2021届新高考步步高大二轮数学专题复习：思想方法第3讲分类讨论思想

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2021-2022年高三数学二轮复习专题四第三讲思想方法与规范解答教案理

2021年高三数学二轮复习专题四第三讲思想方法与规范解答教案理思想方法1．函数与方程思想函数与方程思想在数列中的应用主要体现在：(1)等差、等比数列基本元素的计算，尤其是“知三求二”，注意消元的方法及整体代换的运用；(2)数列本身是定义域为正整数集或其有限子集的函数，在解决数列问题时，应有函数与方程思想求解的意识．[例1] (xx 年郑州模拟)已知等差数列{a n }满足：a 5＝9，a 2＋a 6＝14.(1)求{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n ＋qa n (q >0)，求数列{b n }的前n 项和S n .[解析] (1)设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则由a 5＝9，a 2＋a 6＝14，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝9，2a 1＋6d ＝14，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，所以{a n }的通项a n ＝2n －1.(2)由a n ＝2n －1得b n ＝2n －1＋q 2n －1.当q >0且q ≠1时，S n ＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋(q 1＋q 3＋q 5＋…＋q2n －1)＝n 2＋q （1－q 2n ）1－q 2；当q ＝1时，b n ＝2n ，则S n ＝n (n ＋1)．所以数列{b n }的前n 项和 S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n （n ＋1），q ＝1，n 2＋q （1－q 2n ）1－q 2，q >0且q ≠1.跟踪训练已知两个等比数列{a n }，{b n }满足a 1＝a (a >0)，b 1－a 1＝1，b 2－a 2＝2，b 3－a 3＝3.(1)若a ＝1，求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }唯一，求a 的值．解析：(1)设数列{a n }的公比为q ，则b 1＝1＋a ＝2，b 2＝2＋aq ＝2＋q ，b 3＝3＋aq 2＝3＋q 2，由b 1，b 2，b 3成等比数列得(2＋q )2＝2(3＋q 2)，即q 2－4q ＋2＝0，解得q 1＝2＋，q 2＝2－所以数列{a n }的通项公式为a n ＝(2＋)n －1或a n ＝(2－)n －1.(2)设数列{a n }的公比为q ，则由(2＋aq )2＝(1＋a )(3＋aq 2)得aq 2－4aq ＋3a －1＝0.(*)由a >0得Δ＝4a 2＋4a >0，故方程(*)有两个不同的实根．由数列{a n }唯一，知方程(*)必有一根为0，代入(*)得a ＝13. 2．分类讨论思想数列中的讨论问题常见类型(1)求和分段讨论：知道数列{a n }的前n 项和S n ，求数列{|a n |}的前n 项和；(2)对等比数列的公比讨论：求等比数列前n 项和问题中对公比q ＝1和q ≠1进行讨论；(3)对项数的奇偶讨论：与数列有关的求通项或求前n 项和问题中对项数n 的奇偶进行讨论．[例2] (xx 年高考湖北卷)已知等差数列{a n }前三项的和为－3，前三项的积为8.(1)求等差数列{a n }的通项公式；(2)若a 2，a 3，a 1成等比数列，求数列{|a n |}的前n 项和．[解析] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a 2＝a 1＋d ，a 3＝a 1＋2d .由题意得⎩⎨⎧3a 1＋3d ＝－3，a 1（a 1＋d ）（a 1＋2d ）＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝－3，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝3.所以由等差数列通项公式可得a n ＝2－3(n －1)＝－3n ＋5，或a n ＝－4＋3(n －1)＝3n －7.故a n ＝－3n ＋5，或a n ＝3n －7.(2)当a n ＝－3n ＋5时，a 2，a 3，a 1分别为－1，－4，2，不成等比数列；当a n ＝3n －7时，a 2，a 3，a 1分别为－1，2，－4，成等比数列，满足条件．故|a n |＝|3n －7|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3n ＋7，n ＝1，2，3n －7，n ≥3. 记数列{|a n |}的前n 项和为S n .当n ＝1时，S 1＝|a 1|＝4；当n ＝2时，S 2＝|a 1|＋|a 2|＝5；当n ≥3时，S n ＝S 2＋|a 3|＋|a 4|＋…＋|a n |＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n －7)＝5＋（n －2）[2＋（3n －7）]2＝32n 2－112n ＋10. 当n ＝2时，满足此式．综上，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，32n 2－112n ＋10，n >1.跟踪训练在等比数列{a n }中，设前n 项和为S n ，x ＝S 2n ＋S 22n ，y ＝S n (S 2n ＋S 3n )，试比较x 与y 的大小．解析：设等比数列的首项为a 1，公比为q ，则当q ＝1时，S n ＝na 1，∴x ＝(na 1)2＋(2na 1)2＝5n 2a 21， y ＝na 1(2na 1＋3na 1)＝5n 2a 21，∴x ＝y ；当q ≠1时，S n ＝a 1（1－q n ）1－q， ∴x ＝[a 1（1－q n ）1－q ]2＋[a 1（1－q 2n ）1－q]2 ＝(a 11－q)2[(1－q n )2＋(1－q 2n )2] ＝(a 11－q )2(q 4n －q 2n －2q n＋2)， y ＝a 1（1－q n ）1－q [a 1（1－q 2n ）1－q ＋a 1（1－q 3n ）1－q] ＝(a 11－q)2(q 4n －q 2n －2q n＋2)， ∴x ＝y ，综上可知x ＝y .考情展望高考对本专题的考查各种题型都有，在选择填空中主要考查等差、等比数列的基本问题，在解答题中主要考查，由递推关系求通项及数列求和问题，同时综合考查数列与不等式，函数的综合应用，难度中档偏上．名师押题【押题】已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝14，且S n ＝S n －1＋a n －1＋12(n ∈N *，n ≥2)，数列{b n }满足：b 1＝－1194，且3b n －b n －1＝n (n ≥2，且n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求证：数列{b n －a n }为等比数列；(3)求数列{b n }的前n 项和的最小值．【解析】 (1)由S n ＝S n －1＋a n －1＋12得S n －S n －1＝a n －1＋12，即a n －a n －1＝12(n ∈N *，n ≥2)，则数列{a n }是以12为公差的等差数列， ∴a n ＝a 1＋(n －1)×12＝12n －14(n ∈N *)． (2)证明：∵3b n －b n －1＝n (n ≥2)，∴b n ＝13b n －1＋13n (n ≥2)， ∴b n －a n ＝13b n －1＋13n －12n ＋14＝13b n －1－16n ＋14＝13(b n －1－12n ＋34)(n ≥2)， b n －1－a n －1＝b n －1－12(n －1)＋14＝b n －1－12n ＋34(n ≥2)，∴b n －a n ＝13(b n －1－a n －1)(n ≥2)， ∵b 1－a 1＝－30≠0，∴b n －a n b n －1－a n －1＝13(n ≥2)， ∴数列{b n －a n }是以－30为首项，13为公比的等比数列． (3)由(2)得b n －a n ＝－30×(13)n －1， ∴b n ＝a n －30×(13)n －1＝12n －14－30×(13)n －1. ∴b n －b n －1＝12n －14－30×(13)n －1－12(n －1)＋14＋30×(13)n －2＝12＋30×(13)n －2×(1－13) ＝12＋20×(13)n －2>0(n ≥2)，∴数列{b n }是递增数列． ∵当n ＝1时，b 1＝－1194<0；当n ＝2时，b 2＝34－10<0；当n ＝3时，b 3＝54－103<0；当n ＝4时，b 4＝74－109>0， ∴数列{b n }从第4项起各项均大于0，故数列{b n }的前3项之和最小，记数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 3＝－1194＋(34－10)＋(54－103)＝－49312.。

