直线与圆锥曲线的位置关系练习题
2024全国高考真题数学汇编：直线与圆锥曲线的位置关系
2024全国高考真题数学汇编直线与圆锥曲线的位置关系一、多选题1．（2024全国高考真题）抛物线C ：24y x 的准线为l ，P 为C 上的动点，过P 作22:(4)1A x y ⊙的一条切线，Q 为切点，过P 作l 的垂线，垂足为B ，则（）A ．l 与A 相切B ．当P ，A ，B 三点共线时，||PQC ．当||2PB 时，PA ABD ．满足||||PA PB 的点P 有且仅有2个二、填空题2．（2024北京高考真题）若直线 3y k x 与双曲线2214xy 只有一个公共点，则k 的一个取值为．三、解答题3．（2024北京高考真题）已知椭圆E ： 222210x y a b a b，以椭圆E 的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点 0,t t 且斜率存在的直线与椭圆E 交于不同的两点,A B ，过点A 和 0,1C 的直线AC 与椭圆E 的另一个交点为D ．(1)求椭圆E 的方程及离心率；(2)若直线BD 的斜率为0，求t 的值．4．（2024全国高考真题）已知(0,3)A 和33,2P 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b上两点.(1)求C 的离心率;(2)若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且ABP 的面积为9，求l 的方程．5．（2024上海高考真题）已知双曲线222Γ:1,(0),y x b b左右顶点分别为12,A A ，过点 2,0M 的直线l 交双曲线Γ于,P Q 两点.(1)若离心率2e 时，求b 的值．(2)若2b MA P△为等腰三角形时，且点P 在第一象限，求点P 的坐标．(3)连接OQ 并延长，交双曲线Γ于点R ，若121A R A P，求b 的取值范围．参考答案1．ABD【分析】A 选项，抛物线准线为=1x ，根据圆心到准线的距离来判断；B 选项，,,P A B 三点共线时，先求出P 的坐标，进而得出切线长；C 选项，根据2PB 先算出P 的坐标，然后验证1PA AB k k 是否成立；D 选项，根据抛物线的定义，PB PF ，于是问题转化成PA PF 的P 点的存在性问题，此时考察AF 的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设P 点坐标进行求解.【详解】A 选项，抛物线24y x 的准线为=1x ，A 的圆心(0,4)到直线=1x 的距离显然是1，等于圆的半径，故准线l 和A 相切，A 选项正确；B 选项，,,P A B 三点共线时，即PA l ，则P 的纵坐标4P y ，由24PP y x ，得到4P x ，故(4,4)P ，此时切线长PQ ，B 选项正确；C 选项，当2PB 时，1P x ，此时244P P y x ，故(1,2)P 或(1,2)P ，当(1,2)P 时，(0,4),(1,2)A B ，42201PA k ，4220(1)AB k，不满足1PA AB k k ；当(1,2)P 时，(0,4),(1,2)A B ，4(2)601PA k ，4(2)60(1)AB k，不满足1PA AB k k ；于是PA AB 不成立，C 选项错误；D 选项，方法一：利用抛物线定义转化根据抛物线的定义，PB PF ，这里(1,0)F ，于是PA PB 时P 点的存在性问题转化成PA PF 时P 点的存在性问题，(0,4),(1,0)A F ，AF 中点1,22，AF 中垂线的斜率为114AF k，于是AF 的中垂线方程为：2158x y，与抛物线24y x 联立可得216300y y ，2164301360 ，即AF 的中垂线和抛物线有两个交点，即存在两个P 点，使得PA PF ，D 选项正确.方法二：（设点直接求解）设2,4t P t，由PB l 可得 1,B t ，又(0,4)A ，又PA PB ，214t ，整理得216300t t ，2164301360 ，则关于t 的方程有两个解，即存在两个这样的P 点，D 选项正确.故选：ABD2．12（或12，答案不唯一）【分析】联立直线方程与双曲线方程，根据交点个数与方程根的情况列式即可求解.【详解】联立 22143x y y k x，化简并整理得： 222214243640k x k x k ，由题意得2140k 或 2222Δ244364140k k k ，解得12k 或无解，即12k ，经检验，符合题意.故答案为：12（或12，答案不唯一）.3．(1)2221,422x y e(2)2t 【分析】（1）由题意得b c a ，由此即可得解；（2）设 :,0,AB y kx t k t ， 1122,,,A x y B x y ，联立椭圆方程，由韦达定理有2121222424,1221kt t x x x x k k ，而 121112:y y AD y x x y x x ，令0x ，即可得解.【详解】（1）由题意b c，从而2a ，所以椭圆方程为22142x y，离心率为2e；（2）直线AB 斜率不为0，否则直线AB 与椭圆无交点，矛盾，从而设 :,0,AB y kx t k t ， 1122,,,A x y B x y ，联立22142x y y kx t，化简并整理得222124240k x ktx t ，由题意 222222Δ1682128420k t k t k t ，即,k t 应满足22420k t ，所以2121222424,1221kt t x x x x k k ，若直线BD 斜率为0，由椭圆的对称性可设 22,D x y ，所以 121112:y y AD y x x y x x，在直线AD 方程中令0x ，得 2122112121221121212422214C k t x kx t x kx t kx x t x x x y x y y t x x x x x x kt ，所以2t ，此时k 应满足222424200k t k k，即k应满足2k或2k ，综上所述，2t满足题意，此时2k或2k .4．(1)12(2)直线l 的方程为3260x y 或20x y .【分析】（1）代入两点得到关于,a b 的方程，解出即可；（2）方法一：以AP 为底，求出三角形的高，即点B 到直线AP 的距离，再利用平行线距离公式得到平移后的直线方程，联立椭圆方程得到B 点坐标，则得到直线l 的方程；方法二：同法一得到点B 到直线AP 的距离，再设 00,B x y ，根据点到直线距离和点在椭圆上得到方程组，解出即可；法三：同法一得到点B 到直线AP 的距离，利用椭圆的参数方程即可求解；法四：首先验证直线AB 斜率不存在的情况，再设直线3y kx ，联立椭圆方程，得到点B 坐标，再利用点到直线距离公式即可；法五：首先考虑直线PB 斜率不存在的情况，再设3:(3)2PB y k x，利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到答案；法六：设线法与法五一致，利用水平宽乘铅锤高乘12表达面积即可.【详解】（1）由题意得2239941b a b，解得22912b a ，所以12e .（2）法一：3312032APk，则直线AP 的方程为132y x ，即260x y ，AP 1）知22:1129x y C ，设点B 到直线AP 的距离为d，则d则将直线AP 沿着与AP 此时该平行线与椭圆的交点即为点B ，设该平行线的方程为：20x y C ，6C 或18C ，当6C 时，联立221129260x y x y，解得03x y 或332x y ，即 0,3B 或33,2，当 0,3B 时，此时32l k，直线l 的方程为332y x ，即3260x y ，当33,2B时，此时12l k ，直线l 的方程为12y x ，即20x y ，当18C 时，联立2211292180x y x y得22271170y y ，227421172070 ，此时该直线与椭圆无交点.综上直线l 的方程为3260x y 或20x y .法二：同法一得到直线AP 的方程为260x y ，点B 到直线AP 的距离d设 00,B x y，则220012551129x y，解得00332x y 或0003x y ，即 0,3B 或33,2，以下同法一.法三：同法一得到直线AP 的方程为260x y ，点B 到直线AP的距离d设,3sin B ，其中 0,2联立22cos sin 1，解得cos 21sin 2或cos 0sin 1，即 0,3B 或33,2，以下同法一；法四：当直线AB 的斜率不存在时，此时 0,3B ，16392PAB S ，符合题意，此时32l k ，直线l 的方程为332y x ，即3260x y ，当线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为3y kx ，联立椭圆方程有2231129y kx x y，则2243240k x kx ，其中AP k k ，即12k ，解得0x 或22443kx k，0k ，12k ，令22443k x k ，则2212943k y k ，则22224129,4343k k B k k同法一得到直线AP 的方程为260x y ，点B 到直线AP的距离d，解得32k =，此时33,2B，则得到此时12l k ，直线l 的方程为12y x ，即20x y ，综上直线l 的方程为3260x y 或20x y .法五：当l 的斜率不存在时，3:3,3,,3,2l x B PB A到PB 距离3d ，此时1933922ABP S 不满足条件.当l 的斜率存在时，设3:(3)2PB y k x，令 1122,,,P x y B x y ，223(3)21129y k x x y，消y 可得 22224324123636270k x k k x k k ，2222Δ24124433636270k kk k k ，且AP k k ，即12k ，21222122241243,36362743k k x x k PB k k x x k，A 到直线PB距离192PAB d S，12k或32，均满足题意，1:2l y x 或332y x ，即3260x y 或20x y .法六：当l 的斜率不存在时，3:3,3,,3,2l x B PB A到PB 距离3d ，此时1933922ABP S 不满足条件.当直线l 斜率存在时，设3:(2l y k x，设l 与y 轴的交点为Q ，令0x ，则30,32Q k，联立223323436y kx k x y，则有2223348336362702k x k k x k k ，2223348336362702k xk k x k k，其中22223Δ8343436362702k k k k k，且12k ，则2222363627121293,3434B B k k k k x x k k，则211312183922234P B k S AQ x x k k，解的12k 或32k =，经代入判别式验证均满足题意.则直线l 为12y x或332y x ，即3260x y 或20x y .5．(1)b(2) 2,P(3)【分析】（1）根据离心率公式计算即可；（2）分三角形三边分别为底讨论即可；（3）设直线:2l x my ，联立双曲线方程得到韦达定理式，再代入计算向量数量积的等式计算即可.【详解】（1）由题意得21c ce a，则2c，b （2）当b 时，双曲线22Γ:183y x ，其中 2,0M ， 21,0A ，因为2MA P △为等腰三角形，则①当以2MA 为底时，显然点P 在直线12x 上，这与点P 在第一象限矛盾，故舍去；②当以2A P 为底时，23MP MA 设 ,P x y ，则2222318(2)9y x x y ,联立解得2311x y或2311x y10x y ，因为点P 在第一象限，显然以上均不合题意，舍去；（或者由双曲线性质知2MP MA ，矛盾，舍去）；③当以MP 为底时，223A P MA ，设 00,P x y ，其中000,0x y ，则有 2200220019183x y y x，解得002x y，即 2,P ．综上所述： 2,P .（3）由题知 121,0,1,0A A ，当直线l 的斜率为0时，此时120A R A P，不合题意，则0l k ，则设直线:2l x my ，设点 1122,,,P x y Q x y ，根据OQ 延长线交双曲线Γ于点R ，根据双曲线对称性知 22,R x y ，联立有22221x my y x b222221430b m y b my b ，显然二次项系数2210b m ，其中 22222422Δ44134120mb b m b b m b ，2122241b my y b m ①，2122231b y y b m ②，1222111,,1,A R x y A P x y，则 122112111A R A P x x y y，因为 1122,,,P x y Q x y 在直线l 上，则112x my ，222x my ，即 2112331my my y y ，即 2121213100y y m y y m ，将①②代入有 2222222341310011b b mm m b m b m ，即 2222231341010b m m b m b m 化简得2223100b m b ，所以22103m b,代入到2210b m ,得221031b b ,所以23b ,且221030m b，解得2103b ，又因为0b ，则21003b ，综上知， 2100,33,3b，b．【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是采用设线法，为了方便运算可设:2l x my ，将其与双曲线方程联立得到韦达定理式，再写出相关向量，代入计算，要注意排除联立后的方程得二次项系数不为0.。
直线与圆锥曲线的位置关系
该 程｛２ ＿＿ 圆方为世１ 为 ， 椭 上点 组６ ２１ 的程孚 ． 孚 以 圆 的和 【 ． ，删椭 Ⅱ ＝ ６ ４
（ ） （ ） 知点 Ａ 的 坐 标为 （ ２ ０ ， 直 线 ｆ ２ 由 １可 一 ，） 且
的 斜 率 必 存 在 ． 点 Ｂ 的 坐 标 为 （ ， ， 线 ｆ 斜 设 Ｙ） 直 的
（ ） 否存 在 常 数 Ａ， 得 ｌ ＢＩ Ｄ ＪＡＩＢ Ｉ ３是 使 Ａ Ｃ ＋Ｉ ＝ Ａ ・
ｌ Ｄｌ 成 立 ？ Ｃ 恒 若存 在 ， 出 Ａ的值 ； 不存 在 ， 说 求 若 请
明理 由．
弦长 ｆ ＝ ｌ － ・Ｘ－ ｚ． 圆锥 曲线 的弦 长的 思 ＡＢｌｖＴ ￣ ＪＩＸ Ｉ ４ 求
．
所 以 ｙ： —ｘ ｉ 。 ±２ ￣ ／
综 上可知 ， ＋ Ｎ ２ ￣ ｙ： —ｖ － ： ２ ／ ０ ±２ Ｔ ￣
一
．
例 １ 已知椭圆 ＋ ＝ （＞＞ ） 等 １ａｂＯ的离心率ｅ ＝
，
小 结 涉及 弦的 中点 的 问题 ， 们 可 以利 用判 我
别 式 和 根 与 系数 的 关 系 加 以 解 决 ， 可 以 利 用 “ 也 点
ｋ】ｋ２ ． ・ ＝１
￣ ｌ Ｄ ＩＡＩ ＢＩ Ｄ Ｉ ａｇｌ Ｃ Ｃ ＋Ｉ ＝ Ａ ・Ｉ
恒 成立 ． 小 结 设 直 线 ｌ 圆 锥 曲 线 Ｃ 相 交 于 Ａ． 两 与 Ｂ 点 ， Ａ 的 坐 标 为 （ ， ， Ｂ 的 坐 标 为 （ ， ２ ， 点 Ｙ） 点 Ｙ） 则
垂 直 平 分 线 为 ｙ轴 ， 是 于 ＝ 一 一ｏ ， （ ２，ｙ ） ＝ ２， （
直 线与圆 线的 锥曲
一
） ・ ：， ． 由 ４ 得 ＝ ２ ／ ± 、 ．
线与圆锥曲线的位置关系(八大题型)(课件)-2025年高考数学一轮复习(新教材新高考)
−
，两式相减得
+ −
+
−
+
=
+
−
=
− ，故
=
−
=
知识梳理·基础回归
知识点3：点差法
（2）运用类似的方法可以推出；若是双曲线
, ，则 =
= 1，①
= 1②
①-②得
1 +2 1 −2
16
+
1 +2 1 −2
12
= 0，
−
3
1
2
∵ 1 + 2 = 4，1 + 2 = 2，∴ = − = − 2，
1
∴此弦所在的直线方程为 − 1 =
【方法技巧】
点差法
3
− (
2
2
− 2)，即3 + 2 − 8 = 0．
2
2
2
【解析】当 ≥ 0时，曲线 −
= 1，即 − =
9
4
9
4
3
一条渐近线方程为： = 2 ，直线与渐近线平行；
当 <
2
0时，曲线
9
−
4
=
2
1，即
9
2
+
4
画出曲线和直线的图像，如图所示：
根据图像知有2个公共点．
故选：B
1，双曲线右半部分；
= 1，椭圆的左半部分；
）．
题型突破·考法探究
16
弦所在的直线方程为
2
+
12
直线与圆锥曲线的位置关系习题
直线与圆锥曲线的位置关系1、已知椭圆92x +y 2=1，过左焦点F 作倾斜角为30°的直线交椭圆与A 、B 两点，求弦AB 的长。
2、讨论直线l ：y=kx+1与双曲线c:x 2-y 2=1的公共点的个数。
3、直线l ：y=kx+1，抛物线c ：y=4x 2,当k 为何值时，l 与c 相切、相交、相离。
4、直线l ：y=x+1与椭圆Q ：ax 2+y 2=2（a ＞1）交与A 、B 两点，以AB 为直径的圆过原点，求a 的值。
5、设椭圆22a x +22by =1（a ＞b ＞0）的左焦点为F 1(-2,0),左准线l 1与x 轴交与点N （-3,0），过点N 倾斜角为30°的直线l 交椭圆于A 、B 两点。
（1）求直线l 和椭圆的方程。
（2）求证：点F 1（-2,0）在以线段AB 为直径的圆上。
6、已知椭圆mx 2+ny 2=1（m ＞0，n ＞0）与直线y=x+1相较于点P 和Q ，且OP ⊥OQ ，︱PQ ︱=210,求椭圆方程。
7、已知椭圆x 2+2y 2=4，求以P （1,1）为中点的弦的长度。
8、椭圆221ax by +=221ax by +=与直线x+y-1=0相交与点A 、B ，点C 是AB 的中点，若︱AB ︱=22，OC 的斜率为22，求椭圆的方程。
9、已知椭圆42x +32y =1，试求： （1）过点M （1,1）且被M 点平分的弦所在直线l 的方程。
（2）求斜率为-2的平行弦的中点轨迹方程。
（3）过点（4,2）的直线l ′与椭圆相交，求l ′被截得的弦的中点轨迹方程。
10、设双曲线c ：2221(0)x y a a -=>2221(0)x y a a-=>与直线l ：x+y=1相交与不同的点A 、B（1）求双曲线的离心率e 的取值范围。
（2）设直线l 与y 轴的交点为P ，且PA =125PB ，求a 的值。
11、一条斜率为1的直线l 与离心率为22的椭圆c ：22a x +22b y =1（a ＞b ＞0）交于P 、Q 两点，直线l 与y 轴的交于点R ，且OP ·=-3，PR =3,求直线l 与椭圆c 的方程。
新高考数学圆锥曲线62种题型第二讲 两直线的位置关系(原卷版)
