清华大学数学建模讲义
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清华数模讲义
第一讲数学模型、数学建模基础知识一、几个数学建模竞赛赛题（CUMCM 96B 节水洗衣机）假设在放入衣物和洗涤后洗衣机的运行程序为加水—漂洗—脱水—加水—漂洗—脱水（称“加水—漂水—脱水”为一轮）。
现为洗水机设计一种程序（包括运行多少轮、每轮加水量等）、使得在满足一定洗涤效果的条件下，总用水量最少。
（MCM1997 问题B 为取得富有成果的讨论怎样搭配与会成员）为讨论重要问题，特别是长远规划问题而召开的小组讨论会正变得越来越普遍。
人们相信很多人参加的会妨碍有成果的讨论，甚至一位占支配地位的人能控制并操纵会议的讨论。
因此，在公司的董事会议中在召集全体董事会议之前会开一下讨论有关事务的小组会议。
这些规模较小的小组会议仍然有被某个占支配地位的人控制的危险。
为降低这种危险，常用的办法是安排每个小组开几次会，每个会有不同的人参加。
An Tostal 公司的一次会议的参加者为29位公司董事会成员，其中9位是在职董事（即公司的雇员），会议要开一天，每个小组上午开三段，下午四段，每段会议开45分钟，从上午9:00到下午4:00每整点开始开会，中午12:00午餐。
上午的每段会议都有6个小组讨论会，每个小组讨论会都由公司的一个资深高级职员来主持讨论。
这些资深高级职员都不是董事会的成员。
因此每位资深高级职员都要主持三个不同的小组讨论会。
这些资深高级职员不参加下午的讨论会，而且下午的每段会议只有4个不同的小组讨论会。
公司董事长要一份公司董事参加7段会议的每个小组讨论会的分配名单。
这份搭配名单要尽可能多的把董事均匀分配。
理想的搭配应每一位董事和另一位董事一起参加小组讨论会的次数相同，与此同时要使不同段的小组中在一起开过会的董事数达到最小。
名单中的搭配还应满足下列两个准则：1．在上午的讨论会上，不允许一位董事参加由同一位资深高级职员主持的两次会议。
2．每个分组讨论会都不应有不匀称数目的在职董事参加。
给出一张1—9号在职董事，10—29号董事，1—6号公司资深高级职员的搭配名单，说明该名单在多大程度上满足了前面提出的各种要求和准则。
清华数学建模讲义
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《数学建模讲义》PPT课件
f=100*(x(2)-x(1)^2)^2+(1-x(1))^2;
return
2. 可以直接使用函数fun.m
例如：计算 f(1,2), 只需在Matlab命令窗口键入命令：
x=[1 2]；fun(x)
15
4.4 函数调用和参数传递
在MATLAB中，调用函数的常用形式是： [输出参数1,输出参数2,…] = 函数名(输入参数1,输入参数2, …)
14
M文件建立方法：
1. 在Matlab中点:File->New->M-file 2. 在编辑窗口中输入程序内容 3. 点：File->Save存盘，文件名必须函数名一致。
例：定义函数 f(x1,x2)=100(x2-x12)2+(1-x1)2 1.建立M文件：fun.m
function f=fun(x)
（5）使用方便，具有很好的扩张功能。 使用MATLAB语言编写的程序可以直接运行，无需编译。 可以M文件转变为独立于平台的EXE可执行文件。
MATLAB的应用接口程序API是MATLAB提供的十分重要 的组件 ，由 一系列接口指令组成 。用户就可在FORTRAN 或C中 ， 把MATLAB当作计算引擎使用 。 （6）具有很好的帮助功能 提供十分详细的帮助文件（PDF 、HTML 、demo文件）。 联机查询指令：help指令（例：help elfun，help exp，help simulink），lookfor关键词（例： lookfor fourier ）。 5
6
一、变量与函数
1、变量 MATLAB中变量的命名规则
(1)变量名必须是不含空格的单个词； (2)变量名区分大小写； (3) 变量名必须以字母打头，之后可以是任意字 母、数字或下划线，变量名中不允许使用标点符
数学建模初步_清华大学数学系
7
你碰到过的数学模型——"航行问题" 甲乙两地相距750千米,船从甲到乙 顺水航行需30小时,从乙到甲逆水航行需50小 时,问船的速度是多少. 用 x 表示船速,y 表示水速,列出方程:
