【文献综述】热传导方程差分格式的收敛性和稳定性
热传导方程几种差分格式的MATLAB数值解法比较
热传导方程几种差分格式的MATLAB数值解法比较冯立伟【摘要】The several difference schemes for heat conduction equation were analyesed.The method for solving PDE equation was discussed.The programs are written in MATLAB using several difference schemes.A numerical experiment was made.In different mesh situations,t%对求解热传导方程的几种差分格式进行分析,并讨论使用MATLAB编程求解偏微分方程的方法.编制几种差分格式的MATLAB程序,使用算例进行数值实验,在不同网格比情况下,比较几种算法的优劣.【期刊名称】《沈阳化工大学学报》【年(卷),期】2011(025)002【总页数】5页(P179-182,191)【关键词】热传导方程;MATLAB;Crank-Nicolson离散【作者】冯立伟【作者单位】沈阳化工大学数理系,辽宁沈阳110142【正文语种】中文【中图分类】O241.82许多工程问题需要研究热量在物体内部的传导情况或某种物质在液体中的扩散情况，因此研究热传导问题特别是非稳态热传导问题十分重要.目前热传导方程已有多种求解格式［1－2］.MATLAB是目前最流行、应用最广泛的科学和工程计算软件.MATLAB基于矩阵运算，具有强大的数值运算能力和图形可视化能力，是方便实用、功能强大的数学软件［3］.用MATLAB求解常微分方程已有大量的研究［4－6］.王飞等介绍了如何使用MATLAB实现有限差分法求解微分方程［7］.高理平等给出了对两点边值问题有限元方法的程序［8］.李灿等对热传导问题的MATLAB数值计算进行了讨论［9］.本文讨论求解一维热传导方程几种不同差分格式的MATLAB编程方法，并使用算例进行检验和对结果进行分析.u(x，t)表示在t时刻物体内部坐标为x处的温度，a是热传导系数，f(x，t)为热源.1 热传导方程差分格式1.1 差分格式的建立首先对x-t平面进行网格剖分.分别取h，τ为空间步长与时间步长，用2族平行直线xj= jh，tk=kτ将矩形区域［0，T］×［0，L］分割成矩形网格.显式格式:隐式格式:Crank-Nicolson格式:Du Fort Frankel格式:由Taylor公式容易得出:它们都与一维热传导方程相容，其截断误差分别为O(τ+h2)，O(τ+ h2)，O(τ2+h2)和O(τ2+h2)［1］.1.2 初、边值条件的处理对定解条件进行离散化.由初始条件及第一类边界条件，可直接得到:1.3 稳定性分析令为网格比，显式格式公式(2)变为:使用Fourier方法可知，当r≤1/2时显式格式稳定.隐式格式变为:由Fourier方法可得隐式格式恒稳定.Crank-Nicolson格式变为:对于r＞0恒有增长因子|G|≤1，恒稳定.Du Fort Frankel格式变为:由Fourier方法可得Du Fort Frankel格式恒稳定.2 差分格式的求解显式格式:将(6)式与离散化的初边值条件结合，得到求解此问题的差分方程组:由于初始时间层上的u值为已知，由(10)式即可算出u在第一层各个节点处的近似值u1j.重复使用此式，可以逐层计算出所有的隐式格式:将(7)式与离散化的初边值条件联立，得差分方程组:将上述方程组改写成矩阵形式此方程组是三对角方程组，且系数矩阵严格对角占优，故解存在唯一.通过在每一时间层上求解一个这样的线性方程组得到在各个时刻各个网格点上的函数值. Crank-Nicolson格式:将(8)式与离散化的初边值条件联立并整理，得差分方程组:与隐式格式类似，用六点格式由第k时间层的值计算第k+1时间层的值时，需求解三对角方程组:此方程组的系数矩阵严格对角占优，差分方程组解存在唯一.程序如下:Du Fort Frankel格式:将(7)式与初始条件及第一类边界条件式联立并整理将格式改写为:由于此格式是3层格式，需要事先知道前面2个时间层上的解，第1层上的解通过对初始条件离散可得，第2层上的解使用前面的任意1种2层差分格式得到，再用此格式求解其余时间层上的解.程序核心代码如下:3 数值实验使用前面4种不同差分格式求解下面热传导方程的初边值问题.此问题的真解为u(x，t)=e－π2tsin(πx).定义误差e=u－U，取空间步长h=0.1，求解结果如图1～图6所示.图1 r=1时各种差分方法的误差‖ek‖2Fig.1 r=1 errors of several differen ce schemes‖ek‖2图2 r=时各种差分方法的误差‖ek‖2Fig.2 r=errors of several difference schemes‖ek‖2图3 r=时各种差分方法的误差‖ek‖2Fig.3 r=errors of several difference schemes‖ek‖2图4 r=时各种差分方法的误差‖ek‖2Fig.4 r=errors of several difference schemes‖ek‖2从实验结果可知，随着网格比的减小，各种方法的误差都在减小，显式格式和 Du Fort Frankel格式尤其明显.但显式格式只有当时才稳定.隐式格式虽然恒稳定，但误差较大.Crank-Nicolson格式随网格比的变化不大.图5 r=时各种差分方法的误差‖ek‖2Fig.5 r=errors of several difference schemes‖ek‖2图6 r=0.67时各种差分方法的误差‖ek‖2Fig.6 r=0.67 errors of several difference schemes‖ek‖24 结论给出了使用MATLAB求解热传导方程几种差分格式的方法和部分主要程序，通过数值实验看到Du Fort Frankel格式和 Crank-Nicolson格式是误差较小且实用的方法.参考文献:【相关文献】［1］胡健伟，汤怀民.微分方程数值方法［M］.2版.北京:科学出版社，2007:131－138.［2］ Morton K W，Mayers D F.Numerical Solution of Partial Differential Equations ［M］.2thed.Cambridge UK:Cambridge University Press，2005:19－26.［3］郑阿奇.MATLAB实用教程［M］.北京:电子工业出版社，2005:175－182.［4］单毅.常微分方程的MATLAB解法［J］.武汉大学学报(工学版)，2003，36(z2):150－152. ［5］何双.MATLAB在常微分方程初值问题的应用［J］.长春师范学院学报(自然科学版)，2005，24 (3):17－19.［6］唐洪浪，桂现才.用MATLAB符号工具箱编程求常微分方程的通解［J］.洛阳师范学院学报，2005，24(2):81－84.［7］王飞，裴永祥.有限差分方法的MATLAB编程［J］.新疆师范大学学报(自然科学版)，2003，22 (4):22－27.［8］高理平，杨光.两点边值问题有限元方法的程序实现与计算分析［J］.山东师范大学学报(自然科学版)，2009，24(1):1－5.［9］李灿，高彦栋，黄素逸.热传导问题的matlab数值计算［J］.华中科技大学学报(自然科学版)，2002，30(9):91－93.。
