第二节 对薛定谔方程解的讨论
第二节 对薛定谔方程解的讨论
⑴ s 轨道
l = 0 的轨道称为 s 轨道。s轨 道与角度无关，呈“球”状，为各向 同性，无角节面。
z + y x +
z y
⑵ p 轨道 m = 0，±1
l = 1 的轨道称为 p 轨道。p 轨道在空间有三个取向。即：
p 轨道呈“双球”状，轨道在空间的特定轴—极轴上振幅最大，角节 面通过原点垂直极轴。
方等于l(l + 1)；量子数 l 越大，体系轨道的角动量及角动量的平方 越大，故称其为角量子数(azimuthal quantum number) 。
⑵决定轨道的形状
角量子数(azimuthal quantum number) 决定原子轨道或电子云的形 状。 例如：
l =
0(s)
1(p)
2(d)
∫ ∫
∞
r= 0
Rn,l(r)•Yl,m(θ,φ)
2
r2sinθdrdθdφ
由于Rn,l(r)是归一化的。即：
∞ r= 0
Rn,l(r)2r2dr = 1
则：
∫
∞
r =0
Rn,l(r)•Yl,m(θ,φ)
2
r2sinθdrdθdφ =∫Y2l,m(θ,φ) dΩ
=∫Y2l,m (θ,φ) sinθdθdφ 位立体角 dΩ 内出现的概率。
+
y
两个锥形角 节面 x
dz2轨道
l = 2 ，m = 0
-
+ y
两个角节面
+
dx2-y2轨道
l = 2 ，m = 2
⑷ f 轨道
f 轨道l = 3 有7个简并轨道。即：m = 0，±1， ±2，±3 （角
节面数为 l = 3）。 z z
量子力学中的薛定谔方程及其求解
量子力学中的薛定谔方程及其求解量子力学是研究微观粒子行为的重要理论，其核心是薛定谔方程。
薛定谔方程描述了量子体系中粒子的波函数以及随时间演化的规律。
本文将介绍薛定谔方程的基本原理，并讨论一些常见的求解方法。
一、薛定谔方程的基本原理薛定谔方程是波动方程，描述了量子体系中粒子的行为。
它的一般形式为：iħ∂ψ/∂t = Hψ其中，i是虚数单位，ħ是约化普朗克常数，ψ是粒子的波函数，t 是时间，H是哈密顿算符。
薛定谔方程的左边代表了波函数随时间变化的导数，右边代表了粒子在量子力学描述下的总能量。
通过求解这个方程，我们可以得到波函数的时间演化规律，从而揭示粒子的行为。
二、薛定谔方程的求解方法求解薛定谔方程是量子力学中的关键问题，涉及到很多数学方法和物理概念。
下面介绍几种常见的求解方法。
1. 一维自由粒子的求解方法对于一维自由粒子，其哈密顿算符可以简化为动能算符，即H = -ħ^2/2m * ∂^2/∂x^2。
将这个算符代入薛定谔方程，可以得到一维自由粒子的薛定谔方程为：iħ∂ψ/∂t = -ħ^2/2m * ∂^2ψ/∂x^2这是一个简单的偏微分方程，可以通过分离变量法求解。
假设波函数可以分解为时间部分和空间部分的乘积，即ψ(x, t) = φ(x) * χ(t)，代入薛定谔方程后可以分离变量，得到两个独立的常微分方程。
分别求解这两个方程，再将它们的解合并，即可得到一维自由粒子的波函数。
2. 一维势阱的求解方法一维势阱是限制粒子运动在有限空间内的一种势场。
在势阱中，波函数的形式将受到势场的影响。
求解一维势阱的薛定谔方程需要考虑势场对波函数的贡献。
对于势阱中的波函数，只有在势阱内部才能存在。
在势阱内部，薛定谔方程的形式与自由粒子类似，但是边界条件会影响波函数的形式。
边界条件一般为波函数在势阱边界处连续且导数连续。
通过求解这个边界问题，可以得到一维势阱中的波函数。
3. 二维和三维量子体系的求解方法对于二维和三维的量子体系，薛定谔方程将变为偏微分方程。
薛定谔方程的含义和求解方法
薛定谔方程的含义和求解方法薛定谔方程是量子力学中的基本方程之一，描述了微观粒子（如电子）的行为。
本文将介绍薛定谔方程的含义及其求解方法。
一、薛定谔方程的含义薛定谔方程是由奥地利物理学家薛定谔于1926年提出的，用来描述微观粒子的运动和性质。
该方程是一个偏微分方程，包含粒子的波函数（Ψ）和哈密顿量（H）。
薛定谔方程的一般形式为：iℏ∂Ψ/∂t = HΨ其中，i是虚数单位，ℏ是约化普朗克常数，t是时间。
Ψ是粒子的波函数，H是系统的哈密顿量。
薛定谔方程描述了一个量子系统的演化过程。
通过对波函数的求解，我们可以得到粒子在不同位置和时间的概率分布，从而理解其行为和性质。
二、薛定谔方程的求解方法薛定谔方程是一个高度复杂的偏微分方程，一般情况下无法通过解析方法求解。
但可以通过一些近似方法和数值方法来求解。
1. 解析方法对于简单的系统，可以通过解析方法求解薛定谔方程。
例如，对于自由粒子，可以得到平面波的解。
对于一维谐振子，可以得到谐振子波函数的解。
然而，对于复杂的系统，如多电子体系或相互作用体系，解析方法往往不适用。
因此，需要使用近似方法和数值方法来求解。
2. 近似方法常用的近似方法包括变分法、微扰法和量子力学近似等。
变分法通过选取适当的波函数的形式和参数，使得波函数的能量最小化。
微扰法将系统的哈密顿量分解为一个已知的部分和一个微扰项，通过级数展开的方式求解波函数。
3. 数值方法数值方法是求解薛定谔方程的重要手段之一。
常用的数值方法包括有限差分法、有限元法和动态变分法等。
这些方法通过将波函数和哈密顿量离散化，将偏微分方程转化为一组代数方程，然后通过迭代求解来得到波函数的数值解。
数值方法的优点是适用于各种复杂系统，并且可以提供较高的精度。
但需要注意选择合适的离散化方法和参数，以及控制误差和收敛性。
总之，薛定谔方程是研究微观粒子的基本工具之一，可以描述粒子的运动和性质。