( x + y ) × 30 = 750 ( x y ) × 50 = 750
求解得到 x=20, y=5,答:船速每小时20千米 答:船速每小时20千米 答:船速每小时20
yk y0 = α ( xk x0 ) (α > 0)
xk+1 x0 = β(yk y0) (β > 0)
xk +1 x0 = (αβ) k ( x1 x0 )
xk +1 x0 = αβ ( xk x0 )
αβ < 1 α (= K f ) < αβ > 1
1 (= K g ) β 1 α (= K f ) > ( = K g ) β
3
14个数学实验的具体内容 14个数学实验的具体内容
预备实验:MATLAB使用练习
数学建模
实验1 数学建模初步 实验13 数学建模综合 实验3 数值积分与微分
数值计算 实验2 插值与拟合
实验5 线性方程组的解法
实验4 常微分方程数值解 实验6 非线性方程近似解 实验8 约束优化
优化方法 数理统计 计算机模拟
13
观察
计数器读数增长越来越慢! 录象机计数器的工作原理
右轮盘 主动轮 录象带 磁头 压轮 录象带运动方向 0000 计数器
问题分析
左轮盘
录象带运动
右轮盘半径增大
计数器读数增长变慢 右轮转速不是常数
14
录象带运动速度是常数
7
模型假设
你碰到过的数学模型——"航行问题" 甲乙两地相距750千米,船从甲到乙 顺水航行需30小时,从乙到甲逆水航行需50小 时,问船的速度是多少. 用 x 表示船速,y 表示水速,列出方程:
( x + y ) × 30 = 750 ( x y ) × 50 = 750
求解得到 x=20, y=5,答:船速每小时20千米 答:船速每小时20千米 答:船速每小时20
yk y0 = α ( xk x0 ) (α > 0)
xk+1 x0 = β(yk y0) (β > 0)
xk +1 x0 = (αβ) k ( x1 x0 )
xk +1 x0 = αβ ( xk x0 )
αβ < 1 α (= K f ) < αβ > 1
1 (= K g ) β 1 α (= K f ) > ( = K g ) β
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14个数学实验的具体内容 14个数学实验的具体内容
预备实验:MATLAB使用练习
数学建模
实验1 数学建模初步 实验13 数学建模综合 实验3 数值积分与微分
数值计算 实验2 插值与拟合
实验5 线性方程组的解法
实验4 常微分方程数值解 实验6 非线性方程近似解 实验8 约束优化
优化方法 数理统计 计算机模拟
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观察
计数器读数增长越来越慢! 录象机计数器的工作原理
右轮盘 主动轮 录象带 磁头 压轮 录象带运动方向 0000 计数器
问题分析
左轮盘
录象带运动
右轮盘半径增大
计数器读数增长变慢 右轮转速不是常数
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录象带运动速度是常数
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模型假设
清华大学高等数学讲义
2019/11/10
8
3.Rn中 的 收 敛 点 列
定 义 ：(收 敛 点 列)
设{Xm }(m 1,2,)是Rn中的点列，X0是Rn中 一个确定的点。
如果距离d( Xm , X0 ) 0(m ),则称点列
{ Xm }收敛于点X0.
称{
X
m
}是R
n中
的
收
敛
点
列, 称X
为
0
点
列
{
X
m
使 当m N时, 有d ( X m , X 0 ) .
则 称 点 列{ X m }收 敛 于 点X 0 .
设X m Rn , m 1,2,, 若 存 在 正 数M , 使 得
X m M成 立 ， 则 称{ X m }是Rn中 的 有 界 点 列 。
2019/11/10
10
4.Rn 中 的 开 集 与 闭 集
P, Q都 能 用 完 全 在D中 的 连 续 曲 线 连 接 起 来,则 称D是 连 通 集.
