中北大学2010-2011-1复变函数与积分变换试题

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复变函数积分变换复习卷及答案

复变函数复习卷及参考答案一、填空题1、复数1z i =+的三角表示式=2(cossin )44i pp+；复指数表示式=42ie p 。

2、复数()13z i =+的z =2；23Argz k pp =+；arg 3z p=；13z i =-。

3、62111i i i -æö==-ç÷+èø。

10125212131i i i i i +-=+-=-。

4、()()31123513253x y i x i y i x y +=ì++-=-Þí-=-î，求解方程组可得，45,1111x y -==。

5、()()231,f z z z =-+则()61f i i ¢-=--。

6、()n3L i -ln 226i k i pp =-+；ln()ie 12i p=+。

7、()(2)1321,(13)2ik i iiee i p p p -++==+。

8、32282(cossin)33k k i p pp p++-=+；0,1,2k =。

1224(4)2i i -==±。

9、1sin 2e e i i --=；221cos ()22i e e pp p -=+；10 、21024z dzz z ==++ò ；1212z dz i z p ==-ò 。

11、设31cos ()zf z z -=，则0z =是（一级极点）；31cos 1Re [,0]2z s z -=。

1()s i n f z z=，0z =是本性奇点。

二、判断下列函数在何处可导？何处解析？在可导处求出导数。

（1）()22f z x iy=+；解：22,,2,0,0,2u u v v u x v y x y xyxy¶¶¶¶======¶¶¶¶，一阶偏导连续，因此当,x y y x u v u v ==-时，即x y =时可导，在z 平面处处不解析。

中北大学2010-2011-1复变函数与积分变换答案

2010/2011学年第一学期期末考试试题答案及评分标准（A 卷）复变函数与积分变换一、（共 20 分每小题 4 分）单项选择题 1、D ； 2、C ； 3、D ； 4、A ； 5、B ；二、填空题（每题４分，共２０分）1、22k eππ+； 2、0； 3、3级极点； 4、22； 5、4e -；三、（共 5 分）证明函数R e z z ω=在复平面上处处不解析。

证明: 2,x ixy ω=+ 2(,),(,),u x y x v x y xy == 2,0,,,x y x y u x u v y v x ==== …(2分) 满足C--R 条件,x y y x u v u v ==-的点为(0,0)， …(4分) 说明R e z z ω=只在0z =可导，其它点不可导，故处处不解析。

…(5分)四、（共16分，每小题8分）计算下列积分 1、计算积分()321zCe dz zz -⎰，其中其中C 为正向圆周2z =。

解：32(1)zez z -在C 内部有两个奇点0,1z z ==，由复合闭路定理有：12333222(1)(1)(1)zzzCC C eeeI dz dz dzz z z z z z ==+---⎰⎰⎰，其中12,C C 为分别包含0z = ，1z =的简单闭曲线的正向； …(3分）123333222121211!1zzzz C C z z eei e e z z dz dz i zz z z ππ=='⎛⎫⎛⎫-=+=+ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎰⎰…(7分）33822(4)i e i i e πππ=-+=- …(8分）2、利用留数求实积分2422109x dx x x +∞-∞-++⎰。

解：2422()109x f x x x -=++，分母的次数比分子的次数高2次，分母没有实根，…(2分）所以2224242422222R e ,R e ,3109109109x z z dx i s i s i x x z z z z π+∞-∞⎧⎫⎡⎤⎡⎤---⎪⎪=+⎨⎬⎢⎥⎢⎥++++++⎪⎪⎣⎦⎣⎦⎩⎭⎰…(4分） ,3z i z i ==都为2422109z z z -++的一级极点， …(5分）故()()2242422242423222R e ,R e ,3109109222limlim 31091093112164812z i z i z z I i s i s i z z z z z z i z i z i z z z z i i i ππππ→→⎧⎫⎡⎤⎡⎤--⎪⎪=+⎨⎬⎢⎥⎢⎥++++⎪⎪⎣⎦⎣⎦⎩⎭⎧⎫⎡⎤⎡⎤--⎪⎪=-+-⎨⎬⎢⎥⎢⎥++++⎪⎪⎣⎦⎣⎦⎩⎭-⎛⎫=+=⎪⎝⎭。