热传导方程的C-N格式区域分解方法及其稳定性分析
定义离散 L2 范数（Euclid 范数） ：
2 æ J -1 n 2 ö ÷ ， ç (u ) h÷ un = ç å j ÷ ç ÷ ç è ø j =1 1
2r ( u
将(7)代入(10)得：
)
其中
+
j =1
-37-
第 33 卷第 2 期
唐山师范学院学报
(12)
2011 年 3 月
n 2 n 2 n 2 n 2 n 2 2(uk ) + (uk 1 (uk -1 ) + (uk +1 ) -1 ) + (uk +1 ) + 2 2 2
n 2 n n n ) +（ r 1－r )uk (uk + (1- r ) 2 (uk -1 + u k +1 )
REN Li-li1, ZHU Shao-hong2, ZHAO Feng-zhu3
(1. College of Mathematical Science, Tianjin Normal University, Tianjin 300387, China; 2. College of Mathematical Science, Nankai University, Tianjin 300071, China; 3. The Chinese People's Armed Police Force Academy, Langfang 065000, China) Abstract: Based on Crank-Nicolson scheme, a parallel difference method for heat equation is presented by domain decomposition. The values at the subdomain interfaces are calculated by using the classical explicit scheme, and the values within the subdomain are computed by Crank-Nicolson scheme. The stability is also analysized and it is proved that the stability condition is r<1 where r represents the ration of temporal step length to spatial step length. Key words: heat equation; domain decomposition; Crank-Nicolson scheme 求解热传导方程最常用的差分方法有古典显示、 古典隐 式和 C-N 格式 。从并行计算的观点看，古典显格式计算简 单，便于编程，但这种格式是条件稳定的 r 1 / 2 ；古典隐 格式和 C-N 格式是绝对稳定的，但需要解整体的线性代数 方程组，不能直接实现并行计算。有限差分区域分解算法综 合了显格式和隐格式的优点，是一种高效实用的方法，目前 已有很多关于区域分解方法的结果， 文献[2]在内边界点使用 大空间步长 H=mh 的古典显格式， 在每个子区域内使用古典 隐格式求解，发展了有限差分区域分解算法。本研究基于 C-N 格式，设计了一种新的并行差分格式，能进一步放宽稳 定性约束条件，得到稳定性条件为 r<1。 1 并行差分格式的构造 考虑热传导方程：
一维热传导方程的差分格式
u
x j ,tk1
t
2
2u
x j ,tk1 t 2
o( ).
(2.10)
再将 u xj1,tk1 , u xj1,tk1 分别以 x j , tk1 为中心关于 x 运用泰勒级数展开, 有
u
x j1, tk1
=u
x j , tk1
u
x j , tk1
(h） u
x xj , 0 j M ,
t tk , 0 k N
将 分割成矩形网格.记 h xj | 0 j M , tk |0 k N , h h .
称 x j , tk 为结点[1].
定义 h 上的网格函数
U
k j
|0
j
M,0 k
N
,
其中U
k j
u
xj ,tk
u
x j1, tk
=u
xj ,tk
u
xj ,tk
(h） u
xj ,tk h2 u(xj ,tk（) -h）3
2!
3!
u(4)
xj ,tk
h4
o(h4 ) ,
4!
u
x j1, tk
=u
xj ,tk
u
xj ,tk
u h
xj ,tk 2!
h2 u
xj ,tk 3!
舍去截断误差,
用
u
k j
代替
u
xj ,tk
,得到如下差分方程
u k 1 j
u
k j
a
u k 1 j 1
2u
k j
1
h2
u k 1 j 1
f
k j
1
,
1 j M 1, 1 k N.
热传导方程的差分格式讲解
热传导方程的左分格式—上机卖习报告二零一gg年五月一维抛物方程的初边值问题分别用向前差分格式、向后差分格式、六点对称格式，求解下列问题:du d2u”(兀0) = sin兀X、0 <x <1w(0,O = z/(l，O = 0, r >0在f = 0.05,0.1和0.2时刻的数值解，并与解析解u^t) = e-7：l sm(^x)进行比较。
1差分格式形式设空间步长h = l/N，时间步长r>0, T=M T,网比r = r/h2.(1)向前差分格式向前差分格式，即Z = /C\) ‘“；=0 =心),必=吆=0其中，丿= 1,2,…,N —1,R = 1,2,…,M—l. ^r^at/h2表示网比。
(1)式可改写成如下:M*+1 = + (i-2r)Uj + rw*_! + tfj此格式为显格式。
其矩阵表达式如下：Q-2r r)r l-2r(j、r 1一2广rl吐7、厂1一2、用丿加(2)向后差分格式(1)向后差分格式，即=0=久形)上：=WN =a其中j = 12・・\N_l,k = H,M_L (2)式可改写成- rw ：［： + (l+2r )叶' -中；；=0 + 叭此种差分格式被称为隐格式。