D
E
连通集
非连通集
[例3] (1) R1中 的 任 意 非 空 区 间 是 连通 集. (2) 全平面R“2 挖去”原点: R2 \ {0}是连通集. (3) 全平面R“2 剪一条缝”
R2 \ {(x, y) R2 , y 0}不是连通集.
d( X ,Y )
X Y
n
(
( xi
yi
)
2
)
1 2
i1
性质：
(1) X ,Y , 有 d( X ,Y ) 0,
且 d(X,Y ) 0 X Y
(2) d( X ,Y ) d(Y , X )
数学建模(数学分支)
建模背景
数学技术
建模应用
近半个多世纪以来，随着计算机技术的迅速发展，数学的应用不仅在工程技术、自然科学等领域发挥着越来 越重要的作用，而且以空前的广度和深度向经济、管理、金融、生物、医学、环境、地质、人口、交通等新的领 域渗透，所谓数学技术已经成为当代高新技术的重要组成部分。
数学模型（Mathematical Model）是一种模拟，是用数学符号、数学式子、程序、图形等对实际课题本质 属性的抽象而又简洁的刻画，它或能解释某些客观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一现象的发展 提供某种意义下的最优策略或较好策略。数学模型一般并非现实问题的直接翻版，它的建立常常既需要人们对现 实问题深入细微的观察和分析，又需要人们灵活巧妙地利用各种数学知识。这种应用知识从实际课题中抽象、提 炼出数学模型的过程就称为数学建模（Mathematical Modeling）。
应用数学去解决各类实际问题时，建立数学模型是十分关键的一步，同时也是十分困难的一步。建立数学模 型的过程，是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程。要通过调查、收集数据资料，观察和 研究实际对象的固有特征和内在规律，抓住问题的主要矛盾，建立起反映实际问题的数量关系，然后利用数学的 理论和方法去分析和解决问题。这就需要深厚扎实的数学基础、敏锐的洞察力和想象力、对实际问题的浓厚兴趣 和广博的知识面。数学建模是联系数学与实际问题的桥梁，是数学在各个领域广泛应用的媒介，是数学科学技术 转化的主要途径。数学建模在科学技术发展中的重要作用越来越受到数学界和工程界的普遍重视，它已成为现代 科技工作者必备的重要能力之一。
为了适应科学技术发展的需要和培养高质量、高层次科技人才，数学建模已经在大学教育中逐步开展，国内 外越来越多的大学正在进行数学建模课程的教学和参加开放性的数学建模竞赛，将数学建模教学和竞赛作为高等 院校的教学改革和培养高层次的科技人才的一个重要方面，许多院校正在将数学建模与教学改革相结合，努力探 索更有效的数学建模教学法和培养面向21世纪的人才的新思路，与我国高校的其它数学类课程相比，数学建模具 有难度大、涉及面广、形式灵活，对教师和学生要求高等特点，数学建模的教学本身是一个不断探索、不断创新、 不断完善和提高的过程。为了改变过去以教师为中心、以课堂讲授为主、以知识传授为主的传统教学模式，数学 建模课程指导思想是：以实验室为基础、以学生为中心、以问题为主线、以培养能力为目标来组织教学工作。
[课件]数学建模 相关分析与回归分析 清华大学PPT
![[课件]数学建模 相关分析与回归分析 清华大学PPT](https://img.taocdn.com/s3/m/2492f4accc22bcd126ff0c9e.png)
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***
r <0 表 示大体 上 Y随 着X增 加而递 减。
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1）假设回归方程不显著 H0：方程不显著 H1：方程显著
ˆy 2/1 y ˆ 2 / n 2 yy
2）计算回归方程的F统计量 F= 回归平方和/自由度(f1) 剩余平方和/自由度(f2)
3）给定显著性水平和两个自由度，查F分布表，得到相应临界值F
4）若F>F,拒绝H0，回归方程显著； 若FF,不能拒绝H0，x与y之间的关系不明显或无关系，回归方程不 显著
计算回归系数b的t值:
t
2
b
b
S
b
2 a y b xy / n 2 y S y S 2 2 b 2 n x x x x
1428879 ( 8 . 3 ) 4087 0 . 5175 2824500 / 12 2