复变函数与积分变换试题和答案

复变函数与积分变换试题(一）一、填空(３分×10)１.得模ﻩﻩ、幅角ﻩ。

２.-8i得三个单根分别为：、、。

3.Lｎz在得区域内连续。

4．得解极域为:ﻩﻩﻩﻩﻩ。

５.得导数ﻩﻩﻩﻩﻩ。

6. ﻩﻩ。

７.指数函数得映照特点就是:ﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩ。

8．幂函数得映照特点就是: ﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩ。

9.若=F [f(t)]、则= F ﻩﻩﻩﻩ。

１０.若f(ｔ)满足拉氏积分存在条件、则L [f(ｔ)］= ﻩﻩﻩ。

二、(10分)已知、求函数使函数为解析函数、且f(0)＝0。

三、(10分)应用留数得相关定理计算四、计算积分(5分×2)1.2．C:绕点ｉ一周正向任意简单闭曲线。

五、(1０分)求函数在以下各圆环内得罗朗展式。

1.2.六、证明以下命题：（5分×2)(1)与构成一对傅氏变换对。

（2）七、(10分)应用拉氏变换求方程组满足x （0)＝y （０)=z (0)＝0得解y (t )。

八、(１0分)就书中内容、函数在某区域内解析得具体判别方法有哪几种。

复变函数与积分变换试题答案(一)一、1．ﻩﻩ、ﻩ ﻩ２、ﻩ-i ﻩﻩ2ｉﻩ-i ﻩ3、ﻩZ 不取原点与负实轴４、空集５、ﻩ2z ﻩ6.０ 7、将常形域映为角形域ﻩ８、角形域映为角形域 9、ﻩ ﻩ1０、二、解:∵ﻩ ∴ ﻩ(5分)∵f (0）=0ﻩﻩﻩﻩc =0(３分)∴ﻩﻩ(2分)三、解：原式＝(2分)ﻩ（2分）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞--0,1)31)(11(11Re 2,)3)(1(1Re 266z z z z s z z z s 分）（=0∴原式=(2分) =四、1.解:原式ﻩ(３分) z 1=0 ﻩｚ2=１ﻩ=0ﻩﻩ(2分)2．解:原式=五、1.解:nn i i z i i z ii z ii z i i z i z z f ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛--⋅-=-+⋅⋅-=+-⋅-=0111111)(111)(11)(分）（分）（分）（ ﻩﻩ(2分) ﻩ２.解: （1分)ﻩ(2分）六、1.解:∵ﻩ(3分）ﻩ∴结论成立（２)解:∵ﻩ(２分)ﻩ ∴与1构成傅氏对∴（2分)七、解:∵ﻩﻩ（3分)S (２)-（1):∴ （3分)∴八、解：①定义;②C-R 充要条件Th ; ③v 为u 得共扼函数ﻩ1０分复变函数与积分变换试题（二)一、填空(3分×10)1.函数f (z )在区域D 内可导就是ｆ(ｚ）在D 内解析得（ﻩ ﻩ）条件。

复变函数与积分变换试题及答案5

复变函数与积分变换试题及答案5复变函数与积分变换试题与答案 1．若(,)u x y 与(,)v x y 都是调和函数，则()(,)i (,)f z u x y v x y =+是解析函数。

（） 2．因为|sin |1z ≤，所以在复平⾯上sin z 有界。

（）3．若()f z 在0z 解析，则()()n f z 也在0z 解析。

（） 4．对任意的z ，2Ln 2Ln z z =（）⼆填空（每题3分）1．i 22i =-- ， ia r g 22i =-- 。

2．ln(3i)-= ， i i = 。

3.在映照2()24f z z z =+下，曲线C在iz =处的伸缩率是，旋转⾓是。

4.0z =是241e zz -的阶极点，241Re [,0]ze s z -=。

三解答题（每题7分）设2222()i()f z x axy by cx dxy y =++-++。

问常数,,,a b c d为何值时()f z 在复平⾯上处处解析？并求这时的导数。

求(1)-的所有三次⽅根。

3．2d Cz z其中C 是0z=到34i z =+的直线段。

4．||2e cos d z z z z=?。

(积分曲线指正向)5．||2d (1)(3)z zz z z =+-?。

(积分曲线指正向)6 将1()(1)(2)f z z z =--在1||2z <<上展开成罗朗级数。

7.求将单位圆内||1z <保形映照到单位圆内||1w <且满⾜1()02f =，1πarg ()22f '=的分式线性映照。

四解答题（1,2,3题各6分, 4题各9分）1．求0 0()e 0ktt f t t -设22()e e sin 6()t t f t t t t t δ-=+++, 求()f t 的拉⽒变换。

设221()(1)F s s s =+，求()F s 的逆变换。

4. 应⽤拉⽒变换求解微分⽅程23e (0)0, (0)1t'==? 复变函数与积分变换试题答案 1若(,)u x y 与(,)v x y 都是调和函数，则()(,)i (,)f z u x y v x y =+是解析函数。

复变函数与积分变换五套试题及答案

复变函数与积分变换试题（一）一、填空（3分×10）1．的模，幅角。

)31ln(i --2．-8i 的三个单根分别为：，，。

3．Ln z 在的区域内连续。

4．的解极域为：。

z z f =)(5．的导数。

xyi y x z f 2)(22+-==')(z f 6．。

=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0,sin Re 3z z s 7．指数函数的映照特点是：。

8．幂函数的映照特点是：。

9．若=F [f (t )]，则= F 。

)(ωF )(t f )][(1ω-f 10．若f （t ）满足拉氏积分存在条件，则L [f (t )]=。

二、(10分)已知，求函数使函数为解析函222121),(y x y x v +-=),(y x u ),(),()(y x iv y x u z f +=数，且f (0)=0。

三、（10分）应用留数的相关定理计算⎰=--2||6)3)(1(z z z z dz四、计算积分（5分×2）1．⎰=-2||)1(z z z dz2． C ：绕点i 一周正向任意简单闭曲线。

⎰-c i z z3)(cos 五、（10分）求函数在以下各圆环内的罗朗展式。

)(1)(i z z z f -=1．1||0<-<i z 2．+∞<-<||1i z 六、证明以下命题：（5分×2）（1）与构成一对傅氏变换对。

)(0t t -δo iwt e -（2）)(2ωπδ=⎰∞+∞-ω-dt e t i 七、（10分）应用拉氏变换求方程组满足x (0)=y (0)=z (0)=0的解y (t )。