通过适当的求解方法，我们可以获得粒子的波函数，从而深入理解量子力学中的各种现象和行为。
量子力学 薛定谔方程的建立和定态问题
第二章 波函数和薛定谔方程 2.3、 薛定谔方程 2.3.2、 薛定谔方程的建立
2.3.2、 薛定谔方程的建立 1、自由粒子满足的微分方程: 由自由粒子波函数
i ( p⋅r − Et ) ψ p ( r , t ) = Ae
（1）
将上式两边对时间 t 求一次偏导，得：
∂ψ p
i ( p⋅r − Et ) i i = − EAe = − Eψ p ∂t
第二章 波函数和薛定谔方程 2.3、 薛定谔方程 2.3.1、 描写波函数随时间变化的方程应满足条件
经典力学和量子力学关于描述粒子运动状态的差别。 经典力学 质点的状态用 r , p 描述。 量子力学
微观粒子状态用波函数 Ψ (r , t ) 描述。
每个时刻， r , p 均有确定值， 波函数 Ψ 描述的微观粒子不可能同
第二章 波函数和薛定谔方程 2.3、 薛定谔方程 2.3.1、 描写波函数随时间变化的方程应满足条件
2.3、 薛定谔方程
在 2.1 节中， 我们讨论了微观粒子在某一时刻 t 的状态， 以及描写这个状态的波函数 Ψ 的性质， 但未涉及当时间改 变时粒子的状态将怎样随着变化的问题。本节中我们来讨 论粒子状态随时间变化所遵从的规律。
。
第二章 波函数和薛定谔方程 2.3、 薛定谔方程 2.3.3、 关于薛定谔方程的几点说明
2.3.3、 关于薛定谔方程的几点说明 （1）薛定谔方程是建立的，而不是推导出来的，建立的 方式有多种。 （2）薛定谔方程是量子力学最基本的方程，也是量子力 学的一个基本假定。薛定谔方程正确与否靠实验检验。 （3）薛定谔方程描述了粒子运动状态随时间的变化，揭 示了微观世界中物质的运动规律。
第二章 波函数和薛定谔方程 2.4、 粒子流密度和粒子数守恒定律2.4.1、 几率分布变化及连续性方程
量子物理 第二章 薛定谔方程
v v Ψ ( r , t ) = ψ ( r ) f (t )
ih df 1 ⎡ h2 2 v ⎤ （1） ⇒ = − ⎢− ∇ + U ( r ) ⎥ψ = E f dt ψ ⎣ 2μ ⎦
（2）
⎡ h2 2 v ⎤ v v ∇ + U ( r ) ⎥ψ ( r ) = Eψ ( r ) ⎢− ⎣ 2μ ⎦
当
A≠0 B=0 nπ αn =
2a
，有
sin αa = 0
(6)
（n为偶数） ，有
当
A=0 B≠0
nπ αn = 2a
cos αa = 0
(7)
（n为奇数）
(6)和(7)两式统一写成
nπ αn = , 2a
n = 1,2,3, L
（8）
22
2.3 一维无限深势阱 The infinite potential well
（3）
10
2.2 定态薛定谔方程 Time independent Schrödinger equation
df ih = Ef (t ) dt
（4） （2） 令 则 （4）
i − Et h
⇒
f (t ) = Ce
（5）
i − Et h
v ⇒ Ψ ( r , t ) = ψ ( r )e
（6）
ω = E/ h E =hω
9
2.2 定态薛定谔方程 Time independent Schrödinger equation
1．定态，定态波函数 v ∂Ψ(r , t ) ⎡ h 2 2 v ⎤ v = ⎢− ∇ + U (r , t )⎥ Ψ(r , t ) ih ∂t ⎣ 2μ ⎦ 若
（1）
量子力学中的薛定谔方程解析
量子力学中的薛定谔方程解析量子力学是研究微观世界中的粒子行为和现象的重要分支学科。
其中，薛定谔方程是量子力学的基石之一，描述了粒子的波函数演化规律。
本文将介绍薛定谔方程的基本原理和解析方法。
一、薛定谔方程的基本原理薛定谔方程是由奥地利物理学家埃尔温·薛定谔于1925年提出的，用于描述微观粒子的行为。
薛定谔方程的一般形式为：iħ∂Ψ/∂t = ĤΨ其中，ħ是普朗克常数的约化形式，Ψ是粒子的波函数，t是时间，Ĥ是哈密顿算符。
该方程是一个偏微分方程，描述了波函数随时间的变化。
二、薛定谔方程的解析方法在实际应用中，我们通常采用特定形式的波函数来解析求解薛定谔方程。
下面介绍几种常见的薛定谔方程解析方法。
1. 分离变量法分离变量法是一种常用的薛定谔方程解析方法。
它的基本思想是将多变量波函数分解为若干个单变量的乘积形式，然后将其代入薛定谔方程进行求解。
2. 平面波方法平面波方法是一种常见的简化模型，适用于特定情况下的薛定谔方程。
该方法假设波函数可以用平面波的线性叠加表示，然后通过代入薛定谔方程得到对应的能量本征值和本征函数。
3. 变分法变分法是薛定谔方程求解的一种非常灵活的方法。
该方法通过引入一组试探波函数，利用变分原理寻找使波函数能量达到最小值的解。
4. 系统对称性方法系统对称性方法适用于具有特殊对称性的系统。
通过利用系统的对称性，可以简化薛定谔方程的求解过程，并得到更加精确的解析解。
三、薛定谔方程的应用与发展薛定谔方程不仅在量子力学的基础研究中发挥着重要作用，也广泛应用于各个实际领域。
在原子物理学中，薛定谔方程用于描述电子在原子中的运动轨迹和能级结构，揭示了量子力学的基本规律，对原子光谱和分子结构的解释有重要贡献。
在固体物理学中，薛定谔方程应用于研究电子在晶体中的行为，解释了导电性等晶体性质，为材料科学和电子器件的发展提供理论基础。
在量子信息科学中，薛定谔方程被用于研究量子态的演化和测量，为量子计算和量子通信等领域的发展带来了新的可能性。