模块BASE中的过程CORR可方便地用于计算变量之间的 相互关系：计算数据集FITNESS中OXYGEN，MAXPULSE， RSTPULSE三个变量和另三个变量RUNTIME，RUNPULSE， WEIGHT之间的相关系数。
以下可看出变量MAXPULSE和RUNPULSE有最大的正相关，OXYGEN 和RUNTIME负相关的绝对值最大，RSTPLUSE和WEIGHT的相关的绝 对值最小。
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1）假设回归方程不显著 H0：方程不显著 H1：方程显著
ˆy 2/1 y ˆ 2 / n 2 yy
2）计算回归方程的F统计量 F= 回归平方和/自由度(f1) 剩余平方和/自由度(f2)
3）给定显著性水平和两个自由度，查F分布表，得到相应临界值F
4）若F>F,拒绝H0，回归方程显著； 若FF,不能拒绝H0，x与y之间的关系不明显或无关系，回归方程不 显著
计算回归系数b的t值:
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2 a y b xy / n 2 y S y S 2 2 b 2 n x x x x
1428879 ( 8 . 3 ) 4087 0 . 5175 2824500 / 12 2
模块BASE中的过程CORR可方便地用于计算变量之间的 相互关系：计算数据集FITNESS中OXYGEN，MAXPULSE， RSTPULSE三个变量和另三个变量RUNTIME，RUNPULSE， WEIGHT之间的相关系数。
以下可看出变量MAXPULSE和RUNPULSE有最大的正相关，OXYGEN 和RUNTIME负相关的绝对值最大，RSTPLUSE和WEIGHT的相关的绝 对值最小。
数学建模常用方法介绍ppt课件
遗传算法一般步骤
1. 完成了预先给定的进 化代数 2. 种群中的最优个体在 连续若干代后没有改进 3. 平均适应度在连续若 干代后基本没有改进
竞赛中的群体思维方法
✓平等地位、相互尊重、充分交流 ✓杜绝武断评价 ✓不要回避责任 ✓不要对交流失去信心
竞赛中的发散性思维方法
➢ 借助于一系列问题来展开思路
与模糊数学相关的问题（二）
模糊聚类分析—根据研究对象本身的属性构造 模糊矩阵，在此基础上根据一定的隶属度来 确定其分类关系
模糊层次分析法—两两比较指标的确定
模糊综合评判—综合评判就是对受到多个因素 制约的事物或对象作出一个总的评价，如产 品质量评定、科技成果鉴定、某种作物种植 适应性的评价等，都属于综合评判问题。由 于从多方面对事物进行评价难免带有模糊性 和主观性，采用模糊数学的方法进行综合评 判将使结果尽量客观从而取得更好的实际效 果
3. 合并距离最近的两类为一个新类 4. 计算新类与当前各类的距离（新类与当
前类的距离等于当前类与组合类中包含 的类的距离最小值），若类的个数等于 1，转5，否则转3 5. 画聚类图 6. 决定类的个数和类。
统计方法（判别分析）
➢ 判别分析—在已知研究对象分成若干类型，并已取 得各种类型的一批已知样品的观测数据，在此基础 上根据某些准则建立判别式，然后对未知类型的样 品进行判别分类。
这个问题与什么问题相似？ 如果将问题分解成两个或几个部分会怎样？ 极限情形（或理想状态）如何？ 综合问题的条件可得到什么结果？ 要实现问题的目标需要什么条件？
➢ 借助于下意识的联想（灵感）来展开思路
抓住问题的个别条件或关键词展开联想或猜想 综合所得到的联想和猜想，得到一些结论 进一步思考找出新思路和方法
《数学建模》课程教学大纲
《数学建模》课程教学大纲课程编号：适用专业：数学专业学时数：64 学分数：4 开课学期：第4学期先修课程：《数学分析》，《高等代数》，《概率与数理统计》执笔者：徐全智编写日期：2013年1月审核人（教学副院长）：一、课程性质和目标授课对象：数学专业二年级课程类别:学科基础课教学目标：在现有数学基础上拓展加深学生的数学理论、提高数学素养. 为培养学生初步具备与其他学科领域沟通，并将数学理论成功地运用于各个学科领域的素质和能力奠定基础. 初步掌握运用数学理论分析及研究方法，初具进行数学建模、科学计算、数据处理、使用数学软件、查阅科技文献、撰写科技论文等科研能力. 培养学生的创新思维、创新意识与创新能力.二、课程内容安排和要求（一）教学内容、要求及教学方法教学方法：课堂讲授与上机实践结合, 采用开放式的问题驱动式授课形式. 加强学生的课上课下实践环节.