清华大学数学建模讲义

什么是数学建模？
• 数学建模是用数学语言描述事物的变化规律、事物之间的 相互联系等实际对象的过程。
• 数学模型是对实际对象进行抽象、近似、简化、量化后所 得到的一种数学对象，是联系实际问题与数学问题的桥梁。
• 数学建模的目的是通过建立相对准确的数学模型，把实际 问题转化为数学问题。
• 评价数学模型的标准是“它是否有利于解决实际问题”。
易拉罐形状和尺寸的最优设计
我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料 (例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒 等) 的饮料罐（即易拉罐）的形状和尺寸几乎都是一样的。看来，这并非偶然，这应该是 某种意义下的最优设计。当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能 是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。 现在就请你们小组来研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题。具体说，请你们完成以下 的任务：
3.收集我国一个卫星或飞船的运行资料和发射时测控站点的分布信息，分析这些测控站点 对该卫星所能测控的范围。
储油罐的变位识别与罐容表标定
通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理 系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐 容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油 量的变化情况。许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发 生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规 定，需要定期对罐容表进行重新标定。图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体 为圆柱体，两端为球冠体。图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位 的截面示意图。请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。
四、求解模型。选择适当的数学方法求解由实际问题转化而 来的数学问题。
五、检验模型。分析解的误差、适用范围、实际意义等。如 果解决不了实际问题，还需要对模型进行修改完善。
六、应用模型。解决实际问题。
建模问题目录
1. CUMCM2006C：易拉罐形状和尺寸的最优设计 2. CUMCM2010C：输油管的布置 3. CUMCM2009C：卫星和飞船的跟踪测控 4. CUMCM2010A：储油罐的变位识别与罐容表标定 5. CUMCM2004C：饮酒驾车 6. CUMCM2007A：中国人口增长预测 7. CUMCM2009A：制动器试验台的控制方法分析 8. CUMCM2006A：出版社的资源配置 9. CUMCM2009B：眼科病床的合理安排 10. CUMCM2009D：会议筹备 11. CUMCM2005C：雨量预报方法的评价 12. CUMCM2007D：体能测试时间安排 13. USTC统计建模2009A：花旗松原始森林特征研究 14. USTC统计建模2009B：基于声音特征的海豹分类 15. CUMCM2007B：乘公交，看奥运 16. CUMCM2008C：地面搜索
输油管的布置
某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品 油。由于这种模式具有一定的普遍性，油田设计院希望建立管线建设费用最省的一般数学 模型与方法。
1.针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，提出你的设计方案。在 方案设计时，若有共用管线，应考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形。
数学建模
王新茂 中国科学技术大学数学系
教学目标和教学内容
本课程主要培养学生对实际问题的分析能力 和对数学知识的运用能力。学生需要 • 掌握数学建模的基本步骤。 • 了解一些典型的数学模型（连续函数模型、
微分方程模型、优化规划模型、运筹决策模 型、概率统计模型、图与网络模型）的建立 和求解方法。 • 会用一些常用的数学软件。
2.设计院目前需对一更为复杂的情形进行具体的设计。
两炼油厂的具体位置由附图所示，其中A厂位于郊区
（图中的I区域），B厂位于城区（图中的II区域），
两个区域的分界线用图中的虚线表示。图中各字母表
示的距离（单位：千米）分别为a=5,b=8,c=15,l=20。
若所有管线的铺设费用均为每千米7.2万元。铺设在
3. 设易拉罐的中心纵断面如下图所示，即上面部分是一个正圆台，下面部分 是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们 所测量的易拉罐的形状和尺寸。
4. 利用你们对所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出你们自己的关于易拉罐形状和尺寸的 最优设计。
5. 用你们做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写一篇短文(不超过1000字， 你们的论文中必须包括这篇短文)，阐述什么是数学建模、它的关键步骤，以及难点。
=ℎ∙
+ , + ， =ℎ∙
+ , + ， =ℎ∙
+ ℎ, + 。
中国人口增长预测
中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。根据已有数据，运 用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一个重要问题。近年来中国的人口发展 出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口 城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。2007年初发布的《国家人口发展战略研究 报告》(附录1) 还做出了进一步的分析。关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了 大量数据资料。附录2就是从《中国人口统计年鉴》上收集到的部分数据。试从中国的实际 情况和人口增长的上述特点出发，参考附录2中的相关数据（也可以搜索相关文献和补充新 的数据），建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做 出预测；特别要指出你们模型中的优点与不足之处。
