球函数及其在物理学中的应用
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l = 0 m= 0 ∞ l
由球面处的定解条件，有
∑ ∑(A
l = 0 m=0
∞
l
lm
cos mϕ + Bl m sin mϕ )a l Plm (cos θ ) = f (θ , ϕ )
(1)
对于正弦函数、余弦函数及连带勒让德函数，有以下正交归一关系：
∫ ∫ ∫ ∫
sin θdθdϕ 积分，有
π 0
u ( r , θ , ϕ , t ) = F (r , t ) Ψ (θ , ϕ )
将上式代入波动方程，并在分离变量过程中引入常数 λ，可得到 1 ∂ 2 ∂F r 2 ∂ 2 F 1 1 ∂ ∂Ψ 1 ∂ 2Ψ − = − θ + =λ r sin 2 2 2 2 Ψ ∂θ F sin θ ∂ϕ ∂r ∂r c ∂t sin θ ∂θ 从上式，我们可以得到两个方程，其中一个方程决定了波沿径向的传播， 另一个决定了波的角向分布。在此，对我们感兴趣角向分布函数 Ψ 所满足的方 程进一步分离变量，即令 Ψ(θ,φ ) = Θ(θ)Φ(φ)，得到两个常微分方程 d 2Φ + m2 Φ = 0 2 dϕ 1 d dΘ 1 sin θ + (λ − 2 )Θ = 0 sin θ dθ dθ sin θ 以上两个方程， 分别加上周期性条件： Φ(φ+2π) = Φ(φ) 和有限性条件： Θ(θ)有限， 就得到角向分布函数 Ψ： Ψ l m (θ , ϕ ) = Pl m (cos)θ ei mϕ
球函数及其在物理学中的应用
球函数或球谐函数是一类在电动力学和量子力学中有很多应用的特殊函数， 有人也将勒让德多项式称为轴对称球函数。相对于一般的球函数，很多同学觉得 轴对称球函数容易掌握， 而对球函数就感到有些生疏， 甚至害怕。 针对这一问题， 本文对球函数的来源及其在后续课程中的应用进行较详尽的讨论。
r =0
有限 u
r =a
= f (θ , ϕ )
在球坐标下分离变量，令 u ( r , θ , ϕ ) = R ( r )Y (θ , ϕ ) ，得到特解： ul m (r ,θ , ϕ ) = ( Al r l + Bl r − (l +1) )Yl m (θ , ϕ ) 其中 Yl m (θ,φ )为球函数。 将球函数中的指数函数表示为三角函数的形式， 由叠加
二、球函数在物理中的应用举例 1. 球函数在电动力学中的应用 同学们对于轴对称的球函数在求解具有轴对称静电场问题的应用已经比较 熟悉，在这里着重讨论球函数在不具有轴对称性静电场问题的应用。 例：设有一半径为 a 的球，球面上的电势分布为 f (θ,φ )，求球内的电势分布。 解：定解问题为 ∇ 2u = 0 (0 < r < a) u
原理，得到通解： u (r , θ , ϕ ) = ∑ ∑ ( Al r l + Bl r − (l +1) )(Cm cos mϕ + Dm sin mϕ ) Plm (cos θ )
l = 0 m= 0 ∞ l
考虑到球心处的定解条件，有 Bl = 0。这样，通解变为 u (r , θ , ϕ ) = ∑ ∑ ( Al m cos mϕ + Bl m sin mϕ )r l Plm (cos θ )
Plm (cos θ )Pkm (cos θ ) sin θ dθ = cos nϕ cos mϕ dϕ = π δ n m sin nϕ sin mϕ dϕ = π δ n m cos nϕ sin mϕ dϕ = 0
(l + m !) 2 δl k (l − m !) 2l + 1 (2)
2π 0 2π 0 2π 0
为 了求通解中的系数 Alm ，将(1) 式 两边同 乘 Pkn (cosθ ) cos nϕ 后对 立体 角 元
∑ ∑[ A
l = 0 m=0
∞Hale Waihona Puke Baidu
l
lm 2π
