建立数学模型方法步骤特点及分类
数学模型的构建方法与使用技巧
数学模型的构建方法与使用技巧数学模型是一种用数学语言来描述现实世界中某个问题或系统行为的工具。
它通过建立数学方程或关系，抽象出问题的本质，从而帮助我们理解和解决实际问题。
在各个领域，数学模型都发挥着重要的作用，如物理学、经济学、生物学等。
本文将介绍数学模型的构建方法和使用技巧。
一、数学模型的构建方法1. 确定问题的目标和约束条件：在构建数学模型之前，我们需要明确问题的目标和约束条件。
目标是我们希望通过数学模型解决的问题，约束条件是问题的限制条件，如资源限制、时间限制等。
2. 选择合适的数学工具：根据问题的性质和要求，选择适合的数学工具来构建数学模型。
常用的数学工具包括微积分、线性代数、概率论等。
不同的问题可能需要不同的数学工具，我们需要根据实际情况进行选择。
3. 建立数学方程或关系：根据问题的特点，建立数学方程或关系来描述问题的本质。
这些方程或关系可以是线性的，也可以是非线性的。
在建立数学方程时，需要考虑问题的实际情况，尽量简化方程，使其具有可解性。
4. 验证和调整模型：建立数学模型后，我们需要对模型进行验证和调整。
验证模型的准确性是非常重要的，可以通过实际数据进行验证。
如果模型与实际数据不符，我们需要对模型进行调整，使其更加贴近实际情况。
二、数学模型的使用技巧1. 理解问题的本质：在使用数学模型解决问题时，我们需要深入理解问题的本质。
只有理解问题的本质，才能选择合适的数学工具和建立准确的数学模型。
2. 灵活运用数学工具：数学工具是解决问题的手段，我们需要灵活运用这些工具。
有时候，一个问题可能可以用多种数学工具来解决，我们需要根据实际情况选择最合适的工具。
3. 注意模型的假设和局限性：在使用数学模型时，我们需要注意模型的假设和局限性。
模型建立时往往会有一些假设，这些假设可能会对模型的准确性产生影响。
我们需要清楚模型的假设，并在使用模型时考虑其局限性。
4. 不断优化模型：数学模型是一个不断优化的过程。
数学建模01建立数学模型
机械工程
研究机械结构和动力学， 如机械设计、振动分析等 。
经济领域
金融
研究投资和风险管理，如股票市场分析、风险评估等。
计量经济学
研究经济现象和规律，如经济增长、劳动力市场等。
管理科学
研究决策和优化问题，如生产管理、物流管理等。
社会领域
01
人口学
研究人口结构和动态，如人口增长、人口老龄化等。
02
社会学
推动科技进步
数学建模在科学研究、工程设计、经济分析等 领域发挥着重要作用，推动着科技进步和社会 发展。
提高决策效率
通过数学建模对数据进行处理和分析，能够为 决策提供科学依据，提高决策效率和准确性。
数学建模的历史与发展
起源
数学建模起源于古代的数学和物 理学研究，如阿基米德、牛顿等 人的经典著作。
发展
数学建模01建立数学模型
xx年xx月xx日
contents
目录
• 数学建模概述 • 建立数学模型的基础知识 • 建立数学模型的方法论 • 建立数学模型的实践技巧 • 建立数学模型的应用领域 • 建立数学模型的案例分析
01
数学建模概述
定义与特点
定义
数学建模是指用数学语言描述和刻画客观事物的特征、规律 、关系和属性，并基于数据进行推理、分析和预测的一种方 法。
特点
数学建模具有抽象性、精确性、系统性和可预测性等特点。 通过抽象和简化复杂问题，数学建模能够准确地描述和预测 现象，同时利用数学工具进行数据分析和优化，为决策提供 科学依据。
数学建模的重要性
1 2 3
解决实际问题
数学建模能够将实际问题转化为可计算和可分 析的数学问题，从而为解决实际问题提供有效 工具和方法。
数学模型的建立与应用
数学模型的建立与应用数学模型是指通过数学语言和方法对实际问题进行抽象和描述的模型。
它是用数学工具来描述和解决实际问题的一种方法。
数学模型的建立是一个复杂而有挑战性的过程，需要对问题进行合理的假设和简化，并利用适当的数学方法和技巧来构建模型。
本文将介绍数学模型的建立过程以及它在不同领域中的应用。
一、数学模型的建立过程数学模型的建立过程可分为以下几个步骤：1. 问题描述：首先需要明确问题的背景和具体要求，准确定义问题，并确定模型的目标和约束条件。
2. 变量选择：根据问题的特点和要求，选择适当的变量来描述问题。
变量的选择应充分考虑问题的实际意义和模型的简化程度。
3. 建立数学关系：根据问题的要求和变量之间的关系，建立数学方程或不等式，描述变量之间的相互作用和约束关系。
4. 假设和简化：在建立数学模型的过程中，为了简化问题和求解方便，常常需要做出适当的假设和简化。
但要注意假设和简化的合理性，以确保模型的可靠性和准确性。
5. 解析求解：根据建立的模型，利用数学方法和技巧对模型进行求解，并得到问题的解析解或近似解。
6. 模型验证：将模型的解与实际情况进行比较和验证，分析模型的适用性和灵活性，并对模型进行修正和改进。
7. 结果解释和应用：最后将模型的结果进行解释和应用，对实际问题进行分析和决策。
二、数学模型在不同领域中的应用1. 经济领域：数学模型在经济领域有广泛的应用。
例如，经济增长模型、投资决策模型、市场需求模型等，可以帮助经济学家和政策制定者预测和分析经济变化，制定相应的政策和措施。
2. 管理领域：数学模型在管理领域的应用主要包括运筹学和决策分析。
运筹学模型可以帮助企业合理地配置资源，优化生产和运输方案。
决策分析模型可以帮助管理者在不确定和复杂的环境中做出科学的决策。
3. 生物医学领域：数学模型在生物医学领域的应用主要包括生物动力学模型、药物代谢模型、医学影像处理等。
这些模型能够帮助医生和研究者预测和分析生物过程，优化治疗方案，提高医学诊断和治疗的准确性。
数学建立模型知识点总结
数学建立模型知识点总结一、数学建立模型的基本概念1. 模型的定义模型是对于特定对象或系统的数学表达式或描述。
它是一个用来代表真实事物、预测未来情况或解决实际问题的简化抽象。