量子力学-第二章-定态薛定谔方程详解
需要注意的是，尽管分离解自身是定态解，
n (x,t) n (x)eiEnt , 其几率和期望值都不依赖时间，但是一般解并不具备这个性质；
因为不同的定态具有不同的能量，在计算时含时指数因子不能相互抵消
2.2一维无限深势阱
0, V ( x)
| x | a | x | a
V(x)
I
II
III
l 求解 S — 方程 分四步： l （1）列出各势域的一维S—方程 l （2）解方程 l （3）使用波函数标准条件定解 l （4）定归一化系数
（三）求解定态问题的步骤
讨论定态问题就是要求出体系可能有的定态波函数 Ψ(r,t)和在这些态中的能量 E。其具体步骤如下：
（1）列出定态 Schrodinger方程
[
2
2
V ] (r )
E (r )
2
（2）根据波函数三个标准 本征值： 条件求解能量 E 的
E1, E2 , , En ,
本征值问题，得：
i
d dt
f (t) Ef (t)
[
2
2
V
]
(r )
E
(r )
2
f (t ) ~ eiEt /
于是：
(r ,
t
)
(r )e
i
Et
(r ,
t
)
(
r
)e
i
Et
此波函数与时间t的关系是正弦型的，其角频率ω=2πE/h。 由de Broglie关系可知： E 就是体系处于波函数Ψ(r,t)所描写 的状态时的能量。也就是说，此时体系能量有确定的值，所以这 种状态称为定态，波函数Ψ(r,t)称为定态波函数。
（3）写出定态波函数即得 到对应第 n 个本征值 En 的定态波函数
量子力学chapter2-薛定谔方程解析
12
§2 态叠加原理
（一）态叠加原理
微观粒子具有波动性，会产生衍射图样。而干 涉和衍射的本质在于波的叠加性，即可相加性， 两个相加波的干涉的结果产生衍射。因此，同 光学中波的叠加原理一样，量子力学中也存在 波叠加原理。因为量子力学中的波，即波函数 决定体系的状态，称波函数为状态波函数，所 以量子力学的波叠加原理称为态叠加原理。
|Ψ(r,t)|2 的意义是代表电子在 t 时刻出现在 r 点附近几率的大小， 确切的说，|Ψ(r,t)|2 Δx Δy Δz 表示在 t 时刻，在 r 点处，体 积元ΔxΔyΔz中找到粒子的概率。波函数在空间某点的强度（振幅绝 对值的平方）和在这点找到粒子的概率成比例，
Ψ(r，t)
概率波
8
（三）波函数的性质
= |C1 Ψ1|2+ |C2Ψ2|2 + [C1*C2Ψ1*Ψ2 + C1C2*Ψ1Ψ2*]
电子穿过狭缝 １出现在Ｐ点
题，以后再予以讨论。
10
（3）归一化波函数
Ψ(r,t )和CΨ(r,t )所描写状态的相对概率是相同的，这
里的 C 是常数。因为在 t 时刻，空间任意两点 r1 和 r2 处找到粒子的相对概率之比是：
2
2
C(r1 , t ) (r1 , t )
C(r2 , t )
(r2 , t )
可见，Ψ(r,t) 和 CΨ(r,t )描述的是同一概率波，所以波函 数有一常数因子不定性。
C = 1/∫∞|Ψ(r,t)|2dτ
这即是要求描写粒子量子 状态的波函数Ψ必须是
绝对值平方可积的函数。
若 ∫∞|Ψ(r,t)|2dτ∞, 则 C0, 这是没有意义的。
除了个别孤立奇点外,波函数单值,有界,连续
浅谈薛定谔方程
浅谈薛定谔方程对于量子力学，这应该是我第一次接触到。
它是我们学习其它化学的基础，通过这门学科，以前学习无机和有机化学遗留的一些问题也得到了解释。
学了这大半学期，回想起来，让我印象最深地应该就是薛定谔方程，下面就简单介绍下我对这个著名方程的一些见解。
薛定谔方程是量子力学的基本方程，它揭示了微观物理世界物质运动的基本规律，就像牛顿定律在经典力学中所起的作用一样，它是原子物理学中处理一切非相对论问题的有力工具，在原子、分子、固体物理、核物理、化学等领域中被广泛应用。
在经典力学中，体系运动状态随时间的变化遵循牛顿方程。
牛顿方程是关于变量t的二阶全微分方程，方程的系数只含有粒子的内禀物理量—质量。
一旦初始条件给定，方程将唯一地决定以后任何时刻的运动状态。
在量子力学中，体系的运动状态由波函数Ψ（r,t）描述。
和经典力学类似，也可以建立一个决定Ψ(r,t)随t变化规律的方程式。
从物理上看，这个方程必须满足下述条件：(1)由于波函数满足态叠加原理，而态叠加原理对任何时间都成立，因此描写波函数随时间变化的方程必然是线性方程。
(2)方程的系数必须仅含有诸如质量m，电荷e等内禀物理量，不应含有和个别粒子运动状态的特定性质有关的量，比如动量P等。
另外，方程的系数应含有普朗克常数，以表征这一方程确是描述普朗克常数起决定作用的微观世界中粒子的运动方程。
(3)因为波函数Ψ的变数是r, t，因此它必然是个关于r和t的偏微分方程。
我们要求这个微分方程不高于二阶，以便一旦初始条件和边界条件给定后，方程能唯一地确定以后任何时刻的波函数。
(4)由于经典力学是量子力学的极限情况，因此这个方程必须满足在一定条件下也符合牛顿定理。
(5)对于自由粒子这一特殊情况，方程的解应是平面波。
当然，只有这些条件，不足以惟一地决定所需要的描述随时间变化的方程。
上面的这些条件，只为建立方程提供了一些必要的条件，给建立方程以启迪。
1926年，薛定谔即提出了这个著名方程：此式即为薛定谔方程，它是决定体系能量算符的本征值和本征函数的方程。
大学物理-第二章-薛定谔方程
的概率最大
4
4
n → ∞时，粒子在势阱内的概率趋于均匀与经典结论一致
2) 势阱中粒子的能量（能量本征值）：