其矩阵表达式如下：rl + 2r -r( j \ I”-r l + 2r-r l + 2r -rW.V-1-r 1 + 2广丿MJ< UN >(3) 六点对称格式六点差分格式：喟-0 _ a加:-2喟+唸;唏- 2”； +吃,—T2L戸 戸 J眄=0产久XJM=H ；=O.将(3)式改写成-g 唸;+ (1 + 时-1 昭=g 略 + (1 - 诃 * * 咯 + /其矩阵表达式如下：(1 + r -r/2<l-r r/2 ) ( j\ -r/2 l + rr/2 1-rui-r/2 l + r -r/2r/2 1-r r/2X-r 1+2匚M丿r/2 l-2r ；E >2利用MATLAB 求解问题的过程对每种差分格式依次取N = 40., r=l/1600, r=l/3200, el/6400,用 MATLAB 求解并图形比较数值解与精确解，用表格列出不同剖分时的Z?误差。
热传导方程的修正C-N格式及稳定性分析
热传导方程的修正C-N格式及稳定性分析何巧玲;阿布都热西提·阿布都外力【摘要】提出热传导方程的修正C-N显格式,xn+12,xn+1j-1的差分格式的处理方法,对算法进行了稳定性及收敛性证明,得到了修正显式热传导方程的稳定性条件为r≤3.数值实验表明,该方法稳定性好,宜于直接在计算机上使用.【期刊名称】《山东理工大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(028)004【总页数】4页(P21-24)【关键词】热传导方程;差分方程;显性格式;稳定条件;修正C-N方法【作者】何巧玲;阿布都热西提·阿布都外力【作者单位】新疆大学数学与系统科学学院,新疆乌鲁木齐830046;新疆大学数学与系统科学学院,新疆乌鲁木齐830046【正文语种】中文【中图分类】O24热传导方程在实际问题中有广泛的应用，如流体流动与传热、温度扩散等，因此求解热传导方程的方法有着重要的理论和实际意义.近些年，模拟计算热传导方程的方法得到迅速发展，最常用的有古典显式、古典隐式C-N格式[1]、并行计算等方法.古典显式差分格式计算方便，但稳定性条件古典隐式即Crank-Nicolson格式虽然是无条件稳定的，但要通过追赶法解线性方程组，计算量大，在不连续的边界附近r取得太大会发生振动[2-3]，并且精度不够理想，人们已很少使用它.近年来，四阶抛物方程给出了并行本性的交替分组方法[4]，五阶色散kdv方程给出了一组非对称的差分格式[5]，并行算法显隐格式交替使用,虽然提高了计算精度,但计算量很大.本文基于以上文献提出局部修正的Crank-Nicolson五点显式差分格式，避免了传统显性格式稳定性较差，隐性差分格式又须解线性方程组，计算机数值模拟不便等问题.1 热传导方程及差分格式的构造考虑热传导方程(1)式中：u=u(x,t)是扩散过程中某种物质的浓度，或者固体产热过程中在x处t时刻的温度；f(x),g(t),h(t)是已知函数.对(0,1)×(0,T)进行网格剖分，设xj=jh,tn=nτ,其中τ为时间步长，h为空间步长,并令为正实数.在网格点(xj,tn)处，用表示微分方程的近似解，对方程组(1)的Crank-Nicolson差分格式为[6](2)2 新差分格式的引入热传导方程的显示格式为即得(3)由(3)式可得(4)(1)1<j<J-1时，把得(4)式代入(2)式得(5)(2)当j=1，j=J-1时，计算方法如下：在之间插入在之间插入且则在之间插入在之间插入且则此法为热传导方程显示的五点差分格式.3 五点差分格式的稳定性当1<j<J-1时用Fourier方法分析差分格式(5)的稳定性.令则即即(1+r)vn+1=[r2cos2kh+2(r-r2)coskh+1-r+r2]vn令coskh=t,t∈[-1,1]，则(1+r)vn+1=(2r2t2+2(r-r2)t+1-r)vn格式(5)的增长因子是条件是稳定性的充要条件，因此只验证此要求为左边不等式对r≥0恒成立，故只考虑右边不等式，即要求于是格式(5)的稳定性条件为r≤3.4 关于收敛性定理定义则问题(1)和(5)的近似解满足下面的误差估计.定理1 对任意给定的r>0，差分格式(1)和(5)的解满足热传导方程五点显格式在H1范数意义下具有二阶精度.证明格式(5)U(xj,tn)在(xj,tn)对时间变量t进行泰勒展开分别把在处对空间变量x进行泰勒展开得(6)把(6)式代入(5)式，于是收敛性得到证明5 数值实验对定解问题式中取计算区域为[0,1]km,热传导速度α=1km/h，计算时间t=0.4h,空间步长h=0.01,用格式(2)，(5)进行计算(这里取两组数据进行数值试验)，结果如图1和图2所示.(i)τ=0.008,h=0.0 167,从图(1)可以看到C-N格式(2)虽然是无条件稳定的，但在不连续的边界附近有振动.当然，理论上讲，C-N格式对某些参数的选取会出现计算不稳定、编程复杂、计算量大等缺点.(ii)τ=0.008,h=0.0 334，从图(2)可以看到修正C-N格式(5)满足稳定性条件为r≤3，在不连续的边界附近图像很光滑且没有任何振动，修正C-N格式不会出现不稳定的现象，节省计算工作量而且利用格式本身就可以计算出第一时间层上的值，这就克服了隐格式解线性方程组的缺点.求解热传导方程的显修正C-N格式丰富了数值求解热传导方程的理论方法.图1 t=0.01时，C-N格式的计算结果和准确值比较图2 t=0.01时，修正C-N 格式的计算结果和准确值比较本文提出了一种修正Crank-Nicolson法，是r≤3显格方法．结果表明，该方法具有计算简单、稳定性好的优点，是求解热传导方程的有效实用方法．参考文献【相关文献】[1] 李德元，晨光南.抛物型方程差分方法引论[M].北京：科学出版社，1995.[2] 热米娜·沙比尔，阿布都热西提·阿布都外力.对热传导方程近似解在边界附近的变化研究[J]首都师范大学学报：自然科学版，2013,34(2)：10-13.[3] Harwood R C,Zhang L K,Vogel G M,et al.Oscillation-free operator splitting method for semilinear diffusion equations[J].Journal of Applied Mathematics andComputation,2013,18(7):7-18.[4] 冯青华.四阶抛物方程的一类交替分组方法[J].山东大学学报:理学版，2007,42(8):79-82.[5] 左进明，张天德.五阶色散KdV方程的交替分段显-隐差分格式[J].山东大学学报：理学版，2010,45(10):116-121.[6] 陆金莆，关治编.偏微分方程数值解法[M].3版.北京：清华大学出版社，2003.。
求解热传导方程的高精度隐式差分格式毕业论文
新疆大学毕业论文(设计)题目:求解热传导方程的高精度隐式差分格式所属院系：数学与系统科学学院专业：信息与计算科学声明本人郑重声明该毕业论文（设计）是本人在开依沙尔老师指导下独立完成的，本人拥有自主知识产权，没有抄袭、剽窃他人成果，由此造成的知识产权纠纷由本人负责。
声明人（签名）：年月日亚库甫江.买买提同学在指导老师的指导下，按照任务书的内容，独立完成了该毕业论文（设计），指导教师已经详细审阅该毕业论文（设计）。