模型可以是数学方程、图表、图形或者计算机程序等形式。
2. 模型的分类根据模型的形式和特点，可以将模型分为不同的类别，主要包括数学模型、物理模型、统计模型、仿真模型等。
3. 建立模型的目的建立模型的目的是为了更好地理解现实世界中的复杂问题，预测未来的发展趋势，进行决策分析和问题求解等。
二、数学建立模型的方法1. 建立模型的一般步骤通常建立模型的一般步骤包括问题分析、模型建立、模型求解、模型验证和结果分析等。
2. 建立模型的数学方法建立数学模型的数学方法主要包括差分方程模型、微分方程模型、优化模型、概率模型和统计模型等。
三、数学模型的应用1. 数学模型在自然科学领域的应用数学模型在物理学、化学、生物学等领域都有着广泛的应用，例如在物理学中用来研究物体的运动规律、在生物学中用来研究生物体的生长和繁殖规律等。
2. 数学模型在社会科学领域的应用数学模型在经济学、管理学、社会学等领域也有很多应用，例如在经济学中用来研究市场供求关系、在管理学中用来研究企业运营规律等。
3. 数学模型在工程技术领域的应用数学模型在工程技术领域中常常用来研究工程结构、流体力学、材料科学等诸多问题，例如在建筑工程中用来研究房屋结构的稳定性、在交通工程中用来研究交通流量规律等。
四、数学建立模型的典型案例1. 鱼群扩散模型鱼群扩散模型是用来研究在外界环境条件下鱼群扩散的问题，通常采用微分方程模型进行描述。
2. 物体自由落体模型物体自由落体模型是用来研究物体在重力作用下的运动规律，通常采用差分方程模型进行描述。
3. 经济增长模型经济增长模型常用来研究经济系统的增长规律，通常采用优化模型进行描述。
五、数学建立模型的发展趋势1. 多学科交叉融合数学建立模型的发展趋势是多学科交叉融合，即将数学模型与物理、化学、生物、经济、管理等学科相结合，以更好地解决现实世界中的复杂问题。
数学模型与数学建模
数学模型与数学建模数学模型数学模型（Mathematical Model）是近些年发展起来的新学科，是数学理论与实际问题相结合的一门科学。
它将现实问题归结为相应的数学问题，并在此基础上利用数学的概念、方法和理论进行深入的分析和研究，从而从定性或定量的角度来刻画实际问题，并为解决现实问题提供精确的数据或可靠的指导。
一、建立数学模型的要求：1、真实完整。
1）真实的、系统的、完整的,形象的映客观现象；2）必须具有代表性；3）具有外推性，即能得到原型客体的信息，在模型的研究实验时，能得到关于原型客体的原因；4）必须反映完成基本任务所达到的各种业绩，而且要与实际情况相符合。
2、简明实用。
在建模过程中，要把本质的东西及其关系反映进去，把非本质的、对反映客观真实程度影响不大的东西去掉，使模型在保证一定精确度的条件下，尽可能的简单和可操作，数据易于采集。
3、适应变化。
随着有关条件的变化和人们认识的发展，通过相关变量及参数的调整，能很好的适应新情况。
根据研究目的，对所研究的过程和现象(称为现实原型或原型)的主要特征、主要关系、采用形式化的数学语言，概括地、近似地表达出来的一种结构，所谓“数学化”，指的就是构造数学模型．通过研究事物的数学模型来认识事物的方法，称为数学模型方法．简称为MM 方法。
数学模型是数学抽象的概括的产物，其原型可以是具体对象及其性质、关系，也可以是数学对象及其性质、关系。
数学模型有广义和狭义两种解释．广义地说，数学概念、如数、集合、向量、方程都可称为数学模型，狭义地说，只有反映特定问题和特定的具体事物系统的数学关系结构方数学模型大致可分为二类：(1)描述客体必然现象的确定性模型，其数学工具一般是代效方程、微分方程、积分方程和差分方程等，（2）描述客体或然现象的随机性模型，其数学模型方法是科学研究相创新的重要方法之一。
在体育实践中常常提到优秀运动员的数学模型。
如经调查统计．现代的世界级短跑运动健将模型为身高1.80米左右、体重70公斤左右，100米成绩10秒左右或更好等。
数学建模简介
●模型求解和分析
在模型构成中建立的数学模型可以采用解方程、推理、图 解、计算机模拟、定理证明等各种传统的和现代的数学方法对 其进行求解，其中有些可以用计算机软件来做这些工作。建模 的目的是解释自然现象、寻找规律以解决实际问题。要达到此 目的，还要对获得结果进行数学上的分析，如分析变量之间的 依赖关系和稳定状况等，这一过程称为模型求解与分析。
( x y) 30 750 ( x y) 50 750
实际上方程组就是上述航行问题的数学模型。列 出方程组，原问题已转化为纯粹的数学问题。方程的 解x=20km/h、y=5km/h，最终给出了航行问题的答案。
大家都做过数学应用题，比如说“树上有十只鸟，开枪打死一 只，还剩几只？”，这样的问题就是一道数学应用题，正确答案应 该是0只。这样的题同样是数学建模题，不过答案就不重要了，重 要是过程。 真正的数学建模选手会这样回答这道题。 “是无声手枪吗？”“您确定那只鸟真的被打死啦？” “树上的鸟里有没有聋子？”“有没有关在笼子里的？” “边上还有没有其他的树，树上还有没有其他鸟？” “有没有残疾的或饿的飞不动的鸟？”“算不算怀孕肚子里的小 鸟？”“打鸟的人眼有没有花？保证是十只？” “有没有傻的不怕死的？”“会不会一枪打死两只？” “所有的鸟都可以自由活动吗？”“如果您的问题没有骗人，打死 的鸟要是挂在树上没掉下来，那么就剩一只，如果掉下来，就一只 不剩。”
分析：设甲桶中有x个红球，乙桶中有y个蓝球，因为对
甲桶来说，甲桶中的蓝球数加上乙桶中的蓝球
数等于10000，所以
10000-x+y=10000
即 x=y
故甲桶中的红球和乙桶中的蓝球一样多。
问题2、哥哥和妹妹分别在离家2km和1km且方向相反的两 所学校上学，每天同时放学后分别以4km/h和2km/h的速度 步行回家。一小狗以6km/h的速度由男孩处奔向女孩，又 从女孩处奔向男孩，如此往返直至回到家中，问小狗奔跑 了多少路程？
数学建模介绍