第二节 两直线间的位置关系知识框架知识点归纳1.两条直线的位置关系直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，l 3：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 4：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(其中l 1与l 3是同一直线，l 2与l 4是同一直线)的位置关系如下表：2.直线的交点与方程组解的关系 (1)两直线的交点点P 的坐标既满足直线l 1的方程A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，也满足直线l 2的方程A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，即点P 的坐标是方程组⎩⎨⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解，解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标.(2)两直线的位置关系与方程组解的关系3.距离公式(1)两点间的距离公式平面上任意两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式为|P 1P 2|特别地，原点O (0，0)与任一点P (x ，y )的距离|OP |＝ . (2)点到直线的距离公式平面上任意一点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝ . (3)两条平行线间的距离公式一般地，两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0(C 1≠C 2)间的距离d ＝ . 4.对称问题(1)点P (x 0，y 0)关于点A (a ，b )的对称点为P ′ .(2)设点P (x 0，y 0)关于直线y ＝kx ＋b 的对称点为P ′(x ′，y ′)，则有⎩⎪⎨⎪⎧y ′－y 0x ′－x 0·k ＝－1，y ′＋y 02＝k ·x ′＋x 02＋b ，可求出x ′，y ′. [常用结论]对于直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0：(1)“两直线平行”的充要条件是“A 1B 2＝A 2B 1且A 1C 2≠A 2C 1”； (2)“两直线垂直”的充要条件是“A 1A 2＋B 1B 2＝0”.题型归类题型一 两直线的平行与垂直例1 已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0.(1)试判断l1与l2是否平行；(2)当l1⊥l2时，求a的值.感悟提升 1.当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件.2.在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.题型二两直线的交点与距离问题例2 (1)直线l经过原点，且经过两条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的交点，则直线l的方程为________________.(2)已知直线经过点(1，2)，并且与点(2，3)和(0，－5)的距离相等，则此直线的方程为________________.感悟提升(1)求过两直线交点的直线方程的方法：先求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.(2)利用距离公式应注意：①点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d ＝|y0－b|；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等.题型三对称问题角度1关于点对称例3过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________.角度2关于线对称例4(1)已知入射光线经过点M(－3，4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2，6)，则反射光线所在直线的方程为________.(2)在等腰直角三角形ABC中，|AB|＝|AC|＝4，点P是边AB上异于A，B的一点.光线从点P 出发，经BC，CA反射后又回到点P(如图所示).若光线QR经过△ABC的重心，则AP的长度为________.感悟提升对称问题的求解策略(1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解.(2)中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组解题.题型四直线系方程的应用角度1与平行、垂直有关的直线系例5 (1)过点A(1，－4)且与直线2x＋3y＋5＝0平行的直线方程为________________.(2)经过点A(2，1)且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程为________________.角度2 过两直线交点的直线系例6 已知两条直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点为P ，求过点P 且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程.感悟提升 几种常见的直线系方程(1)与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是Ax ＋By ＋m ＝0(m ≠C ). (2)与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋n ＝0.(3)过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )，但不包括l 2.课时训练一、单选题1．若直线a ，b 的斜率分别为方程x 2－4x －1＝0的两个根，则a 与b 的位置关系为( )A.互相平行B.互相重合C.互相垂直D.无法确定2．已知直线1:250l x y +-=，直线2:310l x y --=的交点为A ，O 为坐标原点，则点A 到原点的距离AO 的长二、多选题7．“曼哈顿距离”是由赫尔曼·闵可夫斯基所创的词汇，是一种使用在几何度量空间的几何学用语．在平面直三、填空题，则PAB的面积的最大值为轴上的任意一点，四、解答题，圆心在直线．已知ABC的顶点AB的方程；在两个条件中任选一个，补充在下面问题中．的平分线所在直线方程为边上的中线所在的直线方程为。
直线与圆锥曲线的位置关系典型例题
1、直线和圆锥曲线位置关系（1）位置关系判断：△法（△适用对象是二次方程，二次项系数不为0）。
其中直线和曲线只有一个公共点，包括直线和双曲线相切及直线与双曲线渐近线平行两种情形；后一种情形下，消元后关于x 或y 方程的二次项系数为0。
直线和抛物线只有一个公共点包括直线和抛物线相切及直线与抛物线对称轴平行等两种情况；后一种情形下，消元后关于x 或y 方程的二次项系数为0。
（2）直线和圆锥曲线相交时，交点坐标就是方程组的解。
当涉及到弦的中点时，通常有两种处理方法：一是韦达定理；二是点差法。
4、圆锥曲线中参数取值范围问题通常从两个途径思考，一是建立函数，用求值域的方法求范围；二是建立不等式，通过解不等式求范围。
例题研究例1、 根据下列条件，求双曲线方程。
（1）与双曲线116y 9x 22=-有共同渐近线，且过点（-3，32）； （2）与双曲线14y 16x 22=-有公共焦点，且过点（23，2）。
分析：法一：（1）双曲线116y 9x 22=-的渐近线为x 34y ±=令x=-3，y=±4，因432<，故点（-3，32）在射线x 34y -=（x ≤0）及x 轴负半轴之间，∴ 双曲线焦点在x 轴上 设双曲线方程为1by ax 2222=-，（a>0，b>0） ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=1b )32(a)3(34a b 2222 解之得：⎪⎩⎪⎨⎧==4b 49a 22 ∴ 双曲线方程为14y 49x 22=-（2）设双曲线方程为1b y a x 2222=-（a>0，b>0）则 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=+1b 2a )23(20b a 222222解之得：⎪⎩⎪⎨⎧==8b 12a 22∴ 双曲线方程为18y 12x 22=-法二：（1）设双曲线方程为λ=-16y 9x 22（λ≠0）∴ λ=--16)32(9)3(22∴ 41=λ ∴ 双曲线方程为14y 49x 22=-（3）设双曲线方程为1k 4y k 16x 22=+--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>+>-0k 40k 16 ∴ 1k42k 16)23(22=+--解之得：k=4∴ 双曲线方程为18y 12x 22=-评注：与双曲线1b y a x 2222=-共渐近线的双曲线方程为λ=-2222b y a x （λ≠0），当λ>0时，焦点在x 轴上；当λ<0时，焦点在y 轴上。
精编高二文科数学直线与圆锥曲线的位置关系题型与练习
精编高二文科数学直线与圆锥曲线的位置关系题型与练习 1直线y =x －1被抛物线y 2=4x 截得线段的中点坐标是_____. 2．已知椭圆：1922=+y x ，过左焦点F 作倾斜角为6π的直线交椭圆于A 、B 两点，求弦AB 的长 3：己知斜率为1的直线l 与双曲线C ：()2222100x y a b a b-=＞，＞相交于B 、D 两点，且BD 的中点为()1,3M ． 求C 的离心率；5：已知椭圆M ：)1(12222≥>=+b a by a x 的离心率为23，点P （0，3/2）到椭圆M 上的点的最远距离为7，（1）求此椭圆的方程 （2）若直线y=kx+4交椭圆M 于A ，B 两点，且OA ，OB 的斜率之和为2，（O 是坐标原点），求斜率k 的值6已知椭圆C ：22221x y a b +=（a>b>0F 且斜率为k （k>0）的直线于C 相交于A 、B 两点，若3AF FB =。
则k =（A ）1 （B （C （D ）27．（本小题满分12分）已知抛物线C ：22(0)y px p =>过点A （1 , -2）。
（I ）求抛物线C 的方程，并求其准线方程；（II ）是否存在平行于OA （O 为坐标原点）的直线L ，使得直线L 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与L 的L 的方程；若不存在，说明理由。
8..若椭圆221axby +=与直线1x y +=交于A,B 两点，M 为AB 的中点，直线OM(O 为原点)的斜率，又OA OB ⊥，求此椭圆的方程。
变式1：已知直线y x b =+与抛物线22x y =交于A,B 两点,且OA OB ⊥(O 为坐标原点),则b 的值是_________________9.已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上没一点到点F （1,0）的距离减去它到y 轴距离的差都是1。
（Ⅰ）求曲线C 的方程（Ⅱ）是否存在正数m ，对于过点M （m ，0）且与曲线C 有两个交点A,B 的任一直线，都有FA ＜0？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由。
精编高三理科数学直线与圆锥曲线位置关系题型与方法
精编高三理科数学直线与圆锥曲线位置关系题型与方法 题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系例题1、已知直线:1l y kx =+与椭圆22:14x y C m+=始终有交点，求m 的取值范围 题型二：弦的垂直平分线问题例题2、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ∆是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。
例题3、已知椭圆1222=+y x 的左焦点为F ，O 为坐标原点。
（Ⅰ）求过点O 、F ，并且与2x =-相切的圆的方程；（Ⅱ）设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围。
题型三：动弦过定点的问题例题4、（07山东）已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3；最小值为1；（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线m kx y l +=：与椭圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。
求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。
题型四：过已知曲线上定点的弦的问题例题5、已知点A 、B 、C 是椭圆E ：22221x y a b+= (0)a b >>上的三点，其中点A (23,0)是椭圆的右顶点，直线BC 过椭圆的中心O ，且0AC BC =，2BC AC =，如图。
(I)求点C 的坐标及椭圆E 的方程；(II)若椭圆E 上存在两点P 、Q ，使得直线PC 与直线QC 关于直线3x =PQ的斜率。
练习：（2009辽宁）已知，椭圆C 以过点A （1，），两个焦点为（－1，0）（1，0）。
（1） 求椭圆C 的方程；（2） E ,F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值。
直线与圆锥曲线的位置关系练习题
直线与圆锥曲线的位置关系时间：45分钟 分值：100分一、选择题(每小题6分，共计36分)1．已知双曲线kx 2－y 2＝1的一条渐近线与直线l ：2x ＋y ＋1＝0垂直，则此双曲线的离心率是( )解析：由题知，双曲线的渐近线方程为kx 2－y 2＝0，即y ＝±kx .由题知直线l 的斜率为－2，则可知k ＝14，代入双曲线方程kx 2－y 2＝1，得x 24－y 2＝1，于是，a 2＝4，b 2＝1，从而c ＝a 2＋b 2＝5，所以e ＝52.答案：A (2．抛物线y 2＝8x 的焦点到双曲线x 212－y24＝1的渐近线的距离为( )A ．1解析：由题意可知，抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)，双曲线x 212－y24＝1的渐近线为y ＝±33x ，所以焦点到双曲线的渐近线的距离为|2×±3|3＋9＝1.答案：A3．已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为( )－y 26＝1 －y 25＝1 －y 23＝1 －y 24＝1解析：设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)， …由题意知c ＝3，a 2＋b 2＝9，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)则有：⎩⎨⎧x 21a 2－y 21b 2＝1x 22a 2－y22b 2＝1，两式作差得： y 1－y 2x 1－x 2＝b 2x 1＋x 2a 2y 1＋y 2＝－12b 2－15a 2＝4b 25a 2， 又AB 的斜率是－15－0－12－3＝1，所以将4b 2＝5a 2代入a 2＋b 2＝9得 a 2＝4，b 2＝5，所以双曲线标准方程是x 24－y 25＝1. 答案：B{4．已知P 为抛物线y 2＝4x 上一个动点，Q 为圆x 2＋(y －4)2＝1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是( )A ．5B ．8 －1 ＋2解析：抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，圆x 2＋(y －4)2＝1的圆心为C (0,4)，设点P 到抛物线的准线距离为d ，根据抛物线的定义有d ＝|PF |，∴|PQ |＋d ＝|PQ |＋|PF |≥(|PC |－1)＋|PF |≥|CF |－1＝17－1.答案：C 5．直线3x －4y ＋4＝0与抛物线x 2＝4y 和圆x 2＋(y －1)2＝1从左到右的交点依次为A 、B 、C 、D ，则|AB ||CD |的值为( )A ．16 C ．4解析：由⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＋4＝0，x 2＝4y .得x 2－3x －4＝0，%∴x A＝－1，x D＝4，直线3x－4y＋4＝0恰过抛物线的焦点F(0,1)，∴|AF|＝y A＋1＝54，|DF|＝y D＋1＝5，∴|AB| |CD|＝|AF|－1|DF|－1＝116.故选B.答案：B图16．如图1，过双曲线上左支一点A作两条相互垂直的直线分别过两焦点，其中一条与双曲线交于点B，若三角形ABF2是等腰直角三角形，则双曲线的离心率为())解析：设|AF2|＝|AB|＝x(x>0)，则|BF2|＝2x.由双曲线定义知，2x－|BF1|＝2a①，x－|AF1|＝2a②，由①②知x＝22a，∴|AF1|＝(22a－2a)．在Rt△F1AF2中，|AF1|2＋|AF2|2＝4c2.即(22－2)2a2＋(22a)2＝4c2，解得e＝5－22，故选B.答案：B二、填空题(每小题8分，共计24分)7．斜率为3的直线l过抛物线y2＝4x的焦点且与该抛物线交于A，B两点，则|AB|＝________.·解析：图2如图2，过A 作AA 1⊥l ，过B 作BB 1⊥l ，抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，直线l 的倾斜角为60°，所以|AF |＝|AA 1|＝|A 1M |＋|AM |＝2＋|AF |·cos60°，所以|AF |＝4，同理得|BF |＝43，故|AB |＝|AF |＋|BF |＝163.答案：1638．已知双曲线x 2－y23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则PA →1·PF →2的最小值为________． 解析：由题可知A 1(－1,0)，F 2(2,0)，设P (x ，y )(x ≥1)，则PA→1＝(－1－x ，－y )，PF →2＝(2－x ，－y )，PA →1·PF →2＝(－1－x )(2－x )＋y 2＝x 2－x －2＋y 2＝x 2－x －2＋3(x 2－1)＝4x 2－x －5，∵x ≥1，函数f (x )＝4x 2－x－5的图象的对称轴为x ＝18，∴当x ＝1时，PA →1·PF→2取最小值－2. 答案：－2【9．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线x －my ＋m ＝0与抛物线交于A 、B 两点，且△OAB (O 为坐标原点)的面积为22，则m 6＋m 4＝________.解析：设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，x ＝my －m 消去x ，得y 2－2mpy ＋2pm ＝0，∴y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝2pm ，(y 1－y 2)2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝4p 2m 2－8pm .又焦点(p2，0)在x －my ＋m ＝0上，∴p ＝－2m ，∴|y 1－y 2|＝4m 4＋m 2，∴S △OAB ＝12×p 2|y 1－y 2|＝22，即－m m 4＋m 2＝2，平方得m 6＋m 4＝2.答案：2三、解答题(共计40分)10．