1.为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱 体），分别对罐体无变位和倾斜角为α=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如 附件1所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高 度间隔为1cm的罐容表标定值。
2.对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与 油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β）之间的一般关系。请利用罐体 变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变 位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件2中的 实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。
实际对象
实际问题 实际问题的解
数学模型 (数学对象)
数学问题 数学问题的解
数学建模的基本步骤
一、分析问题。明确建模的对象和需要解决的实际问题。列 出影响模型的主要因素、因素之间的联系等。
二、作出假设。根据客观规律对建模对象作出合理的假设， 对复杂问题进行必要的化简。
三、建立模型。选择适当的数学语言来描述建模对象，把数 学关系具体量化，得到数学模型。由此，把需要解决的 实际问题转化为数学问题。
=∑ =∑
! (−) +
−
()
• Simpson公式： ( ) = ∑
+4
+
−
()
• Newton迭代法解方程/方程组 = 0： = − [
]
• 共轭梯度法求多元函数 ( )极值： = + ∙ ， = • Euler折线法解微分方程 = ( , )： = + ℎ ∙ ,
−| | | |
• Runge-Kutta公式： = + + 2 + 2 + ，其中 = ℎ ∙ , ，
附件1：小椭圆储油罐的实验数据
附件2：实际储油罐的检测数据
储油罐的变位识别与罐容表标定
数学建模中常用的数值计算方法
• Lagrange插值： = ∑
∏
• 三次样条插值：分段3次多项式，在节点处0,1,2阶导数连续。 • 最小二乘法拟合 = ： | − | ⇒ = ( )
• 数值微分：局部多项式拟合 • 数值积分梯形公式： ( )
请利用模型分析卫星或飞船的测控情况，具体问题如下：
图片来源http://www.gov.cn/jrzg/200809/24/content_1104882.htm
ຫໍສະໝຸດ Baidu
1.在所有测控站都与卫星或飞船的运行轨道共面的情况下至少应该建立多少个测控站才能 对其进行全程跟踪测控？
2.如果一个卫星或飞船的运行轨道与地球赤道平面有固定的夹角，且在离地面高度为H的球 面S上运行。考虑到地球自转时该卫星或飞船在运行过程中相继两圈的经度有一些差异， 问至少应该建立多少个测控站才能对该卫星或飞船可能飞行的区域全部覆盖以达到全程 跟踪测控的目的？
城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用，
为对此项附加费用进行估计，聘请三家工程咨询公
司（其中公司一具有甲级资质，公司二和公司三具 工程咨询公司
有乙级资质）进行了估算。估算结果如下表所示。 附加费用
请为设计院给出管线布置方案及相应的费用。
（万元/千米）
公司一 21
公司二 24
公司三 20
3.在该实际问题中，为进一步节省费用，可以根据炼油厂的生产能力，选用相适应的油管。 这时的管线铺设费用将分别降为输送A厂成品油的每千米5.6万元，输送B厂成品油的每千 米6.0万元，共用管线费用为每千米7.2万元，拆迁等附加费用同上。请给出管线最佳布 置方案及相应的费用。
1. 取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量你们认为验证 模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说明； 如果数据不是你们自己测量得到的，那么你们必须注明出处。
2. 设易拉罐是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地 说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。
卫星和飞船的跟踪测控
卫星和飞船在国民经济和国防建设中有着重要的作用，对 它们的发射和运行过程进行测控是航天系统的一个重要组 成部分，理想的状况是对卫星和飞船（特别是载人飞船） 进行全程跟踪测控。测控设备只能观测到所在点切平面以 上的空域，且在与地平面夹角3度的范围内测控效果不好， 实际上每个测控站的测控范围只考虑与地平面夹角3度以 上的空域。在一个卫星或飞船的发射与运行过程中，往往 有多个测控站联合完成测控任务，如神州七号飞船发射和 运行过程中测控站的分布如下图所示。
社，2005。 数学模型，谭永基、蔡志杰、俞文 编著，复旦大学出版社，2005。 数学建模，杨启帆主编，康旭升、赵雅囡编著，高等教育出版社，2005。 数学模型方法与算法，边馥萍、侯文华、梁冯珍编著，高等教育出版社，2005。 数学模型，姜启源、谢金星、叶俊编著，高等教育出版社，2003。 数学建模案例精选，朱道元等编著，科学出版社,2003。 数学模型与数学建模，刘来福、曾文艺编著， 北京师范大学出版社，2002。 数学模型，华南理工大学出版社，2001。 中国大学生数学建模竞赛，李大潜主编，高等教育出版社。 大学生数学建模竞赛辅导教材，叶其孝主编，湖南教育出版社。 全国大学生数学建模竞赛网站，http://www.mcm.edu.cn。 美国大学生数学建模竞赛网站，http://www.comap.com/undergraduate/contests/。
成绩评定和课程要求
• 总评成绩＝平时作业＋期末作业 ± 印象分 • 平时作业：把课堂内容整理成一篇小论文。
共交3次平时作业，每次20分。 • 期末作业：七日内完成所布置的建模题目，
写成一篇小论文，占40分。 • 按时独立完成作业，严禁抄袭代做。如有
弄虚作假行为，相关人的总评成绩都是零。
教学安排
2月21日 授课
教材和参考书
数学建模方法及其应用，韩中庚编著，高等教育出版社，2009。 数学建模，F.R.Giordano等著，叶其孝、姜启源等译，机械工业出版社，2009。 数学模型讲义，雷功炎编著，北京大学出版社，2009 。 数学模型选讲，王树禾编著，科学出版社，2008。 数学建模与实验，陈恩水、王峰编著，科学出版社，2008。 数学建模简明教程，西北工业大学数学建模指导委员会编，高等教育出版社，2008。 数学建模案例选集，姜启源、谢金星主编，高等教育出版社，2006。 数学建模方法与分析，M.M.Meerschaert著，刘来福、杨淳、黄海洋译，机械工业出版
3月7日 授课
3月21日 授课
4月4日 授课
4月21日 交期末作业
2月24日 授课
3月10日 授课
3月24日 授课
4月7日 授课
4月25日 上报成绩
2月28日 授课
3月14日 授课
3月28日 授课
4月11日 授课
3月3日 授课、交作业一
3月17日 授课、交作业二
3月31日 授课、交作业三
4月14日
授课、公布期末作业