由： k
2mE n
2
a
22
h2
E
n2
n2
2ma 2
8ma 2
Ek
p2 2m
说明势阱中粒子的能量是量子化的，整数 n 称为能量量子数。
能级图为n 4
n3
E4 16E1
E3 9E1
h2 En 8ma 2 n2
➢薛定谔方程是作为假设提出来的，它的正确性被无数事实所证实
i
[
2
2 U(r , t)]
t 2m
i Hˆ t
2) 由于方程是线性的，满足薛定谔方程的波函数服从叠加原理
（量子力学第一原理）
设：下列波函数均满足薛定谔方程：
1 2 3
——都是可能存在的状态
则： C11 C22 C33
势阱内：（0＜x＜a)
2 d 2( x)
E( x)
2m dx2
2mE k2 2
d 2( x) k 2( x) 0
dx2
势阱外（x ≤ 0 或x ≥a）： (x) 0
势阱内（0＜x＜a) ：
d 2( x) k 2( x) 0
dx2
k 2mE 2
其解为： (x) Asin(kx )
d 2 3
E
2m dx2
3
根据波函数要求是单值、有限、连续条件解得
Aeik1x Aeik1x 1
Bek2x 2
Ceik1x 3
在粒子总能量低于
势垒壁高 (E U ) 0
的情况下
“隧道效应”
粒子有一定的概率穿透势垒。粒子能穿透比其动能 更高的势垒的现象，称为隧道效应
氢原子的薛定谔方程
Hydrogen Atom and structure of Atom
第一节 第二节
第三节
氢原子的薛定谔方程 氢原子的薛定谔方程的解
对薛定谔方程解的讨论
第四节
第五节 第六节
氦原子
Slater原子轨道 原子光谱项
第一节 氢原子的薛定谔方程
Equation of Schrödinger of Hydrogen Atom
由于 r、θ、φ三个均为独立变量，要使方程成立，方程两端必须等于 某一常量。 设此常量为β，则有：
2 Ze2 1 d d 2mr 2 [ (r ) R] + 2 （ + E）= β R dr r dr ħ
1 Y R方程
1 ∂ ∂ ∂2 1 [ (sinθ ∂θ)Y]+[ Y] = -β sinθ ∂θ sin2θ ∂φ2 Y方程
我们知道，原子是由原子核及核外电子构成的。其中，氢原子是结构 最简单的一种原子。
我们还知道，原子核在氢原子的中央，电子在核外运动的概率密度呈
球状。这样，用空间直角坐标系描述核外运动电子在某点的定位，显得不 如球坐标方便。
一、直角坐标与球极坐标
A right angle coordinate and sphere Coordinate
何学奠基人之一。
0
x
Y
X
直角坐标系
2.球极坐标系
尽管用直角坐标对空间某点进行定位表述简便，但对在球状空间运动 某点的定位，却显得不便。 于是人们通过坐标换算，建立了球极坐标、椭球坐标等系。例如，对 于空间某点 P 的位置，用球极坐标可表示如下：
Zห้องสมุดไป่ตู้
z
r
r P（r,θ,φ）
第二章 薛定谔方程 习题知识讲解
第二章 薛定谔方程 习题 (课本44页)2.1 证明在定态中，概率流密度与时间无关。
证明：当一个系统处于定态时，其波函数),(t r可以写作，Et i r t rex p )(),(于是便有，Et i r t rex p )(),(**根据概率流密度的定义式(2.4-4)有，t iE t iE t iE t iE m i t iE t iE t iE t iE m i m i J exp exp exp exp 2exp exp exp exp 2)(2****** 即有，)(2)(2**** mi m i J显然，在定态中概率流密度与时间无关。
从某种意义上说明上述波函数称为定态波函数是名副其实的。
2.2 由下列两定态波函数计算概率流密度：⑴ )exp(11ikr r，⑵ )exp(12ikr r。
从所得结果说明1 表示向外传播的球面波，2 表示向内(即向原点)传播的球面波。
解：在解本题之前，首先给出一个函数f 的梯度在球坐标系下的表达式，即f r e f r e r f e f r sin 1ˆ1ˆˆ ⑴ 首先求解函数1 的概率流密度r ikrikr r ikr ikr ikr r ikr e mr k r ike re e r e r ike r e e r e m i r ikr r ikr r ikr r ikr m i mi J ˆˆˆ2)exp()exp()exp()exp(2)(22221*1*111可见，概率流密度1J 与r 同号，这便意味着1J的指向是向外的，即1 表示向外传播的球面波。
⑵ 同理，可以得到2 的概率流密度r ikr ikr r ikr ikr ikr r ikr e mr k r ike r e e r e r ike r e e r e m i r ikr r ikr r ikr r ikr m i mi J ˆˆˆ2)exp()exp()exp()exp(2)(22222*2*222这里的负号，即为概率流密度2J 与r的符号相反，意味着概率流密度2J 的指向是向内的，即波函数2 表示向内传播的球面波。
数学论文 浅谈薛定谔方程及其应用
中国网络大学CHINESE NETWORK UNIVERSITY 毕业设计(论文)院系名称：百度网络学院专业：百度学生姓名：百度学号：0101指导老师：百度中国网络大学教务处制2019年05月16日第1章绪论薛定谔方程（Schrodinger equation）是由奥地利物理学家薛定谔提出的量子力学中的一个基本方程，也是量子力学的一个基本假定，其正确性只能靠实验来检验。