(10分)已知中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为255的椭圆的一个顶点是抛物线y ＝14x 2的焦点，过椭圆右焦点F 的直线l 交椭圆于A 、B 两点，交y 轴于点M ，且MA→＝λ1AF →，MB →＝λ2BF →. (1)求椭圆的方程； |(2)证明：λ1＋λ2为定值．解：(1)由题易知b ＝1，e ＝1－b a 2＝255， 解得a 2＝5，故椭圆的方程为x 25＋y 2＝1.(2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (0，y 0)，由F (2,0)，MA →＝λ1AF →，得⎩⎨⎧x 1＝2λ11＋λ1y 1＝y1＋λ1.由MB →＝λ2BF →，得⎩⎨⎧x 2＝2λ21＋λ2y 2＝y1＋λ2.又A 、B 在椭圆上，将其分别代入椭圆方程整理知， λ1，λ2是方程λ2＋10λ＋5－5y 20＝0的两根， 所以λ1＋λ2＝－10为定值．}11．(15分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率e ＝22，短轴长为2.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点F 1的直线l 与该椭圆交于M 、N 两点，且|F 2M →＋F 2N →|＝2263，求直线l 的方程．解：(1)由条件有⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，b ＝a 2－c 2＝1，解得a ＝2，c ＝1.则椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1. (2)由(1)知F 1(－1,0)、F 2(1,0)．若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x ＝－1. %将x ＝－1代入椭圆方程得y ＝±22.不妨设M (－1，22)、N (－1，－22)，∴F 2M →＋F 2N →＝(－2，22)＋(－2，－22)＝(－4,0)．∴|F 2M →＋F 2N →|＝4，与题设矛盾．∴直线l 的斜率存在．设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)， 设M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋1，消去y 得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0.由根与系数的关系知，x 1＋x 2＝－4k 21＋2k 2，从而y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2＋2)＝2k1＋2k 2.[又∵F 2M →＝(x 1－1，y 1)，F 2N →＝(x 2－1，y 2)，∴F 2M →＋F 2N →＝(x 1＋x 2－2，y 1＋y 2)．∴|F 2M →＋F 2N →|2＝(x 1＋x 2－2)2＋(y 1＋y 2)2＝(8k 2＋21＋2k 2)2＋(2k 1＋2k 2)2＝416k 4＋9k 2＋14k 4＋4k 2＋1. ∴416k 4＋9k 2＋14k 4＋4k 2＋1＝(2263)2，化简得40k 4－23k 2－17＝0.解得k 2＝1或k 2＝－1740(舍去)．∴k ＝±1.∴所求直线l 的方程为y ＝x ＋1或y ＝－x －1.12．(15分)(2011·江苏高考)—图3如图3，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆x2 4＋y22＝1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中点P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C.连结AC，并延长交椭圆于点B.设直线PA的斜率为k.(1)当直线PA平分线段MN时，求k的值；(2)当k＝2时，求点P到直线AB的距离d；(3)对任意的k>0，求证：PA⊥PB.解：(1)由题设知：a＝2，b＝2，故M(－2,0)，N(0，－2)，所以线段MN中点的坐标为(－1，－22)．由于直线PA平分线段MN，故直线PA过线段MN的中点，又直线PA过坐标原点，所以k＝－22－1＝22.图4(2)直线PA的方程为y＝2x，代入椭圆方程得x24＋4x22＝1，#解得x＝±23，因此P(23，43)，A(－23，－43)．于是C(23，0)，直线AC的斜率为0＋4323＋23＝1，故直线AB 的方程为x －y －23＝0. 因此d ＝|23－43－23|12＋12＝223. (3)证法一：将直线PA 的方程y ＝kx 代入x 24＋y 22＝1，解得x ＝±21＋2k 2.记μ＝21＋2k 2，则P (μ，μk )， A (－μ，－μk )．于是C (μ，0)．故直线AB 的斜率为0＋μk μ＋μ＝k 2，其方程为y ＝k2(x －μ)，代入椭圆方程得(2＋k 2)x 2－2μk 2x －μ2(3k 2＋2)＝0，解得x ＝μ3k 2＋22＋k 2或x ＝－μ.因此B (μ3k 2＋22＋k 2，μk 32＋k 2)．于是直线PB 的斜率k 1＝μk 32＋k 2－μk μ3k 2＋22＋k 2－μ＝k 3－k 2＋k 23k 2＋2－2＋k 2＝－1k .因此k 1k ＝－1，所以PA ⊥PB .证法二：设P (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1>0，x 2>0，x 1≠x 2，A (－x 1，－y 1)，C (x 1,0)．设直线PB ，AB 的斜率分别为k 1，k 2.因为C 在直线AB上，所以k 2＝0－－y 1x 1－－x 1＝y 12x 1＝k2.从而k 1k ＋1＝2k 1k 2＋1＝2·y 2－y 1x 2－x 1·y 2－－y 1x 2－－x 1＋1＝2y 22－2y 21x 22－x 21＋1＝x 22＋2y 22－x 21＋2y 21x 22－x 21＝4－4x 22－x 21＝0. 因此k 1k ＝－1，所以PA ⊥PB .（。
直线与圆锥曲线的位置关系
1．直线:0l Ax By C++=与圆锥曲线:()0C f x y=，的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离．对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．这三种位置关系的判定条件可归纳为：设直线:0l Ax By C++=，圆锥曲线:()0C f x y=，，由()0Ax By Cf x y++=⎧⎨=⎩，，，，即将直线l的方程与圆锥曲线C的方程联立，消去y便得到关于x的一元二次方程20ax bx c++=（当然，也可以消去x得到关于y的一元二次方程），通过一元二次方程解的情况判断关系，见下表：注意：（1）直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件；（2）由于抛物线及双曲线问题的特殊性，有时借助于数形结合可能会更直观、更方便，我们知道：当直线与抛物线的对称轴平行或与双曲线的渐近线平行时，都只有一个交点，但此时并非相切.2．应用例1 若直线1y kx=+与焦点在x轴上的椭圆2215x ym+=总有公共点，求m的取值范围．解法一：考虑到直线与椭圆总有公共点，由直线与圆锥曲线的位置关系的充要条件可求．解：由椭圆方程及椭圆的焦点在x轴上，知05m<<．22115y kx x y m =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得22(5)105(1)0m k x kx m +++-=． 又∵直线与椭圆总有公共点，∴上述方程0∆≥对一切实数k 成立，即22(10)4(5)5(1)0k n k m -⨯+⨯-=，亦即251k m -≥对一切实数k 成立．10m -∴≤，即1m ≥．故m 的取值范围为[)15m ∈，．解法二：由于直线过定点(01)，，而直线与椭圆总有公共点，所以定点(01)，必在椭圆内部或边界上，由点与椭圆的位置关系的充要条件易求．另解：由椭圆的方程及椭圆的焦点在x 轴上知05m <<．又∵直线与椭圆总有公共点．∴直线所经过的定点(01)，必在椭圆内部或边界上． 220115m+∴≤，即1m ≥． 故m 的取值范围为[)15m ∈，．评析：解法一由直线与圆锥曲线的位置关系的充要条件求，思路易得，但计算量大；解法二由点与圆锥曲线的位置关系的充要条件求，思路灵活，且简捷．例2 已知直线(1)1y a x =+-与曲线2y ax =恰有一个公共点，求实数a 的值．解：联立方程2(1)1y a x y ax =+-⎧⎨=⎩，， （1）当0a =时，此方程组恰有一解为10.x y =⎧⎨=⎩， （2）当0a ≠时，消去x ，整理得2110a y y a+--=． 若1a =-，则方程组恰有一解为11.x y =-⎧⎨=-⎩， 若1a ≠-，令0∆=，可解得45a =-． 所以，当4015a =--，，时，原直线与曲线恰有一个公共点． 评析：上面三个解的几何意义是：当0a =时，曲线2y ax =蜕化成直线0y =，此时已1y x =-，它恰有一个交点(10)，；当1a =-时，直线与抛物线对称轴平行，恰有一个交点；当45a =-时，直线与抛物线相切．。
高考冲刺：直线与圆锥曲线的位置关系(理基础)巩固练习
设 的方程为 ．
由 消去 并化简得： ．
设 ， ，则 ， ．
因为 ，所以 ．
．
所以 ．
此时 ，
故所求直线 的方程为 ，或 ．
又CD为弦，故圆心M为CD中点.
因此只需证CD中点M满足|MA|=|MB|=|MC|=|MD|
由
由
则
又
∴A、B、C、D在以CD中点M(-3,6)为圆心， 为半径的圆上.
11．解析：
设F为焦点，A(x1,y1), B(x2,y2)，则 ,
其到y轴的距离为 ,所以要使中点Q到y轴的距离最小，只需 最小即可，
∴4(m+1)>-p,又∵p>0,∴4p(m+1)>-p2,即Δ=p2+4p(m+1)>0.
即直线l与抛物线C总有二个不同的交点.
（2）设Q、R两点坐标分别为Q(x1,y1),R(x2,y2),
∵OQ⊥OR,∴x1x2+y1y2=0.
又∵x1=m-y1, x2=m-y2，代入上式整理得2y1y2-m(y1+y2)+m2=0.
4．抛物线 上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是( )
A． B． C． 0 D．
5. 过椭圆的左焦点F且倾斜角为60°的直线交椭圆于A、B两点，若|FA|=2|FB|，则椭圆的离心率是( )
A. B. C. D.
6.如果椭圆 的弦被点A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是___________.
从而有x1+x2=2x0,y1+y2=2y0.
由 ，
，
由M(x0,y0)在直线
从而有
10.解析：
圆锥曲线与直线位置关系
1.）已知点1A (－2,0),2A (2,0)，过点1A 的直线1l 与过点2A 的直线2l 相交于点M ，设直线1l 斜率为1k ，直线2l 斜率为2k ，且21k k =43-。
（1）求直线1l 与2l 的交点M 的轨迹方程；（2）已知)0,1(2F ，设直线l ：m kx y +=与（1）中的轨迹M 交于P 、Q 两点，直线P F 2、Q F 2的倾斜角分别为βα、，且πβα=+，求证：直线l 过定点，并求该定点的坐标 2.已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的中心在原点，右顶点为A （2，0），其离心率与双曲1322=-x y 的离心率互为倒数。
（1）求椭圆的方程；（2）设过椭圆顶点B （0,b ），斜率为k 的直线交椭圆于另一点D ，交x 轴于点E ，且|BD|，|BE|，|DE|成等比数列，求2k 的值。
3.已知圆C 的方程为22(4)4x y +-=，点O 是坐标原点.直线:l y kx =与圆C 交于M 、N 两点.（Ⅰ）求k 的取值范围；（Ⅱ）设(,)Q m n 是线段MN 上的点，且222211||||||OQ OM ON =+.请将n 表示为m 的函数.4.过抛物线x y 42=的顶点作射线,OA OB 与抛物线交于B A ,， 若2OA OB ⋅=，求证：直线AB 过定点5. 己知曲线21:1(0)C y x y =-+≤与x 袖交于A ，B 两点，点P 为x 轴上方的一个动点，点P 与A,B 连线的斜率之积为-4 (I)求动点P 的轨迹2C 的方程；(Il)过点B 的直线l 与1C ，2C 分别交于点M ,Q （均异于点A ，B ），若以MQ 为直径的圆经过点A ，求∆AMQ 的面积6.已知椭圆具有性质：若M N 、是椭圆C 上关于原点对称的两个点，P 是椭圆上任意一点，则当直线,PM PN 的斜率都存在时，其乘积恒为定值。
类比椭圆，写出双曲线2222':1(0,0)x y C a b a b-=>>的类似性质，并加以证明。
高考数新人教A一轮复习专题练习 9.9 直线与圆锥曲线的位置关系
第9讲 直线与圆锥曲线的位置关系随堂演练巩固1.已知直线x -y -1=0与抛物线2y ax =相切,则a 等于( ) A.12B.13C.14D.4【答案】C【解析】由210x y y ax ⎧⎪⎨⎪⎩--=,= 消去y 得210ax x -+=,所以0140a a ≠,⎧⎨-=,⎩ 解得14a =.2.已知双曲线22134y x -=,过点M (m ,0)作垂直于双曲线实轴的直线与双曲线交于两点A 、B.若△AOB 是锐角三角形(O 为坐标原点),则实数m 的取值范围是( )A.(-B.(0)(0-⋃,C.()-∞,-⋃+∞D.(-⋃ 【答案】D【解析】依题意可得((A m B m ,,,-,∴2(21)(m OA m OB m =,-,=,-.∵△AOB 是锐角三角形,必有AOB ∠是锐角,即OA 与OB 的夹角为锐角.由0OA OB ⋅>,得224403m m -+>,∴m -<<.但根据双曲线的范围知,应有m<或m>. 故m 的取值范围是(-⋃.3.若P 为双曲线22115y x -=右支上一点,M 、N 分别是圆2(4)x +24y +=和22(4)1x y -+=上的点,则|PM |-|PN |的最大值为 . 【答案】5【解析】已知两圆的圆心(-4,0)和(4,0)(记为1F 和2)F 恰为双曲线22115y x -=的两焦点. 当|PM |最大,|PN |最小时,|PM |-|PN |最大,|PM |最大值为P 到圆心1F 的距离|1PF |与圆1F 半径之和,同样|PN |=最小|2PF |-1,从而(|PM |-|PN |max )=|1PF |+2-(|2PF |-1)=|1PF |-|2PF |+3=2a +3=5.4.过原点的直线l 与双曲线22143y x -=有两个交点,则直线l 的斜率的取值范围是 .【答案】(【解析】设l :y =kx ,代入22143y x -=中, 得2221143k x x -=, 即221()1043k x --=, 由0∆>知k ,<< 5.已知双曲线方程:2213y x -=,则以A(2,1)为中点的弦所在直线l 的方程是 . 【答案】6x -y -11=0【解析】设l 与双曲线交于11()P x y ,和22()Q x y ,,则221122221313y x y x ⎧-=,⎪⎪⎨⎪-=.⎪⎩①②②-①,得212121211()()()()03x x x x y y y y +--+-=,而121242x x y y +=,+=,∴212124()()03x x y y ---=.∴21216y y x x -=,-即6l k =.∵点A(2,1)在双曲线的内部,∴直线l 的方程为y -1=6(x -2),即6x -y -11=0.课后作业夯基 基础巩固1.AB 为过椭圆22221y x a b+=中心的弦,F (c ,0)为该椭圆的焦点,则△FAB 的最大面积为( ) A.2b B.ab C.ac D.bc【答案】D【解析】设A 、B 两点的坐标为11()x y ,、11()x y -,-,则12FABS=|OF ||12y |=c |1y |bc ≤.2.过双曲线224x y -=上任一点M 作它的一条渐近线的垂线段,垂足为N ,O 是坐标原点,则△OMN的面积是( ) A.1B.2C.3D.不确定【答案】A【解析】过双曲线上任一点00()M x y ,作渐近线y x =±的垂线,垂足分别为N ,N ′. |MN |⋅|MN ′|==42=2,故1OMNS =.3.双曲线221x y -=的左焦点为F ,点P 为其左支下半支上任意一点(异于顶点),则直线PF 的斜率的变化范围是( ) A.(0)-∞,B.(1),+∞C.(0)(1)-∞,⋃,+∞D.(1)(1)-∞,-⋃,+∞【答案】C【解析】数形结合法,与渐近线斜率比较.可得答案为C.4.抛物线的顶点在原点,焦点在x 轴上,而且被直线2x -y +1=0则抛物线的方程是( )A.212y x =-或24y x =B.24y x =-或212y x = C.210y x =-或24y x =D.26y x =-或210y x = 【答案】B【解析】设所求抛物线为2(y ax a =∈R 且0)a ≠,由2210y ax x y ⎧=,⎨-+=,⎩得220y ay a -+=.若弦两端点纵坐标分别为1y 和2y ,则|12y y -|=于是弦长=解得a =12或a =-4. 5.已知焦点为12(20)(20)F F -,,,的椭圆与直线l :x +y -9=0有公共点,则椭圆长轴长的最小值是( )B.170D.852【答案】A【解析】方法一:依题意,设椭圆方程为22221(y x a b a b+=>>0),且c =2,则224b a =-. 将椭圆方程与直线方程联立,得22221490y x aa x y ⎧+=,⎪-⎨⎪+-=,⎩ 消去参数y ,整理得22224(24)18850a x a x a a --+-=.因为直线l 与椭圆有公共点,所以0∆≥, 即22224(18)4(24)(85)0a a a a ---≥, 整理得422933400a a -+≥.解得2852a ≥,或24(a ≤舍去),∴2a ≥方法二:如图,可设P 为椭圆与直线l 的公共点,则|1PF |+|2PF |=2a ,所以问题转化为当P 在l 上运动时,求|1PF |+|2PF |的最小值. 作2F 关于l 的对称点2F ′00()x y ,,则000(1)1229022y x x y ⎧-=-,⎪-⎪⎨+⎪+-=,⎪⎩ 解得 0097x y =,⎧⎨=,⎩ 即2F ′(9,7). 所以|1PF |+|2PF |=|1PF |+|2PF ′|≥|12F F′|==6.已知椭圆22143y x +=,若在此椭圆上存在不同的两点A 、B 关于直线y =4x +m 对称,则实数m 的取值范围是 ( )A.(B.(C.(D.( 【答案】B【解析】设1122()()A x y B x y AB ,,,,的中点为M (x ,y ), 由题意知211212211224AB y y k x x x y y y x x -==-,+=,+=,-213x +21412y = ①22223412x y ,+=②.①②两式相减得223(x -222121)4()0x y y +-=,即12123()y y x x +=+,即y =3x ,与y =4x +m 联立得x =-m ,y =-3m ,而M (x ,y )在椭圆的内部,则229143m m +<,即m <<7.当x >1时,直线y =ax -a 恒在抛物线2y x =的下方,则a 的取值范围是 . 