课堂讲授56学时, 上机实践10学时第一章建模概念及建模方法论（20学时）理解数学科学的重要性; 理解数学模型定义(E.A.Bendar); 理解数学模型的可转移性与普适性；掌握从现实对象到数学模型的抽象过程；了解数学建模过程的不唯一性，建模方法的多样性；掌握数学建模应遵循的一般原则.了解数学建模的各主要阶段性工作: 问题前期分析、条件假设、数学模型建立、模型参数估计、模型求解、模型解的分析和检验等.了解几种数学创造性思维方法：发散性思维、类比思维、猜测思维、归纳思维等；掌握启发思维的提问题法和关键词联想法; 掌握小组群体思维方法，整体把握问题的问题分解法;掌握分析问题的基本步骤：明确问题、条件及数据分析、建立问题的整体框架；了解数据对模型建立的作用; 了解常见收集数据方法，掌握数据的初步分析与整理方法；了解建立数学模型的几类方法: 机理分析法、测试分析法、模拟仿真法；掌握建立微分方程的微元法、平衡与增长式、机理分析法等.掌握建立数学模型的技巧：模型的整体设计、利用假设简化或明确问题、用数学语言和数学表达式表述数学模型；掌握求解数学模型的基本技巧和原则；了解模型以及模型解的分析和检验思想及方法.第二章数值计算方法(6学时)理解插值基本概念，掌握线性插值，理解拉格朗日插值，理解三次样条插值，了解插值应用案例.理解曲线拟合的最小二乘法原理，掌握求解曲线拟合的最小二乘解法，了解拟合应用实例.理解数值求积思想，掌握梯形公式，理解牛顿-柯特斯求积公式，了解拉格朗日型数值积分的误差，掌握高斯求积公式，了解高斯点及系数的计算.第三章最优化模型(6学时)理解线性规划概念，了解求解线性规划模型的Matlab函数，了解线性规划问题建模实例；非线非线性规划概念，了解求解非线性规划模型的Matlab函数，理解蒙特卡罗法在求解非线性规划问题中的应用过程，了解非线性规划问题建模实例；了解最优化问题综合建模案例，掌握最优化模型的建模步骤.第四章随机数据建模(10学时)了解离散数据的归类: 随机数据与非随机数据，了解随机数据的归类：动态数据与静态数据；了解针对不同数据的建模方法的差异.掌握经验模型建立的思想和关键步骤; 掌握基于静态数据的回归分析建模思想以及多元线性回归模型的关键步骤; 了解一元多项式回归模型线性化处理方法.掌握基于动态数据的时间序列分析建模思想; 了解三类线性时间序列模型AR(p)、MA(q)和ARMA(p, q)；了解非平稳时间序列分解预处理方法.了解统计模型的检验与评价的必要性；掌握多元线性回归模型检验：回归方程的显著性检验、回归系数的显著性检验、“最优”回归方程的选择.掌握探索性数据分析的图表描述方法及常见统计指标，并能通过软件实现；了解聚类分析和方差分析的基本原理，并能通过软件实现.第五章微分与差分方程(8学时)了解量纲齐次原则和Buckinggham Pi定理，掌握量纲分析法对模型进行检验。
数学建模讲义3
3
4.603y 0.004912 y2 0.0179 y 2 0 ，
2
数学与信息科学学院
又由于 v (y)，故取
由于方程式（25）可化为 利用 MATLAB 软件编程绘制出函数式 (34)，(35) 的
图像如图10-1所示。仿真结果表明：用速度函数式 (34) 代 替由隐函数方程式 (35) 确定的圆桶运动的真实速度，其拟 合精度已经非常高。
对上三式加以整理，消去 p2 和 u (t)得微分方程
注：1. 消去 p2，由（2）式得
p2
s0 s1
(
p0
gh);
2. 消去 u (t)，由（3）式得 u s2 v s0 dh 。进而
du dt
s2 s1
dv dt
s0 s1
d 2h 。 dt 2
s1 s1 dt
将上两式代入到（1）式
数学与信息科学学院
g L
h0
( s1 p1 s0 p0
Ls0
s1g sin
s0
)
cs22
s0 s12
v2
，
（5）
数学与信息科学学院
再设
则
，其中ε非常小。
将（6）式代入到（4）式得
h1
cs0
s12
( h1)2
2cs2
s12
(v0
v1)(
h1)
g L
(h0
h1)
（ s1 p1 s0
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p0
s1g sin
对于水库式发电，水电站要把贮存在水库的水经过长 达数百米的管道引到水轮发电机。在输送水流过程中会遇 到严重的水击作用致使管道破裂。
数学与信息科学学院
