教育与心理统计学的习题及解答

1、全国大学英语四级考试结束后，随机抽取广州市考生21名，长沙市考生
16名，得到数据如下表所示，试确定两市考生该次考试成绩是否有显著差异？（α=0.05）
47275639622943
83774.86
21
X ⨯+⨯++⨯+⨯+⨯=
=解：
383922
656805
68
16
Y ⨯+
⨯+⨯+⨯=
=
21
22
1
11
1
()236.6
1
i
i X X S
n ==
-=-∑
16
22
2
1
2
1
()308.4
1
i
i Y Y S
n
==
-=-∑
（1）由于总体方差未知，所以先做方差的齐性检验 H 0: σ1= σ2 H 1: σ1≠ σ2
22308.4
=
1.3
236.6
F S S
=
=大小
0.05(15,20)
0.052.571.3
F F
α==>=
当时，查表
所以接受零假设H 0，即方差齐性,即认为两个总体方差相等
（2）对两个样本进行显著性检验 H 0: μ
1 =
μ
2
H 1: μ
1 ≠
μ
2
2
21122
1
2
1
2
74.8668
1.3
20236.615308.4
11(1)(2)1
1
(
)
()
21162
21162
X Y
t n S n S
n
n
n
n
--=
=
=⨯+⨯-+-⨯++
+-+
-
.05
(15,20)
2
0.0521
16
235,1.3
d f t t α==+-=>=对于给定的，且查表知
所以接受零假设H 0
答：
两市考生该次考试成绩没有显著差异。

2、《教育统计学》考试成绩的σ＝５，某班４９名学生，该班这门课程考试成绩平均分为８５分，试推论这门课程学习的真实成绩。

（α
x 47 75 39 62 94 83 频数 2 6 1 2 3 7 y
38 92 65 80 频数
3
2
6
5
＝０.05）
解：已知=X 85,σ2
=25,查表得
Z
2
05.0=1.96,设实际成绩为x ，
{
}
0.052
~N 0.05
X X
Z n
Z
σ->
=则由Z=
（0,1）与P 得
X －1.96·
n
σ≤x ≤96.1+X ·n
σ
代入数据计算得83.686.4X ≤≤
故该班这门课程学习的真实成绩在83.6和86.4之间。

3、已知某能力测验由三个分测验组成，各分测验在标准化样组上的平均数和标准差如下表所示：
分测验
一二三平均数6558111标准差
7
5
15
①、 甲生在分测验一、二、三上的成绩依次为82，70，110， 比较他在各分测验上成绩的高低。

②、 第一个分测验用公式计算：T=10Z+50，求甲生在第一个分 测验上的T 分数。

③、 乙生在第一个分测验上的T 分数为75分，求他在该测验 上的原始分数。

1
12
3
82-65=2.43
77058
2.45110111
0.067
15
X S Z Z Z
μ--==-=
=-解：（1)由公式Z=得
=
12
3
Z Z
Z >>
显然有
所以甲在第一个测验上的分数最高，其次是第二个测验，最后是第三个测验。

(2)由（1）知Z 1=2.43,再由T=10Z+50得 T=10×2.43+50=74.3
所以甲生在第一个分测验上的T 分数为74.3
（3）由T=10Z+50，得Z=2.5
X S μ-由公式Z=
65.5.5
7
X -得2=
，推出X=82
所以乙在第一个测验上的原始分数为82.5
4、某研究者估计，对于10岁儿童而言，比奈智力测验与韦氏儿童智力测验的
相关为0.70，现随机抽取10岁儿童50名进行上述两种智力测验，结果相关系数为r=0.54，试问实测结果是否支持研究者的估计？（α=0.05） 解：检验零假设H 0: P=0.70 H 1:P ≠0.70
查附表8，r=0.54时，Zr=0.604，ρ=0.70时，Z ρ=0.867
13r
p
Z n z
z
-
=
-由公式
0.604
0.8670.263
1.800.146
1503
Z --=
==--得
当α=0.05时，查表得Z
2
05.0=1.96
Z=-1.80＜Z
2
05.0=1.96，即p ＞0.05,即接受零假设
答：实得r 值与理论估计值差异不显著，这位研究者的估计不能推翻。

补充说明：
(1)原假设为P=0时（即假设总体相关系数为0），检验由实际观测值求得的样本相关系数r 与假设的总体相关系数P=0间差异是否显著，或者说检验样本相关系数r 是否来自零相关的总体。

则假设检验公式为：
2
21r n t r
-=
-
（2）如果已知总体相关系数不为零，而是某一数值，即H 0：P=c (c 为某一常数)，这时样本相关系数r 的分布是偏态的，但r 值经过一定转换后可得到Zr 值，Zr 值服从正态分布，
因此检验样本相关系数与总体相关系数间差异时采用Z 检验。

13
r
p
Z n Z
Z
-
=
-
5、 某班40名学生测验成绩如表1—1所示（课本P13中的中间40
名），
①、 试做出此次测验的成绩分布表；
②、某考生得35分，试求他的百分等级分数。

解：表如下：
（1）全距R=38-29=9
2
2
5
51.87 1.878
(1)
(401)K N ==⨯≈--定组数
91.1.5
8
R K =≈定组距
，故可以把组距定为1
所以此次测验的成绩分布表为： 组别 组中值 次数（f ） 相对次数 累积次数 累积相对次数
累积百分数 [39~40.5) 39.75 0 0 40 1.00 100 [37.5~39) 38.25 3 0.075 40 1.00 100 [36~37.5) 36.75 10 0.25 37 0.925 92.5 [34.5~36) 35.25 6 0.15 27 0.675 67.5 [33~34.5) 33.75 6 0.15 21 0.525 52.5 [31.5~33) 32.25 5 0.125 15 0.375 37.5 [30~31.5) 30.75 7 0.175 10 0.25 25 [28.5~30) 29.25
3
0.075
3
0.075
7.5
21,6,34.5, 1.5,40
(2)35b
f L i N x F
======由上表知，当时，
()100
b
x L f i PR N F
-⎡⎤+⎢⎥⎣⎦
=
⨯（2）由公式
(35
34.5)621 1.510057.5
40PR -⨯⎡⎤+
⎢⎥⎣⎦
=
⨯=得
答：考生得35分，他的百分等级数为57.5。

38 38 38 37 37 37 37 37 36 36 36 36 36 35 35 35 35 35 35 34 34 34 34 34 33 33 32 32 32 32 32 31 31
31
30
30
30
29
29
29。