指导教师（签名）：年月日新疆大学毕业论文（设计）任务书班级：信计07-2 姓名：亚库甫江.买买提论文（设计）题目：求解热传导方程的高精度隐式差分格式专题：毕业设计论文（设计）来源：教师自拟要求完成的内容：学习和掌握一维热传导方程已有的各种差分格式的基础上，扩散方程对空间变量应用紧致格式离散，对时间变量应用梯形方法，构造热传导方程的精度为()24τ+数值格式，O h讨论格式的稳定性，最后数值例子来验证。
发题日期：2012 年12月25日完成日期：2012 年5月28 日实习实训单位：数学学院地点：数学学院论文页数：19页；图纸张数：4指导教师：开依沙尔老师教研室主任院长（系主任）摘要本文首先对热传导方程经典差分格式进行复习和讨论，然后热传导方程对空间变量四阶紧致格式进行离散,时间变量保持不变，把一维热传导方程转化为常微分方程组的初值问题, 再利用梯形方法构造热传导方程方程的时间二阶空间四阶精度的一种差分格式，并稳定性进行分析，数值结果与Crank-Nicholson 格式进行比较，数值结果表明, 该方法是有效求解热传导方程的数值计算.关键词: 热传导方程,高精度紧致格式; 梯形方法；两层隐格式; Crank-Nicolson格式ABSTRACTThis paper first study on some classical finite difference for the heat conduction equation, secondely secondely we apply compact finite difference approximation of fourth order for discretizing spatial derivatives but leave the time variable Continuous. This approach results in a system of ODEs, which can then be used trapezodial formula derived fourth order in space and second order in time unconditionally stable implicit scheme .the stability and local truncation error of the obtained method are analysied. Numerical experiments shows that this method Useful, efficient method for solving diffusion equationKeywords: Heat conduction eqution;Higher- oder compact scheme; Trapezodial formula ;Two- level implict scheme; Crank- Nicolson scheme目录引言 (1)预备知识 (2)1.扩散方程的经典差分格式 (3)1.1 显式差分格 (3)1.1.1 显式的截断误差................ . (4)1.1.2 显式差分格式的稳定性 (4)1.2 隐式差分格式 (5)1.2.1 隐式差分格式的截断误差 (5)1.2.2 隐式差分格式的稳定性 (6)1.3 Crank-Nicolson格式 (6)1.3.1 Crank-Nicolson差分格式的截断误差 (7)1.3.2 Crank-Nicolson差分格式的稳定性 (8)2.高精度格式的构造 (9)2.1梯形方法 (9)2.2本文格式的构造 (10)2.3 稳定性分析 (11)3.数值实验 (13)结论 (17)致谢 (18)参考文献 (19)引言热传导方程是一类描述物理量随时间的扩散和衰减规律的抛物型微分方程．自然环境、工程设备及生物机体中的许多物理现象，诸如气体的扩散、液体的渗透、热的传导、以及半导体材料中杂质的扩散等都可用热传导方程来描述．由于物理问题本身的复杂性，其精确解往往不容易求得，因此研究其数值求解方法无疑具有非常重要的理论意义和工程应用价值【1】．求解该问题的数值方法主要有 差分法、有限元法、边界元法等，其中有限差分方法数值求解扩散方程的应用广泛的有效地方法之一。
差分格式的稳定性与收敛性1
(11)
v( x)
M ( x a)(b x) . 2
因为 v( x) 是 x 的二次函数，它的四阶导数为零，从式(2)、 (3)看到 v( x) 在点 xm 的二阶中心差商与 v '' ( xm ) 相等，因此差分方 程(10)的解等于边值问题(11)的解，即
Lu u ''' q( x)u f ( x), a x b, u (a) , u (b) ,
其中 q ( x) 、 f ( x) C a, b , q( x) 0. 将区间 a, b 分成 N 等份，记分点为 xm a mh, m 0,1, , N , 这里步长 h b a .利用泰勒公式，得
和
(1) (2) 的解分别记为 u m 和 um ，其中差分算子 Lh 由式(5)定义，则方程 组(5)的解 u m 为 (1) (2) um um um
(8) (9)
由极值原理可知
(1) um max , , m 1, 2, , N 1 .
3
(2) 接下来再估计 um ，考虑差分方程
Rm (u) Lu( xm ) Lhu( xm ) ，称 Rm (u) 是用差分算子 Lh 代替微 记 分算子 L 所产生的截断误差.由式(2)，二阶中心差商代替二阶 导数所产生的截断误差 Rm ，从式(4)和式(5)可以得出
Rm Lh (u ( xm ) um ) ， Rm 称为差分方程（5）的截断误差.
N
(1)
1 [(u ( xm1 ) 2u ( xm ) u ( xm1 )] u '' ( xm ) Rm 2 h Nhomakorabea其中
差分方法稳定性介绍
要证： 0, 0, 与t , x无关， 使得当 V
j 1 J 1 0 2 j
, 成立
V
j 1
J 1
n 2 j
T , n 0,1, 2,，N . t
为此构造解 n sin mj x , m非负， 待定， 代入得
n +1 sin mj x =(1 2 ) n sin mj x
非正则内点：相邻四个网格点不全 是内点。
可用临近边界点的值近似
一般区域上的调和方程求解
u g ( x) u ( x)
u ( xi 1 , y j ) 2u ( xi , y j ) u ( xi 1 , y j )
2
h u ( xi , y j 1 ) 2u ( xi , y j ) u ( xi , y j 1 ) k (i 1, , m; j 1, , n)
网格划分
uij u( xi , y j ) u(ih, jk ), 0 i m, 0 j n h a / m, k b / n
五点差分格式