2023年高考数学二轮复习(新高考版) 第2部分思想方法第3讲分类讨论思想

思路分析求||PPFF12||→找|PF1|，|PF2|适合的条件→讨论 Rt△PF1F2 的直角顶点
若∠PF2F1＝90°，则|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，
又|PF1|＋|PF2|＝6，|F1F2|＝2 5，
解得|PF1|＝134，|PF2|＝43，∴||PPFF21||＝72.
当 0<a≤4 时，y＝t＋at 在[2，＋∞)上单调递增，y＝t＋at ≥2＋12a，
则 0<t＋1 at ≤a＋2 4，
即[f(xf)(]x2)＋a的最大值为a＋2 4，则a＋2 4＝25，解得 a＝1；
当 a>4 时，t＋at ≥2 a(当且仅当 t＝ a时，等号成立)，
则 0<t＋1 at ≤2aa，即[f(xf)(]x2)＋a的最大值为2aa，则2aa＝25，解得 a＝2156(舍)，综上，所求正实数a＝1.
C.{a2n}是等比数列
10
D. ai＝52
i＝1
思路分析 an＋2－2an＝1－(－1)n→n为奇，{a2n－1}为等比数列；n为偶， {a2n}为等比数列
对于A，当n是奇数时，an＋2－2an＝2，所以an＋2＋2＝2(an＋2)，又因为a1＝－2，所以a1＋2＝0，所以当n是奇数时，an＋2＝0，即an＝－2，即{a2n－1}是以首项为－2，公比为1的等比数列，即选项A正确；
若∠F1PF2＝90°，则|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2， ∴|PF1|2＋(6－|PF1|)2＝20，又|PF1|>|PF2|，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，∴||PPFF12||＝2. 综上可知，||PPFF12||＝72或 2.
批注
P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，并没有说明哪个点是直角顶点，所以需分类讨论，仔细审题，理解题意是关键.

高考数学二轮复习第二部分方法篇类型3 分类讨论思想求解数学问题最简便的技巧文

由图形的不确定性而引起的分类讨论：如二次函数图象、指数函 4 数图象、对数函数图象等．
由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问题，由于 5 参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由于对不同的参数
值要运用不同的求解或证明方法等.
方法1 由数学概念引起的分类整合法2 方法3
方法2
方法1 方法2 方法3
试题审题指导解题过程
指数式对数式互化 ⇨ 讨论a的大小 ⇨ 作出判断
方法2
方法1 方法2 方法3
试题审题指导解题过程
∵a，b>0 且 a≠1，b≠1，∴当 a>1，即 a－1>0 时，不等式 logab>1 可化为 alogab>a1，即 b>a>1，∴(a－1)(a－b)<0，(b－1)(a－1)>0， (b－1)(b－a)>0. 当 0<a<1，即 a－1<0 时，不等式 logab>1 可化为 alogab<a1，即 0<b<a<1，(指对互化讨论) ∴(a－1)(a－b)<0，(b－1)(a－1)>0，(b－1)(b－a)>0.(分类讨论得结论) 综上可知，选 D.
[例 7] (2015·高考陕西卷)中位数为 1 010 的一组数构成等差数列，其末项为 2 015，则该数列的首项为____5____．
方法1
方法1 方法2 方法3
试题审题指导解题过程
方法1
方法1 方法2 方法3
试题审题指导解题过程
[通解] 若这组数有 2n＋1 个，则 an＋1＝1 010，a2n＋1＝2 015，又 a1＋a2n ＋1＝2an＋1，所以 a1＝5.(分类转化) 若这组数有 2n 个，则 an＋an＋1＝1 010×2＝2 020，a2n＝2 015，又 a1＋ a2n＝an＋an＋1，所以 a1＝5.(依次求解) 综上，可知该数列的首项为 5，故填 5.(汇总结论) [优解] 将数列的项数简单化．当数列的项数为 3 时，则有 a2＝1 010，a3＝2 015，且 a1＋a3＝2a2，解得 a1＝5.(分类转化) 当数列的项数为 4 时，则有 a2＋a3＝1 010×2，a4＝2 015，且 a1＋a4＝a2 ＋a3，解得 a1＝5.(依次求解) 综上可知该数列的首项为 5，故填 5.(汇总结论)

高考数学二轮复习专题9 思想方法专题第三讲分类讨论思想理

例 3 已知函数 f(x)＝2x3－3x. (1)求 f(x)在区间[－2，1]上的最大值； (2)若过点 P(1，t)存在 3 条直线与曲线 y＝f(x)相切，求 t 的取值范围； (3)问过点 A(－1，2)，B(2，10)，C(0，2)分别存在几条直线与曲线 y＝f(x)相切(只需写出结论)? 思路点拨：(1)求导数，导数等于 0 求出 x，再代入原函数解析式，最后比较大小，即可；(2)设切点，由相切得出切线方程，然后列表并讨论求出结果；(3)由(2)容易得出结果．
随堂讲义
专题九思想方法专题第三讲分类讨论思想
分类讨论思想是历年高考的必考内容，它不仅是高考的重点和热点，也是高考的难点，高考中经常会有一道解答题，解题思路直接依赖于分类讨论．
预测2016年的高考，将会一如既往地考查分类讨论思想，特别在解答题中(尤其是导数与函数问题)，将有一道进行分类求解的难度大的题，选择题、填空题也会出现不同情形的分类讨论求解题．
解析：(1)设等差数列{an}的公差为 d，由 a2n＝2an 得 a2＝2a1＝2，所以 d＝a2－a1＝1. 又 a2n＝an＋nd＝an＋n＝2an，所以 an＝n. (2)由 bn＝anpan 得 bn＝npn，所以 Tn＝p＋2p2＋3p3＋…＋(n－1)pn－1＋npn.① 当 p＝1 时，Tn＝n（n2＋1）. 当 p≠1 时，pTn＝p2＋2p3＋…＋(n－1)pn＋npn＋1，②
①－②得，(1－p)Tn＝p＋p2＋p3＋…＋pn－npn＋1＝p（11－－ppn）－npn＋1，
∴Tn＝p（（11－－pp）n）2 －n1p－n＋p1.
n（n2＋1），p＝1，综上所述，Tn＝ p（（11－－pp）n）2 －n1p－n＋p1，p≠1.