al ∫
2π 0
∫
π 0
Pl m (cos θ ) Pkn (cos θ ) cos nϕ cos mϕ sin θ dθ dϕ
+ Bl m a l ∫ =∫
代入亥姆霍兹方程，并令在分离变量过程中引入的常数为 λ，得到角度(θ, φ) 部 分的函数 Y (θ,φ ) 所满足的方程 1 1 ∂ ∂Y 1 ∂ 2Y − sin θ ∂θ + 2 θ ∂ϕ 2 = λ Y sin θ ∂θ sin 显然，这一结果与对三维波动方程分离变量时关于角向分布函数 Ψ 所满足 的方程完全一样，最后也可得到归一化球函数 Yl m (θ,φ )。 通过上面的讨论， 我们可以发现，当含拉普拉斯算符的数理方程在球坐标系 下分离变量时，就可以得到球函数，它反映了某一物理量的角向分布。
一、含拉普拉斯算符的数理方程在球坐标系下的分离变量 1. 三维波动方程在球坐标系下的分离变量 三维波动方程为 ∂ 2u 2 2 −c ∇ u = 0 ∂t 2 利用球坐标系下拉普拉斯算符的表达式，上式可写为 1 1 ∂ 2u 2 1 ∂ 2 ∂u ∂ ∂u ∂ 2u − + sin + =0 c r θ r 2 ∂r ∂r r 2 sin θ ∂θ 2 2 2 ∂t 2 ∂θ r sin θ ∂ϕ 为得到球函数，可将描述角位置的变量 θ 与 φ 分离出来，即令
2π 0
0
∫
π 0
Plm (cos θ ) Pkn (cos θ ) cos nϕ cos mϕ sin θ dθ dϕ sin mϕ ]
∫
π 0
f (θ , ϕ ) Pkn (cos θ ) cos nϕ sin θ dθ dϕ
对其进行归一化，就得到球函数： Yl m (θ , ϕ ) = (l − m )! (2l + 1) m Pl (cos)θ ei mϕ (l + m )! 4π
2. 亥姆霍兹方程在球坐标系下的分离变量 将亥姆霍兹方程(含拉普拉斯算符)在球坐标系下分离变量：
k u + ∇ =
2
令
u ( r , θ , ϕ ) = R ( r )Y (θ , ϕ )
由球面处的定解条件，有
∑ ∑(A
l = 0 m=0
∞
l
lm
cos mϕ + Bl m sin mϕ )a l Plm (cos θ ) = f (θ , ϕ )
(1)
对于正弦函数、余弦函数及连带勒让德函数，有以下正交归一关系：
∫ ∫ ∫ ∫
sin θdθdϕ 积分，有
π 0
u ( r , θ , ϕ , t ) = F (r , t ) Ψ (θ , ϕ )
将上式代入波动方程，并在分离变量过程中引入常数 λ，可得到 1 ∂ 2 ∂F r 2 ∂ 2 F 1 1 ∂ ∂Ψ 1 ∂ 2Ψ − = − θ + =λ r sin 2 2 2 2 Ψ ∂θ F sin θ ∂ϕ ∂r ∂r c ∂t sin θ ∂θ 从上式，我们可以得到两个方程，其中一个方程决定了波沿径向的传播， 另一个决定了波的角向分布。在此，对我们感兴趣角向分布函数 Ψ 所满足的方 程进一步分离变量，即令 Ψ(θ,φ ) = Θ(θ)Φ(φ)，得到两个常微分方程 d 2Φ + m2 Φ = 0 2 dϕ 1 d dΘ 1 sin θ + (λ − 2 )Θ = 0 sin θ dθ dθ sin θ 以上两个方程， 分别加上周期性条件： Φ(φ+2π) = Φ(φ) 和有限性条件： Θ(θ)有限， 就得到角向分布函数 Ψ： Ψ l m (θ , ϕ ) = Pl m (cos)θ ei mϕ
球函数及其在物理学中的应用
球函数或球谐函数是一类在电动力学和量子力学中有很多应用的特殊函数， 有人也将勒让德多项式称为轴对称球函数。相对于一般的球函数，很多同学觉得 轴对称球函数容易掌握， 而对球函数就感到有些生疏， 甚至害怕。 针对这一问题， 本文对球函数的来源及其在后续课程中的应用进行较详尽的讨论。
r =0
有限 u
r =a
= f (θ , ϕ )