数学建模介绍1.1 数学模型及其分类数学建模作为用数学方法解决问题的第一步，它与数学本身有着同样悠久的历史。
一个羊倌看着他的羊群进入羊圈，为了确信他的羊没有丢失，他在每只羊进入羊圈时，则在旁边放一颗小石子，如果每天羊全部入圈而他那堆小石子刚好全部放完，则表示他的羊和以前一样多。
究竟羊倌数的是石子还是羊，那是毫无区别的，因为羊的数目同石子的数目彼此相等。
这实际上就使石子与羊“联系”起来，建立了一个使石子与羊一一对应的数学模型。
（1）什么是数学模型人们在认识研究现实世界里的客观对象时，常常不是直接面对那个对象的原形，有些是不方便，有些甚至是不可能直接面对原形，因此，常常设计、构造它的各种各样的模型。
如各式各样的玩具模型、展览厅里的三峡大坝模型、化学上的分子结构模型等。
这些模型都是人们为了一定目的，对客观事物的某一部分进行简化、抽象、提炼出来的原形替代物，集中反映了原形中人们需要的那一部分特征，因而有利于人们对客观对象的认识。
数学模型也是反映客观对象特征的，只不过它刻画的是事物在数量方面的特征或数学结构及其变化规律。
数学模型是人们为了认识客观对象在数量方面的特征、定量地分析对象的内在规律、用数学的语言和符号去近似地刻画要研究的那一部分现象时，所得到的一个数学表述。
建立数学模型的过程称为数学建模。
(2) 数学模型的重要作用进入20世纪以来，数学以空前的广度和深度向一切领域渗透，作为数学的应用，数学建模也越来越受到人们的重视。
在一般工程技术领域，数学模型仍是工程技术人员定量研究有关工程技术问题的重要工具；而随着数学与其他学科领域诸如经济、人口、生态、地质等所谓非物理领域的渗透，一些交叉学科如计量经济学、人口控制论、数学生态学、数学地质学等应运而生；计算机的发展给数学及作为数学应用的数学建模带来了前所未有的机遇和挑战。
计算机改变了人类的生活方式、思考方式和研究方式，极大地提高了人们的计算能力、搜索和分析海量数据和信息的能力。
建立数学模型的过程
建立数学模型的过程
1.确定问题：首先，需要明确所要解决的问题。
问题可以是自然科学、社会科学、工程技术等各个领域的实际问题。
4.建立数学模型：根据问题的性质和特点，选择合适的数学方法和工具，建立数学模型。
常用的数学方法包括微分方程、积分方程、最优化理论、概率统计等。
5.模型验证与调整：对建立的数学模型进行验证，使用已有的数据进
行验证，检查模型的预测结果是否与实际情况相符。
如果模型验证不通过，需要对模型进行调整，重新建立模型。
6.模型求解：通过求解数学模型，获得问题的解或者预测。
求解方法
可以是解析求解、数值求解、模拟实验等。
7.结果分析：对模型求解的结果进行分析，探讨结果的合理性和可行性。
这一步骤可以使用各种可视化工具来对结果进行展示和解释。
8.结论与推断：根据模型的分析和结果，得出结论和推断，并对问题
提出相应的解决方案或者决策建议。
9.模型应用与评估：根据实际需求，将建立的数学模型应用到实际问
题中，评估模型的效果和优缺点，如果需要可以对模型进行改进和优化。
总之，建立数学模型是一个系统而复杂的过程，需要对问题进行深入
的理解和分析，并选择合适的数学方法和工具进行建模和求解。
在模型建
立和求解过程中，需要不断地验证和调整模型，使其尽可能地符合实际情况。
建立好的数学模型可以为实际问题提供科学可靠的解决方法和预测结果，对推动科学研究和实践应用具有重要意义。
数学模型的建立
数学模型的建立数学模型的建立是通过数学方法对具体问题进行描述和分析的过程。
在现实世界中，许多问题都可以通过数学模型来描述和解决，例如经济、生物、物理等领域的问题。
通过建立数学模型，我们可以更加深入地理解问题的本质和特点，预测未来的发展趋势，制定更加科学的决策，从而实现问题的有效解决。
数学模型的建立可以分为以下几个步骤：1.明确问题的研究目的和目标。
在建立数学模型之前，我们必须了解问题的研究目的和目标，明确需要解决的问题是什么，以及需要达到的效果是什么。
只有明确了研究目的和目标，才能够顺利地建立数学模型。
2.收集问题相关的数据和信息。
在建立数学模型之前，我们需要收集问题相关的数据和信息。
这些数据和信息包括问题的背景、现状，相关的统计数据等。
通过对数据和信息的收集，我们可以更加全面地了解问题的本质和特点，为建立数学模型提供依据。
3.选择数学方法和建立数学模型。
在收集完问题相关的数据和信息后，我们需要选择适当的数学方法，建立数学模型。
数学方法包括微积分、线性代数、概率统计等方法。
建立数学模型的方法包括方程模型、图形模型、网络模型、优化模型等。
4.验证和精炼模型。
在建立数学模型之后，我们需要对模型进行验证和精炼。
验证模型的可靠性和有效性，对模型进行改进和精炼，以提高模型的准确性和实用性。
这一步骤需要对模型进行多次实验和检验，不断进行调整和完善。
5.应用和推广数学模型。
在验证和精炼数学模型之后，我们可以将其应用到具体问题中，解决实际的问题。
同时，我们需要继续推广数学模型，应用到更多的领域和问题中，为人类社会的发展做出更大的贡献。
总之，数学模型的建立是科学研究的重要组成部分。
通过建立数学模型，我们可以深入理解问题的本质和特点，解决实际的问题，为人类社会的发展做出更大的贡献。
数学模型的建立过程
数学模型的建立过程数学模型是指通过数学语言和方法，对实际问题进行抽象和描述，以求解和分析问题的工具。
数学模型的建立过程可以分为以下几个步骤：1.问题的确定：首先，需要明确待解决的问题。
这些问题可能来自于不同的领域，比如物理、经济、生物等。
确定问题有助于确定建立数学模型的目标和范围。
2.假设的建立：根据问题的特点和问题解决的目标，需要建立一些假设。
这些假设可以简化问题的复杂性，但同时也要合理和可行。
3.变量的选择：确定影响问题解决的因素，并选择适当的变量进行描述。
变量可以是时间、距离、质量、速度等等，并把它们用符号表示出来。
4.假设的运用：利用已经建立的假设和变量，通过数学语言和方法来描述问题。