高考数学二轮复习(考点梳理+热点突破)第三讲分类讨论思想课件课件

∞，1]和(1，＋∞)上分别至多有1个零点，所以g(x)至多有
2个零点，
栏
目
当g(1)＝t＋1≥0，t≥－1时，此时g(x)在区间(－∞，
链接
0)和[0，＋∞)上分别至多有1个零点，所以g(x)至多有2个
零点．
当g(0)＞0且g(1)＜0，即－3＜t＜－1时，因为g(－1) ＝t－7＜0，g(2)＝t＋11＞0，
将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，
优化解题思路，降低问题难度．

Z主干考点
梳理考点2 分类讨论的类型
1．由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等．
2．由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有
栏目

G高考热点突破
规律方法本题是由对数函数的概念内涵引起的分类讨论，我们称为
概念分类型．由概念内涵引起的分类还有很多：如绝对值|a|分 a
栏
＞0，a＝0，a＜0 三种情况；直线的斜率分倾斜角θ≠90°，
目
链
斜率 k 存在，倾斜角 θ＝90°，斜率不存在；指数、对数函数[y
目链
x (－∞，0) 0 (0，1) 1 (1，＋∞)
接
g′(x)
＋
0
－
0
＋
g(x)
↗
t＋3
↘ t＋1 ↗
所以，g(0)＝t＋3 是 g(x)的极大值，g(1)＝t＋1 是 g(x)的
极小值，

G高考热点突破
解析当g(0)＝t＋3≤0，即t≤－3时，此时g(x)在区间(－
G高考热点突破
跟踪训练
2．若函数f(x)＝ax－x－a(a>0且a≠1)有两个零

2021-2022年高考数学二轮复习专题9 思想方法专题第三讲分类讨论思想理

2021年高考数学二轮复习专题9 思想方法专题第三讲分类讨论思想理分类讨论思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．对问题实行分类与整合，分类标准等于是增加的一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度．1．由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等．2．由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等．3．由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同时乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．4．由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类，如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等．5．由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法．6．由实际意义引起的讨论：此类问题在应用题中，特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈[a ，b]的最值一定是4ac －b 24a.(×)(2)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈R ，不可能是偶函数．(×) (3)幂函数的图象都经过点(1，1)和点(0，0)．(×) (4)当n>0时，幂函数y ＝x n 是定义域上的增函数．(×)(5)若函数f(x)＝(k 2－1)x 2＋2x －3在(－∞，2)上单调递增，则k ＝±22.(×) (6)已知f(x)＝x 2－4x ＋5，x ∈[0，3)，则f(x)max ＝f(0)＝5，f(x)min ＝f(3)＝2.(×)1．过双曲线2x 2－y 2＝2的右焦点作直线l 交双曲线于A ，B 两点，若|AB|＝4，则这样的直线有(B )A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条解析：由2x 2－y 2＝2，得x 2－y22＝1.当l 无斜率时，|AB|＝2b 2a＝4，符合要求。

2021年高考数学二轮复习第一部分数学方法、思想指导第3讲分类讨论思想、转化与化归思想1分类讨论思想

等式的求解;(2)含有参数的方程的求解;(3)函数解析式中含参数的
最值与单调性问题;(4)二元二次方程表示曲线类型的判定等.
-14应用一
应用二
应用三
关闭
突破训练3假设函数f(x)=aex-x-2a有两个零点,那么实数a的取值
函数 f(x)=aex-x-2a 的导函数 f'(x)=aex-1,
范围是(
= ,cos α=
=- ,
5
5
- 5
- 5
5
∴sin α+cos α= 5 ;
5
∴
B sin α+cos α=± 5 ,故选 B.
∴当 m>0 时,sin α=
5
5
α+cos α=- ;
关闭
解析
答案
-8应用一
应用二
应用三
应用二由数学运算、性质、定理、公式引起的分类讨论
例2设等比数列{an}的前n项和为Sn.假设S3+S6=2S9,那么数列的
1-
q3(2q6-q3-1)=0,即(2q3+1)·
(q3-1)=0,因为 q≠1,
所以 q3-1≠0,则 2q3+1=0,
3
4
解得 q=- 2 .
C
关闭
解析
答案
-9应用一
应用二
应用三
思维升华1.在中学数学中,一次函数、二次函数、指数函数、对
数函数的单调性,根本不等式,等比数列的求和公式等在不同的条

