当 时取得最小值为 ，即此时不满足条件．
【解答】解： ， ，
若 ，
则若 ，即 时，满足条件 ．
若 ，则 ，
要使 ，则 ，
解得 ，或 ．
综上 或 或 ．
故选： ．
6．我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数 的图象大致是
故答案为：9．
14．设 则 ．
【解答】解：
，
．
故答案为： ．
15．若函数 对于任意实数 恒有 ，则 ．
【解答】解：因为 ，
，
联立解得， ．
故答案为： ．
16．淮北一中为了加强学生数学核心素养的培养，锻炼学生自主探究学习的能力，他们以函数 为基本素材研究该函数的相关性质，某小组6位同学取得部分研究成果如下：
【解答】解：（Ⅰ） ．
当 时， ，则 ．
由有界函数定义可知 ， ， 是有界函数．
由题意知对任意 ，都有 ．
所以有 ，即 在 ， 上恒成立．
设 ，
设 ， 在 ， 上递减， 在 ， 上的最大值为 （1） ，
设 ， 在 ， 上递增， 在 ， 上的最小值为 （1） ，
由题可得 ．
所以实数 的取值范围为 ， ．
A．①②B．①②③④C．②③④⑤D．①②⑤
12．已知函数 ，若方程 有4个解时，实数 的取值范围为
A． B．
C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若函数 的图象恒过定点 ，且点 在幂函数 的图象上，则 （3） ．
14．设 则 ．
15．若函数 对于任意实数 恒有 ，则 ．
16．淮北一中为了加强学生数学核心素养的培养，锻炼学生自主探究学习的能力，他们以函数 为基本素材研究该函数的相关性质，某小组6位同学取得部分研究成果如下：
所以，当 时， 的最大值为12.5．
当养殖密度为10尾 立方米时，
鱼的年生长量可以达到最大，最大值约为12.5千克 立方米．
21．若定义在 上的函数 满足：对任意 ，存在常数 ，都有 成立，则称 是 上的有界函数，其中 称为函数 的上界．
（Ⅰ）判断函数 ， ， 是否是有界函数，请说明理由；
（Ⅱ）若函数 ， ， 是以3为上界的有界函数，求实数 的取值范围．
A． B．
C． D．