【答案】(4)-∞,【解析】由题意联立 2y x y ax a ⎧=,⎨=-,⎩ 整理可得20x ax a -+=,由240a a ∆=-=,解得a =0或a =4,此时直线与抛物线相切,因为直线横过定点(1,0),结合图形可知当(4)1a x ∈-∞,,>时直线y =ax -a 恒在抛物线2y x =的下方.8.已知直线l 与椭圆2222x y +=交于1P 、2P 两点,线段12PP 的中点为P ,设直线l 的斜率为11(0)k k ≠,直线OP 的斜率为2k ,则12k k 的值等于 .【答案】12-【解析】设111222()()P x y P x y ,,,,则1212()22x x y y P ++,,2k =2212212111222122121y y y y y y k k k x x x x x x +--,=,=+--. 由 221122222222x y x y ⎧+=,⎨+=,⎩ 相减得222221211()2y y x x -=--. 故1212k k =-.9.已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点,焦点在x 轴上,左、右焦点分别为1F 、2F ,且它们在第一象限的交点为P ,△12PF F 是以1PF 为底边的等腰三角形.若|1PF |=10,双曲线的离心率的取值范围为(1,2),则该椭圆的离心率的取值范围是 . 【答案】12()35,【解析】设它们的焦距为2c ,则|2PF |=|12F F |=2c ,双曲线的离心率121025c c e c c==,--由(12)5c c ∈,-得51023c <<. 所以椭圆的离心率2212()102535c c e c c ==∈,++.10.过抛物线22(0)x py p =>的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A,B 两点,A,B 在x 轴上的正射影分别为D,C.若梯形ABCD的面积为,则p= . 【答案】2【解析】抛物线的焦点为(0)2p ,,设11()A x y ,22()B x y ,,,直线AB 的方程为2p y x -=,即y =x +2p .联立 222p y x x py ⎧=+,⎪⎨⎪=,⎩ 消去y ,得2220x px p --=.∴12(1(1x p x p =+,=-. ∴12122322p py y x x p p p +=+++=+=,|CD |=|1x -2x|=. 由1(2ABCDS =梯形|AD |+|BC |1)32CD p ⋅=⨯⨯= 解得24p =,∴2p =±. ∵p>0,∴p=2.11.已知点A(0,2)和抛物线C:26y x =,求过点A 且与抛物线C 相切的直线l 的方程.【解】设直线l 的方程为y =kx +2,这个方程与抛物线C 的方程联立,得方程组226y kx y x =+,⎧⎨=.⎩ 当k =0时,由方程组得2643x x =,=,可知此时直线l 与抛物线相交于点2(2)3,.当0k ≠时,由方程组消去x ,得方程26120ky y -+=.(*)关于y 的二次方程(*)的判别式3648k ∆=-.由∆=0,得34k =,可知此时直线l 与抛物线C 有一个公共点,即它们相切.直线l 的方程为3x -4y +8=0.当直线l 的斜率不存在时,直线l 就是y 轴,其方程为x =0. 所以,直线l 的方程为3x -4y +8=0,或x =0.12.已知椭圆22221(y x a b a b+=>>0)的一个焦点在直线l :x =1上,其离心率12e =.设P 、Q 为椭圆上不同的两点,且弦PQ 的中点T 在直线l 上,点1(0)4R ,.(1)求椭圆的方程;(2)试证:对于所有满足条件的P 、Q ,恒有|RP |=|RQ |. 【解】(1)椭圆的一个焦点在直线l :x =1上,所以c =1. 又因为离心率12e =,即12c a =,所以a =2,从而23b =所以椭圆的方程为22143y x +=.(2)证明:设01122(1)()()T y P x y Q x y ,,,,,, 则RT 03()4y PQ =,,2121()x x y y =-,-,RT PQ ⋅210213()()4x x y y y =-+-.又因为P 、Q 都在椭圆22143y x +=上, 所以22221122114343x y x y +=,+=,两式相减得1212121211()()()()043x x x x y y y y -++-+=, 因为点T 是PQ 的中点,所以1212022x x y y y +=,+=, 于是1201212()()023x x y y y -+-=,所以120123()()04x x y y y -+-=,即RT PQ ⋅=0,所以RT PQ ⊥,即R T 是线段PQ 的垂直平分线,所以恒有|RP |=|RQ |.13.已知椭圆1C :22221(y x a b a b+=>>0)的右顶点为A(1,0),过1C 的焦点且垂直长轴的弦长为1.(1)求椭圆1C 的方程.(2)设点P 在抛物线2C :2(y x h =+h ∈R )上2C ,在点P 处的切线与1C 交于点M ,N .当线段AP 的中点与MN 的中点的横坐标相等时,求h 的最小值.【解】(1)由题意,得121b b a=,⎧⎪⎨⋅=,⎪⎩从而21a b =,⎧⎨=.⎩因此,所求的椭圆方程为2214y x +=. (2)设11()M x y ,,2(N x ,22)()y P t t h ,,+, 则抛物线2C 在点P 处的切线斜率为y ′|2x t t ==, 直线MN 的方程为y =2t x -2t h+将上式代入椭圆1C 的方程中,得2224(2)40x tx t h +-+-=, 即222224(1)4()()t x t t h x t h +--+--4=0. ① 因为直线MN 与椭圆1C 有两个不同的交点, 所以①式中的422116[2(2)4]0t h t h ∆=-++-+>. ②设线段MN 的中点的横坐标是3x ,则21232()22(1)x x t t h x t +-==+. 设线段PA 的中点的横坐标是4x ,则412t x +=.由题意,得34x x =, 即2(1)t h t +++1=0. ③由③式中的22(1)40h ∆=+-≥,得1h ≥,或3h ≤-. 当3h ≤-时,h 22040h +<,-<, 则不等式②不成立,所以1h ≥.当h=1时,代入方程③得t=-1,将h=1,t=-1代入不等式②,检验成立. 所以,h 的最小值为1. 拓展延伸14.(2012江西宜春三校联考)已知椭圆E 的中心在坐标原点,焦点在x 轴上,离心率为12,且椭圆E 上一点到两个焦点距离之和为124l l ,,是过点P (0,2)且互相垂直的两条直线1l ,交E 于A,B 两点2l ,交E 于C,D 两点,AB ,CD 的中点分别为M ,N . (1)求椭圆E 的方程; (2)求1l 的斜率k 的取值范围; (3)求OM ON ⋅的取值范围.【解】(1)设椭圆方程为22221(y x a b a b+=>>0), 由 2221224c a a a b c ⎧=,⎪⎪=,⎨⎪=+,⎪⎩得2a b =,⎧⎪⎨=⎪⎩ ∴椭圆方程为22143y x +=. (2)由题意知,直线1l 的斜率存在且不为零. ∵1l :y =kx +2,∴2l :12y x k=-+.由 221432y x y kx ⎧+=,⎪⎨⎪=+,⎩ 消去y 并化简整理, 得22(34)1640k x kx +++=.根据题意22(16)16(34)0k k ,∆=-+>,解得214k >.同理得2211()44k k ->,<,∴21114(2)(2)422k k <<,∈-,-⋃,.(3)设112200()()()A x y B x y M x y ,,,,,, 那么1221634kx x k+=-,+∴12028234x x k x k +==-,+ 0026234y kx k =+=,+∴2286()3434k M k k-,,++同理得2218()6()1134()34()k N k k--,,+-+- 即2286()4433k N k k,++.∴OM ON ⋅2222228866284413434332512()k k k k k k k k=-⋅+⋅=-++++++. ∵2144k <<,∴2217124k k≤+<.∴22287471192512()k k-≤-<-,++即OM ON ⋅的取值范围是74[)719-,-.。
专题练 第26练 直线与圆锥曲线的位置关系
第26练 直线与圆锥曲线的位置关系1．(2022·全国乙卷)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，点A 在C 上，点B (3,0)，若|AF |＝|BF |，则|AB |等于( )A ．2B ．2 2C ．3D ．3 2 答案 B解析 方法一 由题意可知F (1,0)，抛物线的准线方程为x ＝－1.设A ⎝⎛⎭⎫y 24，y 0， 则由抛物线的定义可知|AF |＝y 204＋1.因为|BF |＝3－1＝2，所以由|AF |＝|BF |，可得y 204＋1＝2，解得y 0＝±2，所以A (1,2)或A (1，－2)． 不妨取A (1,2)， 则|AB |＝(1－3)2＋(2－0)2＝8＝2 2.方法二 由题意可知F (1,0)，故|BF |＝2， 所以|AF |＝2.因为抛物线的通径长为2p ＝4， 所以AF 的长为通径长的一半， 所以AF ⊥x 轴， 所以|AB |＝22＋22＝8＝2 2.2．(2020·全国Ⅰ)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2－y 23＝1的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且|OP |＝2，则△PF 1F 2的面积为( ) A.72 B ．3 C.52 D ．2 答案 B解析 方法一 由题意知a ＝1，b ＝3，c ＝2， F 1(－2,0)，F 2(2,0)，如图，因为|OF 1|＝|OF 2|＝|OP |＝2，所以点P 在以F 1F 2为直径的圆上， 故PF 1⊥PF 2，则|PF 1|2＋|PF 2|2＝(2c )2＝16.由双曲线的定义知||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝2， 所以|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|＝4， 所以|PF 1||PF 2|＝6，所以△PF 1F 2的面积为12|PF 1||PF 2|＝3.方法二 由双曲线的方程可知，双曲线的焦点F 1，F 2在x 轴上， 且|F 1F 2|＝21＋3＝4.设点P 的坐标为(x 0，y 0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧x 20－y 203＝1，x 20＋y 20＝2，解得|y 0|＝32.所以△PF 1F 2的面积为 12|F 1F 2|·|y 0|＝12×4×32＝3. 方法三 由二级结论焦点△PF 1F 2的面积 S ＝b 2tan θ2＝3tan 45°＝3.3．(2014·全国Ⅱ)设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )A.334B.938C.6332D.94答案 D解析 由已知得焦点坐标为F ⎝⎛⎭⎫34，0， 因此直线AB 的方程为y ＝33⎝⎛⎭⎫x －34， 即4x －43y －3＝0.方法一 联立抛物线方程化简得4y 2－123y －9＝0， 故|y A －y B |＝(y A ＋y B )2－4y A y B ＝6.因此S △OAB ＝12|OF ||y A －y B |＝12×34×6＝94.方法二 联立抛物线方程得x 2－212x ＋916＝0，故x A ＋x B ＝212.根据抛物线的定义有|AB |＝x A ＋x B ＋p ＝212＋32＝12，同时原点到直线AB 的距离为h ＝|－3|42＋(－43)2＝38， 因此S △OAB ＝12|AB |·h ＝94.4．(2013·全国Ⅰ)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( ) A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 答案 D解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1， ①x 22a 2＋y22b 2＝1， ②由①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＝－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2，∴y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2). ∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2，∴k AB ＝b 2a 2，又k AB ＝0－(－1)3－1＝12，∴b 2a 2＝12，∴a 2＝2b 2， ∴c 2＝a 2－b 2＝b 2＝9， ∴b ＝c ＝3，a ＝32， ∴E 的方程为x 218＋y 29＝1.5．(多选)(2022·新高考全国Ⅰ)已知O 为坐标原点，点A (1,1)在抛物线C ：x 2＝2py (p >0)上，过点B (0，－1)的直线交C 于P ，Q 两点，则( ) A ．C 的准线为y ＝－1 B ．直线AB 与C 相切 C ．|OP |·|OQ |>|OA |2 D ．|BP |·|BQ |>|BA |2 答案 BCD解析 如图，因为抛物线C 过点A (1,1)，所以1＝2p ，解得p ＝12，所以C ：x 2＝y 的准线为y＝－14，所以A 错误；因为x 2＝y ，所以y ′＝2x ，所以y ′|x ＝1＝2，所以C 在点A 处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1，又点B (0，－1)在直线y ＝2x －1上，所以直线AB 与C 相切，所以B 正确；设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，直线PQ 的方程为y ＝kx －1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2＝y 得x 2－kx ＋1＝0，所以x 1＋x 2＝k ，x 1x 2＝1，且Δ＝k 2－4>0，得k >2或k <－2， 所以|OP |·|OQ |＝x 21＋y 21·x 22＋y 22＝(x 21＋x 41)(x 22＋x 42)＝(1＋x 21)(1＋x 22)·x 1x 2＝1＋(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＋x 21x 22＝k 2>2＝|OA |2，所以C 正确；|BP |·|BQ |＝x 21＋(y 1＋1)2·x 22＋(y 2＋1)2＝x 21＋(x 21＋1)2·x 22＋(x 22＋1)2 ＝(x 41＋3x 21＋1)(x 42＋3x 22＋1)＝x 41x 42＋(3x 21x 22＋3)(x 21＋x 22)＋x 41＋x 42＋9x 21x 22＋1 ＝6(x 21＋x 22)＋x 41＋x 42＋11 ＝6(x 21＋x 22)＋(x 21＋x 22)2＋9＝6(k 2－2)＋(k 2－2)2＋9 ＝(k 2＋1)2＝k 2＋1>5＝|BA |2，所以D 正确．6．(2015·全国Ⅰ)已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0,66)．当△APF 周长最小时，该三角形的面积为________． 答案 12 6解析 设左焦点为F 1，|PF |－|PF 1|＝2a ＝2，∴|PF |＝2＋|PF 1|，△APF 的周长为|AF |＋|AP |＋|PF |＝|AF |＋|AP |＋2＋|PF 1|，△APF 周长最小即为|AP |＋|PF 1|最小，当A ，P ，F 1在一条直线时最小，过AF 1的直线方程为x －3＋y66＝1，与x 2－y 28＝1联立，解得P 点坐标为(－2，26)，此时11APF AF F F PF S S S ==△△△－ 7．(2019·全国Ⅰ)已知抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P .(1)若|AF |＋|BF |＝4，求l 的方程； (2)若AP →＝3PB →，求|AB |.解 设直线l ：y ＝32x ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．(1)由题设得F ⎝⎛⎭⎫34，0， 故|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋32，由题设可得x 1＋x 2＝52.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x ，可得9x 2＋12(t －1)x ＋4t 2＝0， 令Δ>0，得t <12，则x 1＋x 2＝－12(t －1)9.从而－12(t －1)9＝52，得t ＝－78.所以l 的方程为y ＝32x －78.(2)由AP →＝3PB →可得y 1＝－3y 2， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x ，可得y 2－2y ＋2t ＝0， 所以y 1＋y 2＝2，从而－3y 2＋y 2＝2， 故y 2＝－1，y 1＝3，代入C 的方程得x 1＝3，x 2＝13，即A (3,3)，B ⎝⎛⎭⎫13，－1， 故|AB |＝4133. 8．(2022·新高考全国Ⅰ)已知点A (2,1)在双曲线C ：x 2a 2－y 2a 2－1＝1(a >1)上，直线l 交C 于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 的斜率之和为0. (1)求l 的斜率；(2)若tan ∠P AQ ＝22，求△P AQ 的面积．解 (1)将点A 的坐标代入双曲线方程得4a 2－1a 2－1＝1，化简得a 4－4a 2＋4＝0，得a 2＝2， 故双曲线C 的方程为x 22－y 2＝1.由题易知直线l 的斜率存在， 设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ， P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，联立直线l 与双曲线C 的方程，消y 整理得 (2k 2－1)x 2＋4kmx ＋2m 2＋2＝0， 故x 1＋x 2＝－4km2k 2－1，x 1x 2＝2m 2＋22k 2－1.k AP ＋k AQ ＝y 1－1x 1－2＋y 2－1x 2－2＝kx 1＋m －1x 1－2＋kx 2＋m －1x 2－2＝0，化简得2kx 1x 2＋(m －1－2k )(x 1＋x 2)－4(m －1)＝0， 故2k (2m 2＋2)2k 2－1＋(m －1－2k )⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 2k 2－1－4(m －1)＝0， 整理得(k ＋1)(m ＋2k －1)＝0， 又直线l 不过点A ，即m ＋2k －1≠0， 故k ＝－1.