1
2
ax2+(a-1)x+(11-2

(-1) -
=
(x>0),

1
≤0,即 a≥ 2时,0<x<1 时,f'(x)<0,x>1 时,f'(x)>0,

高考数学思想技法攻略精讲：第三讲分类讨论思想

第三讲分类讨论思想要点一由概念、性质、运算引起的分类讨论[解析] (1)①当2－a ≥2，即a ≤0时，22－a －2－1＝1，解得a ＝－1，则f (a )＝f (－1)＝－log 2[3－(－1)]＝－2； ②当2－a <2即a >0时，－log 2[3－(2－a )]＝1，解得a ＝－12，舍去．综上所述，f (a )＝－2，故选A. (2)由题意得q 2＝a 3＋a 6＋a 9a 1＋a 4＋a 7＝9，q ＝±3，①当q ＝3时，a 2＋a 5＋a 8＝3(a 1＋a 4＋a 7)＝6，S 9＝2＋6＋18＝26； ②当q ＝－3时，a 2＋a 5＋a 8＝－3(a 1＋a 4＋a 7)＝－6，S 9＝2－6＋18＝14.所以S 9＝14或26.[答案] (1)A (2)14或26解决由概念、法则、公式引起的分类讨论问题的步骤第一步：确定需分类的目标与对象．即确定需要分类的目标，一般把需要用到公式、定理解决问题的对象作为分类目标．第二步：根据公式、定理确定分类标准．运用公式、定理对分类对象进行区分．第三步：分类解决“分目标”问题．对分类出来的“分目标”分别进行处理．第四步：汇总“分目标”．将“分目标”问题进行汇总，并作进一步处理．[对点训练]1．(2018·洛阳统考)已知x1，x2∈R，则“x1>1且x2>1”是“x1＋x2>2且x1x2>1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析]当x1>1且x2>1时，x1＋x2>2且x1·x2>1成立，即充分性成立；当x1＋x2>2，且x1x2>1时，不妨取x1＝0.1，x2＝100，此时x1>1不成立，即必要性不成立．故“x1>1且x2>1”是“x1＋x2>2且x1x2>1”的充分不必要条件，故选A.[答案] A2．已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1<x<2m－1}，若B ⊆A，则实数m的取值范围是________．[解析]当B＝∅时，有m＋1≥2m－1，则m≤2，满足B⊆A；当B≠∅时，若B⊆A，如图．则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1<2m －1，解得2<m ≤4.综上，m 的取值范围为(－∞，4]． [答案] (－∞，4]要点二由图形位置或形状引起的分类讨论[解析] (1)根据题意可分以下两种情况讨论：①当焦点在x 轴上时，则有⎩⎪⎨⎪⎧3－m >0，m －1<0，解得m <1，此时渐近线方程为y ＝±1－m3－m x ，由题意得，1－m 3－m＝12，解得m ＝13；②当焦点在y 轴上时，则有⎩⎪⎨⎪⎧3－m <0，m －1>0，解得m >3，此时渐近线方程为y ＝±m －1m －3 x ，由题意得，m －1m －3＝12，无解．综上可知m ＝13，故选B(2)函数f (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋a 24的图象的对称轴为x ＝a 2，应分a 2<－1，－1≤a 2≤1，a2>1，即a <－2，－2≤a ≤2和a >2三种情形讨论．①当a <－2时，由图(1)可知f (x )在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝－1－a ＝－(a ＋1)，由－(a ＋1)＝4，得a ＝－5，满足题意．②当－2≤a ≤2时，由图(2)可知f (x )在[－1,1]上的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝a 24，由a 24＝4，得a ＝±4(舍去)．③当a >2时，由图(3)可知f (x )在[－1,1]上的最大值为f (1)＝a －1，由a －1＝4，得a ＝5，满足题意．综上可知，a ＝5或－5. [答案] (1)B (2)5或－5几类常见的由图形的位置或形状变化引起的分类讨论(1)二次函数对称轴的变化； (2)函数问题中区间的变化；(3)函数图象形状的变化； (4)直线由斜率引起的位置变化；(5)圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化；(6)立体几何中点、线、面的位置变化等． [对点训练]3．在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，y ＋x ≤s ，y ＋2x ≤4下，当3≤s ≤5时，z ＝3x ＋2y 的最大值的变化范围是( )A ．[6,15]B ．[7,15]C ．[6,8]D ．[7,8][解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝s ，y ＋2x ＝4，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－s ，y ＝2s －4，由图，可得A (2,0)，B (4－s,2s －4)，C (0，s )，C ′(0,4)． ①当3≤s <4时，不等式组所表示的可行域是四边形OABC 及其内部，此时，z ＝3x ＋2y 在点B 处取得最大值，且z max ＝3(4－s )＋2(2s－4)＝s＋4，由3≤s<4，得7≤z max<8.②当4≤s≤5时，不等式组所表示的可行域是△OAC′及其内部，此时z＝3x＋2y在点C′处取得最大值，且z max＝8.综上可知，z＝3x＋2y的最大值的变化范围是[7,8]，故选D.[答案] D4．正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为________．[解析]当矩形长、宽分别为6和4时，体积V＝2×3×12×4＝43；当长、宽分别为4和6时，体积V＝43×233×12×6＝833.综上所述，所求体积为43或83 3.[答案]43或83 3要点三由参数变化引起的分类讨论【例3】(2018·山东青岛调研)已知f(x)＝ax－(2a＋1)ln x－2 x，其中a∈R，讨论函数f(x)在定义域上的单调性．[解] 函数f (x )＝ax －(2a ＋1)ln x －2x 的定义域为{x |x >0}． f ′(x )＝(ax )′－(2a ＋1)(ln x )′－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ′＝a －2a ＋1x ＋2x 2＝ax 2－(2a ＋1)x ＋2x 2＝(ax －1)(x －2)x 2. 当a ＝0时，f ′(x )＝－(x －2)x 2. 可以看出，当x >2时，f ′(x )<0；当0<x <2时，f ′(x )>0，所以，a ＝0时，函数f (x )在区间(0,2)上单调递增；在(2，＋∞)上单调递减．当a ≠0时，f ′(x )＝(ax －1)(x －2)x 2＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －2)x 2.(ⅰ)若a <0，则1a <0<2，当0<x <2时，f ′(x )>0；当x >2时，f ′(x )<0，所以a <0时，f (x )在(0,2)上单调递增；在(2，＋∞)上单调递减．(ⅱ)若0<a <12，则0<2<1a ，解不等式a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －2)x 2>0，得0<x <2或x >1a ；解不等式a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －2)x2<0，得2<x <1a .所以0<a <12时，函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫2，1a 上单调递减；在区间(0,2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递增． (ⅲ)若a ＝12，则f ′(x )＝(x －2)22x 2，在定义域(0，＋∞)上，总有f ′(x )＝(x －2)22x 2≥0.所以a ＝12时，在定义域(0，＋∞)上，函数f (x )为单调递增函数． (ⅳ)若a >12，则0<1a <2，解不等式a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －2)x2>0，得0<x <1a 或x >2；解不等式a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －2)x 2<0，得1a <x <2.所以，a >12时，函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 和(2，＋∞)上单调递增；在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2上单调递减．综上，当a ≤0时，f (x )在(0,2)上单调递增；在(2，＋∞)上单调递减；当0<a <12时，函数f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫2，1a 上单调递减；在(0,2)，⎝⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递增；当a ＝12时，在定义域(0，＋∞)上，函数f (x )为单调递增函数；当a >12时，函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 和(2，＋∞)上单调递增；在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2上单调递减．破解由参数变化引起分类讨论的4个关键点(1)确定范围，确定需要分类问题中参数的取值范围．(2)确定分类标准，这些分类标准都是在解题过程中根据解决问题的需要确定的，注意有些参数可能出现多级分类，要做到不重不漏．(3)分类解决问题，对分类出来的各相应问题分别进行求解． (4)得出结论，将所得到的结论进行汇总，得出正确结论． [对点训练]5．