⎪⎩⎪⎨⎧='+=+'+='++'0401z y z y x z y x 八、（10分）就书中内容，函数在某区域内解析的具体判别方法有哪几种。

复变函数与积分变换试题答案（一）一、1．， 2.-i 2i -i22942ln π+ππk arctg 22ln 32+-333.Z 不取原点和负实轴 4. 空集5.2z 6．07.将常形域映为角形域8.角形域映为角形域9.10.⎰∞+∞-ωωπωωd e F i )(21⎰∞+-0)(dte tf st 二、解：∵∴（5分）yu x x v ∂∂-=-=∂∂xuy y v ∂∂==∂∂c xy u +=cxy y x i z f ++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=222121)(∵f (0)=0c =0（3分）∴（2分）222222)2(2)(2)(z ixyi y x i y x i xy z f -=+--=--=三、解：原式=（2分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2621π01=z 12=z （2分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2643π33=z ∞=4z 2312(3,)3)(1(1Re 66⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--分）z z z s =0⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞--0,1)31)(11(11Re 2,)3)(1(1Re 266z z z z s z z z s 分）（∴原式=（2分） =23126⨯⨯i πi 63π-四、1．解：原式（3分）z 1=0z 2=1⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π=∑=k k z z z s i ,)1(1Re 221=0（2分）]11[2+-=i π2．解：原式=iz z i=''=s co !22πi z z i =-π=）（cos i i cos π-=1ich π-五、1．解：ni z z f ∑∞⎪⎫⎛--⋅=⋅⋅=⋅=1111111111)(分）（分）（分）（（2分）11)(--∞=-=∑n n n i z in nn i z i )(1-=∑∞-=2．解：⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅-=-+⋅-=i z i i z i z i i z z f 11)(11)(1)(11)(2分）（分）（（1分）（2分）nn i z i i z ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=02)(120)(11+∞=-=∑n n n i z i 20)(--∞=-=∑n n n i z i 六、1．解：∵（3分）∴结论成立0)(0t i e t t ti t i e dt e t t ωωωδ-==--∞+∞-=-⎰（2）解：∵（2分）1)(2210==ωπδπ=ωω-ω-∞+∞-⎰t i t i e dw e ∴与1构成傅氏对)(2w πδ∴（2分）)(2ωπδω=-∞+∞-⎰dt e t i 七、解：∵（3分）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++=++)3(0)(4)()2(0)()()()1(1)()()(s sZ s Y s Z s sY s X S s sZ s Y s sX S （2）-（1）：∴（3分）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-=s s s Y 111)(2⎪⎭⎫ ⎝⎛++--=--=1111211112s s s s s s ∴cht e e t Y t t -=--=-121211)(八、解：①定义；②C-R 充要条件Th ；③v 为u 的共扼函数10分复变函数与积分变换试题（二）一、填空（3分×10）1．函数f (z )在区域D 内可导是f (z )在D 内解析的（）条件。

(完整版)复变函数与积分变换习题答案

证明：(1)在负实轴上，任取一点z a，则分别由水平方向和垂直方向趋近z点有：
lim f (z) lim Arg( a i y)
y 0y 0
lim f (z) lim Arg( a i y)
y 0y 0
显然函数在负实轴上不连续。
lim f (z) lim Arg (rei)
2sin
cos( )
2 2 2
isin(
2
i
2sin e2 2
2
(5)
z3
解：
i3
3i
re
cos3
isin3
(6)
e1 i
解：
ee
cos1 i sin1
(7)
1i
解：
1i
1i
i ei3 /4cos3
/ 4 isin3 /4
1i
1i
、计算下列数值
(1)
a ib
解：
ib
i ar ctgb2k
2 2 abe
cos2
L
L
cosn
1i i(e e
2
L
L
in i i2e ) (e e
L
in
L ein)
1 ei
(1
ine
)e
i(1 ein)
1
ie
(1
in i ie ) 1 e e
(1
in ie ) 1 e
2
1
ie
1 ei
2
2(1cos
)
cos
i i i(n 1) i(n 1) in in
1 e e 2 e e e e
22(1cos )
2sin
2
(8)
sin

复变函数与积分变换习题册(含答案)

第1章复数与复变函数 (作业1)一、填空题 1、ieπ2的值为。

2、k 为任意整数，则34+k 的值为。

3、复数i i (1)-的指数形式为。

4、设b a ,为实数，当=a , b= 时，).35)(1()3()1(i i b i a ++=-++ 二、判断题（正确的划√，错误的划） 1、2121z z z z +=+ （）2、()()())z Re(iz Im ;z Im iz Re =-= （）3、()()i i i 125432+=++ （）三、选择题1．当ii z -+=11时，5075100z z z ++的值等于（）（A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1-2．复数)(tan πθπθ<<-=2i z 的三角表示式是（）（A ）)]2sin()2[cos(secθπθπθ+++i （B ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(secθπθπθ+++-i （D ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 3．使得22z z =成立的复数z 是（）（A ）不存在的（B ）唯一的（C ）纯虚数（D ）实数 4.若θi re i i=+--2)1(3，则（）（A ）πθ-==3arctan ,5r （B ）πθ-==3arctan ,210r （C ）3arctan ,210-==πθr （D ）3arctan ,5-==πθr 5. 设复数z 位于第二象限，则z arg 等于（）。

(A) x y arctan 2+π (B) x y arctan +π (C) x y arctan 2-π (D) xy arctan +-π 四、计算与证明题 1、设ii i i z -+-=11，求.),Im(),Re(z z z z2、当x y ,等于什么实数时，等式()i iy i x +=+-++13531成立？3、求复数ii-+23的辐角。

《复变函数与积分变换》试卷

复变函数与积分变换试题（本科）一、填空题（每小题2分，共12分）1、设i z 222-=，则其三角表示式为______________；2、满足|z+3|-|z-1|=0的z 的轨迹是__________；3、=+)3(i Ln ___________________;4、jat e 5的傅氏变换为__________；5、s s -21的拉氏逆变换为_________________.6、11)(5+=z z f 在00=z 处展开成幂级数为_________________________________。

二、选择题（每小题2分，共10分）1、设z z f cos )(=，则下列命题正确的是（）A 、|)(|z f 是有界的；B 、)(z f 以π为周期；C 、2)(iz izee zf --=； D 、)(z f 在复平面上处处解析。