(2)不妨设直线P A 的倾斜角为θ⎝⎛⎭⎫0<θ<π2， 由题意知∠P AQ ＝π－2θ， 所以tan ∠P AQ ＝－tan 2θ＝2tan θtan 2θ－1＝22，解得tan θ＝2或tan θ＝－22(舍去)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y 1－1x 1－2＝2，x 212－y 21＝1，得x 1＝10－423，所以|AP |＝3|x 1－2|＝43(2－1)3，同理得x 2＝10＋423，所以|AQ |＝3|x 2－2|＝43(2＋1)3.因为tan ∠P AQ ＝22， 所以sin ∠P AQ ＝223，故S △P AQ ＝12|AP ||AQ |sin ∠P AQ＝12×43(2－1)3×43(2＋1)3×223＝1629.9．(2022·赤峰模拟)若椭圆x 216＋y 29＝1的弦被点(2,1)平分，则这条弦所在的直线方程是( )A ．x －2y ＝0B ．3x ＋y －7＝0C ．x ＋2y －4＝0D ．9x ＋8y －26＝0答案 D解析 设弦的两个端点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则x 2116＋y 219＝1，x 2216＋y 229＝1， 两式作差可得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)16＝－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)9，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－9(x 1＋x 2)16(y 1＋y 2)＝－9×416×2＝－98＝k AB.即弦所在直线的斜率为－98，直线方程为y－1＝－98(x－2)，整理得9x＋8y－26＝0.10．抛物线y2＝4x的焦点弦被焦点分为长是m和n的两部分，则m与n的关系是() A．m＋n＝mn B．m＋n＝4C．mn＝4 D．无法确定答案 A解析抛物线的焦点F(1,0)，准线x＝－1，设焦点弦所在直线方程为y＝k(x－1)，把它代入y2＝4x得k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0，设焦点弦与抛物线交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝1，由抛物线定义得|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1，∴m＋n＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝(x1＋x2)＋2，mn＝(x1＋1)(x2＋1)＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＝(x1＋x2)＋2，∴m＋n＝mn.11．(多选)(2022·茂名模拟)已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，准线为l，P是抛物线C上第一象限的点，|PF|＝5，直线PF与抛物线C的另一个交点为Q，则下列选项正确的是() A．点P的坐标为(4,4)B．|QF|＝5 4C．S△OPQ＝10 3D．过点M(x0，－1)作抛物线C的两条切线MA，MB，其中A，B为切点，则直线AB的方程为x0x－2y＋2＝0答案ABD解析对于A，因为|PF|＝5，所以由抛物线的定义得y P＋1＝5，即y P＝4，所以x2P＝4y P＝16，且点P在第一象限，所以坐标为(4,4)，则A正确；对于B ，l PF 的直线方程为y ＝34x ＋1，由y ＝34x ＋1与x 2＝4y 联立得，Q ⎝⎛⎭⎫－1，14， 由两点间的距离公式得|QF |＝54，则B 正确；对于C ，S △OPQ ＝12|OF ||x P －x Q |＝12×1×5＝52，则C 错误；对于D ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由x 2＝4y得，y ＝x 24，则y ′＝x2，MA 的切线方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)，即y －y 1＝x 12x －x 212，由x 21＝4y 1得，y ＝x 12x －y 1， 把点M (x 0，－1)代入y ＝x 12x －y 1得，x 0x 1－2y 1＋2＝0， 同理x 0x 2－2y 2＋2＝0，即A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点满足方程x 0x －2y ＋2＝0， 所以AB 的方程为x 0x －2y ＋2＝0，则D 正确．12．(2022·玉林模拟)抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 到准线的距离为2，过点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，则|AF |·|BF |的最小值是( ) A ．2 B. 2 C ．4 D ．2 2 答案 C解析 由题意知p ＝2，∵1|AF |＋1|BF |＝2p ＝1，∴1＝1|AF |＋1|BF |≥21|AF |·1|BF |， 得|AF |·|BF |≥4.13．(2022·杭州模拟)已知双曲线H 的两条渐近线互相垂直，过H 的右焦点F 且斜率为3的直线与H 交于A ，B 两点，与H 的渐近线交于C ，D 两点．若|AB |＝5，则|CD |＝______. 答案 3 5解析 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则其渐近线方程为y ＝±bax ，因为双曲线H 的两条渐近线互相垂直， 所以a ＝b ，所以渐近线方程为y ＝±x ， 所以双曲线方程为x 2a 2－y 2a 2＝1(a >0)，则右焦点F (2a ，0)，所以直线方程为y ＝3(x －2a )， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将y ＝3(x －2a )代入x 2a 2－y 2a 2＝1(a >0)化简得，8x 2－182ax ＋19a 2＝0，所以x 1＋x 2＝92a 4，x 1x 2＝19a 28，所以|AB |＝1＋9·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝10×10a 216＝5，解得a 2＝4，即a ＝2， 所以直线方程为y ＝3(x －22)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y ＝3(x －22)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ，y ＝3(x －22)，得⎩⎨⎧x ＝322，y ＝－322，所以|CD |＝⎝⎛⎭⎫32－3222＋⎝⎛⎭⎫32＋3222 ＝3 5.14．(2022·贵港模拟)已知斜率为k (k >0)的直线过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F 且与抛物线C 相交于A ，B 两点，过A ，B 分别作该抛物线准线的垂线，垂足分别为A 1，B 1，若△A 1BB 1与△ABA 1的面积之比为2，则k 的值为________． 答案 2 2解析 由抛物线C ：y 2＝4x 得F (1,0)，直线AB 的方程为y ＝k (x －1)， 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k (x －1)，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0， Δ＝(2k 2＋4)2－4k 4＝16(k 2＋1)>0，由根与系数的关系可得x 1x 2＝1，x 1＋x 2＝2k 2＋4k2，由已知和抛物线定义知111A BB ABA S S △△＝12|BB 1|·|A 1B 1|12|AA 1|·|A 1B 1|＝|BB 1||AA 1|＝|BF ||AF |＝2， 所以|BF |＝2|AF |，故由焦半径公式得x 2＋1＝2(x 1＋1)， 即x 2＝2x 1＋1，故⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2x 1＋1，x 1x 2＝1，x 1＋x 2＝2k 2＋4k2，k >0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝12，x 2＝2，k ＝22(负值舍去)．所以k 的值为2 2.15．(2022·无锡模拟)如图，A 1，A 2是双曲线x 29－y 23＝1的左、右顶点，B 1，B 2是该双曲线上关于x 轴对称的两点，直线A 1B 1与A 2B 2的交点为E .(1)求点E 的轨迹Γ的方程；(2)设点Q (1，－1)，过点Q 的两条直线分别与轨迹Γ交于点A ，C 和点B ，D .若AB ∥CD ，求直线AB 的斜率．解 (1)由题意知，A 1(－3,0)，A 2(3,0)． 设B 1(x 0，y 0)，B 2(x 0，－y 0)(x 0≠±3)，则x 209－y 203＝1， 则直线A 1B 1的方程为y ＝y 03＋x 0(x ＋3)，直线A 2B 2的方程为y ＝y 03－x 0(x －3)，两式相乘得y 2＝y 209－x 2(x 2－9)， 即y 2＝－13(x 2－9)，所以点E 的轨迹Γ的方程为 x 29＋y 23＝1(x ≠±3，x ≠0)． (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)． 设AQ →＝λQC →，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x 1＝λ(x 3－1)，－1－y 1＝λ(y 3＋1)，即⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝1＋λ－x 1λ，y 3＝－(1＋λ)－y 1λ，代入椭圆方程，得[(1＋λ)－x 1]29λ2＋[(1＋λ)＋y 1]23λ2＝1，即4(1＋λ)29λ2－2(1＋λ)λ2⎝⎛⎭⎫x 19－y 13＋1λ2⎝⎛⎭⎫x 219＋y 213 ＝1，即4(1＋λ)29－2(1＋λ)⎝⎛⎭⎫x 19－y 13＝λ2－1，① 同理可得4(1＋λ)29－2(1＋λ)⎝⎛⎭⎫x 29－y 23＝λ2－1，② 由②－①，得x 19－y 13＝x 29－y 23，所以3(y 1－y 2)＝x 1－x 2，所以直线AB 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝13.16．(2022·玉林模拟)设椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过M ⎝⎛⎭⎫1，32，N ⎝⎛⎭⎫3，12两点，O 为坐标原点．(1)求椭圆E 的方程；(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ，且OA →⊥OB →？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围；若不存在，请说明理由． 解 (1)将M ，N 的坐标代入椭圆E 的方程得⎩⎨⎧1a 2＋34b 2＝1，3a 2＋14b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，所以椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)假设满足题意的圆存在，其方程为x 2＋y 2＝R 2，其中0<R <1， 设该圆的任意一条切线AB 和椭圆E 交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点， 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为 y ＝kx ＋m ，①将其代入椭圆E 的方程并整理得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， 由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－8km4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1，②因为OA →⊥OB →， 所以x 1x 2＋y 1y 2＝0，③将①代入③并整理得(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝0， 联立②得m 2＝45(1＋k 2)，④因为直线AB 和圆相切， 因此R ＝|m |1＋k 2，由④得R ＝255，所以存在圆x 2＋y 2＝45满足题意．当直线AB 的斜率不存在时，易得x 21＝x 22＝45， 由椭圆方程得y 21＝y 22＝45，显然OA →⊥OB →， 综上所述，存在圆x 2＋y 2＝45满足题意．当直线AB 的斜率存在时，由①②④得 |AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝1＋k 2(x 1－x 2)2 ＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－8km 4k 2＋12－4×4m 2－44k 2＋1 ＝1＋k 216＋64k 2－16m 2(1＋4k 2)2＝455(1＋k 2)(1＋16k 2)(1＋4k 2)2＝45516k 4＋17k 2＋116k 4＋8k 2＋1＝4551＋9k 216k 4＋8k 2＋1 ＝4551＋916k 2＋1k2＋8，由16k 2＋1k 2≥8，得1<1＋916k 2＋1k2＋8≤54，即455<|AB |≤5， 当直线AB 的斜率不存在时，易得|AB |＝455， 所以455≤|AB |≤ 5.综上所述，存在圆心在原点的圆x 2＋y 2＝45满足题意，且455≤|AB |≤ 5.[考情分析] 直线与圆锥曲线的位置关系是命题的热点，尤其是有关弦长计算及存在性问题，运算量大，能力要求高，突出方程思想、转化化归与分类讨论思想方法的考查，难度为高档．一、弦长、面积问题 核心提炼判断方法：通过解直线方程与圆锥曲线方程联立得到的方程组进行判断． 弦长公式：|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|， 或|AB |＝1＋1k2|y 1－y 2|. 练后反馈题目 1 5 6 8 11 13 15 16 正误错题整理：二、中点弦问题 核心提炼解决圆锥曲线“中点弦”问题的方法1．根与系数的关系法：联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，消元得到一元二次方程后，由根与系数的关系及中点坐标公式求解．2．点差法：设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将这两点坐标代入圆锥曲线的方程，并对所得两式作差，得到一个与弦AB的中点和直线AB的斜率有关的式子，可以大大减少计算量．练后反馈题目49正误错题整理：三、圆锥曲线中二级结论的应用核心提炼1．椭圆焦点三角形面积为b2tan α2(α为|F1F2|的对角)．2．双曲线焦点三角形面积为b2tan α2(α为|F1F2|的对角)．3．抛物线的有关性质：已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l过点F且与抛物线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2α(α为直线l的倾斜角)．(2)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．(3)1|AF|＋1|BF|＝2p.练后反馈题目2371012 正误错题整理：1．[T2补偿](2022·亳州模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，过原点的直线与双曲线交于A ，B 两点，以线段AB 为直径的圆恰好过双曲线的右焦点F ，若△ABF 的面积为2a 2，则双曲线的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2 D. 5 答案 B解析 如图所示，设双曲线的左焦点为F ′，连接AF ′，BF ′，因为以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F (c ，0)， 所以S △AF ′F ＝2a 2，且∠F ′AF ＝π2，根据双曲线焦点三角形面积公式12PF F S △＝b 2tan θ2得2a 2＝b 2， 结合c 2＝a 2＋b 2，得2a 2＝c 2－a 2⇒c 2＝3a 2⇒e 2＝3⇒e ＝ 3.2．[T3补偿](2022·新乡模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线x ＝－1与x 轴交于点A ，F 为C 的焦点，B 是C 上第一象限内的点，则|AB ||BF |取得最大值时，△ABF 的面积为( )A ．2B ．3C ．4D ．6 答案 A解析 由题意可知，－p2＝－1，所以p ＝2，则y 2＝4x ，A (－1,0)，F (1,0)．过点B 作准线x ＝－1的垂线，垂足为D ，如图，由抛物线的定义可知，|AB ||BF |＝|AB ||BD |＝1sin ∠BAD，要使|AB ||BF |取得最大值，则sin ∠BAD 取得最小值，需直线AB 与C 相切． 由题意知，直线AB 的斜率一定存在， 故设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，y 2＝4x ，消去y 可得，k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0，所以Δ＝(2k 2－4)2－4k 4＝0，解得k ＝±1， 因为B 是C 上第一象限内的点，所以k ＝1， 此时k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0为x 2－2x ＋1＝0， 则x ＝1，故B (1,2)，故S △ABF ＝12×|AF |×|y B |＝12×2×2＝2.3．[T4补偿](多选)(2022·梅州模拟)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，且PF 1⊥F 1F 2，|PF 1|＝43，|PF 2|＝143，过点M (－2,1)的直线l 交椭圆于A ，B 两点，且A ，B 关于点M 对称，则下列结论正确的有( ) A ．椭圆的方程为x 29＋y 24＝1B ．椭圆的焦距为 5C ．椭圆上存在2个点Q ，使得QF 1―→·QF 2―→＝0 D ．