是将物质波的概念和波动方程相结合建立的二阶偏微分方程，可描述微观粒子的运动，每个微观系统都有一个相应的薛定谔方程式，通过解方程可得到波函数的具体形式以及对应的能量，从而了解微观系统的性质。
1.1薛定谔方程的提出历史当法国物理学家德布罗意的“微观粒子也像光一样具有波粒二象性”的假说被美国物理学家戴维逊和革末利用“电子的晶体粉末散射实验”证实后，薛定谔通过类比光谱公式成功地发现了可以描述微观粒子运动状态的方法——薛定谔方程1.2 薛定谔方程的建立1. 2 .1问题提出1923年，正当人们对光的波粒二象性仍然感到新奇之际，法国物理学家德布罗意又提出实物粒子也具有波粒二象性。
在爱因斯坦的提议下，实验物理学家们都积极参与对这一提法的实验证明。
美国实验物理学家戴维森在对电子束实验中，证明德布罗意的提法是正确的．实物粒子具有波粒二象性，这是物质的根本属性，那么具有波粒二象性的实物粒子运动的基本规律是什么?如何从理论上直接得到，是在德布罗意的假设被肯定之后所面临的中心问题．薛定愕的老师德拜指定他做有关德布罗意工作的报告。
在报告之后，德拜表示不满向他指出，德布罗意以物质具有波动性质描述了微观粒子，但还不曾建立一个以波动来表示微观粒子运动的动力学方程，研究波动就应该先建立一个方程。
薛定愕在他的启示下，深入研究了这个问题，显然他不是用传统理论中人们熟悉的逻辑思维解决的。
1.2.2发散思维(1)建立方程首先要选择一个状态量，那么用什么样的物理量来描述具有波粒二象性的实物粒子的运动状态呢?这个状态量的意义是什么呢?(2)建立方程的形式应属于那一基本类型呢?这个方程的解是什么呢?(3)建立方程中自变量是什么?有几个呢?(4)被描述的实物粒子所处的环境又将怎样描述呢?1.2.3 联想思维(1)从德布罗意和爱因斯坦那里，薛定谔吸取了关于电子波动和物质具有波动性质的思想——对应波的振幅引入称之波函数，从而用波函来描述电子的运动状态。
量子力学中的薛定谔方程与解
量子力学中的薛定谔方程与解量子力学是现代物理学的一个重要分支，描述了微观粒子的行为和性质。
在量子力学的框架下，薛定谔方程是一个基本的方程，被用来描述系统的波函数演化和性质。
本文将从薛定谔方程的提出和推导开始，然后讨论它的一些基本性质和解的意义。
在1926年，奥地利物理学家Erwin Schrödinger提出了薛定谔方程，被公认为量子力学的创始之父之一。
这个方程是一种描述微观粒子的波函数随时间演化的偏微分方程。
它形式简洁，但给出了精确地描述粒子行为的解。
薛定谔方程的形式是：\[ \hat{H}\Psi=E\Psi \]其中，Psi表示波函数，H表示哈密顿算符（描述系统的能量总和），E为粒子的能量。
这个方程的推导涉及了量子力学的基本原理，如波粒二象性、平面波假设和能量量子化等。
薛定谔方程和经典的牛顿方程相比，有一个显著的不同之处。
在经典物理中，粒子的位置和动量可以同时被明确定义，而在量子力学中，波函数描述了粒子的概率分布，位置和动量不能同时精确确定。
这是著名的海森堡不确定性原理的基础。
薛定谔方程的解提供了波函数的信息，它描述了粒子在不同时刻的状态。
这些解通常包含了能量和位置等物理量的信息。
其中最重要的解是定态解，即不随时间变化的解。
定态波函数是描述特定能量状态下粒子行为的解，其形式为：\[ \Psi(x,t)=\psi(x)e^{\frac{-iEt}{\hbar}} \]其中，x表示位置，t表示时间，E为能量，hbar为普朗克常数的比例因子。
定态解揭示了量子系统的能级结构和波函数的空间分布。
薛定谔方程的解还具有统计解释。
波函数的平方模的形式，即|\Psi|^2，给出了在特定位置观测到粒子的概率密度。
这种统计性质是量子力学的独特特征，与经典物理中确定性的轨迹相对应。
薛定谔方程不仅适用于单个粒子的描述，也可以推广到包含多个粒子的系统。
在这种情况下，波函数变成了描述整个系统的复合波函数，整体行为由薛定谔方程统一描述。
第2章 波函数与薛定谔方程
二、波函数的统计解释
电子(微观粒子)到底是什么？ 它既不是经典的粒子，也不是经典的波。它是粒子 和波动两重性矛盾的统一。实际上是粒子“颗粒性” (具有一定的质量和电荷等属性的客体，但不与粒
6
子具有确定轨道相对应，这是由于位置和动量不能 同时具有确定的值，即测不准关系，后讲)与波的 “相干叠加性”(呈现干涉、衍射等现象，但不与 某种实在物理量在空间分布的周期性变化相对应) 的统一。
ˆ i p
3 ˆ 则 p * ( r ) p ( r ) d r
20
可表为
ˆ ) p (，p
动量算符
上式表明，动量平均值与波函数的梯度密切相关 （与波数 k 成正比）。 动能T=p2/2m和角动量L=r×p的平均值也可类似 求出。 一般说来，粒子的力学量A的平均值可如下求出
2
A-1/2称为归一化因子。波函数归一化与否，并 不影响几率分布。
12
注意：1）象平面波等一些理想波函数，它 们不能归一化。对此的归一化问题将在后 边介绍； 2）对于归一化的波函数仍有一个模为1的 因子不定性，即相位（phase）不定性。
e i 1
e
i
2
2
13
三、统计解释对波函数提出的要求
3
一、 波动、粒子两重性矛盾的分析
1 把电子看成是物质波包
包括波动力学的创始人薛定谔、德布罗意等人把 电子波理解为电子的某种实际结构，即看成三维 空间中连续分布的某种物质波包，因而呈现出了 干涉、衍射等现象。波包的大小即电子的大小， 波包的群速度即电子运动的速度。按经典自由粒 子能量，并利用德布罗意关系可得