2、设i z =，则102148z z z ++的值等于（）A 、1；B 、-1；C 、i ；D 、i -。

3、设C 是正向圆周,2||=z 则=⎰cdz z z||（）A 、i π4；B 、i π2；C 、π2；D 、π4。

4、z=0是z z sin 1的孤立奇点的类型为（）A 、二阶极点；B 、简单极点；C 、可去奇点；D 、本性奇点。

5、若幂级数∑∞=0n n n z c 在i z +=11处发散，则该级数在z=2处的敛散性为（）A 、绝对收敛；B 、条件收敛；C 、发散；D 、不能确定；三、已知调和函数i i f xy y x u +-=+-=1)(,22，求解析函数,)(iv u z f +=，并求)('z f 。

（8分）四、设ixy x z f +=2)(，试确定)(z f 在何处可导，何处解析,并求可导点处的导数。

（6分）五、求下列函数的积分（每小题6分，共24分）1、沿x y =算出积分dz iy x i ⎰++102)(的值；2、⎰=-π3||cos 1sin z dz z z ；3、⎰+πθθ20cos 351d ；4、⎰=-1||22)(cos z dz a z z z ，其中0,1||≠≠a a六、将下列函数展开为级数（每小题7分，共14分）1、将函数11)(+-=z z z f 在10=z 处展开成幂级数，并指出其收敛区间。

复变函数与积分变换考试B试卷

浙江科技学院2010-2011学年第1学期考试B 试卷考试科目复变函数与积分变换考试方式闭完成时限 2小时拟题人工程数学组审核人批准人年月日121000n n n n n L[f t ]s F(s )s f s f f ---'=----（）（）（）（）（）（）.())()(;!)(k s F t f e L s m t L kt m m-==+1；())()()()(s F t f t L n n n 1-=.一. 填空题（每小题3分，共15分）34z i =-，则z 表示成三角表示式为； 2. 令)sin (cos θθi r z +=，则nz = ； 3. 设c 是逆时针方向单位圆，则积分21d 16cz z z ++⎰为；4. 设幂级数11(1)n n n z ∞-=-∑，则它的收敛半径为；5. 已知函数2()tf t e=，则函数()f t 的拉普拉斯变换为 . ..二、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的序号填在题干的括号内。

本大题共4小题，每小题3分，共12分） 1. 若f (z )=u +iv 是复平面上的解析函数，则f '(z )=( )专业班学姓名 ………………………………………………………装订线……………………………………………………………………………………A ．u u i x y ∂∂+∂∂ B ． u v i x x∂∂-∂∂ C ．u vix x∂∂+∂∂ D ．v vi y x∂∂-∂∂ 2. 已知函数()f z Lnz =在各个分支的解析区域是（） A 实轴上半平面； B 虚轴的右半平面；C 除掉负实轴和原点的平面；D 除掉正实轴和原点的的平面.3. 0z =是函数3sin ()zf z z=的（）A 可去奇点；B 本性奇点；C 三阶极点.；D 二阶极点4. 函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在点000z x iy =+处可导的充要条件是（）A. (,)u x y 和(,)v x y 分别在00(,)x y 处可导 B (,)u x y 在00(,)x y 处可导； C ；(,)v x y 在00(,)x y 处可导； D (,)u x y (,)v x y +在00(,)x y 处可导三、计算题（本大题共8小题,每小题7分，共56分）1．求出的值;…………………………………………………2. 求86Ln i -（-）的值.;3.求()1ii +的值.4.判别函数233z x y-y x 2()f i xy =++（）在复平面上何处解析?5. 计算积分3sin (1)C zI dz z =-⎰，其中C 为正向圆周|z |=2;6. 求函数21()f z z z=-在圆环域0<|z -1|<1内的罗朗级数展开式；7. 求积分2||2cos d (1)(3)z zz z z =--⎰；………………………8. 计算积分22zCe I dz z z=-⎰，其中C 为正向圆周|z |=4;四、综合题（本大题共2小题,第1小题8分, 第2小题9分，共17分）1.求积分20.3cos d I πθθ=-⎰2. 用拉氏变换解下列初值问题求方程()2()3()1y t y t y t '''-+=，满足初始条件,(0)(0)0y y '==的解.。

《复变函数与积分变换》期末考试试卷A及答案

《复变函数与积分变换》期末考试试卷A及答案六、（本题6分）求)()(0>=-ββtet f 的傅立叶变换，并由此证明：te d t ββπωωβω-+∞=+⎰2022cos三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分）（1）．设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a解：因为)(z f 解析，由C-R 条件y v x u ∂∂=∂∂ xvy u ∂∂-=∂∂ y dx ay x 22+=+,22dy cx by ax --=+,2,2==d a ，,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c给出C-R 条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。

（2）．计算⎰-C zz zz e d )1(2其中C 是正向圆周：解：本题可以用柯西公式\柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算，仅给出用前者计算过程因为函数z z e z f z2)1()(-=在复平面内只有两个奇点1,021==z z ，分别以21,z z 为圆心画互不相交互不包含的小圆21,c c 且位于c 内⎰⎰⎰-+-=-21d )1(d )1(d )1(222C z C z C zz z z e z zz e z z z e i z e iz e i z zz z πππ2)1(2)(2021=-+'===无论采用那种方法给出公式至少给一半分，其他酌情给分。