这包括建立方程、不等式、函数等等。
5.模型的验证：建立好的数学模型需要进行验证，以确定其是否与实际情况相符。
这可以通过对比模型的结果和实际观测或实验数据的对比来完成。
如果模型的结果与实际情况相符，那么模型就是可接受的；如果不一致，则需要对模型进行修正。
6.模型的求解和分析：通过运用数学工具和方法，对建立的模型进行求解和分析，以获得问题的解答。
这可能包括求解方程、优化函数、绘制图表等等，取决于具体的问题和模型。
7.模型的应用：最后，通过对模型的求解和分析结果进行解释和解读，将问题的解答和结论应用到实际问题中。
这可能需要将数学结果转化为相应的实际量，并根据具体的问题来进行讨论和决策。
需要注意的是，数学模型的建立过程是一个逐步迭代的过程。
在实际应用中，因为问题的复杂性和不确定性，可能需要多次修改和修正模型。
此外，在建立数学模型的过程中，还需要注意选择适当的数学工具和方法，并进行合理的假设和简化。
只有在符合实际情况、可靠性较高的前提下，建立的数学模型才能真正有效地应用到实际问题中。
数学学习中的模型建立与解析方法
数学学习中的模型建立与解析方法数学是一门理论与实践相结合的学科，它在现实生活中有着广泛的应用。
其中一个重要的学习目标就是学习如何建立和解析数学模型。
数学模型是对实际问题的抽象描述，通过建立数学模型，我们可以更好地理解和解决现实世界中的各种问题。
本文将介绍数学学习中的模型建立与解析方法，并探讨其在实际问题中的应用。
一、模型建立方法1. 确定问题：在建立数学模型之前，首先需要明确要解决的问题是什么。
只有明确问题，才能有针对性地进行建模。
2. 收集数据：建立数学模型需要有足够的数据支持。
因此，在建模之前，需要对相关数据进行收集和整理。
3. 假设条件：在建立数学模型时，通常需要做出一些合理的假设。
这些假设可以简化问题，使问题更容易求解。
4. 建立方程：根据问题的具体情况，选择合适的方程或函数来描述问题。
方程的建立需要依据问题的特点和已知条件。
5. 参数估计：在建立数学模型时，有时需要估计一些未知参数的值。
参数的估计可以通过实验或者其他手段得到。
二、解析方法1. 解析求解：解析求解是指通过数学方法，对建立的数学模型进行分析和求解。
常见的解析方法包括方程求解、积分求解等。
通过解析方法求解模型，可以得到问题的解析解，从而得到问题的准确答案。
2. 数值求解：有些复杂的数学模型难以通过解析方法求解，这时可以采用数值方法进行求解。
数值方法通过近似计算，得到问题的数值解。
3. 数据分析：在模型解析过程中，对数据进行分析也十分重要。
通过对数据的统计分析，可以验证模型的合理性，并对模型进行调整和优化。
三、模型应用数学模型在实际问题中有着广泛的应用，涉及到各个领域。
以下是几个常见的应用领域：1. 物理学：在物理学中，数学模型被广泛应用于描述物体的运动、电磁场的分布等问题。
通过建立和解析数学模型，可以更好地理解和预测物理现象。
2. 经济学：经济学是一个复杂的系统，数学模型在经济学中有着重要的应用。
通过建立经济数学模型，可以对经济现象进行研究和分析，以便制定合理的政策和决策。
建立数学模型的方法步骤特点及分类
建立数学模型的方法步骤特点及分类方法：1.归纳法：通过观察和分析问题的特点，总结规律，建立数学模型。
这种方法适用于一些具有规律性的问题。
2.拟合法：通过收集和分析实际数据，找到数据之间的关系，并用数学函数来拟合数据，建立数学模型。
这种方法常用于实际问题中的数据分析和预测。
3.分析法：通过对问题进行分析，找出问题的关键因素和数学关系，建立数学模型。
这种方法适用于复杂和抽象的问题。
步骤：1.确定问题：明确问题的背景、条件和目标。
2.收集数据：收集相关的实际数据，了解问题的现状。
3.建立假设：对问题进行分析，提出一些可能的假设。
4.建立模型：根据问题的性质和假设，选择合适的数学方法和函数，建立数学模型，将实际问题转化为数学问题。
5.求解模型：通过数学计算和推理，解决建立的数学模型，得出结论。
6.模型验证：将模型的结果与实际情况进行比较和分析，检验模型的准确性和可靠性。
7.结果解释：将模型的结果解释给决策者或用户，提供对问题的认识和决策依据。
特点：1.抽象性：数学模型对实际问题进行了抽象和简化，从而能够更好地描述和解决问题。
2.精确性：数学模型具有精确的语言和推理，能够给出准确的数值结果。
3.可行性：数学模型能够通过计算和推理得出结果，帮助解决实际问题。
4.替代性：数学模型可以替代实验或观测，节省时间和成本。
分类：1.数量模型：用数学表达式和符号来描述问题的数量关系，包括线性模型、非线性模型、离散模型、连续模型等。
2.质量模型：用数学方法描述问题的质量关系，包括概率模型、统计模型、优化模型等。
3.动态模型：描述问题随时间变化的规律和趋势，包括微分方程模型、差分方程模型、随机过程模型等。
4.静态模型：描述问题的状态和平衡点，包括线性规划模型、非线性规划模型、输入输出模型等。
总之，建立数学模型是解决实际问题的重要方法之一、根据问题的性质和要求，选择合适的建模方法和模型类型，通过建立、求解和验证数学模型，可以得出有关问题的结论和解决方案。
数学模型的建立与求解
数学模型的建立与求解数学模型是通过对实际问题进行数学抽象和描述来进行分析和求解的工具。
在现代科学和技术领域中，数学模型广泛应用于生物、物理、化学、经济、管理、社会等多个领域。
通过数学模型的建立和求解，可以更好地理解和预测实际问题的发展趋势，并为实际问题的解决提供科学依据和指导。
本文将围绕数学模型的建立与求解进行详细探讨。
一、数学模型的建立数学模型的建立是将实际问题转化为数学问题的一个过程，主要包括以下几个方面：1. 问题的描述在建立数学模型时，首先需要对实际问题进行准确的描述。
问题的描述应该具体、清晰、明确、完整，同时需要考虑到问题的背景、条件、目标等方面的因素。