Ui, j 1 k 2 U i 1, j U i 1, j h 2 U i , j 1 U i , j 1 2 h2 k 2
偏微分方程求精确解
参考书:
1. 数学物理方程与特殊函数, 杨奇林编, 清 华大学出版社 2.数学物理方程,欧维义编,吉林大学出版社
3. 谷超豪等，数学物理方程（第二版），高 等教育出版社，2002
4. Practical Partial Differential Equation(实用偏微分方程,第一版)), R. Haberman著, 2005.5
n sin m( j +1)x n sin m( j 1)x sin m( j +1)x sin m( j 1)x (1 2 ) sin mj x 2 mx 1 4 sin 2 1 1 2
【毕业设计(论文)】二维热传导方程有限差分法的MATLAB实现
第1章前言1.1问题背景在史策教授的《一维热传导方程有限差分法的MATLAB实现》和曹刚教授的《一维偏微分方程的基本解》中，对偏微分方程的解得MATLAB实现问题进行过研究，但只停留在一维中，而实际中二维和三维的应用更加广泛。
诸如粒子扩散或神经细胞的动作电位。
也可以作为某些金融现象的模型，诸如布莱克-斯科尔斯模型与Ornstein-uhlenbeck过程。
热方程及其非线性的推广形式也被应用与影响分析。
在科学和技术发展过程中，科学的理论和科学的实验一直是两种重要的科学方法和手段。
虽然这两种科学方法都有十分重要的作用，但是一些研究对象往往由于他们的特性（例如太大或太小，太快或太慢）不能精确的用理论描述或用实验手段来实现。
自从计算机出现和发展以来，模拟那些不容易观察到的现象，得到实际应用所需要的数值结果，解释各种现象的规律和基本性质。
科学计算在各门自然科学和技术科学与工程科学中其越来越大的作用，在很多重要领域中成为不可缺少的重要工具。
而科学与工程计算中最重要的内容就是求解科学研究和工程技术中出现的各种各样的偏微分方程或方程组。
解偏微分方程已经成为科学与工程计算的核心内容，包括一些大型的计算和很多已经成为常规的计算。
为什么它在当代能发挥这样大的作用呢？第一是计算机本身有了很大的发展；第二是数值求解方程的计算法有了很大的发展，这两者对人们计算能力的发展都是十分重要的。
1.2问题现状近三十年来，解偏微分方程的理论和方法有了很大的发展，而且在各个学科技术的领域中应用也愈来愈广泛，在我国，偏微分方程数值解法作为一门课程，不但在计算数学专业，而且也在其他理工科专业的研究生的大学生中开设。
同时，求解热传导方程的数值算法也取得巨大进展，特别是有限差分法方面，此算法的特点是在内边界处设计不同于整体的格式，将全局的隐式计算化为局部的分段隐式计算。
而且精度上更好。
目前，在欧美各国MATLAB的使用十分普及。
在大学的数学、工程和科学系科，MATLAB苏佳园：二维热传导方程有限差分法的MATLAB实现被用作许多课程的辅助教学手段，MATLAB也成为大学生们必不可少的计算工具，甚至是一项必须掌握的基本技能。
【计算机应用】_差分格式的稳定性_期刊发文热词逐年推荐_20140727
2012年 序号
科研热词 推荐指数 1 解的存在唯一性 3 2 紧致差分格式 3 3 收敛性 3 4 1 5 非线性schroedinger方程 1 6 非线性schr(o)dinger方程 1 7 非定常 1 8 涡量-速度法 1 9 格子波尔兹曼方法 1 10 有限差分法 1 11 广义分布函数 1 12 对角占优 1 13 不可压navier-stokes方程组 1 14 一维burgers守恒型方程 1 15 weno差分格式 1 16 unique solvability 1 17 nonlinear schrsdinger equation1 18 linearized compact difference 1 scheme 19 convergence 1
2013年 序号 1 2 3 4 5
2013年 科研热词 紧致差分格式 稳定性 收敛性 唯一性 richardson外推 5
科研热词 推荐指数 非线性leland方程 1 稳定性 1 数值试验 1 并行计算 1 交替分段crank-nicolson(asc-n)格式 1
2008年 序号 1 2 3 4
科研热词 稳定性 子域精细积分隐格式 三次样条函数 一维抛物型方程
推荐指数 1 1 1 1
2009年 序号
科研热词 1 紧致格式 2 污染传播 3 数值方法
推荐指数 1 1 1
2010年 序号 1 2 3 4
科研热词 推荐指数 稳定性 1 收敛性 1 延迟抛物微分方程 1 crank-nicolson差分格式 1
一维热传导方程的前向 、紧差分格式
中南林业科技大学本科课程论文学院:理学院专业年级：09信息与计算科学一班课程：偏微分方程数值解法论文题目：一维热传导方程的前向Euler和紧差分格式指导教师：陈红斌2012年7月学生姓名：唐黎学号: 20093936分工:程序编写，数值例子学生姓名：何雄飞学号：20093925分工：格式建立，资料收集学生姓名：汪霄学号：20093938分工：文档编辑，资料整理学生姓名：毛博伟学号：20093931分工：公式编辑，查找资料学生姓名: 倪新东学号:20093932分工:数据分析，查找资料学生姓名: 何凯明学号:20093924分工:数据分析，查找资料目录1引言 .。
.。
.....。
.。
........。
.。
..。
.....。
.。
.。
12物理背景。
.。
.。
.。
...。
.。
...。
....。
...。
.。
13网格剖分 .。
.。
..。
.。
....。
.。
..。
..。
.....。
24．1。
1向前Euler格式建立 ...。
.。
.。
...。
..。
....。
....。
24.1。
2差分格式的求解 ..。
..。
.。
...。
.。
..。
..。
..。
44.1。
3收敛性与稳定性.。
.。
.。
.。
.。
.。
.。
.。
.。
.....。
(4)4.1。
4 数值例子。
...。
..。
..。
....。
.。
.。
....。
(7)4。
2.1紧差分格式建立。
.。
.。
.....。
.。
.。
.。
.。
.。
(10)4.2.2差分格式求解。
.。
..。
.。
.。
....。
.。
...。
.。
.。
..124.2.3数值例子 ...。
..。
.。
.。
....。
..。
.......。
.。
..13总结..。
....。
.。
..。
.。
.。
.。
...。
.。
....。
....。
.........。
.17 参考文献 .........。
.。
.。
.。
...。
.。
.。
..。
..。
.18 附录 ....。
.。
..。
...。
..。
.。
......。
.。
.。
.。
.。
.。