（3）．⎰=++3342215d )2()1(z z z z z解：设)(z f 在有限复平面内所有奇点均在：3<z 内，由留数定理]),([Re 2d )2()1(3342215∞-=++⎰=z f s i z z z z z π -----（5分） ]1)1([Re 22z z f s i π= ----（8分）234221521))1(2()11()1(1)1(z z zz zz f ++=0,z )12()1(11)1(34222=++=有唯一的孤立奇点z z z z z f 1)12()1(11)1(]0,1)1([Re 34220202lim lim =++==→→z z z z zf z z f s z z⎰==++∴33422152d )2()1(z i z z z z π --------（10分）（4）函数2332)3()(sin )2)(1()(-+-=z z z z z z f π在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级. 解：∞±±±==-+-=，的奇点为 ,3,2,1,0,)(sin )3()2)(1()(3232k k z z z z z z z f π（1）的三级零点，）为（032103=±±±==z kk z πsin ,,,,,（2）的可去奇点，是的二级极点，为，)()(,z f z z f z z 210-=±== （3）的一级极点，为)(3z f z =（4）的三级极点；，为)(4,3,2z f z±-=（5）的非孤立奇点。

复变函数与积分变换(08级)参考答案.

2010-2011第一学期自动化专业08级复变函数与积分变换参考答案一、解答下列各题（每小题5分，共50分）1、设a 、b 是实数，函数i y bx axy z f )()(22++=在复平面解析，分别求a 、b 之值，并求)(z f '. 解：)(z f Θ是复平面上的解析函数，则22),(,),(y bx y x v axy y x u +==在平面上满足C —R 方程，即：x y y x v u v u -==, …………………………2分故 bx ax y ay 22-== 对y x ,∀ 成立，1,2-==⇒b a …………………………3分222)(2)(iz i x y xy z f =-+=iz y i x i z x i y v i u z f x x 2)()2(2)(-=+=-+=+=' …………5分2、求ii 2)1(+，并指出其主值.解：)))1(2(ln2ex p())1(2ex p()1(2i iArg i i Ln i i i++=+⋅=+ …………2分exp(2(2)))4exp((4)(ln 2))2i i k n i ππππ=++=-++))2sin(ln )2(cos(ln 42i en +=+-ππ；其中Z n ∈； …………4分其主值为))2sin(ln )2(cos(ln 2i e+-π. …………5分3、计算积分Czdz ⎰，其中C 是从原点到1+3i 的直线段。

解：参数方程103≤≤⎩⎨⎧==t ty t x …………2分Czdz ⎰510)31)(3(11==+-=⎰⎰tdt dt i ti t …………5分4、计算⎰-++Cdz z z )3211(，其中4||:=z C ，方向为正向. 解：由Cauchy 积分公式， …………2分原式=i i i z dzz dz z z πππ622123214||4||=⋅+⋅=-++⎰⎰==. …………5分 5、计算⎰+Cz dz z e 55，其中1||:=z C ,方向为正向。

【免费下载】复变函数与积分变换试题及解答

7．设F [ f1 (t)] F1 (), F [ f2 (t)] F2 () ,
F [ f1 (t) f2 (t)] ________________，其中 f1 (t) f2 (t) 定义为________________ .
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，力根通保据过护生管高产线中工敷资艺设料高技试中术卷资，配料不置试仅技卷可术要以是求解指，决机对吊组电顶在气层进设配行备置继进不电行规保空范护载高与中带资负料荷试下卷高问总中题体资，配料而置试且时卷可，调保需控障要试各在验类最；管大对路限设习度备题内进到来行位确调。保整在机使管组其路高在敷中正设资常过料工程试况中卷下，安与要全过加，度强并工看且作护尽下关可都于能可管地以路缩正高小常中故工资障作料高；试中对卷资于连料继接试电管卷保口破护处坏进理范行高围整中，核资或对料者定试对值卷某，弯些审扁异核度常与固高校定中对盒资图位料纸置试，.卷保编工护写况层复进防杂行腐设自跨备动接与处地装理线置，弯高尤曲中其半资要径料避标试免高卷错等调误，试高要方中求案资技，料术编试交写5、卷底重电保。要气护管设设装线备备置敷4高、调动设中电试作技资气高，术料课中并3中试、件资且包卷管中料拒含试路调试绝线验敷试卷动槽方设技作、案技术，管以术来架及避等系免多统不项启必方动要式方高，案中为；资解对料决整试高套卷中启突语动然文过停电程机气中。课高因件中此中资，管料电壁试力薄卷高、电中接气资口设料不备试严进卷等行保问调护题试装，工置合作调理并试利且技用进术管行，线过要敷关求设运电技行力术高保。中护线资装缆料置敷试做设卷到原技准则术确：指灵在导活分。。线对对盒于于处调差，试动当过保不程护同中装电高置压中高回资中路料资交试料叉卷试时技卷，术调应问试采题技用，术金作是属为指隔调发板试电进人机行员一隔，变开需压处要器理在组；事在同前发一掌生线握内槽图部内纸故，资障强料时电、，回设需路备要须制进同造行时厂外切家部断出电习具源题高高电中中源资资，料料线试试缆卷卷敷试切设验除完报从毕告而，与采要相用进关高行技中检术资查资料和料试检，卷测并主处且要理了保。解护现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