直线l 的方程为8x －9y ＋25＝0 答案 AD解析 因为PF 1⊥F 1F 2，|PF 1|＝43，|PF 2|＝143，所以c ＝12|PF 2|2－|PF 1|2＝5，a ＝12(|PF 1|＋|PF 2|)＝3，则b ＝2， 所以椭圆的方程为x 29＋y 24＝1，椭圆的焦距为25，故A 正确，B 错误； 由QF 1―→·QF 2―→＝0知∠F 1QF 2＝90°， 所以点Q 在以F 1F 2为直径的圆上，因为c >b ，所以圆与椭圆有4个交点，故C 错误；因为过点M (－2,1)的直线交椭圆于A ，B 两点，且A ，B 关于点M 对称， 所以点M (－2,1)为弦AB 的中点， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 219＋y 214＝1，x 229＋y224＝1，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)9＝－(y 1＋y 2)(y 1－y 2)4，则k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－49·x 1＋x 2y 1＋y 2＝89，所以直线l 的方程为y －1＝89(x ＋2)，即8x －9y ＋25＝0，故D 正确．4．[T9补偿](2022·运城模拟)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为33，直线x －2y ＋b ＝0与椭圆交于P ，Q 两点，且PQ 的中点为E ，O 为原点，则直线OE 的斜率是________． 答案 －43解析 因为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为33，所以e ＝ca ＝1－b 2a 2＝33， 所以b 2a 2＝23，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，所以k PQ ＝y 1－y 2x 1－x 2＝12，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22， 因为P ，Q 在椭圆上，所以⎩⎨⎧ x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，两式作差得x 21－x 22a 2＋y 21－y 22b 2＝0， 即y 21－y 22x 21－x 22＝－b 2a 2， 即(y 1－y 2)(y 1＋y 2)(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝－23， 即k PQ ·k OE ＝－23， 所以k OE ＝－43. 5．[T16补偿](2022·重庆模拟)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝63，焦距为4. (1)求椭圆的标准方程；(2)过椭圆右焦点F 的动直线l 交椭圆于A ，B 两点，P 为直线x ＝3上的一点，是否存在直线l 与点P ，使得△ABP 恰好为等边三角形，若存在，求出△ABP 的面积；若不存在，请说明理由．解 (1)依题意得c a ＝63，c ＝2， 又∵a 2＝b 2＋c 2，∴a 2＝6，b 2＝2，∴椭圆的标准方程为x 26＋y 22＝1. (2)当直线l 的斜率不存在时，等边△ABP 不存在，故直线l 的斜率存在．设直线l ：y ＝k (x －2)，联立椭圆方程整理得(3k 2＋1)x 2－12k 2x ＋12k 2－6＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝12k 23k 2＋1，x 1x 2＝12k 2－63k 2＋1， ∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝263k 2＋1(k 2＋1)． 记线段AB 的中点为M (x 0，y 0)，则x 0＝6k 23k 2＋1，y 0＝－2k 3k 2＋1， 又x P ＝3，k MP ＝－1k， ∴|MP |＝1＋1k2|x 0－x P | ＝k 2＋1k 2·3(k 2＋1)3k 2＋1， 要满足题目要求，则需要|MP |＝32|AB |， 即k 2＋1k 2·3(k 2＋1)3k 2＋1＝32·263k 2＋1(k 2＋1)， ∴k ＝±1，经检验k ＝±1均符合题意． ∴|AB |＝6，S △ABP ＝332.。
直线与圆锥曲线的位置关系问题
2．连结圆锥曲线上两点的线段称为圆锥曲线的弦 设直线 l：f(x，y)＝0，曲线 E：F(x，y)＝0，l 与 E 的两个 不同的交点 P、Q，设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则(x1，y1)，(x2，
f（x，y）＝0 y2)是方程组F（x，y）＝0的两组解，方程组消元后化为关于 x(或者 y)的一元二次方程 Ax2＋Bx＋C＝0(A≠0)．判别式 Δ＝B2 －4AC，应有 Δ>0，所以 x1、x2 是方程 Ax2＋Bx＋C＝0 的解．由 根与系数的关系(韦达定理)求得 x1＋x2＝－BA，x1x2＝CA，所以 P、 Q 两 点 间 距 离 为 |PQ| ＝ （x1－x2）2＋（y1－y2）2 ＝
＝16，
所以 xB2＝4＋16k2，
又 由 O→B ＝ 2 O→A ， 得
xB2
＝
4xA2
，
即
16 4＋k2
＝
1＋164k2，
解得 k＝±1，故直线 AB 的方程为 y＝x 或 y＝
－x.
解法二：A，B 两点的坐标分别记为(xA，yA)， (xB，yB)，
由O→B＝2O→A及(1)知， O，A，B 三点共线且点 A，B 不在 y 轴上， 因此可设直线 AB 的方程为 y＝kx. 将 y＝kx 代入x42＋y2＝1 中，得(1＋4k2)x2＝4，
(2)运用类比的手法可以推出，已知 PQ 是双曲 线xa22－by22＝1 的弦，中点 M(x0，y0)，则 kPQ＝ba22xy00； 已知抛物线 y2＝2px(p>0)的弦 PQ 的中点 M(x0，y0)， 则 kPQ＝yp0. 4．圆锥曲线上的点关于某一直线的对称问题，解 决此类题的方法是利用圆锥曲线上的两点所在直
(1)求椭圆 C2 的方程； (2)设 O 为坐标原点，点 A，B 分别在椭圆 C1 和 C2 上，O→B＝2O→A，求直线 AB 的方程．
直线与圆锥曲线的位置关系专题训练
直线与圆锥曲线的位置关系专题训练一、选择题1．若过抛物线y ＝2x 2的焦点的直线与抛物线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1x 2＝( )A ．－2B ．－12C ．－4D ．－1162．已知椭圆C 的方程为x 216＋y 2m 2＝1(m >0)，如果直线y ＝22x 与椭圆的一个交点M在x 轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F ，则m 的值为( )A ．2B ．2 2C ．8D ．2 33．已知双曲线x 2－y 24＝1，过点A (1,1)的直线l 与双曲线只有一个公共点，则l 的条数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1 4．已知椭圆x 2＋2y 2＝4，则以(1,1)为中点的弦的长度为( )A ．3 2B ．2 3 C.303 D.3265．已知双曲线x 24－y 2b2＝1(b >0)的右焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( )A. 5 B ．4 2 C ．3 D ．56．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 B ．[－2,2] C ．[－1,1] D ．[－4,4]7．设P 是椭圆x 225＋y 29＝1上一点，M ，N 分别是两圆(x ＋4)2＋y 2＝1和 (x －4)2＋y 2＝1上的点，则|PM |＋|PN |的最小值、最大值分别为( ) A ．9,12 B ．8,11 C ．8,12 D ．10,128．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，斜率为1的直线过双曲线C 的左焦点且与该双曲线交于A ，B 两点，若OA →＋OB →与向量n ＝(－3，－1)共线，则双曲线C 的离心率为( )A. 3B.233C.43D ．39．已知两定点A (－2,0)和B (2,0)，动点P (x ，y )在直线l ：y ＝x ＋3上移动，椭圆C 以A ，B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为( )A.2613 B.22613 C.21313 D.4131310．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在该双曲线的右支上，且|PF 1|＋|PF 2|＝10a ，PF 1→·PF 2→＝－6a 2，则双曲线的离心率为( )A ．2B ．4 C. 2 D. 6 二、填空题11．设过椭圆x 22＋y 2＝1的右焦点F 的直线交椭圆于A ，B 两点，AB 的中点为P ，O 为坐标原点，则OP →·PF→的取值范围为________． 12．已知直线l ：y ＝2x －4交抛物线y 2＝4x 于A ，B 两点，在抛物线AOB 这段曲线上有一点P ，则△APB 的面积的最大值为________．13．已知椭圆C 1：x 2m ＋2－y 2n ＝1与双曲线C 2：x 2m ＋y 2n＝1有相同的焦点，则椭圆C 1的离心率e 1的取值范围为________． 14．设P 为直线l ：x ＋y ＝4上任意一点，椭圆x 212＋y 24＝1的两个焦点为F 1，F 2，则l 与椭圆的位置关系是______，|PF 1|＋|PF 2|的最小值是________．三、解答题15．已知椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点为F ，O 为坐标原点．(1)求过点O ，F ，并且与直线l ：x ＝－2相切的圆的方程；(2)设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围．16．已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为223，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为6＋4 2.(1)求椭圆M 的方程；(2)设直线l 与椭圆M 交于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点C ，求△ABC 面积的最大值．直线与圆锥曲线的位置关系专题训练答案一、选择题1．若过抛物线y ＝2x 2的焦点的直线与抛物线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1x 2＝( )A ．－2B ．－12C ．－4D ．－116解析：由y ＝2x 2，得x 2＝12y .其焦点坐标为F (0，18)，取直线y ＝18，则其与y ＝2x 2交于A (－14，18)，B (14，18)，∴x 1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－14·⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝－116.答案：D2．已知椭圆C 的方程为x 216＋y 2m 2＝1(m >0)，如果直线y ＝22x 与椭圆的一个交点M在x 轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F ，则m 的值为( )A ．2B ．2 2C ．8D ．2 3解析：根据已知条件得c ＝16－m 2，则点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫16－m 2，2216－m 2在椭圆x 216＋y 2m 2＝1(m >0)上，∴16－m 216＋16－m 22m 2＝1，可得m ＝22(m ＝－22舍)． 答案：B3．已知双曲线x 2－y 24＝1，过点A (1,1)的直线l 与双曲线只有一个公共点，则l的条数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1 解析：①斜率不存在时，方程为x ＝1符合．②设斜率为k ，y －1＝k (x －1)，kx －y －k ＋1＝0.⎩⎪⎨⎪⎧4x 2－y 2＝4，y ＝kx －k ＋1，(4－k 2)x 2＋(2k 2－2k )x －k 2＋2k －5＝0.当4－k 2＝0，k ＝±2时符合；当4－k 2≠0，Δ＝0，亦有一个答案，∴共4条． 答案：A4．已知椭圆x 2＋2y 2＝4，则以(1,1)为中点的弦的长度为( )A ．3 2B ．2 3 C.303 D.32 6解析：设y －1＝k (x －1)，∴y ＝kx ＋1－k . 代入椭圆方程，得x 2＋2(kx ＋1－k )2＝4. ∴(2k 2＋1)x 2＋4k (1－k )x ＋2(1－k )2－4＝0. 由x 1＋x 2＝4kk －12k 2＋1＝2，得k ＝－12，x 1x 2＝13.∴(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4－43＝83.∴|AB |＝1＋14·263＝303.答案：C5．已知双曲线x 24－y 2b2＝1(b >0)的右焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( )A. 5 B ．4 2 C ．3 D ．5解析：由题，易得抛物线的焦点为(3,0)，∴双曲线的右焦点为(3,0)，∴b 2＝c 2－a 2＝9－4＝5，∴双曲线的一条渐近线方程为y ＝52x ，即5x －2y ＝0，∴所求距离为d ＝|35|5＋4＝ 5.答案：A6．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 B ．[－2,2] C ．[－1,1] D ．[－4,4] 解析：设直线方程为y ＝k (x ＋2)，与抛物线联立方程组，整理，得ky 2－8y ＋16k 2＝0.当k ＝0时，直线与抛物线有一个交点，当k ≠0时，由Δ＝64－64k 2≥0，解得－1≤k ≤1且k ≠0，综上－1≤k ≤1.答案：C 8．设P 是椭圆x 225＋y 29＝1上一点，M ，N 分别是两圆(x ＋4)2＋y 2＝1和 (x －4)2＋y 2＝1上的点，则|PM |＋|PN |的最小值、最大值分别为( ) A ．9,12 B ．8,11 C ．8,12 D ．10,12解析：如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆定义知|PA |＋|PB |＝2a ＝10，连接PA ，PB 分别与圆相交于M ，N 两点，此时|PM |＋|PN |最小，最小值为|PA |＋|PB |－2R ＝8；连接PA ，PB 并延长，分别与圆相交于M ，N 两点，此时|PM |＋|PN |最大，最大值为|PA |＋|PB |＋2R ＝12，即最小值和最大值分别为8,12.答案：C8．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，斜率为1的直线过双曲线C 的左焦点且与该双曲线交于A ，B 两点，若OA →＋OB →与向量n ＝(－3，－1)共线，则双曲线C 的离心率为( )A. 3B.233C.43D ．3解析：由题意得直线方程为y ＝x ＋c ，代入双曲线的方程并整理可得(b 2－a 2)x 2－2a 2cx －a 2c 2－a 2b 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2a 2c b 2－a 2，y 1＋y 2＝x 1＋x 2＋2c ＝2b 2c b 2－a 2，∴OA →＋OB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c b 2－a 2，2b 2c b 2－a 2，又∵OA →＋OB →与向量n ＝(－3，－1)共线，∴2a 2c b 2－a 2＝3·2b 2c b 2－a 2，∴a 2＝3b 2，又c 2＝a 2＋b 2，∴e ＝c a ＝233.故选B.答案：B9．已知两定点A (－2,0)和B (2,0)，动点P (x ，y )在直线l ：y ＝x ＋3上移动，椭圆C 以A ，B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为( )A.2613 B.22613 C.21313 D.41313解析：由题意可知，c ＝2，由e ＝c a ＝2a.可知e 最大时需a 最小．由椭圆的定义|PA |＋|PB |＝2a ，即使得|PA |＋|PB |最小，设A (－2,0)关于直线y ＝x ＋3的对称点D (x ，y )，由⎩⎪⎨⎪⎧y －0x ＋2·1＝－1，0＋y 2＝－2＋x2＋3，可知D (－3,1)．所以|PA |＋|PB |＝|PD |＋|PB |≥|DB |＝12＋52＝26，即2a ≥26.所以a ≥262，则e ＝c a ≤2262＝22613.故选B.答案：B10．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在该双曲线的右支上，且|PF 1|＋|PF 2|＝10a ，PF 1→·PF 2→＝－6a 2，则双曲线的离心率为( )A ．2B ．4 C. 2 D. 6解析：由双曲线的定义及已知可得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|＋|PF 2|＝10a ，即⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝6a ，|PF 2|＝4a ，则cos ∠F 1PF 2＝PF1→·PF 2→|PF 1→|·|PF 2→|＝－6a 26a ·4a ＝－14，设双曲线的焦距为2c (c >0)，由余弦定理可得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos ∠F 1PF 2，即4c 2＝36a 2＋16a 2－2×6a ×4a ×(－14)，所以c 2＝16a 2，故双曲线的离心率为c a＝4.故选B.答案：B 二、填空题11．设过椭圆x 22＋y 2＝1的右焦点F 的直线交椭圆于A ，B 两点，AB 的中点为P ，O 为坐标原点，则OP →·PF→的取值范围为________． 解析：椭圆x 22＋y 2＝1的右焦点为F (1,0)，当直线AB 的斜率存在时，设AB 的方程为y ＝k (x －1)，代入椭圆方程x 22＋y 2＝1中，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，所以x 0＝2k 21＋2k 2，y 0＝k (x 0－1)＝－k1＋2k 2，OP →＝⎝⎛⎭⎪⎫2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2，PF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋2k 2，k 1＋2k 2，所以OP →·PF→＝2k 21＋2k 22－k 21＋2k 22＝k 21＋2k 22＝k 21＋4k 2＋4k4，当k ＝0时，OP →·PF →＝0，当k ≠0时，OP →·PF →＝k 21＋4k 2＋4k4＝14＋1k2＋4k 2≤18，当且仅当k 2＝12时等号成立，且OP →·PF →>0.当直线AB 的斜率不存在时，F 与P 重合，所以OP→·PF →＝0. 