只有准确描述了问题，才能建立对应的数学模型。
2. 变量的定义在建立数学模型时，需要定义一定数量的变量。
变量通常是指与实际问题相关的物理量、质量、时间、空间等。
通过对这些变量的定义，方便后续建立数学方程进行分析和求解。
3. 建立数学方程建立数学模型的核心是建立数学方程。
数学方程可以是代数方程、微分方程、偏微分方程等。
在建立数学方程时，需要根据实际问题的特点和要求，选择合适的数学模型，建立相应的方程。
方程的建立需要合理运用数学知识和建模技巧，对问题进行抽象和理想化，同时需要注意方程的可行性和可解性。
4. 模型的验证建立数学模型后，需要对其进行验证。
验证的过程是检验问题解决方案的正确性和可行性。
验证可以通过理论推导、数据比对、实验验证等方式进行。
只有验证通过，才能认可数学模型的有效性和可靠性。
二、数学模型的求解数学模型的求解是对建立的数学方程进行求解，以找到符合实际问题的解决方案。
数学模型的求解通常可以分为以下几个步骤：1. 分析数学方程在对数学模型进行求解时，首先需要对所建立的数学方程进行分析。
分析数学方程可以得到方程的特点、性质、解的形式和范围等信息。
通过分析，可以确定数学方程是否可以求解，求解的方法和步骤。
2. 选择求解方法在对数学方程进行分析的基础上，需要选择合适的求解方法。
建立数学模型的一般方法
建立数学模型的一般方法第一步：明确问题首先，我们需要明确所要解决的问题。
这可能是一个实际生活中的问题，如交通拥堵、物流配送问题等，也可能是一个科学研究中的问题，如气候变化、生态系统稳定性等。
明确问题的目的是为了更好地把握问题本质，为后续建立数学模型奠定基础。
第二步：收集数据和信息在建立数学模型之前，我们需要收集相关的数据和信息。
这些数据可以是实际观测得到的，也可以是已经存在的统计数据，甚至是专家的意见和经验。
通过收集数据和信息，我们可以更好地了解问题的背景和特征。
第三步：建立数学模型常用的数学工具和方法包括：1.数理统计：用于分析数据的分布特征、相关性等；2.概率论：用于描述随机事件的发生概率；3.微积分：用于描述变化率和极值问题；4.线性代数：用于描述线性关系和矩阵运算；5.运筹学和优化方法：用于求解最优方案。
在建立数学模型时，我们需要提出合理的假设，并根据问题的实际情况进行适当的简化。
这样可以使得模型更易于计算和求解。
第四步：求解数学模型解析解是指通过代数运算、函数分析等手段得到问题的精确解。
求解过程相对来说比较简单，但只适用于简单的模型和特殊的问题。
数值解是指通过计算机等工具进行数值计算和近似求解。
这需要根据模型的特点选择合适的求解方法和算法。
常见的数值求解方法包括迭代法、差分法、最小二乘法等。
虽然数值解的精度相对较低，但它能够处理更复杂的数学模型和大规模的问题，因此在实际问题中得到了广泛应用。
第五步：模型评价和验证在求解数学模型之后，我们需要对模型进行评价和验证。
评价指标可以包括模型的精度、可靠性、稳定性等。
对于回归模型和预测模型，可以使用误差分析等方法进行评估。
模型验证是指将模型的结果与实际观测数据进行对比和验证。
如果模型的结果能够与实际数据相符合，那么就表明模型是有效的。
如果模型的结果与实际数据存在较大差异，那么则需要重新检查和修改模型。
第六步：模型应用和改进最后，根据模型的结果和评价，我们可以对实际问题进行分析和应用。
数学模型的建立与求解方法总结
数学模型的建立与求解方法总结数学模型在各个领域中具有广泛的应用，它通过定量的形式将实际问题抽象为数学描述，能够帮助我们深入理解问题的本质并提供解决方案。
在建立数学模型的过程中，我们需要选择适当的数学工具和求解方法。
本文将总结数学模型的建立与求解方法，并给出一些实际案例。
1. 数学模型的建立方法数学模型的建立过程包括问题的抽象、假设的设定、数学表达式的建立和参数的确定等步骤。
以下是建立数学模型的几种常见方法：(1) 经验法：基于经验和直觉来建立数学模型，适用于问题较为简单且已有相关经验的情况。
(2) 归纳法：通过观察现象和数据，总结规律后建立数学模型。
这种方法需要大量的实验数据支持，适用于问题较为复杂的情况。
(3) 解析法：通过解析表达式建立数学模型，将实际问题转化为数学方程。
这种方法适用于问题具有明确的物理和数学规律的情况。
(4) 统计法：通过统计数据和概率理论建立数学模型，适用于问题涉及到大量数据和随机性的情况。
2. 数学模型的求解方法数学模型的求解是指利用数学方法和计算工具得出问题的解析解或数值解的过程。
以下是常见的数学模型求解方法：(1) 解析解法：通过求解数学方程得到问题的解析解。
这种方法需要较强的数学能力和推导技巧，适用于问题具有明确解析解的情况。
(2) 近似解法：通过近似方法求解数学模型，如泰勒级数展开、插值法等。
这种方法适用于问题的解析解较难得到或者需要大量计算的情况。
(3) 数值解法：通过数值计算得出问题的数值解，如迭代法、数值微分和数值积分等。
这种方法适用于问题的解析解难以获得或者问题较为复杂的情况。
3. 实际案例数学模型的建立和求解方法非常灵活，并可以应用于各个领域。
以下是一些实际案例：(1) 病毒传播模型：通过建立病毒传播的差分方程或微分方程模型，预测疫情发展趋势，并制定相应的防控策略。
(2) 交通流模型：通过建立交通流的微分方程模型，优化信号灯控制策略，提高道路通行效率，减少交通拥堵。
建立数学模型的方法步骤特点及分类
建立数学模型的方法步骤特点及分类一、建立数学模型的方法1.形象化方法：通过对问题的直观观察和理解，用图表、关系、函数等形式来表示问题，并通过观察找出问题中的数学关系。
2.分解合成方法：将复杂的问题分解成若干个相对简单的子问题，通过研究每个子问题建立相应的数学关系，最后通过合成得到整体问题的数学模型。
3.类比方法：将问题和已有的类似问题进行比较，找出相似之处，借鉴已有模型的建模思路和方法。