复变函数参考答案章

3、设 my3 + nx 2 y + i(x3 + lxy 2 ) 为解析函数，试确定 l, m, n 的值。
解：令 f (z) = my3 + nx2 y + i(x3 + lxy2 ) ，因为 f (z) 解析，所以满足 C-R 条件，由
u(x, y) = my3 + nx2 y ， v(x, y) = x3 + lxy2 ，得 ∂u = 2xyn ， ∂u = 3y2m + x2n ；
2
=
π arctan(tan
−α
)
=
π
−α
，所以1− cosα
+ i sinα
=
α 2 sin
π (cos
−α
2
2
2
2
+i sin π
−α )
= 2sin α
i π −α
e2
。即1− cosα
+ i sinα
= 2sin α
i π −α
e2
。上式对于 α
=0及
2
2
2
α = π 时也成立。
（解法二）利用三角公式，有1− cosα + i sinα = 2sin2 α + 2i sin α cos α
复变函数与积分变换同步练习参考答案
中北大学复变函数教研室编印
复变函数同步练习第一章参考答案
三、作业题
1、(1)设 z
=
⎛ ⎜⎝
3 1
+ −
4i 2i
⎞2 ⎟⎠
，则
z
=
5 ，辐角主值为 arctan( 4) − π 。 3

中北大学复变函数与积分变换答案(第七至九章答案)

(s +1+ i)4
]s=−1+i
=
te( −1−i )t
(−2i)2 − 2e(−1−i)t (−2i)4
(−2i)
+
te( −1+i )t
(2i)2 − 2e(−1+i)t (2i)4
(2i)
= 1 [−te−t cos t + e−t sin t] = 1 e−t (sin t − t cos t)
[te−2t
0
sin
6t ]e− st dt
=
12(s + 2) [(s + 2)2 + 36]2
6． f (t) = (t − a)u(t − a)
4
L { f (t)} =
t2u(t − 2)e−stdt =
0
t 2e−stdt =
2
(x + 2)2 e−s(x+2)dt = e−2s[ 2 + 4 + 4]
解：
f
(t)
=
1 0
t 1 t 1
F
f
(t)
=
2
sin
0
2 = 0
+
[2
sin
]2d
=
2
1 12 dt = 4 ，
+ (sin )2d =
−
−1
−
3
所以
+ 1− cos xdx =
+
2 sin 2
x =x
2 dx
2
=
+ sin2 d =
− x2
− x2
−
2
第八章

复变函数与积分变换试题及答案12

∵f(0)=0 ∴ f ( z ) = xy − c=0 （3 分）（2 分）
i 2 i i ( x − y 2 ) = − ( x 2 − y 2 + 2 xyi ) = − z 2 2 2 2
2
三、解：原式=（2 分） 2πi ∑ Re s ⎢
k =1
4
⎡
⎤ 1 , zk ⎥ ⎣ z ( z − 1)( z − 3) ⎦
n
7
= ∑i
n=0
∞
n −1
( z − i) n −1 = ∑ i ( z − i ) n （2 分）
n = −1
∞
n
1分） = 2．解： f ( z ) （
1 1 1 ⋅ = （ 1分） ⋅ ( z − i) i + ( z − i) ( z − i) 2
1 ⎛ i ⎞ 1+ ⎜ ⎟ ⎝ z −i⎠
S（2）-（1）： ∴ Y (s) =
(1) ( 2) (3)
（3 分）
s 1 1 1⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1⎞ 1 ⋅⎜− ⎟ = − 2 = − ⎜ + ⎟ s −1 ⎝ s ⎠ s s −1 s 2 ⎝ s −1 s + 1⎠
2
（3 分）
∴ Y (t ) = 1 −
1 t 1 −t e − e = 1 − cht 2 2
解 y( t ) 。
5
八、（10 分）就书中内容，函数在某区域内解析的具体判别方法有哪几种。
参考答案
一、1． 3.
4 ln 2 2 + π 2 9
2 − π ， arctg 3 + 2kπ ln 2
4. 空集
6
2. 2z 6． 0
3 -i

2011年复变函数与积分变换试题及答案(A卷)

2011～2012学年第一学期《复变函数与积分变换》课程考试试卷(A 卷)院(系)_________专业班级__________学号_______________姓名__________考试日期: 2011年11月28日考试时间: 晚上7:00~9:30一、填空题 (每题3分，共24分)1．设31)1(-=z ，则z 的模为，z 的辐角主值]),((ππθθ-∈分别为．2．)21ln(i +的值为，)2cos(i 的值为．3.函数i y x z f 322)(+=在i z -=31处是否可导？__________，在i z 322+=处是否可导？________.4.级数∑∞=12n n n n i 是否收敛？_____，级数∑∞=12n nn n i 是否收敛？_____.5.函数)9(1)(2z z z f -=在i z +=1点展成泰勒级数的收敛半径为．6.0=z 为函数zz z f sin 1)(-=的____ 阶极点.7.在映射z z z f +=2)(下，i z 2210+-=处的旋转角为_________，f (z )在复平面上除去=z _________的点外处处保角.8．已知)]()([)(00ωωδωωδπω-++=F 为)(t f 的傅氏变换，则)(t f =_________.二、计算题 (每题5分，共20分)1．⎰=2||d cos z z zz2．⎰=-3||2d )1(sin z z z z zπ3．⎰+202sin 311πθθd4．x a x bxx d sin 022⎰∞++(a >0,b >0)三、(8分) 验证224),(x y xy y x v -+= 是调和函数，并求满足条件i f -=2)1(的解析函数v i u z f +=)(．四、(12分)将函数)3)(1(1)(2--=z z z z f 在z 0=0点展开为洛朗(Laurent)级数．五、(8分)求上半平面在映射iz iw +=2下的像.六、(10分)求将半带形域}0Re ,2πIm 0:{<<<=z z z D 映射到单位圆内部的保形映射．七、(12分)利用Laplace变换求解微分方程组：⎪⎩⎪⎨⎧==-+=-=-+-1)0(,3)(2)(3)('1)0(,)()()('2y e t y t x t y x e t y t x t x t t八、(6分)已知函数)(ξf 在R ≤ξ上解析，设|z|<R ，证明:)(')(2d ))()()((212||22z f z f z R f z z f iR =---⎰=ξξξξξπξ2011—2012年《复变与积分》试卷答案（A 卷）一、填空1. 1 πππ,3,3-2. i 4π 222e e +-3. 是否4. 是（收敛）否（发散）5. 26. 37.2π 21-8. tw 0cos 二、计算题1.⎰=dz zzz cos 2解：z z cos 在2=z 内有两个简单极点21π=z ，22π-=z 2sin 2,cos Re 2πππ-=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=z zz z z s （2′）2sin 2,cos Re 2πππ-=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=z zz z zs （2′）故⎰⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡==2,cos Re 2,cos Re 2cos 2πππz zs z z s i dz z z zi i 22)22(2ππππ-=--=（1′）2.dz z z zz 23)1(sin -⎰=π解：2)1(sin -z z zπ在3=z 内有2个奇点，1,021==z z ，由于πππππ=-→⋅→=-→22)1(0lim sin 0lim )1(sin 0lim z z z z z z z z z 故01=z 为2)1(sin -z z xz 的可去奇点，00,)1(sin Re 2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-z z z s π12=z 是z πsin 的1阶零点，是2)1(-z z 的2阶零点，故1是2)1(sin -z z zπ简单极点。