191 引言本文考虑的一维非齐次热传导方程的定解问题：22(,),0,0,u ua f x t x l t T t x ∂∂-=<<<≤∂∂(,0)(),0,u x x x l φ=≤≤ (0,)(),(1,)(),0.u t t u t t t T αβ==<≤其中a 为正常数，(,),(),(),()f x t x t t ϕαβ为已知函数，(0)(0),(1)(0).ϕαϕβ==目前常用的求解热传导方程的差分格式有前向Euler 差分格式、向后Euler 差分格式、Crank-Nicolson 格式、Richardson 格式[1,2,3]．本文将给出前向Euler 格式和紧差分格式，并给出其截断误差和数值例子．2 物理背景热传导是由于物体内部温度分布不均匀，热量要从物体内温度较高的点流向温度较低的点处。
一维热传导方程的差分法
一维热传导方程的差分法【摘要】本文主要介绍了一维热传导方程的差分法，通过离散化处理将连续的热传导方程转化为离散的计算形式，包括显式差分法、隐式差分法和Crank-Nicolson方法。
这些方法在计算热传导过程中具有重要的应用意义。
在稳定性分析部分，讨论了各种差分方法的稳定性条件，以保证数值计算的准确性和稳定性。
结论部分总结了各种方法的优缺点，并展望了未来在热传导领域的研究方向和实际应用前景。
一维热传导方程的差分法为热传导问题的数值模拟提供了重要的数值计算手段，为工程技术和科学研究提供了有力的支持。
【关键词】一维热传导方程、差分法、离散化处理、显式差分法、隐式差分法、Crank-Nicolson方法、稳定性分析、热传导、热传导方程、数值模拟、数值计算、实际应用、稳定性、研究意义、展望未来、总结。
1. 引言1.1 背景介绍一维热传导方程是描述热传导过程的数学模型，通过该方程可以研究材料内部温度分布随时间的变化规律。
在实际工程和科学研究中，热传导方程具有广泛的应用，包括材料热处理、地热能利用、气候变化模拟等领域。
背景介绍：热传导方程最初由法拉第提出，是研究热传导现象最基本的方程之一。
热传导方程的一维形式可以表示为：\frac{\partial u(x,t)}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2u(x,t)}{\partial x^2}u(x,t)表示位置x处在时间t时的温度分布，\alpha为热传导系数。
通过求解这个偏微分方程，可以得到材料内部温度分布对时间的变化情况。
在本文中，我们将使用差分法对一维热传导方程进行数值求解。
差分法是一种常用的数值计算方法，在离散化处理方程后，将时间和空间离散化处理，然后利用差分格式来逼近偏微分方程的解。
通过显式差分法、隐式差分法和Crank-Nicolson方法的分析，我们将探讨这些方法在解决一维热传导方程中的应用和稳定性分析。
一维定常热传导方程边值问题的隐式差分法
致收敛的隐式差分格式。内容的第一部分通过建立网格，基于
展开和差分
近似建立隐式差分格式，将微分方程问题转化为线性代数方程组问题，得到差分
方程问题的向量形式。第二部分分析隐式差分格式的稳定性和收敛性，证明其无
条件稳定，在 ， 保持有界的条件下一致收敛。第三部分通过数值算例，借
助
求解得到近似解，并将其与真解进行对比，讨论观察离散解的性质，
要求较高。
在实际应用中，除了一维热传导方程，更多的我们会遇到高维热传导方程，
以二维为例，热传导方程在二维的等方向均匀介质中的传播可表示为
=
+
通常用六点对称格式、 法、预较法和 金属凝固等方面有较为广泛的应用。
法求解[2]。在工业中的钢铁制造、
4
苏州大学本科生毕业设计（论文）
本文主要是对一维定常热传导方程的边值问题进行数值逼近，建立稳定的一
⎩ (1, ) = ( ) 0 ≤ ≤ ，
并且 (0) = (0)， (1) = (0)。
(2.1)
差分法的思想是在一系列离散点上去求解析解的近似值，因此第一步是用网格剖 分求解区域。
. 网格剖分
设沿 方向的步长 ℎ = ∆ ，沿 方向的步长 = ∆ ，分别为自变量 ， 的改变量， 建立长方形网格
= ， = 0,1,2, … , ； = ，
设差分算子 , ( , ) =
−
，
则
( )( , ) = , ( , ) + , ，
其中 , =
,̃ +
()
( , )。
()
(,) ，
定理 . . 若 ， 保持有界，则当ℎ → 0， → 0时，差分算子 , 逼近 的截 断误差为 ( + ℎ )。
一维热传导方程的差分法
一维热传导方程的差分法【摘要】本文介绍了一维热传导方程在数值计算中的应用，重点讨论了差分法在该方程求解中的重要性。
首先对一维热传导方程进行离散化处理，然后推导出相应的差分格式，并对其稳定性和收敛性进行分析。
通过数值实验验证差分法的有效性。
最后对差分法在一维热传导方程中的应用进行总结，探讨其优缺点，并展望未来研究方向。
通过本文对一维热传导方程的差分法求解过程的详细描述和分析，有助于进一步理解和应用数值方法解决实际问题的能力。
【关键词】一维热传导方程、差分法、离散化、稳定性、收敛性、数值实验、优缺点、未来研究方向1. 引言1.1 介绍一维热传导方程的概念一维热传导方程是描述一维空间内热量传递过程的数学模型。
它基于热质量守恒原理和傅立叶热传导定律，可以用数学方式描述物体内部温度随时间和空间的变化规律。
一维热传导方程通常写成偏微分方程的形式，其中包含了时间和空间导数。
在实际工程和科学领域中，研究和求解一维热传导方程是非常重要的。
因为热传导是许多物理过程中的基本现象，例如热工艺、材料热稳定性分析、地下水渗流等。
通过研究一维热传导方程，可以更好地理解和预测这些现象的发展规律，为工程设计和科学研究提供重要依据。
差分法是一种常用的数值方法，在研究一维热传导方程时被广泛应用。
通过将连续的物理问题离散化，将偏微分方程转化为差分方程，可以用计算机进行数值求解。
差分法的优势在于简单易实现、计算量小、适用范围广泛，因此在工程和科学计算中得到了广泛应用。
在接下来的正文中，我们将详细讨论如何利用差分法来研究和求解一维热传导方程。
1.2 说明差分法在研究中的重要性差分法在研究中的重要性体现在其提供了一种有效的数值求解方法，能够帮助我们理解和解决实际问题中的热传导现象。
通过将连续的一维热传导方程进行离散化，我们可以将其转化为差分格式，从而利用计算机进行求解。
差分法能够更快速地得到数值解，并且可以适用于不同类型的边界条件和初始条件，从而方便我们研究不同情况下的热传导问题。
热传导方程差分格式的稳定性
ｉ Ｍ ｏ即差分 格式 （） ２ ， ２ 稳定 ．
证明 由于方程（ ） ３ 与方程 （） ２ 等价 ， 所以利用 （） ３ 式证明结论成立即可 ． 方 面 ， （ ） 中 ， Ｕ ＝ ２ ｕ 可得 在 ３式 取 ｋ ７，
２２ 变分有界法主要 思想 ． 变分有界法是一种通过变分考察有限差分格式中函数值 的有界性来判定格式稳定性的方法． 它避免 了通 常要进行矩阵谱半径或者 Ｆ ｕｉ 增长因子等繁琐计算 ， ｏｒ ｒ ｅ 首先在步长函数空 间中引入 内积和相应的范数， 然后 将差分格式用 内积变分， 这两步如 ２ １ ． 中所述 ， 最后在所得到的变分形式 中利用内积和范数的相关性质确定差 分格式中函数值有界 ， 从而得到格式稳定的条件．