(2018·郑州质检)已知函数f (x )＝(x ＋1)ln x －a (x －1)． (1)当a ＝4时，求曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程； (2)若当x ∈(1，＋∞)时，f (x )>0，求a 的取值范围． [解] (1)f (x )＝(x ＋1)ln x －a (x －1)的定义域为(0，＋∞)．当a ＝4时，f (x )＝(x ＋1)ln x －4(x －1)，f ′(x )＝ln x ＋1x －3.由于f ′(1)＝－2，f (1)＝0.曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为2x ＋y －2＝0. (2)当x >1时，f (x )>0⇔ln x －a (x －1)x ＋1>0.设g (x )＝ln x －a (x －1)x ＋1，则g ′(x )＝x 2＋2(1－a )x ＋1x (x ＋1)2，①当a ≤2时，x 2＋2(1－a )x ＋1≥x 2－2x ＋1>0，∴g ′(x )>0，则g (x )在(1，＋∞)上单调递增，且g (1)＝0，因此g (x )>0.②当a >2时，令g ′(x )＝0，得x 1＝a －1－(a －1)2－1，x 2＝a－1＋(a －1)2－1.由x 2>1和x 1x 2＝1，得x 1<1，故当x ∈(1，x 2)时，g ′(x )<0，∴g (x )在区间(1，x 2)上单调递减，且g (1)＝0，此时g (x )<0，与已知矛盾，舍去．综上，实数a 的取值范围是(－∞，2]．1.分类讨论的原则 (1)不重不漏．(2)标准要统一，层次要分明．(3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论． 2.分类讨论的思维流程明确讨论的对象和动机―→确定分类的标准―→逐类进行讨论―→归纳综合结论―→检验分类是否完备(即检验分类对象彼此交集是否为空集，并集是否为全集)．分类讨论思想的本质是“化整为零，积零为整”．专题跟踪训练(三)一、选择题1．(2018·佛山二模)若椭圆mx 2＋ny 2＝1的离心率为12，则mn ＝( )A.34B.43C.32或233D.34或43[解析] 若焦点在x 轴上，则方程化为x 21m ＋y 21n ＝1，依题意得1m －1n 1m ＝14，所以m n ＝34；若焦点在y 轴上，则方程化为y 21n ＋x 21m ＝1，同理可得m n ＝43.所以所求值为34或43，故选D.[答案] D2．(2018·大同二模)已知函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域是实数集R ，则实数m 的取值范围是( )A ．(0,4)B ．[0,4]C ．(0,4]D ．[0,4)[解析] 因为函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域是实数集R ，所以m ≥0，当m ＝0时，函数f (x )＝1，其定义域是实数集R ；当m >0时，则Δ＝m 2－4m ≤0，解得0<m ≤4.综上所述，实数m 的取值范围是0≤m ≤4，故选B.[答案] B3．(2018·湖南郴州质量监测)甲、乙、丙三人站成一排照相，甲排在左边的概率是( )A ．1 B.16 C.12D.13[解析] 甲、乙、丙三人站成一排照相的站法有甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲，共6种，其中甲排在左边的站法为2种，∴甲排在左边的概率是26＝13，故选D.[答案] D4．(2018·湖北武汉调研)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0x ＋2y ≤4x －2y ≤2，如果目标函数z ＝x ＋ay 的最大值为163，则实数a 的值为( )A ．3 B.143 C ．3或143D ．3或－113[解析] 先画出线性约束条件所表示的可行域如图阴影部分所示，目标函数化为y ＝－1a x ＋1a z ，目标函数z ＝x ＋ay 取最大值只需直线在x 轴上的截距最大，当a >0时，－1a <0，①若－12<－1a <0，即a >2，最优解为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，z ＝43＋43a ＝163，a ＝3，符合题意；②若－1a <－12，即0<a <2，最优解为B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12， z ＝3＋12a ＝163，a ＝143，不符合题意，舍去．当a <0时，－1a >0，③若0<－1a <12，即a <－2，最优解为C (－2，－2)，z ＝－2－2a ＝163，a ＝－113，符合题意；④若－1a >12，即－2<a <0，最优解为B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12，z ＝3＋12a ＝163，a ＝143，不符合题意，舍去；综上可知实数a 的值为3或－113，故选D. [答案] D5．函数f (x )＝ax 2＋4x －3在[0,2]上有最大值f (2)，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－1]B ．[－1，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(0，＋∞)[解析] 解法一：当a ＝0时，f (x )＝4x －3在[0,2]上为单调递增函数，最大值为f (2)，满足题意．当a ≠0时，函数f (x )＝ax 2＋4x －3＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2a 2－3－4a ，其对称轴为x ＝－2a .当a >0时，f (x )＝ax 2＋4x －3在[0,2]上为单调递增函数，最大值为f (2)，满足题意．当a <0时，只有当－2a ≥2，即－1≤a <0时，f (x )＝ax 2＋4x －3在[0,2]上为单调递增函数，最大值为f (2)，满足题意．综上，当a ≥－1时，函数f (x )＝ax 2＋4x －3在[0,2]上有最大值f (2)，故选B.解法二：由f (x )＝ax 2＋4x －3，得f ′(x )＝2ax ＋4，要使函数f (x )＝ax 2＋4x －3在[0,2]上有最大值f (2)，需使f (x )＝ax 2＋4x －3在[0,2]上为单调递增函数，则f ′(x )＝2ax ＋4≥0在[0,2]上恒成立，当x ＝0时成立，当x ≠0时，由x ∈(0,2]，得a ≥－2x ，因为－2x 在(0,2]上的最大值为－1，所以a ≥－1.综上，当a ≥－1时，函数f (x )＝ax 2＋4x －3在[0,2]上有最大值f (2)，故选B.解法三：当a ＝0时，f (x )＝4x －3在[0,2]上单调递增，最大值为f (2)，满足题意，排除A 、C 、D ，故选B.[答案] B6．已知a ，b >0且a ≠1，b ≠1，若log a b >1，则( ) A ．(a －1)(b －1)<0 B ．(a －1)(a －b )>0 C ．(b －1)(b －a )<0D ．(b －1)(b －a )>0[解析] ∵a ，b >0且a ≠1，b ≠1，∴当a >1，即a －1>0时，不等式log a b >1可化为a log a b >a 1，即b >a >1，∴(a －1)(a －b )<0，(b －1)(a －1)>0，(b －1)(b －a )>0.当0<a <1，即a －1<0时，不等式log a b >1可化为a log a b <a 1，即0<b <a <1，∴(a －1)(a －b )<0，(b －1)(a －1)>0，(b －1)(b －a )>0.综上可知，选D. [答案] D 二、填空题7．(2018·郑州模拟)过点P (3,4)与圆x 2－2x ＋y 2－3＝0相切的直线方程为______________．[解析] 圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝4. 当直线的斜率不存在时，直线x ＝3适合；当直线的斜率存在时，不妨设直线的方程为 y －4＝k (x －3)，即kx －y ＋4－3k ＝0. 由|k －0＋4－3k |k 2＋1＝2，得k ＝34. 此时直线方程为y －4＝34(x －3)，即3x －4y ＋7＝0. 综上所述，所求切线的方程为x ＝3或3x －4y ＋7＝0. [答案] x ＝3或3x －4y ＋7＝08．已知2sin2α＝1＋cos2α，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值为________．[解析] ∵2sin2α＝1＋cos2α， ∴4sin αcos α＝1＋2cos 2α－1，即2sin αcos α＝cos 2α.①当cos α＝0时，α＝k π＋π2(k ∈Z )，此时tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－1； ②当cos α≠0时，tan α＝12，此时tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝3. 综上所述，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值为－1或3. [答案] －1或39．设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点．已知P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|>|PF 2|，则|PF 1||PF 2|的值为________．[解析] 若∠PF 2F 1＝90°. 则|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2，又因为|PF 1|＋|PF 2|＝6，|F 1F 2|＝25，解得|PF 1|＝143，|PF 2|＝43，所以|PF 1||PF 2|＝72.若∠F 1PF 2＝90°，则|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2，所以|PF 1|2＋(6－|PF 1|)2＝20，所以|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，所以|PF 1||PF 2|＝2.