基于两步法的数码相机定位

基于两步法的数码相机定位基于两步法的数码相机定位摘要数码相机定位在机器自动装配系统、工业视觉检测与识别、三维重建、机器人视觉导航、运动分析、海上目标跟踪、交通监管（电子警察）等诸多领域中得到了运用。

本文给出了确定靶标上圆的圆心在该相机像平面的像坐标的数学模型及确定两部固定相机相对位置的数学模型，并设计出了相应的求解算法。

首先在仅考虑单相机的情况下，在分析相机成像原理和四个坐标系之间的相互变换关系的基础上，考虑了相机径向畸变和切向畸变即非线性畸变因素，选择了一种简化模型，克服了相机内外参数未知情况下求解像坐标的困难，最终建立了基于两步法的像坐标确定模型。

该模型满足牛顿迭代法的收敛条件，保证了模型解的稳定性。

其次利用该模型，针对问题1和问题2，借助于Matlab工具，计算了靶标上给定5个圆的圆心像坐标。

然后选择Canny算子对给定靶标的像的几何中心进行了精确检测，并对两种结果进行了对比，分析了误差，精度及稳定性。

比较结果如表1所示：表1 两种算法所得像坐标结果对比（单位：像素）Ｕ坐标的平均误差：1.6551，Ｖ坐标的平均误差：1.6754 平均误差：1.6653 最大误差点为C点，最小误差点为A点。

根据表1的数据证明了两步法确定像坐标的模型具有一定的可靠性和实用性。

然后根据给定靶标模型，并在上述模型的基础之上建立了确定两部相机相对位置的模型，同时给出基于平行线“消隐点”理论的切实可行的解法。

本文最后讨论了文中所建模型和所给算法的优缺点及改进方向。

关键词：两步法；像坐标；内外参数；边缘检测；相对位置；平行线消隐点一、问题的提出1.1 背景说明数码相机定位在交通监管（电子警察）等方面有广泛的应用。

由于目前数字图像的处理速度越来越快，且可达0.02个像素精度[1]，因此考虑畸变系统误差的高精度标定具有重要的意义。

所谓数码相机定位是指用数码相机摄制物体的相片确定物体表面某些特征点的位置。

最常用的定位方法是双目定位，即用两部相机来定位。

对物体上一个特征点，用两部固定于不同位置的相机摄得物体的像，分别获得该点在两部相机像平面上的坐标。

只要知道两部相机精确的相对位置，就可用几何的方法得到该特征点在固定一部相机的坐标系中的坐标，即确定了特征点的位置。

于是对双目定位，精确地确定两部相机的相对位置就是关键，这一过程称为系统标定。

本文是通过确定数码照相机的位置，属性参数并建立成像模型，从而确定空间坐标系中物点同它在图像平面上像点之间的对应关系，并通过对所得到的结果进行相关的处理，最终得到其在像平面理想的像坐标。

1.2 重述有人设计靶标如下A，取1个边长为100mm的正方形，分别以四个顶点（对应为A、C、D、E）为圆心，12mm为半径作圆。

以C边上距离A点30mm处的B为圆心，12mm为半径作圆，如下图1所示。

图1靶标示意图由于图形的图像与拍摄点的位置有关，所以一下得到用一位置固定的数码相机摄得其像，如图2所示。

图2 靶标的像问题1：建立数学模型和算法以确定靶标上圆的圆心在该相机像平面的像坐标，这里坐标系原点取在该相机的光心，x-y 平面平行于像平面；问题2：对由图1、图2分别给出的靶标及其像，计算靶标上圆的圆心在像平面上的像坐标，该相机的像距（即光心到像平面的距离）是1577个像素单位(1毫米约为3.78个像素单位)，相机分辨率为1024×768；问题3：设计一种方法检验你们的模型，并对方法的精度和稳定性进行讨论； 问题4：建立用此靶标给出两部固定相机相对位置的数学模型和方法。

二、 模型假设及符号说明2.1 模型假设：1）假设相机坐标平面与成像坐标平面平行；2）假设相机坐标系原点在成像平面的投影是像坐标的原点； 3）假设噪声对相机成像无影响； 2.2 主要符号说明：1）w w w w O X Y Z -：全局坐标系； 2）o UV -：像素坐标系； 3）d d d o x y -：物理坐标系； 4）c c c c o x y z -：数码照相机坐标系；5）(),x u u x y δ：理想坐标点(),u u x y 在x 轴上的畸变量； 6）(),y u u x y δ：理想坐标点(),u u x y 在y 轴上的畸变量； 7）f ：相机的焦距；注：其它所有符号在文中引用处有详细说明。

三、 问题的分析通常，为了通过物坐标求取像坐标，需知道相机的内外参数，求取内外参数的过程本质就是相机的标定。

一般相机的标定方法都采用张氏法标定，该方法能高精度地标定相机，且简便易行，可以说是相机标定方法的代表，但其算法模型仅考虑了镜头径向畸变，其对切向畸变较大的场合，如鱼眼镜头成像，则不适用。

且该算法要求一个比较好的初值，若初值选择不当，则算法难以收敛或只能收敛到局部最小，从而大大降低标定精度。

为了克服计算相机内外参数的困难，提出了一种基于两步法的确定像坐标模型。

首先采用一种简化的线性模型估算出像中心的近似位置，并利用该像中心点求取初值，由于该近似点畸变很小，故求取的初值能很好地逼近准确值，然后采用一种基于牛顿迭代法得到较为精确的像坐标。