水利发电具有用电负荷突然发生变化时的调节作用。 当用电负荷突然上升时，要立即增加输送水量以增加发电 量；当用电负荷下降时，又要使水流很快慢下来以减少发 电量。由于水是不可压缩的液体，管道本身的弹性又非常 小，致使水的高压波沿管道传播，工程上称为“水击作用 ”，它是可能破坏管道的。缓解这种作用的办法是在输送 管中的水进入水轮机前先注入一个称为调压塔的贮水箱中 。 当负荷需求较低时，水轮机需要的水量较少，调压塔 贮存下大量的水，水位较高。当负荷需求突然变大时，可 以用塔中的水满足水轮机对水量需求的增加，避免输送管 道中水流速度发生突然的大变化。
数学建模和模型
常用的计算公式 k年后人口
今年人口 x0, 年增长率 r
xk x0 (1 r )
k
指数增长模型——马尔萨斯提出 (1798)
基本假设 : 人口(相对)增长率 r 是常数 x(t) ~时刻t的人口
dx rx, x(0) x0 dt
x(t t ) x(t ) rt
x(t ) x0 (e ) x0 (1 r )
r t
t
随着时间增加，人口按指数规律无限增长
如何预报人口的增长
指数增长模型的应用及局限性
• 与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合 • 适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代
• 可用于短期人口增长预测
• 不符合19世纪后多数地区人口增长规律 • 不能预测较长期的人口增长过程
18:31
数学建模实例二
假设 汽车在两个相邻减速带之间一直做等加速运动和 等减速运动 需要得到汽车的加速度和减速度 方法一 查阅资料
速度（km/h） 时间（s） 0 0
方法二：进行测试 加速行驶的测试数
10 1.6 20 3.2 30 4.0 40 5.0
减速行驶的测试数
速度（km/h） 40 时间（s） 0 30 2.2 20 4.0 10 5.5 0 6.8
18:31
数学建模实例一
18:31
数学建模实例一
通常，1kg面，1kg馅，包100个饺子（汤圆）
现在1kg面不变，馅比1kg多了，问应多包几个 （每个小一点）,还是少包几个（每个大一点）？ … S ( 共 n个 ) S S S S
V
v
v
v
v
定性分析
第五章微分方程模型清华大学数学建模教程
• 降低 s0
的估计
提高 r0
s0 i0 r0 1
s0
i0
s
1
ln s s0
0
忽略i0
群体免疫
ln s0 ln s
s0 s
模型4
被传染人数的估计
SIR模型
记被传染人数比例 x s0 s
s0
i0
s
1
ln s s0
0
i0 0, s0 1
x 1 ln(1 x ) 0
s0
模型1 已感染人数 (病人) i(t)
假设
• 每个病人每天有效接触
(足以使人致病)人数为
建模 i(t t) i(t) i(t)t
di i
dt i(0) i0
i(t) i0et
ti ?
若有效接触的是病人， 则不能使病人数增加
必须区分已感染者(病 人)和未感染者(健康人)
模型2
假设
建模
区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)
• 调节资金与劳动力的增长率，使经济(生产率)增长
1. 道格拉斯(Douglas)生产函数
产值 Q(t)
资金 K(t) 劳动力 L(t) 技术 f(t) = f0
Q(t) f0F (K (t), L(t)) F为待定函数
1. 道格拉斯(Douglas)生产函数
静态模型 Q(K, L) f F(K, L) 0
SIR模型
di dt
si
i
ds dt
si
di
ds
1
s
1
i
1
i(s)
(s0
i0
)
s
1
ln
s s
i
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数学建模通识第一讲简介
建模过程示意图
数学模型的分类
◆ 按研究方法和对象的数学特征分：初等模型、 几何模型、优化模型、微分方程模型、图论模型 、逻辑模型、稳定性模型、扩散模型等。 ◆ 按研究对象的实际领域（或所属学科）分：人 口模型、交通模型、环境模型、生态模型、生理 模型、城镇规划模型、水资源模型、污染模型、 经济模型、社会模型等。
2011年 PROBLEM A: Snowboard Course PROBLEM B: Repeater Coordination PROBLEM C: How environmentally and economically sound are electric vehicles? Is their widespread use feasible and practical?