综上，OP →·PF →的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，18.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1812．已知直线l ：y ＝2x －4交抛物线y 2＝4x 于A ，B 两点，在抛物线AOB 这段曲线上有一点P ，则△APB 的面积的最大值为________．解析：由弦长公式知|AB |＝35，只需点P 到直线AB 距离最大就可保证△APB 的面积最大．设与l 平行的直线y ＝2x ＋b 与抛物线相切，解得b ＝12.∴d ＝9510，∴(S △APB )max ＝12×35×9510＝274.答案：27413．已知椭圆C 1：x 2m ＋2－y 2n ＝1与双曲线C 2：x 2m ＋y 2n＝1有相同的焦点，则椭圆C 1的离心率e 1的取值范围为________．解析：∵椭圆C 1：x 2m ＋2－y 2n ＝1，∴a 21＝m ＋2，b 21＝－n ，c 21＝m ＋2＋n ，e 21＝m ＋2＋n m ＋2＝1＋nm ＋2.∵双曲线C 2：x 2m ＋y 2n＝1，∴a 22＝m ，b 22＝－n ，c 22＝m －n .由题意可得m＋2＋n ＝m －n ，则n ＝－1，∴e 21＝1－1m ＋2.由m >0，得m ＋2>2.∴0<1m ＋2<12，－1m ＋2>－12，∴1－1m ＋2>12，即e 21>12. 而0<e 1<1，∴22<e 1<1.答案：22<e 1<114．设P 为直线l ：x ＋y ＝4上任意一点，椭圆x 212＋y 24＝1的两个焦点为F 1，F 2，则l 与椭圆的位置关系是______，|PF 1|＋|PF 2|的最小值是________．解析：把x ＝4－y 代入椭圆方程并整理，得y 2－2y ＋1＝0，它有两个相等的根，∴l 与椭圆相切．如图，连接PF 1，与椭圆交于Q (由于P 在椭圆外，则Q 在P ，F 1之间)， 连接QF 2，则|PF 1|＋|PF 2|＝|QF 1|＋|PQ |＋|PF 2|≥|QF 1|＋|QF 2|＝2a ＝43，当且仅当Q 在线段PF 2上，即P 在椭圆上时取等号，∴|PF 1|＋|PF 2|的最小值是4 3.答案：相切 4 3 三、解答题15．已知椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点为F ，O 为坐标原点．(1)求过点O ，F ，并且与直线l ：x ＝－2相切的圆的方程；(2)设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围．解：(1)∵a 2＝2，b 2＝1，∴c ＝1，F (－1,0)． ∵圆过点O ，F ，∴圆心M 在直线x ＝－12上．设M (－12，t )，则圆半径r ＝|(－12)－(－2)|＝32.由|OM |＝r ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋t 2＝32，解得t ＝± 2.∴所求圆的方程为(x ＋12)2＋(y ±2)2＝94.(2)设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)， 代入x 22＋y 2＝1.整理，得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0. ∵直线AB 过椭圆的左焦点F 且不垂直于x 轴， ∴方程有两个不等实根，如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点N (x 0，y 0)．则x 1＋x 2＝－4k 22k 2＋1，x 0＝12(x 1＋x 2)＝－2k 22k 2＋1，y 0＝k (x 0＋1)＝k2k 2＋1. ∴AB 的垂直平分线NG 的方程为y －y 0＝－1k(x －x 0)，令y ＝0，得x G ＝x 0＋ky 0＝－2k 22k 2＋1＋k 22k 2＋1＝－k 22k 2＋1＝－12＋14k 2＋2.∵k ≠0，∴－12<x G <0.∴点G 横坐标的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0.16．已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为223，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为6＋4 2.(1)求椭圆M 的方程；(2)设直线l 与椭圆M 交于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点C ，求△ABC 面积的最大值．解：(1)因为椭圆M 上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为6＋42，所以2a ＋2c ＝6＋42，又椭圆的离心率为223，即c a ＝223，所以c ＝223a ，所以a ＝3，c ＝22，故b 2＝a 2－c 2＝1.椭圆M 的方程为x 29＋y 2＝1.(2)方法1：不妨设直线BC 的方程为y ＝n (x －3)，(n >0)． 则直线AC 的方程为y ＝－1n(x －3)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝n x －3，x29＋y 2＝1，得(19＋n 2)x 2－6n 2x ＋9n 2－1＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．因为3x 2＝81n 2－99n 2＋1，所以x 2＝27n 2－39n 2＋1.同理可得x 1＝27－3n 29＋n 2.所以|BC |＝1＋n 269n 2＋1，|AC |＝1＋n 2n 6n29＋n 2，S △ABC ＝12|BC ||AC |＝2n ＋1nn ＋1n2＋649.设t ＝n ＋1n≥2，则S ＝2t t 2＋649＝2t ＋649t≤38，当且仅当t ＝83时取等号．所以△ABC 面积的最大值为38.方法2：不妨设直线AB 的方程x ＝ky ＋m (m ≠3)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ky ＋m ，x29＋y 2＝1，消去x ，得(k 2＋9)y 2＋2kmy ＋m 2－9＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有y 1＋y 2＝－2km k 2＋9，y 1y 2＝m 2－9k 2＋9.①因为以AB 为直径的圆过点C (3,0)，所以CA →·CB →＝0. 由CA →＝(x 1－3，y 1)，CB →＝(x 2－3，y 2)， 得(x 1－3)(x 2－3)＋y 1y 2＝0.将x 1＝ky 1＋m ，x 2＝ky 2＋m 代入上式． 得(k 2＋1)y 1y 2＋k (m －3)(y 1＋y 2)＋(m －3)2＝0. 将①代入上式，解得m ＝125或m ＝3(舍)．所以m ＝125(此时直线AB 经过定点D (125，0)，与椭圆有两个交点)，所以S △ABC ＝12|DC ||y 1－y 2|＝12×35y 1＋y 22－4y 1y 2＝9525k 2＋9－14425k 2＋92.设t ＝1k 2＋9，0<t ≤19，则S△ABC＝95－14425·t2＋t.所以当t＝25288∈⎝⎛⎦⎥⎤0，19时，S△ABC取得最大值38.。
第八章 第四节 直线与圆锥曲线的位置关系
第八章 第四节 直线与圆锥曲线的位置关系1.抛物线y 2＝4x F 、M 且 与l 相切的圆共有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．4个解析：由于圆经过焦点F 且与准线l 相切，由抛物线的定义知圆心在抛物线上，又 因为圆经过抛物线上的点M ，所以圆心在线段FM 的垂直平分线上，即圆心是线段 FM 的垂直平分线与抛物线的交点，结合图形易知有两个交点，因此一共有2个满足 条件的圆． 答案：C2．(2010·广州摸拟)过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右顶点A 作斜率为－1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B 、C ，若AB ＝12BC，则双曲线的离心率是( )A. 2B. 3C. 5D.10解析：过点A (a,0)的直线的方程为y ＝－x ＋a ，则易求得该直线与双曲线的渐近线y＝±b a x 的交点B 、C 的坐标为B (a 2a ＋b ，ab a ＋b )、C (a 2a －b ，－aba －b)，由AB ＝12BC 得b ＝2a ，所以双曲线的离心率e ＝ca ＝a 2＋b 2a ＝ 5.答案：C3.(2009·全国卷A 、B 两点，F 为C 的焦点．若|F A |＝2|FB |，则k ＝ ( ) A.13 B.23C.23D.223解析：过A 、B 作拋物线准线l 的垂线，垂足分别为A 1、B 1， 由拋物线定义可知，|AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |，∵2|BF |＝|AF |， ∴|AA 1|＝2|BB 1|， 即B 为AC 的中点．从而y A ＝2y B ，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)，y 2＝8x ⇒消去x 得：y 2－8ky ＋16＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y A ＋y B ＝8k ，y A ·y B ＝16⇒⎩⎪⎨⎪⎧3y B ＝8k ，2y 2B ＝16⇒消去y B 得k ＝223.答案：D4．已知抛物线y ＝－x 2＋3上存在关于直线x ＋y ＝0对称的相异两点A 、B ，则|AB |等 于( )A ．3B ．4C ．3 2D ．4 2 解析：设直线AB 的方程为y ＝x ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2＋3y ＝x ＋b⇒x 2＋x ＋b －3＝0⇒x 1＋x 2＝－1，得AB 的中点M (－12，－12＋b )，又M (－12，－12＋b )在直线x ＋y ＝0上可求出b ＝1，∴x 2＋x －2＝0，则|AB |＝1＋12(－1)2－4×(－2)＝3 2. 答案：C5．已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 且斜率为1的直线交C 于A 、B 两点．设 |F A |>|FB |，则|F A |与|FB |的比值等于________． 解析：F (1,0)，∴直线AB 的方程为y ＝x －1.⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y 2＝4x ⇒x 2－6x ＋1＝0⇒x ＝3±2 2. ∵|F A |>|FB |，由抛物线定义知A 点的横坐标为3＋22，B 点的横坐标为3－2 2.|F A ||FB |＝x A ＋1x B ＋1＝4＋224－22＝2＋22－2＝6＋422＝3＋2 2. 答案：3＋2 26.已知对∀k ∈R ，直线y －kx －1＝0与椭圆x 5＋y m ＝1恒有公共点，则实数m 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0,5)C ．[1,5)∪(5，＋∞)D ．[1,5)解析：直线恒过定点(0,1)，若直线与椭圆恒有公共点， 只需点(0,1)在椭圆上或内部，∴1m ≤1，又m >0且m ≠5，∴m ≥1且m ≠5. 答案：C7．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则双曲线离心率e 的最大值为________． 解析：设∠F 1PF 2＝θ，由⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|＝4|PF 2|得⎩⎨⎧|PF 1|＝83a ，|PF 2|＝23a ，∴cos θ＝17a 2－9c 28a 2＝178－98e 2.∵cos θ∈[－1,1)，∴1＜e ≤53.答案：538.已知动圆过定点(2,0) (1)求动圆的圆心轨迹C 的方程；(2)是否存在直线l ，使l 过点(0,2)，并与轨迹C 交于P ，Q 两点，且满足OP ·OQ＝0？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．解：(1)如图，设M 为动圆圆心，F (2，0)，过点M 作直线x ＝－2的垂线，垂足为N ， 由题意知：|MF |＝|MN |，即动点M 到定点F 与到定直线x ＝－2的距离相等，由抛物线的定义知，点M 的轨迹为 抛物线，其中F (2,0)为焦点，x ＝－2为准线，所以动圆圆 心轨迹C 的方程为y 2＝8x .(2)由题可设直线l 的方程为x ＝k (y －2)(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k (y －2)y 2＝8x，得y 2－8ky ＋16k ＝0，Δ＝(－8k )2－4×16k >0，解得k <0或k >1.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝8k ，y 1y 2＝16k ，由OP ·OQ ＝0，得x 1x 2＋y 1y 2＝0，即k 2(y 1－2)(y 2－2)＋y 1y 2＝0，整理得：(k 2＋1)y 1y 2－2k 2(y 1＋y 2)＋4k 2＝0，代入得16k (k 2＋1)－2k 2·8k ＋4k 2＝0，即16k ＋4k 2＝0， 解得k ＝－4或k ＝0(舍去)，所以直线l 存在，其方程为x ＋4y －8＝0.9．已知双曲线C ：x 21－λ－y 2λ＝1(0＜λ＜1)的右焦点为B ，过点B 作直线交双曲线C 的右支于M 、N 两点，试确定λ的范围，使OM ·ON＝0，其中点O 为坐标原点．解：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由已知易求B (1,0)， 当MN 垂直于x 轴时，MN 的方程为x ＝1， 设M (1，y 0)，N (1，－y 0)(y 0＞0)，由OM ·ON ＝0，得y 0＝1，∴M (1,1)，N (1，－1)．又M (1,1)，N (1，－1)在双曲线上， ∴11－λ－1λ＝1⇒λ2＋λ－1＝0⇒λ＝－1±52，∵0＜λ＜1，∴λ＝5－12. 当MN 不垂直于x 轴时，设MN 的方程为y ＝k (x －1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x 21－λ－y 2λ＝1，y ＝k (x －1)，得：[λ－(1－λ)k 2]x 2＋2(1－λ)k 2x －(1－λ)(k 2＋λ)＝0， 由题意知：λ－(1－λ)k 2≠0，∴x 1＋x 2＝－2k 2(1－λ)λ－(1－λ)k 2，x 1x 2＝－(1－λ)(k 2＋λ)λ－(1－λ)k 2，∴y 1y 2＝k 2(x 1－1)(x 2－1)＝k 2λ2λ－(1－λ)k 2，∵OM ·ON＝0，且M 、N 在双曲线右支上，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1x 2＋y 1y 2＝0x 1＋x 2＞0x 1x 2＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝λ(1－λ)λ2＋λ－1k 2＞λ1－λ⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ(1－λ)λ2＋λ－1＞λ1－λλ2＋λ－1＞0⇒5－12＜λ＜23.综上，知5－12≤λ＜23. 10．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为63，短轴一个端点到右焦点的距离为3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为32，求△AOB 面积的最大值．解：(1)设椭圆的半焦距为c ，依题意⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝63，a ＝3，∴b ＝1，∴所求椭圆方程为x 23＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． ①当AB ⊥x 轴时，|AB |＝ 3. ②当AB 与x 轴不垂直时， 设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m . 由已知|m |1＋k 2＝32，得m 2＝34(k 2＋1)．把y ＝kx ＋m 代入椭圆方程，整理得(3k 2＋1)x 2＋6kmx ＋3m 2－3＝0， ∴x 1＋x 2＝－6km 3k 2＋1，x 1x 2＝3(m 2－1)3k 2＋1.∴|AB |2＝(1＋k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤36k 2m 2(3k 2＋1)2－12(m 2－1)3k 2＋1＝12(k 2＋1)(3k 2＋1－m 2)(3k 2＋1)2＝3(k 2＋1)(9k 2＋1)(3k 2＋1)2＝3＋12k 29k 4＋6k 2＋1＝3＋129k 2＋1k2＋6(k ≠0)≤3＋122×3＋6＝4.当且仅当9k2＝1k2，即k＝±33时等号成立．当k＝0时，|AB|＝ 3.综上所述，|AB|max＝2.∴当|AB|最大时，△AOB面积取最大值：S max＝12×|AB|max×32＝32.。