相机在使用阶段其内部参数是基本保持不变的，但两台相机之间的相互位置可能会因不慎磕碰而改变，这样势必会影响测量精度。

为了避免在重新确定两台相机之间的相互位置关系时要重新对相机进行标定，本文建立了仅利用空间点在两台相机像面上的坐标即可获得它们之间的相互关系的模型，给出了基于平行线消隐点理论算法。

四、 确定像坐标模型的建立和求解4.1 数码照相机模型如图3所示：在模板平面上，先分别以两条正交的直线为xy 轴，并按右手定则建立全局坐标系w w w w O X Y Z -；然后以数码照相机透视中心c o 为坐标原点，并使其x 轴和y 轴分别平行于像面坐标系的x 轴和y 轴，且方向相同，z 轴为数码照相机镜头的主光轴，按右手定则建立数码照相机坐标系c c c c o x y z -；再以像平面上像素坐标值()0,0的点为坐标原点o ，以水平像元阵列方向为x 方向，以垂直像元阵列方向为y 方向，建立像素平面坐标系o UV -；最后以主光轴与像平面的交点为坐标原点，并使坐标轴分别平行于像素坐标系的坐标轴来建立物理坐标系d d d o x y -。

模板平面上w P 的理想成像点为u P ，而实际透视畸变后的成像点为d P 。

w图3 透视投影模型4.2 理想透视模型通过数码照相机采集的数字图像，每幅数字图像在计算机内为m n ⨯数组，m 行n 列的图像中的每一个元素我们称之为像素，其数值即为图像点的亮度。

再根据针孔成像原理，由世界坐标点到理想像素点的齐次变换如下：[]11w w wx U y s V F R T z ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦(1) 其中，F 为内参矩阵，[],R T 为数码照相机的外参矩阵，R 和T 分别为模板相对数码照相机的旋转分量和平移分量。

其分别定义如下[2]：1,11,21,31,42,12,22,32,43,13,23,33,40, , 01xx y y f C r r r r F f C R r r r T r r r r r ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦其中,x y f f 分别表示在x 方向和y 方向上像点的物理坐标到图像坐标的比例系数；,x y C C 表示主光轴与像平面交点的图像坐标。

由于全局坐标系的xy 轴在模板平面上，因此对于模板上的点，0w z =，这样式(1)可重写为：1,11,21,42,12,22,43,13,23,4001011xx w y y w U f C r r r x s V f C r r r y r r r ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ (2)消去s 即得到以下理想透视数学模型：()()1,11,21,43,13,23,42,12,22,43,13,23,4x w w x w w x w w y w w f r x r y r U C r x r y r f r x r y r V C r x r y r ⎧++=+⎪++⎪⎨++⎪=+⎪++⎩(3)4.3 实际成像模型理想的透镜成像是针孔成像，其物与像满足相似三角形关系，而实际的透镜并不满足这个条件(如图3所示)。

由于数码照相机光学系统存在加工误差和装配误差，因此物点在数码照相机像面上实际所成的像与理想成像之间主要存在径向畸变和切向畸变两种光学畸变误差。

为此，本文主要考虑镜头径向畸变和切向畸变。

设理想成像点的物理坐标为(),u u x y ，畸变后的物理坐标为(),d d x y ，理想成像点的物理坐标(),u u x y 与对应的世界坐标点(),,0w w x y 有如下关系：1,11,21,43,13,23,42,12,22,43,13,23,4w w u w w w w u w w r x r y r x r x r y rr x r y r y r x r y r ++⎧=⎪++⎪⎨++⎪=⎪++⎩(4)其中f 为相机焦距，,u v 分别是物距和相距，ds 像素点大小（mm/像素）。

由文献[3]，可建立如下总像差模型：()()()()()()2422123424221234,32,23x u u u u u u u y u u u u u u ux y x k k k x y k x y x y y k k k x y k x y δρρδρρ⎧=++++⎪⎨=++++⎪⎩(5) 12,k k ρ=为径向畸变系数，34,k k 为切向畸变系数。

由理想物理坐标到实际物理坐标的关系如下：()(), , ,d u x u u d u y u u x x x y y y x y δδ=+=+由实际物理坐标到实际像点()ˆˆ,UV 的关系为： ˆˆx d xy d yU f x C V f y C ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩ (6)综合式(4)式(6)即得到如下实际像坐标计算公式：()()ˆ,ˆ,x u x x u u xy u y y u u yU f x f x y C V f y f x y C δδ⎧=++⎪⎨=++⎪⎩ (7)()(),,,,,u u x u u y u u x y x y x y δδ可分别由式(4)、式(5)确定。

其中对于数码照相机的每一个位置，其外部参数就有6个；内部参数有,,,x y x y f f C C 以及畸变系数。

通过假设像素坐标的原点对应全局坐标系的原点，像素点为正方形，相机的焦距()f u v +的理想情形下，得到简化的线性模型[4]，像坐标的初始值有如下关系：ˆˆ()w w x U f y u v ds V ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎢⎥⎣⎦(8)求取相机内外部参数可参见文献[3]。