复变函数及积分变换试题及答案

第一套第一套一、选择题（每小题3分，共21分）1. 若（），则复函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+是区域D 内的连续函数。

A. (,)u x y 、(,)v x y 在区域D 内连续； B. (,)u x y 在区域D 内连续； C. (,)u x y 、(,)v x y 至少有一个在区域D 内连续； D. 以上都不对。

2. 解析函数()f z 的实部为sin x u e y =，根据柯西-黎曼方程求出其虚部为（）。

A.cos x e y C -+； B cos x e y C -+； C sin x e y C -+； D cos x e y C +3.2|2|1(2)z dzz -==-⎰（）。

A. i π2； B. 0； C. i π4； D. 以上都不对. 4. 函数()f z 以0z 为中心的洛朗展开系数公式为（）。

A. 101()2()n n f d c iz ξξπξ+=-⎰ B. 0()!n n f z c n =C. 201()2n k f d c iz ξξπξ=-⎰D. 210!()2()n n k n f d c iz ξξπξ+=-⎰5. z=0是函数zz sin 2的（）。

A.本性奇点B.极点C. 连续点D.可去奇点6. 将点∞，0，1分别映射成点0，1，∞的分式线性映射是（）。

A.1z zw -=B. z 1z w -=C. zz 1w -= D. z11w -=7. sin kt =（）L （），（()Re 0s >）。

A.22k s k +； B.22k s s +； C. k s -1； D. ks 1.二、填空题（每小题3分，共18分）1.23(1)i += [1] ；----------------------------------------装--------------------------------------订-------------------------------------线----------------------------------------------------2. 幂级数∑∞=1n nn z ！收敛于 [2] ；3. 设0Z 为复函数）（z f 的可去奇点，则）（z f 在该点处的留数为 [3] . ；4. 通过分式线性映射z kz λωλ-=-（k 为待定复常数）可将 [4] 映射成单位圆内部1ω<；5. 一个一般形式的分式线性映射可由z b ω=+、az ω=、1zω=三种特殊形式的映射复合而成，分别将ω平面看成z 平面的平移映射、旋转与伸缩映射、 [5] ； 6. 求积分()i x e x dx ωδ∞--∞=⎰[6] ；三、判断题（每小题2分，共10分）1. 平面点集D 称为一个区域，如果D 中任何两点都可以用完全属于D 的一条折线连接起来，这样的集合称为连通集。