其中 ｆ ｘ，） ｔ ， 为正常数 ． （ ｔ ＝ ｕ ａ， 假定区域 ［ ，］ ０ Ｔ］ ０ １ Ｘ［ ， 正好被分别平行于 轴和ｔ 轴的直线进行均匀网格划分 ， Ｎ为正整数， 设 取空间 步长为 ＾＝ ， ＝ ， （ ＝０ １… ， ＋１ ， ，， Ｎ ） 时间步长 忌 ＝ 础 ，， ＝０ ｌ…， 用 ｉ ， （ ｚ ，， Ｔ） 表示 （ ，
ｉ １
Ｌ ＝ ０， ０， １
在 ｈ定有差算 （＝ ＋） （］内 （ ￣） Ｊ ． 如 Ｖ 义限分子 ｚ ［ｚ＾ ｚ和积（ ７＾ Ｉ 上 ） （ 一 ） Ｕ． ＝ ｈ） 二 ２ ｈ
（ ＾＾ ＾ ） 并记此内积定义下的范数为 ｌ Ｉ ＝ ｛（ ）＾专而 Ｌ ［，］ ， ， Ｉ・ｌ ＾ （‘ ） ｝； ０１ 上的内积记为（）此内积 ‘， 定义下的范数记为 ＩＩ这两种范数都是 Ｈｉｅ 空间中的范数 ． ・． ｌｒ ｂｔ
２ ３ 基 本 引理 ．
引理［ 对任意的 ∈ Ｖ ， 。 ＾ ｈ 都有 ｌ ＾ｌ ２ Ｊ ＾ ｌ Ｉ
差分方法稳定性介绍
03
多尺度问题的求解
多尺度问题广泛存在于科学和工程领 域，对差分方法的稳定性提出更高要 求。未来研究中，将更加注重多尺度 问题的求解方法和技术研究。
THANKS
感谢观看
差分方法稳定性介绍
• 引言 • 差分方法的基本原理 • 差分方法的稳定性分析 • 差分方法的误差分析 • 提高差分方法稳定性的措施 • 差分方法稳定性的应用案例 • 总结与展望
01
引言
差分方法的概念
差分方法
差分方法是一种数值计算方法，用于求解微分方程的近似解。它通过构造差分 格式来逼近微分方程的导数，从而将微分方程转化为代数方程进行求解。
差分方法的稳定性分析
稳定性定义
数值稳定性
差分方法在数值计算过程中，对于初 始条件和边界条件的小扰动，解的变 化能够保持有界，即不会因计算步数 的增加而无限放大。
渐近稳定性
当计算步数趋于无穷时，差分方法的 解能够收敛到真实解，即误差能够逐 渐减小并趋于零。
稳定性判据
要点一
Lax-Richtmyer稳定性判据
对于线性偏微分方程，如果差分格式能够保持离散能量不 增长，则该格式是稳定的。该判据提供了判断差分格式稳 定性的一个充分条件。
要点二
Courant-Friedrichs-Lewy （CFL…
对于显式差分格式，为了保证计算的稳定性，时间步长与 空间步长之间需要满足一定的关系，即CFL条件。该条件 给出了时间步长的上限。
边界条件的处理
Dirichlet边界条件
直接给出边界上的函数值，处理简单。
Neumann边界条件
给出边界上的法向导数值，需要通过差分 近似进行处理。
Robin边界条件
周期边界条件
一维热传导方程的差分法
一维热传导方程的差分法一维热传导方程是描述物体内部温度分布随时间演化的数学模型。
在工程领域，热传导方程经常被用来分析物体在不同热边界条件下的温度分布和热传导速度。
为了求解一维热传导方程，常常会采用差分法来进行数值计算。
差分法是一种利用差分逼近代替微分运算的数值方法，通过将空间和时间均匀划分为若干个小区间，用离散的点代表连续的物理量，在这些离散点上建立差分方程，最终得到一个离散的求解方程组。
通过求解这个方程组，可以得到不同时间和空间点上的温度分布。
一维热传导方程的一般形式可以写作：\[ \frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \]\(u(x, t)\)为温度场变量，\(x\)为空间坐标，\(t\)为时间，\(\alpha\)为热传导系数。
为了利用差分法进行数值计算，首先需要将一维热传导方程离散化。
空间坐标可以划分为若干个网格点，记为\(x_i\)，时间可以划分为若干个时间步长，记为\(\Delta t\)。
通过差分法，可以用以下二阶中心差分逼近代替偏导数：将上述离散化的结果代入一维热传导方程，可以得到如下的差分方程：\(u_i^n\)表示在空间点\(x_i\)和时间点\(t_n\)处的温度值。
通过求解上述差分方程，可以得到物体在不同的时间和空间点的温度分布。
为了求解这个差分方程，可以采用显式差分法或者隐式差分法。
显式差分法是一种迭代数值计算的方法，通过某一时刻的温度值计算下一个时刻的温度值；隐式差分法是一种同时求解多个时刻温度值的方法，需要通过线性方程组的求解来得到下一个时间点的温度分布。
在实际工程中，差分法常常会遇到数值稳定性和收敛性的问题，需要谨慎选择时间步长和空间步长以保证数值计算的准确性。
还需要考虑边界条件和初始条件的选择，对于不同类型的热传导问题，需要考虑不同的求解策略。
差分法是求解一维热传导方程的一种重要的数值方法，通过将连续的偏导数转化为离散的差分方程进行数值计算，可以得到物体在不同时间和空间点的温度分布，为工程实践中的热传导问题提供重要的数值模拟手段。
三维热传导方程恒稳定的高精度半显式差分方法
三维热传导方程恒稳定的高精度半显式差分方法
田巧娴;杨国锋;葛永斌
【期刊名称】《江西师范大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2009(033)001
【摘要】提出了数值求解三维热传导方程的一种无条件稳定的高精度半显式差分方法,该方法可以显式计算且计算量小,截断误差为O(τ2+h4).数值算例验证了方法的精确性和可靠性.
【总页数】5页(P56-60)
【作者】田巧娴;杨国锋;葛永斌
【作者单位】宁夏大学,应用数学与力学研究所,宁夏,银川,750021;宁夏大学,应用数学与力学研究所,宁夏,银川,750021;宁夏大学,应用数学与力学研究所,宁夏,银川,750021
【正文语种】中文
【中图分类】O241.82
【相关文献】
1.解三维热传导方程的一族对称含参数高精度的显式差分格式 [J], 孙鸿烈
2.求解一维抛物型方程的一种高精度半显式差分方法 [J], 杨国锋;李波;田巧娴;葛永斌
3.两类含参数高精度恒稳的半显式差分格式 [J], 曾文平
4.求解二维扩散方程的一种恒稳定的半显式高精度差分格式 [J], 田巧娴;葛永斌
5.若干高精度恒稳的半显式差分格式 [J], 曾文平;王子丁
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
文献综述
信息与计算科学
热传导方程差分格式的收敛性和稳定性在实际研究物理问题过程中, 往往能给出问题相应的数学表达式, 但是由于实际物理问题的复杂性, 它的解却一般不容易求出. 由此计算物理应运而生, 计算物理是以计算机为工具, 应用数学的方法解决物理问题的一门应用性学科, 是物理、数学和计算机三者结合的交叉性学科. 它产生于二战期间美国对核武器的研究, 伴随着计算机的发展而发展.