4.假设推理方法：根据对问题的了解和背景知识，提出假设并进行推理，从而建立相应的数学模型。
二、建立数学模型的步骤1.确定问题：明确问题的背景、目标和限制条件，明确问题的具体要求。
2.分析问题：对问题进行归纳、提炼和分析，找出问题的关键要素和数学关系。
3.建立假设：根据对问题的了解和分析，提出相应的假设，假设可能对解决问题有帮助。
4.建立数学模型：根据问题的关键要素和数学关系，选取适当的数学方法和理论，建立数学模型。
5.模型求解：对建立的数学模型进行求解，得到问题的解析解或近似解。
6.模型评估：对求解结果进行评估，比较模型的合理性和可行性。
7.模型验证：利用实际数据和实验进行模型验证，检验模型的有效性和准确性。
8.模型应用：将建立好的数学模型与实际问题相结合，进行实际应用和测试。
三、建立数学模型的特点1.抽象化：数学模型通过抽象化将实际问题转化为数学语言和符号，简化问题的复杂性，更容易进行分析和求解。
2.理论性：数学模型建立在数学理论的基础上，具有一定的科学性和理论支持。
3.系统性：数学模型采用系统的方法，通过建立各个部分之间的关系，形成一个完整的系统。
4.程序化：数学模型具有可操作性，可以通过特定的数学方法和算法来进行求解和分析。
5.可变性：数学模型可以根据问题的不同，采用不同的数学方法和参数进行调整和改进。
四、建立数学模型的分类根据研究对象和数学描述的方法，数学模型可以分为以下几类：1.静态模型和动态模型：静态模型是在特定时间点观察系统状态的模型，动态模型是研究系统随时间变化的模型。
数学中的数学模型建立
数学中的数学模型建立在数学领域中，数学模型被广泛应用于解决各种实际问题。
通过建立数学模型，我们能够简化真实世界的复杂情况，将其转化为数学问题，并通过分析和计算来获得预测结果。
本文将介绍数学中的数学模型建立的基本方法和应用领域。
一、数学模型的基本构成1.问题的抽象化在建立数学模型之前，首先需要对待解问题进行抽象化。
抽象化是将实际问题中的关键要素提取出来，并将其转化为数学符号和表达式。
通过这种方式，我们可以将复杂的问题简化为数学问题。
2.建立数学表达式在数学模型中，数学表达式是非常重要的部分。
数学表达式可以用来描述问题的特性、关系和约束条件。
常见的数学表达式包括方程、不等式、函数等。
通过合理选择和构建数学表达式，可以准确地刻画问题的本质和特点。
3.参数的确定数学模型中的参数是指那些在问题求解过程中需要给定的常量或变量。
参数的确定对于模型的有效性和准确性有重要影响。
参数的选择需要考虑实际问题的特点和要求，并通过实验、观察或数据分析等手段来确定。
4.模型的求解建立数学模型后，我们需要对模型进行求解，以获得问题的解答或预测结果。
模型的求解可以采用不同的方法，例如解析解、数值解或模拟仿真等。
根据问题的特点和要求，选择合适的求解方法对于模型的成功应用至关重要。
二、数学模型的应用领域1.物理学领域中的数学模型物理学是最早采用数学模型进行研究的学科之一。
在物理学中，很多现象都可以通过数学模型进行描述和解释。
例如，牛顿的力学定律可以通过建立动力学方程来描述；热传导现象可以通过建立热传导方程来描述。
数学模型在物理学中的应用不仅扩展了我们对自然世界的认识，也为科学技术的发展提供了重要的支持。
2.生物学领域中的数学模型生物学是研究生命现象和生物系统的学科，也离不开数学模型的应用。
生物学中的数学模型可以用来研究生物体的生长、繁殖、迁徙等行为，以及生物系统的动力学特性。
例如，建立动力学方程可以帮助我们理解种群数量的变化规律；建立生物过程的数学模型可以用来预测疾病的传播和控制。
第一章 建立数学模型
分析：每天报纸的需求量随机，报童 每天的利润也是随机的．只能以长期 售报过程中每天的平均利润最大为目 标，确定最佳决策．
(3)每天的利润与哪些因素有关？ 设每天的利润为随机变量Q， Q＝ Q(n,r,a,b,c) 每天应购进多少份报纸n, 确定性变量 每天报纸的需求量r, 随机变量
每份报纸的购进价a, 参变量 每份报纸的零售价b,每份报纸的退回价c
0 n n
其中
，
1 ( x )2 p( x) exp( ) 2 2 2
可通过假设3计算
n
Max S (n) 0 [(b a) x (a c)(n x)] p( x)dx n (b a)n] p(x)dx
Max S (n) 0 [(b a) x (a c)(n x)] p( x)dx n (b a)n] p(x)dx
1)当 b a c 时，即购进价与退回价相同且零售价高于购进 价，报童不承担任何卖不出去的风险，他将从发行商处购 进尽可能多（无穷多）的报纸．这样必然造成发行商的损 失． 2)当b a c 时，即零售价与购进价相同且高于退回价， 报童无利润可得，他不从发行商处购进任何报纸 n 0 ( )． 这样发行商也无法获得任何利益．
• 作出简化假设（设降落伞所受空气阻力与速度成正比） 小提示：上述模型通过合理假设简化了现实的情况，一般， 模型只能近似表示实际的行为。一种非常强有力的简化关系是比例性。 (刻画了变量间的一种简单的线性关系)
• 用符号表示有关量（降落伞速度 V(t);重力P;阻力R;外力
F; 质量m;加速度a(t);重力加速度g）；
Max S(n)＝[(b a)r (a c)(n r )] f (r ) [(b a)n] f (r )
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建立数学模型的方法、步骤、特点及分类[学习目标]1.能表述建立数学模型的方法、步骤；2.能表述建立数学模型的逼真性、可行性、渐进性、强健性、可转移性、非预制性、条理性、技艺性和局限性等特点；；3.能表述数学建模的分类；4.会采用灵活的表述方法建立数学模型；5.培养建模的想象力和洞察力。