第二节对薛定谔方程解的讨论教程
⑴ s 轨道
l = 0 的轨道称为 s 轨道。s轨 道与角度无关，呈“球”状，为各向 同性，无角节面。
z + y x +
z y
⑵ p 轨道 m = 0，±1
l = 1 的轨道称为 p 轨道。p 轨道在空间有三个取向。即：
p 轨道呈“双球”状，轨道在空间的特定轴—极轴上振幅最大，角节 面通过原点垂直极轴。
3p轨道的径向节面数 = 1（总节面数 = 2）
2.角量子数 l
通过求解Θ方程得到了量子数 l = 0，1，2，… n - 1 ，角量子
数 l 至少有如下几个方面的意义。
取值由主量子 数限制
⑴决定轨道角动量的大小 M= l(l+1) ħ h 2π
=[l(l+1)]1/2
M2 = l(l+1)ħ2
体系的轨道角动量取决于量子数l，体系轨道角动量轨道角动量平
例如：
z y x s m = 0 z y z y x pz m = 0 x z y
x
px m = 1
py m = - 1
光谱实验证实，在磁场中，相同主量子数和角量子数的原子轨道 还能发生分裂，显示出微小的能量差别。
二、轨道角函数
Angular Function of Orbit
1.轨道的角度波函数
波函数的角度部分 Yl,m(θ,φ) 称为角度波函数，简称角函数。角
函数主要由 l、m 两个量子数决定。
角函数Yl,m(θ,φ)反映轨道的形状和空间取向。出于历史原因，通 常用光谱学符号来表征轨道的形状；在光谱学符号的右下角标注轨道的
空间取向。即：
l = 0，1，2，3，4 … s，p，d，f，g … px 、py 、pz dxy、dxz、dyz、dx2-y2、dz2
2-薛定谔方程
二、薛定鄂方程的性质与求解方法对给定的体系（给定势能函数），如何得到体系的波函数是量子力学的另一个基本内容。
体系状态波函数随时间的演化满足薛定鄂方程（相当于经典力学中的牛顿运动方程）：ˆiH t∂ψ=ψ∂ 其中哈密顿算苻（能量算苻）222ˆˆ22p H V V m m=+=-∇+ 2222222x y z∂∂∂∇=++∂∂∂（直角系）2222222211111sin .sin sin r r r r r r θθθθθθφ⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫∇=++ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭（球坐标系）薛定鄂方程的性质与特点：1. 方程是线性的，满足态叠加原理，如果1ψ和2ψ都是方程的解，那么它们的线性叠加21ψ+ψb a 也是方程的解。
2. 方程是非相对论的，时间t 和坐标xyz 地位不等价，t 是作为一个参数，而坐标是算符。
3. 如果定义几率流密度()ψ∇ψ-ψ∇ψ=**2mi J 可以得到连续性方程0J =⋅∇+∂ψ∂t2这表明空间一体积内几率密度随时间的变化等于从包围这体积面积流入（出）的几率流密度量值。
4.波函数的归一化性质不随时间改变。
（这一点非常关键，如果波函数在0t时刻是归一化的，而随时间的演化(波函数按薛定鄂=方程演化)，它不再是归一化的，整个量子力学体系将崩溃）5. 如果两个波函数ψ1和ψ2在0t时刻是正交的，则在以后任意时=刻也是正交的。
求解薛定鄂方程的一般方法：如果势能函数不显含时间（绝大多数是这种情况），通过分离变量，得到定态薛定鄂方程（能量本征值方程）ˆH E ψ=ψ 由此解出一组能量本征函数{}n ψ和能量本征值{}n E ，能量本征函数组成正交归一系。
*mn mn d ψψτ=δ⎰ 分立谱*'(')d λλψψτ=δλ-λ⎰ 连续谱分立谱是物理上可实现的态，而连续谱不是，但是它们的叠加可以是物理上可实现的态。
定态解为/(,)()n iE t n ne -ψ=ψr tr 薛定鄂方程的一般解为)/ex p()(),( t iE c n n n -=ψ∑r t r nψ （分立谱）dE iEt c E E )/exp(),( -=ψ⎰ψt r （连续谱）叠加系数由t=0时刻的初始条件定。
薛定谔方程的基本解读
薛定谔方程的基本解读薛定谔方程是量子力学的基础方程之一，描述了微观粒子的行为。
它由奥地利物理学家薛定谔于1925年提出，是量子力学的重要里程碑。
本文将对薛定谔方程进行基本解读，介绍其数学形式、物理意义以及应用领域。
薛定谔方程的数学形式是一个偏微分方程，通常用Ψ表示波函数，可以写成如下形式：iħ∂Ψ/∂t = -ħ^2/2m∇^2Ψ + VΨ其中，i为虚数单位，ħ为约化普朗克常数，t为时间，m为粒子的质量，∇^2为拉普拉斯算子，V为势能。
这个方程描述了波函数Ψ随时间演化的规律。
薛定谔方程的物理意义在于，它描述了微观粒子的波粒二象性。
根据波粒二象性理论，微观粒子既可以表现出粒子的特性，如位置和动量，又可以表现出波的特性，如干涉和衍射。
波函数Ψ描述了粒子的状态，它的模平方|Ψ|^2表示了在某个位置找到粒子的概率。
薛定谔方程的解可以分为定态解和非定态解。
定态解对应于粒子的能量本征态，可以用一个复数函数表示。
非定态解则描述了粒子的时间演化，需要用到波包的概念。
波包是一种局域化的波函数，可以看作是许多不同频率的波叠加而成。
它在空间上具有有限的范围，可以用高斯函数表示。
波包的形状和演化受到薛定谔方程的影响，可以通过数值计算得到。
薛定谔方程的应用领域非常广泛。
在原子物理中，薛定谔方程被用来解释原子的能级结构和光谱现象。
在凝聚态物理中，薛定谔方程被用来研究晶体中的电子行为，如导电性和磁性。