2012年 PROBLEM A: The Leaves of a Tree PROBLEM B: Camping along the Big Long River PROBLEM C: Modeling for Crime Busting
2013年 A(MCM): The Ultimate Brownie Pan B(MCM)：Water,Water, Everywhere C(ICM): Network Modeling of Earth's Health
测试分析方法：将研究对象视为一个“黑箱” 系统，内部机理无法直接寻求，通过测量系统 的输入输出数据，并以此为基础运用统计分析 方法，按照事先确定的准则在某一类模型中选 出一个数据拟合得最好的模型。 测试分析方法 也叫做系统辩识。（例如：房价问题） 将这两种方法结合起来使用，即用机理分 析方法建立模型的结构，用系统测试方法来确 定模型的参数，也是常用的建模方法．
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城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用，
为对此项附加费用进行估计，聘请三家工程咨询公
司（其中公司一具有甲级资质，公司二和公司三具 工程咨询公司
有乙级资质）进行了估算。估算结果如下表所示。 附加费用
请为设计院给出管线布置方案及相应的费用。
（万元/千米）
公司一 21
公司二 24
公司三 20
3.在该实际问题中，为进一步节省费用，可以根据炼油厂的生产能力，选用相适应的油管。 这时的管线铺设费用将分别降为输送A厂成品油的每千米5.6万元，输送B厂成品油的每千 米6.0万元，共用管线费用为每千米7.2万元，拆迁等附加费用同上。请给出管线最佳布 置方案及相应的费用。
1.为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱 体），分别对罐体无变位和倾斜角为α=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如 附件1所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高 度间隔为1cm的罐容表标定值。
2.对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与 油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β）之间的一般关系。请利用罐体 变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变 位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件2中的 实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。
成绩评定和课程要求
• 总评成绩＝平时作业＋期末作业 ± 印象分 • 平时作业：把课堂内容整理成一篇小论文。
共交3次平时作业，每次20分。 • 期末作业：七日内完成所布置的建模题目，
写成一篇小论文，占40分。 • 按时独立完成作业，严禁抄袭代做。如有
弄虚作假行为，相关人的总评成绩都是零。
教学安排
2月21日 授课
四、求解模型。选择适当的数学方法求解由实际问题转化而 来的数学问题。
五、检验模型。分析解的误差、适用范围、实际意义等。如 果解决不了实际问题，还需要对模型进行修改完善。
六、应用模型。解决实际问题。
建模问题目录
1. CUMCM2006C：易拉罐形状和尺寸的最优设计 2. CUMCM2010C：输油管的布置 3. CUMCM2009C：卫星和飞船的跟踪测控 4. CUMCM2010A：储油罐的变位识别与罐容表标定 5. CUMCM2004C：饮酒驾车 6. CUMCM2007A：中国人口增长预测 7. CUMCM2009A：制动器试验台的控制方法分析 8. CUMCM2006A：出版社的资源配置 9. CUMCM2009B：眼科病床的合理安排 10. CUMCM2009D：会议筹备 11. CUMCM2005C：雨量预报方法的评价 12. CUMCM2007D：体能测试时间安排 13. USTC统计建模2009A：花旗松原始森林特征研究 14. USTC统计建模2009B：基于声音特征的海豹分类 15. CUMCM2007B：乘公交，看奥运 16. CUMCM2008C：地面搜索
2.设计院目前需对一更为复杂的情形进行具体的设计。
两炼油厂的具体位置由附图所示，其中A厂位于郊区
（图中的I区域），B厂位于城区（图中的II区域），
两个区域的分界线用图中的虚线表示。图中各字母表
示的距离（单位：千米）分别为a=5,b=8,c=15,l=20。
若所有管线的铺设费用均为每千米7.2万元。铺设在
附件1：小椭圆储油罐的实验数据
附件2：实际储油罐的检测数据
储油罐的变位识别与罐容表标定
数学建模中常用的数值计算方法
• Lagrang3次多项式，在节点处0,1,2阶导数连续。 • 最小二乘法拟合 = ： | − | ⇒ = ( )
• 数值微分：局部多项式拟合 • 数值积分梯形公式： ( )
输油管的布置
某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品 油。由于这种模式具有一定的普遍性，油田设计院希望建立管线建设费用最省的一般数学 模型与方法。
1.针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，提出你的设计方案。在 方案设计时，若有共用管线，应考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形。
3. 设易拉罐的中心纵断面如下图所示，即上面部分是一个正圆台，下面部分 是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们 所测量的易拉罐的形状和尺寸。
4. 利用你们对所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出你们自己的关于易拉罐形状和尺寸的 最优设计。