综上知，|PF 1||PF 2|＝72或2.[答案] 72或2 三、解答题10．(2018·广东七校联考)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，A ＝π3，且32－sin(B －C )＝sin2B ，求△ABC 的面积．[解] 解法一：由已知及A ＋B ＋C ＝π可得32－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －23π＝sin2B ，即sin2B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －23π＝32，∴sin2B －32cos2B －12sin2B ＝32，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π3＝32.∵A ＝π3，∴0<B <23π，∴－π3<2B －π3<π， ∴2B －π3＝π3或2π3，∴B ＝π3或π2. 当B ＝π2时，C ＝π6，∴S △ABC ＝12×2×2×tan π6＝233；当B ＝π3时，△ABC 是边长为2的等边三角形，∴S △ABC ＝34a 2＝34×4＝ 3.综上可知，△ABC 的面积为3或233.解法二：∵A ＝π3，且32－sin(B －C )＝sin2B ，∴32＝sin2B ＋sin(B －C )，即sin A ＝sin2B ＋sin(B －C )，又sin A ＝sin(B ＋C )，∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos B ＋sin B cos C －cos B sin C ，即cos B sin C ＝sin B cos B .当cos B ＝0时，可得B ＝π2，C ＝π6， ∴S △ABC ＝12ac ＝12×2×2×tan π6＝233；当cos B ≠0时，sin B ＝sin C ，由正弦定理可知b ＝c ，∴△ABC 为等腰三角形，又∵A ＝π3，∴a ＝b ＝c ＝2，∴S △ABC ＝34a 2＝ 3.综上可知△ABC 的面积为3或233.11．已知椭圆C 的两个焦点分别为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且F 2到直线x －3y －9＝0的距离等于椭圆的短轴长．(1)求椭圆C 的方程；(2)若圆P 的圆心为P (0，t )(t >0)，且经过F 1，F 2两点，Q 是椭圆C 上的动点且在圆P 外，过Q 作圆P 的切线，切点为M ，当|QM |的最大值为322时，求t 的值．[解] (1)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，依题意可得2b ＝|1－9|2＝4，所以b ＝2，又c ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝5，所以椭圆C 的方程为x 25＋y 24＝1. (2)设Q (x ，y )⎝ ⎛⎭⎪⎫满足x 25＋y 24＝1，圆P 的方程为x 2＋(y －t )2＝t 2＋1，连接PM ，因为QM 为圆P 的切线，所以PM ⊥QM ，所以|QM |＝|PQ |2－t 2－1 ＝x 2＋(y －t )2－t 2－1 ＝－14(y ＋4t )2＋4＋4t 2.①若－4t ≤－2，即t ≥12时，当y ＝－2时，|QM |取得最大值，且|QM |max ＝4t ＋3＝322，解得t ＝38<12(舍去)． ②若－4t >－2，即0<t <12，当y ＝－4t 时，|QM |取得最大值，且|QM |max ＝4＋4t 2＝322，解得t 2＝18，又0<t <12，所以t ＝24.综上，当t ＝24时，|QM |的最大值为322.12．(2018·东北三校联考)设函数f (x )＝ln(x ＋1)＋a (x 2－x )，其中a ∈R ，讨论函数f (x )极值点的个数，并说明理由．[解] 由题意知函数f (x )的定义域为(－1，＋∞)， f ′(x )＝1x ＋1＋a (2x －1)＝2ax 2＋ax －a ＋1x ＋1.令g (x )＝2ax 2＋ax －a ＋1，x ∈(－1，＋∞)． ①当a ＝0时，g (x )＝1，此时f ′(x )>0，函数f (x )在(－1，＋∞)上单调递增，无极值点． ②当a >0时，Δ＝a 2－8a (1－a )＝a (9a －8)． (ⅰ)当0<a ≤89时，Δ≤0，g (x )≥0，f ′(x )≥0，函数f (x )在(－1，＋∞)单调递增，无极值点； (ⅱ)当a >89时，Δ>0，设方程2ax 2＋ax －a ＋1＝0的两根为x 1，x 2(x 1<x 2)，因为x 1＋x 2＝－12，所以x 1<－14，x 2>－14. 由g (－1)＝1>0，可得－1<x 1<－14.所以当x ∈(－1，x 1)时，g (x )>0，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；当x ∈(x 1，x 2)时，g (x )<0，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；当x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )>0，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增．因此函数有两个极值点． ③当a <0时，Δ>0，由g (－1)＝1>0，可得x 1<－1.当x ∈(－1，x 2)时，g (x )>0，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；当x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )<0，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减．所以函数有一个极值点．综上所述，当a <0时，函数f (x )有一个极值点；当0≤a ≤89时，函数f (x )无极值点；当a >89时，函数f (x )有两个极值点．专题跟踪训练(三)一、选择题1．(2018·佛山二模)若椭圆mx 2＋ny 2＝1的离心率为12，则mn ＝( )A.34B.43C.32或233D.34或43[解析] 若焦点在x 轴上，则方程化为x 21m ＋y 21n ＝1，依题意得1m －1n 1m ＝14，所以m n ＝34；若焦点在y 轴上，则方程化为y 21n ＋x 21m ＝1，同理可得m n ＝43.所以所求值为34或43，故选D.[答案] D2．(2018·大同二模)已知函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域是实数集R ，则实数m 的取值范围是( )A ．(0,4)B ．[0,4]C ．(0,4]D ．[0,4)[解析] 因为函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域是实数集R ，所以m ≥0，当m ＝0时，函数f (x )＝1，其定义域是实数集R ；当m >0时，则Δ＝m 2－4m ≤0，解得0<m ≤4.综上所述，实数m 的取值范围是0≤m ≤4，故选B.[答案] B3．(2018·湖南郴州质量监测)甲、乙、丙三人站成一排照相，甲排在左边的概率是( )A ．1 B.16 C.12D.13[解析] 甲、乙、丙三人站成一排照相的站法有甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲，共6种，其中甲排在左边的站法为2种，∴甲排在左边的概率是26＝13，故选D.[答案] D4．(2018·湖北武汉调研)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0x ＋2y ≤4x －2y ≤2，如果目标函数z ＝x ＋ay 的最大值为163，则实数a 的值为( )A ．3 B.143 C ．3或143D ．3或－113[解析] 先画出线性约束条件所表示的可行域如图阴影部分所示，目标函数化为y ＝－1a x ＋1a z ，目标函数z ＝x ＋ay 取最大值只需直线在x 轴上的截距最大，当a >0时，－1a <0，①若－12<－1a <0，即a >2，最优解为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，z ＝43＋43a ＝163，a ＝3，符合题意；②若－1a <－12，即0<a <2，最优解为B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12， z ＝3＋12a ＝163，a ＝143，不符合题意，舍去．当a <0时，－1a >0，③若0<－1a <12，即a <－2，最优解为C (－2，－2)，z ＝－2－2a ＝163，a ＝－113，符合题意；④若－1a >12，即－2<a <0，最优解为B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12，z ＝3＋12a ＝163，a ＝143，不符合题意，舍去；综上可知实数a 的值为3或－113，故选D. [答案] D5．函数f (x )＝ax 2＋4x －3在[0,2]上有最大值f (2)，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－1]B ．[－1，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(0，＋∞)[解析] 解法一：当a ＝0时，f (x )＝4x －3在[0,2]上为单调递增函数，最大值为f (2)，满足题意．当a ≠0时，函数f (x )＝ax 2＋4x －3＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2a 2－3－4a ，其对称轴为x ＝－2a .当a >0时，f (x )＝ax 2＋4x －3在[0,2]上为单调递增函数，最大值为f (2)，满足题意．当a <0时，只有当－2a ≥2，即－1≤a <0时，f (x )＝ax 2＋4x －3在[0,2]上为单调递增函数，最大值为f (2)，满足题意．综上，当a ≥－1时，函数f (x )＝ax 2＋4x －3在[0,2]上有最大值f (2)，故选B.