2013高中数学精华第04章 平面向量与复数

平面向量与复数

【知识图解】

Ⅰ.平面向量知识结构表

Ⅱ.复数的知识结构表

【方法点拨】

由于向量融形、数于一体，具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使它成为了中学数学知识的一个重要交汇点，成为联系众多知识内容的媒介。所以，向量成为了“在知识网络交汇处设计试题”的很好载体。从高考新课程卷来看，对向量的考查力度在逐年加大，除了直接考查平面向量外，将向量与解析几何、向量与三角等内容相结合，在知识交汇点处命题，既是当今高考的热点，又是重点。

复习巩固相关的平面向量知识，既要注重回顾和梳理基础知识，又要注意平面向量与其他知识的综合运用，渗透用向量解决问题的思想方法，从而提高分析问题与综合运用知识解决问题的能力，站在新的高度来认识和理解向量。

1.向量是具有大小和和方向的量，具有“数”和“形”的特点，向量是数形结合的桥梁，在处理向量问

题时注意用数形结合思想的应用.

2.平面向量基本定理是处理向量问题的基础，也是平面向量坐标表示的基础，它表明同一平面内任意向

量都可以表示为其他两个不共线向量的线性组合.

3.向量的坐标表示实际上是向量的代数形式，引入坐标表示，可以把几何问题转化为代数问题解决.

4.要了解向量的工具作用，熟悉利用向量只是解决平面几何及解析几何中的简单问题的方法.

第1课 向量的概念及基本运算

【考点导读】

1. 理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示.

2. 掌握向量的加法、减法、数乘的运算，并理解其几何意义.

3. 了解平面向量基本定理及其意义. 【基础练习】

1.出下列命题：①若=a b ，则=a b ；②若A 、B 、C 、D 是不共线的四点，则DC AB =是四边形为平行四边形的充要条件；③若,==a b b c ，则=a c ；④=a b 的充要条件是=a b 且//a b ；⑤若//a b ，

//b c ，则//a c 。其中，正确命题材的序号是②③

2. 化简AC - BD + CD - AB

得0

3.在四边形ABCD 中，AB =a +2b ，BC =－4a －b ，CD =－5a －3b ，其中a 、b 不共线，则四边形ABCD 为梯形

4.如图，设点P 、Q 是线段AB 的三等分点，

若OA ＝a ，OB ＝b ，则OP ＝21

33

+a b ，

OQ ＝12

33+a b (用a 、b 表示)

【范例导析】

例1 .已知任意四边形ABCD 的边AD 和BC 的中点分别为E 、F ， 求证：2AB DC EF +=

.

分析:构造三角形,利用向量的三角形法则证明. 证明：如图，连接EB 和EC ，

由EA AB EB += 和EF FB EB += 可得，EA AB EF FB +=+

（1）

由ED DC EC += 和EF FC EC += 可得，ED DC EF FC +=+

（2） （1）+（2）得， 2EA ED AB DC EF FB FC +++=++

（3） ∵E 、F 分别为AD 和BC 的中点，∴0EA ED += ，0FB FC +=

，

代入（3）式得，2AB DC EF +=

点拨:运用向量加减法解决几何问题时,需要发现或构造三角形或平行四边形.

例1

例2.已知,OA OB

不共线，OP aOA bOB =+ ,求证：A,P ,B 三点共线的充要条件是1a b +=

分析：证明三点共线可以通过向量共线来证明.

解：先证必要性：若A,P ,B 三点共线，则存在实数λ，使得AP AB λ= ,即()

OP OA OB OA λ-=-

,∴

()1,OP OA OB λλ=-+ ∵OP aOA bOB =+

,∴1,a b λλ=-=，∴ 1.a b +=

再证充分性：若 1.a b +=则AP OP OA =- =()()

1a OA bOB b OB OA -+=-

=bAB ,∴

AP 与AB

共线，∴A,P,B 三点共线.

点拨:向量共线定理是向量知识中的一个基本定理,通常可以证明三点共线、直线平行等问题. 【反馈练习】

1．已知向量a 和b 反向，则下列等式成立的是（C ）

A. |a |－|b |=|a －b |

B. |a |－|b |=|a +b |

C.|a |＋|b |=|a －b |

D. |a |＋|b |=|a +b |

2.设四边形ABCD 中，有1,2

DC AB AD BC ==

则这个四边形是（C ）

A.平行四边形

B.矩形

C.等腰梯形

D.菱形 3.设A 、B 、C 、D 、O 是平面上的任意五点，试化简：

①AB BC CD ++ ， ②DB AC BD ++ ， ③OA OC OB CO --+- 。

解析：①原式= ()AB BC CD AC CD AD ++=+=

； ②原式= ()0DB BD AC AC AC ++=+=

；

③原式= ()()()0OB OA OC CO AB OC CO AB AB -+--=-+=+=

。

4.设x 为未知向量， a 、b 为已知向量，x 满足方程2x -(5a +3x -4b )+2

1

a -3

b =0， 则x =9

2

a b -

+（用a 、b 表示） 5.在四面体O-ABC 中，OA ,OB ,OC ,D a b c === 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则=111

244

a b c

++（用a ，b ，c 表示）

6如图平行四边形OADB 的对角线OD,AB 相交于点C ，线段BC 上有一点M 满足BC=3BM,线段CD 上有一点N 满足CD ＝3CN,设OA ,OB ,,OM,ON,MN a b a b ==

试用表示

解：()

()11

111BM=BC=BA,BM=BA=OA-OB =36666

a b ∴-

15OM=OB+BM 66a b ∴=+ . OD CD ON CD CN 3

234,31==∴=

()

()222ON=OD=OA+OB 333a b ∴=+ 11MN=ON-OM 26

a b ∴=-