在量子力学的基础研究中，薛定谔方程是研究量子纠缠和量子计算的基础。
除了基础研究，薛定谔方程还有许多实际应用。
在材料科学中，薛定谔方程可以用来模拟材料的电子结构和性质，为新材料的设计和开发提供理论指导。
在化学领域，薛定谔方程被用来研究分子的结构和反应动力学。
在生物物理学中，薛定谔方程被用来研究生物大分子的结构和功能。
总之，薛定谔方程是量子力学的基础方程，描述了微观粒子的波粒二象性。
它的数学形式简洁而优美，物理意义深远。
薛定谔方程在各个领域都有重要的应用，为我们深入理解微观世界提供了强大的工具。
量子力学中的薛定谔方程求解方法
量子力学中的薛定谔方程求解方法量子力学是一门研究微观粒子行为的物理学科，而薛定谔方程则是量子力学的基础方程之一。
薛定谔方程描述了微观粒子在各种势场中的运动规律，是解决量子力学问题的重要工具。
本文将探讨薛定谔方程的求解方法，包括定态薛定谔方程和时间相关薛定谔方程的求解。
首先，我们来讨论定态薛定谔方程的求解方法。
定态薛定谔方程描述了系统的能量本征态和能量本征值。
对于一维势场，定态薛定谔方程可以写成如下形式：$$\hat{H}\psi(x) = E\psi(x)$$其中，$\hat{H}$是哈密顿算符，$\psi(x)$是波函数，$E$是能量本征值。
对于特定的势场，我们可以通过求解这个方程得到系统的能量本征值和能量本征态。
常见的求解方法有分离变量法、近似方法和数值计算方法。
分离变量法是求解定态薛定谔方程的一种常用方法。
该方法基于波函数的可分离性假设，即$\psi(x) = X(x)Y(y)Z(z)$，将多维问题分解为一维问题。
通过将方程进行分离变量，并利用边界条件，可以得到一系列的一维薛定谔方程。
这些方程可以通过解析或数值方法求解，得到系统的能量本征值和能量本征态。
近似方法是另一种常用的求解定态薛定谔方程的方法。
当势场复杂或无法直接求解时，可以采用近似方法来求解。
常见的近似方法有微扰法和变分法。
微扰法是将复杂势场分解为简单势场，然后通过对简单势场求解薛定谔方程的精确解，再加入微扰项进行修正。
变分法是通过选择适当的波函数形式，并通过变分原理来求解薛定谔方程。
这些近似方法在实际问题中得到了广泛应用，为求解复杂系统提供了有效的工具。
除了定态薛定谔方程，时间相关薛定谔方程也是量子力学中重要的方程。
时间相关薛定谔方程描述了系统随时间演化的规律。
对于定态问题，可以通过将时间相关薛定谔方程分解为定态薛定谔方程的线性组合来求解。
但对于时间相关问题，需要采用更加复杂的方法。
数值计算方法是求解时间相关薛定谔方程的一种常用方法。
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此外，在多电子原子体系中我们知道：E3d > E3p > E3s。即n值一定
时，角量子数l越大，轨道的能级越高。
也就是说，在多电子原子中主量子数n和角量子数l一起决定电子的 能级。
3.磁量子数 m
数m至少有如下几个方面的意义。
取值由角量子 数限制
通过求解Φ方程得到了量子数 m = 0，±1，±2，„ ±l，磁量子
= Eψ
ψn,l,m = Rn,l(r) Yl,m(θ,φ） = R(r)Θ(θ)Φ(φ) Z2 En = - 2 ³13.6(eV) n
n = 1，2，3，„ I = 0，1，2，„ m = 0，±1，±2 „
通过求解原子的薛定谔方程，只 能得到n、l、m三个量子数。
一、量子数
quantum number
∫ ∫
∞
r= 0
Rn,l(r)•Yl,m(θ,φ)
2
r2sinθdrdθdφ
由于Rn,l(r)是归一化的。即：
∞ r= 0
Rn,l(r)2r2dr = 1
则：
∫
∞
r =0
Rn,l(r)•Yl,m(θ,φ)
2
r2sinθdrdθdφ =∫Y2l,m(θ,φ) dΩ
=∫Y2l,m (θ,φ) sinθdθdφ 位立体角 dΩ 内出现的概率。
1.主量子数 n
通过求解R方程，我们得到了量子数 n = 1，2，3，„ ，从其与体
系的能级、状态的关系来看，量子数n至少有如下几个方面的意义。
⑴决定体系能量的大小 1 En = - 2 n Z2 Z2 e2 = - 13.6 2 (eV) 2a0 n
（氢原子或类氢离子）
体系的能量取决于量子数 n，与 n2 成反比；n 的取值越大，体系
2sinθdθ=（1/2）1/2 ∫ Θ θ=0
π
2π
则：
∫ φ=0
于是：
2π
Φ2 d φ∫ Θ2sinθdθ=（1/4π）1/2 θ=0
π
ψns =(1/4π)1/2²Rn,l(r)
R2n,l(r) = 4π²ψ2ns
即： D(r) = r2 [Rn,l(r)]2 = 4πr2[ψns(r)]2
⑵钻穿效应
fz3
z
z
z
x
+
+ -
- + + - z2)
+ y x +
fxyz
+ + -
y
x
-
++ +
+ -
y
-
+
+
y
fz(x2
fz(x2
– 3y2)
fy(3x2
+
x
+
– y2)
2.角度分布函数
所谓角度分布函数，是用波函数 Y2l,m(θ,φ)表征电子在角轨道中
分布的概率密度。 由∣ψ∣2 dτ——概率（出现在体积元dτ中的概率）可知：
z z x
+
y x y
角节面
z
pz轨道
x
y
l = 1， m = 0
l = 1， m = 1
⑶ d 轨道
l = 2 的轨道称为 d 轨道，m = 0，±1，±2(5个简并轨道)。d 随
角度变化比 p 轨道复杂的多，分别有 2 个角节面。
例如： z x z