解法二：由f (x )＝ax 2＋4x －3，得f ′(x )＝2ax ＋4，要使函数f (x )＝ax 2＋4x －3在[0,2]上有最大值f (2)，需使f (x )＝ax 2＋4x －3在[0,2]上为单调递增函数，则f ′(x )＝2ax ＋4≥0在[0,2]上恒成立，当x ＝0时成立，当x ≠0时，由x ∈(0,2]，得a ≥－2x ，因为－2x 在(0,2]上的最大值为－1，所以a ≥－1.综上，当a ≥－1时，函数f (x )＝ax 2＋4x －3在[0,2]上有最大值f (2)，故选B.解法三：当a ＝0时，f (x )＝4x －3在[0,2]上单调递增，最大值为f (2)，满足题意，排除A 、C 、D ，故选B.[答案] B6．已知a ，b >0且a ≠1，b ≠1，若log a b >1，则( ) A ．(a －1)(b －1)<0 B ．(a －1)(a －b )>0 C ．(b －1)(b －a )<0D ．(b －1)(b －a )>0[解析] ∵a ，b >0且a ≠1，b ≠1，∴当a >1，即a －1>0时，不等式log a b >1可化为a log a b >a 1，即b >a >1，∴(a －1)(a －b )<0，(b －1)(a －1)>0，(b －1)(b －a )>0.当0<a <1，即a －1<0时，不等式log a b >1可化为a log a b <a 1，即0<b <a <1，∴(a －1)(a －b )<0，(b －1)(a －1)>0，(b －1)(b －a )>0.综上可知，选D. [答案] D 二、填空题7．(2018·郑州模拟)过点P (3,4)与圆x 2－2x ＋y 2－3＝0相切的直线方程为______________．[解析] 圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝4. 当直线的斜率不存在时，直线x ＝3适合；当直线的斜率存在时，不妨设直线的方程为 y －4＝k (x －3)，即kx －y ＋4－3k ＝0. 由|k －0＋4－3k |k 2＋1＝2，得k ＝34. 此时直线方程为y －4＝34(x －3)，即3x －4y ＋7＝0. 综上所述，所求切线的方程为x ＝3或3x －4y ＋7＝0. [答案] x ＝3或3x －4y ＋7＝08．已知2sin2α＝1＋cos2α，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值为________．[解析] ∵2sin2α＝1＋cos2α， ∴4sin αcos α＝1＋2cos 2α－1，即2sin αcos α＝cos 2α.①当cos α＝0时，α＝k π＋π2(k ∈Z )，此时tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－1； ②当cos α≠0时，tan α＝12，此时tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝3. 综上所述，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值为－1或3. [答案] －1或39．设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点．已知P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|>|PF 2|，则|PF 1||PF 2|的值为________．[解析] 若∠PF 2F 1＝90°. 则|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2，又因为|PF 1|＋|PF 2|＝6，|F 1F 2|＝25，解得|PF 1|＝143，|PF 2|＝43，所以|PF 1||PF 2|＝72.若∠F 1PF 2＝90°，则|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2，所以|PF 1|2＋(6－|PF 1|)2＝20，所以|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，所以|PF 1||PF 2|＝2.综上知，|PF 1||PF 2|＝72或2.[答案] 72或2 三、解答题10．(2018·广东七校联考)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，A ＝π3，且32－sin(B －C )＝sin2B ，求△ABC 的面积．[解] 解法一：由已知及A ＋B ＋C ＝π可得32－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －23π＝sin2B ，即sin2B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －23π＝32，∴sin2B －32cos2B －12sin2B ＝32，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π3＝32.∵A ＝π3，∴0<B <23π，∴－π3<2B －π3<π， ∴2B －π3＝π3或2π3，∴B ＝π3或π2. 当B ＝π2时，C ＝π6，∴S △ABC ＝12×2×2×tan π6＝233；当B ＝π3时，△ABC 是边长为2的等边三角形，∴S △ABC ＝34a 2＝34×4＝ 3.综上可知，△ABC 的面积为3或233.解法二：∵A ＝π3，且32－sin(B －C )＝sin2B ，∴32＝sin2B ＋sin(B －C )，即sin A ＝sin2B ＋sin(B －C )，又sin A ＝sin(B ＋C )，∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos B ＋sin B cos C －cos B sin C ，即cos B sin C ＝sin B cos B .当cos B ＝0时，可得B ＝π2，C ＝π6， ∴S △ABC ＝12ac ＝12×2×2×tan π6＝233；当cos B ≠0时，sin B ＝sin C ，由正弦定理可知b ＝c ，∴△ABC 为等腰三角形，又∵A ＝π3，∴a ＝b ＝c ＝2，∴S △ABC ＝34a 2＝ 3.综上可知△ABC 的面积为3或233.11．已知椭圆C 的两个焦点分别为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且F 2到直线x －3y －9＝0的距离等于椭圆的短轴长．(1)求椭圆C 的方程；(2)若圆P 的圆心为P (0，t )(t >0)，且经过F 1，F 2两点，Q 是椭圆C 上的动点且在圆P 外，过Q 作圆P 的切线，切点为M ，当|QM |的最大值为322时，求t 的值．[解] (1)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，依题意可得2b ＝|1－9|2＝4，所以b ＝2，又c ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝5，所以椭圆C 的方程为x 25＋y 24＝1. (2)设Q (x ，y )⎝ ⎛⎭⎪⎫满足x 25＋y 24＝1，圆P 的方程为x 2＋(y －t )2＝t 2＋1，连接PM ，因为QM 为圆P 的切线，所以PM ⊥QM ，所以|QM |＝|PQ |2－t 2－1 ＝x 2＋(y －t )2－t 2－1 ＝－14(y ＋4t )2＋4＋4t 2.①若－4t ≤－2，即t ≥12时，当y ＝－2时，|QM |取得最大值，且|QM |max ＝4t ＋3＝322，解得t ＝38<12(舍去)． ②若－4t >－2，即0<t <12，当y ＝－4t 时，|QM |取得最大值，且|QM |max ＝4＋4t 2＝322，解得t 2＝18，又0<t <12，所以t ＝24.综上，当t ＝24时，|QM |的最大值为322.12．(2018·东北三校联考)设函数f (x )＝ln(x ＋1)＋a (x 2－x )，其中a ∈R ，讨论函数f (x )极值点的个数，并说明理由．[解] 由题意知函数f (x )的定义域为(－1，＋∞)， f ′(x )＝1x ＋1＋a (2x －1)＝2ax 2＋ax －a ＋1x ＋1.令g (x )＝2ax 2＋ax －a ＋1，x ∈(－1，＋∞)． ①当a ＝0时，g (x )＝1，此时f ′(x )>0，函数f (x )在(－1，＋∞)上单调递增，无极值点． ②当a >0时，Δ＝a 2－8a (1－a )＝a (9a －8)． (ⅰ)当0<a ≤89时，Δ≤0，g (x )≥0，f ′(x )≥0，函数f (x )在(－1，＋∞)单调递增，无极值点； (ⅱ)当a >89时，Δ>0，设方程2ax 2＋ax －a ＋1＝0的两根为x 1，x 2(x 1<x 2)，因为x 1＋x 2＝－12，所以x 1<－14，x 2>－14. 由g (－1)＝1>0，可得－1<x 1<－14.所以当x ∈(－1，x 1)时，g (x )>0，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；当x ∈(x 1，x 2)时，g (x )<0，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；当x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )>0，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增．因此函数有两个极值点． ③当a <0时，Δ>0，由g (－1)＝1>0，可得x 1<－1.当x ∈(－1，x 2)时，g (x )>0，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；当x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )<0，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减．所以函数有一个极值点．综上所述，当a <0时，函数f (x )有一个极值点；当0≤a ≤89时，函数f (x )无极值点；当a >89时，函数f (x )有两个极值点．。