一、建立数学模型的方法和步骤—般说来建立数学模型的方法大体上可分为两大类、一类是机理分析方法，一类是测试分析方法．机理分析是根据对现实对象特性的认识、分析其因果关系，找出反映内部机理的规律,建立的模型常有明确的物理或现实意义.测试分折将研究对象视为一个“黑箱”系统，内部机理无法直接寻求，可以测量系统的输人输出数据、并以此为基础运用统计分析方法，按照事先确定的准则在某一类模型中选出一个与数据拟合得最好的模型。
这种方法称为系统辨识(System Identification)．将这两种方法结合起来也是常用的建模方法。
即用机理分析建立模型的结构，用系统辨识确定模型的参数．可以看出，用上面的哪一类方法建模主要是根据我们对研究对象的了解程度和建模目的决定的．如果掌握了机理方面的一定知识，模型也要求具有反映内部特性的物理意义。
那么应该以机理分析方法为主．当然,若需要模型参数的具体数值，还可以用系统辨识或其他统计方法得到．如果对象的内部机理基本上没掌握，模型也不用于分析内部特性,譬如仅用来做输出预报，则可以系统辩识方法为主．系统辨识是一门专门学科，需要一定的控制理论和随机过程方面的知识．以下所谓建模方法只指机理分析。
建模要经过哪些步骤并没有一定的模式，通常与实际问题的性质、建模的目的等有关，从§16.2节的几个例子也可以看出这点．下面给出建模的—般步骤，如图16-5所示．图16-5 建模步骤示意图模型准备首先要了解问题的实际背景，明确建模的目的搜集建模必需的各种信息如现象、数据等，尽量弄清对象的特征,由此初步确定用哪一类模型，总之是做好建模的准备工作．情况明才能方法对，这一步一定不能忽视，碰到问题要虚心向从事实际工作的同志请教，尽量掌握第一手资料.模型假设根据对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言做出假设，可以说是建模的关键一步．一般地说，一个实际问题不经过简化假设就很难翻译成数学问题，即使可能，也很难求解．不同的简化假设会得到不同的模型．假设作得不合理或过份简单，会导致模型失败或部分失败，于是应该修改和补充假设；假设作得过分详细，试图把复杂对象的各方面因素都考虑进去，可能使你很难甚至无法继续下一步的工作．通常，作假设的依据，一是出于对问题内在规律的认识，二是来自对数据或现象的分析，也可以是二者的综合．作假设时既要运用与问题相关的物理、化学、生物、经济等方面的知识，又要充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别问题的主次，果断地抓住主要因素，舍弃次要因素，尽量将问题线性化、均匀化．经验在这里也常起重要作用．写出假设时，语言要精确，就象做习题时写出已知条件那样．模型构成根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量(常量和变量)之间的等式(或不等式)关系或其他数学结构．这里除需要一些相关学科的专门知识外，还常常需要较广阔的应用数学方面的知识，以开拓思路.当然不能要求对数学学科门门精通,而是要知道这些学科能解决哪一类问题以及大体上怎样解决．相似类比法，即根据不同对象的某些相似性，借用已知领域的数学模型，也是构造模型的一种方法．建模时还应遵循的一个原则是，尽量采用简单的数学工具，因为你建立的模型总是希望能有更多的人了解和使用,而不是只供少数专家欣赏.模型求解可以采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值计算等各种传统的和近代的数学方法，特别是计算机技术．模型分析对模型解答进行数学上的分析，有时要根据问题的性质分析变量间的依赖关系或稳定状况，有时是根据所得结果给出数学上的预报，有时则可能要给出数学上的最优决策或控制，不论哪种情况还常常需要进行误差分析、模型对数据的稳定性或灵敏性分析等．模型检验把数学上分析的结果翻译回到实际问题，并用实际的现象、数据与之比较，检验模型的合理性和适用性．这一步对于建模的成败是非常重要的，要以严肃认真的态度来对待．当然，有些模型如核战争模型就不可能要求接受实际的检验了．模型检验的结果如果不符合或者部分不符合实际，问题通常出在模型假设上，应该修改、补充假设，重新建模．有些模型要经过几次反复，不断完善，直到检验结果获得某种程度上的满意．模型应用应用的方式自然取决于问题的性质和建模的目的，这方面的内容不是本书讨论的范围。
应当指出，并不是所有建模过程都要经过这些步骤，有时各步骤之间的界限也不那么分明．建模时不应拘泥于形式上的按部就班，本书的建模实例就采取了灵活的表述方式．二、数学模型的特点我们已经看到建模是利用数学工具解决实际问题的重要手段。
数学模型有许多优点，也有弱点。
建模需要相当丰富的知识、经验和各方面的能力，同时应注意掌握分寸．下面归纳出数学模型的若干特点，以期在学习过程中逐步领会．模型的逼真性和可行性一般说来总是希望模型尽可能逼近研究对象，但是一个非常逼真的模型在数学上常常是难于处理的，因而不容易达到通过建模对现实对象进行分析、预报、决策或者控制的目的，即实用上不可行．另一方面，越逼真的模型常常越复杂，即使数学上能处理，这样的模型应用时所需要的“费用”也相当高，而高“费用”不一定与复杂模型取得的“效益”相匹配．所以建模时往往需要在模型的逼真性与可行性，“费用”与“效益”之间做出折衷和抉择．模型的渐进性稍微复杂一些的实际问题的建模通常不可能一次成功，要经过上一节描述的建模过程的反复迭代，包括由简到繁，也包括删繁就简，以获得越来越满意的模型．在科学发展过程中随着人们认识和实践能力的提高，各门学科中的数学模型也存在着一个不断完善或者推陈出新的过程．从19世纪力学、热学、电学等许多学科由牛顿力学的模型主宰，到20世纪爱因斯坦相对论模型的建立，是模型渐进性的明显例证．模型的强健性模型的结构和参数常常是由对象的信息如观测数据确定的，而观测数据是允许有误差的．一个好的模型应该具有下述意义的强健性：当观测数据(或其他信息)有微小改变时，模型结构和参数只有微小变化，并且一般也应导致模型求解的结果有微小变化．模型的可转移性模型是现实对象抽象化、理想化的产物，它不为对象的所属领域所独有，可以转移到另外的领域．在生态、经济、社会等领域内建模就常常借用物理领域中的模型．模型的这种性质显示了它的应用的极端广泛性．模型的非预制性虽然已经发展了许多应用广泛的模型，但是实际问题是各种各样、变化万千的，不可能要求把各种模型做成预制品供你在建模时使用。