计算物理的目的不仅仅是计算, 而是要通过计算来解释和发现新的物理规律. 这一点它与传统的实验物理和理论物理并无差别, 所不同的只是使用的工具和方法. 计算物理早已与实验物理和理论物理形成三足鼎立之势, 甚至有人提出它将成为现代物理大厦的“栋梁”.
在一个物理问题中一个数值解往往比一个式子更直观, 更有价值. 在实际求解方程时, 除了一些特殊的情况下可以方便地求得其精确解外, 在一般情况下, 当方程或定解条件具有比较复杂的形式, 或求解区域具有比较复杂的形状时, 往往求不到, 或不易求到其精确解. 这就需要我们去寻找方程的近似解, 特别是数值近似解, 简称数值解. 这里主要研究的是热传导方程.
有限差分法是微分方程和积分微分方程数值解的方法. 其基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替, 这些离散点称作网格的节点;把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似;把原方程和定解条件中的微商用差商来近似, 积分用积分和来近似, 于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组, 即有限差分方程组, 解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解. 然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解.
热传导的差分法是求解热传导方程的重要方法之一. 对于差分格式的的求解, 我们首先要关注差分格式的收敛性和稳定性. 对于一个微分方程建立的各种差分格式, 为了有实用意义, 一个基本要求是它们能够任意逼近微分方程, 即相容性要求. 一个差分格式是否有用, 就要看差分方程的精确解能否任意逼近微分方程的解, 即收敛性的概念. 此外, 还有一个重要的概念必须考虑, 即差分格式的稳定性. 因为差分格式的计
算过程是逐层推进的, 在计算第n ＋1层的近似值时要用到第n 层的近似值 , 直到与初始值有关. 前面各层若有舍入误差, 必然影响到后面各层的值, 如果误差的影响越来越大, 以致差分格式的精确解的面貌完全被掩盖, 这种格式是不稳定的, 相反如果误差的传播是可以控制的, 就认为格式是稳定的. 只有在这种情形, 差分格式在实际计算中的近似解才可能任意逼近差分方程的精确解. 由Lax 等价定理告诉我们, 对于各适定的线性的初值问题, 对相容性的差分逼近来说, 稳定性则是差分方程的解收敛于微分方程的解的充分必要条件. 收敛是差分方程的本质要求, 稳定是差分方程的基本特性, 对于计算的问题来说, 数值稳定性事差分格式必须要具备的条件, 一个不稳定的差分格式, 即使其他方面有很多的优点, 也是不能用来计算的. 可见由于收敛性和稳定性的重要性, 对于他们的研究是非常具有价值的.
热传导方程： 2222222.u u u u a t x y z ⎛⎫∂∂∂∂=++ ⎪∂∂∂∂⎝⎭ 一维热传导方程的初边值问题：
22200120(0,0),()(0),(),()(0).
t x x l u u a x l t t x u x x l u t u t t ϕμμ===⎧∂∂==<<>⎪∂∂⎪⎪ =<<⎨⎪⎪⎪ = =>⎩用, , 及分别表示初边值问题的解及其偏导数及n j u n j u t ∂⎛⎫ ⎪∂⎝⎭22n
j u x ⎛⎫∂ ⎪∂⎝⎭(,)u x t (,)u x t t ∂∂在点之值, 表示求解区域内网格节点. 当初边值问题的解在22
(,)u x t x ∂∂(,)j n x t (,)j n x t 区域内部适当光滑时, 对任一区域内部的节点利用泰勒展开公式, 然后化简得(,)j n x t 到显示差分格式：
1112200220,()()(1,,1),
(),()(0,1,2,).n n n
n n j j j j j j n n J U U U U U a t x U j x j J U n t U n t n ϕμμ++-⎧--+-=⎪∆∆⎪⎪=∆=⋅⋅⋅-⎨⎪⎪⎪=∆=∆=⋅⋅⋅⎩这里由于差分方程的解与原初边值问题的解一般是不同的, 故用不同的记号表示.
U u 明显的用上式近似热传导方程的初边值问题, 所忽略掉的项, 即截断误差是
. 记 2()(())O t O x ∆+∆2
2()
t a x λ∆=∆ 其隐式格式： 111110012(12),()(1,,1),
(),()(0,1,2,).
n n n n j j j j j n n J U U U U U j x j J U n t U n t n λλλϕμμ+++-+⎧-++-=⎪⎪=∆=⋅⋅⋅-⎨⎪=∆=∆=⋅⋅⋅⎪⎩ 其中. 22
()t a x λ∆=∆
参考文献
[1] 谷超豪, 李大潜, 陈恕行等. 数学物理方程[M ]. 北京: 高等教育出版社, 2002.
[2] 刘盾. 实用数学物理方程[M ]. 重庆: 重庆大学出版社, 1996.
[3] 张锁春. 抛物型方程定解问题的有限差分数值计算[M ]. 北京: 科学出版社, 2010.
[4] (美)哈伯曼. 实用偏微分方程[M ]. 北京: 机械工业出版社, 2007.
[5] 陆金甫, 关治. 偏微分方程数值解法[M ]. 北京: 清华大学出版社, 2003.
[6] K. W. Morton, D. F. Mayers. 偏微分方程数值解[M ]. 北京: 人民邮电出版社, 2006.
[7] 戴嘉尊, 邱建贤. 微分方程数值解法[M ]. 南京: 东南大学出版社, 2002.
[8] 徐琛梅. 一类非线性偏微分方程差分格式的稳定性分析[J ]. 江西科学, 2008,
27(3) :227~230.
[9] 张天德, 张希华, 王玮. 偏微分方程差分格式的构造[J]. 山东工业大学学报, 1997,
26(2) :245~246.
[10] P. Darania and A. Ebadian. A method for the numerical solution of integrodifferential
equations [J]. Applied Mathematics and Computation , 2007, 188(1): 657~668.
[11] Yang Zhang. A finite difference method for fractional partial differential equation [J].
Journal of Computational and Applied Mathematics, 2009, 215(2):524~529.。