高考数学二轮复习讲义分类讨论思想方法

高考数学二轮复习讲义分类讨论思想方法在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。

分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。

有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。

引起分类讨论的原因主要是以下几个方面：① 问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。

如|a|的定义分a>0、a ＝0、a<0三种情况。

这种分类讨论题型可以称为概念型。

② 问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的。

如等比数列的前n 项和的公式，分q ＝1和q ≠1两种情况。

这种分类讨论题型可以称为性质型。

③ 解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论。

如解不等式ax>2时分a>0、a ＝0和a<0三种情况讨论。

这称为含参型。

另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都主要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性。

进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。

其中最重要的一条是“不漏不重”。

解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。

一例题1．集合A ＝{x||x|≤4,x ∈R}，B ＝{x||x －3|≤a ，x ∈R}，若A ⊇B ，那么a 的范围是( )。

A. 0≤a ≤1B. a ≤1C. a<1D. 0<a<12.若a>0且a ≠1，p ＝log a (a 3＋a ＋1)，q ＝log a (a 2＋a ＋1)，则p 、q 的大小关系是( )。

2021-2022年高三数学第二轮专题复习分类讨论思想课堂资料

2021年高三数学第二轮专题复习分类讨论思想课堂资料一、基础知识整合分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想对于简化研究对象，发展人的思维有着重要帮助，因此，有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置。

所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。

实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略。

1.分类原则：分类应按同一标准进行，不重复，不遗漏，分层次，不越级讨论.2.分类方法：明确讨论对象以及研究的范围;确定分类标准，正确进行分类；逐类进行讨论，获取阶段性成果；归纳小结，综合出结论.3.含参数问题的分类讨论是常见题型。

4.注意简化或避免分类讨论。

二、例题解析[例1] 一条直线过点（5，2），且在x 轴，y 轴上截距相等，则这直线方程为（） (A) (B)(C)x y x y +-=-=70250或 (D)x y y x ++=-=70250或 [分析]设该直线在x 轴，y 轴上的截距均为a , 当a =0时，直线过原点，此时直线方程为；当时，设直线方程为x a yaa +==17，则求得，方程为。

[例2] 15sin cos cos 213ABC A B C ∆==中，已知，，求. [分析][]∴=-+=--⋅cos cos()cos cos sin sin C A B A B A B因此，只要根据已知条件，求出cos A ，si n B 即可得cosC 的值.但是由si nA 求cos A 时，是一解还是两解？这一点需经过讨论才能确定，故解本题时要分类讨论。

对角A 进行分类.[解]50cos 132B B ABC <=<∆为的一个内角 ∴<<=45901213 B B ，且sin ⑴若为锐角，由，得，此时A A A A sin cos ===123032⑵若为钝角，由，得，此时A A A A B sin ==+>12150180这与三角形的内角和为180°相矛盾。

高考数学二轮复习第二部分思想方法专题部分第三讲分类讨论思想课件文精要

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[解析] (1)不妨设|PF1|＝4t，|F1F2|＝3t，|PF2|＝2t，若该圆锥曲线为椭圆，则有|PF1|＋|PF2|＝6t＝2a>3t，|F1F2|＝3t＝2c，e＝ac＝ 22ac＝36tt＝12；若该圆锥曲线是双曲线，则有|PF1|－|PF2|＝2t＝2a<3t，
|F1F2|＝3t＝2c，e＝ac＝22ac＝32tt＝32. 所以圆锥曲线 T 的离心率为12或32.
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(6)指数函数 y＝ax 及其反函数 y＝logax 中底数 a>1 及 0<a<1 对函数单调性的影响；
(7)等比数列前 n 项和公式中 q＝1 与 q≠1 的区别； (8)不等式性质中两边同乘(除)以正数或负数时对不等号方向的影响； (9)直线与圆锥曲线位置关系的讨论； (10)运用点斜式、斜截式直线方程时斜率 k 是否存在．
2．由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前 n 项和公式、函数的单调性等．
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3．由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根被开方数为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．
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当12<a<2e时，f(x)在[0,1]上的最小值是 f(ln(2a))＝2a－2aln(2a)；当 a≥2e时，f(x)在[0,1]上的最小值是 f(1)＝e－2a.
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一般地，遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义及对结果的影响进行分类讨论．参数有几何意义时还要考虑适当地运用数形结合思想，分类要做到分类标准明确，不重不漏．

新数学二轮总复习第3讲分类讨论思想转化与化归思想学案含解析

第3讲分类讨论思想、转化与化归思想分类讨论思想是解决高中数学问题的一种重要思想方法,是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题中发挥着重要作用,大大提高了学生的解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透,并快速找准突破点.充分利用分类讨论思想将复杂问题分解成若干题目涉及的知识角度进行求解。

解题时要注意,按主元分类的结果应求并集,按参数分类的结果要分类给出.思想方法诠释1。

分类讨论的思想含义分类讨论,就是当问题所给的对象不能进行统一研究时,就需要对研究对象按某个标准分类,然后对每一类分别研究得出每一类的结论,最后综合各类结果得到整个问题的结果.实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略.2.分类讨论的原则(1）不重不漏；(2)标准要统一，层次要分明;(3)能不分类的要尽量避免,决不无原则地讨论.3。

分类讨论的常见类型（1）由数学概念而引起的分类讨论;(2)由数学运算要求而引起的分类讨论;（3）由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论；(4)由图形的不确定性而引起的分类讨论；（5)由参数的变化而引起的分类讨论；（6)由实际意义引起的讨论。

思想分类应用应用一由数学的概念、定理、公式引起的分类讨论【例1】(1）(2020安徽合肥二模，文10）记F 1，F 2为椭圆C :x 2x+y 2=1的两个焦点，若C 上存在点M 满足xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则实数m 的取值范围是( )A.(0,12]∪［2，+∞） B.[12,1)∪［2,+∞)C 。

(0,12]∪（1,2］D 。

[12,1)∪(1，2］（2）设等比数列{a n ｝的公比为q ，前n 项和S n 〉0(n=1,2,3,…),则q 的取值范围是。

思维升华1.在中学数学中，一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的单调性，基本不等式，等比数列的求和公式等在不同的条件下有不同的结论，或者在一定的限制条件下才成立,应根据题目条件确定是否进行分类讨论.2。

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