在球坐标下分离变量，令 u ( r , θ , ϕ ) = R ( r )Y (θ , ϕ ) ，得到特解： ul m (r ,θ , ϕ ) = ( Al r l + Bl r − (l +1) )Yl m (θ , ϕ ) 其中 Yl m (θ,φ )为球函数。 将球函数中的指数函数表示为三角函数的形式， 由叠加
二、球函数在物理中的应用举例 1. 球函数在电动力学中的应用 同学们对于轴对称的球函数在求解具有轴对称静电场问题的应用已经比较 熟悉，在这里着重讨论球函数在不具有轴对称性静电场问题的应用。 例：设有一半径为 a 的球，球面上的电势分布为 f (θ,φ )，求球内的电势分布。 解：定解问题为 ∇ 2u = 0 (0 < r < a) u
原理，得到通解： u (r , θ , ϕ ) = ∑ ∑ ( Al r l + Bl r − (l +1) )(Cm cos mϕ + Dm sin mϕ ) Plm (cos θ )
l = 0 m= 0 ∞ l
考虑到球心处的定解条件，有 Bl = 0。这样，通解变为 u (r , θ , ϕ ) = ∑ ∑ ( Al m cos mϕ + Bl m sin mϕ )r l Plm (cos θ )
Plm (cos θ )Pkm (cos θ ) sin θ dθ = cos nϕ cos mϕ dϕ = π δ n m sin nϕ sin mϕ dϕ = π δ n m cos nϕ sin mϕ dϕ = 0
(l + m !) 2 δl k (l − m !) 2l + 1 (2)
2π 0 2π 0 2π 0
为 了求通解中的系数 Alm ，将(1) 式 两边同 乘 Pkn (cosθ ) cos nϕ 后对 立体 角 元
∑ ∑[ A
l = 0 m=0
∞Hale Waihona Puke Baidu
l
lm 2π
al ∫
2π 0
∫
π 0
Pl m (cos θ ) Pkn (cos θ ) cos nϕ cos mϕ sin θ dθ dϕ
+ Bl m a l ∫ =∫
代入亥姆霍兹方程，并令在分离变量过程中引入的常数为 λ，得到角度(θ, φ) 部 分的函数 Y (θ,φ ) 所满足的方程 1 1 ∂ ∂Y 1 ∂ 2Y − sin θ ∂θ + 2 θ ∂ϕ 2 = λ Y sin θ ∂θ sin 显然，这一结果与对三维波动方程分离变量时关于角向分布函数 Ψ 所满足 的方程完全一样，最后也可得到归一化球函数 Yl m (θ,φ )。 通过上面的讨论， 我们可以发现，当含拉普拉斯算符的数理方程在球坐标系 下分离变量时，就可以得到球函数，它反映了某一物理量的角向分布。
一、含拉普拉斯算符的数理方程在球坐标系下的分离变量 1. 三维波动方程在球坐标系下的分离变量 三维波动方程为 ∂ 2u 2 2 −c ∇ u = 0 ∂t 2 利用球坐标系下拉普拉斯算符的表达式，上式可写为 1 1 ∂ 2u 2 1 ∂ 2 ∂u ∂ ∂u ∂ 2u − + sin + =0 c r θ r 2 ∂r ∂r r 2 sin θ ∂θ 2 2 2 ∂t 2 ∂θ r sin θ ∂ϕ 为得到球函数，可将描述角位置的变量 θ 与 φ 分离出来，即令
2π 0
0
∫
π 0
Plm (cos θ ) Pkn (cos θ ) cos nϕ cos mϕ sin θ dθ dϕ sin mϕ ]
∫
π 0
f (θ , ϕ ) Pkn (cos θ ) cos nϕ sin θ dθ dϕ
对其进行归一化，就得到球函数： Yl m (θ , ϕ ) = (l − m )! (2l + 1) m Pl (cos)θ ei mϕ (l + m )! 4π
2. 亥姆霍兹方程在球坐标系下的分离变量 将亥姆霍兹方程(含拉普拉斯算符)在球坐标系下分离变量：
k u + ∇ =
2
令
u ( r , θ , ϕ ) = R ( r )Y (θ , ϕ )