5. 用你们做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写一篇短文(不超过1000字， 你们的论文中必须包括这篇短文)，阐述什么是数学建模、它的关键步骤，以及难点。
3.收集我国一个卫星或飞船的运行资料和发射时测控站点的分布信息，分析这些测控站点 对该卫星所能测控的范围。
储油罐的变位识别与罐容表标定
通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理 系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐 容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油 量的变化情况。许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发 生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规 定，需要定期对罐容表进行重新标定。图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体 为圆柱体，两端为球冠体。图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位 的截面示意图。请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。
=ℎ∙
+ , + ， =ℎ∙
+ , + ， =ℎ∙
+ ℎ, + 。
中国人口增长预测
中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。根据已有数据，运 用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一个重要问题。近年来中国的人口发展 出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口 城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。2007年初发布的《国家人口发展战略研究 报告》(附录1) 还做出了进一步的分析。关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了 大量数据资料。附录2就是从《中国人口统计年鉴》上收集到的部分数据。试从中国的实际 情况和人口增长的上述特点出发，参考附录2中的相关数据（也可以搜索相关文献和补充新 的数据），建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做 出预测；特别要指出你们模型中的优点与不足之处。
社，2005。 数学模型，谭永基、蔡志杰、俞文 编著，复旦大学出版社，2005。 数学建模，杨启帆主编，康旭升、赵雅囡编著，高等教育出版社，2005。 数学模型方法与算法，边馥萍、侯文华、梁冯珍编著，高等教育出版社，2005。 数学模型，姜启源、谢金星、叶俊编著，高等教育出版社，2003。 数学建模案例精选，朱道元等编著，科学出版社,2003。 数学模型与数学建模，刘来福、曾文艺编著， 北京师范大学出版社，2002。 数学模型，华南理工大学出版社，2001。 中国大学生数学建模竞赛，李大潜主编，高等教育出版社。 大学生数学建模竞赛辅导教材，叶其孝主编，湖南教育出版社。 全国大学生数学建模竞赛网站，。 美国大学生数学建模竞赛网站，/undergraduate/contests/。
易拉罐形状和尺寸的最优设计
我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料 (例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒 等) 的饮料罐（即易拉罐）的形状和尺寸几乎都是一样的。看来，这并非偶然，这应该是 某种意义下的最优设计。当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能 是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。 现在就请你们小组来研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题。具体说，请你们完成以下 的任务：
教材和参考书
数学建模方法及其应用，韩中庚编著，高等教育出版社，2009。 数学建模，F.R.Giordano等著，叶其孝、姜启源等译，机械工业出版社，2009。 数学模型讲义，雷功炎编著，北京大学出版社，2009 。 数学模型选讲，王树禾编著，科学出版社，2008。 数学建模与实验，陈恩水、王峰编著，科学出版社，2008。 数学建模简明教程，西北工业大学数学建模指导委员会编，高等教育出版社，2008。 数学建模案例选集，姜启源、谢金星主编，高等教育出版社，2006。 数学建模方法与分析，M.M.Meerschaert著，刘来福、杨淳、黄海洋译，机械工业出版
3月7日 授课
3月21日 授课
4月4日 授课
4月21日 交期末作业
2月24日 授课
3月10日 授课
3月24日 授课
4月7日 授课
4月25日 上报成绩
2月28日 授课
3月14日 授课
3月28日 授课
4月11日 授课
3月3日 授课、交作业一
3月17日 授课、交作业二
3月31日 授课、交作业三
4月14日
授课、公布期末作业
实际对象
实际问题 实际问题的解
数学模型 (数学对象)
数学问题 数学问题的解
数学建模的基本步骤
一、分析问题。明确建模的对象和需要解决的实际问题。列 出影响模型的主要因素、因素之间的联系等。
二、作出假设。根据客观规律对建模对象作出合理的假设， 对复杂问题进行必要的化简。
三、建立模型。选择适当的数学语言来描述建模对象，把数 学关系具体量化，得到数学模型。由此，把需要解决的 实际问题转化为数学问题。
1. 取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量你们认为验证 模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说明； 如果数据不是你们自己测量得到的，那么你们必须注明出处。