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直线与圆锥曲线的位置关系练习题一、选择题1．双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，直线l 过焦点F ，且斜率为k ，则直线l 与双曲线C 的左、右两支都相交的充要条件是( ) A ．k ＞－b a B ．k ＜b a C ．k ＞b a 或k ＜－baD ．－b a ＜k ＜ba2．若直线mx ＋ny ＝4与⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数是( ) A ．至多为1B ．2C ．1D ．03．斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A 、B 两点，则|AB |的最大值为( )A ．2B.455C.4105D.81054．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线与抛物线y ＝x 2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为( ) A.54B ．5C.52D. 55．已知A ，B 为抛物线C ：y 2＝4x 上的两个不同的点，F 为抛物线C 的焦点，若F A →＝－4FB →，则直线AB 的斜率为( ) A ．±23B ．±32C ．±34D ．±436.过点(0,2)与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点的直线有( C )A ．1条B ．2条C ．3条D ．无数条7.直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( A )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定8.已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有两个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( A ) A ．(1,2) B ．(1,2] C ．[2，＋∞) D ．(2，＋∞) 9.过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点O 是原点，若|AF|＝3，则△AOB 的面积为( C )A .22B .2C .322D ．2 2 10．已知对k ∈R ，直线y －kx －1＝0与椭圆x 25＋y 2m ＝1恒有公共点，则实数m 的取值范围是( )A ．(0, 1)B ．(0,5)C ．[1,5)∪(5，＋∞)D ．[1,5)11．直线l ：y ＝x ＋3与曲线y 29－x ·|x |4＝1交点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．312．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( ) A ．(1,2) B ．(－1,2) C ．(2，＋∞) D ．[2，＋∞)13．斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1交于不同两点A 、B ，则|AB |的最大值为( )A ．2 B.455 C.4105 D.810514．设离心率为e 的双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，直线l 过焦点F ，且斜率为k ，则直线l 与双曲线C 的左、右两支都相交的充要条件是( ) A ．k 2－e 2＞1 B ．k 2－e 2＜1 C ．e 2－k 2＞1 D ．e 2－k 2＜1 二、填空题1．直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m ＝1恒有公共点，则m 的取值范围是________．2．已知(4，2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1所截得的线段的中点，则l 的方程是________．3．(2013·汕头模拟)已知点P 在直线x ＋y ＋5＝0上，点Q 在抛物线y 2＝2x 上，则|PQ |的最小值等于________．4.若椭圆x 23＋y 2m＝1与直线x ＋2y －2＝0有两个不同的交点，则m 的取值范围是 .5.已知两定点M(－2,0)，N(2,0)，若直线上存在点P ，使得|PM|－|PN|＝2，则称该直线为“A 型直线”，给出下列直线：①y ＝x ＋1；②y ＝3x ＋2；③y ＝－x ＋3；④y ＝－2x.其中是“A 型直线”的序号是 . 三、解答题1．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0<b <1)的左，右焦点，过F 1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列．(1)求|AB |；(2)若直线l 的斜率为1，求b 的值．2.已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，△ABC 的三个顶点都在抛物线上，且△ABC 的重心为抛物线的焦点，若BC 所在直线l 的方程为4x ＋y －20＝0. (1)求抛物线C 的方程；(2)若O 是坐标原点，P ，Q 是抛物线C 上的两动点，且满足PO ⊥OQ ，证明：直线PQ 过定点．3.设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆上且异于A ，B 两点，O为坐标原点．(1)若直线AP 与BP 的斜率之积为－12，求椭圆的离心率；(2)若|AP |＝|OA |，证明直线OP 的斜率k 满足|k |> 3.4.已知i ，j 是x ，y 轴正方向的单位向量，设a ＝xi ＋(y －1)j ，b ＝xi ＋(y ＋1)j ， 且满足|a |＋|b |＝2 2.(1)求点P (x ，y )的轨迹C 的方程；(2)设点F (0,1)，点A ，B ，C ，D 在曲线C 上，若AF →与FB →共线，CF →与FD →共线，且AF →·CF →＝0.求四边形ACBD 的面积的最小值和最大值．5．(2013·佛山质检)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 23＋y 2＝1.如图8－9－3所示，斜率为k (k ＞0)且不过原点的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，线段AB 的中点为E ，射线OE 交椭圆C 于点G ，交直线x ＝－3于点D (－3，m )．(1)求m 2＋k 2的最小值； (2)若|OG |2＝|OD |·|OE |，求证：直线l 过定点．直线与圆锥曲线的位置关系练习题解析及答案一、选择题1．【解析】 由双曲线的几何意义，－b a ＜k ＜ba .【答案】 D2．【解析】 由题意知：4m 2＋n2＞2，即m 2＋n 2＜2， ∴点P (m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1的内部，因此直线与椭圆有2个交点．【答案】 B3．【解析】 设椭圆与直线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝x ＋t .消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0，则有x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝4（t 2－1）5.∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝2·（－85t ）2－4×4（t 2－1）5＝4255－t 2，当t ＝0时，|AB |max ＝4105.【答案】 C 4．【解析】 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线为y ＝bax ，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b a x ，y ＝x 2＋1消去y 得，x 2－b a x ＋1＝0有唯一解，所以Δ＝(b a )2－4＝0，ba＝2，e ＝ca ＝a 2＋b 2a＝ 1＋（ba）2＝ 5.【答案】 D5．【解析】 焦点F (1，0)，直线AB 的斜率必存在，且不为0.故可设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，代入y 2＝4x 中化简得ky 2－4y －4k ＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4k，①y 1y 2＝－4，②又由F A →＝－4FB →可得y 1＝－4y 2，③联立①②③式解得k ＝±43.【答案】 D6、解析：易知y 轴与抛物线切于原点满足条件；直线y ＝2与抛物线的对称轴平行也满足条件；另外画出图形，易知有一条直线与抛物线切于x 轴上方，故这样的直线有3条．选C .7. 选A .8、解析：双曲线渐近线斜率小于直线的斜率，即ba<tan 60°＝3，所以双曲线的离心率e ＝c a ＝1＋(ba)2<2，即1＜e ＜2，故选A .9、解析：设∠AFx ＝θ(0<θ<π)及|BF|＝m ，则点A 到准线l ：x ＝－1的距离为3，得3＝2＋3cos θ⇔cos θ＝13.又m ＝2＋m cos (π－θ)⇔m ＝21＋cos θ＝32，△AOB 的面积为S ＝12·|OF|·|AB|sin θ＝12×1×(3＋32)×223＝322，故选C .10.解析：直线y ＝kx ＋1过定点(0,1)，只要(0,1)不在椭圆x 25＋y 2m＝1外部即可．从而m ≥1，又因为椭圆x 25＋y 2m ＝1中m ≠5，所以m 的取值范围是[1,5)∪(5，＋∞).答案： C11.解析：当x ≥0时，曲线为y 29－x 24＝1；当x ＜0时，曲线为y 29＋x 24＝1，如图所示，直线l ：y ＝x ＋3过(0,3)，又由于双曲线y 29－x 24＝1的渐近线y ＝32x 的斜率32＞1，故直线l与曲线y 29－x 24＝1(x ≥0)有两个交点，显然l 与半椭圆y 29＋x 24＝1(x ≤0)有两个交点，(0,3)记了两次，所以共3个交点. 答案：D12.解析：过F 的直线l 与双曲线的右支有且只有一个交点，则其斜率为正的渐近线的倾斜角应不小于l 的倾斜角，已知l 的倾斜角是60°，从而b a ≥3，故ca≥2. 答案：D13.答案：C14.解析：由双曲线的图象和渐近线的几何意义，可知直线的斜率k 只需满足－b a ＜k ＜ba ，即k 2＜b 2a 2＝c 2－a 2a2＝e 2－1.答案：C 二、填空题1【解析】 直线y ＝kx ＋1过定点(0，1)，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，m ≠5，m ≥1，∴m ≥1，且m ≠5.【答案】 m ≥1，且m ≠52【解析】 设直线l 与椭圆相交于A 、B 两点，且A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 2136＋y 219＝1，x 2236＋y 229＝1，两式相减得y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 24（y 1＋y 2），又x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4，∴y 1－y 2x 1－x 2＝－12，故直线l 的方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0.【答案】 x ＋2y －8＝0 3．【解析】 设直线l ′平行于直线x ＋y ＋5＝0，且与抛物线相切，设l ′：y ＝－x ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋m ，y 2＝2x 得y 2＋2y －2m ＝0，由Δ＝4＋8m ＝0，得m ＝－12.则两直线距离d ＝|5－12|2＝924，即|PQ |min ＝924.【答案】 9244解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x 23＋y 2m ＝1x ＋2y －2＝0消去x 并整理得(3＋4m)y 2－8my ＋m ＝0，根据条件得⎩⎪⎨⎪⎧m ≠3m>0Δ＝64m 2－4m (4m ＋3)>0，解得14<m<3或m>3.5解析：由条件知考虑给出直线与双曲线x 2－y 23＝1右支的交点情况，作图易知①③直线与双曲线右支有交点，故填①③.三、解答题1．解：(1)由椭圆定义知|AF 2|＋|AB |＋|BF 2|＝4，又2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝43.(2)l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c ＝1－b 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x 2＋y 2b 2＝1，化简得(1＋b 2)x 2＋2cx ＋1－2b 2＝0.则x 1＋x 2＝－2c 1＋b 2，x 1x 2＝1－2b 21＋b 2.因为直线AB 的斜率为1，所以|AB |＝2|x 2－x 1|，即43＝2|x 2－x 1|.则89＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4(1－b )2(1＋b 2)2－4(1－2b 2)1＋b 2＝8b 4(1＋b 2)2，解得b ＝22. 2．解：(1)设抛物线C 的方程为y 2＝2mx ，由⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y －20＝0，y 2＝2mx ，得2y 2＋my －20m ＝0.∵Δ>0，∴m >0或m <－160.设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝－m 2，∴x 1＋x 2＝⎝⎛⎭⎫5－y 14＋⎝⎛⎭⎫5－y 24＝10＋m8. 再设A (x 3，y 3)，由于△ABC 的重心为F ⎝⎛⎭⎫m 2，0， 则⎩⎨⎧x 1＋x 2＋x 33＝m 2，y 1＋y 2＋y33＝0，解得⎩⎨⎧x 3＝11m 8－10，y 3＝m2.∵点A 在抛物线上，∴⎝⎛⎭⎫m 22＝2m ⎝⎛⎭⎫11m 8－10.∴m ＝8，抛物线C 的方程为y 2＝16x . (2)证明：当PQ 的斜率存在时，设PQ 的方程为y ＝kx ＋b ，显然k ≠0，b ≠0，∵PO ⊥OQ ，∴k PO k OQ ＝－1，设P (x P ，y P )，Q (x Q ，y Q )，∴x P x Q ＋y P y Q ＝0.将直线y ＝kx ＋b 代入抛物线方程，得ky 2－16y ＋16b ＝0，∴y P y Q ＝16b k .从而x P x Q ＝y 2P y 2Q162＝b 2k 2，∴b 2k 2＋16b k＝0.∵k ≠0，b ≠0.∴直线PQ 的方程为y ＝kx －16k ，PQ 过点(16,0)； 当PQ 的斜率不存在时，显然PQ ⊥x 轴，又PO ⊥OQ ，∴△POQ 为等腰三角形．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝|x |，y 2＝16x ，得P (16,16)，Q (16，－16)，此时直线PQ 过点(16,0)，∴直线PQ 恒过定点(16,0)．3.解：(1)设点P 的坐标为(x 0，y 0)．由题意，有x 20a 2＋y 20b2＝1.①由A (－a,0)，B (a,0)得k AP ＝y 0x 0＋a ，k BP ＝y 0x 0－a. 由k AP ·k BP ＝－12，可得x 20＝a 2－2y 20，代入①并整理得(a 2－2b 2)y 20＝0. 由于y 0≠0，故a 2＝2b 2.于是e 2＝a 2－b 2a 2＝12，所以椭圆的离心率e ＝22. (2)证明：依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，设点P 的坐标为(x 0，y 0)． 由条件得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，x 20a 2＋y 20b 2＝1.消去y 0并整理得x 20＝a 2b 2k 2a 2＋b 2.② 由|AP |＝|OA |，A (－a,0)及y 0＝kx 0，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2.整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0. 而x 0≠0，于是x 0＝－2a 1＋k 2，代入②，整理得(1＋k 2)2＝4k 2⎝⎛⎭⎫a b 2＋4. 由a >b >0，故(1＋k 2)2>4k 2＋4，即k 2＋1>4，因此k 2>3，所以|k |> 3. 4.解析：(1)∵|a |＋|b |＝22，∴x 2＋(y －1)2＋x 2＋(y ＋1)2＝2 2.由椭圆的定义可知，动点P (x ，y )的轨迹是以点F 1(0，－1)，F 2(0,1)为焦点，以22为长轴的椭圆．∴点P (x ，y )的轨迹C的方程为：x 2＋y 22＝1. (2)由条件知AB 和CD 是椭圆的两条弦，相交于焦点F (0,1)，且AB ⊥CD ，直线AB 、CD 中至少有一条存在斜率，不妨设AB 的斜率为k ，又AB 过点F (0,1)，故AB 的方程为y ＝kx ＋1，将此式代入椭圆方程得(2＋k 2)x 2＋2kx －1＝0，设A 、B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1＝－k －2k 2＋22＋k 2，x 2＝－k ＋2k 2＋22＋k 2，从而|AB |2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝8(1＋k 2)2(2＋k 2)2，亦即|AB |＝22(1＋k 2)2＋k 2.①当k ≠0时，CD 的斜率为－1k ，同上可推得|CD |＝22⎝⎛⎭⎫1＋⎝⎛⎭⎫－1k 22＋⎝⎛⎭⎫－1k 2，故四边形ABCD 面积S ＝12|AB ||CD |＝12×8(1＋k 2)⎝⎛⎭⎫1＋1k 2(2＋k 2)⎝⎛⎭⎫2＋1k 2＝4⎝⎛⎭⎫2＋k 2＋1k 25＋2k 2＋2k 2.令u ＝k 2＋1k 2，得S ＝4(2＋u )5＋2u＝2⎝⎛⎭⎫1－15＋2u .∵u ＝k 2＋1k 2≥2，当k ＝±1时u ＝2，S ＝169，且S 是以u 为自变量的增函数，∴169≤S ＜2. ②当k ＝0时，CD 为椭圆长轴，|CD |＝22，|AB |＝2，∴S ＝12|AB ||CD |＝2.故四边形ABCD 面积的最小值和最大值分别为169，2.5． 【解】 (1)设直线l 的方程为y ＝kx ＋t (k ＞0)．由题意知t ＞0.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 23＋y 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋6ktx ＋3t 2－3＝0.由题意知Δ＞0，所以3k 2＋1＞t 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－6kt3k 2＋1，所以y 1＋y 2＝2t 3k 2＋1.所以x E ＝－3kt 3k 2＋1，y E ＝t3k 2＋1，此时k OE ＝y E x E ＝－13k .所以OE 所在直线的方程为y ＝－13k x .由题意知D (－3，m )在直线OE 上，所以m ＝1k，即mk ＝1，所以m 2＋k 2≥2mk ＝2，当且仅当m ＝k ＝1时等号成立．此时由Δ＞0，得0＜t ＜2. 因此当m ＝k ＝1且0＜t ＜2时，m 2＋k 2取最小值2.(2)证明 由(1)知OD 所在直线的方程为y ＝－13k x ，将其代入椭圆C 的方程，并由k ＞0，解得G (－3k 3k 2＋1，13k 2＋1)．又E (－3kt 3k 2＋1，t 3k 2＋1)，D (－3，1k )，由距离公式及t ＞0，得|OG |2＝(－3k 3k 2＋1)2＋(13k 2＋1)2＝9k 2＋13k 2＋1，|OD |＝ （－3）2＋（1k ）2＝9k 2＋1k， |OE |＝（－3kt 3k 2＋1）2＋（t 3k 2＋1）2＝t 9k 2＋13k 2＋1.由|OG |2＝|OD |·|OE |，得t ＝k .因此直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)．所以直线l 恒过定点(－1，0)．。