复变函数及积分变换试卷及答案

«复变函数与积分变换»期末试题〔A〕一．填空题〔每题3分，共计15分〕1．231i-的幅角是〔〕；2.)1(iLn+-的主值是〔〕；3.211)(zzf+=，=)0()5(f〔〕；4．0=z是4sinzzz-的〔〕极点；5．zzf1)(=，=∞]),([Re zf s〔〕；二．选择题〔每题3分，共计15分〕1．解析函数),(),()(yxivyxuzf+=的导函数为〔〕；〔A〕yxiuuzf+=')(；〔B〕yxiuuzf-=')(；〔C〕yxivuzf+=')(；〔D〕xyivuzf+=')(.2．C是正向圆周3=z，如果函数=)(zf〔〕，那么0d)(=⎰C zzf．〔A〕23-z；〔B〕2)1(3--zz；〔C〕2)2()1(3--zz；〔D〕2)2(3-z. 3．如果级数∑∞=1nnnzc在2=z点收敛，那么级数在〔A 〕2-=z 点条件收敛；〔B 〕i z 2=点绝对收敛；〔C 〕i z+=1点绝对收敛；〔D 〕i z 21+=点一定发散．４．以下结论正确的选项是( )〔A 〕如果函数)(z f 在0z 点可导，那么)(z f 在0z 点一定解析； (B)如果)(z f 在C 所围成的区域解析，那么0)(=⎰Cdz z f〔C 〕如果0)(=⎰Cdz z f ，那么函数)(z f 在C 所围成的区域一定解析；〔D 〕函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域均为调和函数．5．以下结论不正确的选项是〔〕．(A) 的可去奇点；为z1sin ∞(B) 的本性奇点；为z sin ∞(C) ;1sin 1的孤立奇点为z∞(D) .sin 1的孤立奇点为z ∞三．按要求完成以下各题〔每题10分，共计40分〕〔1〕设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a〔2〕．计算⎰-Czz z z e d )1(2其中C 是正向圆周：2=z ；〔3〕计算⎰=++3342215d )2()1(z z z z z〔4〕函数3232)(sin )3()2)(1()(z z z z z z f π-+-=在扩大复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级.四、〔此题14分〕将函数)1(1)(2-=z z z f 在以下区域展开成罗朗级数；〔1〕110<-<z ，〔2〕10<<z ，〔3〕∞<<z 1五．〔此题10分〕用Laplace 变换求解常微分方程定解问题⎩⎨⎧='==+'-''-1)0()0()(4)(5)(y y e x y x y x y x六、〔此题6分〕求)()(0>=-ββtet f 的傅立叶变换，并由此证明：te d t ββπωωβω-+∞=+⎰2022cos«复变函数与积分变换»期末试题〔A 〕答案及评分标准一．填空题〔每题3分，共计15分〕1．231i -的幅角是〔 2,1,0,23±±=+-k k ππ〕；2.)1(i Ln +-的主值是〔 i 432ln 21π+ 〕； 3.211)(z z f +=，=)0()5(f 〔 0 〕，4．0=z 是4sin z zz -的〔一级〕极点；5． zz f 1)(=，=∞]),([Re z f s 〔-1 〕；二．选择题〔每题4分，共24分〕1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为〔B 〕；〔A 〕 y x iu u z f +=')(；〔B 〕y x iu u z f -=')(；〔C 〕y x iv u z f +=')(；〔D 〕x y iv u z f +=')(.2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f 〔 D 〕，那么0d )(=⎰Cz z f ．〔A 〕23-z ；〔B 〕2)1(3--z z ；〔C 〕2)2()1(3--z z ；〔D 〕2)2(3-z . 3．如果级数∑∞=1n nnz c 在2=z 点收敛，那么级数在〔C 〕〔A 〕2-=z 点条件收敛；〔B 〕i z 2=点绝对收敛；〔C 〕i z+=1点绝对收敛；〔D 〕i z 21+=点一定发散．４．以下结论正确的选项是( B )〔A 〕如果函数)(z f 在0z 点可导，那么)(z f 在0z 点一定解析； (B)如果)(z f 在C 所围成的区域解析，那么0)(=⎰Cdz z f〔C 〕如果0)(=⎰Cdz z f ，那么函数)(z f 在C 所围成的区域一定解析；〔D 〕函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域均为调和函数．5．以下结论不正确的选项是〔 D 〕．的可去奇点；为、zA 1sin )(∞的本性奇点；为、z B sin )(∞.sin )(的孤立奇点为、zC 11∞的孤立奇点；为、z D sin )(1∞ 三．按要求完成以下各题〔每题10分，共40分〕〔1〕．设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a解：因为)(z f 解析，由C-R 条件y v x u ∂∂=∂∂xv y u ∂∂-=∂∂ y dx ay x 22+=+,22dy cx by ax --=+,2,2==d a ，,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c给出C-R 条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。

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2010/2011学年第一学期末考试试题（A 卷）
一、（共 20 分每小题 4 分）单项选择题
1、复数1261313
z i =-
-的辐角主值为（）。

A. 1tan 2arc B. 1tan 2arc - C. 1tan 2arc π+ D. 1tan 2arc π-+ 2、设z 为复数，则方程__|
|2z z i +=-的解为（ )。

A. i +-43 B. i +43 C. i -43 D. i --4
3 3、下列积分中，积分值不为零的是（）。

A.
3219,C z z dz ⎡⎤++⎣⎦⎰其中C 为正向圆周11z -= B.
22ln(4)(1)sin(1)C z z z dz ⎡⎤++++⎣⎦⎰，其中C 为正向圆周1z = C. 132,C dz z ⎰，其中C 为正向圆周1z =
D. cos ,1
C z dz z -⎰，其中C 为正向圆周2z = 4、设()Q z 在1z =处解析，且(1)0,Q ≠则Q(z)Res ,1z(z 1)⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦
（）。

A. (1)Q B. (1)Q - C. (1)Q ' D. (1)Q '-
5、下列映射中把角形域0arg 4z π
<<保角映射成单位圆内部1ω<的是（）。

A. 4411z z +-
B. 44z i z i -+
C. 44z i z i +-
D. 4411
z z -+ 二、（共 20 分每小题 4 分）填空题 1、i i -= 。

2、 sin z ω=在点4
z π
=的旋转角为。

3、z ＝0是函数51cos )(z z z f -=的（说出类型，如果是极点，则要说明级数）。

4、0(1)n
n n i z ∞=+∑的收敛半径是。

5、积分2
10(4)d t I e t t δ-=+⎰= 。

三、（共 5 分）证明函数Re z z ω=在复平面上处处不解析。

四、（共16分，每小题8分）计算下列积分
1、计算积分()
321z C e dz z z -⎰,其中C 为正向圆周2z =。

2、利用留数定理求实积分2422109
x dx x x +∞-∞-++⎰。

五、（共 8 分）求()1(1)z f z z z
+=-在圆环域01z <<和11z <-<+∞内的罗朗展开式。

六、（共 8 分）求将单位圆1z <映射成单位圆1ω<的分式线性映射，且满足条件 1
1()0,arg ()222f f π'==。

七、（共 16 分，每小题8分）计算题
1、设{}(),i i ie f t ω
ω--=求{}2(2)i t e f t 。

2、利用Laplace 变换求解微分方程4(0)0,(0)0
t
y y e y y ''⎧+=⎨'==⎩
八、（共7分，1题4分，2题3分）解答题 1、若C 为正向圆周1,z =分11cos z z dz z =⎡⎤+⎢⎥⎣⎦⎰。

2、 “0z =是1()sin f z z z =的可去奇点。

”该说法是否正确，如果错误给出理由。