模型的这种非预制性使得建模本身常常是事先没有答案的问题(Open—end problem)．在建立新的模型的过程中甚至会伴随着新的数学方法或数学概念的产生．模型的条理性从建模的角度考虑问题可以促使人们对现实对象的分析更全面、更深入、更具条理性，这样即使建立的模型由于种种原因尚未达到实用的程度，对问题的研究也是有利的。
模型的技艺性建模的方法与其他一些数学方法如方程解法、规划解法等是根本不同的，无法归纳出若干条普遍适用的建模准则和技巧．有入说。
建模目前与其是一门技术、不如说是一种艺术．是技艺性很强的技巧．经验、想象力、洞察力、判断力以及直觉、灵感等在建模过程中起的作用往往比一些具体的数学知识更大．模型的局限性这里有几方面的含义．第一，由数学模型得到的结论虽然具有通用性和精确性，但是因为模型是现实对象简化、理想化的产物，所以一旦将模型的结论应用于实际问题，就回到了现实世界，那些被忽视、简化的因素必须考虑，于是结论的通用性和精确性只是相对的和近似的．第二，由于人们认识能力和科学技术包括数学本身发展水平的限制，还有不少实际问题很难得到有着实用价值的数学模型．如一些内部机理复杂、影响因素众多、测量手段不够完善、技艺性较强的生产过程，像生铁冶炼过程，需要开发专家系统，与建立数学模型相结合才能获得较满意的应用效果．专家系统是一种计算机软件系统，它总结专家的知识和经验，模拟人类的逻辑思维过程，建立若干规则和推理途径，主要是定性地分析各种实际现象并做出判断．专家系统可以看成计算机模拟的新发展．第三，还有些领域中的问题今天尚未发展到用建模方法寻求数量规律的阶段，如中医诊断过程，目前所谓计算机辅助诊断也是属于总结著名中医的丰富临床经验的专家系统．建模过程是一种创造性思维过程，除了想象、洞察、判断这些属于形象思维、逻辑思维范畴的能力之外，直觉和灵感往往也起着不可忽视的作用。
当由于各种限制利用已有知识难以对研究对象做出有效的推理和判断时，凭借相似、类比、猜测、外推等思维方式及不完整、不连续、不严密的，带启发性的直觉和灵感，去“战略性”地认识对象，是人类创造性思维的特点之一，也是人脑比按程序逻辑工作的计算机、机器人的高明之处．历史上不乏在科学家的直觉和灵感的火花中诞生的假说、论证和定律．当然，直觉和灵感不是凭空产生的，它要求人们具有丰富的背景知识，对问题进行反复思考和艰苦探索，对各种思维方法运用娴熟．相互讨论和思想交锋，特别是不同专业的成员之间的探讨，是激发直觉和灵感的重要因素．所以由各种专门人才组成的所谓团队工作方式(Team work)越来越受到重视．前面说过，建模可以看成一门艺术．艺术在某种意义下是无法归纳出几条准则或方法的．一名出色的艺术家需要大量的观摩和前辈的指教，更需要亲身的实践．类似地，掌握建模这门艺术培养想象力和洞察力，一要大量阅读、思考别人做过的模型，二要亲自动手，认真做几个实际题目．三、数学模型的分类数学模型可以按照不同的方式分类，下面介绍常用的几种．1.按照模型的应用领域(或所属学科)分．如人口模型、交通模型、环境模型、生态模型、城镇规划模型、水资源模型、再生资源利用模型、污染模型等．范畴更大一些则形成许多边缘学科如生物数学、医学数学、地质数学、数量经济学、数学社会学等．2.按照建立模型的数学方法(或所属数学分支)分．如初等数学模型、几何模型、微分方程模型、图论模型、马氏链模型、规划论模型等．按第一种方法分类的数学模型教科书中，着重于某一专门领域中用不同方法建立模型，而按第二种方法分类的书里，是用属于不同领域的现成的数学模型来解释某种数学技巧的应用．在本书中我们重点放在如何应用读者已具备的基本数学知识在各个不同领域中建模．3.按照模型的表现特性又有几种分法：确定性模型和随机性模型取决于是否考虑随机因素的影响．近年来随着数学的发展，又有所谓突变性模型和模糊性模型．静态模型和动态模型取决于是否考虑时间因素引起的变化．线性模型和非线性模型取决于模型的基本关系，如微分方程是否是线性的．离散模型和连续模型指模型中的变量(主要是时间变量)取为离散还是连续的．虽然从本质上讲大多数实际问题是随机性的、动态的、非线性的，但是由于确定性、静态、线性模型容易处理，并且往往可以作为初步的近似来解决问题，所以建模时常先考虑确定性、静态、线性模型．连续模型便于利用微积分方法求解，作理论分析，而离散模型便于在计算机上作数值计算，所以用哪种模型要看具体问题而定．在具体的建模过程中将连续模型离散化，或将离散变量视作连续，也是常采用的方法．4.按照建模目的分．有描述模型、分析模型、预报模型、优化模型、决策模型、控制模型等．5.按照对模型结构的了解程度分．有所谓白箱模型、灰箱模型、黑箱模型．这是把研究对象比喻成一只箱子里的机关，要通过建模来揭示它的奥妙．白箱主要包括用力学、热学、电学等一些机理相当清楚的学科描述的现象以及相应的工程技术问题，这方面的模型大多已经基本确定，还需深入研究的主要是优化设计和控制等问题了．灰箱主要指生态、气象、经济、交通等领域中机理尚不十分清楚的现象，在建立和改善模型方面都还不同程度地有许多工作要做．至于黑箱则主要指生命科学和社会科学等领域中一些机理(数量关系方面)很不清楚的现象．有些工程技术问题虽然主要基于物理、化学原理，但由于因素众多、关系复杂和观测困难等原因也常作为灰箱或黑箱模型处理．当然，白、灰、黑之间并没有明显的界限，而且随着科学技术的发展，箱子的“颜色”必然是逐渐由暗变亮的．建立数学模型的方法和步骤建立数学模型的方法和步骤1. 模型准备要了解问题的实际背景，明确建模目的，搜集必需的各种信息，尽量弄清对象的特征。