+
y x
+
-
+
dyz轨道
l = 2，m = -1
3p轨道的径向节面数 = 1（总节面数 = 2）
2.角量子数 l
通过求解Θ方程得到了量子数 l = 0，1，2，„ n - 1 ，角量子
数 l 至少有如下几个方面的意义。
取值由主量子 数限制
⑴决定轨道角动量的大小 M= l(l+1) ħ h 2π
=[l(l+1)]1/2
M2 = l(l+1)ħ2
体系的轨道角动量取决于量子数l，体系轨道角动量轨道角动量平
D(r)
1s
2s 3s
2a0
4a0
6a0
8a0
10a0
12a0
14a0 16a0
18a0
r
1s轨道电子云径向分布D(r)在 r = a0 = 0.529³10-10 m (氢原子的
波尔半径)处有极大值。
对于 2s 轨道和 3s 轨道，其电子云径向分布的最高峰随 n的增大 而远离原子核。 但它们的次级峰、亚次级峰出现在距核较近周围的空间。即：各轨 道间产生了相互渗透现象。这种现象称为钻穿效应。
方等于l(l + 1)；量子数 l 越大，体系轨道的角动量及角动量的平方 越大，故称其为角量子数(azimuthal quantum number) 。
⑵决定轨道的形状
角量子数(azimuthal quantum number) 决定原子轨道或电子云的形 状。 例如：
l =
0(s)
1(p)
2(d)
三、轨道径向函数
Radial Function of Orbit
1.径向波函数 2Z (n-l-1)! 2l+1 3 1/2 ρ/2 l Rn,l(r)= -{( nα ) } e ρ L n+1 (ρ) 3 0 2n[(n+l)!]
径向波函数 Rn,l(r)是反映在任意给定角度方向上，波函数随 r 变化 的情况。 波函数的径向分布节面（即：Rn,l(r)= 0）数为 n - l- 1。 Rn,l(r)
⑴ s 轨道
l = 0 的轨道称为 s 轨道。s轨 道与角度无关，呈“球”状，为各向 同性，无角节面。
z + y x +
z y
⑵ p 轨道 m = 0，±1
l = 1 的轨道称为 p 轨道。p 轨道在空间有三个取向。即：
p 轨道呈“双球”状，轨道在空间的特定轴—极轴上振幅最大，角节 面通过原点垂直极轴。
Rn,l(r)
Rn,l(r)
Rn,l(r)
Rn,l(r)
Rn,l(r)
1s 2p
2s 3p
3s 4p
+ +
rr
++
-
-
rr
++
-
-
+ +
r r
2.径向分布函数 ⑴径向分布函数 D(r)= r2[ Rn,l(r)]2
电子出现的概率。
D(r)= 4πr2 R2n,l
——“教材”P38
Why？
径向分布函数 D(r)表示，在半径为r的球面附近单位厚度球壳中 我们知道，电子出现在空间某点(r，θ，φ)附近体积元 dτ内出 现的概率为： |ψ(r，θ，φ)|2 dτ = |ψ(r，θ，φ)|2r2sinθdr dθdφ 则：
例如：
z y x s m = 0 z y z y x pz m = 0 x z y
x
px m = 1
py m = - 1
光谱实验证实，在磁场中，相同主量子数和角量子数的原子轨道 还能发生分裂，显示出微小的能量差别。
二、轨道角函数
Angular Function of Orbit
1.轨道的角度波函数
出现在距核较近区域的概率愈小。
R2n,l 1s 2s 3s 1s 2s 3s
r
⑶决定波函数的径向节面数和总节面数
波函数的节面有径向节面和角度节面两种。即：
Rn,l
Rn,l
径向节面
径向节面数
z
角节面
角节面数 = l
+
y
1s + r +
2s r
= n - l -1
x
pz轨道
总节面数 = n - 1（个） = 径向节面数 + 角节面数 径向节面数 = n - l - 1（个） 例如：1s轨道的无节面（总节面数 = 0） 4s轨道的径向节面数 = 3（总节面数 = 3）
D(r) 2s 2p 2a0 4a0 6a0 8a0 10a0 12a0 14a0 16a0 18a0
r
从2s轨道和2p轨道的电子云的径向分布图来看，2s 轨道的第一个峰
比2p轨道的第一个峰距核更近（2s 轨道比2p轨道钻得更深）。进而比较
其它轨道，我们不难得出： 当 n 相同时，l 越小的轨道，其第一个峰钻得越深。（例如：3p轨 道比3d轨道钻得更深） 镧系收缩 镧(La) 而逐渐减小。 镥(Lu)，其原子半径（或离子半径）随原子系数的增加
y
问题思考与练习
2-3 4s轨道和4d轨道的角节面数、径向节面数和总节面数各是多少？ 2-4 分析 dx2-y2 轨道及 fz3 轨道的角节面数各是多少？分别在何方向？ 2-5 证明，角量子数是决定轨道角动量的大小的量子数。 2-6 证明，磁量子数是决定轨道角动量在Z（磁）方向分量的大小的量 子数。
2 2 D(r)dr =∫ φ=0∫ θ=0 |ψ(r，θ，φ)| r sinθdr dθdφ
2π
π
2 2 2 2 =∫ φ=0 Φ dφ∫ θ=0 Θ sinθdθ²R r dr
2π
π
归一性
= r2 R2 dr
资料卡片
对D(r)= 4πr2 R2n,l 的解释 对于ns轨道而言
∫ Φ2 dφ=（1/2π）1/2 φ=0
第二节 对薛定谔方程解的讨论
Discussion of result for Schrödinger equation
一、量子数 二、轨道角函数 三、轨道径向函数 四、轨道能级
上节通过对氢原子薛定谔方程的讨论，我们得到了氢原子或类氢离 子（核外电子）的波函数和体系的能级。即：
>
Hψ= Eψ